1.1 集合的概念与表示(Word讲义)-【满分思维】2026-2027学年高中数学必修第一册学生用书（苏教版）

第1章　集合 1.1　集合的概念与表示 【课前预习】 知识点一 1.确定的、不同的　对象　元 2.N　N*或N+　Z　Q　R 3.a是集合A的元素　a∈A　a不是集合A的元素　a∉A a∈ 诊断分析 1.(1)√　(2)×　[解析] (1)“平面上到A,B两点的距离相等的点的全体”是确定的,能够组成集合. (2)“苏教版必修第一册课本上所有的难题”不是确定的,不能组成集合. 2.解:(1)因为集合A是由高一年级16个班组成的,所以高一(5)班是集合A中的元素,高三(5)班不是集合A中的元素. (2)a,b是高一年级16个班中某两个不同的班.因为集合A中的元素具有互异性,所以a与b是不同的班. 知识点二 1.花括号“{　}”　2.性质　{x|p(x)}　3.封闭　内部 诊断分析 解:(1)正确.两个集合都表示-1到2之间的实数. (2)错误.集合{(x,y)|y=2x+5}是点集,集合{x|y=2x+5}是数集.不表示同一个集合. 知识点三 1.完全相同　都是　都是　2.有限　无限　空集　⌀ 【课中探究】 探究点一 例1　(1)A　(2)B　[解析] (1)对于A,联合国安理会常任理事国包括中国、俄罗斯、英国、法国和美国,能组成一个集合,故A正确;对于B,“很喜欢”不是一个明确的标准,具有不确定性,故我校很喜欢踢足球的同学不能组成一个集合,故B错误;对于C,不大于3的自然数包括0,1,2,3,故C错误;对于D,=,=,不同的数有1,0,5,,,共5个,故D错误.故选A. (2)因为是实数,所以①正确;因为2是整数,所以②正确;因为|-3|=3是正整数,所以③错误;因为|-|=不是有理数,所以④错误.所以关系正确的有2个,故选B. 变式　(1)C　(2)ACD　[解析] (1)因为集合具有确定性,且比较大的数、中国农业人才、高中善于跳远的学生都是不确定的,所以A,B,D错误;对于C,地球上的七大洲为亚洲、非洲、欧洲、北美洲、南美洲、大洋洲和南极洲,满足集合的特性,C正确.故选C. (2)对于A,因为+<+=4<5,所以a∈A,所以A正确;对于B,因为a2=(+)2=5+2>5,所以a2∉A,所以B错误;对于C,因为===-<5,所以∈A,所以C正确;对于D,因为a+1=++1<++1=4+1=5,所以a+1∈A,所以D正确.故选ACD. 探究点二 例2　解:(1)因为不大于10是指小于或等于10,非负是大于或等于0的意思, 所以不大于10的非负偶数组成的集合是{0,2,4,6,8,10}. (2)方程x2=x的实数解是x=0或x=1,所以方程的解组成的集合为{0,1}. (3)将x=0代入y=2x+1,得y=1,即直线y=2x+1与y轴的交点是(0,1),故直线y=2x+1与y轴的交点组成的集合是{(0,1)}. (4)解方程组得 所以方程组的解组成的集合为{(0,1)}. 例3　解:(1)大于-1且小于7的整数可以用x表示,它满足的条件是x∈Z且-1<x<7,因此集合可表示为{x∈Z|-1<x<7}. (2)设被3除余2的数为x,则x=3n+2,n∈Z,但要求元素为正整数,故x=3n+2,n∈N,所以被3除余2的正整数组成的集合可表示为{x|x=3n+2,n∈N}. (3)由(x-2)2+(y+3)2=0,解得x=2,y=-3, 所以集合可表示为{(x,y)|x=2,y=-3}. 变式　解:(1)A={2,3,5,7,11,13,17}. (2)B={x|x=2k+1,k∈Z}. (3)C={(x,y)|y=x2}. (4)D={(1,4),(2,3),(3,2),(4,1)}. 探究点三 例4　(1)BD　(2)-6　[解析] (1)对于A,{x|-1<x<1}≠{-1,1},A错误;对于B,{x|x2=1}={1,-1},B正确;对于C,{(x,y)|x=-1,y=1}={(-1,1)}≠{-1,1},C错误;对于D,只有当x=1或x=-1时,y=-∈Z,故={1,-1},D正确.故选BD. (2)由A={2,a+5,a2+5a},6∈A,可得a+5=6或a2+5a=6.若a+5=6,则a=1,此时不满足集合中元素的互异性,故舍去;若a2+5a=6,则a=-6或a=1(舍去),当a=-6时,A={2,-1,6},符合题意.综上,a=-6. 变式　(1)C　(2)1　[解析] (1)当a=1时,由a2=1,2-a=1,4组成一个集合A,则A中含有2个元素,故A错误;当a=-2时,由a2=4,2-a=4,4组成一个集合A,则A中含有1个元素,故B错误;当a=6时,由a2=36,2-a=-4,4组成一个集合A,则A中含有3个元素,故C正确;当a=2时,由a2=4,2-a=0,4组成一个集合A,则A中含有2个元素,故D错误.故选C. (2)因为A=B,所以x=0或y=0.若x=0,则x2=0,此时集合B中的元素不满足互异性,舍去;若y=0,则x=x2,得x=0 (舍去)或x=1,此时A=B={0,1}.所以x=1,y=0,所以x+y=1. 学科网（北京）股份有限公司 $ 第1章　集合 1.1　集合的概念与表示 【学习目标】 　　1.能结合具体实例认识和识别什么是集合, 对于给出的一些例子,会判断哪些事物可以组成集合,哪些不能组成集合. 　　2.能在具体的情境中判断元素与集合的关系. 　　3.能够在简单的现实情境或数学情境中,抽象概括出数学对象的一般特征,并用集合语言予以表达. 　　4.对于给定的具体情境,会用三种语言(自然语言、图形语言、符号语言)表达所要研究的数学对象,并能进行转换. 　　5.在具体情境中,了解空集的含义. ◆ 知识点一　集合的相关概念 1.集合与元素的概念:一般地,一定范围内某些　　　　　　　对象的全体组成一个集合.集合中的每一个　　　　称为该集合的元素,简称　　　　.  2.常用数集及表示符号 名称 非负整数集(或自然数集) 正整数集 整数集 有理数集 实数集 记法 　　　  　  　  　  　  3.集合与元素之间的关系 关系 概念 记法 读法 属于 如果　　　　　　　　　,那么就说a属于集合A  　　　  a属于A 不属于 如果　　　　　　　　　,那么就说a不属于集合A  　　　　或  　　　  a不属于A 【诊断分析】 1.判断正误.(请在括号中打“√”或“×”) (1)平面上到A,B两点的距离相等的点的全体可以组成一个集合. (　 ) (2)苏教版必修第一册课本上所有的难题能够组成一个集合.(　 ) 2.某中学高一年级16个班组成一个集合A. (1)高一(5)班、高三(5)班是集合A中的元素吗? (2)若a∈A,b∈A,则元素a,b有什么关系?为什么? ◆ 知识点二　集合的表示法 1.列举法:将集合的元素一一列举出来,并置于　　　　内,这种表示集合的方法叫作列举法(注意元素间要用“,”隔开,如{-1,0,1,2}).   2.描述法:将集合的所有元素都具有的　　　　(满足的条件)表示出来,写成　　　　　的形式,这种表示集合的方法叫作描述法.   3.Venn图:为了直观地表示集合,我们常画一条　　　　的曲线,用它的　　　　来表示一个集合,称为Venn图.  【诊断分析】 讨论下列说法是否正确. (1)集合{x|-1<x<2,x∈R}与集合{y|-1<y<2,y∈R}表示同一个集合; (2)集合{(x,y)|y=2x+5}与集合{x|y=2x+5}表示同一个集合. 　　　　　 　　　　　 　　　　　 ◆ 知识点三　集合相等及分类、集合中元素的特性 1.集合相等 如果两个集合所含的元素　　　　(即A中的元素　　　　B的元素,B中的元素也 　　　　A的元素),那么称这两个集合相等.  2.集合的分类 有限集 含有　　　　个元素的集合  无限集 含有　　　　个元素的集合  空集 不含任何元素的集合称为　　　　,记作　　　  3.集合中元素的三大特性 确定性:集合中的元素都是确定的. 互异性:集合中的任意两个元素都不相同. 无序性:集合中的元素没有顺序. ◆ 探究点一　集合与元素的概念 例1 (1)[2026·上海海洋大学附中高一月考] 下列说法正确的是 (　 ) A.联合国安理会常任理事国能组成一个集合 B.我校很喜欢踢足球的同学能组成一个集合 C.由不大于3的自然数组成的集合中的元素为1,2,3 D.1,0,5,,,,组成的集合中有6个元素 (2)给出下列关系:①∈R;②2∈Z;③|-3|∉N*;④|-|∈Q.其中关系正确的个数为 (　 ) A.1 B.2 C.3 D.4 变式 (1)下列给出的对象可以组成一个集合的是 (　 ) A.比较大的数 B.中国农业人才 C.地球上的七大洲 D.高中善于跳远的学生 (2)(多选题)由不超过5的实数组成集合A,若a=+,则 (　 ) A.a∈A B.a2∈A C.∈A D.a+1∈A [素养小结] (1)判断一组对象能组成集合的条件是能找到一个明确的标准,使得对于任何一个对象,都能确定它是不是给定集合的元素. (2)判断元素和集合关系的两种方法 ①直接法:集合中的元素是直接给出的. ②推理法:判断该元素是否满足集合中元素所具有的性质即可. ◆ 探究点二　集合的表示 角度1　用列举法表示集合 例2 用列举法表示下列集合. (1)不大于10的非负偶数组成的集合; (2)方程x2=x的所有实数解组成的集合; (3)直线y=2x+1与y轴的交点所组成的集合; (4)方程组的解组成的集合. 角度2　用描述法表示集合 例3 用描述法表示下列集合: (1)大于-1且小于7的所有整数组成的集合; (2)被3除余2的正整数组成的集合; (3)方程(x-2)2+(y+3)2=0的解组成的集合. 变式 用适当的方法表示下列集合. (1)大于1且不大于17的质数组成的集合A; (2)所有奇数组成的集合B; (3)平面直角坐标系中,二次函数y=x2图象上的点组成的集合C; (4)D={(x,y)|x+y=5,x∈N+,y∈N+}. [素养小结] 用描述法表示集合应注意以下三点: (1)写清楚该集合代表元素的符号.例如,集合{x∈R|x<2}不能写成{x<2}. (2)所有描述的内容都要写在花括号内. (3)在通常情况下,集合的代表元素的所属范围为实数集时可以省略不写. ◆ 探究点三　集合中元素的特性及应用 例4 (1)(多选题)[2026·北京东城区东直门中学高一月考] 下列集合中,与集合{-1,1}相等的是 (　 ) A.{x|-1<x<1} B.{x|x2=1} C.{(x,y)|x=-1,y=1} D. (2)[2026·江苏扬州大学附中高一期中] 已知集合A={2,a+5,a2+5a},若6∈A,则a=　　　　.  变式 (1)[2026·山西大同高一期中] 由a2,2-a,4组成一个集合A,若A中含有3个元素,则实数a的值可以是 (　 ) A.1 B.-2 C.6 D.2 (2)设集合A={x,y},B={0,x2},若A=B,则x+y=　　　　.  [素养小结] (1)对于求集合中字母参数的问题,常根据集合中元素的确定性得出字母的所有可能取值,再利用集合中元素的互异性进行检验. (2)在利用集合中元素的特性解题时常用分类讨论思想,注意分类的标准要明确. 学科网（北京）股份有限公司 $