3.1 不等式的基本性质(PPT课件)-【满分思维】2026-2027学年高中数学必修第一册配套课件（苏教版）

3.1 不等式的基本性质 1 探究点一 比较两个数（式）的大小 探究点二 不等式基本性质的简单应用 探究点三 利用不等式的基本性质证明不 等式 探究点四 利用不等式的性质求代数式范围 ◆ ◆ ◆ 课前预习 课中探究 课后习题 2 【学习目标】 1.能在熟悉的现实情境中认识和识别存在着的不等关系,能结合 具体实例解释什么是不等式，知道不等式是描述客观世界不等关系 的重要数学模型. 2.知道等式和不等式的共性与差异，能利用不等式的性质证明简 单的不等式和解简单的不等式. 3 知识点一 不等式的基本事实 1.不等式的定义 用不等号连接两个解析式所得的式子，叫作不等式. 2.比较两个实数大小的基本事实 对任意两个实数， ， ① ； ② ； ③ . 课 前 预 习 4 知识点二 等式的基本性质 性质1 若，则 . 性质2 若且 ,则______. 性质3 若，则 . 性质4 若,则， . 课 前 预 习 5 知识点三 不等式的基本性质 性质 别名 性质内容 注意 1 对称性 2 传递性 , 3 可加性 ___ 可逆 4 可乘性 ,___ 的符号 , 5 同向可加性 , 同向 6 同向同正可乘性 , 同向 7 可乘方性 若,则 同正 课 前 预 习 6 【诊断分析】 判断正误.（请在括号中打“√”或“×”） （1）若,则 .( ) × [解析] 在不等式两边同时加上，得 ， 即 ，所以此说法错误. （2）若,则, .( ) × [解析] 取,,,,满足,但不满足 , 故此说法错误. 课 前 预 习 7 判断正误.（请在括号中打“√”或“×”） （3）若,,则 .( ) × [解析] 取,,,,满足,, 但 不成立,所以此说法错误. 课 前 预 习 8 探究点一 比较两个数（式）的大小 例1（1）[2026·云南玉溪三中高一月考] 比较大小： 与 ； 解： ， 因为,，所以 ， 所以 . 课 中 探 究 9 （2）设，比较与 的大小. 解：由，得，， ， 又，所以 . 课 中 探 究 10 变式 已知，试比较与 的大小. 解：由题意知，. 因为 ，所以，， ， 则， 所以 . 课 中 探 究 11 ［素养小结］ 比较大小的常用方法 （1）作差法：①作差；②变形；③定号；④结论. （2）作商法：①作商；②变形；③判断商与1的大小关系；④结论. 课 中 探 究 12 探究点二 不等式基本性质的简单应用 例2（1）[2026·四川绵阳高一期中]若， ，则下列选项 正确的是( ) A. B. C. D. [解析] 对于选项A，因为，所以，所以 ， 故A错误； 对于选项B，因为，所以 ，故B错误； 对于选项C，当时， ，故C错误； 对于选项D，因为，所以 ，故D正确.故选D. √ 课 中 探 究 13 （2）（多选题）[2026·江苏天一中学高一段考] 下列说法正确的是( ) A.若,,则 B.若,,则 C.若,则 D.若，，则 [解析] 对于A选项，由不等式的同向可加性可知，该不等式成立， 所以A正确； 对于B选项，例如， ，但是，所以B错误； 对于C选项，当 时，，所以C错误； 对于D选项，因为 ，所以， 又，所以，所以D正确.故选 . √ √ 课 中 探 究 14 变式（1）[2026·江苏无锡一中高一期末]若 ，则一定有( ) A. B. C. D. [解析] 对于A，取,，满足，但 ， A错误； 对于B，取,，满足，但 ，B错误； 对于C，由，得 ，C正确； 对于D，取,，满足，但 ，D错误.故选C. √ 课 中 探 究 15 （2）（多选题）[2026·河北保定高一期中] 已知,, ，那么下 列说法错误的是( ) A.若，则 B.若，则 C.若且，则 D.若且，则 √ √ √ 课 中 探 究 16 [解析] 对于A，当时，， 中说法错误； 对于B，若，，则，B中说法错误； 对于C，若 且，则，，所以 ， 故C中说法正确； 对于D，取，，满足且，但 ， 故D中说法错误.故选 . 课 中 探 究 ［素养小结］ 解不等式成立问题的常用方法：一是用性质逐个验证；二是用特殊值 法排除.利用不等式的性质判断不等式是否成立时要特别注意前提条件. 课 中 探 究 18 探究点三 利用不等式的基本性质证明不等式 例3（1）已知，求证： . 证明：，即, ， ，则 . 课 中 探 究 19 （2）已知,,，求证： . 证明,, ， ,，， , 则 ， . 课 中 探 究 20 变式 已知，，，求证： . 证明：，，， . ， . 课 中 探 究 21 ［素养小结］ 利用不等式的性质及其推论可以证明一些不等式，应用不等式的性 质进行推导时，应注意紧扣不等式的性质成立的条件，且不可省略 条件或跳步推导，更不能随意构造性质与法则. 课 中 探 究 22 探究点四 利用不等式的性质求代数式范围 例4 设，，求，， 的取值范围. 解：， ， ，，， ， ，， . 课 中 探 究 23 变式（1）[2026·天津河西区高一期中] 已知实数， 满足 ，，则 的取值范围是_________. [解析] 因为，所以， 又 ，所以，则 . 课 中 探 究 24 （2）[2026·湖北武汉海淀外国语实验学校高一月考] 若 ，，则 的取值范围为_______. [解析] 由，，得 ， 而，所以 ， 故的取值范围为 . 课 中 探 究 25 ［素养小结］ 求代数式的取值范围需注意两点： （1）严格运用不等式的性质：两个同方向的不等式可加不可减,可乘 （同正）不可除. （2）利用整体思想，通过“一次性”不等关系的运算求解范围,防止在 多次运用不等式的性质时扩大变量的取值范围. 课 中 探 究 26 1.等号与不等号的来历 为了表示等量关系，用“ ”表示“相等”，这是大家最熟悉的一个符号 了.1557年，英国数学家列科尔德在其论文《智慧的磨刀石》中说： “为了避免枯燥地重复 （等于）这个单词，我认真地比较了 许多图形和记号，觉得世界上再也没有比两条平行而又等长的线段 意义更相同的了.”于是，列科尔德有创见性地用两条平行且相等的线 段“”表示“相等”，“”叫作等号.用“ ”替换了单词表示相等是数学 上的一个进步. 数 学 文 化 27 由于受当时历史条件的限制，列科尔德发明的等号并没有马上为大家 所采用.历史上也有人用其他符号表示过相等，例如数学家笛卡尔在 1637年出版的《几何学》一书中，曾用“ ”表示过 “相等”. 直到17世纪，德国的数学家莱布尼茨，在各种场合下大力倡导使用 “ ”，由于他在数学界颇负盛名，等号渐渐被世人所公认.顺便提一下， “”是表示“不相等”关系的符号，叫作不等号.“”和“ ” 的意义相反， 在数学里也是经常用到的，例如 . 数 学 文 化 2.大于号与小于号的来历 现实世界中的同类量，如长度与长度，时间与时间之间，有相等关 系，也有不等关系.我们知道，相等关系可以用“ ”表示，不等关系 用什么符号来表示呢？为了寻求一套表示“大于”或“小于”的符号， 数学家们绞尽了脑汁.1631年，英国数学家哈里奥特，首先创用符号 “ ”表示“大于”，“ ”表示“小于”，这就是现在通用的大于号和小于 号.例如， . 数 学 文 化 课后习题 30 1.[2026·广东中山永安中学高一月考]在某校新生军训考核评比中， 甲班的分数大于乙班的分数，甲班和乙班的分数之和大于170，且不 大于190.设甲班和乙班的分数分别为, ，则以上关系用不等式组表 示为( ) A. B. C. D. √ 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 31 [解析] 由题意得 故选D. 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2.[2026·山东淄博四中高一段考]若 ， ，则与 的大小关系是( ) A. B. C. D.随 值的变化而变化 [解析] ，所以 .故选C. √ 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 33 3.已知,,，且 ，则下列不等式恒成立的是( ) A. B. C. D. [解析] 当时，，故A不恒成立； 当， 时，满足，但 ，故B不恒成立； ， 因为，所以，，所以 ， 即.故C恒成立； 当，时，满足，但 ，故D不恒成立.故选C. √ 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 34 4.若，则 的值为( ) A.正数 B.负数 C.零 D.以上都可能 [解析] . 因为 ，所以,,， 所以，即 .故选A. √ 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 35 5.若，，则 的取值范围为( ) A. B. C. D. [解析] 因为，，所以， ， 所以，即 .故选A. √ 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 36 6.（多选题）[2026·江苏南通高一期末] 已知 ，则 ( ) A. B. C. D. √ √ √ 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 37 [解析] 对于A，因为，所以，所以 ， 即，所以，A正确； 对于B，因为 ，所以，即，B错误； 对于C，由A知 ，又，所以，即 ，C正确； 对于D，， 因为，所以 ,，所以， 即，故 ，D正确.故选 . 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 7.能够说明“若，则”是假命题的一组实数,, 的值 依次为_______________________. 0,,（答案不唯一） [解析] 当实数,,的值依次为0,,时，满足 ， 但，故实数,,的值可以依次为0,, （答案不 唯一）. 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 39 8.已知，，则 的取值范围是_______. [解析] 因为，所以. 因为 ，所以，则 . 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 40 9.（13分）比较下列各组， 的大小. （1）,,, ； 解：由题意知， 因为, ，所以,， 则 ，所以 . 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 41 9.（13分）比较下列各组， 的大小. （2）, . 解：易知, ， 且, ， 又，所以 . 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 42 10.已知,，则 的取值范围是 ( ) A. B. C. D. √ 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 43 [解析] 令 ， 则，所以解得 所以. 因为 ，所以， 又 ,所以，即， 所以 的取值范围是 .故选D. 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 11.[2026·江苏常州高一期末]下列说法中错误的是( ) A.若，，则 B.若，则 C.若，，则 D.若，，则 √ 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 45 [解析] 对于A，若，，则可取， ， 但，故A中说法错误； 对于B，若，则，所以 ，故B中说法正确； 对于C，若，，则 ，则， 所以 ，故C中说法正确； 对于D，若，，则，所以 ，故D中说 法正确.故选A. 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 12.[2026·江苏苏州三中高一月考] 已知实数，满足 ， ，则 的取值范围是_______. [解析] 因为，，所以 ，， 因为，所以 . 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 47 13.设,，使和 同时成立的一个充分条件是 ___________________________. （答案不唯一） [解析] 根据不等式的性质可知，当时，和 同 时成立，所以“”是“和 同时成立”的充分条件. 所以所填充分条件可以是 （答案不唯一）. 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 48 14.（15分） （1）已知，求证： . 证明：因为，所以，， ， 故 ，所以. 又，故 . 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 49 14. （2）若，，，求证： . 证明：因为，所以， 又因为 ，所以， 所以 ，所以. 因为，，所以 ， 又，，，所以,所以 ， 所以. 故 ，原不等式得证. 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 50 15.[2026·江苏泰州高一期末]若，且, ，则下列不等 式一定成立的是( ) A. B. C. D. √ 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 51 [解析] 因为，，且，所以 ， 所以. 对于A，因为，所以 ，所以A一定成立； 对于B，因为，所以 ，所以B不成立； 对于C，因为 ，所以，所以C不成立； 对于D，因为 ，所以 ，所以D不成立.故选A. 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 16.（15分）[2025·江苏盐城实验中学高一月考] 对于四个正数 ， ，，，若满足，则称有序数对是 的“下位序列”. （1）对于2，3，7，11，有序数对是 的“下位序列”吗？请 简单说明理由. 解：是.理由如下：，是 的“下位序列”. 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 53 16.（15分）[2025·江苏盐城实验中学高一月考] 对于四个正数 ， ，，，若满足，则称有序数对是 的“下位序列”. （2）设，，，均为正数，且是 的“下位序列”，试判 断，， 之间的大小关系. 解：是的“下位序列”，， ，，， 均为正数，， . ，即. 综上所述， . 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 54 16.（15分）[2025·江苏盐城实验中学高一月考] 对于四个正数 ， ，，，若满足，则称有序数对是 的“下位序列”. （3）设正整数满足条件：对集合, 内的每 个，总存在正整数，使得是 的“下位序列”，且 是的“下位序列”，求正整数 的最小值. 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 55 解：由已知得,, 均为正整数， ，， 该式对集合 ，内的每个正整数 都成立， ， 正整数 的最小值为4049. 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 $