2.3.2 全称量词命题与存在量词命题的否定-【学霸笔记·同步精讲】2026-2027学年高中数学必修第一册教师用书word（苏教版）

本讲义聚焦高中数学“全称量词命题与存在量词命题的否定”核心知识点，系统梳理从理解否定意义到正确否定及真假判别的课标要求，通过“改变量词、否定结论”规则及常见词语否定表，为逻辑推理和命题应用搭建学习支架。 该资料以探险家故事情境引入激发兴趣，分否定、真假判断、参数问题三类题型系统覆盖，提炼通性通法培养数学抽象与逻辑推理能力。课中辅助教师引导学生理解，课后通过分层练习帮助学生巩固，有效查漏补缺。

2.3.2　全称量词命题与存在量词命题的否定 课标 要求 1.理解全称量词命题或存在量词命题的否定的意义（数学抽象）. 2.能正确使用存在量词对全称量词命题进行否定以及真假判别（数学抽象、逻辑推理）. 3.能正确使用全称量词对存在量词命题进行否定以及真假判别（数学抽象、逻辑推理）. 　　 一位探险家来到一个荒岛，被土著人抓住，土著首领说：“你只能说一句话，说真话你将被烧死，说假话你将被淹死”.探险家想了想说“我将被淹死”. 【问题】　探险家如此回答，能保住性命吗？ 　 知识点一　全称量词命题的否定 p 􀱑p 结论 全称量词命题：∀x∈M，p（x） ∃x∈M，􀱑p（x） 全称量词命题的否定是　存在量词命题　 知识点二　存在量词命题的否定 p 􀱑p 结论 存在量词命题：∃x∈M，p（x） ∀x∈M，􀱑p（x） 存在量词命题的否定是　全称量词命题　 提醒：（1）常见词语的否定形式 原词语 否定词语 原词语 否定词语 是 不是 至少有一个 一个也没有 都是 不都是 至多有一个 至少有两个 大于 不大于 至少有n个 至多有（n－1）个 小于 不小于 至多有n个 至少有（n＋1）个 任意的 某个 能 不能 所有的 某些 等于 不等于 （2）对全称量词命题和存在量词命题进行否定，总结起来八个字“改变量词，否定结论”，从集合的角度来看，x的范围没有变，只是对量词改变且对结论进行了否定. 1.（2026·南京十三中月考）命题p：∀x∈R，x2＋3＞0，􀱑p为（　　） A.∀x∈R，x2＋3≤0 B.∃x∈R，x2＋3＞0 C.∀x∈R，x2＋3＜0 D.∃x∈R，x2＋3≤0 解析：D　全称量词命题的否定形式是存在量词命题，􀱑p为：∃x∈R，x2＋3≤0.故选D. 2.（2026·灌云期中）命题“∃x∈R，x2－3≥0”的否定是（　　） A.∃x∉R，x2－3＜0 B.∀x∈R，x2－3＜0 C.∃x∈R，x2－3＜0 D.∃x∉R，x2－3≥0 解析：B　存在量词命题的否定形式是全称量词命题，即“∃x∈R，x2－3≥0”的否定是“∀x∈R，x2－3＜0”.故选C. 3.命题p：所有的质数都是奇数，则命题p的否定是存在一个质数不是奇数. 解析：原命题是全称量词命题，其否定是“存在一个质数不是奇数”. 4.命题“∃x∈（1，＋∞），使得x2－2＝0”的否定是∀x∈（1，＋∞），都有x2－2≠0. 解析：命题“∃x∈（1，＋∞），使得x2－2＝0”为存在量词命题，其否定为全称量词命题：∀x∈（1，＋∞），都有x2－2≠0. 　　 题型一　全称量词命题与存在量词命题的否定 （链接教科书第38页例2）写出下列命题的否定： （1）∀x∈R，x2－2x＋1≥0； （2）平行四边形的对边相等； （3）∃x∈R，x2＋x＋1≠0； （4）有些三角形是锐角三角形. 解：（1）“∀x∈R，x2－2x＋1≥0”的否定是“∃x∈R，x2－2x＋1＜0”. （2）“平行四边形的对边相等”是指“任意一个平行四边形的对边相等”，它的否定是“存在一个平行四边形的对边不相等”. （3）“∃x∈R，x2＋x＋1≠0”的否定是“∀x∈R，x2＋x＋1＝0”. （4）“有些三角形是锐角三角形”的否定是“所有三角形都不是锐角三角形”. 通性通法 全称量词命题与存在量词命题的否定的思路 （1）一般地，写含有一个量词的命题的否定，首先要明确这个命题是全称量词命题还是存在量词命题，并找到量词及相应结论，然后把命题中的全称量词改成存在量词，存在量词改成全称量词，同时否定结论； （2）对于省略量词的命题，应先挖掘命题中隐含的量词，改写成含量词的完整形式，再依据规则写出命题的否定. 写出下列命题的否定. （1）∀x∈R，｜x｜＋1－x≠0； （2）每一个素数都是奇数； （3）某些平行四边形是菱形； （4）可以被5整除的数，末位上是0. 解：（1）命题的否定：∃x∈R，｜x｜＋1－x＝0； （2）命题的否定：存在一个素数不是奇数； （3）命题的否定：每一个平行四边形都不是菱形； （4）命题省略了全称量词“所有”，命题的否定：存在一个被5整除的数，末位上不是0. 题型二　全称量词命题与存在量词命题的否定的真假判断 （链接教科书第40页习题5题）写出下列命题的否定并判断其真假： （1）p：∃a∈R，一次函数y＝x＋a的图象经过原点； （2）q：有的有理数没有倒数； （3）s：等圆的面积相等. 解：（1）􀱑p：∀a∈R，一次函数y＝x＋a的图象不经过原点.因为当a＝0时，一次函数y＝x＋a的图象经过原点，所以􀱑p是假命题. （2）􀱑q：所有的有理数都有倒数.因为0为有理数且没有倒数，所以􀱑q为假命题. （3）􀱑s：存在一对等圆，其面积不相等，由等圆的概念知􀱑s是假命题. 通性通法 全称量词命题与存在量词命题否定的真假判断 （1）全称量词命题的否定是存在量词命题，存在量词命题的否定是全称量词命题，一个命题和它的否定的真假性相反； （2）要说明一个存在量词命题是真命题，只需要找到一个实例即可，否则这一命题就是假命题. 〔多选〕对下列命题进行否定，得到的新命题是全称量词命题且为真命题的有（　　） A.∃x∈R，x2－x＋＝0 B.所有的正方形都是矩形 C.∃x∈R，｜x｜＋2≤0 D.至少有一个实数x，使x3＋1＝0 解析：AC　命题的否定是全称量词命题，则原命题为存在量词命题，故排除B选项.命题的否定为真命题，则原命题为假命题.又选项A、C中的命题为假命题，选项D中的命题为真命题，故选A、C. 题型三　根据全称量词命题与存在量词命题否定的真假求参数 若命题“∀x∈R，x2－4x＋a≠0”为假命题，则实数a的取值范围为　（－∞，4]　. 解析：∵命题∀x∈R，x2－4x＋a≠0为假命题，∴∃x∈R，x2－4x＋a＝0是真命题，∴方程x2－4x＋a＝0有实数根，则Δ＝（－4）2－4a≥0，解得a≤4.∴实数a的取值范围为（－∞，4]. 通性通法 　　根据含量词命题否定的真假求参数范围的两个关注点 若命题“∃x∈{x｜1＜x＜2}，a＞2x”为假命题，则实数a的取值范围是（　　） A.{a｜a＜2} B.{a｜a≤2} C.{a｜a＜4} D.{a｜a≤4} 解析：B　因为命题“∃x∈{x｜1＜x＜2}，a＞2x”为假命题，所以命题“∀x∈{x｜1＜x＜2}，a≤2x”为真命题.因为当1＜x＜2时，2＜2x＜4，所以a≤2.故选B. 1.命题“任意x∈A，2x∈B”的否定为（　　） A.任意x∈A，2x∉B B.任意x∉A，2x∉B C.存在x∉A，2x∈B D.存在x∈A，2x∉B 解析：D　命题“任意x∈A，2x∈B”是一个全称量词命题，其命题的否定为“存在x∈A，2x∉B”，故选D. 2.（2026·苏州质检）命题“∃x＞0，x2＋x－1＞0”的否定是（　　） A.∀x＞0，x2＋x－1＞0 B.∀x＞0，x2＋x－1≤0 C.∃x≤0，x2＋x－1＞0 D.∃x≤0，x2＋x－1≤0 解析：B　根据存在量词命题的否定是全称命题可知：命题“∃x＞0，x2＋x－1＞0”的否定是∀x＞0，x2＋x－1≤0.故选B. 3.命题“存在实数x，y，使得x＋y＞1”，用符号表示为　∃x，y∈R，x＋y＞1　，此命题的否定是　假　（填“真”或“假”）命题. 解析：此命题用符号表示为∃x，y∈R，x＋y＞1，此命题的否定是∀x，y∈R，x＋y≤1，原命题为真命题，它的否定为假命题. 4.命题“存在x＞1，使得2x＋a＜3”是假命题，则实数a的取值范围为[1，＋∞）. 解析：命题“存在x＞1，使得2x＋a＜3”是假命题，所以此命题的否定“任意x＞1，使得2x＋a≥3”是真命题，因为对任意x＞1，都有2x＋a＞2＋a，所以2＋a≥3，所以a≥1. 　　 1.（2026·常州溧阳中学月考）已知命题p：∀x≤2，x3－8＜0，那么􀱑p是（　　） A.∀x≤2，x3－8＞0 B.∃x≥2，x3－8≥0 C.∀x＞2，x3－8＞0 D.∃x≤2，x3－8≥0 解析：D　原命题为全称量词命题，故其否定为存在量词命题，所以􀱑p是∃x≤2，x3－8≥0.故选D. 2.对某次考试，有命题p：所有学生都会做第1题，那么命题p的否定是（　　） A.所有学生都不会做第1题 B.存在一个学生不会做第1题 C.存在一个学生会做第1题 D.至少有一个学生会做第1题 解析：B　根据全称量词命题的否定是存在量词命题，命题p：所有学生都会做第1题的否定是存在一个学生不会做第1题.故选B. 3.下列命题的否定是真命题的为（　　） A.p1：每一个合数都是偶数 B.p2：两条平行线被第三条直线所截内错角相等 C.p3：全等三角形的周长相等 D.p4：所有的无理数都是实数 解析：A　p1为全称量词命题，且是假命题，所以􀱑p1是真命题.命题p2，p3，p4均为真命题，即􀱑p2，􀱑p3，􀱑p4均为假命题.故选A. 4.已知命题p：∀x∈R，x＜｜x｜＜x3，命题q：∃x∈R，x2－5x＋4＝0，则下列命题中为真命题的是（　　） A.p，q B.􀱑p，q C.p，􀱑q D.􀱑p，􀱑q 解析：B　对于命题p，采用特殊值法，取x＝1，可知p为假命题，则􀱑p为真命题；命题q：当x0＝1时，－5x0＋4＝0成立，故q为真命题，则􀱑q为假命题.故选B. 5.〔多选〕关于命题p：“∀x∈R，x2＋1≠0”的叙述，正确的是（　　） A.􀱑p：∃x∈R，x2＋1＝0 B.􀱑p：∀x∈R，x2＋1＝0 C.p是真命题，􀱑p是假命题 D.p是假命题，􀱑p是真命题 解析：AC　命题p：“∀x∈R，x2＋1≠0”的否定是“∃x∈R，x2＋1＝0”.所以p是真命题，􀱑p是假命题.故选A、C. 6.〔多选〕下列说法正确的有（　　） A.命题“∃x∈R，1＜y≤2”的否定是“∀x∈R，y≤1或y＞2” B.“至少有一个x使x2＋2x＋1＝0成立”是全称量词命题 C.“∃x∈R，x－2＞”是真命题 D.“∀x∈R，x2＞0”的否定是真命题 解析：ACD　由存在量词命题的否定是全称量词命题，故选项A中说法正确；“至少有一个x使x2＋2x＋1＝0成立”是存在量词命题，故选项B中说法错误；当x＝9时，x－2＞，即7＞3成立，故选项C中说法正确；命题“∀x∈R，x2＞0”的否定是“∃x∈R，x2≤0”，当x＝0时，x2≤0成立，故选项D中说法正确.故选A、C、D. 7.（2026·淮安质检）已知命题p：∃x＜1，x2≤1，则􀱑p为　∀x＜1，x2＞1　. 解析：命题p是存在量词命题，其否定是全称量词命题，故􀱑p为∀x＜1，x2＞1. 8.若命题“∃x∈R，x2＋2x－a＝0”为假命题，则实数a的取值范围为　（－∞，－1） . 解析：命题“∃x∈R，x2＋2x－a＝0”为假命题，即“方程x2＋2x－a＝0有实根”为假命题，所以“方程x2＋2x－a＝0无实根”，则Δ＝4＋4a＜0，解得a＜－1，即实数a的取值范围为（－∞，－1）. 9.已知命题p：“∀x≥3，使得2x－1≥m”是真命题，则实数m的最大值是　5　. 解析：当x≥3时，2x≥6⇒2x－1≥5，因为“∀x≥3，使得2x－1≥m”是真命题，所以m≤5. 10.判断下列命题的真假，并写出这些命题的否定. （1）三角形的内角和为180°； （2）存在一个二次函数的图象开口不向下； （3）任何一个平行四边形的对边都平行； （4）某个负数的平方不是正数. 解：（1）是真命题.命题的否定：存在一个三角形，它的内角和不等于180°. （2）是真命题.命题的否定：任何一个二次函数的图象开口都向下. （3）是真命题.命题的否定：存在一个平行四边形的对边不都平行. （4）是假命题.命题的否定：任何负数的平方都是正数. 11.〔多选〕下列说法正确的是（　　） A.命题“∀x∈R，x2＞－1”的否定是“∃x∈R，x2＜－1” B.命题“∃x∈{x｜x＞－3}，x2≤9”的否定是“∀x∈{x｜x＞－3}，x2＞9” C.“x2＞y2”是“x＞y”的必要不充分条件 D.“m＜0”是“关于x的方程x2－2x＋m＝0有一正根一负根”的充要条件 解析：BD　命题“∀x∈R，x2＞－1”的否定是“∃x∈R，x2≤－1”，故A错误；命题“∃x∈{x｜x＞－3}，x2≤9”的否定是“∀x∈{x｜x＞－3}，x2＞9”，B正确；x2＞y2⇔｜x｜＞｜y｜，｜x｜＞｜y｜不能推出x＞y，x＞y也不能推出｜x｜＞｜y｜，所以“x2＞y2”是“x＞y”的既不充分也不必要条件，故C错误；关于x的方程x2－2x＋m＝0有一正根一负根⇔⇔m＜0，所以“m＜0”是“关于x的方程x2－2x＋m＝0有一正根一负根”的充要条件，D正确，故选B、D. 12.〔多选〕（2026·南通期中）甲、乙、丙、丁四位同学均完成了1道选项为A、B、C、D的单选题，他们的对话如下：甲：我选的A；乙：我选的B；丙：我选的C；丁：我选的不是C.已知这四位同学选的选项各不相同，且只有一位同学说了谎，则说谎的同学可能是（　　） A.甲　　　B.乙 C.丙　　　D.丁 解析：AB　若甲说了谎，则乙选B，丙选C，甲不选A，则甲选D，丁选A，合乎题意；若乙说了谎，则甲选A，丙选C，乙不选B，则乙选D，丁选B，合乎题意；若丙说了谎，则甲选A，乙选B，丙不选C，则丙选D，丁选C，不合乎题意；若丁说了谎，则丁选C，丙选C，不合乎题意.故选A、B. 13.已知命题p：∀x∈{x｜－3≤x≤2}，都有x∈{x｜a－4≤x≤a＋5}，且􀱑p是假命题，则实数a的取值范围为　[－3，1]　. 解析：因为􀱑p是假命题，所以p是真命题，即∀x∈{x｜－3≤x≤2}，x∈{x｜a－4≤x≤a＋5}成立，所以解得－3≤a≤1，所以实数a的取值范围为[－3，1]. 14.已知命题p：∀x∈{x｜1≤x≤3}，都有m≥x，命题q：∃x∈{x｜1≤x≤3}，使m≥x，若命题p为真命题，命题q的否定为假命题，求实数m的取值范围. 解：因为􀱑q为假命题，所以q为真命题， 命题p：∀x∈{x｜1≤x≤3}，都有m≥x，为真命题，则m≥xmax，即m≥3. 命题q：∃x∈{x｜1≤x≤3}，使m≥x，为真命题，则m≥xmin，即m≥1. 因为命题p，q同时为真命题，所以解得m≥3， 故实数m的取值范围是{m｜m≥3}. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $