第一章集合单元复习讲义（基础篇）-2026-2027学年高一上学期数学苏教版必修第一册

2026-2027学年高一数学秋季班同步培优讲义 第一章集合单元复习（基础篇） 考点一、集合的概念与表示 题型01 判断元素与集合的关系 1.给出下列关系：①；②；③；④；⑤.其中正确的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 2.（多选）已知集合，则（　　） A． B． C．存在，使得 D．存在，使得 3.设集合，并定义集合，集合，那么满足但的元素的个数为________． 4.下面有四个结论:①集合中最小数为1；②若，则；③若，，则的最小值为2；④所有的正数组成一个集合.其中正确结论的个数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 题型02 根据元素与集合的关系求参数 5.已知集合，且，则（    ） A． B．或 C．3 D． 6.已知，则实数的取值集合为 . 题型03 集合中元素的个数问题 7.由英文单词“book”中的字母构成的集合中元素的个数为（ ） A．3 B．6 C．8 D．16 8.若集合中只有一个元素，则实数（    ） A．1 B．0 C．2 D．0或1 9.已知集合． (1)若A是空集，求的取值范围； (2)若A中只有一个元素，求的值，并求集合A； (3)若A中至少有一个元素，求的取值范围． 10.已知集合． (1)若，求的值； (2)若中只有一个元素，求的取值范围； (3)若中至多有一个元素，求的取值范围． 题型04 集合的表示方法 11. 方程组的解集可以表示为（    ） A． B． C． D． 12. 用列举法表示集合__________． 13.用列举法可以将集合使方程有唯一实数解表示为（ ） A． B． C． D．或 14.用描述法表示图中阴影部分（包括边界）为 15.用适当的方法表示下列集合： （1）由三个数字中的两个数字（没有重复数字）所组成的自然数的集合______； （2）______； （3）方程的解集______； （4）平面直角坐标系中第一、三象限的全体点的坐标构成的集合______． 考点二、集合间的关系 题型05 集合的子集（真子集）问题 16.设集合，则的子集个数有（    ） A．16 B．64 C．128 D．212 17.集合的子集个数为（   ） A．3 B．4 C．6 D．8 18.已知集合，则的子集个数为（   ） A．8 B．16 C．32 D．64 19. 满足 的所有集合的个数是（ ） A. B. C. D. 题型06 判断集合之间的关系 20.集合，集合，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D．集合间没有包含关系 21. 下列各式中关系符号运用正确的是（    ） A． B． C． D． 22. 下面五个式子中：①；②；③；④；⑤，正确的有（    ） A．②③④ B．②③④⑤ C．②④⑤ D．①⑤ 23.集合，，的关系是（    ） A． B． C． D． 题型07 根据集合间的关系求参数 24.已知集合，，若，则（    ） A． B．0 C．1 D．2 25.已知集合，则实数的取值集合为                   . 26.已知集合，，若，则所有的取值构成的集合为（    ） A． B． C． D． 27.已知集合，，若，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 28.已知集合，，若为的真子集，则m的取值范围是（ ） A． B． C． D． 29.已知集合. (1)若，求； (2)若，求的取值集合. 考点三、集合的交并补运算 题型08 交并补的运算 30.已知集合则= ． 31.已知集合，集合，则 （    ） A． B． C． D． 32.已知全集为实数集，集合，则（   ） A． B．或 C．或 D． 33.已知全集，，则（    ） A． B． C． D． 34.已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 题型09 交并补的混合运算 35. 已知集合，，，，则（） A. B. C.， D.， 36. 若全集，设集合，．则（   ） A． B． C． D． 37. 已知全集，那么是（    ） A． B． C． D． 38. 已知全集，那么是（    ） A． B． C． D． 39.已知集合， (1)求；． (2)若全集，求及． 40.已知集合，，． (1)求，； (2)求，． 题型10 交并补的混合运算求参数 41.设集合，，若，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 42.已知集合，，若，则的取值构成的集合为（    ） A． B． C． D． 43. 已知集合，，且，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 44. 已知集合，集合. (1)若集合B为单元素集合，求实数a的值； (2)若AB=A，求实数a的取值范围. 45.已知集合，集合. (1)当时，求； (2)若，求的取值范围． 46.已知集合，集合． (1)若，求； (2)若，求的值． 47.已知集合或． (1)当时，求； (2)若，求的取值范围． 题型11 Venn图表达集合的关系和运算 48.已知全集，集合，，给出下列4种方式表示图中阴影部分：①②③④，正确的有几个？（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 49.已知全集，集合，则如图所示的阴影部分表示的集合为（   ） A． B． C． D． 50.已知全集，，，则图中阴影部分表示的集合是（   ） A． B． C． D． 51.设全集为，已知集合或，. (1)若，求和及图中阴影部分表示的集合C； (2)若，求实数m的取值范围． 考点四、综合提升 题型12 容斥原理及其应用 52.高一（1）班45名同学中有10人参加了物理兴趣小组，14人参加了化学兴趣小组.已知都未参加的有25人，则同时参加的人数为（    ） A．2 B．4 C．1 D．3 53. 培养学生科学素养，某校开设了编程和创客两个社团，要求每位高一学生至少参加其中一个社团.若高一某班有25名学生参加编程社团，有35名学生参加创客社团，两个社团都参加的有15名学生，则该班学生总数为（   ） A．40 B．45 C．50 D．55 54.湘钢一中举行运动会时，高一某班共有28名学生参加比赛，有15人参加田赛，有8人参加径赛，有14人参加球赛，同时参加田赛和径赛的有3人，同时参加田赛和球赛的有3人，没有人同时参加三项比赛，同时参加径赛与球赛的人数为（    ） A．3 B．9 C．19 D．14 题型13 集合新定义 55.已知非空数集满足：①若，则；②若，则.下列说法正确的有（    ） A． B． C．若，则 D．若，则 56.设是实数集的一个非空子集，如果对于任意的（与可以相等，也可以不相等），且，则称是“和谐集”.则下列四个命题中为真命题个数为（   ） ①存在一个集合，它既是“和谐集”，又是有限集； ②集合是“和谐集”； ③若，都是“和谐集”，则； ④对任意两个不同的“和谐集”，，总有. A．1 B．2 C．3 D．4 57.对于集合，，我们把属于集合但不属于集合的元素组成的集合叫做集合与的“差集”，记作，即；把集合与中所有不属于的元素组成的集合叫做集合与的“对称差集”，记作，即．下列四个选项中，错误的是（   ） A．若，则 B．若，则 C． D． 58. 已知有限集，如果中的元素满足，就称为“完美集”. (1)判断：集合，，是否是“完美集”并说明理由； (2)、是两个不同的正数，且是“完美集”，求的取值范围. (3)若为正整数，求：“完美集”. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年高一数学秋季班同步培优讲义 第一章集合单元复习（基础篇） 考点一、集合的概念与表示 题型01 判断元素与集合的关系 1.给出下列关系：①；②；③；④；⑤.其中正确的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【解题思路】利用常用数集的范围和元素与集合的关系即可判断. 【解答过程】因为，，，分别表示正整数集，整数集，有理数集，实数集； 是正整数，即，故①错误；是整数，即，故②错误； 是无理数，故③错误；是实数，故④正确；是有理数，故⑤正确. 故选：B. 2.（多选）已知集合，则（　　） A． B． C．存在，使得 D．存在，使得 【答案】BD 【分析】利用集合的描述法及元素与集合的关系分析验证即可得出答案. 【详解】因为，所以是偶数，是奇数，所以集合中的元素都是奇数， 即代入……可得. 对于A，由上分析可知错误； 选项B，由上分析可知正确； 对于C，因为，所以可以推出都是奇数，而是偶数，所以不可能在集合中； 对于D，因为，所以可以推出都是奇数，而是奇数，所以可能在集合中， 例如. 故选：BD 3.设集合，并定义集合，集合，那么满足但的元素的个数为________． 【答案】 【分析】由题意可求出， 【详解】由题可得，解得，则， 由，设，则，所以，又因为，，所以， 因为共个相同元素， 所以满足但的元素的个数为个. 故答案为：. 4.下面有四个结论:①集合中最小数为1；②若，则；③若，，则的最小值为2；④所有的正数组成一个集合.其中正确结论的个数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【解析】①集合中最小数为，故①错误； ②取，则，故②错误； ③若，，则的最小值为2，错误，当时，，故③错误； ④所有的正数组成一个集合，故④正确； 故选：B. 题型02 根据元素与集合的关系求参数 5.已知集合，且，则（    ） A． B．或 C．3 D． 【答案】D 【解题思路】根据元素与集合的关系及元素的互异性求解即可. 【解答过程】由题意， 是集合 的元素，则 或 ，解得 或 . 根据集合元素的互异性检验：当 时， 且 ，集合 中出现重复元素，故舍去； 当 时，，，集合 ，符合题意. 综上，. 故选：. 6.已知，则实数的取值集合为 . 【答案】 【分析】根据3是集合的元素进行分类讨论，注意验证集合的元素是否互异可得. 【详解】由，所以 ①当时，得，解得或， 但时，，集合里的元素出现重复，故舍去，所以. ②当时，得，解得或， 但时，，集合里的元素出现重复，故舍去，所以. 综上可知，实数的取值集合为， 故答案为： 题型03 集合中元素的个数问题 7.由英文单词“book”中的字母构成的集合中元素的个数为（ ） A．3 B．6 C．8 D．16 【答案】A 【解析】3个不同的元素 8.若集合中只有一个元素，则实数（    ） A．1 B．0 C．2 D．0或1 【答案】D 【解析】当时，由可得，满足题意； 当时，由只有一个根需满足， 解得. 综上，实数的取值为0或1. 故选：D 9.已知集合． (1)若A是空集，求的取值范围； (2)若A中只有一个元素，求的值，并求集合A； (3)若A中至少有一个元素，求的取值范围． 【解析】（1） 是空集， 且， ，解得， 所以的取值范围为：； （2）：①当时，集合， ②当时，， ，解得，此时集合， 综上所述，当时，集合，当时，集合； （3）中至少有一个元素，则当中只有一个元素时，或； 当中有2个元素时，则且，即，解得且； 综上可得，时中至少有一个元素，即. 10.已知集合． (1)若，求的值； (2)若中只有一个元素，求的取值范围； (3)若中至多有一个元素，求的取值范围． 【答案】(1) (2)或时， (3)或 【解题思路】（1）将代入方程中即可求解， （2）（3）将问题转化为：关于的方程解的问题，分类讨论二次项系数的值，结合二次方程根与判别式的关系，即可得到答案． 【解答过程】（1）由于，所以是的实数根，故，故 （2）当时，原方程变为，此时，符合题意； 当时，方程为一元二次方程，，即时，原方程的解为，符合题意． 故当或时，原方程只有一个解，此时只有一个元素． （3）若中最多有一个元素，则中可能无任何元素，或者只有一个元素， 由（1）知当时只有一个元素， 当时，方程为一元二次方程，，即时，为空集； ，即时，方程有两个相等的根，中有一个元素． 中最多有一个元素，或. 题型04 集合的表示方法 11. 方程组的解集可以表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由得，所以方程组的解集可以表示为， 故选：C 12. 用列举法表示集合__________． 【答案】 【分析】对整数取值，并使为正整数，这样即可找到所有满足条件的值，从而用列举法表示出集合． 【详解】因为且 所以可以取，2，3，4. 所以 故答案为： 【点睛】考查描述法、列举法表示集合的定义，清楚表示整数集，属于基础题. 13.用列举法可以将集合使方程有唯一实数解表示为（ ） A． B． C． D．或 【答案】C 【解析】由题意可知集合的元素表示能使方程有唯一实数解的的值， 当时， ，解得，成立；当时，方程有唯一实数解，则，解得：，. 14.用描述法表示图中阴影部分（包括边界）为 【答案】且； 【分析】根据描述法的定义求解． 【详解】用描述法表示图中阴影部分（包括边界）为：且． 故答案为：且； 15.用适当的方法表示下列集合： （1）由三个数字中的两个数字（没有重复数字）所组成的自然数的集合______； （2）______； （3）方程的解集______； （4）平面直角坐标系中第一、三象限的全体点的坐标构成的集合______． 【答案】 【详解】（1）由三个数字中的两个数字（没有重复数字）组成的自然数有，用列举法可表示为． （2）因为，所以，又因为，所以， 又因为，所以，所以原集合用列举法可表示为． （3）由，得所以， 所以方程的所有解组成的集合用描述法可表示为． （4）设平面直角坐标系中第一、三象限的点为，则， 所以平面直角坐标系中第一、三象限的全体点的坐标构成的集合可表示为 考点二、集合间的关系 题型05 集合的子集（真子集）问题 16.设集合，则的子集个数有（    ） A．16 B．64 C．128 D．212 【答案】C 【解题思路】根据题意，求得集合，结合子集的个数的计算方法，即可求解. 【解答过程】由集合， 所以集合的子集个数有． 故选：C． 17.集合的子集个数为（   ） A．3 B．4 C．6 D．8 【答案】D 【详解】解：由题意得，其元素个数为3，子集个数为． 18.已知集合，则的子集个数为（   ） A．8 B．16 C．32 D．64 【答案】B 【解题思路】先根据题意求出集合，然后利用公式可求出其子集的个数. 【解答过程】因为，， 所以当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 所以， 所以集合的子集个数为. 故选：B. 19. 满足 的所有集合的个数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【分析】先确定，再由题意可得，其中集合为集合的子集，从而可得结果. 【详解】由，得. 设集合为集合的子集，则集合可能为：，共种. 由题意，集合，所以集合共有个， 分别为：． 题型06 判断集合之间的关系 20.集合，集合，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D．集合间没有包含关系 【答案】D 【解析】由集合表示函数图象上所有的点的集合， 又由结合表示轴上方所有点的集合， 因为，但，所以集合与之间没有包含关系. 故选：D. 21. 下列各式中关系符号运用正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】解:因为是集合,是数字,所以选项A错误; 因为是集合,所以,故选项B错误; 因为1是中的元素,所以选项C正确; 因为,所以选项D错误. 故选：C 22. 下面五个式子中：①；②；③；④；⑤，正确的有（    ） A．②③④ B．②③④⑤ C．②④⑤ D．①⑤ 【答案】C 【解析】①中，是集合中的一个元素，，所以①错误； ②中，空集是任一集合的子集，所以②正确； ③中，是的子集，，所以③错误； ④中，任何集合是其本身的子集，所以④正确； ⑤中，是的元素，所以⑤正确. 故选：C. 23.集合，，的关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据结合的包含的定义和集合相等的定义判断的关系可得结论. 【详解】任取，则，， 所以，所以， 任取，则，， 所以，所以， 所以， 任取，则，， 所以，所以， 又，， 所以， 所以， 故选：C. 题型07 根据集合间的关系求参数 24.已知集合，，若，则（    ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】A 【解题思路】由集合相等可得元素完全相等，得到或，又由元素的互异性即可求得结果. 【解答过程】由题意可知，两集合元素全部相等，得到或， 又根据集合互异性，可知，解得舍去， 所以解得，所以， 故选：A. 25.已知集合，则实数的取值集合为                   . 【答案】 【解析】由,得； 因为集合中元素互异,所以且. 由,得或或. 时,,与矛盾； 时,,与矛盾； 时,解得或或, 结合且,得. 故实数的取值集合为. 26.已知集合，，若，则所有的取值构成的集合为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】至多一个解，当时，无解，故， 当时，，解得， 当时，， 故所有的取值构成的集合为. 27.已知集合，，若，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】当时，，符合； 当时，，，又， ， 综上，． 28.已知集合，，若为的真子集，则m的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】分集合是否是空集进行讨论即可求解. 【解答过程】当时，满足为的真子集，此时，解得. 当时，则或，解得. 综上，，即m的取值范围是 . 故选：C. 29.已知集合. (1)若，求； (2)若，求的取值集合. 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）根据两个集合相等得出一元二次方程有两个实数根代入联立方程组解出检验即可； （2）由，分与讨论分析即可. 【解答过程】（1）若，则和是方程的两个实数根， 所以， 解得，代入中得：， 解得：或，满足， 所以. （2）当时，，满足， 当且时，或， 当时，，                         当时，，                          故的取值构成的集合为. 考点三、集合的交并补运算 题型08 交并补的运算 30.已知集合则= ． 【答案】 【解析】由题意可得，解方程可得，故． 故答案为： 31.已知集合，集合，则 （    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先求解出每个集合，再利用并集的定义求解即可. 【详解】令，解得， 令，解得，即，故D正确. 故选：D 32.已知全集为实数集，集合，则（   ） A． B．或 C．或 D． 【答案】B 【分析】根据集合的补集运算即可求解. 【详解】由，所以或. 故选：B. 33.已知全集，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】根据条件，利用集合的运算，即可求解. 【解答过程】因为全集，集合， 所以 ， 故选：B. 34.已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】求出集合，再利用补集的定义求解. 【详解】依题意，，所以. 故选：D 题型09 交并补的混合运算 35. 已知集合，，，，则（） A. B. C.， D.， 【答案】A 【解析】由题意可得：，则. 故选：A. 36. 若全集，设集合，．则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】根据补集和交集的定义可求得集合. 【解答过程】因为全集，，， 则，故. 故选：A. 37. 已知全集，那么是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】由集合的运算逐项判断可得. 【解答过程】 对于A，，故A错误； 对于B，，故B错误； 对于C，，故C错误； 对于D，，故D正确. 故选：D. 38. 已知全集，那么是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】由集合的运算逐项判断可得. 【解答过程】 对于A，，故A错误； 对于B，，故B错误； 对于C，，故C错误； 对于D，，故D正确. 故选：D. 39.已知集合， (1)求；． (2)若全集，求及． 【答案】(1)， (2)， 【解题思路】（1）直接根据集合的交集、并集运算求解即可； （2）根据集合的交集、并集、补集运算求解即可. 【解答过程】（1）因为集合 所以， ； （2）全集，， 所以或， 或， 或， 或或或. 40.已知集合，，． (1)求，； (2)求，． 【答案】(1) (2) 【分析】分别求出集合，，利用集合交、并、补的运算求解即可. 【详解】（1）由题意得，，， ， 所以， ． （2）由题意得，，， 所以， =． 题型10 交并补的混合运算求参数 41.设集合，，若，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】根据交集的计算结果可得集合间的关系，即可得解. 【解答过程】由知， 又，，所以， 故选：B. 42.已知集合，，若，则的取值构成的集合为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】先由题设得到，接着分和求出B，结合分析求解即可. 【解答过程】因为，所以， 当时，，满足； 当时，，则或，解得或， 综上所述，a的所有取值构成的集合为. 故选：D. 43. 已知集合，，且，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】由并集的定义可知得到，讨论集合是否为空集，得到对应的参数的范围，再求并集得到结果. 【解答过程】因为，所以. 若，则，即； 若，则解得. 综上所述，的取值范围是. 故选：B. 44. 已知集合，集合. (1)若集合B为单元素集合，求实数a的值； (2)若AB=A，求实数a的取值范围. 【答案】(1)-3(2) 【详解】（1）仅有一个元素， ， （2），， 当时，，符合题意； 当有一个元素时，，符合题意； 当时，无解. ∴综上，. 45.已知集合，集合. (1)当时，求； (2)若，求的取值范围． 【答案】解：(1)当时,,故. 由,得. 由,得. (2)由,得. 若,则,得. 若,则,解得. 综上,. 46.已知集合，集合． (1)若，求； (2)若，求的值． 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）当时，求得集合，结合集合并集的定义与运算，即可求解； （2）由，得到，分类讨论，列出方程组，即可求解. 【解答过程】（1）解：当时，集合， 因为，所以. （2）解：由集合，， 因为，可得， 当时，解得；当时，此时方程组无解， 综上可得，实数的值为. 47.已知集合或． (1)当时，求； (2)若，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）根据集合的补集、交集运算即可； （2）根据交集补集运算可得，分类讨论，，列不等式得的取值范围即可. 【解答过程】（1）当时，，因为或， 所以， 故； （2）由（1）知， 若，则， 当时，则，解得，满足题意； 当时，由题意可得，解得． 综上所述，，即a的取值范围为． 题型11 Venn图表达集合的关系和运算 48.已知全集，集合，，给出下列4种方式表示图中阴影部分：①②③④，正确的有几个？（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【解题思路】根据阴影部分对应的集合分别判断①②③④即可. 【解答过程】由图可知阴影部分所表示的集合为，，故②③正确； 因为，， 所以，故①正确； ，故④错误. 所以正确的有3个. 故选：C. 49.已知全集，集合，则如图所示的阴影部分表示的集合为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】根据题意，求得和，结合补集的运算，即可求得阴影部分表示的集合. 【解答过程】由全集，集合， 可得，所以阴影部分表示的集合为. 故选：C. 50.已知全集，，，则图中阴影部分表示的集合是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】根据交集、并集、补集的概念求出. 【解答过程】，则， 又，则图中阴影部分表示的集合是. 故选：D. 51.设全集为，已知集合或，. (1)若，求和及图中阴影部分表示的集合C； (2)若，求实数m的取值范围． 【答案】(1)或； (2)或 【解题思路】（1）根据题意可得集合，结合集合间的运算求解即可； （2）分和两种情况讨论，结合交集运算列式求解即可. 【解答过程】（1）若，则集合， 且集合或，所以集合或； 又因为全集为，则集合， 所以图中阴影部分表示的集合. （2）因为集合或，，且， 若，则，解得，符合题意； 若，则，解得； 综上所述：实数m的取值范围为或. 考点四、综合提升 题型12 容斥原理及其应用 52.高一（1）班45名同学中有10人参加了物理兴趣小组，14人参加了化学兴趣小组.已知都未参加的有25人，则同时参加的人数为（    ） A．2 B．4 C．1 D．3 【答案】B 【解题思路】根据容斥原理求解. 【解答过程】设同时参加的人数有人， 则由容斥原理可得：， 解得， 故选：B. 53. 培养学生科学素养，某校开设了编程和创客两个社团，要求每位高一学生至少参加其中一个社团.若高一某班有25名学生参加编程社团，有35名学生参加创客社团，两个社团都参加的有15名学生，则该班学生总数为（   ） A．40 B．45 C．50 D．55 【答案】B 【详解】25-15=10（人），因此仅参加编程社团的有10人，同理可得仅参加创客社团的有20人，因此仅参加一个社团的学生数为10+20=30（人）. 又因为每个学生至少参加了一个社团，因此只需将仅参加一个社团的学生数加上参加两个社团的学生数，即为该班学生总数. 因此该班学生总数为30+15=45（人）. 故选：B. 54.湘钢一中举行运动会时，高一某班共有28名学生参加比赛，有15人参加田赛，有8人参加径赛，有14人参加球赛，同时参加田赛和径赛的有3人，同时参加田赛和球赛的有3人，没有人同时参加三项比赛，同时参加径赛与球赛的人数为（    ） A．3 B．9 C．19 D．14 【答案】A 【分析】利用韦恩图来求解即可. 【详解】设只参加径赛的人数为，同时参加径赛和球赛的人数为，只参加球赛的人数为，则由韦恩图得： ，解得，所以同时参加径赛与球赛的人数为3人， 故选：A． 题型13 集合新定义 55.已知非空数集满足：①若，则；②若，则.下列说法正确的有（    ） A． B． C．若，则 D．若，则 【答案】BC 【详解】若，则无意义，与是一个非空数集矛盾，A错误； 若，则无意义，与是一个非空数集矛盾，故，B正确； 若，则，即，C正确； 根据题目可知若，则，， 代入条件①，则有，， 代入条件②，则有，， 可知. 故若，则，由条件无法确定，D错误. 56.设是实数集的一个非空子集，如果对于任意的（与可以相等，也可以不相等），且，则称是“和谐集”.则下列四个命题中为真命题个数为（   ） ①存在一个集合，它既是“和谐集”，又是有限集； ②集合是“和谐集”； ③若，都是“和谐集”，则； ④对任意两个不同的“和谐集”，，总有. A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【解题思路】利用和谐集的定义，判断集合中必有元素0，从而可判断①，利用和谐集的定义，可证明②，利用举例可证明③④. 【解答过程】对于①，存在，满足有限集，也满足和谐集，故①正确； 对于②，当时， 对于， 总有 所以且，即满足“和谐集”，故②正确； 对于③，若都是“和谐集”， 则当时，由可知，“和谐集”中必有元素0，即，故③正确； 对于④，存在“和谐集”，此时，故④错误； 故选：C. 57.对于集合，，我们把属于集合但不属于集合的元素组成的集合叫做集合与的“差集”，记作，即；把集合与中所有不属于的元素组成的集合叫做集合与的“对称差集”，记作，即．下列四个选项中，错误的是（   ） A．若，则 B．若，则 C． D． 【答案】B 【分析】利用“差集”， “对称差集”的定义和子集的定义，交集和并集的运算求解. 【详解】若，则，A正确； 当时，，B错误； ，C正确； ， ，， ， 故，D正确. 58. 已知有限集，如果中的元素满足，就称为“完美集”. (1)判断：集合，，是否是“完美集”并说明理由； (2)、是两个不同的正数，且是“完美集”，求的取值范围. (3)若为正整数，求：“完美集”. 【答案】(1)不是“完美集”， 是“完美集”； (2)； (3)“完美集” ． 【解题思路】（1）根据“完美集”的定义验证； （2）由新定义结合一元二次方程的判别式得出，然后变形为的函数形式，得其范围； （3）在中设，然后由和分类讨论可得． 【解答过程】（1）（1）因为，不是“完美集”， 又，所以是“完美集”； （2）是“完美集”，则，，又，所以，同理， 设，则是方程的两不等实根， 所以，解得或，又，所以， ， 因为，所以 ； 即的取值范围是； （3）若，则，由（2）的解析知，且， 当时，与互质，，而，所以，此时，不合题意； 若，，，不妨设，都是正整数， 则，，， 由得，则， 所以，，所以，，则， 所以； 若，，不妨设，且都是正整数， 则， 由知，(i)， 时，， 即，所以，(ii)，而， (i)式与(ii)式矛盾，所以时不存在“完美集”， 综上，“完美集” ． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $