专题1.1 集合的概念与表示（高效培优讲义）（7大题型）高一数学苏教版必修第一册

本讲义聚焦集合的概念与表示核心知识点，从元素与集合的概念及确定性、互异性、无序性特性入手，延伸至元素与集合的“属于”关系，再到列举法、描述法、韦恩图等表示方法，以及有限集、无限集、空集的分类和集合相等概念，构建完整知识支架。 资料以“即学即练”结合“典例+变式”题型设计为亮点，通过判断能否构成集合、用符号表示元素关系等实例，培养学生抽象能力（数学眼光）、逻辑推理（数学思维）和符号表达（数学语言）。课中助力教师分层教学，课后帮助学生巩固知识、查漏补缺。

专题1.1 集合的概念与表示 教学目标 1.了解集合的含义，体会元素与集合的“属于”关系，记住常用数集的表示符号并会应用. 2.理解集合中元素的基本属性，初步掌握集合的两种表示方法——列举法、描述法，会用集合的两种表示方法表示一些简单集合. 3.理解集合相等、有限集、无限集、空集等概念． 4.感知数学知识与实际生活的密切联系，培养学生解决实际的能力； 教学重难点 1.重点 元素与集合的“属于”关系，用符号语言刻画集合. 2.难点 集合中元素的特性，列举法、描述法表示集合. 知识点1 元素与集合的概念 1. 集合的概念： 一般地，一定范围内某些_ _、__ __对象的全体组成一个集合．通常用大写拉丁字母__,,,…__来表示集合． 元素：集合中的__ ___称为该集合的元素，简称___ __．通常用小写拉丁字母__,,,…__表示集合的元素． 2．元素的特性 （1）确定性： （2）互异性： （3）无序性： 注意：集合含义中的“研究对象”指的是集合的元素,研究集合问题的核心即研究集合中的元素,因此在解决集合问题时,首先要明确集合中的元素是什么．集合中的元素可以是数、点,也可以是一些人或一些物． 【即学即练】 1.下列对象能组成集合的是（    ） A．非常接近0的数 B．身高很高的人 C．绝对值为5的数 D．著名的数学家 2.（1）所有的“帅哥”能否构成一个集合？由此说明什么？ （2）由1,3,0,5,︱-3︳这些数组成的一个集合中有5个元素，这种说法正确吗？ （3）高一（5）班的全体同学组成一个集合，调整座位后这个集合有没有变化？ 知识点2 元素与集合的关系 （1）属于： ． （2）不属于： 温馨提示：（1）符号刻画的是元素与集合之间的关系．对于一个元素与一个集合A而言,只有“”与“”这两种结果． （2）和具有方向性,左边是元素,右边是集合,形如是错误的． 【即学即练】 1.使用“”“”和数集符号来替代下列自然语言： (1)“255是正整数”； (2)“不是有理数”； (3)“3.1416是正有理数”； (4)“是整数”； (5)“是负实数”. 2.思考下列问题： (1)如果集合A是由所有小于10的自然数组成的集合，那么0和0.5与集合A有什么关系？ (2)如果集合B是由方程的所有解组成的集合，那么与集合B有什么关系？ 知识点3 集合的表示方法及分类 1．列举法 把集合的所有元素 出来，并用花括号“”括起来表示集合的方法叫做列举法． 温馨提示：（1）元素与元素之间必须用“，”隔开． （2）集合中的元素必须是明确的． （3）集合中的元素不能重复． （4）集合中的元素可以是任何事物． 2．描述法 （1）定义：一般地，设A表示一个集合，把集合A中所有具有 的元素x所组成的集合表示为，这种表示集合的方法称为描述法．有时也用冒号或分号代替竖线． （2）具体方法：在花括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值（或变化）范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征． 注意：（1）写清楚集合中元素的符号．如数或点等． （2）说明该集合中元素的共同特征，如方程、不等式、函数式或几何图形等． （3）不能出现未被说明的字母． 3. （韦恩图法）： 为了直观地表示集合，我们常画 的曲线，用它的内部来表示一个集合，这种图形称为图。 4. 集合的分类 根据集合中元素的个数可以将集合分为有限集和无限集. （1）有限集： 是有限集，如方程的实数解组成的集合，其中元素的个数为有限个，故为有限集.有限集通常推荐用列举法或描述法表示，也可将元素写在图中来表示. （2）无限集： 是无限集，如不等式的解组成的集合，其中元素的个数为无限个，故为无限集.通常用描述法表示。 （3） 为空集，记作 ． 5.常用的数集及其记法 常用的数集 自然数集 正整数集 整数集 有理数集 实数集 记法 或 【即学即练】 1.小于的正整数的集合用列举法表示为__________． 2.所有奇数构成的集合用描述法可以表示为__________. 3.用符号“”或“”填空． （1）________； （2）3.14________； （3）________； （4）________； （5）________； （6）0________． 知识点4 集合相等 如果两个集合 (即A中的元素都是B的元素，B中的元素也都是A的元素)，那么称这两个集合相等． 【即学即练】 1.已知集合A=，集合B={m2，m+n，0}，若A=B，则（    ） A．m=1，n=0 B．m=-1，n=1 C．m=-1，n=0 D．m=1，n=-1 题型01 集合的概念 【典例1】下列各对象可以组成集合的是（ ） A．与1非常接近的全体实数 B．中国著名的数学家 C．高一年级视力比较好的同学 D．某学校2026～2027学年度第一学期全体高一学生 给定一个集合，那么任何一个元素在不在这个集合中就确定了，所谓“确定”，是指所有被“研究的对象”都是这个集合的元素，没有被“研究的对象”都不是这个集合的元素． 【变式1】下列四组对象中能构成集合的是（    ） A．本校学习好的学生 B．在数轴上与原点非常近的点 C．很小的实数 D．倒数等于本身的数 【变式2】（多选）(多选题)下列各组对象能组成集合的是（ ） A．大于6的所有整数 B．高中数学的所有难题 C．被3除余2的所有整数 D．A，B是平面内的定点 ，在平面内与A，B等距离的点 【变式3】下列所给对象不能组成集合的是________． （1）高一数学课本中所有的难题； （2）某班16岁以下的学生； （3）某中学的大个子； （4）某学校身高超过1.80米的学生． 题型02 元素与集合的关系的判断 【典例1】用符号“”或“”填空： （1）0______，______，3.14______，______， ______，______； （2）0______，1______． 判断元素和集合关系的两种方法： （1）直接法：如果集合中的元素是直接给出，只要判断该元素在已知集合中是否出现即可． （2）推理法：对于一些没有直接表示的集合，只要判断该元素是否满足集合中元素所具有的特征即可，此时应首先明确已知集合中的元素具有什么特征． 【变式1】已知集合，下列判断错误的是（    ） A． B． C． D． 【变式2】已知为非零实数，代数式的值所组成的集合是M，则下列判断正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式3】（多选）若，则下列结论中正确的是（   ） A． B．若，则 C．若且，则 D．存在且，满足 题型03 根据元素与集合的关系求参数 【典例1】已知，则（   ） A．0或1 B．或1 C．或0 D．1 【变式1】已知集合，且，则实数为（    ） A．2 B．3 C．0或3 D． 【变式2】已知集合，若，则实数的值为（    ） A．1 B． C． D．0 【变式3】（多选）已知集合，且4∈M，则的值可以为（    ） A．3 B． C．-3 D． 题型04 集合的表示方法 【典例1】用列举法表示下列集合： (1)小于的所有自然数组成的集合； (2)方程的所有实数根组成的集合； (3)大于1且小于的所有偶数组成的集合； (4)由1~15以内的所有质数组成的集合． 【典例2】用描述法表示下列集合： (1)； (2)36的所有整因数组成的集合； (3)二次函数的函数值组成的集合； (4)反比例函数的自变量组成的集合； (5)不等式的解集； (6)被9除余2的所有整数组成的集合. 1.列举法：求出集合的元素，把元素—一列举出来，且相同元素只能列举一次，用花括号括起来 2.描述法：（1）用描述法表示集合，首先应弄清楚集合的属性，是数集、点集还是其他的类型．一般地，数集用一个字母代表其元素，而点集则用一个有序数对来表示． （2）用描述法表示集合时，若描述部分出现元素记号以外的字母，要对新字母说明其含义或取值范围． （3）多层描述时，应当准确使用“且”和“或”，所有描述的内容都要写在集合内． 【变式1】用适当的方法表示下列集合： （1）由三个数字中的两个数字（没有重复数字）所组成的自然数的集合______； （2）______； （3）方程的解集______； （4）平面直角坐标系中第一、三象限的全体点的坐标构成的集合______． 【变式2】用适当的方法表示下列集合： (1)大于且小于10的偶数组成的集合； (2)方程的所有实数根组成的集合； (3)被3除余2的正整数组成的集合； (4)将抛物线沿轴向下平移一个单位长度后得到的抛物线上所有点组成的集合． 【变式3】用适当的方法表示下列集合： (1)方程的所有实数根组成的集合； (2)由大于且小于的所有整数组成的集合； (3)所有能被整除且大于的整数组成的集合. 题型05 集合中元素特性的应用 【典例1】设集合，则中的元素个数为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 互异性的主要作用是警示我们做题后要检验．特别是题中含有参数(字母)时，一定要检验求出的参数是否使集合的元素满足互异性． 【变式1】由单词“deepseek”中的字母作为集合中的元素，则集合中的元素共有__________个. 【变式2】（多选）由实数所组成的集合的元素个数可以是（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【变式3】已知，则的值为（   ） A．或 B．或 C．或 D． 题型06 集合相等及应用 【典例1】已知，则实数的值为（    ） A． B． C．或 D． 【变式1】已知,若集合，则的值为_________. 【变式2】已知，，若集合，则的值为_______． 【变式3】已知集合，集合． (1)求满足的条件； (2)若，求的值； (3)是否存在和的值，使得？若存在，求出和的值；若不存在，说明理由． 题型07 集合新定义 【典例1】定义集合运算：.若集合，，则（   ） A． B． C． D． 【变式1】定义，若，则中元素个数为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【变式2】（多选）定义集合的一种运算：，若，，则中的元素个数不可能为（    ） A． B． C． D． 【变式3】设数集A由实数构成，且满足：若x∈A（x≠1且x≠0），则∈A． (1)集合A是否为双元素集，并说明理由； (2)若3∈A，A中元素个数不超过10个，且A中有一个元素的平方等于所有元素的积，求集合A． 1．下列各组对象中，不能构成集合的对象个数为（    ） （1）高二（3）班个子偏高的学生；（2）所有难度较大的数学题；（3）某市中考总分600分以上的考生；（4）五大淡水湖；（5）国内知名的高校；（6）小于4的正奇数. A．2 B．3 C．4 D．6 2．下列说法中正确的是（   ） A．联合国所有常任理事国（共5个）组成一个集合 B．朝阳中学年龄较小的学生组成一个集合 C．与是不同的集合 D．由1，0，5，1，2，5组成的集合有六个元素 3.给出下列5个关系：①，②，③，④，⑤．其中正确命题的个数为（ ） A．4 B．2 C．3 D．5 4．（多选）若集合，且，则的值可能是（    ） A． B． C．2 D．4 5.已知集合，，则__________． 6．若，，则B集合中所有元素之和为______． 7．把下列集合用另一种方法表示出来： (1)； (2)由1，2，3这三个数字抽出一部分或全部数字（没有重复）所组成的一切自然数； (3)； (4)平面上以点为圆心、半径为5的圆上所有点的集合（这里平面指该平面上所有点组成的集合）； (5)由方程的所有整数解组构成的集合． 8．已知集合. (1)若中有两个元素，求实数的取值范围； (2)若中至多有一个元素，求实数取值范围. 1．非空集合具有如下性质：①若，则；②若，则；由此可知：下列判断中，错误的是（ ） A． B． C．若，则 D．若，则 2．（多选）若集合A具有以下性质：（1），；（2）若x、，则，且时，.则称集合A是“完美集”．则下列说法正确的是（    ） A．集合是“完美集” B．有理数集Q是“完美集” C．设集合A是“完美集”，，则 D．设集合A是“完美集”，若，则 3.（多选）已知集合且，定义集合，若，给出下列说法：①；②；③；其中所有正确序号是（    ） A．① B．② C．③ D．以上说法都不对 4.当时，若且，则称为的一个“孤立元素”，所有孤立元素组成的集合称为“孤星集”，则集合中“孤立元素”组成的“孤星集”为_________． 5.已知集合． (1)若中只有一个元素，求的值； (2)若中至多有一个元素，求的取值范围； (3)若中至少有一个元素，求的取值范围． 6．已知集合，集合且． (1)判断,,0,中的哪些元素属于； (2)证明：若，则． 7．记关于的方程的解集为，且恰有3个元素． (1)证明：； (2)若以中的元素为边长的三角形恰好为直角三角形，求a,b的值． 8．根据要求完成下列问题：集合满足：，又若实数是数集中的一个元素，则一定也是数集中的一个元素，求证： (1)若2∈，则集合中还有其他两个元素； (2)集合不可能是单元素集合． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题1.1 集合的概念与表示 教学目标 1.了解集合的含义，体会元素与集合的“属于”关系，记住常用数集的表示符号并会应用. 2.理解集合中元素的基本属性，初步掌握集合的两种表示方法——列举法、描述法，会用集合的两种表示方法表示一些简单集合. 3.理解集合相等、有限集、无限集、空集等概念． 4.感知数学知识与实际生活的密切联系，培养学生解决实际的能力； 教学重难点 1.重点 元素与集合的“属于”关系，用符号语言刻画集合. 2.难点 集合中元素的特性，列举法、描述法表示集合. 知识点1 元素与集合的概念 1. 集合的概念： 一般地，一定范围内某些_确定的_、__不同的__对象的全体组成一个集合．通常用大写拉丁字母__,,,…__来表示集合． 元素：集合中的__每一个对象___称为该集合的元素，简称___元__．通常用小写拉丁字母__,,,…__表示集合的元素． 2．元素的特性 （1）确定性：给定的集合,它的元素必须是确定的．也就是说,给定一个集合,那么任何一个元素在不在这个集合中就确定了．简记为“确定性”． （2）互异性：一个给定集合中的元素是互不相同的．也就是说,集合中的元素是不重复出现的．简记为“互异性”． （3）无序性：给定集合中的元素是不分先后,没有顺序的．简记为“无序性”． 注意：集合含义中的“研究对象”指的是集合的元素,研究集合问题的核心即研究集合中的元素,因此在解决集合问题时,首先要明确集合中的元素是什么．集合中的元素可以是数、点,也可以是一些人或一些物． 【即学即练】 1.下列对象能组成集合的是（    ） A．非常接近0的数 B．身高很高的人 C．绝对值为5的数 D．著名的数学家 【答案】C 【分析】借助集合中元素的性质逐项判定即可得. 【详解】A、B、D选项都违背了集合中元素的确定性，故A、B、D错误； 对C：绝对值为5的数有5或，符合集合的概念，故C正确. 故选：C. 2.（1）所有的“帅哥”能否构成一个集合？由此说明什么？ 【详解】不能.其中的元素不确定集合中的元素是确定的 （2）由1,3,0,5,︱-3︳这些数组成的一个集合中有5个元素，这种说法正确吗？ 【详解】不正确.集合中只有4个不同元素1，3，0，5. 集合中的元素是互异的 （3）高一（5）班的全体同学组成一个集合，调整座位后这个集合有没有变化？ 【详解】集合没有变化集合中的元素是没有顺序的 知识点2 元素与集合的关系 （1）属于：如果是集合A的元素,就说属于集合A,记作． （2）不属于：如果不是集合A的元素,就说不属于集合A,记作． 温馨提示：（1）符号刻画的是元素与集合之间的关系．对于一个元素与一个集合A而言,只有“”与“”这两种结果． （2）和具有方向性,左边是元素,右边是集合,形如是错误的． 【即学即练】 1.使用“”“”和数集符号来替代下列自然语言： (1)“255是正整数”； (2)“不是有理数”； (3)“3.1416是正有理数”； (4)“是整数”； (5)“是负实数”. 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) 【分析】根据题意，结合元素与集合的关系，以及常见数集的表示符号，逐项判定，即可求解. 【详解】（1）解：由“255是正整数”，可表示为. （2）解：由不是有理数” ，可表示为. （3）解：由3.1416是正有理数，可表示为. （4）解：由是整数”，可表示为. （5）解：由是负实数，可表示为； 2.思考下列问题： (1)如果集合A是由所有小于10的自然数组成的集合，那么0和0.5与集合A有什么关系？ (2)如果集合B是由方程的所有解组成的集合，那么与集合B有什么关系？ 【答案】(1). (2) 【分析】运用列举法写出集合，再用元素与集合的关系判断即可. 【详解】（1）根据题意，，则. （2）根据题意，，则. 知识点3 集合的表示方法及分类 1．列举法 把集合的所有元素一一列举出来，并用花括号“”括起来表示集合的方法叫做列举法． 温馨提示：（1）元素与元素之间必须用“，”隔开． （2）集合中的元素必须是明确的． （3）集合中的元素不能重复． （4）集合中的元素可以是任何事物． 2．描述法 （1）定义：一般地，设A表示一个集合，把集合A中所有具有共同特征的元素x所组成的集合表示为，这种表示集合的方法称为描述法．有时也用冒号或分号代替竖线． （2）具体方法：在花括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值（或变化）范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征． 注意：（1）写清楚集合中元素的符号．如数或点等． （2）说明该集合中元素的共同特征，如方程、不等式、函数式或几何图形等． （3）不能出现未被说明的字母． 3. （韦恩图法）： 为了直观地表示集合，我们常画一条封闭的曲线，用它的内部来表示一个集合，这种图形称为图。 4. 集合的分类 根据集合中元素的个数可以将集合分为有限集和无限集. （1）有限集：含有有限个元素的集合是有限集，如方程的实数解组成的集合，其中元素的个数为有限个，故为有限集.有限集通常推荐用列举法或描述法表示，也可将元素写在图中来表示. （2）无限集：含有无限个元素的集合是无限集，如不等式的解组成的集合，其中元素的个数为无限个，故为无限集.通常用描述法表示。 （3）不含任何元素的集合称为空集，记作 ． 5.常用的数集及其记法 常用的数集 自然数集 正整数集 整数集 有理数集 实数集 记法 或 【即学即练】 1.小于的正整数的集合用列举法表示为__________． 【答案】 【分析】根据题意结合列举法即可得结果. 【详解】因为， 所以小于的正整数只有．故所求集合为 2.所有奇数构成的集合用描述法可以表示为__________. 【答案】 【分析】根据奇数可写成的形式即可得出. 【详解】所有奇数构成的集合用描述法可以表示为. 故答案为：. 3.用符号“”或“”填空． （1）________； （2）3.14________； （3）________； （4）________； （5）________； （6）0________． 【答案】 【分析】根据常用数集的表示符号及其含义进行判断，得到答案. 【详解】（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）. 故答案为：，，，，， 知识点4 集合相等 如果两个集合所含的元素完全相同(即A中的元素都是B的元素，B中的元素也都是A的元素)，那么称这两个集合相等． 【即学即练】 1.已知集合A=，集合B={m2，m+n，0}，若A=B，则（    ） A．m=1，n=0 B．m=-1，n=1 C．m=-1，n=0 D．m=1，n=-1 【答案】C 【分析】根据，所以集合中元素相同，由此可知，且，，再根据元素的互异性，即可求出结果. 【详解】由，得，且，， 解得，． 又，. 故选：C. 题型01 集合的概念 【典例1】下列各对象可以组成集合的是（ ） A．与1非常接近的全体实数 B．中国著名的数学家 C．高一年级视力比较好的同学 D．某学校2026～2027学年度第一学期全体高一学生 【答案】D 【详解】对于A，“非常接近”不具有确定性，根据元素的确定性可知A错误. 对于B，“著名”不具有确定性，根据元素的确定性可知B错误. 对于C，“视力比较好”不具有确定性，根据元素的确定性可知C错误. 对于D，根据元素的确定性可知D正确， 给定一个集合，那么任何一个元素在不在这个集合中就确定了，所谓“确定”，是指所有被“研究的对象”都是这个集合的元素，没有被“研究的对象”都不是这个集合的元素． 【变式1】下列四组对象中能构成集合的是（    ） A．本校学习好的学生 B．在数轴上与原点非常近的点 C．很小的实数 D．倒数等于本身的数 【答案】D 【分析】根据集合的定义，结合选项依次判断即可. 【详解】A：学习好，是模糊的概念，不符合集合中元素的确定性，故A错误； B：非常近，是模糊的概念，不符合集合中元素的确定性，故B错误； C：很小，是模糊的概念，不符合集合中元素的确定性，故C错误； D：倒数等于本身的数符合集合中元素的确定性，故D正确. 故选 ：D 【变式2】（多选）(多选题)下列各组对象能组成集合的是（ ） A．大于6的所有整数 B．高中数学的所有难题 C．被3除余2的所有整数 D．A，B是平面内的定点 ，在平面内与A，B等距离的点 【答案】ACD 【分析】根据集合中元素的确定性逐项判断即可得解. 【详解】选项A、C、D中的元素符合集合中元素的确定性； 而选项B中，“难题”没有标准，不符合集合中元素的确定性，不能构成集合 【变式3】下列所给对象不能组成集合的是________． （1）高一数学课本中所有的难题； （2）某班16岁以下的学生； （3）某中学的大个子； （4）某学校身高超过1.80米的学生． 【答案】（1）（3） 【分析】结合集合中元素的“确定性”、“互异性”逐一分析即可. 【详解】“难题”没有判断标准，无法判断一道题是否属于难题，不满足集合中元素的“确定性”，故（1）不能组成集合； 某班16岁以下的学生可以组成一个集合，16及16岁以上的学生则不在集合内，满足集合中元素的“确定性”，且每个学生都不一样，满足集合中元素的“互异性”，故（2）可以组成集合； “大个子”没有判断标准，不知身高多少才能称为大个子，不满足集合中元素的“确定性”，故（3）不能组成集合； 某学校身高超过1.80米的学生可以组成一个集合，身高等于或低于1.80米的学生则不再集合内，满足集合中元素的“确定性”，且每个学生都不一样，满足集合中元素的“互异性”，故（4）可以组成集合； 故答案为：（1）（3） 题型02 元素与集合的关系的判断 【典例1】用符号“”或“”填空： （1）0______，______，3.14______，______， ______，______； （2）0______，1______． 【答案】 【分析】利用特殊数集的定义以及元素与集合的关系即可求解. 【详解】（1）是正整数集，0不是正整数，； 是整数集，是整数，； 是有理数集，3.14是有理数，； 是有理数集，是无理数，； 是整数集，不是整数，； 是实数集，是实数，； （2）集合中含有元素，； 解方程得，，则， . 故答案为：（1）；；；；；；（2）；. 判断元素和集合关系的两种方法： （1）直接法：如果集合中的元素是直接给出，只要判断该元素在已知集合中是否出现即可． （2）推理法：对于一些没有直接表示的集合，只要判断该元素是否满足集合中元素所具有的特征即可，此时应首先明确已知集合中的元素具有什么特征． 【变式1】已知集合，下列判断错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由集合，得， 所以. 【变式2】已知为非零实数，代数式的值所组成的集合是M，则下列判断正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】当时，， 则， 当只存在一个正数时，不妨设，则， 则， 当只存在一个负数时，不妨设，则， 则， 当时，， 则， 所以. ∴，A选项错误；，B选项错误；，C选项错误；，D选项正确. 【变式3】（多选）若，则下列结论中正确的是（   ） A． B．若，则 C．若且，则 D．存在且，满足 【答案】ABD 【分析】利用集合的特征性质对选项进行判断． 【详解】若， 对于A，，其中，故A正确； 对于B，若，不妨设， 则，，所以，故B正确； 对于C，若且，取，则，故C错误； 对于D，存在且，满足． 例如， 若， 则， 故，故D正确． 故选：ABD． 题型03 根据元素与集合的关系求参数 【典例1】已知，则（   ） A．0或1 B．或1 C．或0 D．1 【答案】B 【分析】根据集合的互异性可得，再结合属于关系分析求解即可. 【详解】因为，显然，即， 若，则，符合题意； 若，解得，则，符合题意； 综上所述：或1. 故选：B. 【变式1】已知集合，且，则实数为（    ） A．2 B．3 C．0或3 D． 【答案】B 【分析】由题意可得或，分类讨论，结合集合元素的互异性，即可求得答案. 【详解】因为且， 所以或， ①若，此时，不满足元素的互异性； ②若，解得或3， 当时不满足元素的互异性，当时，符合题意. 综上所述，. 故选：B 【变式2】已知集合，若，则实数的值为（    ） A．1 B． C． D．0 【答案】C 【详解】已知，，， 因此，解得. 【变式3】（多选）已知集合，且4∈M，则的值可以为（    ） A．3 B． C．-3 D． 【答案】ABD 【分析】由题得到或，求出参数m，再由集合元素互异性检验即可. 【详解】集合，且， 所以或，解得或， 当时，，符合； 当时，，符合； 当时，，符合. 故的值可以为. 故选：ABD 题型04 集合的表示方法 【典例1】用列举法表示下列集合： (1)小于的所有自然数组成的集合； (2)方程的所有实数根组成的集合； (3)大于1且小于的所有偶数组成的集合； (4)由1~15以内的所有质数组成的集合． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）根据语言描述，用列举法表示集合； （2）解方程求出，再利用列举法表示结合； （3）根据语言描述和偶数性质，用列举法表示集合； （4）根据质数的性质，用列举法表示集合． 【详解】（1）设小于10的所有自然数组成的集合为A， ． （2）设方程的所有实数根组成的集合为B，解方程得或， ． （3）由题意，设大于1且小于13的所有偶数组成的集合为， ． （4）由题意，设由1~15以内的所有质数组成的集合为， ． 【典例2】用描述法表示下列集合： (1)； (2)36的所有整因数组成的集合； (3)二次函数的函数值组成的集合； (4)反比例函数的自变量组成的集合； (5)不等式的解集； (6)被9除余2的所有整数组成的集合. 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) (6) 【详解】（1）根据题意可知，； （2）根据题意可知，36的所有整因数组成的集合为； （3）二次函数的函数值为y， ∴二次函数的函数值y组成的集合为； （4）反比例函数的自变量为x， ∴反比例函数的自变量组成的集合为； （5）由，得，∴不等式的解集为； （6）由题意被9除余2的所有整数组成的集合可用描述法表示为. 1.列举法：求出集合的元素，把元素—一列举出来，且相同元素只能列举一次，用花括号括起来 2.描述法：（1）用描述法表示集合，首先应弄清楚集合的属性，是数集、点集还是其他的类型．一般地，数集用一个字母代表其元素，而点集则用一个有序数对来表示． （2）用描述法表示集合时，若描述部分出现元素记号以外的字母，要对新字母说明其含义或取值范围． （3）多层描述时，应当准确使用“且”和“或”，所有描述的内容都要写在集合内． 【变式1】用适当的方法表示下列集合： （1）由三个数字中的两个数字（没有重复数字）所组成的自然数的集合______； （2）______； （3）方程的解集______； （4）平面直角坐标系中第一、三象限的全体点的坐标构成的集合______． 【答案】 【详解】（1）由三个数字中的两个数字（没有重复数字）组成的自然数有，用列举法可表示为． （2）因为，所以，又因为，所以， 又因为，所以，所以原集合用列举法可表示为． （3）由，得所以， 所以方程的所有解组成的集合用描述法可表示为． （4）设平面直角坐标系中第一、三象限的点为，则， 所以平面直角坐标系中第一、三象限的全体点的坐标构成的集合可表示为． 【变式2】用适当的方法表示下列集合： (1)大于且小于10的偶数组成的集合； (2)方程的所有实数根组成的集合； (3)被3除余2的正整数组成的集合； (4)将抛物线沿轴向下平移一个单位长度后得到的抛物线上所有点组成的集合． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】根据集合中元素的特点及个数分别选择用列举法、描述法表示即可. 【详解】（1）列举法表示为：； （2）由可得，， 列举法表示： （3）描述法表示为： （4）描述法表示为： 【变式3】用适当的方法表示下列集合： (1)方程的所有实数根组成的集合； (2)由大于且小于的所有整数组成的集合； (3)所有能被整除且大于的整数组成的集合. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）解方程，再用列举法写出集合即可； （2）根据题意大于且小于的整数为，，，，，再用列举法写出集合即可； （3）根据题意用描述法表示集合即可． 【详解】（1）解方程得或，故集合为； （2）大于且小于的整数为，，，，，故集合为； （3）能被整除且大于的整数可表示为， 故集合为． 题型05 集合中元素特性的应用 【典例1】设集合，则中的元素个数为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】先根据集合的元素求出集合的元素，再统计集合中的元素个数． 【详解】， 或，解得或， ，故中共有4个元素． 故选：C． 互异性的主要作用是警示我们做题后要检验．特别是题中含有参数(字母)时，一定要检验求出的参数是否使集合的元素满足互异性． 【变式1】由单词“deepseek”中的字母作为集合中的元素，则集合中的元素共有__________个. 【答案】 【分析】根据集合元素的互异性进行判断即可. 【详解】因为集合中元素具有互异性， 所以集合中的元素有d，e，p，s，k，共个. 故答案为： 【变式2】（多选）由实数所组成的集合的元素个数可以是（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】BC 【分析】利用集合的互异性及对的取值情况进行分类讨论求解. 【详解】当时，根据集合的互异性，可知集合的元素为0，集合的元素个数为1； 当时，，，，集合中的元素有，，集合中的元素个数为2个； 当时，，，，集合中的元素有，，集合中的元素个数为2个. 综上可知集合的元素个数为1或2. 故选：BC 【变式3】已知，则的值为（   ） A．或 B．或 C．或 D． 【答案】B 【分析】根据元素与集合、集合元素的互异性可得出关于实数的等式或不等式，即可解得实数的值. 【详解】因为，则或或， 解得或. 故选：B. 题型06 集合相等及应用 【典例1】已知，则实数的值为（    ） A． B． C．或 D． 【答案】C 【分析】根据题意，结合集合的特性即可求解. 【详解】根据题意，两集合相等则元素完全相同，故，整理得，解得或， 当时，，集合为，元素各不相同，符合题意； 当时，，集合同样为，元素各不相同，符合题意； 因此实数的值为或，故C正确. 【变式1】已知,若集合，则的值为_________. 【答案】 【分析】利用集合的互异性、无序性，集合相等的含义解决即可. 【详解】 易知,因此. 因此有. 由集合的互异性可知，故 得 因此，. 故答案为：. 【变式2】已知，，若集合，则的值为_______． 【答案】 【分析】根据集合相等的定义判断的取值进行计算. 【详解】因为，所以，， 此时两个集合即，所以，解得或， 若，则两个集合都是不满足互异性， 所以此时两个集合都是，满足条件. 所以， 故答案为：. 【变式3】已知集合，集合． (1)求满足的条件； (2)若，求的值； (3)是否存在和的值，使得？若存在，求出和的值；若不存在，说明理由． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（1）根据集合元素的三要素即可求解； （2）由得或，分类讨论，验证是否满足集合即可； （3）由得或，分类讨论，最后验证是否满足题意即可. 【详解】（1）由题意有：，即，解得， 所以； （2）由，所以或， 当时，，又因为，不满足元素的互异性， 当时，即，解得或（舍去）， 所以； （3）由有或， 当时，化简有，又，所以该方程无解； 当时，化简有，解得或， 当时，，所以满足题意， 当时，，所以满足题意， 所以存在或，使得. 题型07 集合新定义 【典例1】定义集合运算：.若集合，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据定义得到两集合中元素之和，并结合元素互异性得到答案. 【详解】， 由题意得. 故选：C 【变式1】定义，若，则中元素个数为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【分析】根据给定定义求出中的所有元素即可. 【详解】，当时，； 当时，；时，， 因此，所以中元素个数为5. 故选：C 【变式2】（多选）定义集合的一种运算：，若，，则中的元素个数不可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】根据集合的新定义即可得中的元素，从而可得结论. 【详解】因为，，， 所以， 故集合中的元素个数为3. 故选：ABD. 【变式3】设数集A由实数构成，且满足：若x∈A（x≠1且x≠0），则∈A． (1)集合A是否为双元素集，并说明理由； (2)若3∈A，A中元素个数不超过10个，且A中有一个元素的平方等于所有元素的积，求集合A． 【答案】(1)集合A不是双元素集合；理由见解析 (2) 【分析】（1）由x∈A，得∈A，往后继续代入，发现循环规律，得到集合A中至少有3个元素，从而集合A不是双元素集合． （2）发现规律：集合A中至少有3个元素，所有元素的积为，故分情况讨论，得到，，，另外由3∈A，同理得，∈A，从而得到集合A． 【详解】（1）因为，所以，则所以，循环往复，因为，，故集合A中至少有3个元素，所以集合A不是双元素集合； （2）因为集合A中至少有3个元素，所有元素的积为， 当时，解得：，因为x≠1且x≠0，所以，故，接下来，，循环 当，解得：或，因为题干条件x≠1且x≠0，所以，则，，，循环 当，解得：，因为，所以，所以， 所以，循环，以上三种情况答案一样. 因为3∈A，同理得，∈A， 因为A中元素个数不超过10个，且A中有一个元素的平方等于所有元素的积， 经检验． 1．下列各组对象中，不能构成集合的对象个数为（    ） （1）高二（3）班个子偏高的学生；（2）所有难度较大的数学题；（3）某市中考总分600分以上的考生；（4）五大淡水湖；（5）国内知名的高校；（6）小于4的正奇数. A．2 B．3 C．4 D．6 【答案】B 【详解】集合元素必须具备确定性.（1）（2）（5）描述模糊、无统一标准，无法构成集合； （3）（4）（6）对象确定，可构成集合，共3组不能构成集合. 2．下列说法中正确的是（   ） A．联合国所有常任理事国（共5个）组成一个集合 B．朝阳中学年龄较小的学生组成一个集合 C．与是不同的集合 D．由1，0，5，1，2，5组成的集合有六个元素 【答案】A 【分析】根据集合元素的确定性、互异性和无序性判断即可. 【详解】对于A，联合国所有常任理事国共5个，即：中国，美国，俄国，英国，法国，可以组成集合，故A正确； 对于B，“年龄较小”的标准不明确，无法确定集合的元素，故B错误； 对于C，集合的元素满足无序性，与是相同集合，故C错误； 对于D，集合的元素满足互异性，由1，0，5，1，2，5可组成的集合，且有4个元素，故D错误. 故选：A 3.给出下列5个关系：①，②，③，④，⑤．其中正确命题的个数为（ ） A．4 B．2 C．3 D．5 【答案】A 【详解】对于①，因为为无理数，有理数和无理数统称为实数，所以，所以①正确； 对于②，因为不是整数，所以，所以②错误； 对于③，因为不是正整数，所以，所以③正确； 对于④，因为，所以④正确； 对于⑤，因为是无理数，所以，所以⑤正确； 故选：A． 4．（多选）若集合，且，则的值可能是（    ） A． B． C．2 D．4 【答案】BD 【分析】根据元素与集合的关系运算求解，注意检验，保证集合的互异性. 【详解】由，， 若时，或， 当时，集合不符合题意舍去， 当时，集合符合题意， 若时，则，此时集合不符合题意舍去， 若时，即，解得：或， 当时，集合符合题意， 当时，集合不符合题意舍去， 综上所述：或， 故选：BD. 5.已知集合，，则__________． 【答案】 【详解】由题意得，解得，经验证此时集合满足题意. 6．若，，则B集合中所有元素之和为______． 【答案】13 【详解】当，当，故, 因此B集合中所有元素之和为. 7．把下列集合用另一种方法表示出来： (1)； (2)由1，2，3这三个数字抽出一部分或全部数字（没有重复）所组成的一切自然数； (3)； (4)平面上以点为圆心、半径为5的圆上所有点的集合（这里平面指该平面上所有点组成的集合）； (5)由方程的所有整数解组构成的集合． 【答案】(1)且 (2) (3) (4) (5)用列举法：， 用描述法： 【分析】（1）集合为列举法表示，改为描述法表示； （2）集合为文字描述表示，由列举法表示； （3）集合为描述法表示，改为列举法表示； （4）集合为文字描述表示，由描述法表示； （5）集合为文字描述表示，由列举法和描述法表示． 【详解】（1）集合为列举法，改为描述法为且， 表示小于等于的正偶数． （2）由1，2，3这三个数字抽出一部分或全部数字（没有重复）所组成的一切自然数， 由列举法可得： 一位自然数：； 两位无重复：； 三位无重复：； 故集合为：． （3）集合用描述法表示，改为列举法为：． （4）原描述中，表示平面内动点，指点到定点的距离， 距离恒等于5，即为圆周上的点， 故集合． （5）由方程的所有整数解组构成的集合， 改为列举法： ， 用描述法为：． 8．已知集合. (1)若中有两个元素，求实数的取值范围； (2)若中至多有一个元素，求实数取值范围. 【答案】(1)或 (2) 【分析】（1）转化为关于的方程的方程有两个不等的实数根，用判别式即可求解； （2）分，两种情况讨论，当时用判别式即可求解. 【详解】（1）由于中有两个元素， 关于的方程有两个不等的实数根， ，且，即，且. 故实数的取值范围是或； （2）当时，方程为，集合只有一个元素； 当时，若关于的方程有两个相等的实数根，则中只有一个元素， 即，， 若关于的方程没有实数根，则中没有元素， 即. 综上可知，实数的取值范围是. 1．非空集合具有如下性质：①若，则；②若，则；由此可知：下列判断中，错误的是（ ） A． B． C．若，则 D．若，则 【答案】D 【分析】根据题意，结合题设中集合的性质，结合特例和性质的运算方法，逐项分析判断，即可求解. 【详解】对于A，假设，令，则， 令，则；令，不存在，不符合题意， 所以，所以A正确； 对于B，由题意知：，则， 所以，所以B正确； 对于C，因为，所以， 因为，所以，所以C正确； 对于D，由，则，所以D错误. 故选：D. 2．（多选）若集合A具有以下性质：（1），；（2）若x、，则，且时，.则称集合A是“完美集”．则下列说法正确的是（    ） A．集合是“完美集” B．有理数集Q是“完美集” C．设集合A是“完美集”，，则 D．设集合A是“完美集”，若，则 【答案】BCD 【分析】A选项，举出反例可得A错误；B选项，有理数集Q满足两个条件，B正确；C选项，得到，所以，C正确；D选项，若中有0或1时，显然，当均不为0，1时，得到，推出，，同理可知，，，，故，所以，，则，D正确. 【详解】A选项，取，则，集合不是“完美集”，A错误； B选项，有理数集Q满足（1），，（2）若，则， 且时，，故有理数集Q是“完美集”，B正确； C选项，集合A是“完美集”，，，则， 所以，C正确； D选项，集合A是“完美集”， ，，任取， 若中有0或1时，显然， 当均不为0，1时，则，显然， 所以，则， 由C可知，，同理可知， 由C可知，， 从可得，所以， 故，所以， ，则，D正确. 故选：BCD 3.（多选）已知集合且，定义集合，若，给出下列说法：①；②；③；其中所有正确序号是（    ） A．① B．② C．③ D．以上说法都不对 【答案】ABC 【分析】根据已知集合的性质，结合集合相等确定中元素及元素间的数量关系，进而判断各项正误. 【详解】因为集合且，若， 因为，故，故， 又， 故即， 又，故即，故. 对于①：，故①正确； 对于②：，故②正确； 对于③：，故③正确； 故选：ABC 4.当时，若且，则称为的一个“孤立元素”，所有孤立元素组成的集合称为“孤星集”，则集合中“孤立元素”组成的“孤星集”为_________． 【答案】 【详解】由“孤立元素”的定义知，对任意，要成为的孤立元素， 必须是集合中既没有，也没有． 因此只需逐一排查中的元素即可． 而0有1“相伴”，1，2则是前后的元素都有，3有2“相伴”，只有5是“孤立的”， 从而集合中“孤立元素”组成的“孤星集”为． 5.已知集合． (1)若中只有一个元素，求的值； (2)若中至多有一个元素，求的取值范围； (3)若中至少有一个元素，求的取值范围． 【答案】(1)或 (2)或 (3) 【分析】（1）分和进行求解； （2）中至多含有一个元素，即中有一个元素或没有元素，进行求解； （3）中至少有一个元素，即中有一个或两个元素，进行求解. 【详解】（1）当时，原方程变为， 此时，符合题意； 当时，方程为一元二次方程， ，即， 原方程的解为，符合题意． 故当或时，原方程只有一个解，此时中只有一个元素． （2）中至多含有一个元素，即中有一个元素或没有元素． 当，即时，原方程无实数解． 结合（1）知，当或时中至多有一个元素． （3）中至少有一个元素，即中有一个或两个元素， 当时，原方程变为，此时，符合题意； 当时，方程为一元二次方程，由得． 综上可知当时，中至少有一个元素． 6．已知集合，集合且． (1)判断,,0,中的哪些元素属于； (2)证明：若，则． 【答案】(1)和； (2)证明见解析． 【分析】（1）根据集合的定义验证； （2）由，证明且即可． 【详解】（1）由已知,,0,均是集合中元素， 又，，无意义， ， 所以和属于； （2）因为，则， 设， 则， 而，，所以， 又，所以, 所以． 7．记关于的方程的解集为，且恰有3个元素． (1)证明：； (2)若以中的元素为边长的三角形恰好为直角三角形，求a,b的值． 【答案】(1)证明见解析 (2)的值为的值为62． 【分析】（1）先对原方程进行等价变形；再根据题意、求根公式和两个方程判别式之间的关系可得出，进而可证得. （2）先根据求出方程的三个实数根；再根据题意，利用勾股定理列出关于方程求解即可. 【详解】（1）证明：原方程等价于或， 即或. 因为关于的方程的解集为，且恰有3个元素， 所以方程或均有实数根， 由求根公式可得：，， ，. 由于， 所以当时，恰有3个元素，即． （2）由（1）知，，原方程等价于或， 则两个方程的三个根分别为. 若它们是直角三角形的三边， 则且 解得：． 故的值为，的值为62． 8．根据要求完成下列问题：集合满足：，又若实数是数集中的一个元素，则一定也是数集中的一个元素，求证： (1)若2∈，则集合中还有其他两个元素； (2)集合不可能是单元素集合． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）由，根据题意，结合，准确运算，即可求解； （2）假设集合C中只有个元素，结合题意，得到方程，结合一元二次方程的性质，即可得证. 【详解】（1）若，则，若，则， 若，则， 当时，集合中必含有另两个元素、； （2）假设集合中只有一个元素，由题意可知， 集合为单元素集合，， 即，而，则此方程无实数解， 假设不成立，集合不可能是单元素集合． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $