专题1.2 子集、补集、全集（高效培优讲义）高一数学苏教版必修第一册

本讲义聚焦子集、真子集、全集与补集核心知识点，从子集定义切入，延伸至真子集的特殊关系，结合全集理解补集概念，构建从基础到应用的学习支架，帮助学生系统掌握集合间的包含与互补关系。 资料通过“即学即练”即时巩固、题型分类（如集合关系判断、空集应用）分层突破，结合Venn图与符号语言转换，提升数学抽象与逻辑推理素养。课中辅助教师系统教学，课后助力学生查漏补缺，强化知识应用能力。

专题1.2 子集、全集、补集 教学目标 1.了解集合之间包含关系的意义，会判断两个集合的包含关系； 2.理解子集、真子集概念，会判断简单集合的相等关系. 3.了解全集的意义，理解补集的概念，能利用Venn图表达集合间的关系；渗透相对和互补的观点. 教学重难点 1.重点 子集的概念，真子集的概念；学会用三种语言(自然语言、图形语言、符号语言)表达和转换，提升数学抽象和数学运算素养. 2.难点 元素与集合，子集，属于与包含间的区别；理解在给定集合中一个子集的补集的含义，能求给定子集的补集 知识点01 子集 定义 一般地,对于两个集合A,B,如果集合中任意一个元素都是集合中的元素,称集合为集合的子集 记法与读法 记作(或),读作“包含于”(或“B包含”) 图示 或 结论 （1）任何一个集合是它本身的子集,即; （2）对于集合A,B,C,若,且,则 （3） ∅⊆ ∅，∅⊆A； 注意： (1)“A是B的子集”的含义：集合A中的任何一个元素都是集合B的元素，即有任意x∈A能推出x∈B. (2)不能把“”理解为“A是B中部分元素组成的集合”，因为集合A可能是空集，也可能是集合B. (3)特殊情形：如果集合A中存在着不是集合B中的元素，那么集合A不包含于B，或集合B不包含集合A. (4)对于集合A，B，C，若，，则； 【即学即练】 1．已知集合，则集合的所有子集为_______. 【答案】，，， 【分析】明确集合，根据子集的概念可得集合的所有子集. 【详解】由或，所以. 所以集合的子集为：，，，. 故答案为：，，， 知识点02 真子集 定义 如果集合,但存在元素,且,我们称集合是集合的真子集 记法 记作AB或BA 图示 结论 (1)任何集合都不是它本身的真子集. (2)若，且，则. (3)若有限集A中有n个元素，则A的子集有2n个，真子集有2n-1个，非空子集有2n-1个，非空真子集有2n-2个. 【即学即练】 1．已知集合，下列不是集合A的真子集的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】求出集合的真子集，即可判断. 【详解】根据题意，集合的真子集为： 所以不是集合A的真子集的是. 故选：C 2．已知集合，且. (1)求的值； (2)写出集合的所有真子集. 【答案】(1) (2)，，，，，，. 【分析】（1）由，求得或，结合元素的特征，即可求解； （2）由（1）知集合，根据集合子集的概念，即可求解. 【详解】（1）当时，，不满足集合元素的互异性，不合题意； 当时，解得或，不合题意， 当时，，符合题意； 综上，； （2）由（1）可得，故集合A的所有真子集为： ，，，，，，. 知识点03 补集与全集 1．全集 （1）定义：如果一个集合含有我们所研究问题中涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集． （2）符号表示：全集通常记作. 2．补集的定义及性质 定义 文字语言 对于一个集合A,由全集中不属于集合的所有元素组成的集合称为集合相对全集的补集﹐简称为集合的补集﹐记作∁UA 符号语言 图形语言 结论 （1）∁UA表示一个集合； （2）是的子集，即； （3）∁UA是中不属于的所有元素组成的集合． 【即学即练】 1．若全集，则集合的补集为 A． B． C． D． 【答案】C 【详解】试题分析：因为全集,，所以=. 考点：集合的补集运算. 2．若全集，则集合的补集为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用集合的补集运算即可得解. 【详解】因为，， 所以. 故选：C 题型01 集合间关系的判断 【典例1】判定下列集合之间的关系： (1){x|x是矩形}，{x|x是平行四边形}； (2)， 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据子集定义可判断； （2）根据已知条件，结合子集的定义，理解的倍数一定是的倍数，的倍数不一定是的倍数，即可求解； 【详解】（1）x是矩形是平行四边形， ； （2），， ，， 的倍数一定是的倍数，的倍数不一定是的倍数， 例如： 所以； 判断集合间关系的3种方法： （1）列举法：用列举法将两个集合表示出来，再通过比较两集合中的元素来判断两集合之间的关系． （2）元素特征法：根据集合中元素满足的性质特征之间的关系判断． （3）图示法：利用数轴或图判断两集合间的关系 【变式1】下列表示集合和关系的Venn图中正确的是（    ） A．B． C． D． 【答案】C 【分析】分别求出集合，，由集合间关系即可求解. 【详解】由题意得，所以． 故选：C 【变式2】已知集合，，，则集合的关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】对集合分析，当为偶数时，比较它与集合的描述得到与集合的关系；通过整理集合与集合的描述，得到集合与集合的关系，从而得出集合的关系． 【详解】集合， 当时，， 当时，， 又集合，， 集合，集合， ，可得， 综上可得 故选：C 【变式3】已知A、B为非空数集，为平面上的一些点构成的集合，集合，集合，给定下列四个命题，其中真命题是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】D 【分析】运用元素和集合的关系判断即可. 【详解】设，， 若，此时，，B错误； 若，此时，，错误，A错误； 若，则,则， 且，若，真包含A,故D正确，C错误. 故选：D． 【变式4】设和是整式多项式，，都有解．；；． (1)判别A与B关系； (2)判别A与C关系并证明． 【答案】(1)； (2)A是C的子集 【分析】（1）根据集合的相等关系判断即可； （2）根据集合间的包含关系判断即可. 【详解】（1）因为等价于且； 等价于且； 则. （2）A是C的子集. 因为等价于或； 因为等价于且； 满足A的元素一定满足集合C，所以A是C的子集. 题型02 空集及其应用 【典例1】下列关系中正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据空集的定义和相关性质逐项分析判断即可. 【详解】因为空集不含任何元素，且空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集， 所以，，，不是的子集，故ABD错误，C正确； 故选：C. 【变式1】给出下列关系：①；②；③；④；⑤；⑥.其中正确的是（    ） A．①②④⑤ B．②③④⑤ C．②④⑤ D．②④⑤⑥ 【答案】D 【分析】根据元素与集合，集合与之间的关系一一判断即可. 【详解】由于元素与集合之间用或表示，所以①错误，②正确， 由于，集合与集合之间用或等表示，所以③错误，④正确， 根据集合与集合的关系可得⑤，⑥均正确， 所以正确的是②④⑤⑥， 故选：D. 【变式2】已知六个关系式①；②；③；④；⑤；⑥，它们中关系表达正确的个数为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【分析】根据空集的性质、元素与集合、集合与集合的关系判断各关系式的正误. 【详解】根据元素与集合、集合与集合关系： 是的一个元素，故，①正确； 是任何非空集合的真子集，故、，②③正确； 没有元素，故，④正确；且、，⑤错误，⑥正确； 所以①②③④⑥正确. 故选：C 【变式3】已知：集合，. (1)若，求实数a的取值范围； (2)若A和B有且只有一个是，求实数a的取值范围. 【答案】(1)； (2)或. 【分析】（1）（2）根据给定条件，利用空集的意义，结合一元二次方程判别式列出不等式组并求解即得. 【详解】（1）由，得，解得， 所以实数a的取值范围是. （2）由A和B有且只有一个是，得且或且， 则有或，解得或， 所以实数a的取值范围是或. 题型03 集合的子集、真子集 ①确定集合的子集、真子集 【典例1】集合的一个真子集可以为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】根据真子集的概念可知为的一个真子集． 【变式1】在下列集合中，是其真子集的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】是自身的子集，A错； 、与没有包含关系，B、D错； ，C对； 故选：C 【变式2】已知集合. (1)求集合； (2)写出集合的所有子集. 【答案】(1) (2)答案见解析 【分析】（1）根据的正负情况讨论求解即可； （2）根据子集的定义即可求解. 【详解】（1）当都为正数时，； 当都为负数时，； 当中有一个是正数，另外两个是负数时，； 当中有一个是负数，另外两个是正数时，. 综上所述，. （2）集合的所有子集为： . 【变式3】集合的全部非空子集的元素和等于_________. 【答案】240 【分析】先确定集合中的元素个数，对于集合中的任意一个元素，其余个元素每个都有“选”和“不选”两种情况，即可得到任意一个元素所在所有子集中出现的次数，进而可求解. 【详解】集合中共有个元素， 对于集合中的任意一个元素，它在所有子集中出现的次数为次， 则集合的全部非空子集的元素和等于. 故答案为：. ②子集、真子集的个数问题 【典例1】集合的子集的个数为（   ） A．64 B．16 C．6 D．4 【答案】A 【分析】确定集合，根据集合中元素的个数确定子集的个数. 【详解】由题意且，的值可以为：，所以有6个元素. 故集合的子集有：个. 【典例2】已知集合，，则满足条件⫋的集合C的个数为______. 【答案】3 【分析】确定集合，再结合子集、真子集的概念即可求解. 【详解】由题得，. 因为， 所以根据子集的定义，集合C必须含有元素2，5， 所以或或. 故答案为：3 1.求解有限集合子集问题的3个关键点： ①确定所求集合，是子集还是真子集；②合理分类，按照子集所含元素的个数依次写出；③注意两个特殊的集合，即空集和集合本身．空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集． 2.与子集、真子集个数有关的3个结论： 假设集合中含有个元素，则有：①的子集的个数为个；②的真子集的个数为个；③的非空真子集的个数为个． 【变式1】已知集合，则的子集个数为（    ） A．8 B．16 C．32 D．64 【答案】B 【分析】先求出集合中的元素，进而求得子集个数. 【详解】因为集合，则， 所以集合的子集个数为. 故选：B. 【变式2】已知集合，，则满足B的集合C的个数为（   ） A．4 B．7 C．8 D．15 【答案】B 【分析】方法一：根据集合关系写出所有满足题意的集合C即可得答案. 方法二：转化为求集合的任意一个真子集的个数求解即可. 【详解】方法一：因为集合，， 所以满足条件的集合C有：，，，，，，，共7个． 方法二：集合中有2个元素，集合中有5个元素， 故满足条件的集合C可以是集合的任意一个真子集与集合A的并集， 因为集合的真子集的个数为， 所以满足条件的集合C有 【变式3】（多选）已知集合，则下列四个结论正确的是（   ） A． B． C．集合B中元素的个数为8 D．集合B的真子集的个数为127 【答案】ABD 【分析】由集合写出集合，然后由集合的关系以及子集的个数计算方法逐个判断各个选项即可. 【详解】， ∴，，∴ A正确，B正确； 集合有7个元素，C错误； 集合B的真子集的个数为，D正确. 故选：ABD. 【变式4】已知，均为整数，且，，则集合的真子集的个数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】解方程得或，然后分别求出各个线段上的整数点，最后利用真子集个数结论求解即可. 【详解】要求集合的真子集个数，只需求集合的元素个数， 即，则或. 对于，由整数知且为偶数， 则有个满足条件的； 对于，由整数知且为3的倍数， 则有个满足条件的， 又因为被重复统计，故集合的元素个数是， 故集合的真子集的个数是. 故选：C. 题型04 子集、真子集的个数求参数 【典例1】若集合的子集只有两个，则实数______. 【答案】4 【分析】用描述法表示的集合元素个数问题，用到一元方程解的个数，用判别式与零的关系，当方程有一个解时，判别式等于零. 【详解】因为集合的子集只有两个，所以A中只含有一个元素. 当时，，与题意不符； 当时，若集合A只有一个元素，由一元二次方程判别式得或4. 综上，当时，集合A只有一个元素. 故答案为：4. 【变式1】方程的解集有且仅有两个子集，则实数的值为__________. 【答案】 【分析】根据子集个数判断元素个数，利用判别式即可求解. 【详解】因为方程的解集有且仅有两个子集， 所以方程有两个相等实数解， 所以，即，解得，即. 故答案为： 【变式2】如果集合中只有一个元素，则实数的所有可能值的和为________. 【答案】4 【分析】集合只有1个元素，即方程只有1个解，分一元一次、一元二次方程进行讨论即可. 【详解】当时，只有1个解，符合题意； 当时，对于一元二次方程只有1解，则，解得. 综上实数的所有可能值的和为， 故答案为：4. 【变式3】已知集合有且仅有两个子集，则满足条件的实数的值有__________个. 【答案】3 【分析】根据题意集合有一个元素，考虑和两种情况，计算得到答案即可. 【详解】由题意，集合有且仅有两个子集，则集合只有一个元素， 当时，，解得，符合题意； 当时，，解得或， 当时，，符合题意， 当时，，符合题意. 综上所述，的取值有3个. 故答案为：3. 【变式4】已知，集合有8个子集，则的一个值为（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】A 【分析】根据已知条件得出集合中元素的个数，从而得出的因数个数，即可求出的值． 【详解】由题意得集合中有8个子集， 又，集合中有三个元素，即有三个正因数， 而在正整数中，恰有3个正因数的数是质数的平方， 设为质数，则，此时正因数为， ，，则或3， 的值可以为4或9，故A正确． 故选：A． 题型05 根据集合的包含关系求参数 【典例1】若集合，，且，则的值为（    ） A．4 B．2或4 C．或4 D．或4 【答案】C 【详解】当时，满足； 当时，因为，所以， 此时，满足． 【典例2】设集合，. (1)若，求实数a的取值范围； (2)若 ，求实数a的取值范围 【答案】(1)或 (2) 【分析】（1）由，对集合进行分类讨论：①若，②若为，，③若，由此求得的值即可. （2）先化简集合，，再由 ，能求得的值. 【详解】（1）集合，， 由题意， ①若，则，则； ②若或，则 解得：，将代入方程得：得：， 即符合要求； ③若，则，即 即的两根分别为、0， 则有且，则. 综上所述，实数的取值范围是或. （2），， 则，即 ， 即0和是方程的两根， ，， 解得：或（舍去）， 故. 由集合间的关系求参数的2种方法： （1）当集合为连续数集时，常借助数轴来建立不等关系求解，此时应注意端点处是实点还是虚点． （2）当集合为不连续数集时，常根据集合包含关系的意义，建立方程求解，此时应注意分类讨论思想的运用． 【变式1】设集合，，若，则由实数组成的集合为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意，分和，两种情况讨论，结合，列出方程，即可求解. 【详解】当时，方程无解，即，满足； 当时，由方程，解得，即， 因为，可得或，解得或， 所以由实数组成的集合为. 【变式2】设集合 ，且 ，则实数的取值集合为_____. 【答案】 【分析】化简集合，分类讨论，根据求解. 【详解】， 因为， 当，即时，， 满足； 当，即时，由可得或， 所以，由 ， 所以或，解得或. 综上所述，实数的取值集合为. 【变式3】已知集合，，且.若，求实数的值. 【答案】 【分析】解出，由题意知或或，由此即可解出实数的值. 【详解】因为 所以 解得或， 所以， 因为且， 所以或或， 当时，，方程无解； 当时，； 当时，，方程无解； 综上所述：. 【变式4】已知集合，． (1)若，求； (2)若，求实数的取值集合； (3)若中有3个整数，求实数的取值集合； (4)若，求实数的取值集合； (5)若，求实数的取值取值集合； 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) 【分析】（1）略 （2）略 （3）根据区间长度得，解得，接下来再分，，和，根据左端点的范围确定右端点的范围，进行求解； （4）根据集合的包含关系确定参数范围； （5）根据集合的包含关系确定参数范围. 【详解】（1）因为，，所以. （2）因为， 若，则，解得， 所以实数的取值集合为. （3）因为，中有3个整数， 所以，解得， 当时，，符合题意， 当时，， 若中有3个整数，则，即， 此时集合中的整数为，符合题意； 当时，，不符合题意； 当时，， 若中有3个整数，则，即， 此时集合中的整数为，符合题意； 综上所述，实数的取值集合为. （4）当时，如图，此时． 则，即，因此的取值集合为． （5）当时，如图， 此时，解得，此时无解； 当时，由，解得． 综上可得：的取值集合为． 题型06 补集及其运算 【典例1】设全集，集合，则CUM（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】， ， 所以. 求集合补集的基本方法及处理技巧： （1）基本方法：定义法． （2）两种处理技巧：①当集合用列举法表示时，可借助Venn图求解；②当集合是用描述法表示的连续数集时，可借助数轴，利用数轴分析求解． 【变式1】已知集合，则（    ） A． B．或 C． D．或 【答案】D 【详解】因为，所以或 【变式2】已知集合，，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由子集的定义分类讨论参数的取值，并通过集合的互异性进行验证，最后由补集的运算求解即可. 【详解】由题意得或， 当时，，此时集合不满足互异性，舍去， 当时，，此时，满足题意， 则. 【变式3】已知集合，集合，则下列各选项中属于的元素是（    ）. A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由可得：，则， 所以， 则，，，. 题型07 与子集、补集、全集有关的的新定义问题 【典例1】若对任意，都有，则称非空集合为“和谐集”，已知集合，则集合的子集中“和谐集”的个数为（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】根据集合的新定义及元素与集合的关系判断求解. 【详解】由且可得： 若，则， 所以“和谐集”不含元素； 若，不存在，所以“和谐集”不含元素； 若，则，要求也属于该集合，产生矛盾， 所以“和谐集”不含元素； 若，则， 若，则， 若，则； 所以集合的子集中“和谐集”只有. 故选：B． 【变式1】当集合是的子集且的元素个数有限，称的所有元素之和为的“厚度”.集合 的全部非空子集的厚度之和为（    ） A．3200 B．1600 C．1550 D．800 【答案】B 【分析】对于集合中每个元素，计算它在所有非空子集中出现的次数，再乘以该元素的值，最后求和即可. 【详解】根据题意,任意一个元素在非空子集中的出现次数为:. 集合的元素之和为. 所以集合的全部非空子集的厚度之和为:. 【变式2】对于非空集合，其所有元素的几何平均数记为，即若非空数集满足下列两个条件：① ；②，则称为的一个“保均值真子集”，，则集合的“保均值真子集”的个数为（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】C 【分析】确定，通过逐个列举求解即可. 【详解】解：因为集合， 则， 单元素子集需满足，故只有， 两个元素子集需满足，即，有， 三个元素的子集需满足，即，有， 四个元素的子集需满足，即，有， 所以集合的“保均值真子集”有：，共6个. 故选：C. 【变式3】定义：设非空数集，若，，则称是一个“乘法封闭集”；若，，则称为的一个“完美元素”.已知集合. (1)证明：是一个“乘法封闭集”； (2)若“乘法封闭集”恰有4个子集，求集合； (3)若是集合的一个“完美元素”，求的值. 【答案】(1)证明见解析. (2)，或. (3) 【分析】（1）根据“乘法封闭集”的定义证明即可； （2）根据“乘法封闭集”的定义进行讨论即可； （3）根据“完美元素”的定义，得到m和n的关系，进行讨论排除即可. 【详解】（1）设，则， 所以， 因为，所以，所以， 所以是一个“乘法封闭集”. （2）根据题意，中恰有2个元素，不妨设， 由“乘法封闭集”的定义可知，， 由，得或，即或，所以，或， 若令，则，所以，解得（舍去），此时； 若令，则，所以或，解得或（舍去），此时，或. 综上，，或. （3）因为是集合的一个“完美元素”， 所以， 所以，且不同时为0， ， 因为，所以，或. 假设，则，即为7的倍数， 设，若，则，不是7的倍数； 若，则，不是7的倍数； 若，则，不是7的倍数； 若，则，不是7的倍数； 若，则，不是7的倍数； 若，则，不是7的倍数； 若，则，不是7的倍数， 假设不成立，所以，所以. 1．已知全集，集合，则（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意，利用集合补集的定义与运算，即可求解. 【详解】由全集，集合， 根据集合补集的定义与运算，可得. 2．已知集合，，若，则实数的值为（   ） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】C 【分析】由可知中元素必属于，故或；分别求解后，结合集合元素的互异性排除，最终得或． 【详解】由，得或， 若，则，，满足， 若，则或， 时，，，满足， 时，，不满足集合元素的互异性， 综上，或． 3．已知集合，若，则（    ） A．10或18 B．或 C．18 D． 【答案】B 【分析】分，两种情况结合题意讨论求解即可. 【详解】若，则方程只有一个解， 则，得， 所以或，此时， 若，则方程有两相异实数解且是方程的其中一个解， 则，得， 所以方程可化为，则，； 综上，或. 4．已知集合，，若，则满足条件的实数的个数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】根据集合包含关系的定义，由可知必在集合中，因此分情况讨论求解即可. 【详解】因为，所以必在集合中， 当，解得， 此时不满足集合元素的互异性，故 舍去， 当，解得或（舍去）， 此时，满足条件， 综上所述，， 故满足条件的实数的个数为1个. 故选：A. 5．已知集合，集合，若，则实数（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】先计算集合，结合集合间的包含关系，计算即可得答案. 【详解】由，解得或，所以. 因为，所以且. 由可知，或或，解得或 当时，，不满足集合元素的互异性，舍去； 当时，满足，故. 故选：B. 6．集合 之间的关系是（　　） A．⫋ B．⫋ C．⫋⫋ D．⫋ 【答案】A 【分析】由题意可得，，，即可得答案. 【详解】集合， ， 所以， ， ， 所以⫋. 故选：A 7．利用列举法求集合的子集的过程中，含有三个元素的子集共有（    ） A．8个 B．9个 C．10个 D．11个 【答案】C 【分析】列举出集合含有三个元素的子集即可求出答案. 【详解】集合含有三个元素的子集有，，，，，，，，，. 所以集合含有三个元素的子集共有个. 故选：C. 8．若集合，则实数的取值范围是_____. 【答案】 【分析】利用空集的意义，结合方程根的情况列式求解即得. 【详解】当时，不成立，即，则； 当时，由，得，解得， 所以实数的取值范围是. 故答案为： 9.已知集合，且集合的所有非空真子集的元素之和为6，则______． 【答案】 【分析】写出所有非空真子集，结合题意即可得解. 【详解】集合的所有非空真子集为，所以元素之和为， 故. 故答案为： 10.设P，Q为两个非空实数集合，定义集合，若，，则集合中元素的个数是__________，子集的个数是__________. 【答案】 3 8 【分析】根据条件求出，进而可得结果. 【详解】按的定义，中元素为，共3个，子集个数为个. 故答案为：①3②8. 11.设集合，已知． (1)求集合； (2)写出集合的所有子集： (3)设集合，若，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2)，，，. (3) 【分析】（1）由，可求得，即可求解； （2）由，即可求出相应的子集； （3）由，结合（2）分别对进行讨论，从而求解. 【详解】（1）由，所以，得， 则，解得或， 所以. （2）由， 所以集合的子集为：，，，. （3）由，由集合的子集为：，，，. 当时，即，解得； 当时，则，解得； 当时，则，解得； 当时，则，无解； 综上：实数的取值范围为. 12.已知. (1)若，求实数的值； (2)若，求实数的取值范围. 【答案】(1)1 (2)或 【分析】（1）先求出集合，再由分析出，由一元二次方程根与系数的关系即可求出的值； （2）若，分析出集合有四种情况，即或或或，结合一元二次方程的判别式及根与系数的关系，即可求出的取值范围. 【详解】（1）因为，解得或，所以. 因为，所以， 所以-4和0是方程的两个根， 由韦达定理可得，解得， 所以实数的值是1； （2）若，则或或或. 当时， ，解得； 当时，，即， 此方程组无解，值不存在； 当时，，即，解得； 当时，由（1）知. 综上，可知实数的取值范围或. 1.设集合，若的所有子集中的所有元素之和为32，则（　　） A．0 B． C．1 D．2 【答案】A 【分析】根据子集概念分析即可求解. 【详解】由题意可知，集合的非空真子集的个数为， 集合中的每一个元素在其非空真子集中出现的次数为次， 所以的所有子集中的所有元素之和为， 所以． 故选：A 2.若，且，则称A为“影子关系”集合.在集合的所有非空子集中，为“影子关系”集合的有（    ）个. A．3 B．4 C．7 D．31 【答案】C 【分析】结合“影子关系”集合定义直接列举即可. 【详解】由“影子关系”集合定义可知，集合中，为影子关系的集合有 . 故选：C. 3．已知集合，若为的真子集，则的取值范围是（   ） A． B． C． D．或 【答案】D 【分析】分集合是否是空集进行讨论列式计算即可求解. 【详解】当时，满足为的真子集，此时，解得. 当时，则第二个与第三个不等式等号不能同时取到， 或第二个与第三个不等式等号不能同时取到， 解得. 综上，或，即m的取值范围是. 故选：D. 4.（多选）已知集合，则（    ） A．若，则 B．若，则有两个子集 C．若中只有一个元素，则 D．不可能为 【答案】AB 【分析】利用元素与集合关系求解判断A；求出集合判断B；根据集合中元素的个数求出参数的值或取值范围，可判断CD选项. 【详解】对于A，由，得，解得，A正确； 对于B，由，得，解得，集合有两个子集，B正确； 对于C，若集合只有一个元素， 当时，，合乎题意， 当时，则有，解得， 故当中只有一个元素时，或，C错误； 对于D，当时，则关于的方程无实数解， 所以，解得， 故当时，，D错误. 故选：AB. 5．（多选）已知集合，若、、、是的个不同的子集，且，则的可能值有（   ） A． B． C． D． 【答案】AB 【分析】根据所有子集的并集不等于集合可知集合中至少比所有子集的并集多一个元素，仅多一个元素时可以求得最大，再进行反证法验证即可. 【详解】由可知所有子集的并集缺少集合中至少一个元素， 假设缺少元素，则所有子集均不含元素，即是集合的子集， 集合的子集个数为，且这些子集的并集必不含，满足条件. 假设，要满足所有子集的并集不等于集合， 必须至少有一个集合中的元素不在任何一个子集中，否则并集就会等于， 设这个缺失的元素是，那么个子集都不含元素， 即每个子集都是集合的子集， 而集合只有个不同的子集， 所以无法从中取出至少个不同的子集， 因此假设不成立，必须小于，所以的最大值为， 故选：AB. 6.（多选）设集合，集合，若，实数取值的集合，则下列命题正确的为（   ） A． B． C．集合的非空子集为7个 D．集合的子集为4个 【答案】AC 【分析】求出集合，再根据分情况讨论集合，进而求出实数取值的集合，依次判断选项即可. 【详解】由题可得：，因为， 当时，； 当时，，则或，解得：或， 所以实数取值的集合， 则，故A正确；B错误； 集合的子集为个，非空子集为个，故C正确，D错误； 故选：AC 7．已知集合，，集合中所有元素的乘积称为集合的“累积值”，且规定：当集合只有一个元素时，其累积值即为该元素的数值，空集的累积值为0．设集合的累积值为． （1）若，则这样的集合共有________个； （2）若为偶数，则这样的集合共有________个． 【答案】 2 13 【分析】根据“累积值”的定义，结合间接法与集合子集个数的求法得解即可. 【详解】（1）若，据“累积值”的定义得或，这样的集合共有2个； （2）集合的子集共有个， 其中“累积值”为奇数的子集为、、，共3个，所以“累积值”为偶数的集合共有13个． 8.已知集合,集合,其中要么,要么,则符合条件的集合有__________个. 【答案】211 【分析】根据集合的互异性和无序性，只需考虑集合真包含于集合的情况即可，可根据集合中元素的数量进行分类讨论. 【详解】由集合的互异性可知，,因此集合真包含于集合或集合真包含于集合. 由集合的无序性可知，只需求解真包含于的情况即可. 因此，真包含于,包含于. 根据集合的元素个数进行分类讨论，其中代表符合条件的集合的数量. ①若为空集，此时是集合的非空子集，则; ②若包含集合中的任意一个元素，将该元素记为,此时集合的可能情况数可认为是集合去掉元素后的新集合的非空子集数，因此; 以下情形的计数原理与情形②相同，不再赘述. ③若包含集合中的任意两个元素，则; ④若包含集合中的任意三个元素，则. ⑤若包含集合中的任意四个元素，此时因此. 综上，. 故答案为：211. 9.已知集合． (1)若中恰有一个元素，求实数的取值构成的集合； (2)若，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据一次方程以及二次方程的判别式即可求解， （2）对进行讨论，即可结合（1）的结论以及韦达定理求解. 【详解】（1）对于， 当，即时，方程为，则，集合中只有一个元素，满足题意； 当时，方程为关于的一元二次方程， 由题意知，该方程有两个相等的实根， 所以， 解得或. 所以实数的取值构成的集合为. （2）由题意可知，，若，则分以下几种情况讨论： ①当时，，即. ②当集合中只有一个元素时，由（1）知， 当时，，，； 当时，，，，； 当时，，，，. ③当集合中有两个元素时， 因为，所以，即， 即关于的方程的两根分别为1，2， 所以，无解. 综上所述，实数的取值范围是. 10.已知集合，． (1)若且，求b的值． (2)若且，求a的值． (3)是否存在实数a，使得对于任意实数b（且），都有？若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)或1． (3)存在 【分析】（1）利用子集的意义可求解； （2）解方程求得集合，根据子集的意义可求解； （3）由题意知，利用子集的意义求解即可. 【详解】（1）若，则．因为，所以． （2）当时，， 因为，所以，所以， 所以，所以或或， 解得或1． （3）若对于任意实数b，都有，则． 所以，所以，解得， 所以存在，使得对于任意实数b（且），都有． 11．已知集合，. (1)若，且，求的值； (2)当时，若，求，的值； (3)若，讨论，的取值范围. 【答案】(1) (2)， (3)答案见解析 【分析】（1）根据，代入中方程求解即可； （2）分与两种情况讨论，根据包含关系求参数的解； （3）结合，及解得个数，分类讨论求解. 【详解】（1）时，， 由可得，解得. （2）当时，方程至少有一解. 当时，为空集，要使，则也为空集，即方程无解， 则，与矛盾，舍去； 当时，，若，则方程有且仅有一解为， 则，且，整理得方程， 解得，故，. （3）当时，为空集，必有； 当时，，若，若方程有且仅有一解为， 由上知，则，. 若方程有两解，则且， 解得且，且. 综上，当时，可以为任意实数；当时，. 12．对于一个由实数构成的有限集合A，设表示集合A中所有元素的求和，对于集合A的一个非空真子集E，若满足，我们称集合E是“集合A的完美子集”， (1)写出集合的所有完美子集； (2)是否存在3个不同的实数，，，且，使得集合的完美子集个数为5，若存在，给出，，之间的关系；若不存在，说明理由； (3)设由n个元素构成的集合S满足，求集合S的完美子集个数的最小值， 【答案】(1)和 (2)存在，且 (3) 【分析】（1）根据题意完美子集的定义即可得解； （2）列举出中的3个元素构成的所有非空真子集，根据完美子集定义计算判断即可； （3）设，通过完美子集和集合性质得出完美子集至少个， 【详解】（1）根据完美子集的定义，可知的完美子集有和； （2）由于的非空真子集有，，，，，，共有6个， 其中5个为完美子集，故只能为，，， 由于为完美子集，故， 综上所述：存在3个不同的实数，，使得集合的完美子集个数为5， 且这三个实数满足且的关系， （3）设，则， 考虑，若，设集合为E在S中的补集，则， 否则，由于，， 所以与矛盾， 故至多个非完美子集，即完美子集至少个， 取，， 由于， 故若，则，若，则， 故S的完美子集有个，即S满足上述论证最小值， 综上所述，S的完美子集个数的最小值为， 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题1.2 子集、全集、补集 教学目标 1.了解集合之间包含关系的意义，会判断两个集合的包含关系； 2.理解子集、真子集概念，会判断简单集合的相等关系. 3.了解全集的意义，理解补集的概念，能利用Venn图表达集合间的关系；渗透相对和互补的观点. 教学重难点 1.重点 子集的概念，真子集的概念；学会用三种语言(自然语言、图形语言、符号语言)表达和转换，提升数学抽象和数学运算素养. 2.难点 元素与集合，子集，属于与包含间的区别；理解在给定集合中一个子集的补集的含义，能求给定子集的补集 知识点01 子集 定义 一般地,对于两个集合A,B,如果集合中 都是集合中的元素,称集合为集合的子集 记法与读法 记作(或),读作“包含于”(或“B包含”) 图示 或 结论 （1）任何一个集合是它本身的子集,即; （2）对于集合A,B,C,若,且,则 （3） ∅ ∅，∅ A； 注意： (1)“A是B的子集”的含义：集合A中的 都是集合B的元素，即有任意x∈A能推出x∈B. (2)不能把“”理解为“A是B中部分元素组成的集合”，因为集合A可能是 ，也可能是 . (3)特殊情形：如果集合A中存在着不是集合B中的元素，那么集合A不包含于B，或集合B不包含集合A. (4)对于集合A，B，C，若，，则； 【即学即练】 1．已知集合，则集合的所有子集为_______. 知识点02 真子集 定义 如果集合,但存在元素,且,我们称集合是集合的真子集 记法 记作 图示 结论 (1)任何集合都不是它本身的 . (2)若，且，则. (3)若有限集A中有n个元素，则A的子集有 个，真子集有 个，非空子集有 个，非空真子集有 个. 【即学即练】 1．已知集合，下列不是集合A的真子集的是（    ） A． B． C． D． 2．已知集合，且. (1)求的值； (2)写出集合的所有真子集. 知识点03 补集与全集 1．全集 （1）定义：如果一个集合含有我们所研究问题中涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集． （2）符号表示：全集通常记作. 2．补集的定义及性质 定义 文字语言 对于一个集合A, ﹐简称为集合的补集﹐记作∁UA 符号语言 图形语言 结论 （1）∁UA表示一个集合； （2）是的子集，即； （3）∁UA是中不属于的所有元素组成的集合． 【即学即练】 1．若全集，则集合的补集为 A． B． C． D． 2．若全集，则集合的补集为（   ） A． B． C． D． 题型01 集合间关系的判断 【典例1】判定下列集合之间的关系： (1){x|x是矩形}，{x|x是平行四边形}； (2)， 判断集合间关系的3种方法： （1）列举法：用列举法将两个集合表示出来，再通过比较两集合中的元素来判断两集合之间的关系． （2）元素特征法：根据集合中元素满足的性质特征之间的关系判断． （3）图示法：利用数轴或图判断两集合间的关系 【变式1】下列表示集合和关系的Venn图中正确的是（    ） A．B． C． D． 【变式2】已知集合，，，则集合的关系是（    ） A． B． C． D． 【变式3】已知A、B为非空数集，为平面上的一些点构成的集合，集合，集合，给定下列四个命题，其中真命题是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【变式4】设和是整式多项式，，都有解．；；． (1)判别A与B关系； (2)判别A与C关系并证明． 题型02 空集及其应用 【典例1】下列关系中正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式1】给出下列关系：①；②；③；④；⑤；⑥.其中正确的是（    ） A．①②④⑤ B．②③④⑤ C．②④⑤ D．②④⑤⑥ 【变式2】已知六个关系式①；②；③；④；⑤；⑥，它们中关系表达正确的个数为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【变式3】已知：集合，. (1)若，求实数a的取值范围； (2)若A和B有且只有一个是，求实数a的取值范围. 题型03 集合的子集、真子集 ①确定集合的子集、真子集 【典例1】集合的一个真子集可以为（    ） A． B． C． D． 【变式1】在下列集合中，是其真子集的是（    ） A． B． C． D． 【变式2】已知集合. (1)求集合； (2)写出集合的所有子集. 【变式3】集合的全部非空子集的元素和等于_________. ②子集、真子集的个数问题 【典例1】集合的子集的个数为（   ） A．64 B．16 C．6 D．4 【典例2】已知集合，，则满足条件⫋的集合C的个数为______. 1.求解有限集合子集问题的3个关键点： ①确定所求集合，是子集还是真子集；②合理分类，按照子集所含元素的个数依次写出；③注意两个特殊的集合，即空集和集合本身．空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集． 2.与子集、真子集个数有关的3个结论： 假设集合中含有个元素，则有：①的子集的个数为个；②的真子集的个数为个；③的非空真子集的个数为个． 【变式1】已知集合，则的子集个数为（    ） A．8 B．16 C．32 D．64 【变式2】已知集合，，则满足B的集合C的个数为（   ） A．4 B．7 C．8 D．15 【变式3】（多选）已知集合，则下列四个结论正确的是（   ） A． B． C．集合B中元素的个数为8 D．集合B的真子集的个数为127 【变式4】已知，均为整数，且，，则集合的真子集的个数为（   ） A． B． C． D． 题型04 子集、真子集的个数求参数 【典例1】若集合的子集只有两个，则实数______. 【变式1】方程的解集有且仅有两个子集，则实数的值为__________. 【变式2】如果集合中只有一个元素，则实数的所有可能值的和为________. 【变式3】已知集合有且仅有两个子集，则满足条件的实数的值有__________个. 【变式4】已知，集合有8个子集，则的一个值为（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 题型05 根据集合的包含关系求参数 【典例1】若集合，，且，则的值为（    ） A．4 B．2或4 C．或4 D．或4 【典例2】设集合，. (1)若，求实数a的取值范围； (2)若 ，求实数a的取值范围 由集合间的关系求参数的2种方法： （1）当集合为连续数集时，常借助数轴来建立不等关系求解，此时应注意端点处是实点还是虚点． （2）当集合为不连续数集时，常根据集合包含关系的意义，建立方程求解，此时应注意分类讨论思想的运用． 【变式1】设集合，，若，则由实数组成的集合为（     ） A． B． C． D． 【变式2】设集合 ，且 ，则实数的取值集合为_____. 【变式3】已知集合，，且.若，求实数的值. 【变式4】已知集合，． (1)若，求； (2)若，求实数的取值集合； (3)若中有3个整数，求实数的取值集合； (4)若，求实数的取值集合； (5)若，求实数的取值取值集合； 题型06 补集及其运算 【典例1】设全集，集合，则CUM（   ） A． B． C． D． 求集合补集的基本方法及处理技巧： （1）基本方法：定义法． （2）两种处理技巧：①当集合用列举法表示时，可借助Venn图求解；②当集合是用描述法表示的连续数集时，可借助数轴，利用数轴分析求解． 【变式1】已知集合，则（    ） A． B．或 C． D．或 【变式2】已知集合，，若，则（    ） A． B． C． D． 【变式3】已知集合，集合，则下列各选项中属于的元素是（    ）. A． B． C． D． 题型07 与子集、补集、全集有关的的新定义问题 【典例1】若对任意，都有，则称非空集合为“和谐集”，已知集合，则集合的子集中“和谐集”的个数为（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【变式1】当集合是的子集且的元素个数有限，称的所有元素之和为的“厚度”.集合 的全部非空子集的厚度之和为（    ） A．3200 B．1600 C．1550 D．800 【变式2】对于非空集合，其所有元素的几何平均数记为，即若非空数集满足下列两个条件：① ；②，则称为的一个“保均值真子集”，，则集合的“保均值真子集”的个数为（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 【变式3】定义：设非空数集，若，，则称是一个“乘法封闭集”；若，，则称为的一个“完美元素”.已知集合. (1)证明：是一个“乘法封闭集”； (2)若“乘法封闭集”恰有4个子集，求集合； (3)若是集合的一个“完美元素”，求的值. 1．已知全集，集合，则（     ） A． B． C． D． 2．已知集合，，若，则实数的值为（   ） A．或 B．或 C．或 D．或 3．已知集合，若，则（    ） A．10或18 B．或 C．18 D． 4．已知集合，，若，则满足条件的实数的个数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 5．已知集合，集合，若，则实数（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 6．集合 之间的关系是（　　） A．⫋ B．⫋ C．⫋⫋ D．⫋ 7．利用列举法求集合的子集的过程中，含有三个元素的子集共有（    ） A．8个 B．9个 C．10个 D．11个 8．若集合，则实数的取值范围是_____. 9.已知集合，且集合的所有非空真子集的元素之和为6，则______． 10.设P，Q为两个非空实数集合，定义集合，若，，则集合中元素的个数是__________，子集的个数是__________. 11.设集合，已知． (1)求集合； (2)写出集合的所有子集： (3)设集合，若，求实数的取值范围． 12.已知. (1)若，求实数的值； (2)若，求实数的取值范围. 1.设集合，若的所有子集中的所有元素之和为32，则（　　） A．0 B． C．1 D．2 2.若，且，则称A为“影子关系”集合.在集合的所有非空子集中，为“影子关系”集合的有（    ）个. A．3 B．4 C．7 D．31 3．已知集合，若为的真子集，则的取值范围是（   ） A． B． C． D．或 4.（多选）已知集合，则（    ） A．若，则 B．若，则有两个子集 C．若中只有一个元素，则 D．不可能为 5．（多选）已知集合，若、、、是的个不同的子集，且，则的可能值有（   ） A． B． C． D． 6.（多选）设集合，集合，若，实数取值的集合，则下列命题正确的为（   ） A． B． C．集合的非空子集为7个 D．集合的子集为4个 7．已知集合，，集合中所有元素的乘积称为集合的“累积值”，且规定：当集合只有一个元素时，其累积值即为该元素的数值，空集的累积值为0．设集合的累积值为． （1）若，则这样的集合共有________个； （2）若为偶数，则这样的集合共有________个． 8.已知集合,集合,其中要么,要么,则符合条件的集合有__________个. 9.已知集合． (1)若中恰有一个元素，求实数的取值构成的集合； (2)若，求实数的取值范围． 10.已知集合，． (1)若且，求b的值． (2)若且，求a的值． (3)是否存在实数a，使得对于任意实数b（且），都有？若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由． 11．已知集合，. (1)若，且，求的值； (2)当时，若，求，的值； (3)若，讨论，的取值范围. 12．对于一个由实数构成的有限集合A，设表示集合A中所有元素的求和，对于集合A的一个非空真子集E，若满足，我们称集合E是“集合A的完美子集”， (1)写出集合的所有完美子集； (2)是否存在3个不同的实数，，，且，使得集合的完美子集个数为5，若存在，给出，，之间的关系；若不存在，说明理由； (3)设由n个元素构成的集合S满足，求集合S的完美子集个数的最小值， 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $