1.2 子集、全集、补集(Word讲义)-【满分思维】2026-2027学年高中数学必修第一册学生用书（苏教版）

1.2　子集、全集、补集 【学习目标】 　　1.能结合具体实例解释集合之间包含与相等的意义,并能识别给定集合的子集. 　　2.在具体情境中,了解全集的含义. 　　3.理解给定集合中一个子集的补集的含义,能求给定子集的补集. 　　4.对于给定的问题和情境,能使用Venn图表达集合间的基本关系,从中体会图形对理解抽象概念的作用. ◆ 知识点一　子集 定义 如果集合A的　　　　元素都是集合B的元素(若a∈A,则a∈B),那么集合A称为集合B的子集  记法 A　　　　B或B　　　　A  读法 集合A　　　　集合B或集合B包含集合A  图示 性质 (1)任何一个集合是它本身的子集,即A　　　　A.  (2)对于集合A,B,C,若A⊆B,且B⊆C,则A　　　　C.  (3)若　　　　且　　　　,则A=B  (4)规定⌀　　　　A  【诊断分析】 判断正误.(请在括号中打“√”或“×”) (1)0⊆{x|x<5,x∈R}. (　 ) (2)设A是一个集合,则A⊆A. (　 ) (3){0,1}⊆{1,2,3}. (　 ) ◆ 知识点二　真子集 定义 如果 A⊆B,并且　　　　,那么集合A称为集合B的真子集  记法 A　　　B或B　　　A  读法 A　　　　B或B真包含A  图示 性质 (1)对于集合A,B,C,若A⫋B且B⫋C,则A　　　C  (2)若A≠⌀,则⌀　　　A  ◆ 知识点三　补集 定义 文字 语言 设A⊆S,由S中　　　　的所有元素组成的集合称为S的子集A的补集,记作　　　　(读作“A在S中的补集”)  符号 语言 ∁SA={x|　　　　　　　}  图形 语言 性质 (1)若A⊆S,则∁SA⊆S; (2)∁SS=　　　　,∁S⌀=　　　　;  (3)∁S(∁SA)=　　　  【诊断分析】 判断正误.(请在括号中打“√”或“×”) (1)一个集合的补集一定含有元素. (　 ) (2)集合∁ZN与集合∁ZN*相等. (　 ) (3)设C⊆A,C⊆B,则集合∁AC与集合∁BC相等. (　 ) ◆ 知识点四　全集 (1)定义: 如果一个集合包含我们所研究问题中涉及的　　　　,那么就称这个集合为全集.  (2)记法:全集通常记作　　　　.  【诊断分析】 判断正误.(请在括号中打“√”或“×”) (1)只有实数集R才可以作为全集. (　 ) (2)全集一定包括任何一个元素. (　 ) (3)为了研究集合A={1,2,3,4,5,6},B={1,2,3},C={1,3,5}之间的关系,要从中选一个集合作为全集,这个集合是A. (　 ) ◆ 探究点一　集合的子集、真子集 例1 指出下列各组集合之间的关系: (1)A={-1,1},B={(-1,-1),(-1,1),(1,-1),(1,1)}; (2)C={x|x是矩形},D={x|x是平行四边形}; (3)P={x||x|<3},Q={x|-1<x<3}; (4)M={x|x=2n-1,n∈N*},N={x|x=2n+1,n∈N*}. 例2 写出下列集合的子集和真子集,并求出子集个数、真子集个数. (1)A={1}; (2)B={a,b}; (3)C={6,7,8}. 　　　　　 　　　　　 　　　　　 变式 (1)(多选题)[2026·江苏淮安涟水一中高一月考] 已知集合A={x|-1≤2x-1<5,x∈Z},则下列说法正确的是 (　 ) A.1∈A B.{2,3}⊆A C.A中有3个元素 D.A有16个子集 (2)[2026·天津二十中高一质检] 满足条件{2,3}⊆A⫋{1,2,3,4,5}的集合A的个数为　　　.  [素养小结] (1)判断集合间关系的方法: ①观察法:一一列举观察. ②元素特征法:首先确定集合的元素是什么,弄清集合元素的特征,再利用集合元素的特征判断关系. ③数形结合法:利用数轴或Venn图进行判断. (2)求有限集的子集的两个关注点: ①要注意两个特殊的子集:⌀和有限集本身. ②按集合中含有元素的个数由少到多,一一写出,保证不重不漏. (3)若一个集合有n个元素,那么它的子集个数为2n,真子集个数为2n-1,非空真子集个数为2n-2. ◆ 探究点二　集合的全集、补集 例3 (1)[2026·江苏徐州树恩中学高一月考] 若M={-1,0,1,2,3,4,5,6,7},N={x|x2-2x-3=0,x∈R},则∁MN= (　 ) A.{-1,3} B.{-1,0,1,2,3,4,5,6,7} C.{0,1,2,4,5,6,7} D.{1,2,3,4,5,6,7} (2)设集合U=R,M={x|x>2或x≤-2},则∁UM= (　 ) A.{x|-2<x<2} B.{x|-2<x≤2} C.{x|x<-2或x>2} D.{x|x≤-2或x≥2} 变式 (1)若集合A={1,3,5,7},B={x∈Z|1≤x≤9},则图中阴影部分表示的集合中的元素个数为 (　 ) A.3 B.4 C.5 D.6 (2)已知全集U,集合A={1,3,5,7},∁UA={2,4,6},∁UB={1,4,6},则集合B=　　　　.  [素养小结] 求集合的补集的常用方法: (1)列举法求补集:若集合和全集的元素可一一列举,先列出全集所有元素,再去掉给定集合的元素,剩下元素组成的集合就是补集. (2)描述法求补集:当集合用描述法表示时,先确定全集范围与元素特征,再根据补集定义写出补集的描述条件. (3)利用数轴求补集:对于数集,若集合元素是连续形式,可借助数轴,先在数轴上标出全集对应范围,再画出给定集合对应范围,数轴上全集范围内给定集合范围之外的部分就是补集的对应范围. (4)借助Venn图求补集:画一个矩形表示全集,在矩形内画一个封闭图形表示给定集合.矩形内封闭图形外的部分就代表补集.通过Venn图可直观确定补集元素构成,尤其适用于多个集合关系判断场景. ◆ 探究点三　由集合间的关系求参数范围 例4 (1)[2026·江苏南通高一期中] 已知集合A={x|1<x<2},B={x|x<a},若A⊆B,则实数a的取值范围是 (　 ) A.a>2 B.a<2 C.a≤2 D.a≥2 (2)[2026·江苏扬州高一调研] 若集合A={x|x2+ax+a=0}⊆{1},则a的取值集合是 (　 ) A. B.{a|0<a<4} C.{a|a<0或a≥4} D. 变式 (1)已知集合A={x|-2≤x≤5},B={x|m+1≤x≤2m-1},若B为A的真子集,则m的取值范围是 (　 ) A.m<2 B.2≤m<3 C.m≤3 D.2<m≤3 (2)[2026·河北沧衡名校联盟高一期中] 已知全集U={1,2,3,4,5},M={1,5,a+2},∁UM={2,a2-1},则实数a=　　　　.  [素养小结] 由集合间的关系求参数问题的注意点及常用方法: (1)注意点:①不能忽视集合为⌀的情形;②当集合中含有字母参数时,一般需要分类讨论. (2)常用方法:对于用不等式给出的集合,已知集合的包含关系求相关参数的范围(值)时,常采用数形结合的思想,借助数轴解答. 学科网（北京）股份有限公司 $ 1.2　子集、全集、补集 【课前预习】 知识点一 任意一个　⊆　⊇　包含于　⊆　⊆　A⊆B　B⊆A　⊆ 诊断分析 (1)×　(2)√　(3)×　[解析] (1)“⊆”用来表示集合与集合间的关系,所以错误. (2)集合A是它本身的子集. (3)利用子集的定义判断. 知识点二 A≠B　⫋　⫌　真包含于　⫋　⫋ 知识点三 不属于A　∁SA　x∈S,且x∉A　⌀　S　A 诊断分析 (1)×　(2)×　(3)×　[解析] (1)因为∁SS=⌀,所以错误. (2)因为0∉∁ZN,而0∈∁ZN*,所以∁ZN≠∁ZN*. (3)当A=B时,二者相等,否则不相等. 知识点四 (1)所有元素　(2)U 诊断分析 (1)×　(2)×　(3)√　[解析] (1)全集不是固定不变的,是相对于研究问题而言的,给定的集合都可以作为全集. (2)任何集合都可能是全集,当研究一个特定集合时,这个集合就是全集,所以全集不一定包括任何一个元素. (3)根据全集的定义知应选集合A作为全集. 【课中探究】 探究点一 例1　解:(1)集合A的代表元素是数,集合B的代表元素是有序实数对,故A与B之间无包含关系. (2)矩形是特殊的平行四边形,故C⫋D. (3)由题意可知,P={x||x|<3}={x|-3<x<3},Q={x|-1<x<3},所以Q⫋P. (4)方法一:两个集合都表示若干个正奇数组成的集合,但由于n∈N*,因此集合M含有元素“1”,而集合N不含元素“1”,故N⫋M. 方法二:由列举法知M={1,3,5,7,…},N={3,5,7,9,…},所以N⫋M. 例2　解:(1)子集为⌀,{1},共2个;真子集为⌀,共1个. (2)子集为⌀,{a},{b},{a,b},共4个;真子集为⌀,{a},{b},共3个. (3)子集为⌀,{6},{7},{8},{6,7},{7,8},{6,8},{6,7,8},共8个;真子集为⌀,{6},{7},{8},{6,7},{7,8},{6,8},共7个. 变式　(1)AC　(2)7　[解析] (1)A={x|-1≤2x-1<5,x∈Z}={x|0≤x<3,x∈Z}={0,1,2}.对于A选项,1∈A,故A正确;对于B选项,{2,3}⊈{0,1,2},故B错误;对于C选项,A中有3个元素,故C正确;对于D选项,A有23=8(个)子集,故D错误.故选AC. (2)由题可知,集合A是集合{1,2,3,4,5}的真子集,且A必含有元素2,3.又因为{1,2,3,4,5}含元素2,3的真子集为{2,3},{1,2,3},{2,3,4},{2,3,5},{1,2,3,4},{1,2,3,5},{2,3,4,5},共7个,所以满足条件的集合A有7个. 探究点二 例3　(1)C　(2)B　[解析] (1)因为M={-1,0,1,2,3,4,5,6,7},N={x|x2-2x-3=0,x∈R}={3,-1},所以∁MN={0,1,2,4,5,6,7}.故选C. (2)方法一:∵U=R,M={x|x>2或x≤-2},∴∁UM={x|-2<x≤2}.故选B. 方法二:在数轴上表示出集合M,如图所示,根据补集的概念可知∁UM={x|-2<x≤2}. 变式　(1)C　(2){2,3,5,7}　[解析] (1)B={x∈Z|1≤x≤9}={1,2,3,4,5,6,7,8,9},故图中阴影部分表示的集合为∁BA={2,4,6,8,9},共5个元素.故选C. (2)因为集合A={1,3,5,7},∁UA={2,4,6},所以U={1,2,3,4,5,6,7},又∁UB={1,4,6},所以B={2,3,5,7}. 探究点三 例4　(1)D　(2)B　[解析] (1)因为集合A={x|1<x<2},B={x|x<a},且A⊆B,所以a≥2.故选D. (2)∵集合A={x|x2+ax+a=0}⊆{1},∴A=⌀或A={1}.当A=⌀时,Δ=a2-4a=a(a-4)<0,得或解得0<a<4;当A={1}时,无解.∴a的取值集合是{a|0<a<4}.故选B. 变式　(1)C　(2)2　[解析] (1)当B=⌀时,满足B为A的真子集,此时m+1>2m-1,解得m<2;当B≠⌀时,因为B为A的真子集,所以或解得2≤m≤3.综上所述,m的取值范围是m≤3.故选C. (2)∵全集U={1,2,3,4,5},M={1,5,a+2},∁UM={2,a2-1},∴或解得a=2. 学科网（北京）股份有限公司 $