4.1.1 根式(PPT课件)-【满分思维】2026-2027学年高中数学必修第一册配套课件（苏教版）

4.1 指数 1 4.1.1 根式 2 探究点一 次方根的概念 探究点二 利用根式的性质化简与求值 探究点三 有限制条件的根式的化简 ◆ ◆ ◆ 课前预习 课中探究 课后习题 3 【学习目标】 1.能够在具体的数学情境中,了解 次方根及根式的含义. 2.理解并掌握 次方根的性质. 3.利用 次方根的性质解决有关问题，并培养学生数学运算的核 心素养. 4 知识点一 次方根的概念 一般地，如果,那么称为 的_________. 次方根 （1）当为奇数时,正数的次方根是__________,负数的 次方根是 __________. （2）当_________时,正数的 次方根有两个,它们互为相反数. 一个正数 一个负数 为偶数 （3）需要注意的是，0的 次方根等于0. 课 前 预 习 5 【诊断分析】 判断正误.（请在括号中打“√”或“×”） （1）任意实数的奇次方根只有1个． ( ) √ （2）正数的偶次方根有两个，且互为相反数．( ) √ （3）的5次方根为 .( ) × （4） .( ) × 课 前 预 习 6 知识点二 根式的概念及其性质 1.根式的定义:式子____叫作根式,其中叫作根指数, 叫作被开方数. 2.根式的性质：对于，，当为奇数时,___;当 为 偶数时, _ _______________. 课 前 预 习 7 【诊断分析】 我们已经知道,若,则,那么等于什么? 呢? 呢? 解：;； . 课 前 预 习 8 探究点一 次方根的概念 例1（1）（多选题）若, ,则下列四个式子中有意义的是( ) A. B. C. D. [解析] 因为,所以为正偶数,则,所以 有意 义,A正确; 取,则,此时 无意义,B错误; 因为的根指数为奇数,所以有意义,C正确; 对任意 , 恒成立，则有意义,D正确.故选 . √ √ √ 课 中 探 究 9 （2） 的3次方根是__. [解析] 因为，所以的3次方根是 . 课 中 探 究 10 变式 （多选题）下列说法正确的是( ) A.的运算结果是 B.16的4次方根是2 C.当为大于1的偶数时，只有当 时才有意义 D.当为大于1的奇数时，对任意 都有意义 [解析] 对于A，偶次根式的结果只能是正数，故A错误； 对于B，正数的偶次方根的结果有正有负，故B错误； 对于C，D，根据根式的性质可知C，D正确.故选 . √ √ 课 中 探 究 11 ［素养小结］ （1）方根的个数：正数的偶次方根有两个，且互为相反数，负数没 有偶次方根；0的偶次方根只有一个，为0；任意实数的奇次方根只 有一个. （2）符号：根式<m></m>的符号由根指数<m></m>的奇偶性及被开方数<m></m>的符号 共同确定. ①当<m></m>为偶数，且<m></m>时，<m></m>为非负实数； ②当<m></m>为奇数时，<m></m>的符号与<m></m>的符号一致. 课 中 探 究 12 （3）对于根式，若存在， , ，则 . 课 中 探 究 13 探究点二 利用根式的性质化简与求值 例2（1）式子 的值为( ) A. B. C. D.1 [解析] .故选A. （2）化简： _____. [解析] . √ 课 中 探 究 14 （3）已知,，则 _____. [解析] 方法一：因为 ， ，所以 . 方法二： . 课 中 探 究 15 变式 化简下列各式: （1） ； 解：原式 . （2）（其中 ）; 解： . 因为，所以, . 所以原式 . 课 中 探 究 16 变式 化简下列各式: （3） . 解：因为，所以 ，所以原式 . 课 中 探 究 17 ［素养小结］ 根式化简与求值的思路及注意点 思路：用根式的性质将根式化简,首先要分清根式为奇次根式还是偶 次根式，其次选用相应公式化简. 注意点：①解题时要注意公式的适用范围,特别是在化简含有字母的 根式时要注意字母的取值范围； ②正确区分<m></m>与<m></m>； ③运算时注意变形与整体代换，以及平方差、立方差、完全平方式 的运用，必要时要进行分类讨论. 课 中 探 究 18 探究点三 有限制条件的根式的化简 例3 若代数式 有意义，化简 . 解：由有意义，得即， 故 . 课 中 探 究 19 变式 [2026·江苏扬州高一期中]若 ，则 的化简结果是( ) A.1 B. C. D. [解析] 因为，所以，， 所以 .故选D. √ 课 中 探 究 20 课后习题 21 1.[2026·江苏徐州二中高一期中] ( ) A.2 B. C. D. [解析] ，故选B. √ 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 22 2.[2026·江苏南通通州中学高一期中]已知，则实数 ( ) A. B. C. D. [解析] ，是3的4次方根， 又4是偶数， 的4次方根有两个，且这两个数互为相反数， 则 ，故选D. √ 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 23 3.[2026·江苏徐州三中高一期中]已知，则 ( ) A. B.1 C. D. [解析] ， ， ，故选B. √ 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 24 4.若有意义，则 的取值范围是( ) A. B. C. D. [解析] 由题意知所以 .故选C. √ 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 25 5.给出下列式子其中，， ， ， .其中一定有意义的是( ) A.①② B.①③ C.①②③④ D.①③④ [解析] 显然，故①有意义； 显然 ，故②无意义； ③显然有意义； 当时，，此时 无意义，故④不一定有意义．故选B. √ 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 26 6.把代数式中的 移到根号内，那么这个代数式可 化为( ) A. B. C. D. [解析] 由题知， ， .故选A. √ 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 27 7.当时，化简： ___. [解析] 由可得 . 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 28 8.若代数式有意义，则 ___. 1 [解析] 由题意可知， . 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 29 9.（13分）写出使下列各式成立的 的取值范围. （1） ； 解： 根指数是3， 有意义即可，， . （2） . 解： ， . 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 30 10.（13分）设，求 的值． 解：， ， 当时，原式 ， 当时，原式 ． 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 31 11.（多选题）下列说法正确的是( ) A. B. C. D.若，则 √ √ 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 32 [解析] ，故A错误； ，故B错误； ，故C正确； ， ，则 .故D正确.故选 . 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 12.已知是的小数部分，则 的值为( ) A.2 B.4 C. D. [解析] 因为，所以 ， 所以 .故选A. √ 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 34 13.若，则实数 的取值范围是( ) A. B. C. D. [解析] ， ，解得，即的取值范围为 .故选B. √ 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 35 14.化简： _______. [解析] 原式 . 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 36 15.已知2,5,是某三角形三边的长，则 ___. 4 [解析] 因为2，5，是某三角形三边的长， 所以 ，即 ， 所以 . 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 37 16.（15分）对于根式 ，如果存在 ,，则 .利用这个结 论化简下列各式： （1） ； 解： . （2） ； 解： . 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 38 （3） . 解： . 16.（15分）对于根式 ，如果存在 ,，则 .利用这个结 论化简下列各式： 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 39 $