1.3 交集、并集（讲义，知识点&7大题型&刷好题）高一数学苏教版必修第一册

本讲义聚焦高中数学集合中的交集、并集核心知识点，系统梳理概念（定义、性质、图形语言）、运算（符号、Venn图、数轴表示）及区间与集合的关系，结合容斥原理构建从基础到应用的学习支架。 资料通过分层练习（随学随练、题型分类）和直观教学（Venn图、数轴）培养学生几何直观（数学眼光）与推理能力（数学思维），容斥原理解决社团参与等实际问题提升应用意识，课中辅助教学，课后助力查漏补缺。

第1章 集合 1.3交集、并集 课标要点 1.理解并集、交集的概念. 2.会用符号、Venn图和数轴表示并集、交集. 3.会求简单集合的并集和交集． 4. 理解掌握区间与集合的关系，并能应用它们解决一些简单的问题． 学习重难点 重点：理解并集、交集的概念 难点：会进行并集、交集的运算 知识点 交集（重点） 一般地，由既属于集合又属于集合的所有元素组成的集合即由集合和集合的相同元素组成的集合，称为集合与集合的交集，记作（读作：交）.记作：. 交集的性质：,,,,. 图形语言 特别提醒 1）仍是一个集合,由所有属于集合且属于集合的元素组成 2）对于“”,包含以下两层意思:①中的任一元素都是与的公共元素;②与的公共元素都属于,这就是文字定义中“所有”二字的含义,如,,则,而不是或或 3）并不是任意两个集合总有公共元素,当集合与集合没有公共元素时,不能说集合与集合没有交集,而是 4）当时,和同时成立 教材延伸 . 随学随练 1．（26-27高三上·云南昭通·阶段检测）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 2．（26-27高三上·黑龙江牡丹江·阶段检测）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 3．（26-27高三上·广东深圳·开学考试）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 知识点 并集（重点） 一般地，由所有属于集合或属于集合的元素组成的集合称为集合与集合的并集，记作 （读作：并）.记作：. 并集的性质：,,,, 图形语言 特别提醒 1）仍是一个集合,由所有属于集合或属于集合的元素组成 2）并集符号语言中的“或”与生活中的“或”字含义有所不同.生活中的“或”是只取其一,并不兼存;而并集中的“或”连接的并列成分之间不一定是互斥的,“或”包括下列三种情况:①,且;②,且;③,且.可用下图所示形象地表示 教材延伸 随学随练 1．（26-27高三上·云南玉溪·阶段检测）已知集合，则（   ） A． B． C． D． 2．（2026·陕西西安·模拟预测）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 3．（2026·河北秦皇岛·二模）已知集合 ， ，则（    ） A． B． C． D． 知识点 区间 （1）区间的概念及记法 设a，b是两个实数，而且，我们规定： 定义 名称 符号 数轴表示 闭区间    开区间    半闭半开区间    半开半闭区间    半开半闭区间    开区间    半开半闭区间    开区间    （2）无穷大 实数集R可以用区间表示为，“”读作“无穷大”，“”读作“负无穷大”，“”读作“正无穷大”． 随学随练 1．（25-26高一上·山东济南·期中）区间对应的不等式是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26高一上·上海·阶段检测）将集合表示成区间形式为________． 3．（25-26高一上·内蒙古呼和浩特·阶段检测）集合或用区间表示为___________ 拓展 容斥原理 一般地，对任意两个有限集, 进一步的： 活学活用 1．（24-25高一上·贵州贵阳·阶段检测）某校“五一田径运动会”上，共有12名同学参加100米、400米、1500米三个项目，其中有8人参加“100米比赛”，有7人参加“400米比赛”，有5人参加“1500米比赛”，“100米和400米”都参加的有4人，“100米和1500米”都参加的有3人，“400米和1500米”都参加的有3人，则下列说法错误的是（    ） A．三项比赛都参加的有2人 B．只参加100米比赛的有3人 C．只参加400米比赛的有3人 D．只参加1500米比赛的有1人 2．（25-26高一下·河北保定·期中）某校高一（4）班学生共47人，寒假参加体育训练，其中参加足球队的有25人，参加排球队的有22人，参加游泳队的有24人，足球、排球都参加的有12人，足球、游泳都参加的有9人，排球、游泳都参加的有8人，三项都参加的有__________人． 题型交集的概念及运算 解题贴士 在求与不等式有关的集合的交集运算中，应重点考虑数轴分析法，直观清晰 ▌例1 （26-27高三上·北京·开学考试）已知集合，，则（     ） A． B．2 C． D． ▌例2 （25-26高一上·上海·阶段检测）已知，，则（    ） A． B． C． D． ▌对点练1-1．（26-27高三上·北京·开学考试）如果集合，，那么（    ） A． B． C． D． ▌对点练1-2．（2026高三·全国·专题练习）设集合，，则（   ） A． B． C． D． 题型 根据交集的运算结果求集合或参数（重点） 解题贴士 （1）； （2）在求与不等式有关的集合的交集运算中，应重点考虑数轴分析法，直观清晰 （3）注意重点验证端点处是否能取到“=” ▌例1（25-26高二下·河北石家庄·阶段检测）设，，若，则实数的值可以为_____． ▌例2（25-26高一下·广西百色·开学考试）设集合，集合 (1)若，求和； (2)若，求实数a的取值范围． ▌对点练2-1（24-25高一上·贵州贵阳·阶段检测）集合，集合，若，则实数m的取值范围是______． ▌对点练2-2（24-25高一上·福建宁德·阶段检测）已知集合， (1)当时，求； (2)若，求实数的取值范围． ▌对点练2-3已知集合，或.若，求实数的取值范围. 题型 并集的概念及运算 解题贴士 在求与不等式有关的集合的交集运算中，应重点考虑数轴分析法，直观清晰 ▌例1（25-26高二下·黑龙江绥化·期末）已知集合，，则（ ） A． B． C． D． ▌例2（25-26高一下·甘肃金昌·期末）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． ▌对点练3-1（25-26高二下·湖南益阳·期末）已知集合，，则（   ） A． B． C． D． ▌对点练3-2（25-26高二下·黑龙江哈尔滨·期末）已知集合，，则（     ） A． B． C． D． ▌对点练3-3（25-26高二下·吉林松原·期末）已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 题型 根据并集的运算结果求集合或参数（重点） 解题贴士 （1）； （2）在求与不等式有关的集合的交集运算中，应重点考虑数轴分析法，直观清晰 （3）注意重点验证端点处是否能取到“=” ▌例1（2026高三下·河南信阳·专题练习）已知集合，，且，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． ▌例2（25-26高一上·天津武清·阶段检测）设全集，已知集合，. (1)当时，求 ①； ②； (2)若满足，求实数m的取值范围. ▌对点练4-1已知集合，.若，求m的取值范围. ▌对点练4-2（25-26高一下·湖南娄底·开学考试）已知集合，集合． (1)当时，求； (2)若，求实数m的取值范围； (3)若，求实数m的取值范围． ▌对点练4-3（25-26高一上·河南新乡·期末）已知集合. (1)求； (2)若，求实数的取值范围. 题型容斥原理 解题贴士 一般地，对任意两个有限集, 进一步的： ▌例1（25-26高一上·甘肃白银·期中）某班50名学生参加三个科创社团：机器人社、编程社、航模社，其中参加机器人社的有30人，参加编程社的有20人，参加航模社的有30人，同时机器人社和编程社的有10人，同时参加机器人社和航模社的有15人，同时参加编程社和航模社的有13人，则三个科创社团都参加的学生人数为（   ） A．8 B．7 C．6 D．5 ▌例2（25-26高一上·湖北咸宁·阶段检测）调查表示火箭军、太空军、网络军位列2025年9.3军演最受欢迎前三个军种，某社区调查了该社区的部分市民的观看评价情况，调查结果显示：在网上评价了火箭军的有100人，评价了太空军的有89人，评价了网络军的有80人，三个军种都评价了的有24人，评价了其中两个军种的有46人，这三个军种都未评价的有15人.则接受调查的市民共有（    ） A．190人 B．120人 C．144人 D．178人 ▌对点练5-1（25-26高一上·河北沧州·阶段检测）“量子计算机原型机‘九章三号’”“可重复使用试验航天器”“新一代人工智能大模型‘紫东太初3.0’”是2025年我国三大前沿科技成果，某校高一（1）班共有28名同学，每名同学至少关注一项科技成果，其中有15人关注了“九章三号”，有8人关注了“可重复使用试验航天器”，有14人关注了“紫东太初3.0”，有3人同时关注了“九章三号”和“可重复使用试验航天器”，有3人同时关注了“九章三号”和“紫东太初3.0”，没有人同时关注这三大科技成果.则只关注了“紫东太初3.0”的人数为（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 ▌对点练5-2（25-26高一上·山西晋中·阶段检测）我们把含有有限个元素的集合A叫做有限集，用表示有限集合A中元素的个数.例如，，则.容斥原理告诉我们，如果被计数的事物有A，B，C三类，那么，某校初一四班学生46人，寒假全都参加体育训练，其中足球队25人，排球队22人，游泳队24人，足球排球都参加的有12人，足球游泳都参加的有9人，排球游泳都参加的有8人，问：三项都参加的人数为____. ▌对点练5-3（25-26高一上·江西赣州·阶段检测）《南京照相馆》、《浪浪山小妖怪》、《长安的荔枝》位列2025年我国暑期档票房前三名．某社区调查了该社区的部分市民的观影情况，调查结果显示：观看了《南京照相馆》的有63人，观看了《浪浪山小妖怪》的有89人，观看了《长安的荔枝》的有47人，三部电影都观看了的有24人，观看了其中两部电影的有46人，这三部电影都未观看的有15人．则接受调查的市民共有______人． 题型Venn图的应用（重点） ▌例1（2026·安徽合肥·模拟预测）为了丰富学生的课余生活，促进学生全面发展，某校开设了劳动实践、研学参观、技术培训类拓展课程．高三某班学生共有人报名参加拓展课程，其中有人报名参加劳动实践，有人报名参加研学参观，有人报名参加技术培训，同时报名参加劳动实践和研学参观的有人，同时报名参加研学参观和技术培训的有5人，只参加技术培训的人数为（   ） A． B． C． D． ▌例2（多选）（2026·河南南阳·模拟预测）已知为全集，集合M，N，P均为非空集合，，则（    ） A． B． C． D． ▌对点练6-1（25-26高一上·福建福州·期中）高一（1）班共有50名同学，暑假期间，有18人观看电影《南京照相馆》，有15人观看电影《浪浪山小妖怪》，这两部电影均不观看有25人．则这两部电影都观看的有（   ） A．6人 B．7人 C．8人 D．9人 ▌对点练6-2（25-26高一上·天津河北·阶段检测）已知全集，、均为的子集，，，则集合的真子集的个数为____． ▌对点练6-3（25-26高一上·江苏无锡·期中）已知某班有50名同学，据统计发现同学们喜欢的奥运比赛项目都集中在乒乓球、跳水、射击这三个，其中有13名同学只喜欢乒乓球比赛，10名同学只喜欢跳水比赛，8名同学只喜欢射击比赛，同时喜欢乒乓球与跳水比赛的同学有13名，同时喜欢乒乓球与射击比赛的同学有12名，同时喜欢跳水与射击比赛的同学有10名，则该班同时喜欢乒乓球、跳水、射击比赛的同学有___________人． 题型集合运算的新定义问题 ▌例1（25-26高一上·云南曲靖·阶段检测）对于集合，，定义，且，，设，，则（    ） A． B． C．或 D．或 ▌例2（2026年高一数学秋季开学分班-学情自测卷02（北京专用）【范围：人教B版必修一第1~2章】）对任意，，记，并称为集合，的对称差．例如：若，，则．下列命题中，为真命题的有_____ ①．若，且，则 ②．若，且，则 ③．若，且，则 ④．对任意，，都有⊕⊕ ▌对点练6-1（24-25高二下·北京怀柔·期末）设、为两个集合，定义且，将称为“集合A与B的笛卡尔积”，则下列关于“笛卡尔积”的结论正确的是（    ） ①； ②； ③； ④若集合中有个元素，若集合中有个元素，则集合中有个元素． A．①② B．②③ C．③④ D．②④ ▌对点练6-2（25-26高一下·广东揭阳·阶段检测）对于集合，，我们把属于集合但不属于集合的元素组成的集合叫做集合与的“差集”，记作，即；把集合与中所有不属于的元素组成的集合叫做集合与的“对称差集”，记作，即．下列四个选项中，错误的是（   ） A．若，则 B．若，则 C． D． ▌对点练6-3（多选）（25-26高一上·山东青岛·期中）用表示非空集合中的元素个数，定义.已知集合，若，则实数的取值可能是（   ） A． B．0 C．1 D． 基础通关 1．（25-26高一下·四川泸州·期末）已知集合，则（    ） A． B． C． D． 2．（2026·河北沧州·一模）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高二下·内蒙古赤峰·期末）集合，集合，则（    ） A． B． C． D． 4．（25-26高二下·黑龙江佳木斯·期中）学校举办运动会时，高一（1）班共有28名同学参加比赛，有15人参加游泳比赛，有8人参加田径比赛，有14人参加球类比赛，同时只参加游泳比赛和田径比赛的有3人，同时只参加游泳比赛和球类比赛的有3人，同时参加三项比赛的有1人，则同时只参加田径比赛和球类比赛的人数为（ ） A．0 B．1 C．2 D．3 5．（2026·陕西西安·三模）已知集合，，若，则a的取值集合是（    ） A． B． C． D． 6．（25-26高三下·北京海淀·阶段检测）已知集合，，若，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 7．（多选）（25-26高一上·河北唐山·期末）已知集合，，若，则的值可以为（   ） A．3 B． C．2 D．1 8．（多选）（25-26高一上·广东河源·阶段检测）已知集合，，若，则a的值可以是（    ） A． B．0 C． D． 9．（2026高三下·重庆·竞赛）设集合，其中为实数．令集合，若恰有一个元素，则的元素之和为________． 10．（25-26高三下·陕西咸阳·阶段检测）已知集合，，若，则实数的取值范围是_________． 素养提升 1．（25-26高一上·吉林长春·阶段检测）已知集合，.若，则的取值范围是________. 2．（25-26高一上·上海闵行·期末）已知全集，集合． (1)当时，试用区间表示集合、； (2)若，求实数的取值范围． 3．（25-26高一上·全国·阶段检测）已知集合，． (1)当时，求； (2)若，求的取值范围． 4．（25-26高一上·吉林长春·阶段检测）已知或 (1)若，⫋，求的取值范围； (2)若或，求的取值范围. 5．（25-26高一上·湖北·期中）已知集合，. (1)若，求； (2)若，求实数的取值范围. 迁移创新 1．（25-26高一上·辽宁·阶段检测）已知集合，，定义，则中的元素个数为（   ） A．11 B．9 C．7 D．5 2．（25-26高一上·山西临汾·阶段检测）设，是两个非空集合，定义与的差集，则等于（    ） A．P B． C． D．M 3．（多选）（24-25高三上·山东聊城·阶段检测）由无理数引发的数学危机一直延续到19世纪．直到1872年，德国数学家戴德金从连续性的定义出发，用有理数的“分割”来定义无理数，并把实数理论建立在严格的科学基础上，才结束了无理数被认为“无理”的时代．所谓戴德金分割，是指将有理数集划分为两个非空的子集与，且满足，， 中的每个元素都小于中的每个元素，称为戴德金分割．下列结论正确的是（    ） A．是一个戴德金分割 B．存在一个戴德金分割，使得有一个最大元素，没有最小元素 C．存在一个戴德金分割，使得有一个最大元素，有一个最小元素 D．存在一个戴德金分割，使得没有最大元素，也没有最小元素 4．（多选）（24-25高一上·江苏常州·阶段检测）设是一个非空集合，是的子集构成的集合，如果同时满足：①，②若，则且，那么称是的一个环.则下列说法正确的是（    ） A．若，则 是的环 B．若，则存在的一个环，含有8个元素 C．若，则存在的一个环，含有4个元素且 D．若，则存在的一个环，含有7个元素且 5．（25-26高一上·江苏无锡·阶段检测）定义为数集的所有元素之和，若数集有四个元素，而且且有六个元素，若，则__________ 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 第1章 集合 1.3交集、并集 课标要点 1.理解并集、交集的概念. 2.会用符号、Venn图和数轴表示并集、交集. 3.会求简单集合的并集和交集． 4. 理解掌握区间与集合的关系，并能应用它们解决一些简单的问题． 学习重难点 重点：理解并集、交集的概念 难点：会进行并集、交集的运算 知识点 交集（重点） 一般地，由既属于集合又属于集合的所有元素组成的集合即由集合和集合的相同元素组成的集合，称为集合与集合的交集，记作（读作：交）.记作：. 交集的性质：,,,,. 图形语言 特别提醒 1）仍是一个集合,由所有属于集合且属于集合的元素组成 2）对于“”,包含以下两层意思:①中的任一元素都是与的公共元素;②与的公共元素都属于,这就是文字定义中“所有”二字的含义,如,,则,而不是或或 3）并不是任意两个集合总有公共元素,当集合与集合没有公共元素时,不能说集合与集合没有交集,而是 4）当时,和同时成立 教材延伸 . 随学随练 1．（26-27高三上·云南昭通·阶段检测）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据集合中的元素求出集合,再利用交集定义求出结果. 【详解】将1，2，3，4，5分别代入得到,即,所以 2．（26-27高三上·黑龙江牡丹江·阶段检测）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由集合交集的运算结合条件即可求解. 【详解】集合，，∴. 3．（26-27高三上·广东深圳·开学考试）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据集合交集的定义，求解即可. 【详解】 因为，，所以. 知识点 并集（重点） 一般地，由所有属于集合或属于集合的元素组成的集合称为集合与集合的并集，记作 （读作：并）.记作：. 并集的性质：,,,, 图形语言 特别提醒 1）仍是一个集合,由所有属于集合或属于集合的元素组成 2）并集符号语言中的“或”与生活中的“或”字含义有所不同.生活中的“或”是只取其一,并不兼存;而并集中的“或”连接的并列成分之间不一定是互斥的,“或”包括下列三种情况:①,且;②,且;③,且.可用下图所示形象地表示 教材延伸 随学随练 1．（26-27高三上·云南玉溪·阶段检测）已知集合，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由于， 故． 2．（2026·陕西西安·模拟预测）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】集合，，则 3．（2026·河北秦皇岛·二模）已知集合 ， ，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】. 知识点 区间 （1）区间的概念及记法 设a，b是两个实数，而且，我们规定： 定义 名称 符号 数轴表示 闭区间    开区间    半闭半开区间    半开半闭区间    半开半闭区间    开区间    半开半闭区间    开区间    （2）无穷大 实数集R可以用区间表示为，“”读作“无穷大”，“”读作“负无穷大”，“”读作“正无穷大”． 随学随练 1．（25-26高一上·山东济南·期中）区间对应的不等式是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用区间表示括号的意义即可作出判断. 【详解】根据区间表示括号的意义可知区间对应的不等式是， 故选：A. 2．（25-26高一上·上海·阶段检测）将集合表示成区间形式为________． 【答案】 【分析】由区间的概念即可求解. 【详解】集合表示为区间形式为. 故答案为： 3．（25-26高一上·内蒙古呼和浩特·阶段检测）集合或用区间表示为___________ 【答案】 【分析】根据集合与区间的转换表示即可． 【详解】由或， 则区间为． 故答案为： 拓展 容斥原理 一般地，对任意两个有限集, 进一步的： 活学活用 1．（24-25高一上·贵州贵阳·阶段检测）某校“五一田径运动会”上，共有12名同学参加100米、400米、1500米三个项目，其中有8人参加“100米比赛”，有7人参加“400米比赛”，有5人参加“1500米比赛”，“100米和400米”都参加的有4人，“100米和1500米”都参加的有3人，“400米和1500米”都参加的有3人，则下列说法错误的是（    ） A．三项比赛都参加的有2人 B．只参加100米比赛的有3人 C．只参加400米比赛的有3人 D．只参加1500米比赛的有1人 【答案】C 【详解】设集合，， . 由题可知， ， 所以，即三项都参加的有2人，故A正确； 只参加100米的有人，故B正确； 只参加400米的有人，故C错误； 只参加1500米的有人，故D正确. 2．（25-26高一下·河北保定·期中）某校高一（4）班学生共47人，寒假参加体育训练，其中参加足球队的有25人，参加排球队的有22人，参加游泳队的有24人，足球、排球都参加的有12人，足球、游泳都参加的有9人，排球、游泳都参加的有8人，三项都参加的有__________人． 【答案】5 【分析】将参加各队的学生转化为集合，利用三个集合的容斥原理公式，设三项都参加的人数为未知数，代入已知数据列方程求解． 【详解】设参加足球队的学生组成集合，参加排球队的学生组成集合，参加游泳队的学生组成集合， 则，，，，，． 设三项都参加的人数为， 则， 因为， 所以由 得， 解得，即三项都参加的有5人． 故答案为：5． 题型交集的概念及运算 解题贴士 在求与不等式有关的集合的交集运算中，应重点考虑数轴分析法，直观清晰 ▌例1 （26-27高三上·北京·开学考试）已知集合，，则（     ） A． B．2 C． D． 【答案】D 【分析】求解集合，，再由集合的交集求解即可. 【详解】因为，由，解得， 因为，所以， 因为，所以或， 所以. ▌例2 （25-26高一上·上海·阶段检测）已知，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】联立方程组，解得或， 则交点为，得到. ▌对点练1-1．（26-27高三上·北京·开学考试）如果集合，，那么（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先求得集合，再由集合交集的概念与运算，即可求解. 【详解】由集合， 因为，可得. ▌对点练1-2．（2026高三·全国·专题练习）设集合，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】集合是点集，元素是点；集合是数集，元素是实数，故. 题型 根据交集的运算结果求集合或参数（重点） 解题贴士 （1）； （2）在求与不等式有关的集合的交集运算中，应重点考虑数轴分析法，直观清晰 （3）注意重点验证端点处是否能取到“=” ▌例1（25-26高二下·河北石家庄·阶段检测）设，，若，则实数的值可以为_____． 【答案】，， 【分析】由，得，再分和两种情况讨论即可. 【详解】， 因为，所以， 当时，，符合题意； 当时，， 则或， 所以或， 综上实数的值可以为，，. ▌例2（25-26高一下·广西百色·开学考试）设集合，集合 (1)若，求和； (2)若，求实数a的取值范围． 【答案】(1). (2) 【分析】（1）根据交集、并集的定义计算即可. （2）根据集合的包含关系求出参数的范围即可. 【详解】（1）时，集合，因为集合， 所以. （2）因为，所以， 当时，，解得； 当时，要使得，则，解得. 综上，实数a的取值范围为. ▌对点练2-1（24-25高一上·贵州贵阳·阶段检测）集合，集合，若，则实数m的取值范围是______． 【答案】 【分析】可先求解时参数的取值范围，再取其补集得到时的范围. 【详解】先求解的情况： 当集合为空集时，则， 解得，此时. 当集合非空时，需满足，若， 分析可得在右侧，即，解得. 综上，时，或， ∴ 时，的取值范围是. ▌对点练2-2（24-25高一上·福建宁德·阶段检测）已知集合， (1)当时，求； (2)若，求实数的取值范围． 【答案】(1). (2). 【详解】（1）当时，，或，则. （2），， 则，解得，所以实数的取值范围为. ▌对点练2-3已知集合，或.若，求实数的取值范围. 【答案】 【详解】由，有，解得， 所以实数的取值范围为. 题型 并集的概念及运算 解题贴士 在求与不等式有关的集合的交集运算中，应重点考虑数轴分析法，直观清晰 ▌例1（25-26高二下·黑龙江绥化·期末）已知集合，，则（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】，，则 ▌例2（25-26高一下·甘肃金昌·期末）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题意，. ▌对点练3-1（25-26高二下·湖南益阳·期末）已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为集合，， 所以. ▌对点练3-2（25-26高二下·黑龙江哈尔滨·期末）已知集合，，则（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】，所以. ▌对点练3-3（25-26高二下·吉林松原·期末）已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】集合，，则 题型 根据并集的运算结果求集合或参数（重点） 解题贴士 （1）； （2）在求与不等式有关的集合的交集运算中，应重点考虑数轴分析法，直观清晰 （3）注意重点验证端点处是否能取到“=” ▌例1（2026高三下·河南信阳·专题练习）已知集合，，且，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为，，， 所以，即实数的取值范围为. ▌例2（25-26高一上·天津武清·阶段检测）设全集，已知集合，. (1)当时，求 ①； ②； (2)若满足，求实数m的取值范围. 【答案】(1)①；②或； (2). 【分析】（1）把代入，①利用交集的定义求解；②利用补集、并集的定义求解. （2）利用给定并集的结果，结合集合的包含关系列式求解. 【详解】（1）①当时，，而，所以. ②或，所以或. （2）由，得， 当时，，解得； 当时，，解得， 所以实数m的取值范围是. ▌对点练4-1已知集合，.若，求m的取值范围. 【答案】 【分析】对，分类讨论，列出满足的不等式求解. 【详解】由，可得， 当时， ，即，满足题意； 当时，需满足，解得； 综上可得，所以m的取值范围为. ▌对点练4-2（25-26高一下·湖南娄底·开学考试）已知集合，集合． (1)当时，求； (2)若，求实数m的取值范围； (3)若，求实数m的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据集合的并集运算即可求解； （2）由得，根据集合的包含关系即可求解； （3）根据和分类讨论即可求解． 【详解】（1）当时，， 又集合 ，则； （2）由得，所以， 即m的取值范围是； （3）当时，符合题意，此时有，即. 当时，有或，解得， 综上，实数的取值范围为． ▌对点练4-3（25-26高一上·河南新乡·期末）已知集合. (1)求； (2)若，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2). 【分析】（1）化简集合，根据集合的补集、交集运算求解； （2）由题意可转化为，分类讨论，列出不等式求解即可. 【详解】（1）由已知得， 所以，又，所以. （2）因为，所以， 当时，，解得. 当时，，解得， 综上，故实数的取值范围为. 题型容斥原理 解题贴士 一般地，对任意两个有限集, 进一步的： ▌例1（25-26高一上·甘肃白银·期中）某班50名学生参加三个科创社团：机器人社、编程社、航模社，其中参加机器人社的有30人，参加编程社的有20人，参加航模社的有30人，同时机器人社和编程社的有10人，同时参加机器人社和航模社的有15人，同时参加编程社和航模社的有13人，则三个科创社团都参加的学生人数为（   ） A．8 B．7 C．6 D．5 【答案】A 【分析】根据容斥原理进行求解即可. 【详解】设参加机器人社、编程社、航模社的学生集合分别为，三个社团都参加的人数为， 则根据容斥原理可得 ， 所以，解得. 故选：A. ▌例2（25-26高一上·湖北咸宁·阶段检测）调查表示火箭军、太空军、网络军位列2025年9.3军演最受欢迎前三个军种，某社区调查了该社区的部分市民的观看评价情况，调查结果显示：在网上评价了火箭军的有100人，评价了太空军的有89人，评价了网络军的有80人，三个军种都评价了的有24人，评价了其中两个军种的有46人，这三个军种都未评价的有15人.则接受调查的市民共有（    ） A．190人 B．120人 C．144人 D．178人 【答案】A 【分析】根据题意用Venn图表示题设中的集合关系，根据三个集合的容斥关系公式列式计算得到答案． 【详解】不妨将评价了火箭军、太空军、网络军的市民分别用集合A，B，C表示， 则，，，， 不妨设总人数为，只评价了火箭军、太空军的人数为， 只评价了太空军、网络军的人数为， 只评价了火箭军、网络军的人数为， 则. 如图所示，用Venn图表示题设中的集合关系， 则，，， 由三个集合的容斥关系公式得， ， 解得，故接受调查的市民共有190人. 故选：A ▌对点练5-1（25-26高一上·河北沧州·阶段检测）“量子计算机原型机‘九章三号’”“可重复使用试验航天器”“新一代人工智能大模型‘紫东太初3.0’”是2025年我国三大前沿科技成果，某校高一（1）班共有28名同学，每名同学至少关注一项科技成果，其中有15人关注了“九章三号”，有8人关注了“可重复使用试验航天器”，有14人关注了“紫东太初3.0”，有3人同时关注了“九章三号”和“可重复使用试验航天器”，有3人同时关注了“九章三号”和“紫东太初3.0”，没有人同时关注这三大科技成果.则只关注了“紫东太初3.0”的人数为（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】C 【分析】设关注了“九章三号”的同学构成集合，关注了“可重复使用试验航天器” 的同学构成集合，关注了“紫东太初3.0” 的同学构成集合，利用韦恩图求解. 【详解】设关注了“九章三号”的同学构成集合，关注了“可重复使用试验航天器” 的同学构成集合， 关注了“紫东太初3.0” 的同学构成集合， 由题可得，，，，，， 如图，可得 ， ，即得， 所以只关注了“紫东太初3.0”的人数为. 故选：C. ▌对点练5-2（25-26高一上·山西晋中·阶段检测）我们把含有有限个元素的集合A叫做有限集，用表示有限集合A中元素的个数.例如，，则.容斥原理告诉我们，如果被计数的事物有A，B，C三类，那么，某校初一四班学生46人，寒假全都参加体育训练，其中足球队25人，排球队22人，游泳队24人，足球排球都参加的有12人，足球游泳都参加的有9人，排球游泳都参加的有8人，问：三项都参加的人数为____. 【答案】4 【分析】根据题意设参加各类活动的学生的集合，找出各类运动的人数，然后代入定义中求解即可. 【详解】设集合{参加足球队的学生}，集合{参加排球队的学生}， 集合{参加游泳队的学生}， 则，，，， ，，， 设三项都参加的有人，即， 由， 则，解得，即三项都参加的有4人. 故答案为：4. ▌对点练5-3（25-26高一上·江西赣州·阶段检测）《南京照相馆》、《浪浪山小妖怪》、《长安的荔枝》位列2025年我国暑期档票房前三名．某社区调查了该社区的部分市民的观影情况，调查结果显示：观看了《南京照相馆》的有63人，观看了《浪浪山小妖怪》的有89人，观看了《长安的荔枝》的有47人，三部电影都观看了的有24人，观看了其中两部电影的有46人，这三部电影都未观看的有15人．则接受调查的市民共有______人． 【答案】120 【分析】根据题意用Venn图表示题设中的集合关系，根据三个集合的容斥关系公式计算得到答案． 【详解】不妨将观看了《南京照相馆》、《浪浪山小妖怪》、《长安的荔枝》的市民分别用集合表示， 则． 不妨设总人数为，观看了《南京照相馆》、《浪浪山小妖怪》的人数为， 观看了《浪浪山小妖怪》、《长安的荔枝》的人数为， 观看了《南京照相馆》、《长安的荔枝》的人数为， 如图所示，用Venn图表示题设中的集合关系， 则． 由三个集合的容斥关系公式得 ， 解得，故接受调查的市民共有120人． 故答案为:120. 题型Venn图的应用（重点） ▌例1（2026·安徽合肥·模拟预测）为了丰富学生的课余生活，促进学生全面发展，某校开设了劳动实践、研学参观、技术培训类拓展课程．高三某班学生共有人报名参加拓展课程，其中有人报名参加劳动实践，有人报名参加研学参观，有人报名参加技术培训，同时报名参加劳动实践和研学参观的有人，同时报名参加研学参观和技术培训的有5人，只参加技术培训的人数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】使用三集合容斥原理，通过韦恩图划分各部分人数，设三类都参加的人数为、只参加劳动实践和培训的人数为，根据总人数列方程化简得，再结合培训的总人数，算出只参加培训的人数． 【详解】设类课程全参加的有人，同时只参加劳动实践和技术培训的有人， 列出韦恩图，则， 可得，则只参加技术培训的人数为人． ▌例2（多选）（2026·河南南阳·模拟预测）已知为全集，集合M，N，P均为非空集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】根据给定条件，利用韦恩图，结合集合运算逐一判断即可. 【详解】全集为，集合M，N，P均为非空集合，由作出如图所示的韦恩图： 由，得，而， 结合韦恩图，得不是的子集，，，不是的子集， 因此选项AD错误，选项BC正确. 故选：BC ▌对点练6-1（25-26高一上·福建福州·期中）高一（1）班共有50名同学，暑假期间，有18人观看电影《南京照相馆》，有15人观看电影《浪浪山小妖怪》，这两部电影均不观看有25人．则这两部电影都观看的有（   ） A．6人 B．7人 C．8人 D．9人 【答案】C 【分析】画出韦恩图，列方程可得. 【详解】 设这两部电影都观看的有人， 由图形可知，解得. 故选：C ▌对点练6-2（25-26高一上·天津河北·阶段检测）已知全集，、均为的子集，，，则集合的真子集的个数为____． 【答案】15 【分析】确定U的元素，根据题意作出韦恩图，确定集合B的元素，即可求得答案. 【详解】由题意知， ，， 作出韦恩图如图： 则，故集合的真子集的个数为， 故答案为：15 ▌对点练6-3（25-26高一上·江苏无锡·期中）已知某班有50名同学，据统计发现同学们喜欢的奥运比赛项目都集中在乒乓球、跳水、射击这三个，其中有13名同学只喜欢乒乓球比赛，10名同学只喜欢跳水比赛，8名同学只喜欢射击比赛，同时喜欢乒乓球与跳水比赛的同学有13名，同时喜欢乒乓球与射击比赛的同学有12名，同时喜欢跳水与射击比赛的同学有10名，则该班同时喜欢乒乓球、跳水、射击比赛的同学有___________人． 【答案】8 【分析】根据给定条件，借助韦恩图，结合容斥原理列式计算即可得. 【详解】如图，设该班同时喜欢乒乓球、跳水、射击比赛的同学有人， 则由图可得，解得， 故该班同时喜欢乒乓球、跳水、射击比赛的同学有8人. 故答案为：. 题型集合运算的新定义问题 ▌例1（25-26高一上·云南曲靖·阶段检测）对于集合，，定义，且，，设，，则（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】先求解集合、的值域，再根据新定义运算分别计算和，最终求两者的并集得到结果. 【详解】对于集合，根据二次根式的非负性，，因此 ，即. 对于集合，由可得，因此，即 因为，且，所以，. 又因为，所以. ▌例2（2026年高一数学秋季开学分班-学情自测卷02（北京专用）【范围：人教B版必修一第1~2章】）对任意，，记，并称为集合，的对称差．例如：若，，则．下列命题中，为真命题的有_____ ①．若，且，则 ②．若，且，则 ③．若，且，则 ④．对任意，，都有⊕⊕ 【答案】②③④ 【分析】根据集合新定义，结合集合的交集、并集、补集之间的元素关系逐项判断即可． 【详解】对于①，因为⊕，所以，，故，故①错误； 对于②，，且⊕，则，， 即与是相同的，所以，故②正确； 对于③，，且⊕，则，， 故，且中元素不能出现在中，故，故③正确； 对于④，⊕ ， 其中， ， 故⊕ ，，， 而⊕，，故⊕⊕，故④正确． ▌对点练6-1（24-25高二下·北京怀柔·期末）设、为两个集合，定义且，将称为“集合A与B的笛卡尔积”，则下列关于“笛卡尔积”的结论正确的是（    ） ①； ②； ③； ④若集合中有个元素，若集合中有个元素，则集合中有个元素． A．①② B．②③ C．③④ D．②④ 【答案】D 【详解】 根据笛卡尔积的定义逐一分析：①和③可举反例判定为假；②可通过证明集合相等判定为真；④可根据定义确定元素个数即可. 【解答】 解：对于①，根据新定义，设，， 根据定义且， 则 ，而，显然，所以①错误． 对于②， 对于任意的，根据定义可知且， 即或者．若，则； 若，则．所以， 即 ． 反之，对于任意的， 则或者， 若，则且， 若，则且， 所以且，即， 所以． 综上，，②正确． 对于③， 设，，， 则，， ，， 所以，所以③错误． 对于④， 已知集合中有个元素，集合中有个元素． 对于且，从中取一个元素有种取法， 从中取一个元素有种取法．所以中元素的个数为，所以④正确． 综上，正确的命题有②④. ▌对点练6-2（25-26高一下·广东揭阳·阶段检测）对于集合，，我们把属于集合但不属于集合的元素组成的集合叫做集合与的“差集”，记作，即；把集合与中所有不属于的元素组成的集合叫做集合与的“对称差集”，记作，即．下列四个选项中，错误的是（   ） A．若，则 B．若，则 C． D． 【答案】B 【分析】利用“差集”， “对称差集”的定义和子集的定义，交集和并集的运算求解. 【详解】若，则，A正确； 当时，，B错误； ，C正确； ， ，， ， 故，D正确. ▌对点练6-3（多选）（25-26高一上·山东青岛·期中）用表示非空集合中的元素个数，定义.已知集合，若，则实数的取值可能是（   ） A． B．0 C．1 D． 【答案】BCD 【分析】根据已知得，且，根据判别式符号确定根的个数，结合求参数范围，即可得. 【详解】由或，则必有， 当，或时，， 当，时，， 当，时，， 由，则， 由，可得或， 所以或或. 故选：BCD 基础通关 1．（25-26高一下·四川泸州·期末）已知集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为，所以. 2．（2026·河北沧州·一模）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先分别求解集合、集合，再根据并集定义求出. 【详解】，则，得. ，则，得 所以. 3．（25-26高二下·内蒙古赤峰·期末）集合，集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为自然数集是全体非负整数构成的集合， 所以． 已知， 则． 4．（25-26高二下·黑龙江佳木斯·期中）学校举办运动会时，高一（1）班共有28名同学参加比赛，有15人参加游泳比赛，有8人参加田径比赛，有14人参加球类比赛，同时只参加游泳比赛和田径比赛的有3人，同时只参加游泳比赛和球类比赛的有3人，同时参加三项比赛的有1人，则同时只参加田径比赛和球类比赛的人数为（ ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】结合韦恩图，列出方程求解即可. 【详解】设同时只参加田径比赛和球类比赛的人数为，只参加田径的人数为，只参加球类比赛的人数为， 则只参加游泳比赛的人数为，画出韦恩图，如图所示， 则，解得，所以同时只参加田径比赛和球类比赛的有1人. 5．（2026·陕西西安·三模）已知集合，，若，则a的取值集合是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，得到，列出关系式，即可求解. 【详解】因为，即，结合集合元素的互异性，可得或，解得或． 6．（25-26高三下·北京海淀·阶段检测）已知集合，，若，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】求出集合后，由可得，利用集合间关系即可得解. 【详解】， 由，则，故， 即的取值范围为. 7．（多选）（25-26高一上·河北唐山·期末）已知集合，，若，则的值可以为（   ） A．3 B． C．2 D．1 【答案】AC 【分析】由题可得，分或讨论，结合集合的互异性求解. 【详解】由，得，所以或， 若，则，此时，，符合题意； 若，解得或， 当时，，，符合题意； 当时，，集合不满足互异性，不合题意； 综上，的值可以为或2. 故选：AC. 8．（多选）（25-26高一上·广东河源·阶段检测）已知集合，，若，则a的值可以是（    ） A． B．0 C． D． 【答案】ABC 【分析】利用给定条件建立不等式组，求解参数范围即可. 【详解】∵，则，解得， 由选项可知，的值可以是或或． 故选：ABC 9．（2026高三下·重庆·竞赛）设集合，其中为实数．令集合，若恰有一个元素，则的元素之和为________． 【答案】5或10 【分析】根据给定条件求出，再按分类讨论求解. 【详解】由集合，得，， 当时，或，则或； 当时，或，则或， 当时，，，有两个元素，不合题意； 当时，，，有一个元素，符合题意， 则，元素之和为； 当时，，，有一个元素，符合题意， 则，元素之和为， 所以元素之和为5或10． 10．（25-26高三下·陕西咸阳·阶段检测）已知集合，，若，则实数的取值范围是_________． 【答案】 【分析】首先求出集合，然后根据以及，解不等式求得的取值范围. 【详解】因为化简得，由于， 又因为且，即，得， 综上所述，实数的取值范围为. 素养提升 1．（25-26高一上·吉林长春·阶段检测）已知集合，.若，则的取值范围是________. 【答案】 【分析】根据给定条件，求出交集为空集的范围，再取其补集即得. 【详解】集合，，由， 得或或， 解得或或，即或， 则当时，，所以的取值范围是. 故答案为： 2．（25-26高一上·上海闵行·期末）已知全集，集合． (1)当时，试用区间表示集合、； (2)若，求实数的取值范围． 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）解分式不等式和绝对值不等式即可求解； （2）由，得，进而得，解出即可求解. 【详解】（1）由题意有：， 所以， 当时，， 所以； （2）由， 由，所以， 所以， 所以. 3．（25-26高一上·全国·阶段检测）已知集合，． (1)当时，求； (2)若，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）将代入得到、，求并集即可. （2）满足，分析空集情况和区间不交情况. 【详解】（1）此时，，可得． （2）当，即时，，．当时，，． 现考虑时，因为，故即， 综上，的取值范围是． 4．（25-26高一上·吉林长春·阶段检测）已知或 (1)若，⫋，求的取值范围； (2)若或，求的取值范围. 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）根据集合的包含关系，分类讨论建立不等式即可解出结果； （2）根据集合交集得包含关系，建立不等式即可解出结果. 【详解】（1），或，且是的真子集， 当时，则，即时，符合题意； 当时，则或，解得， 综上，的取值范围是； （2）由，可得， 因为或，若或， 当，即时，，满足； 当，即时，或，不满足； 当，即时， 要使，需使，解得． 综上，的取值范围为或. 5．（25-26高一上·湖北·期中）已知集合，. (1)若，求； (2)若，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）解不等式求得集合，结合集合的补集、交集的运算，即可求解； （2）由题意得到，分和两种情况讨论即可求解. 【详解】（1）由，解得， ， 当时，， 或， . （2）若，则，   ①时，满足，此时，解得；   ②当时，有， 解得.   综上所述，当时，实数的取值范围是. 迁移创新 1．（25-26高一上·辽宁·阶段检测）已知集合，，定义，则中的元素个数为（   ） A．11 B．9 C．7 D．5 【答案】B 【分析】先求出集合，再根据所给定义分情况讨论列出即可判断. 【详解】由， 而， 在集合中，和都可以取，即和都可以取， 当，时，； 当，时，； 当，时，； 当，时，； 当，时，． 综上所述，，共9个元素． 故选：B． 2．（25-26高一上·山西临汾·阶段检测）设，是两个非空集合，定义与的差集，则等于（    ） A．P B． C． D．M 【答案】A 【分析】根据题目当中给出的定义，画出韦恩图，进行集合的运算即可. 【详解】当时，由韦恩图知，为下图中的阴影部分，则显然为P．    当时，， 则 故选：A． 3．（多选）（24-25高三上·山东聊城·阶段检测）由无理数引发的数学危机一直延续到19世纪．直到1872年，德国数学家戴德金从连续性的定义出发，用有理数的“分割”来定义无理数，并把实数理论建立在严格的科学基础上，才结束了无理数被认为“无理”的时代．所谓戴德金分割，是指将有理数集划分为两个非空的子集与，且满足，， 中的每个元素都小于中的每个元素，称为戴德金分割．下列结论正确的是（    ） A．是一个戴德金分割 B．存在一个戴德金分割，使得有一个最大元素，没有最小元素 C．存在一个戴德金分割，使得有一个最大元素，有一个最小元素 D．存在一个戴德金分割，使得没有最大元素，也没有最小元素 【答案】BD 【分析】根据戴德金分割的定义，结合选项，分别举例，判断正误. 【详解】对于A，因为，所以A错误． 对于B，设，满足戴德金分割，则有一个最大元素1，没有最小元素，所以B正确． 对于C，若有一个最大元素，有一个最小元素，则不能同时满足，所以C错误． 对于D，设，满足戴德金分割，此时中没有最大元素，中也没有最小元素，所以D正确． 故选：BD 4．（多选）（24-25高一上·江苏常州·阶段检测）设是一个非空集合，是的子集构成的集合，如果同时满足：①，②若，则且，那么称是的一个环.则下列说法正确的是（    ） A．若，则 是的环 B．若，则存在的一个环，含有8个元素 C．若，则存在的一个环，含有4个元素且 D．若，则存在的一个环，含有7个元素且 【答案】ABC 【分析】利用题设中的信息，集合的交集、并集的运算，以及集合间的关系，逐项判定，即可求解. 【详解】由题意知：①，②若，则且， 对于A，全集且， 满足且当时，可得且，所以A正确； 对于B，由的子集，共8个元素， 若是的子集构成的集合，所以集合有8个元素，所以B正确； 对于C，若，可得， 所以是个环，其中中含有4个元素，所以C正确； 对于D，若， 可得，， ， ，，且， 所以集合中至少有8个元素，所以D错误. 故选：ABC. 5．（25-26高一上·江苏无锡·阶段检测）定义为数集的所有元素之和，若数集有四个元素，而且且有六个元素，若，则__________ 【答案】10 【分析】根据已知得到中元素为，结合定义求得，即可得. 【详解】由题意，设，显然互不相同， 由且，则有， 由集合中有六个元素，则互不相等， 所以，则. 故答案为：10 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $