3.3.2 第1课时 一元二次不等式的解法-【学霸笔记·同步精讲】2026-2027学年高中数学必修第一册教师用书word（苏教版）

本讲义聚焦高中数学“一元二次不等式的解法”核心知识点，从园艺师围矩形区域的实际情境抽象出不等式，系统梳理一元二次不等式的定义、与二次函数及方程的联系（三个“二次”关系），并归纳化标准、判根、画图、写解集的解题步骤，构建从具体到抽象的学习支架。 该资料以情境化问题引入培养数学抽象，通过表格对比三个“二次”关系发展数学思维，分层设计基础题、母题探究等题型提升数学运算。课中辅助教师清晰呈现知识脉络，课后练习题覆盖不同难度，帮助学生查漏补缺，强化应用能力。

3.3.2　从函数观点看一元二次不等式 课标 要求 1.经历从实际情境中抽象出一元二次不等式的过程，了解一元二次不等式的现实意义（数学抽象）. 2.借助一元二次函数求解一元二次不等式，并能用集合表示一元二次不等式的解集（数学运算）. 3.借助一元二次函数的图象，了解一元二次不等式与相应函数、方程的联系（数学抽象）. 4.能够从实际生活和生产中抽象出一元二次不等式的模型，并加以解决（数学建模、数学运算）. 第1课时　一元二次不等式的解法 　　 　　园艺师打算在空地上用栅栏围一个矩形区域种植花卉，栅栏的长度是24 m. 【问题】　若围成的矩形区域的面积要大于20 m2，则这个矩形的边长要满足什么条件？ 　 知识点一　一元二次不等式 1.定义：只含有　一个　未知数，并且未知数最高次数是　2　的整式不等式叫作一元二次不等式. 2.一般形式：ax2＋bx＋c＞0或ax2＋bx＋c≥0或ax2＋bx＋c＜0或ax2＋bx＋c≤0，其中a，b，c均为常数，a≠0. 提醒：对一元二次不等式的再理解：①一元：即只含一个未知数，其他元素均为常数（或参数）；②二次：即未知数的最高次数必须为2，且其系数不能为0. 【想一想】 1.不等式x2＋＞0是一元二次不等式吗？ 提示：不是，一元二次不等式一定为整式不等式. 2.一元二次不等式的一般形式中“a≠0”可以省略吗？ 提示：不可以，若a＝0，就不是二次不等式了. 知识点二　二次函数与一元二次方程、一元二次不等式的解集的对应关系 判别式Δ＝b2－4ac Δ＞0 Δ＝0 Δ＜0 方程ax2＋bx＋c＝0（a＞0）的根 有两个相异的实数根x1，2＝ 　　（x1＜x2） 有两个相等的实数根x1＝x2＝　－　 没有实数根 二次函数y＝ax2＋bx＋c（a＞0）的图象 判别式Δ＝b2－4ac Δ＞0 Δ＝0 Δ＜0 ax2＋bx＋c＞0（a＞0）的解集 （－∞，x1）∪（x2，＋∞） （－∞，－）∪（－，＋∞） R ax2＋bx＋c≥0（a＞0）的解集 （－∞，x1]∪[x2，＋∞） R R ax2＋bx＋c＜0（a＞0）的解集 （x1，x2） ⌀ ⌀ ax2＋bx＋c≤0（a＞0）的解集 [x1，x2] {x｜x＝－} ⌀ 提醒：三个“二次”关系的实质：①ax2＋bx＋c＝0的解⇔y＝ax2＋bx＋c的图象与x轴交点的横坐标（即二次函数的零点）；②ax2＋bx＋c＞0的 解集⇔y＝ax2＋bx＋c的图象上的点（x，y）在x轴上方时，对应x的取值集合；③ax2＋bx＋c＜0的解集⇔y＝ax2＋bx＋c的图象上的点（x，y）在x轴下方时，对应x的取值集合. 1.一元二次不等式（x＋2）（5－x）＞0的解集为（　　） A.{x｜x＜－2或x＞5} B.{x｜x＜－5或x＞2} C.{x｜－2＜x＜5} D.{x｜－5＜x＜2} 解析：C　原一元二次不等式可化为（x＋2）（x－5）＜0，解得－2＜x＜5，所以原不等式的解集为{x｜－2＜x＜5}.故选C. 2.〔多选〕下列不等式是一元二次不等式的是（　　） A.x2＋＋1＜0 B.x2＋x＜－1 C.ax2＋4x－7＞0 D.x2＜－1 解析：BD　选项A中，由于x2＋＋1＜0不符合一元二次不等式的定义，故A错误；选项C中，当a＝0时，不等式为一次不等式，故C错误；选项B和D中，x2＋x＜－1，x2＋1＜0是一元二次不等式.故选B、D. 3.不等式3x2－2x＋1＞0的解集是　R　. 解析：因为Δ＝（－2）2－4×3×1＝4－12＝－8＜0，所以不等式3x2－2x＋1＞0的解集为R. 4.求不等式8x－1≥16x2的解集. 解：原不等式等价于16x2－8x＋1≤0⇒（4x－1）2≤0，而只有当4x－1＝0，即x＝时不等式成立，故不等式的解集为{}. 题型一　不含参数的一元二次不等式的解法 （链接教科书第66页例1）解下列不等式： （1）x2－7x＋12＜0； （2）－3x2＋6x≤2； （3）4x2＋4x＋1＞0； （4）2x－2＞x2. 解：（1）因为Δ＝（－7）2－4×1×12＝1＞0， 又方程x2－7x＋12＝0的解为x1＝3，x2＝4. 作出函数y＝x2－7x＋12的图象，如图①所示. 由图象可得原不等式的解集为{x｜3＜x＜4}. （2）原不等式等价于3x2－6x＋2≥0，Δ＝12＞0， 解方程3x2－6x＋2＝0，得x1＝，x2＝， 作出函数y＝3x2－6x＋2的图象，如图②所示， 由图象可得原不等式的解集为{x｜x≤或x≥}. （3）因为Δ＝0，所以方程4x2＋4x＋1＝0有两个相等的实根x1＝x2＝－. 作出函数y＝4x2＋4x＋1的图象如图③所示. 由图象可得原不等式的解集为{x｜x≠－，x∈R}. （4）原不等式可化为x2－2x＋2＜0. 因为Δ＝（－2）2－4×1×2＜0，函数y＝x2－2x＋2的图象开口向上，所以函数图象与x轴无交点， 作出函数y＝x2－2x＋2的图象如图④所示. 观察图象可得，原不等式的解集为⌀. 通性通法 解不含参数的一元二次不等式的一般步骤 （1）化标准：通过对不等式变形，使不等式的右侧为0，使二次项系数为正； （2）判别式：对不等式的左侧进行因式分解，若不能分解，则计算对应方程的判别式； （3）求实根：求出相应的一元二次方程的根或根据判别式说明方程无实根； （4）画简图：根据一元二次方程根的情况画出对应的二次函数的简图； （5）写解集：根据图象写出不等式的解集. 1.不等式（x－1）2＜x＋5的解集为（　　） A.{x｜1＜x＜4}　　　　　　B.{x｜－1＜x＜4} C.{x｜－4＜x＜1} D.{x｜－1＜x＜3} 解析：B　不等式（x－1）2＜x＋5可化为x2－3x－4＜0，即（x－4）（x＋1）＜0，解得－1＜x＜4，所以不等式的解集为{x｜－1＜x＜4}.故选B. 2.解下列不等式： （1）（2－x）（x＋3）＜0； （2）－2＜x2－3x≤10. 解：（1）原不等式可化为（x－2）（x＋3）＞0. 方程（x－2）（x＋3）＝0的两根为x1＝2，x2＝－3. 结合二次函数y＝（x－2）（x＋3）的图象（图略）知， 原不等式的解集为{x｜x＜－3或x＞2}. （2）原不等式等价于不等式组 不等式①可化为x2－3x＋2＞0，解得x＞2或x＜1. 不等式②可化为x2－3x－10≤0，解得－2≤x≤5. 故原不等式的解集为{x｜－2≤x＜1或2＜x≤5}. 题型二　“三个二次”间的关系 （链接教科书第69页习题12题）已知关于x的不等式ax2＋bx＋c＜0的解集为{x｜2＜x＜3}，求关于x的不等式cx2＋bx＋a＞0的解集. 解：由题意可知a＞0，且2和3是方程ax2＋bx＋c＝0的两根， 由根与系数的关系可知－＝2＋3＝5，＝2×3＝6，则b＝－5a，c＝6a， 故不等式cx2＋bx＋a＞0可化为6ax2－5ax＋a＞0，即a（6x2－5x＋1）＞0， 由a＞0得，6x2－5x＋1＞0，解得x＜或x＞， 所以不等式cx2＋bx＋a＞0的解集为{x或x＞}. 【母题探究】 　（变条件、变设问）若本例中条件改为“已知关于x的不等式ax2＋bx＋c＞0的解集为{x｜2＜x＜3}”，求关于x的不等式cx2－bx＋a≥0的解集. 解：由题意可知a＜0，且2和3是方程ax2＋bx＋c＝0的两根， 由根与系数的关系可知－＝2＋3＝5，＝2×3＝6，则b＝－5a，c＝6a， 故不等式cx2－bx＋a≥0可化为6ax2＋5ax＋a≥0，即a（6x2＋5x＋1）≥0， 由a＜0得，6x2＋5x＋1≤0，解得－≤x≤－， 所以不等式cx2－bx＋a≥0的解集为{x｜－≤x≤－}. 通性通法 　　已知以a，b，c为参数的不等式（如ax2＋bx＋c＞0）的解集，求解其他不等式解集的步骤： （1）根据解集来判断二次项系数的符号； （2）根据根与系数的关系把b，c用a表示出来并代入所要解的不等式； （3）约去a，将不等式化为具体的一元二次不等式求解. 1.〔多选〕若不等式x2－（a＋1）x＋a＜0的解集是{x｜－3≤x≤4}的子集，则实数a的取值可能是（　　） A.－3 B.2 C.－5 D.5 解析：AB　关于x的不等式x2－（a＋1）x＋a＜0可化为（x－1）（x－a）＜0，其解集是{x｜－3≤x≤4}的子集，当a＝1时，不等式为（x－1）2＜0，其解集为空集，符合题意；当a＞1时，不等式的解集为{x｜1＜x＜a}，应满足1＜a≤4；当a＜1时，不等式的解集为{x｜a＜x＜1}，应满足－3≤a＜1，所以－3≤a≤4.故选A、B. 2.已知二次函数y＝－x2＋bx＋c的零点为－2和1，则关于x的不等式x2＋bx－c＞0的解集为　（－∞，－1）∪（2，＋∞）　. 解析：由题意知，－2和1为方程－x2＋bx＋c＝0的两根，由根与系数的关系，得解得b＝－1，c＝2，所以不等式为x2－x－2＞0，即（x－2）·（x＋1）＞0，所以不等式的解集为（－∞，－1）∪（2，＋∞）. 题型三　简单的分式不等式 解下列不等式： （1）＞0；（2）≤1. 解：（1）＞0⇔（x－3）（x＋2）＞0⇔x＜－2或x＞3， 所以原不等式的解集为{x｜x＜－2或x＞3}. （2）由≤1，得－1＝≤0，即≥0. 此不等式等价于（x－4）（2x－3）≥0且2x－3≠0，解得x＜或x≥4， 所以原不等式的解集为{x｜x＜或x≥4}. 通性通法 解分式不等式的策略 （1）对于形如＞0（＜0）的不等式可等价转化为f（x）g（x）＞0（＜0）来解决；对于形如≥0（≤0）的不等式可等价转化为来解决； （2）对于不等号右边不为零的较复杂的分式不等式，先移项再通分（不要去分母），使不等号右边为零，然后再用上述方法转化为整式不等式（组）求解. 1.（2026·昆山期中）不等式≥2的解集为　{x｜0＜x≤}　. 解析：原不等式等价于≥0，即解得0＜x≤，所以原不等式的解集为{x｜0＜x≤}. 2.不等式≥0的解集是{x｜－1≤x＜5}，则a的值为　5　. 解析：由于原不等式等价于因此结合不等式解集知a＝5. 1.（2026·盐城质检）不等式6x2－5x＋1＞0的解集是（　　） A.{x｜＜x＜} B.{x｜x＞} C.{x｜x＜} D.{x｜x＜或x＞} 解析：D　因为Δ＝（－5）2－4×6×1＝1＞0，方程6x2－5x＋1＝0的两根为x1＝，x2＝，又二次函数y＝6x2－5x＋1的图象开口向上，所以不等式6x2－5x＋1＞0的解集是{x｜x＜或x＞}.故选D. 2.〔多选〕关于x的一元二次不等式ax2＋bx＋1＞0的解集为，则下列成立的是（　　） A.a2＋b2＝5 B.a＋b＝－3 C.ab＝－2 D.＝2 解析：ABD　不等式ax2＋bx＋1＞0的解集为，所以－1，为方程ax2＋bx＋1＝0的两个根，则解得所以a2＋b2＝5，a＋b＝－3，ab＝2，＝2，故C错，A、B、D正确. 3.不等式≥1的解集为　［，2）　. 解析：由≥1得－1≥0，即≥0⇒≤0，则解得≤x＜2，所以不等式的解集为［，2）. 4.解下列不等式： （1）x（7－x）≥12； （2）x2＞2（x－1）. 解：（1）原不等式可化为x2－7x＋12≤0. 因为方程x2－7x＋12＝0的两根为x1＝3，x2＝4. 所以原不等式的解集为{x｜3≤x≤4}. （2）原不等式可以化为x2－2x＋2＞0， 因为判别式Δ＝4－8＝－4＜0， 所以方程x2－2x＋2＝0无实数根， 又函数y＝x2－2x＋2的图象开口向上， 所以原不等式的解集为R. 　　 1.不等式x（4－x）＜3的解集为（　　） A.{x｜x＜1或x＞3} B.{x｜x＜0或x＞4} C.{x｜1＜x＜3} D.{x｜0＜x＜4} 解析：A　不等式x（4－x）＜3化为x2－4x＋3＞0，即（x－1）（x－3）＞0，解得x＜1或x＞3.故选A. 2.（2026·盐城期中）不等式ax2－5x＋c＜0的解集为{x｜2＜x＜3}，则a，c的值为（　　） A.a＝6，c＝1 B.a＝－6，c＝－1 C.a＝1，c＝6 D.a＝－1，c＝－6 解析：C　由题意得，2，3是方程ax2－5x＋c＝0的两个实数根，所以2＋3＝，2×3＝，则a＝1，c＝6.故选C. 3.设集合A＝{x｜x2－x－12＜0}，B＝{x∈Z｜x2＋4x－5＜0}，则A∩B＝（　　） A.{x｜－3＜x＜1} B.{x｜－1＜x＜3} C.{－2，－1，0} D.{0，1，2} 解析：C　A＝{x｜x2－x－12＜0}＝{x｜－3＜x＜4}，B＝{x∈Z｜x2＋4x－5＜0}＝{x∈Z｜－5＜x＜1}＝{－4，－3，－2，－1，0}，则A∩B＝{－2，－1，0}. 4.（2026·江阴月考）“x＞1”是“＞1”的（　　） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 解析：B　因为＞1，所以－1＝＞0，即（x－1）（x－2）＜0，解得1＜x＜2，由x＞1成立推不出1＜x＜2成立，由1＜x＜2成立能推出x＞1成立，所以x＞1是＞1的必要不充分条件.故选B. 5.〔多选〕下列不等式的解集为R的有（　　） A.x2＋x＋1≥0 B.x2－2x＋＞0 C.x2＋6x＋10＞0 D.2x2－3x＋4＜1 解析：AC　A中，Δ＝12－4×1＜0，满足条件，故A正确；B中，Δ＝（－2）2－4×＞0，解集不为R，故B错误；C中，Δ＝62－4×10＜0，满足条件，故C正确；D中，不等式可化为2x2－3x＋3＜0，所对应的二次函数开口向上，显然解集不可能为R，故D错误.故选A、C. 6.〔多选〕已知关于x的一元二次不等式ax2＋bx＋c≥0的解集为{x｜x≤－2或x≥1}，则（　　） A.b＞0且c＜0 B.4a＋2b＋c＝0 C.不等式bx＋c＞0的解集为{x｜x＞2} D.不等式cx2－bx＋a＜0的解集为{x｜－1＜x＜} 解析：AC　依题意可得方程ax2＋bx＋c＝0的根为x＝－2或x＝1，且a＞0，所以即b＝a，c＝－2a.对于A，由a＞0可得b＝a＞0，c＝－2a＜0，故A正确；对于B，易知4a＋2b＋c＝4a＞0，故B错误；对于C，不等式bx＋c＞0，即ax－2a＞0，可得x＞2，所以不等式bx＋c＞0的解集为{x｜x＞2}，故C正确；对于D，不等式cx2－bx＋a＜0，即－2ax2－ax＋a＜0，即2x2＋x－1＞0，所以（2x－1）（x＋1）＞0，解得x＞或x＜－1，即不等式cx2－bx＋a＜0的解集为{x｜x＜－1或x＞}，故D错误. 7.已知x＝1在不等式k2x2－6kx＋8≥0的解集内，则k的取值范围是{k｜k≥4或k≤2}. 解析：x＝1在不等式k2x2－6kx＋8≥0的解集内，把x＝1代入不等式得k2－6k＋8≥0，解得k≥4或k≤2. 8.（2026·淮安质检）若关于x的不等式ax2＋（b－2）x＋3＜0的解集为（1，3），则a＋b＝－1. 解析：由题意得，a＞0，且方程ax2＋（b－2）x＋3＝0的两根分别为1，3，由根与系数的关系得解得故a＋b＝1－2＝－1. 9.不等式≤1的解集是［－1，］. 解析：由题意知x2＋x＋2＝（x＋）2＋＞0，则≤1可变形为3x2＋2x＋1≤x2＋x＋2，化简得2x2＋x－1≤0，可变形为（2x－1）（x＋1）≤0，解得－1≤x≤.故原不等式的解集为［－1，］. 10.解下列不等式： （1）4（2x2－2x＋1）＞x（4－x）； （2）0≤x2－2x－3＜5. 解：（1）由原不等式得8x2－8x＋4＞4x－x2. ∴原不等式等价于9x2－12x＋4＞0. 解方程9x2－12x＋4＝0，得x1＝x2＝， 结合二次函数y＝9x2－12x＋4的图象知，原不等式的解集为{x｜x≠}. （2）由x2－2x－3≥0得x≤－1或x≥3；由x2－2x－3＜5得－2＜x＜4. ∴－2＜x≤－1或3≤x＜4. ∴原不等式的解集为{x｜－2＜x≤－1或3≤x＜4}. 11.在R上定义运算“☉”：a☉b＝ab＋2a＋b，则满足x☉（x－2）＜0的实数x的取值范围为（　　） A.{x｜0＜x＜2} B.{x｜－2＜x＜1} C.{x｜x＜－2或x＞1} D.{x｜－1＜x＜2} 解析：B　根据给出的定义得，x☉（x－2）＝x（x－2）＋2x＋（x－2）＝x2＋x－2＝（x＋2）（x－1），又x☉（x－2）＜0，则（x＋2）（x－1）＜0，故不等式的解集是{x｜－2＜x＜1}.故选B. 12.二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0，x∈R）的部分对应值如下表： x －3 －2 －1 0 1 2 3 4 y 6 0 －4 －6 －6 －4 0 6 则不等式ax2＋bx＋c＞0的解集是（　　） A.R B.⌀ C.（－∞，－2）∪（3，＋∞） D.（－2，3） 解析：C　由题意知，二次函数图象开口向上，当x＝－2和x＝3时，y＝0，故ax2＋bx＋c＞0的解集为（－∞，－2）∪（3，＋∞）. 13.〔多选〕已知a∈Z，若关于x的一元二次不等式x2－6x＋a≤0的解集中有且仅有3个整数，则a的值可以是（　　） A.5 B.6 C.7 D.9 解析：BC　设y＝x2－6x＋a，函数图象开口向上，且对称轴为x＝3，因此关于x的一元二次不等式x2－6x＋a≤0的解集中有且仅有3个整数时，需满足x＝2时，y≤0，x＝1时，y＞0，即解得5＜a≤8，又因为a∈Z，所以a＝6或7或8，故选B、C. 14.解下列不等式： （1）（x2－4x＋4）（x2－4x＋3）≥0； （2）x4＋3x2－10＜0； （3）－x≤1. 解：（1）原不等式可化为或x－2＝0，解得x≥3或x≤1或x＝2，所以原不等式的解集为{x｜x≥3或x≤1或x＝2}. （2）因为x4＋3x2－10＝（x2－2）（x2＋5）＜0，所以－5＜x2＜2，又因为x2≥0，所以0≤x2＜2，解得－＜x＜，即不等式x4＋3x2－10＜0的解集为（－，）. （3）原不等式等价于 上述不等式组的解集为{x｜x＋1≥0}∩{x｜x2－2x≤0}， 即原不等式的解集为{x｜0≤x≤2}. 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $