3.2.2 基本不等式的应用(PPT课件)-【满分思维】2026-2027学年高中数学必修第一册配套课件（苏教版）

3.2 基本不等式 1 3.2.2 基本不等式的应用 2 探究点一 利用基本不等式的变形求最值 探究点二 基本不等式在实际问题中的应用 ◆ ◆ 课中探究 课后习题 3 【学习目标】 结合具体实例，能用基本不等式解决简单的求最大值或最小值 的问题，从中领会基本不等式 成立时的三个限 制条件（一正、二定、三相等）在求解实际问题的最值中的作用. 4 探究点一 利用基本不等式的变形求最值 角度1 配凑法求最值 例1（1）[2026·江苏无锡高一期中]已知实数，则 的最小值为( ) A.5 B.6 C.7 D.8 [解析] 实数 ， ， 当且仅当时等号成立， 的最小值为6.故选B. √ 课 中 探 究 5 （2）[2026·江苏扬州高一期中] 已知，， ， 则 的最大值是____. 16 [解析] 因为，， ， 所以 ， 所以 ， 当且仅当即时等号成立， 所以 的最大值为16. 课 中 探 究 6 变式 利用基本不等式求以下最值： （1）若，求 的最大值； 解： ， ， , 当且仅当，即时等号成立， 的最大值为12. 课 中 探 究 7 变式 利用基本不等式求以下最值： （2）若，求 的最小值； 解：，， 令，则, ， 可化为， ，当且仅当，即， 即 时等号成立，的最小值为 . 课 中 探 究 8 变式 利用基本不等式求以下最值： （3）当时，求 的最大值. 解：当时，， ， ，当且仅当，即 时等 号成立， 的最大值为1. 课 中 探 究 9 角度2 常数代换求最值 例2（1）若，，且，则 的最小值 为( ) A.20 B.12 C.16 D.25 [解析] 因为，所以 ， 所以 ，当且仅当且， 即 时取等号，所以 的最小值为25.故选D. √ 课 中 探 究 10 （2）[2026·河北唐山海港中学高一月考] 设正实数， 满足 ，则 的最小值为___. 5 [解析] 因为正实数，满足 ， 所以， 当且仅当 ，即，时，等号成立， 故 的最小值为5. 课 中 探 究 11 变式（1）已知正实数,满足，则 的最小值为___. 6 [解析] 由题意知 ，当且仅当,时取等号， 即 的最小值为6. 课 中 探 究 12 （2）[2026·江苏丹阳高一期中]已知，， ,则 的最小值为( ) A.36 B.25 C.16 D.9 [解析] 由，，，得 ， 所以 ， 当且仅当且，即， 时等号成立， 所以 的最小值为16.故选C. √ 课 中 探 究 13 角度3 消元法求最值 例3 已知，且，则 的最小值是( ) A. B. C. D. [解析] 因为，所以， 由，得 ， 则 ，当且仅当，且 ，，即， 时取等号.故选A. √ 课 中 探 究 14 变式 [2026·北京大兴区高一期中]已知,，且，则 的最小值为( ) A. B. C.1 D.2 [解析] 因为，所以，, ， 所以，当且仅当 ， 即，时，等号成立，所以 的最小值为1.故选C. √ 课 中 探 究 15 ［素养小结］ 若是求和的最小值,通常化（或利用）积为定值;若是求积的最大值, 通常化（或利用）和为定值,其解答技巧是恰当变形,合理拆分项或配 凑因式. 课 中 探 究 16 探究点二 基本不等式在实际问题中的应用 例4 [2026·江苏常州中学高一期中] 已知某商品每件的成本为8元， 每月销量（万件）与每件售价（元）的函数关系近似为 ， 若使每月的净利润最高，则每件售价应定为____元.（注：净利润 销售总额-总成本） 12 课 中 探 究 17 [解析] 净利润（万元）的表达式为 ， 其中且，故 ， 故， . 因为， 当且仅当，即 时等号成立，且， 所以当时， 取得最大值，故每件售价应定为12元. 课 中 探 究 18 变式 如图，有一张单栏的竖向张贴的海报，它 的印刷面积（图中阴影部分）为 ，上、 下空白各宽，左、右空白各宽 ，则四 周空白部分面积的最小值是____ . 56 课 中 探 究 19 [解析] 设阴影部分的长为，则宽为 ， 设四周空白部分的面积是 . 由题意，得 , 当且仅当 ，即 时等号成立， 故四周空白部分面积的最小值为 . 课 中 探 究 20 ［素养小结］ 在应用基本不等式解决实际问题时,应注意如下的思路和方法: （1）理解题意,设出变量,一般把要求最值的量定为函数值; （2）建立相应的函数关系,把实际问题抽象成函数的最大值或最小值 问题; （3）在自变量的取值范围内,求出函数的最大值或最小值; （4）根据实际背景写出答案. 课 中 探 究 21 课后习题 22 1.若，则函数 的最小值是( ) A. B. C. D. [解析] 因为，所以 ， 所以 ， 当且仅当，即时等号成立， 所以的最小值为 . 故选D. √ 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 23 2.若正实数，满足，则 的最小值是( ) A.6 B.8 C.9 D.10 [解析] ， 当且仅当 ，即时，等号成立，所以 的最小值是 9．故选C. √ 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 24 3.用一段长为 的铁丝围成一个矩形模型，则这个模型的面积的 最大值为( ) A. B. C. D. [解析] 设矩形模型一条边的长为,相邻边的长为 ， 则，， 由题意可得，所以 . 设矩形模型的面积为,则， 当且仅当 时等号成立，故选C. √ 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 25 4.[2026·福建厦门六中高一段考]已知，则 的最小值 是( ) A.16 B.25 C.27 D.34 [解析] 由，得 ， 因此 ，当且仅当，即 时取等号， 所以 的最小值为25.故选B. √ 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 26 5.若实数，，且，则 的最小值为( ) A.7 B.8 C.9 D.10 [解析] 因为实数，，，所以 ， 则 ， 当且仅当时等号成立，即 的最小值为9，故选C. √ 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 27 6.[2026·上海浦东区高一期末]若，则 有( ) A.最小值 B.最大值4 C.最小值 D.最小值4 [解析] 由，可得 ， 所以 ， 当且仅当，即时取等号，故 有最小值4.故选D. √ 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 28 7.已知，，且，则 的最小值为___. 2 [解析] 因为，，且，即 ， 所以，当且仅当， 时取等号. 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 29 8.某公司欲购买一批机器投入生产，据市场分析，每台机器生产的产 品可获得的总利润（单位：万元）与机器使用的时间 （单位：年） 的关系为 ，则当每台机器使用___年时， 年平均利润最大，最大值是___万元. 5 8 [解析] 每台机器使用年的年平均利润为 ，且 ， 故，当且仅当 时等号成立， 此时年平均利润最大，最大值为8万元. 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 30 9.（13分）某人准备在一块占地面积为1800平方 米的矩形地块中间建三个矩形温室大棚，大棚周 围均是宽为1米的小路（示意图如图所示）， 大棚的总占地面积为 平方米，其中 . （1）试用，表示 ； 解：由题意可得，，则 ， 所以 . 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 31 （2）若要使的值最大，则， 的值各为多少？ 9.（13分）某人准备在一块占地面积为1800平方 米的矩形地块中间建三个矩形温室大棚，大棚周 围均是宽为1米的小路（示意图如图所示）， 大棚的总占地面积为 平方米，其中 . 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 32 解： ， 此时，所以当，时， 取得最大值. 当且仅当，即 时等号成立， 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 33 10.[2026·天津和平区高一期中]已知，，且 ， 则 的最小值为( ) A. B. C.4 D.6 [解析] 因为，，且， ， 所以， 当且仅当 时等号成立，故 的最小值为6.故选D. √ 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 34 11.[2026·江苏苏州高一调研]已知，且 ，则 的最小值为( ) A.10 B.9 C.8 D.7 [解析] 因为，且 ， 所以 ， 当且仅当，即，时取等号， 故 的最小值为9.故选B. √ 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 35 12.（多选题）[2026·江苏常州高一期末] 若， ，且 ，则下列说法正确的是( ) A.有最大值 B. 有最大值2 C.有最小值5 D.有最小值 √ √ 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 36 [解析] 对于A，，当且仅当 且 ，即，时取等号，所以有最大值 ，故A正确； 对于B，因为 ， 所以，当且仅当时取等号， 所以 有最大值 ，故B错误； 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 对于C，， 当且仅当 且，即，时取等号， 所以 有最小值5，故C正确； 对于D，因为 ，所以 ，所以， 当且仅当且，即 ，时取等号， 所以有最小值，故D错误.故选 . 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 13.已知正实数，满足，则 的最小值为____. 18 [解析] 正实数，满足 ， ，当且仅当时等号成立，故 的最小值为18. 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 39 14.（15分）[2026·江苏盐城中学高一月考] 已知正数, 满足 . （1）求 的最小值； 解：因为正数,满足，所以且, ， 则 ， 又 ， 当且仅当时，等号成立，所以 的最小值为25. 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 40 14.（15分）[2026·江苏盐城中学高一月考] 已知正数, 满足 . （2）求 的最小值. 解： ， 由（1）知且, ， 所以 ， 当且仅当 时，等号成立， 所以，即 的 最小值为 . 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 41 15.设正实数，，满足，则当 取得最大值 时， 的最大值为( ) A.2 B. C.1 D. √ 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 42 [解析] 因为正实数，，满足 ， 所以，所以 ， 当且仅当，即 时，等号成立， 此时， 当 取得最大值时， ，分析可得，当，即时， 取得最大值2.故选A. 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 16.（15分）一天早晨，同学们走进教室，发现黑板上有如下内容： 例：求, 的最小值. 解：因为当，，都为正数时， ，当且仅当 时等号成立，所以当时， ， 当且仅当 时等号成立， 所以 ， 当且仅当时，取到最小值 . 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 44 （1）请你模仿例题，研究, 的最小值； （注：当,,，都为正数时， ，当且仅当 时等号成立） 解：因为当,,，都为正数时 ，当且仅当 时等号成立，所以当时， ，当且仅当 时等号成立， 所以 ， 当且仅当时，取得最小值 . 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 45 16.（15分）一天早晨，同学们走进教室，发现黑板上有如下内容： 例：求, 的最小值. 解：因为当，，都为正数时， ，当且仅当 时等号成立，所以当时， ， 当且仅当 时等号成立， 所以 ， 当且仅当时，取到最小值 . （2）求, 的最小值； 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 46 解：因为当,,都为正数时，当且仅当 时等号成立，所以当时， ，当且仅当 时等号成立， 所以 ， 当且仅当时，取得最小值 . 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 47 16.（15分）一天早晨，同学们走进教室，发现黑板上有如下内容： 例：求, 的最小值. 解：因为当，，都为正数时， ，当且仅当 时等号成立，所以当时， ， 当且仅当 时等号成立， 所以 ， 当且仅当时，取到最小值 . （3）当时，求, 的最小值. 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 48 解：由题可得，当且仅当 时等号成立， 所以 ，当且仅当 时，取得最小值 . 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 49 $