1.2 子集、全集、补集-【学霸笔记·同步精讲】2026-2027学年高中数学必修第一册教师用书word（苏教版）

本讲义聚焦高中数学子集、全集、补集核心知识点，从南京红山森林动物园猴子集合实例引入，系统梳理子集与真子集的概念、符号及性质，全集与补集的定义及运算，通过Venn图、数轴等工具构建从具体到抽象的学习支架，涵盖集合关系判断、子集补集确定及参数范围求解等题型。 该资料以情境化实例激发兴趣，借助Venn图和数轴培养直观想象，通过一题多解和母题探究提升逻辑推理，课中辅助教师化解抽象概念教学难点，课后练习题及解析帮助学生巩固知识，查漏补缺，落实数学抽象与逻辑推理核心素养。

1.2　子集、全集、补集 课标 要求 1.理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集（数学抽象、逻辑推理）. 2.了解全集的含义，理解在给定集合中一个子集的补集的含义，能求给定子集的补集（数学抽象、数学运算）. 3.能使用Venn图表达集合的基本关系，体会图形对理解抽象概念的作用（数学抽象、直观想象）. 　　 南京红山森林动物园拥有世界上具有代表性的动物和珍稀动物近300种4 000余只，有近二十多个品种的猴子，猴山是动物园最热闹的地方，聚集了100多只猕猴.如果猴山上的所有猕猴组成集合A，动物园内的所有猴子组成集合B. 【问题】　（1）集合A与集合B存在什么关系？ （2）如何用数学语言来表示这两个集合之间的关系？ 　 知识点一　子集、真子集 子集 真子集 概念 如果集合A的　任意一个　元素都是集合B的元素（若a∈A，则a∈B），那么集合A称为集合B的子集，记作　A⊆B　或　B⊇A　，读作“集合A　包含于　集合B”或“集合B包含集合A” 如果　A⊆B　，并且　A≠B　，那么集合A称为集合B的真子集，记为　A⫋B　或　B⫌A　，读作“　A真包含于B　”或“　B真包含A　” 子集 真子集 图示 结论 （1）任何一个集合是它本身的子集，即　A⊆A　； （2）对于集合A，B，C，如果A⊆B，且B⊆C，那么　A⊆C　； （3）规定⌀⊆A，即空集是任何集合的子集 （1）若A⫋B且B⫋C，则A　⫋　C； （2）若A⊆B且A≠B，则A　⫋　B； （3）空集是任何非空集合的真子集 提醒：（1）子集刻画了两个集合之间的关系，它反映的是局部与整体之间的关系（而元素与集合之间的关系是个体与整体之间的关系）.“集合A是集合B的子集”可表述为：若x∈A，则x∈B；（2）在真子集的定义中，A⫋B首先要满足A⊆B，其次至少有一个x∈B，但x∉A；（3）对于集合A，B，子集、真子集与集合相等的关系如下：A⊆B⇒A＝B或A⫋B.即子集包含真子集和集合相等两种情况. 【想一想】 1.任意两个集合之间的关系有哪些情形，你能用Venn图表示吗？ 提示：对于任意两个集合A，B，它们可能是包含关系、相等关系（即互相包含）、真包含关系、互不包含关系.Venn图表示为： 2.你能用Venn图表示常用数集之间的关系吗？ 提示： 知识点二　全集、补集 1.全集：如果一个集合包含我们所研究问题中涉及的　所有元素　，那么就称这个集合为全集，全集通常记作U. 2.补集 文字语言 设A⊆S，由S中不属于A的　所有元素　组成的集合称为S的子集A的补集，记作　∁SA　（读作“A在S中的补集”） 符号语言 ∁SA＝　{x｜x∈S，且x∉A}　 图形语言 提醒：（1）补集是相对于全集而言的，它与全集不可分割；（2）补集既是集合之间的一种关系，同时也是集合之间的一种运算.求集合A的补集的前提是A为全集U的子集，随着所选全集的不同，得到的补集也是不同的. 1.已知集合P＝{－1，0，1，2}，Q＝{－1，0，1}，下列关系中正确的是（　　） A.P∈Q B.P⊆Q C.Q⊆P D.Q∈P 解析：C　集合Q中的元素都在集合P中，所以Q⊆P.故选C. 2.若集合A＝{1，2}，B＝{1，2，3，4}，则∁BA＝（　　） A.{1，2} B.{2} C.{1，2，3，4} D.{3，4} 解析：D　∵A＝{1，2}，B＝{1，2，3，4}，∴∁BA＝{3，4}.故选D. 3.已知集合A＝{x∈N｜－2＜x＜3}，则集合A的所有非空真子集的个数是（　　） A.6 B.7 C.14 D.15 解析：A　A＝{x∈N｜－2＜x＜3}＝{0，1，2}，满足条件的集合有{0}，{1}，{2}，{0，1}，{0，2}，{1，2}，共6个. 4.若全集U＝R，求集合A＝{x｜x＞2}的补集∁UA. 解：借助数轴得∁UA＝{x｜x≤2}. 题型一　集合间关系的判断 （链接教科书第9页例1）判断下列两个集合之间的关系： （1）A＝{1，2，4}，B＝{x｜x是8的约数}； （2）A＝{x｜0＜x＜2}，B＝{x｜－1＜x≤3}； （3）〔一题多解〕A＝{x｜x＝2k＋1，k∈Z}，B＝{x｜x＝2k－1，k∈Z}. 解：（1）∵A＝{1，2，4}，B＝{1，2，4，8}，如图，∴A⫋B. （2）∵A＝{x｜0＜x＜2}， B＝{x｜－1＜x≤3}， 用数轴表示如图： ∴A⫋B. （3）法一　任取x0∈A，则x0＝2k0＋1，k0∈Z. 又∵x0＝2（k0＋1）－1，k0∈Z，∴k0＋1∈Z，∴x0∈B，则A⊆B.同理可得，B⊆A.由A⊆B，B⊆A，得A＝B. 法二　集合A＝{…，－5，－3，－1，1，3，5，7，…}，集合B＝{…，－7，－5，－3，－1，1，3，5，…}，根据规律可知集合A与B所含元素相同，∴A＝B. 通性通法 判断集合间关系的常用方法 1.能正确表示集合M＝{x｜0≤x≤2}和集合N＝{x｜x2－x＝0}关系的Venn图是（　　） 解析：B　解x2－x＝0得x＝1或x＝0，故N＝{0，1}，易得N⫋M，其对应的Venn图如选项B所示.故选B. 2.〔多选〕下列关系中正确的有（　　） A.0∈{0} B.⌀⫋{0} C.{0，1}⫋{（0，1）} D.{（1，2）}＝{（2，1）} 解析：AB　对于A，集合{0}中含有1个元素0，所以0∈{0}正确；对于B，由于空集是任何非空集合的真子集，所以⌀⫋{0}正确；对于C，{0，1}是数集，{（0，1）}是点集，所以C错误；对于D，{（1，2）}与{（2，1）}是不同的点集，所以D错误.故选A、B. 题型二　确定集合的子集和真子集 （链接教科书第9页例2）写出下列集合的所有子集，并指出哪些是它的真子集： （1）集合{a，b}； （2）集合{a，b，c}. 解：（1）集合{a，b}的所有子集为⌀，{a}，{b}，{a，b}.真子集为⌀，{a}，{b}. （2）集合{a，b，c}的所有子集为⌀，{a}，{b}，{c}，{a，b}，{a，c}，{b，c}，{a，b，c}.真子集为⌀，{a}，{b}，{c}，{a，b}，{a，c}，{b，c}. 通性通法 求集合子集、真子集个数的步骤 提醒：（1）要注意两个特殊的子集：⌀和自身；（2）对含有n个元素的集合，它的子集有2n个，真子集有2n－1个，非空子集有2n－1个，非空真子集有2n－2个. 1.〔一题多解〕（2026·连云港月考）已知集合A＝{－1，3，4}，则集合A真子集的个数为（　　） A.8 B.7 C.6 D.5 解析：B　法一　集合A的真子集有：⌀，{－1}，{3}，{4}，{－1，3}，{－1，4}，{3，4}，共7个.故选B. 法二　集合A＝{－1，3，4}含有3个元素，其真子集个数为23－1＝8－1＝7.故选B. 2.（2026·淮安月考）满足{2}⊆A⊆{2，4，6}的集合A的个数为（　　） A.2 B.3 C.4 D.5 解析：C　用列举法可得，集合A可以为{2}，{2，4}，{2，6}，{2，4，6}，共4个.故选C. 题型三　确定集合的补集 （链接教科书第10页例4）（1）设全集U＝{0，1，2，3，4，5}，A＝{2，4}，试求∁UA； （2）设全集U＝R，不等式组的解集为A，试求A及∁UA，并把它们分别表示在数轴上. 解：（1）因为全集U＝{0，1，2，3，4，5}，A＝{2，4}，由补集的定义，得集合∁UA＝{0，1，3，5}. （2）A＝，∁UA＝{x｜x≤，或x＞}，在数轴上分别表示如下： 通性通法 求集合补集的2种方法 （1）当集合用列举法表示时，直接用定义或借助Venn图求解； （2）当集合是用描述法表示的连续数集时，可借助数轴，利用数轴分析求解. 1.已知U＝{x｜－5≤x＜3}，A＝{x｜－2≤x＜3}，则图中阴影部分表示的集合是（　　） A.{x｜－5≤x≤－2} B.{x｜x≤－5，或x≥3} C.{x｜－5≤x＜－2} D.{x｜x≤－2} 解析：C　图中阴影部分表示的集合是∁UA＝{x｜－5≤x＜－2}.故选C. 2.若集合A＝{x｜x＞1}，则∁RA＝　{x｜x≤1}　. 解析：∵A＝{x｜x＞1}，∴∁RA＝{x｜x≤1}. 题型四　由集合间的关系求参数的范围 （链接教科书第12页习题7题）已知集合A＝{x｜－3≤x≤4}，B＝{x｜1＜x＜m，m＞1}，且B⊆A，则实数m的取值范围是　{m｜1＜m≤4}　. 解析：由于B⊆A，结合数轴分析可知，m≤4，又m＞1，所以1＜m≤4. 【母题探究】 1.（变条件）本例若将“B＝{x｜1＜x＜m，m＞1}”改为“B＝{x｜1＜x＜m}”，其他条件不变，则实数m的取值范围是什么？ 解：若m≤1，则B＝⌀，满足B⊆A. 若m＞1，则由例题解析可知1＜m≤4. 综上可知m≤4. 2.（变条件）本例若将“B＝{x｜1＜x＜m，m＞1}”改为“B＝{x｜2m－1＜x＜m＋1}”，其他条件不变，则实数m的取值范围是什么？ 解：因为B⊆A， ①当B＝⌀时，m＋1≤2m－1， 解得m≥2. ②当B≠⌀时，有 解得－1≤m＜2. 综上得m≥－1. 通性通法 由集合间的包含关系求参数的方法 （1）当集合为不连续数集时，常根据集合间包含关系的意义，转化为方程或方程组求解，此时应注意分类讨论； （2）当集合为连续数集时，常借助数轴来建立不等关系求解，应注意端点处是实点还是虚点. 提醒：（1）不能忽视集合为⌀的情形；（2）当集合中含有字母参数时，一般要分类讨论. 　已知全集U＝R，A＝{x｜x＜3}，B＝{x｜x＜a}. （1）若B⊆A，求a的取值范围； （2）若A⊆B，求a的取值范围. 解：（1）因为B⊆A，B是A的子集，由图①得a≤3. （2）因为A⊆B，A是B的子集，由图②得a≥3. 1.下列结论中正确的是（　　） A.{1}∈{0，1，2} B.{1，－3}＝{－3，1} C.{0，1，2}⫋{1，0，2} D.⌀∈{0，1，2} 解析：B　对于A，应是{1}⊆{0，1，2}，故A错误；对于B，集合中的元素有无序性，故B正确；对于C，任何集合都是本身的子集，但不是真子集，故{0，1，2}⊆{1，0，2}，故C错误；对于D，应是⌀⊆{0，1，2}，故D错误.故选B. 2.（2026·江阴质检）设集合A＝{0，1}，B＝{1，a－2，a－1}，若A⊆B，则a＝（　　） A.2 B.3 C.1 D.1或2 解析：C　因为A⊆B，所以0∈B，则a－2＝0或a－1＝0，解得a＝2或a＝1，当a＝2时a－1＝1，不满足集合元素的互异性，故舍去；当a＝1时B＝{1，－1，0}，符合题意.综上，a＝1.故选C. 3.（2026·盐城月考）设全集U＝{1，2，3，4，5}，集合M满足∁UM＝{1，3}，则（　　） A.2∈M B.3∈M C.4∉M D.5∉M 解析：A　由题知M＝{2，4，5}，故A正确，B、C、D错误.故选A. 4.已知集合A＝{x｜x＞4}，非空集合B＝{x｜2a≤x≤a＋3}，若B⊆A，求实数a的取值范围. 解：因为B≠⌀，根据题意作出如图所示的数轴， 则解得2＜a≤3. 所以实数a的取值范围为{a｜2＜a≤3}. 　　 1.已知集合A＝{x｜x＜4，x∈N}，则（　　） A.0∉A B.－1∈A C.{0}⊆A D.{－1}⊆A 解析：C　因为A＝{0，1，2，3}，则0∈A，－1∉A，{0}⊆A，{－1}⊈A，故C对，A、B、D均错.故选C. 2.已知集合M＝{x｜x2－3x＋2＝0}，N＝{0，1，2}，则集合M与N的关系是（　　） A.M＝N B.N⫋M C.M⫋N D.N⊆M 解析：C　解方程x2－3x＋2＝0得x＝2或x＝1，则M＝{1，2}，因为1∈M且1∈N，2∈M且2∈N，所以M⊆N.又因为0∈N但0∉M，所以M⫋N.故选C. 3.（2026·江阴月考）已知集合U＝{x｜－1≤x≤1}，B＝{x｜0＜x≤1}，则∁UB为（　　） A.{x｜－1≤x≤0} B.{x｜－1≤x＜0} C.{x｜x≤0} D.{x｜0≤x≤1} 解析：A　借助数轴得，∁UB＝{x｜－1≤x≤0}.故选A. 4.（2026·宿迁质检）设集合A＝{x｜1＜x＜2}，B＝{x｜x＜a}，若A⊆B，则实数a的取值范围是（　　） A.{a｜a≥2} B.{a｜a≤1} C.{a｜a≥1} D.{a｜a≤2} 解析：A　结合数轴可知，要使A⊆B，则只要a≥2即可，即实数a的取值范围是 {a｜a≥2}.故选A. 5.〔多选〕已知集合A＝{x｜x2－2x＝0}，则有（　　） A.⌀⊆A B.－2∈A C.{0，2}⊆A D.A⊆{y｜y＜3} 解析：ACD　由题得集合A＝{0，2}，由于空集是任何集合的子集，故A正确；因为A＝{0，2}，所以C、D正确，B错误.故选A、C、D. 6.〔多选〕（2026·无锡质检）已知集合M＝{－1，1}，N＝{x｜mx＝1}，且N⊆M，则实数m的值可以为（　　） A.1 B.－1 C.2 D.0 解析：ABD　当m＝0时，N＝⌀⊆M，符合题意；当m≠0时，N＝，所以＝－1或＝1，解得m＝－1或m＝1.所以m的值为1或－1或0.故选A、B、D. 7.若集合M满足M⫋{1，2}，则满足题意的M的个数为　3　. 解析：集合M满足M⫋{1，2}，集合{1，2}的元素个数为2，则满足题意的M的个数为22－1＝3. 8.设全集U＝{1，3，5，7}，集合M＝{1，a－5}，M⊆U，∁UM＝{5，7}，则实数a＝　8　. 解析：由题知a－5＝3，a＝8. 9.（2026·南京月考）已知集合{x，y}的所有非空子集的所有元素之和为10，则x＋y＝　5　. 解析：集合{x，y}的非空子集有{x}，{y}，{x，y}，则x＋y＋x＋y＝2（x＋y）＝10，所以x＋y＝5. 10.已知集合A＝{x｜1≤x≤2}，B＝{x｜1≤x≤a}. （1）若A⫋B，求a的取值范围； （2）若B⊆A，求a的取值范围. 解：（1）若A⫋B，由图可知，a＞2. 故实数a的取值范围为{a｜a＞2}. （2）若B⊆A，①当a＜1时，集合B是⌀，符合题意； ②当a≥1时，由图可知，1≤a≤2. 故实数a的取值范围为{a｜a≤2}. 11.（2026·南京中华中学月考）设集合A＝{x｜－3＜x＜，x∈Z}，B＝{－1，0，1，2}，能正确表示图中阴影部分的集合是（　　） A.{－1，0，1} B.{1，2} C.{0，1，2} D.{2} 解析：B　由题意，集合A＝{－2，－1，0}，图中阴影部分表示集合B中元素除去集合A中的元素，即为{1，2}.故选B. 12.（2026·盐城中学期中）若集合A＝{x｜x＝（2k＋1），k∈Z}，B＝，则集合A，B之间的关系表示最准确的为（　　） A.A＝B B.A⊆B C.B⊆A D.无法确定 解析：A　对于集合A，当k＝2n（n∈Z）时，A＝，当k＝2n－1（n∈Z）时，A＝，所以A＝B.故选A. 13.〔多选〕已知集合A＝{x｜1＜x＜2}，B＝{x｜2a－3＜x＜a－2}，则下列结论正确的是（　　） A.不存在实数a使得A＝B B.存在实数a使得A⊆B C.当0≤a≤4时，B⊆A D.存在实数a使得B⊆A 解析：AD　对于A，由集合相等的概念可得此方程组无解，故不存在实数a使得A＝B，因此A正确；对于B，由A⊆B，得即此不等式组无解，因此B错误；对于C，当2a－3≥a－2，即a≥1时，B＝⌀⊆A，符合B⊆A，当a＜1时，要使B⊆A，需满足解得2≤a≤4，不满足a＜1，故这样的实数a不存在，故当a≥1时，B⊆A，因此C错误；对于D，由C选项分析可得存在实数a使得B⊆A，因此D正确.故选A、D. 14.已知集合M＝{x｜x2＋2x－a＝0}. （1）若M≠⌀，求实数a的取值范围； （2）若N＝{x｜x2＋x＝0}且M⊆N，求实数a的取值范围. 解：（1）由题意得，方程x2＋2x－a＝0有实数解， ∴Δ＝22－4×（－a）≥0，解得a≥－1， ∴实数a的取值范围是{a｜a≥－1}. （2）∵N＝{x｜x2＋x＝0}＝{0，－1}，且M⊆N， ∴当M＝⌀时，Δ＝22－4×（－a）＜0，解得a＜－1； 当M≠⌀时，当Δ＝0时，a＝－1. 此时M＝{－1}，满足M⊆N，符合题意； 当Δ＞0时，a＞－1，M中有两个元素， 若M⊆N，则M＝N，从而根据一元二次方程根与系数的关系有无解. 综上，实数a的取值范围为{a｜a≤－1}. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $