2.2 充分条件、必要条件、充要条件(Word讲义)-【满分思维】2026-2027学年高中数学必修第一册学生用书（苏教版）

2.2　充分条件、必要条件、充要条件 【学习目标】 　　1.能结合具体命题理解充分条件、必要条件和充要条件的意义. 　　2.能结合典型数学命题理解判定定理与充分条件、性质定理与必要条件、数学定义与充要条件的关系. ◆ 知识点一　充分条件与必要条件 1.一般地,当命题“若p,则q”为真命题时,我们就说“由p可以推出q成立”,记作　　　　,读作“p推出q”;  如果命题“若p,则q”为假命题,就说“由p不能推出q成立”,记作　　　　,读作“p不能推出q”.  2.定义:如果“p⇒q”,那么称p是q的　　　,也称q是p的　　　　.  【诊断分析】 判断正误.(在括号内打“√”或“×”) (1)“x=y”是“=”的充分条件. (　 ) (2)“ab=0”是“b=0”的必要条件. (　 ) (3)“x2>1”是“x>1”的充分条件. (　 ) (4)“x=1或x=2”是“x2-3x+2=0”的必要条件. (　 ) ◆ 知识点二　充要条件 1.定义:如果 p⇒q,且q⇒p,那么称p是q的充分且必要条件,简称为p是q的　　　　条件,也称q的充要条件是p.  2.如果p是q的充要条件,就记作　　　　,称为“p与q等价”,或“p等价于q”.  3.条件关系判定的常用结论: 条件p与结论q的关系 结论(p是q的) p⇒q,且q⇒/ p 充分且不必要条件 q⇒p,且p⇒/ q 必要且不充分条件 p⇒q,且q⇒p 充要条件 p⇒/ q,且q⇒/ p 既不充分又不必要条件 ◆ 知识点三　充分条件与判定定理、必要条件 与性质定理的关系 判定定理都给出了相应数学结论成立的一个　　　　条件.性质定理都给出了相应数学结论成立的一个　　　　条件.  ◆ 探究点一　充分条件、必要条件的判断 角度1　充分条件 例1 下列各题中,哪些p是q的充分条件? (1)p:4x2-mx+9是完全平方式,q:m=12; (2)p:(x-1)2+(y-2)2=0,q:(x-1)(y-2)=0; (3)p:在△ABC中,A+B=90°,q:在△ABC中,C=90°; (4)p:x∈A∩B, q:x∈A∪B. 角度2　必要条件 例2 下列各题中,哪些q是p的必要条件? (1)p:x=1,q:x-1=; (2)p:-2≤x≤5,q:-1≤x≤5; (3)p:a是自然数,q:a是正整数; (4)p:三角形是等边三角形,q:三角形是等腰三角形. 变式 下列各题中,哪些p是q的充分条件?哪些p是q的必要条件? (1)p:A∩B=A,q:A⫋B; (2)p:四边形是矩形,q:四边形的对角线相等. [素养小结] 充分条件或必要条件的判断方法: (1)若p⇒q,则p是q的充分条件,q是p的必要条件. (2)若p对应的集合为A,q对应的集合为B,A⊆B,则p是q的充分条件,q是p的必要条件. ◆ 探究点二　充要条件、充分且不必要条件、必要且不充分条件的判断 例3 下列“若p,则q”形式的命题中,p分别是q的什么条件?(用“充要条件”“充分且不必要条件”“必要且不充分条件”或“既不充分又不必要条件”回答) (1)若x2=1,则x=1; (2)若x,y都为无理数,则xy为无理数; (3)若a2+b2=0,则a+b=0; (4)若a+b>4,则a>2且b>2. 变式 (1)[2026·福建莆田高一期中] 设集合A={x|-5x+6<0},B={x|x>-2},则“x∈B”是“x∈A”的 (　 ) A.充分且不必要条件 B.必要且不充分条件 C.充要条件 D.既不充分又不必要条件 (2)[2026·江苏无锡一中高一段考] 已知集合A={0,1,4,},B={0,1,m},则“m=4”是“A∪B=A”的 (　 ) A.充分且不必要条件 B.必要且不充分条件 C.充要条件 D.既不充分又不必要条件 [素养小结] 判断充分条件、必要条件及充要条件的三种方法 (1)定义法:直接判断“若p,则q”以及“若q,则p”的真假. (2)集合法:利用集合的包含关系判断. (3)传递法:充分条件和必要条件具有传递性,即由p1⇒p2⇒…⇒p,可得p1⇒p;充要条件也有传递性. 拓展 已知两个关于x的一元二次方程mx2-4x+4=0和x2-4mx+4m2-4m-5=0,求两方程的根都是整数的充要条件. ◆ 探究点三　根据充要条件求参数 例4 已知集合A={x|-3≤x≤4},B={x|1-m≤x≤3m-2,m>1}. (1)是否存在实数m,使“x∈A”是“x∈B”的充要条件?若存在,求出实数m的值;若不存在,请说明理由. (2)是否存在实数m,使“x∈A”是“x∈B”的充分且不必要条件?若存在,求出实数m的值;若不存在,请说明理由. (3)是否存在实数m,使“x∈A”是“x∈B”的必要且不充分条件?若存在,求出实数m的值;若不存在,请说明理由. 变式 (1)[2026·江苏扬州公道中学高一月考] 已知集合A={1,x2},B={1,4,x},若“x∈A”是“x∈B”的充分条件,则x= (　 )　　　　　 　　　　　 　　　　　 A.0 B.-2 C.0或-2或1 D.0或±2 (2)设全集U=R,已知集合A={x|-2≤x≤5},B={x|m+1≤x≤2m-1}.若B不是空集,设p:x∈A;q:x∈B,且p是q的必要且不充分条件,则实数m的取值范围是　　　　.  [素养小结] 利用充分条件、必要条件求参数的取值范围时,主要根据充分条件、必要条件与集合间的关系,将问题转化为相应的两个集合之间的包含关系,然后建立关于参数的不等式(组)进行求解,有时还需要借助数轴解决问题. ◆ 探究点四　判定定理、性质定理与充分、必要条件 例5 指出下列定理是判定定理还是性质定理: (1)直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半; (2)有两个角互余的三角形是直角三角形; (3)菱形的对角线互相垂直; (4)两边成比例且夹角相等的两个三角形相似; (5)三边对应成比例的两个三角形相似; (6)相似三角形的面积比等于相似比的平方. 变式 判断下述命题是否可以看成判定定理或性质定理,如果可以,写出其中涉及的充分条件或必要条件: (1)形如y=x2+bx(b是常数)的函数是二次函数; (2)菱形的对角线互相平分. [素养小结] (1)区分一个定理是判定定理还是性质定理关键是看定理阐述了结论成立的依据还是揭示了一个研究对象的某个特征,若定理阐述了结论成立的依据,则是判定定理,否则是性质定理. (2)判定定理可用充分条件的语言来表述,性质定理可用必要条件的语言来表述. 学科网（北京）股份有限公司 $ 2.2　充分条件、必要条件、充要条件 【课前预习】 知识点一 1.p⇒q　p⇒/ q　2.充分条件　必要条件 诊断分析 (1)×　(2)√　(3)×　(4)√　[解析] (1)当x=y<0时,不能推出=,所以“x=y”不是“=”的充分条件. (2)当b=0时,一定有ab=0,所以“ab=0”是“b=0”的必要条件. (3)当x2>1时,x>1不一定成立,如(-2)2>1,但-2<1,所以“x2>1”不是“x>1”的充分条件. (4)当x2-3x+2=0时,可得x=1或x=2,所以“x=1或x=2”是“x2-3x+2=0”的必要条件. 知识点二 1.充要　2. p⇔q 知识点三 充分　必要 【课中探究】 探究点一 例1　解:(1)若4x2-mx+9是完全平方式,则m=±12,所以p⇒/ q,所以p不是q的充分条件. (2)若(x-1)2+(y-2)2=0,则x=1且y=2,所以(x-1)(y-2)=0,所以p⇒q,所以p是q的充分条件. (3)由三角形的内角和为180°可知,若A+B=90°,则C=90°,因此p⇒q,所以p是q的充分条件. (4)因为(A∩B)⊆(A∪B),所以若x∈A∩B,则x∈A∪B,所以p⇒q,所以p是q的充分条件. 综上,(2)(3)(4)中p是q的充分条件. 例2　解:(1)当x=1时,x-1==0,所以p⇒q,所以q是p的必要条件. (2)当x=-2时,-2≤x≤5成立,但是-1≤x≤5不成立,所以p⇒/ q,所以q不是p的必要条件. (3)0是自然数,但是0不是正整数,所以p⇒/ q,所以q不是p的必要条件. (4)等边三角形一定是等腰三角形,所以p⇒q,所以q是p的必要条件.综上,(1)(4)中q是p的必要条件. 变式　解:(1)若A∩B=A,则A⊆B,∴p⇒/ q,∴p不是q的充分条件.若A⫋B,则A∩B=A,∴q⇒p,∴p是q的必要条件. (2)由四边形是矩形,可得四边形的对角线相等,即p⇒q,∴p是q的充分条件.∵四边形的对角线相等不能推出四边形是矩形,即q⇒/ p,∴p不是q的必要条件. 综上,(2)中p是q的充分条件,(1)中p是q的必要条件. 探究点二 例3　解:(1)当x2=1时,x=1不一定成立,但当x=1时,x2=1一定成立,所以p是q的必要且不充分条件. (2)若x,y都为无理数,则xy不一定为无理数,例如是无理数,但×=2是有理数.当xy为无理数时,x,y不一定都为无理数,即p是q的既不充分又不必要条件. (3)若a2+b2=0,则a=b=0,即a+b=0.当a+b=0时,a2+b2=0不一定成立,即p是q的充分且不必要条件. (4)若a+b>4,则a>2且b>2不一定成立,例如当a=1,b=8时,a+b>4,但a<2.当a>2,b>2时,a+b>4一定成立,即p是q的必要且不充分条件. 变式　(1)B　(2)C　[解析] (1)由题意可知,集合A={x|-5x+6<0}=,因为B={x|x>-2},所以A⫋B,所以“x∈B”是“x∈A”的必要且不充分条件.故选B. (2)若A∪B=A,则B⊆A,因为A={0,1,4,},B={0,1,m},所以m=4或所以m=4,经检验符合题意.若m=4,则A={0,1,2,4},B={0,1,4},所以A∪B=A.故“m=4”是“A∪B=A”的充要条件.故选C. 拓展　解:因为mx2-4x+4=0是一元二次方程,所以m≠0, 又另一个方程为x2-4mx+4m2-4m-5=0,且两方程都有实根,所以解得-≤m≤1.综上可得-≤m≤1且m≠0. 因为两方程的根都是整数,所以其根的和与积也为整数,所以所以m=-1或-或或1. 当m=-时,第一个方程可化为x2+8x-8=0,该方程的根不是整数,不符合题意;当m=时,第一个方程可化为x2-8x+8=0,该方程的根不是整数,不符合题意;当m=-1时,第一个方程可化为x2+4x-4=0,该方程的根不是整数,不符合题意;当m=1时,易知两方程的根均为整数. 所以两方程的根都是整数的充要条件是m=1. 探究点三 例4　解:(1)若存在实数m,使“x∈A”是“x∈B”的充要条件,则A=B,故无解, 故不存在实数m,使“x∈A”是“x∈B”的充要条件. (2)因为m>1,所以3m-2>1>1-m,故B≠⌀. 由“x∈A”是“x∈B”的充分且不必要条件得A⫋B, 故且等号不同时成立, 解得m≥4,故m的取值范围是m≥4. (3)因为m>1,所以3m-2>1>1-m,故B≠⌀. 由“x∈A”是“x∈B”的必要且不充分条件得B⫋A,故且等号不同时成立,解得m≤2, 又m>1,故m的取值范围是1<m≤2. 变式　(1)D　(2)[2,3]　[解析] (1)∵“x∈A”是“x∈B”的充分条件,∴A⊆B.可分以下两种情况:①x2=4,解得x=±2;②x2=x,解得x=0或x=1(舍去).综上,x=0或x=±2.故选D. (2)因为B不是空集,所以m+1≤2m-1,则m≥2.因为p是q的必要且不充分条件,所以B是A的真子集,即且等号不能同时取得,解得-3≤m≤3,经验证当m=3时符合题意,则实数m的取值范围是[2,3]. 探究点四 例5　解:(1)直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半为性质定理. (2)有两个角互余的三角形是直角三角形为判定定理. (3)菱形的对角线互相垂直为性质定理. (4)两边成比例且夹角相等的两个三角形相似为判定定理. (5)三边对应成比例的两个三角形相似为判定定理. (6)相似三角形的面积比等于相似比的平方为性质定理. 变式　解:(1)该命题可以看成一个判定定理,因此“形如y=x2+bx(b是常数)的函数”是“函数是二次函数”的充分条件. (2)该命题可以看成一个性质定理,因此“四边形对角线互相平分”是“四边形是菱形”的必要条件. 学科网（北京）股份有限公司 $