2.3.1 全称量词命题与存在量词命题(Word讲义)-【满分思维】2026-2027学年高中数学必修第一册学生用书（苏教版）

2.3　全称量词命题与存在量词命题 2.3.1　全称量词命题与存在量词命题 【课前预习】 知识点一 1.全称　∀x 2.存在　∃x 知识点二 1.全称量词命题　2.∀x∈M,p(x)　∃x∈M,p(x) 3.一个　每一个　一个 诊断分析 (1)×　(2)√　(3)√　(4)√　(5)√　[解析] (1)负数没有平方根. (2)“三角形内角和等于180°”,即“所有的三角形内角和都等于180°”,是全称量词命题. (3)“∃x∈R,x2-3x+2<0”含有存在量词,所以是存在量词命题. (4)“有些整数只有两个正因数”有存在量词,所以是存在量词命题. (5)因为偶数2是质数,所以“至少有一个偶数是质数”是存在量词命题且是真命题. 【课中探究】 探究点一 例1　解:(1)∀x∈R,x2≥0. (2)∃x<0,ax2+2x+1=0(a<0). (3)∀x∈A,x∈B. (4)∃x∈N,∈N. 变式　解:(1)命题完整的表述应为“所有梯形的对角线相等”,故为全称量词命题. (2)命题为存在量词命题. (3)命题为全称量词命题. (4)命题的完整表述应为“所有凸多边形的外角和都等于360°”,故为全称量词命题. 探究点二 例2　解:(1)是真命题. (2)是假命题.如边长为1的正方形的对角线的长为,对角线的长度不是正有理数. (3)是真命题.存在整数15,它既是3的倍数,也是5的倍数. (4)是假命题.当x=1时,x+=2. 变式　AD　[解析] 对于A,∀x∈N*,x有算术平方根,A是真命题;对于B,取x=,则x3=()3=2是有理数,B是假命题;对于C,因为n2+n=n(n+1),且n∈Z,所以n,n+1是连续整数且其中必有一个是偶数,所以n2+n一定是偶数,不可能是奇数,C是假命题;对于D,取x=,则x2=()2=是无理数,D是真命题.故选AD. 探究点三 例3　解:(1)因为p是真命题,所以B⊆A且B≠⌀,可得解得2≤m≤3. 故m的取值范围为2≤m≤3. (2)因为q是真命题,所以A∩B≠⌀,又B≠⌀,即m+1≤2m-1,即m≥2,则m+1≥3,只需满足m+1≤5即可, 即m≤4,所以2≤m≤4,故m的取值范围为2≤m≤4. 变式　(1)0　(2)a≤　[解析] (1)当a=0时,不等式显然恒成立;当a>0时,由ax-2≤0得x≤,不符合题意;当a<0时,由ax-2≤0得x≥,不符合题意.综上,a=0. (2)∵“∃x∈R,x2+x+a=0”是真命题,∴Δ=1-4a≥0,∴a≤. 学科网（北京）股份有限公司 $ 2.3　全称量词命题与存在量词命题 2.3.1　全称量词命题与存在量词命题 【学习目标】 　　1.能结合具体命题理解全称量词与存在量词的意义. 　　2.能识别日常生活和数学中的全称量词和存在量词. ◆ 知识点一　量词 1.全称量词 “所有”“任意”“每一个”等表示全体的词在逻辑学中称为　　　　量词,通常用符号 　　　　表示“对任意x”.  2.存在量词 “存在”“有的”“有一个”等表示部分或个体的词在逻辑学中称为 　　　　量词,通常用符号　　　　表示“存在x”.  ◆ 知识点二　全称量词命题与存在量词命题 1.定义:含有全称量词的命题称为　　　　　,含有存在量词的命题称为存在量词命题.  2.表示: 全称量词命题:　　　　　　　　　;  存在量词命题:　　　　　　　　　.   其中,M为给定的集合,p(x)是一个关于x的语句. 3.真假判断: 要判定一个存在量词命题为真,只要在给定的集合中找到　　　　元素,使命题为真即可;否则命题为假.  要判定一个全称量词命题为真,必须对给定的集合中的　　　　元素,命题都为真;但要判定一个全称量词命题为假,只要在给定的集合中找到　　　　元素,使命题为假.  【诊断分析】 判断正误.(请在括号中打“√”或“×”) (1)所有实数都有平方根. (　 ) (2)“三角形内角和等于180°”是全称量词命题. (　 ) (3)“∃x∈R,x2-3x+2<0”是存在量词命题. (　 ) (4)“有些整数只有两个正因数”是存在量词命题. (　 ) (5)“至少有一个偶数是质数”是存在量词命题且是真命题.(　 ) ◆ 探究点一　全称量词命题和存在量词命题的判断 例1 将下列命题用“∀”或“∃”表示. (1)实数的平方是非负数; (2)方程ax2+2x+1=0(a<0)至少存在一个负根; (3)设A,B为两个集合,满足A⊆B; (4)有些自然数,它的算术平方根是自然数. 变式 判断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题. (1)梯形的对角线相等; (2)存在一个四边形有外接圆; (3)所有的正方形都是矩形; (4)凸多边形的外角和等于360°. [素养小结] (1)判断一个命题是否为全称量词命题,主要看命题中是否有“所有的”“任意一个”“一切”“每一个”“任给”等全称量词,有些命题的全称量词是隐藏的,要仔细辨别. (2)判断一个命题是否为存在量词命题,主要看命题中是否有“存在一个”“至少有一个”“有些”“有一个”“有的”等存在量词,有些命题的存在量词是隐藏的,要仔细辨别. ◆ 探究点二　全称量词命题和存在量词命题的 真假判断 例2 判断下列命题的真假. (1)菱形的对角线互相垂直; (2)每一条线段的长度都能用正有理数表示; (3)至少有一个整数,它既是3的倍数,也是5的倍数; (4)∀x∈{x|x>0},x+>2. 变式 (多选题)[2026·广东汕尾高一期末] 下列命题中,是真命题的是 (　 ) A.∀x∈N*,x有算术平方根 B.∀x∈∁RQ,x3是无理数 C.∃n∈Z,n2+n为奇数 D.∃x∈∁RQ,x2是无理数 [素养小结] (1)全称量词命题的真假判断 (2)存在量词命题的真假判断 ◆ 探究点三　利用全称量词命题与存在量词命题求参数的范围 例3 已知集合A={x|-2≤x≤5},非空集合B={x|m+1≤x≤2m-1}. (1)若p:∀x∈B,x∈A,且p是真命题,求m的取值范围; (2)若q:∃x∈A,x∈B,且q是真命题,求m的取值范围. 变式 (1)若命题“∀x∈R,ax-2≤0”是真命题,则实数a的值是　　　　.  (2)若命题“∃x∈R,x2+x+a=0”是真命题,则实数a的取值范围是　　　　.  [素养小结] 根据全称量词命题与存在量词命题的真假等价转化为关于集合间的关系或函数的最值问题,再转化为关于参数的不等式(组)求参数的取值范围. 学科网（北京）股份有限公司 $