第11讲 对数讲义（知识详解+6典例精讲+课后作业）-2026年新高一数学暑假预习讲义（苏教版必修第一册）

第11讲 对数（知识详解+6典例精讲+课后作业） 知识详解·核心内容 知识点01：对数的概念 知识点02：对数的性质 知识点03：对数的运算性质 知识点04：换底公式 典例精讲·例题解析 （举一反三） 题型01：对数的概念判断与求值 题型02：指数式与对数式的互化 题型03：对数的运算 题型04：对数的运算性质的应用 题型05：运用换底公式化简计算 题型06：运用换底公式证明恒等式 课后作业·巩固延伸 一、单选题（8） 二、多选题（3） 三、填空题（3） 四、解答题（5） 【知识点01】对数的概念 1.一般地,如果ab=N(a>0,a≠1),那么就称b是以a为底N的对数,记作logaN=b,其中,a叫作对数的底数,N叫作真数.如图所示: 2.两类特殊对数 (1)通常将以10为底的对数称为常用对数,对数log10N简记为lg N.  (2)以无理数e=2.718 28…为底的对数称为自然对数,正数N的自然对数loge N一般简记为ln N.  温馨提示　(1)对数是由指数转化而来,则底数a、指数或对数x、幂或真数N的范围不变,只是位置和名称发生了变换,即在对数式中,a>0,且a≠1,N>0. (2)logaN的读法:以a为底N的对数. (3)由对数的定义知负数和零无对数. (4)无理数e=1+1++++…≈2.718,是一个重要的常数. 【例1】将指数式 化为对数式，并求出对应对数值。 【知识点02】对数的性质 对数的性质 (1)loga1=0(a>0,且a≠1),即1的对数为零. (2)logaa=1(a>0,且a≠1),即底的对数为1. (3)对数恒等式=N(a>0且a≠1,N>0). (4)logaan=n(a>0,且a≠1),底的n次幂的对数等于n. 温馨提示　掌握这些性质,可直接用于有关对数式的化简和求值,解有关的对数方程. 【例2】计算式子 的值。 【知识点03】对数的运算性质 对数的运算性质 (1)loga(MN)=logaM+logaN, (2)loga=logaM-logaN, (3)logaMn=nlogaM, 其中a>0,a≠1,M>0,N>0,n∈R. 温馨提示　(1)性质成立的条件:①a>0且a≠1,②M>0,N>0. (2)对于公式的左端有意义的条件分别为MN>0,>0,Mn>0.对于公式的右端(1)(2)有意义的条件为M>0,且N>0,(3)为M>0. (3)性质(1)可以推广为:loga(N1·N2·…·Nk)=logaN1+logaN2+…+logaNk,其中Nk>0,k∈N*. 【例3】已知 ，，求 的近似值。 【知识点04】换底公式 换底公式 logaN=,其中a>0,a≠1,N>0,c>0,c≠1. 温馨提示　(1)公式成立的条件是使每一个对数式都有意义. (2)对数换底公式的重要推论: ①logaN=(N>0,N≠1,a>0,a≠1); ②lobm=logab(a>0,a≠1,b>0). 【例4】利用换底公式计算 的值。 【题型01】对数的概念判断与求值 【典例1-1】的值是______． 【变式1-1】（24-25高一上·全国·课后作业）下列选项中可以求对数的是（    ） A． B． C．0 D． 【变式1-2】“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式1-3】（25-26高一上·江苏·期末）声强级（单位：）由公式给出，其中为声强（单位：），已知平时常人交谈时的声强约为，则其声强级为（    ） A． B． C． D． 【题型02】指数式与对数式的互化 【典例2-1】（24-25高一上·江苏宿迁·期末）若，则的值为（    ） A． B． C． D． 【变式2-1】（多选）在下列选项中，不正确的是（    ） A． B． C．若，则 D．若，则 【变式2-2】已知，，则________. 【变式2-3】利用指数式、对数式的互化求下列各式中x的值． (1)； (2)； (3)； (4)． 【题型03】对数的运算 【典例3-1】（24-25高一上·江苏镇江·期末）式子的值为（    ） A． B．10 C．11 D．12 【变式3-1】（多选），，，则（   ） A． B． C． D． 【变式3-2】（2025高一上·江苏扬州·专题练习）计算___________. 【变式3-3】（24-25高一上·江苏无锡·期中）计算：(1)； (2) 【题型04】对数的运算性质的应用 【典例4-1】（25-26高一上·江苏南通·期中）设，则（    ） A． B． C． D． 【变式4-1】（24-25高一上·江苏南京·阶段检测）已知，则下列等式一定正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式4-2】（24-25高一上·江苏南京·期中）设，，若，则的最大值为_______． 【变式4-3】已知，且，且，求的值． 【题型05】运用换底公式化简计算 【典例5-1】（25-26高一上·江苏淮安·期中）（   ） A． B． C． D． 【变式5-1】（25-26高一上·江苏连云港·期末）已知，则属于（ ） A． B． C． D． 【变式5-2】（25-26高一上·江苏无锡·期中）求值：______ 【变式5-3】（24-25高一上·江苏·期中）已知，． (1)求的值； (2)用m，n表示． 【题型06】运用换底公式证明恒等式 【典例6-1】设a、b是两个不等于1的正数，求证：. 【变式6-1】已知：，求证：． 【变式6-2】已知a，b，c均为正数，且，求证：； 【变式6-3】已知在中，，角A，B，C所对应的三条边长分别为a，b，c．求证：． 知识点01对数的概念 1. 定义与指数对数互化 若 （ 且 ），则 叫做以 为底 的对数。 互化核心公式： 其中： 为底数， 为真数。 2. 取值范围（核心限制条件） 底数：且 真数：（零和负数无对数） 3. 两类特殊对数 常用对数（底数为10）： 自然对数（底数为）： 知识点02对数的核心性质 在 条件下，三大基础必考性质： 1. 1的对数为0： 2. 底数自身的对数为1： 3. 对数恒等式： 知识点03对数的运算性质 设 ，四则运算核心公式： 1. 积的对数： 2. 商的对数： 3. 幂的对数： 致命易错误区：不存在和、差对数公式 知识点04换底公式及重要推论 1. 通用换底公式 作用：统一对数底数，化简复杂对数式、求值、证明等式。 2. 两大高频推论（必考秒杀公式） 推论1（倒数关系）： 推论2（链式抵消）： 知识点05本节整体知识框架总结 对数是指数的逆运算，本节核心围绕定义互化、基础性质、四则运算、换底变形四大模块展开，是后续对数函数、对数不等式、复合函数的运算基础。所有公式的使用前提均需满足：底数合法、真数大于0。解题核心思路：复杂对数式优先拆分、统一底数、套用公式化简。 知识点06高频易错考点汇总 1. 忽略真数大于0，出现负数、零取对数的错误； 2. 混淆对数运算公式，随意拆分加减形式的真数； 3. 换底公式不会灵活选底，优先选择2、10、简化运算； 4. 忘记对数恒等式、倒数推论，导致化简步骤繁琐。 一、单选题 1．（25-26高一上·山西·阶段检测）已知，则（   ） A． B． C． D． 2．（25-26高一上·江苏·期末）（   ） A．e B． C． D． 3．（25-26高一上·江苏徐州·期末）化简的结果为（   ） A．18 B．20 C．22 D．24 4．（25-26高一上·江苏南通·阶段检测）已知，记，则（    ） A． B． C． D．10 5．若（）与（）互为相反数，则（    ） A． B． C． D． 6．（25-26高一上·江苏盐城·期末）已知，则（    ） A．2 B． C．1 D． 7．（25-26高一下·江苏盐城·阶段检测）下列各式：①，②，③，④，其中正确的个数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 8．（25-26高一上·江苏无锡·阶段检测）北京时间2023年5月10日21时22分，搭载天舟六号货运飞船的长征七号遥七运载火箭，在我国文昌航天发射场点火发射，约10分钟后，天舟六号货运飞船与火箭成功分离并进入预定轨道，发射取得圆满成功.在不考虑空气阻力的情况下，火箭的最大速度和燃料的质量、火箭（除燃料外）的质量的函数关系的表达式为.若火箭的最大速度达到，则的值是（    ） A．100 B．82 C．18 D． 二、多选题 9．（24-25高一上·江苏徐州·期末）下列命题正确的是（   ） A． B． C． D．若，则 10．（24-25高一上·江苏南京·期末）设a，b为实数，若，则（    ） A． B． C． D． 11．（25-26高一上·江苏南京·期末）下列命题中正确的是（   ） A． B．若且，则 C．若，则的值为 D．的值为1 三、填空题 12．（25-26高一上·江苏扬州·期中）求值：___________． 13．（25-26高一上·江苏南京·期末）若，则________ 14．（25-26高一上·江苏南通·阶段检测）__________． 四、解答题 15．（25-26高一上·江苏连云港·期中）求值： (1)； (2)． 16．（25-26高一上·江苏苏州·阶段检测）（1）计算： （2）计算： 17．（25-26高一上·江苏盐城·阶段检测）求值： (1)若，求； (2)． 18．（2025高一上·江苏镇江·专题练习）（1）已知，，求证： （2）已知，,是否存在一个正数，使得？若存在，请求出，若不存在，请说明理由. 19．（25-26高一上·江苏苏州·阶段检测）计算下列各式的值： (1)求的值： (2)已知，求的值； (3)已知，，用a，b表示； (4)已知，计算的值． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第11讲 对数（知识详解+6典例精讲+课后作业） 知识详解·核心内容 知识点01：对数的概念 知识点02：对数的性质 知识点03：对数的运算性质 知识点04：换底公式 典例精讲·例题解析 （举一反三） 题型01：对数的概念判断与求值 题型02：指数式与对数式的互化 题型03：对数的运算 题型04：对数的运算性质的应用 题型05：运用换底公式化简计算 题型06：运用换底公式证明恒等式 课后作业·巩固延伸 一、单选题（8） 二、多选题（3） 三、填空题（3） 四、解答题（5） 【知识点01】对数的概念 1.一般地,如果ab=N(a>0,a≠1),那么就称b是以a为底N的对数,记作logaN=b,其中,a叫作对数的底数,N叫作真数.如图所示: 2.两类特殊对数 (1)通常将以10为底的对数称为常用对数,对数log10N简记为lg N.  (2)以无理数e=2.718 28…为底的对数称为自然对数,正数N的自然对数loge N一般简记为ln N.  温馨提示　(1)对数是由指数转化而来,则底数a、指数或对数x、幂或真数N的范围不变,只是位置和名称发生了变换,即在对数式中,a>0,且a≠1,N>0. (2)logaN的读法:以a为底N的对数. (3)由对数的定义知负数和零无对数. (4)无理数e=1+1++++…≈2.718,是一个重要的常数. 【例1】将指数式 化为对数式，并求出对应对数值。 解：步骤1：对应定义参数 由指数式，可得本题中：。 步骤2：代入对数定义互化 根据 ，代入得： 最终结论：对应对数式为 。 【知识点02】对数的性质 对数的性质 (1)loga1=0(a>0,且a≠1),即1的对数为零. (2)logaa=1(a>0,且a≠1),即底的对数为1. (3)对数恒等式=N(a>0且a≠1,N>0). (4)logaan=n(a>0,且a≠1),底的n次幂的对数等于n. 温馨提示　掌握这些性质,可直接用于有关对数式的化简和求值,解有关的对数方程. 【例2】计算式子 的值。 解：步骤1：拆分式子，分别套用对数性质 根据性质1： 根据性质2： 根据对数恒等式： 步骤2：合并计算结果 最终结论：原式计算结果为 。 【知识点03】对数的运算性质 对数的运算性质 (1)loga(MN)=logaM+logaN, (2)loga=logaM-logaN, (3)logaMn=nlogaM, 其中a>0,a≠1,M>0,N>0,n∈R. 温馨提示　(1)性质成立的条件:①a>0且a≠1,②M>0,N>0. (2)对于公式的左端有意义的条件分别为MN>0,>0,Mn>0.对于公式的右端(1)(2)有意义的条件为M>0,且N>0,(3)为M>0. (3)性质(1)可以推广为:loga(N1·N2·…·Nk)=logaN1+logaN2+…+logaNk,其中Nk>0,k∈N*. 【例3】已知 ，，求 的近似值。 解：步骤1：拆分真数，变形适配运算公式 步骤2：分步套用对数运算性质 根据商的对数、积的对数、幂的对数公式展开： 步骤3：代入已知数值与基础性质 由 ，代入得： 最终结论：。 【知识点04】换底公式 换底公式 logaN=,其中a>0,a≠1,N>0,c>0,c≠1. 温馨提示　(1)公式成立的条件是使每一个对数式都有意义. (2)对数换底公式的重要推论: ①logaN=(N>0,N≠1,a>0,a≠1); ②lobm=logab(a>0,a≠1,b>0). 【例4】利用换底公式计算 的值。 解：步骤1：选取通用底数，套用换底公式 选取底数为2，由换底公式得： 步骤2：化简分子分母 ， 步骤3：计算最终结果 最终结论：。 【题型01】对数的概念判断与求值 【典例1-1】的值是______． 【答案】/0.2 【分析】由对数的概念直接计算即可. 【详解】由对数的概念可得， 故答案为： 【变式1-1】（24-25高一上·全国·课后作业）下列选项中可以求对数的是（    ） A． B． C．0 D． 【答案】D 【分析】由0和负数没有对数,即可得答案. 【详解】解：因为0和负数没有对数， 又，所以D正确． 故选：D. 【变式1-2】“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】根据对数的概念，以及充分、必要性判断即可. 【详解】由题可知：，若，则不能推出， 所以“”是“”的必要不充分条件. 故选：B 【变式1-3】（25-26高一上·江苏·期末）声强级（单位：）由公式给出，其中为声强（单位：），已知平时常人交谈时的声强约为，则其声强级为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据公式直接计算得到答案. 【详解】由题意可得. 故选：B 【题型02】指数式与对数式的互化 【典例2-1】（24-25高一上·江苏宿迁·期末）若，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由指数式和对数式的互化可得结果. 【详解】因为，所以，. 故选：A. 【变式2-1】（多选）在下列选项中，不正确的是（    ） A． B． C．若，则 D．若，则 【答案】BCD 【分析】根据指数幂的运算性质，及指数式与对数式的互化进行计算即可. 【详解】，故A正确； ，故B错误； 若，则，故C错误； 若，则，故D错误. 故选：BCD. 【变式2-2】已知，，则________. 【答案】 【分析】利用指数式与对数式的互化关系，结合指数运算计算得解. 【详解】由，得，而， 所以. 故答案为： 【变式2-3】利用指数式、对数式的互化求下列各式中x的值． (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)；(2)；(3)；(4). 【分析】（1）（2）（3）（4）（5）利用指对数关系，对各式两侧同时取对或取同底数幂，化简求值. 【详解】（1）由； （2）由，且，故； （3）由，则； （4）. 【题型03】对数的运算 【典例3-1】（24-25高一上·江苏镇江·期末）式子的值为（    ） A． B．10 C．11 D．12 【答案】C 【详解】， ， ， 所以. 【变式3-1】（多选），，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】根据对数运算计算得，根据指数运算化简得，，逐项判断即可解答. 【详解】，故，， 所以，，，，故AC错误，BD正确. 故选：BD 【变式3-2】（2025高一上·江苏扬州·专题练习）计算___________. 【答案】3 【分析】根据指数幂和对数的运算求解. 【详解】原式. 故答案为：3. 【变式3-3】（24-25高一上·江苏无锡·期中）计算：(1)； (2) 【答案】(1)4 (2)49 【分析】（1）由指数幂的运算即可得解； （2）由对数运算法则即可得解. 【详解】（1）； （2） . 【题型04】对数的运算性质的应用 【典例4-1】（25-26高一上·江苏南通·期中）设，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用对数运算性质化简即可. 【详解】因为， 所以 ， 故选：A. 【变式4-1】（24-25高一上·江苏南京·阶段检测）已知，则下列等式一定正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】根据可推出，依此并结合对数运算，一一判断各选项，即可得答案. 【详解】由，得，且， 即，而此时不总是成立，则C错误； 由于，即，结合以上分析可知A错误； 由于，即为，故B正确； 又，D正确， 故选：BD 【变式4-2】（24-25高一上·江苏南京·期中）设，，若，则的最大值为_______． 【答案】/ 【分析】根据已知推得，，．进而得出，然后即可根据基本不等式，得出答案. 【详解】由得. 又，，所以. 同理可得． 因为， 所以，所以． 又． 当，且时，即，. 由基本不等式知． 当且仅当，即， 即，时等号成立. 当时，，此时； 当时，，此时. 综上所述，的最大值为． 故答案为：． 【变式4-3】已知，且，且，求的值． 【答案】 【分析】根据对数的运算性质化简即可求得. 【详解】因为，且，且， 所以①，②， 联立得，所以，所以． 故答案为： 【题型05】运用换底公式化简计算 【典例5-1】（25-26高一上·江苏淮安·期中）（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用换底公式结合对数的运算性质化简可得所求代数式的值. 【详解】原式. 故选：A. 【变式5-1】（25-26高一上·江苏连云港·期末）已知，则属于（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据换底公式及对数的运算性质计算可得. 【详解】因为， 因为，所以， 又，， 所以，即属于. 故选：A 【变式5-2】（25-26高一上·江苏无锡·期中）求值：______ 【答案】5 【分析】运用对数运算和换底公式的知识即可求解. 【详解】 故答案为：5. 【变式5-3】（24-25高一上·江苏·期中）已知，． (1)求的值； (2)用m，n表示． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）依题意可得，再根据对数的运算法则求出，最后根据指数、对数的关系计算可得； （2）利用换底公式及对数的运算性质计算可得. 【详解】（1）因为，所以， 又，所以， 所以； （2）因为，， 所以. 【题型06】运用换底公式证明恒等式 【典例6-1】设a、b是两个不等于1的正数，求证：. 【答案】证明见解析 【分析】利用换底公式转化、化简即得证. 【详解】因a、b是两个不等于1的正数，则， 即. 【变式6-1】已知：，求证：． 【答案】证明见详解 【分析】将指数式化为对数式，再结合对数运算以及换底公式运算分析证明. 【详解】设，显然， 则，可得， 所以. 【变式6-2】已知a，b，c均为正数，且，求证：； 【答案】证明见解析 【分析】设，则，结合指数与对数的互化公式，以及换底公式和对数的运算即可得证. 【详解】设，则. ∴， ∴， 而， ∴，得证. 【变式6-3】已知在中，，角A，B，C所对应的三条边长分别为a，b，c．求证：． 【答案】见解析 【分析】利用直角三角形的勾股定理、对数的运算性质以及对数的运算法则可以证明等式成立. 【详解】证明：在中，因为，所以， 因为 ， 所以. 【点睛】本题考查了等式的证明，考查了对数的运算性质、对数的运算法则，属于基础题. 知识点01对数的概念 1. 定义与指数对数互化 若 （ 且 ），则 叫做以 为底 的对数。 互化核心公式： 其中： 为底数， 为真数。 2. 取值范围（核心限制条件） 底数：且 真数：（零和负数无对数） 3. 两类特殊对数 常用对数（底数为10）： 自然对数（底数为）： 知识点02对数的核心性质 在 条件下，三大基础必考性质： 1. 1的对数为0： 2. 底数自身的对数为1： 3. 对数恒等式： 知识点03对数的运算性质 设 ，四则运算核心公式： 1. 积的对数： 2. 商的对数： 3. 幂的对数： 致命易错误区：不存在和、差对数公式 知识点04换底公式及重要推论 1. 通用换底公式 作用：统一对数底数，化简复杂对数式、求值、证明等式。 2. 两大高频推论（必考秒杀公式） 推论1（倒数关系）： 推论2（链式抵消）： 知识点05本节整体知识框架总结 对数是指数的逆运算，本节核心围绕定义互化、基础性质、四则运算、换底变形四大模块展开，是后续对数函数、对数不等式、复合函数的运算基础。所有公式的使用前提均需满足：底数合法、真数大于0。解题核心思路：复杂对数式优先拆分、统一底数、套用公式化简。 知识点06高频易错考点汇总 1. 忽略真数大于0，出现负数、零取对数的错误； 2. 混淆对数运算公式，随意拆分加减形式的真数； 3. 换底公式不会灵活选底，优先选择2、10、简化运算； 4. 忘记对数恒等式、倒数推论，导致化简步骤繁琐。 一、单选题 1．（25-26高一上·山西·阶段检测）已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据对数的概念及指数幂的运算求解判断即可. 【详解】因为，所以． 故选：A． 2．（25-26高一上·江苏·期末）（   ） A．e B． C． D． 【答案】C 【分析】利用指数、对数的运算法则计算各项，再合并求解． 【详解】，，，， ，故C正确． 故选：C． 3．（25-26高一上·江苏徐州·期末）化简的结果为（   ） A．18 B．20 C．22 D．24 【答案】A 【分析】利用指数、对数的性质及运算法则直接求解. 【详解】原式， ， ， . 故选：A. 4．（25-26高一上·江苏南通·阶段检测）已知，记，则（    ） A． B． C． D．10 【答案】C 【分析】先由题设得到、，再由对数运算性质即可求解. 【详解】由得，由得， 则，， 因此， 因此，又因且， 故. 故选：C 5．若（）与（）互为相反数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据对数的运算性质即可求解. 【详解】因为（）与（）互为相反数， 所以，所以. 故选：C. 6．（25-26高一上·江苏盐城·期末）已知，则（    ） A．2 B． C．1 D． 【答案】C 【分析】利用指数对数互换，解出的值，利用对数的运算法则计算即可. 【详解】已知 ，则， 于是 所以， . 故选：C 7．（25-26高一下·江苏盐城·阶段检测）下列各式：①，②，③，④，其中正确的个数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】根据指数幂以及对数的运算性质，即可结合选项逐一求解. 【详解】， ， ， ， 故③④正确，①②错误， 其中正确的个数为2. 8．（25-26高一上·江苏无锡·阶段检测）北京时间2023年5月10日21时22分，搭载天舟六号货运飞船的长征七号遥七运载火箭，在我国文昌航天发射场点火发射，约10分钟后，天舟六号货运飞船与火箭成功分离并进入预定轨道，发射取得圆满成功.在不考虑空气阻力的情况下，火箭的最大速度和燃料的质量、火箭（除燃料外）的质量的函数关系的表达式为.若火箭的最大速度达到，则的值是（    ） A．100 B．82 C．18 D． 【答案】B 【分析】利用对数式与指数式的互化计算即得. 【详解】由可得，解得. 故选：B. 二、多选题 9．（24-25高一上·江苏徐州·期末）下列命题正确的是（   ） A． B． C． D．若，则 【答案】AD 【分析】AB由指数运算性质可判断选项正误； CD由对数运算性质可判断选项正误. 【详解】对于A，由指数运算性质可得：，故A正确； 对于B，由指数运算性质可得：，故B错误； 对于C，由题 ，故C错误； 对于D，，则.故D正确. 故选：AD 10．（24-25高一上·江苏南京·期末）设a，b为实数，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】由已知可得，然后根据对数的运算性质逐个分析判断即可. 【详解】因为，所以， 对于A，，所以A正确； 对于B，，所以B错误； 对于C，，所以C正确； 对于D，，所以D正确. 故选：ACD 11．（25-26高一上·江苏南京·期末）下列命题中正确的是（   ） A． B．若且，则 C．若，则的值为 D．的值为1 【答案】ACD 【分析】利用指数幂的运算法则即可判断A，根据指对互化，以及换底公式即可判断B，利用换底公式得，即即可判断C，利用对数运算法则即可判断D. 【详解】A选项： ，故A正确； B选项：由，则，，且，即，， 所以，解得，故B错误； C选项：由，得，即， 所以，故C正确； D选项： ，故D正确； 故选：ACD 三、填空题 12．（25-26高一上·江苏扬州·期中）求值：___________． 【答案】 【分析】利用换底公式即可得解. 【详解】 故答案为： 13．（25-26高一上·江苏南京·期末）若，则________ 【答案】2 【分析】利用换底公式化简，然后可解方程. 【详解】∵ ∴，∴. 故答案为：2. 14．（25-26高一上·江苏南通·阶段检测）__________． 【答案】 【分析】利用对数的运算法则求解即可. 【详解】， 故答案为： 四、解答题 15．（25-26高一上·江苏连云港·期中）求值： (1)； (2)． 【答案】(1)；(2) 【分析】（1）利用指数幂的运算法则计算即可； （2）利用对数的运算法则计算即可. 【详解】（1）由 ； （2）由 16．（25-26高一上·江苏苏州·阶段检测）（1）计算： （2）计算： 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）化根式为分数指数幂，然后利用指数幂的运算性质化简求解即可； （2）利用对数的换底公式与指对数运算法则即可得解. 【详解】（1） ； （2） . 17．（25-26高一上·江苏盐城·阶段检测）求值： (1)若，求； (2)． 【答案】(1)； (2)11. 【分析】（1）利用指数幂的运算性质求解即得. （2）利用对数的运算性质求解即可. 【详解】（1）由两边平方，可得，即； 由，可得； 故； （2） . 18．（2025高一上·江苏镇江·专题练习）（1）已知，，求证： （2）已知，,是否存在一个正数，使得？若存在，请求出，若不存在，请说明理由. 【答案】（1）证明见解析；（2）存在， 【分析】（1）根据条件直接从左向右证明可得； （2）根据条件分别解得和，进而可得所求结果. 【详解】（1）证明：令，则. ， . . （2）解：由，得. ，则. 由，得. 所以，解得或（舍去），得. 从而. 所以存在. 19．（25-26高一上·江苏苏州·阶段检测）计算下列各式的值： (1)求的值： (2)已知，求的值； (3)已知，，用a，b表示； (4)已知，计算的值． 【答案】(1)25；(2)4；(3)；(4)1 【分析】（1）利用指数幂和对数的运算性质化简计算即得； （2）将原式取平方可得，再取平方可得，代入所求式即可求得答案； （3）利用对数的运算性质和换底公式化简计算即得； （4）将指数式化成对数式，再运用对数换底公式和运算性质计算即可. 【详解】（1）由 ； （2）由两边取平方，可得，解得， 两边再取平方，可得，解得， 则； （3）； （4）由可得， 则. 1 学科网（北京）股份有限公司 $