1.3 交集、并集(Word讲义)-【满分思维】2026-2027学年高中数学必修第一册学生用书（苏教版）

1.3　交集、并集 【学习目标】 　　1.能结合简单的问题情境解释并集与交集的意义. 　　2.能求出两个集合的并集与交集. 　　3.体会用区间表示集合. ◆ 知识点一　集合的交集 1.交集的三种语言表示 文字语言 由所有　　　　　　　　　　的元素构成的集合,称为 A与B的交集,记作　　　　(读作“A交B”)  符号语言 A∩B={x|　　　　　　}  图形语言 2.交集的性质 (1)A∩B=　　　　.  (2)A∩B　　　　A,A∩B　　　　B.  (3)A∩(∁UA)=　　　　(U为全集).  (4)A∩B=A⇔A　　　　B.  ◆ 知识点二　集合的并集 1.并集的三种语言表示 文字语言 由所有　　　　　　　　　　　的元素构成的集合,称为 A与B的并集,记作　　　　(读作“A并B”)  符号语言 A∪B={x|　　　　　　}  图形语言 2.并集的性质 (1)A∪B=　　　　.  (2)A　　　　A∪B,B　　　　A∪B.  (3)A∪(∁UA)=　　　　(U为全集).  (4)A∪B=B⇔A　　　　B.  【诊断分析】 1.判断正误.(请在括号中打“√”或“×”) (1)集合A∪B的元素个数小于或等于集合A与集合B的元素个数和. (　 ) (2)A∪⌀=A. (　 ) (3)(A∪B)∪C=A∪(B∪C). (　 ) (4)若A⊆B,则A∪B=B. (　 ) 2.已知集合A={x|x2-1=0},B={x∈N|1≤x≤4},若将集合A与集合B的元素放在一起,则组成的新集合是什么? 3.若集合A有5个元素,集合B有4个元素,集合A∪B有6个元素,则集合A∩B有几个元素? ◆ 知识点三　集合的区间表示 为了叙述方便,在以后的学习中,我们常常会用到“区间”的概念,用区间表示集合,如下表(其中a,b∈R,且a<b): 定义 名称 符号 数轴表示 {x|a≤x≤b} 　　　  　　　  {x|a<x<b} 　　　  　　　  {x|a≤x<b} 　　　  　　　  {x|a<x≤b} 左开右闭区间 (a,b] {x|x≥a} [a,+∞) 　　　  　　　  {x|x≤b} (-∞,b] {x|x<b} (-∞,b) R 　　　  【诊断分析】 1.若(2x-3,4-3x)表示区间,求x的取值范围. 2.集合A=(-5,3],B=[-2,6),求A∩B,A∪B. ◆ 探究点一　交集及其运算 例1 (1)[2026·江苏丹阳中学高一检测] 已知集合A={x|x为不大于6的正奇数},B={x|-1<x<4},则A∩B= (　 )　　　　　 　　　　　 　　　　　 A.{1} B.{1,3} C.{3,5} D.{1,3,5} (2) 若集合A={x|-5<x<2},B={x|-3<x<3},则A∩B等于 (　 ) A.{x|-3<x<2} B.{x|-5<x<2} C.{x|-3<x<3} D.{x|-5<x<3} 变式 (1)已知集合A={x∈N|1≤x≤10},B={x∈R|x2+x-6=0},则图中阴影部分表示的集合为 (　 ) A.{2} B.{3} C.{-3,2} D.{-2,3} (2)已知集合A={(x,y)|y=x},B={(x,y)|y=5-4x},则A∩B= (　 ) A.(1,1) B.{(1,1)} C.(-1,-1) D.{(-1,-1),(1,1)} [素养小结] 求集合A∩B的常见类型: ①若A,B中的元素是方程的根,则应先求出方程的根,再求两集合的交集. ②若A,B是无限数集,则可以利用数轴来求解,但要注意利用数轴表示不等式时,含有端点的值用实心点表示,不含有端点的值用空心点表示. ◆ 探究点二　并集及其运算 例2 (1)若集合A={0,1,2,3},B={y|y=2x,x∈A},则A∪B= (　 ) A.{0,2,4,6} B.{0,2} C.{0,1,2,3,4,6} D.{0,1,2,3,0,2,4,6} (2)若集合A={x|x>-1},B={x|-2<x<2},则A∪B=　　　　.  变式 (1)集合A={x|x<-1或x≥3},B={x|2<x<6},则A∪B= (　 ) A.{x|x>2} B.{x|x<-1或x>2} C.{x|3≤x<6} D.{x|x<-1或x≥6} (2)[2026·湖南永州一中高一月考] 集合A={1,2,3},B∪A={1,2,3,4,5,6},则满足条件的集合B的个数为　　　　.  [素养小结] 并集运算应注意的问题: (1)对于用描述法表示的集合,应先看集合的代表元素是什么,然后将集合化简,再按定义求解. (2)求两个集合的并集时要注意利用集合中元素的互异性这一特性,重复的元素只能算一个. (3)对于元素个数无限的集合进行并集运算时,可借助数轴,利用数轴分析法求解,但要注意端点的值能否取到. ◆ 探究点三　根据并集与交集运算求参 例3 已知集合A={x|-1<x<3},集合B={x|2a-1≤x≤a+2}(a∈R). (1)若A∪B=A,求实数a的取值范围; (2)若A∩B≠⌀,求实数a的取值范围. 变式 (1)已知集合A={x|-2<x<5},B={x|2a-1<x<2a+6},若A∩B={x|3<x<5},则实数a= (　 ) A.1 B.2 C.3 D.4 (2)已知集合A={x|ax+1=0},B={1,2},A∩B=A,则满足条件的实数a的值的个数是 (　 ) A.0 B.1 C.2 D.3 (3)(多选题)[2026·江苏镇江高一质检] 若集合M={1,2,4,a},N={a2,1},且满足M∪N=M,则实数a的值可以为 (　 ) A.- B.2 C.-2 D.0 [素养小结] (1)在利用交集、并集的性质解题时,常常会遇到A∩B=A,A∪B=B这类问题,解答时常借助于交、并集的定义以及集合间的关系去分析,如由A∩B=A得A⊆B,由A∪B=B得A⊆B等. (2)当集合A,B满足B⊆A时,如果集合A是一个确定的集合,而集合B不确定,运算时要考虑B=⌀的情况,切不可漏掉. 拓展 某学校举办运动会,比赛项目包括田径、游泳、球类,经统计高一年级有57人参加田径比赛,有11人参加游泳比赛,有62人参加球类比赛.其中参加球类比赛的同学中有14人参加田径比赛,有4人参加游泳比赛;同时参加田径比赛和游泳比赛的有8人;同时参加三项比赛的有2人.则高一年级参加比赛的同学有　　　　人.  ◆ 探究点四　交集、并集、补集的综合运算 例4 (1)[2026·江苏镇江高一期中] 设全集U={0,1,2,3,4,5},集合M={0,1,5},N={0,2,3,5},则N∩(∁UM)= (　 ) A.{2,3} B.{1,4} C.{0,5} D.{0,2,3,4,5} (2)[2026·江苏南通海门实验学校高一月考] 已知集合A={x|3≤x<7},B={x|2<x<10},则(∁RA)∪(∁RB)=　　　　.  变式 (1)已知全集U=R,集合A={x|0<x<2},B={x|-1≤x≤1},则图中阴影部分表示的集合是 (　 ) A.{x|-1≤x<0} B.{x|-1≤x<0或1≤x<2} C.{x|1<x<2} D.{x|0<x<1} (2)[2026·江苏南京高一期末] 已知全集U={1,2,3,4,5,6},A={1,2,3,4},B={3,4,5},则{1,2}= (　 ) A.A∩(∁UB) B.A∪(∁UB) C.(∁UA)∩B D.(∁UA)∪B [素养小结] 常用结论: A∪(∁UA)=U;A∩(∁UA)=⌀;∁U(∁UA)=A;∁UU=⌀;∁U⌀=U;A⊆B⇔∁UB⊆∁UA;B⊆A⇔∁UA⊆∁UB; ∁U(A∩B)=(∁UA)∪(∁UB);∁U(A∪B)=(∁UA)∩(∁UB). ◆ 探究点五　区间及其表示 例5 (1)已知A=[-1,2),全集U=[-2,2],则∁UA是 (　 ) A.[-2,-1) B.(-∞,-1)∪[2,+∞) C.[-2,-1)或2 D.[-2,-1)∪{2} (2)已知集合A=(2,+∞),B={1,2,3,4,5},则A∩B=　　　　.  变式 (1)已知区间[-a,2a+1),则实数a的取值范围是 (　 ) A.R B. C. D. (2)已知a为实数,集合A=[1,4),B=[a,+∞),若A⊆B,则a的取值范围为 (　 ) A.(-∞,1) B.(1,+∞) C.(-∞,1] D.[1,+∞) [素养小结] 用区间表示数集的注意点 (1)区间左端点值小于右端点值. (2)区间两端点之间用“,”隔开. (3)含端点值的一端用中括号,不含端点值的一端用小括号. (4)以“-∞”“+∞”为区间的一端时,这端必须用小括号. 学科网（北京）股份有限公司 $ 1.3　交集、并集 【课前预习】 知识点一 1.属于集合A且属于集合B　A∩B　x∈A,且x∈B 2.(1)B∩A　(2)⊆　⊆　(3)⌀　(4)⊆ 知识点二 1.属于集合A或者属于集合B　A∪B　x∈A,或x∈B 2.(1)B∪A　(2)⊆　⊆　(3)U　(4)⊆ 诊断分析 1.(1)√　(2)√　(3)√　(4)√　[解析] (1)当集合A与集合B没有公共元素时,A∪B的元素个数等于集合A与集合B的元素个数和;当集合A与集合B有公共元素时,A∪B的元素个数小于集合A与集合B的元素个数和. (2)由并集的定义知等式成立. (3)由并集的定义知等式成立. (4)根据Venn图可知成立. 2.解:A={x|x2-1=0}={-1,1},B={x∈N|1≤x≤4}={1,2,3,4},所求集合即为A与B的并集,即A∪B={-1,1,2,3,4}. 3.解:设集合A∩B有x个元素,由如图所示的Venn图,可得(5-x)+x+(4-x)=6,得x=3. 知识点三 闭区间　[a,b]　开区间　(a,b)　左闭右开区间　[a,b) {x|x>a}　(a,+∞)　(-∞,+∞) 诊断分析 1.解:由区间的定义,得2x-3<4-3x,解得x<,则x的取值范围是. 2.解:画出数轴,如图所示,利用数轴,得A∩B=[-2,3],A∪B=(-5,6). 【课中探究】 探究点一 例1　(1)B　(2)A　[解析] (1)A={x|x为不大于6的正奇数}={1,3,5},B={x|-1<x<4},故A∩B={1,3}.故选B. (2)利用数轴表示出集合A,B,如图,由图可得A∩B={x|-3<x<2}.故选A. 变式　(1)A　(2)B　[解析] (1)由题知集合A={1,2,3,4,5,6,7,8,9,10},集合B={-3,2},所以题图中阴影部分表示的集合为A∩B={2}. (2)由得所以A∩B={(1,1)}.故选B. 探究点二 例2　(1)C　(2){x|x>-2}　[解析] (1)∵A={0,1,2,3},B={y|y=2x,x∈A}={0,2,4,6},∴A∪B={0,1,2,3,4,6}.故选C. (2)在数轴上表示出A,B,如图所示,故A∪B={x|x>-2}. 变式　(1)B　(2)8　[解析] (1)因为A={x|x<-1或x≥3},B={x|2<x<6},所以A∪B={x|x<-1或x>2}. (2)根据题意,满足条件的集合B中必须有4,5,6这三个元素,可能含有元素1,2,3,故满足条件的集合B的个数等价于集合{1,2,3}子集的个数,集合{1,2,3}有3个元素,有23=8(个)子集,故满足条件的集合B有8个. 探究点三 例3　解:(1)对于集合B,若2a-1>a+2,即a>3,则B=⌀, 满足A∪B=A;若2a-1≤a+2,即a≤3,则B≠⌀, 要使A∪B=A,则解得0<a<1. 综上所述,a的取值范围是(0,1)∪(3,+∞). (2)由(1)可知,当a>3时,B=⌀,A∩B=⌀,不符合题意. 当a≤3时,B≠⌀,若A∩B=⌀,则a+2≤-1或2a-1≥3,解得a≤-3或2≤a≤3,所以要使A∩B≠⌀,则-3<a<2.综上所述,a的取值范围是(-3,2). 变式　(1)B　(2)D　(3)ACD　[解析] (1)∵A={x|-2<x<5},B={x|2a-1<x<2a+6},且A∩B={x|3<x<5},∴解得a=2. (2)由A∩B=A可知A⊆B,当a=0时,A=⌀,满足条件;当a≠0时,A=,则-=1或-=2,所以a=-1或a=-.综上,满足条件的实数a的值为0或-或-1,共3个.故选D. (3)由M∪N=M,得N⊆M,所以a2=2或4或a.当a2=2时,解得a=±,所以M={1,2,4,-},N={2,1}或M={1,2,4,},N={2,1},满足题意;当a2=4时,解得a=±2,当a=2时,不满足集合中元素的互异性,故舍去,当a=-2时,M={1,2,4,-2},N={4,1},满足题意;当a2=a时,解得a=0或1,当a=1时,不满足集合中元素的互异性,故舍去,当a=0时,M={1,2,4,0},N={0,1},满足题意.因此,实数a的值可以为,-,-2,0.故选ACD. 拓展　106　[解析] 作出Venn图如图,可得高一年级参加比赛的同学有11+62+57-4-8-14+2=106(人). 探究点四 例4　(1)A　(2){x|x<3或x≥7}　[解析] (1)由题可知,∁UM={2,3,4},所以N∩(∁UM)={2,3}.故选A. (2)由题可得∁RA={x|x<3或x≥7},∁RB={x|x≤2或x≥10},故(∁RA)∪(∁RB)={x|x<3或x≥7}. 变式　(1)C　(2)A　[解析] (1)因为全集U=R,集合A={x|0<x<2},B={x|-1≤x≤1},所以∁UB={x|x<-1或x>1},所以题图中阴影部分表示的集合为A∩(∁UB)={x|1<x<2}.故选C. (2)因为A={1,2,3,4},B={3,4,5},U={1,2,3,4,5,6},所以∁UA={5,6},∁UB={1,2,6},则A∩(∁UB)={1,2},A∪(∁UB)={1,2,3,4,6},(∁UA)∩B={5},(∁UA)∪B={3,4,5,6}.故选A. 探究点五 例5　(1)D　(2){3,4,5}　[解析] (1)因为A=[-1,2),全集U=[-2,2],所以∁UA=[-2,-1)∪{2}.故选D. (2)集合A=(2,+∞),B={1,2,3,4,5},则A∩B={3,4,5}. 变式　(1)C　(2)C　[解析] (1)由2a+1>-a,得3a>-1,即a>-.故选C. (2)因为集合A=[1,4),B=[a,+∞),A⊆B,所以a≤1.故选C. 学科网（北京）股份有限公司 $