第2章 2.3.2 全称量词命题与存在量词命题的否定（配套教参Word）-【步步高】2025-2026学年高一数学必修第一册学习笔记（苏教版）

本讲义聚焦高中数学“全称量词命题与存在量词命题的否定”核心知识点，通过课堂情境导语引发思考，借助问题链引导学生分析命题否定的形式变化，结合表格梳理规律，辅以例题、跟踪训练巩固，最终实现综合应用能力提升。 资料以情境化引入培养数学眼光，通过问题驱动探究发展推理意识，用结构化表格呈现规律体现数学语言精确性。课中助力教师引导学生主动思考，课后学生可通过梯度练习回顾知识，有效查漏补缺。

2.3.2　全称量词命题与存在量词命题的否定 学习目标　1.通过实例总结含有一个量词的命题与它们的否定在形式上的变化规律.2.能正确地对含有一个量词的命题进行否定. 导语 上课时,老师问：“这道题目,同学们都会做了吗？”有同学说：“同学们都会做了”,事实上也有的同学心里在说：“还有人不会做”.在这里,“同学们都会做了”即“对于每一个同学,这道题都会做了”,“还有人不会做”即“存在一些同学,这道题不会做”,你知道这两句话有怎样的关联吗？ 一、全称量词命题的否定 问题1　你能写出下列命题的否定吗？它们与原命题在形式上有什么变化？ (1)所有的矩形都是平行四边形； (2)每一个素数都是奇数； (3)∀x∈R,x+|x|≥0. 提示　上面三个命题都是全称量词命题,即具有“∀x∈M,p(x)”的形式.其中命题(1)的否定是“并非所有的矩形都是平行四边形”,也就是说,存在一个矩形不是平行四边形； 命题(2)的否定是“并非每一个素数都是奇数”,也就是说,存在一个素数不是奇数； 命题(3)的否定是“并非所有的x∈R,x+|x|≥0”,也就是说,∃x∈R,x+|x|<0. 从命题形式看,这三个全称量词命题的否定都变成了存在量词命题. 知识梳理 p ¬p 结论 全称量词命题∀x∈M,p(x) ∃x∈M,¬p(x) 全称量词命题的否定是存在量词命题 注意点： (1)含全称量词命题的否定,总结起来八个字“改变量词,否定结论”,从集合的角度来看,x的范围没有变,只是对结论进行了否定. (2)一个命题和它的否定不能同时为真,也不能同时为假,只能一真一假. 例1　写出下列命题的否定. (1)所有分数都是有理数； (2)所有被5整除的整数都是奇数； (3)∀x∈R,x2-2x+1≥0. 解　(1)该命题的否定：存在一个分数不是有理数. (2)该命题的否定：存在一个被5整除的整数不是奇数. (3)该命题的否定：∃x∈R,x2-2x+1<0. 反思感悟　全称量词命题否定的关注点 (1)全称量词命题p：∀x∈M,p(x),它的否定¬p：∃x∈M,¬p(x). (2)全称量词命题的否定是存在量词命题,对省略全称量词的全称量词命题可补上量词后进行否定. 跟踪训练1　写出下列全称量词命题的否定： (1)所有自然数的平方都是正数； (2)任何实数x都是方程5x-12=0的根； (3)对任意实数x,x2+1≥0. 解　(1)该命题的否定：有些自然数的平方不是正数. (2)该命题的否定：存在实数x不是方程5x-12=0的根. (3)该命题的否定：存在实数x,使得x2+1<0. 二、存在量词命题的否定 问题2　你能写出下列命题的否定吗？它们与原命题在形式上有什么变化？ (1)存在一个实数的绝对值是正数； (2)有些平行四边形是菱形； (3)∃x∈R,x2-2x+3=0. 提示　这三个命题都是存在量词命题,即具有“∃x∈M,p(x)”的形式.其中命题(1)的否定是“不存在一个实数,它的绝对值是正数”,也就是说,所有实数的绝对值都不是正数； 命题(2)的否定是“没有一个平行四边形是菱形”,也就是说,每一个平行四边形都不是菱形； 命题(3)的否定是“不存在x∈R,x2-2x+3=0”,也就是说,∀x∈R,x2-2x+3≠0. 从命题形式看,这三个存在量词命题的否定都变成了全称量词命题. 知识梳理 p ¬p 结论 存在量词命题∃x∈M,p(x) ∀x∈M,¬p(x) 存在量词命题的否定是全称量词命题 注意点： (1)与全称量词命题类似,含存在量词命题的否定,总结起来八个字“改变量词,否定结论”. (2)常见词语的否定形式 原词语 否定词语 原词语 否定词语 是 不是 至少有一个 一个也没有 都是 不都是 至多有一个 至少有两个 大于 不大于 至少有n个 至多有(n-1)个 小于 不小于 至多有n个 至少有(n+1)个 任意的 某个 能 不能 所有的 某些 等于 不等于 例2　写出下列存在量词命题的否定,并判断其否定的真假. (1)某些梯形的对角线互相平分； (2)存在k∈R,函数y=kx+b随x值的增大而减小； (3)∃x,y∈Z,使得x+y=3. 解　(1)该命题的否定：任意一个梯形的对角线都不互相平分.该命题的否定为真命题. (2)该命题的否定：对任意k∈R,函数y=kx+b不随x值的增大而减小.该命题的否定为假命题. (3)该命题的否定：∀x,y∈Zx+y≠3. 当x=0,y=3时x+y=3,因此该命题的否定是假命题. 反思感悟　存在量词命题的否定是全称量词命题,给出存在量词命题的否定时既要改变存在量词,又要否定结论,所以找出存在量词,明确命题的结论是对存在量词命题否定的关键. 跟踪训练2　写出下列存在量词命题的否定,并判断其否定的真假. (1)有的素数是偶数； (2)∃a,b∈R,a2+b2≤0. 解　(1)命题的否定：所有的素数都不是偶数. 由于2是素数也是偶数, 因此命题的否定为假命题. (2)命题的否定：∀a,b∈R,a2+b2>0. 由于当a=b=0时,a2+b2=0, 因此命题的否定是假命题. 三、全称量词命题与存在量词命题的综合应用 例3　命题“存在x>1,使得2x+a<3”是假命题,求实数a的取值范围. 解　命题“存在x>1,使得2x+a<3”是假命题, 所以此命题的否定“任意x>1,2x+a≥3”是真命题, 因为对任意x>1,都有2x+a>2+a, 所以2+a≥3,所以a≥1. 延伸探究　若把本例中的“假命题”改为“真命题”,求实数a的取值范围. 解　由题意知“存在x>1,使得x<”是真命题, 故有>1,所以a<1. 反思感悟　求解含有量词的命题中参数范围的策略 (1)对于全称量词命题“∀x∈M,a>y(或a<y)”为真的问题,实质就是不等式恒成立问题,通常转化为求函数y的最大值(或最小值),即a>ymax(或a<ymin). (2)对于存在量词命题“∃x∈M,a>y(或a<y)”为真的问题,实质就是不等式能成立问题,通常转化为求函数y的最小值(或最大值),即a>ymin(或a<ymax). 1.知识清单： (1)全称量词命题、存在量词命题的否定. (2)命题真假的判断. (3)全称量词命题与存在量词命题的综合应用. 2.方法归纳：转化思想. 3.常见误区：否定不唯一，命题与其否定的真假性相反. 课时对点练 [分值：100分] 单选题每小题5分,共35分；多选题每小题6分,共18分 1.命题p：“存在实数m,使方程x2+mx+1=0有实数根”,则p的否定是(　　) A.存在实数m,使方程x2+mx+1=0无实数根 B.不存在实数m,使方程x2+mx+1=0无实数根 C.对任意的实数m,方程x2+mx+1=0无实数根 D.至多有一个实数m,使方程x2+mx+1=0有实数根 答案　C 解析　命题p是存在量词命题,其否定形式为全称量词命题,即对任意的实数m,方程x2+mx+1=0无实数根. 2.已知命题p：实数的平方是非负数,则下列结论正确的是(　　) A.命题¬p是真命题 B.命题p是存在量词命题 C.命题p是全称量词命题 D.命题p既不是全称量词命题也不是存在量词命题 答案　C 解析　命题p：实数的平方是非负数,是真命题,故¬p是假命题,命题p是全称量词命题. 3.对某次考试,有命题p：所有学生都会做第1题,那么命题p的否定是(　　) A.所有学生都不会做第1题 B.存在一个学生不会做第1题 C.存在一个学生会做第1题 D.至少有一个学生会做第1题 答案　B 解析　根据全称量词命题的否定是存在量词命题,所以命题p：所有学生都会做第1题的否定是存在一个学生不会做第1题. 4.(2024·新课标全国Ⅱ)已知命题p：∀x∈R,|x+1|>1；命题q：∃x>0,x3=x,则(　　) A.p和q都是真命题 B.¬p和q都是真命题 C.p和¬q都是真命题 D.¬p和¬q都是真命题 答案　B 解析　对于命题p,取x=-1, 则有|x+1|=0<1, 故p是假命题,¬p是真命题, 对于命题q,取x=1, 则有x3=13=1=x, 故q是真命题,¬q是假命题, 综上,¬p和q都是真命题. 5.已知命题p：∃x∈{x|1<x<3},x-a≥0；若¬p是真命题,则实数a的取值范围是(　　) A.a<1 B.a>3 C.a≤3 D.a≥3 答案　D 解析　因为¬p是真命题,所以∀x∈{x|1<x<3},x-a<0为真命题,所以当1<x<3时,a>x恒成立,所以a≥3. 6.(多选)关于命题p：“∀x∈R,x2+1≠0”的叙述,正确的是(　　) A.¬p：∃x∈R,x2+1=0 B.¬p：∀x∈R,x2+1=0 C.p是真命题,¬p是假命题 D.p是假命题,¬p是真命题 答案　AC 解析　命题p：“∀x∈R,x2+1≠0”的否定是“∃x∈R,x2+1=0”.且p是真命题,¬p是假命题. 7.(5分)命题“∃x,y∈Z,使得x2>y”的否定是　　　　　　　　.  答案　∀x,y∈Z,x2≤y 解析　存在量词命题的否定是全称量词命题. 8.(5分)命题p：∀x∈[1,3],a>x-1,若命题p的否定为假命题,则实数a的取值范围是　　　　.  答案　(2,+∞) 解析　由命题p的否定为假命题可知,命题p为真命题,即∀x∈[1,3],x<a+1, 则a+1>3,故a>2. 9.(10分)写出下列命题的否定,并判断其否定的真假. (1)p：不论m取何实数,方程x2+mx-1=0必有实根；(5分) (2)p：∀x,y∈R,x2+y2+2x-4y+5=0.(5分) 解　(1)¬p：存在一个实数m, 使方程x2+mx-1=0没有实数根. ∵该方程的判别式Δ=m2+4>0恒成立, ∴¬p为假命题. (2)¬p：∃x,y∈R,x2+y2+2x-4y+5≠0. ∵x2+y2+2x-4y+5=(x+1)2+(y-2)2, 当x=0,y=0时,x2+y2+2x-4y+5≠0, ∴¬p为真命题. 10.(10分)已知命题p：∀x∈R,2x≠-x2+m,命题q：∃x∈R,x2+2x-m-1=0. (1)写出命题¬p；(3分) (2)若命题p为假命题,命题q为真命题,求实数m的取值范围.(7分) 解　(1)¬p：∃x∈R,2x=-x2+m. (2)∵命题p为假命题, ∴¬p：∃x∈R,2x=-x2+m为真命题, 即-x2-2x+m=0有实数根, ∴Δ=4+4m≥0,∴m≥-1, 又∵命题q为真命题, ∴x2+2x-m-1=0有实数根, ∴Δ=4+4(m+1)≥0,∴m≥-2, ∴m的取值范围是[-1,+∞). 11.若“∀x∈M,|x|>6”为真命题,“∃x∈M,使x<5”为假命题,则集合M可以是(　　) A.{x|x>6} B.{x|x<-6} C.{x|x<6} D.{x|x>-6} 答案　A 解析　“∀x∈M,|x|>6”为真命题,M⊆{x|x>6或x<-6}, “∃x∈M,使x<5”为假命题,∴“∀x∈M,x≥5”为真命题, M⊆{x|x≥5},∴M⊆{x|x>6}. 12.(多选)下列命题的否定是假命题的是(　　) A.等圆的面积相等,周长相等 B.∀x∈N,x2≥1 C.任意两个等边三角形都是相似的 D.3是方程x2-9=0的一个根 答案　ACD 解析　A的否定：存在一对等圆,其面积不相等或周长不相等,假命题； B的否定：∃x∈N,x2<1,真命题； C的否定：有些等边三角形不相似,假命题； D的否定：3不是方程x2-9=0的一个根,假命题. 13.(多选)下列说法错误的是(　　) A.命题“∃x∈R,x2+1>3x”的否定是“∀x∈R,x2+1<3x” B.命题“∀x,y∈R,x2+y2≥0”的否定是“∃x,y∈R,x2+y2<0” C.“a>2”是“a>5”的充分且不必要条件 D.命题“对任意x∈R,总有x2>0”是真命题 答案　ACD 解析　对于A,命题“∃x∈R,x2+1>3x”的否定是“∀x∈R,x2+1≤3x”,故A错误； 对于B,命题“∀x,y∈R,x2+y2≥0”的否定是“∃x,y∈R,x2+y2<0”,故B正确； 对于C,“a>2”是“a>5”的必要且不充分条件,故C错误； 对于D,当x=0时,x2=0,故D错误. 14.(5分)已知命题：“∃x∈{x|1≤x≤2},使x2+2x+a≥0”为真命题,则实数a的取值范围是　　　　　.  答案　a≥-8 解析　当x∈{x|1≤x≤2}时, 因为x2+2x=(x+1)2-1, 所以3≤x2+2x≤8, 由题意得a+8≥0,解得a≥-8. 15.命题“∀x∈R,∃n∈N*,使得n≥2x+1”的否定形式是(　　) A.∀x∈R,∃n∈N*,使得n<2x+1 B.∀x∈R,∀n∈N*,使得n<2x+1 C.∃x∈R,∃n∈N*,使得n<2x+1 D.∃x∈R,∀n∈N*,使得n<2x+1 答案　D 解析　由题意可知,命题“∀x∈R,∃n∈N*,使得n≥2x+1”的否定形式为“∃x∈R,∀n∈N*,使得n<2x+1”. 16.(12分)已知命题p：∀x∈{x|1≤x≤3},都有m≥x,命题q：∃x∈{x|1≤x≤3},使m≥x,若命题p为真命题,¬q为假命题,求实数m的取值范围. 解　由题意知命题p,q都是真命题. 由命题p得m≥3.由命题q得m≥1, 即解得m≥3, 故实数m的取值范围为{m|m≥3}. 学科网（北京）股份有限公司 $