3.2.1 基本不等式的证明(PPT课件)-【满分思维】2026-2027学年高中数学必修第一册配套课件（苏教版）

3.2 基本不等式 1 3.2.1 基本不等式的证明 2 探究点一 基本不等式的推导与证明 探究点二 利用基本不等式证明不等式 探究点三 利用基本不等式求最值 ◆ ◆ ◆ 课前预习 课中探究 课后习题 3 【学习目标】 1.知道基本不等式 的几何背景，能结合具体 实例解释基本不等式成立的条件. 2.会运用所学知识证明基本不等式并能在证明过程中分析不等式 成立的条件. 4 知识点一 基本不等式 1.算术平均数与几何平均数 对于正数,,我们把称为,的______平均数,称为, 的_____ 平均数. 算术 几何 2.两个重要不等式 不等式 内容 等号成立的条件 重要不等式 “”时取“ ” 基本不等式 _ __________________ “______”时取“ ” 课 前 预 习 5 【诊断分析】 判断正误.（请在括号中打“√”或“×”） （1）对任意，，， 均成立．( ) × [解析] 对任意,,成立,当且仅当, 都为非负数时, 不等式 成立. 课 前 预 习 6 判断正误.（请在括号中打“√”或“×”） （2）若，，则 .( ) × [解析] 若,,则 . （3）若,则 .( ) × [解析] 只有当时,才有不等式 成立. 课 前 预 习 7 判断正误.（请在括号中打“√”或“×”） （4）若，，则 .( ) √ [解析] 当，时，因为,所以 . 课 前 预 习 8 知识点二 最值定理 1.已知, 都是正数. （1）如果和等于定值,那么当时,积取得最____值 . （2）如果积等于定值,那么当时,和取得最____值 . 大 小 课 前 预 习 9 2.利用基本不等式求积的最大值或和的最小值时,需注意: （1）, 必须是______. （2）求积的最大值时,应看和是否为______;求和 的最 小值时,应看积 是否为______. （3）______成立的条件是否满足. 正数 定值 定值 等号 课 前 预 习 10 【诊断分析】 判断正误.（请在括号中打“√”或“×”） （1）两个正数的积为定值,它们的平方和有最小值.( ) √ [解析] 由 知,该说法正确. （2）若,且,则 .( ) √ [解析] 因为，所以 . 课 前 预 习 11 判断正误.（请在括号中打“√”或“×”） （3）两个负数的和为定值,则它们积有最大值.( ) √ [解析] 设,,, 为定值, 则,所以 , 所以 . 课 前 预 习 12 探究点一 基本不等式的推导与证明 例1 （多选题）若 ，则下列不等式一定成立的是( ) A. B. C. D. [解析] 因为，所以 ，故选项A正确； 因为，所以，，， 则 ，故， 所以选项B和D正确，选项C错误.故选 . √ √ √ 课 中 探 究 13 变式 （多选题）[2026·四川眉山高一期中] 对于， ，下 列不等式中正确的是( ) A. B. C. D. √ √ √ 课 中 探 究 14 [解析] 对于选项A，B，因为，所以 ， 所以，所以，当且仅当 时取等号，故A正 确，B错误； 对于选项C，因为，，所以 ，即， 当且仅当 时取等号，故C正确； 对于选项D，， 当且仅当 时取等号，所以，故D正确.故选 . 课 中 探 究 ［素养小结］ （1）在理解基本不等式时,要从形式到内涵中理解,特别要关注条件. （2）运用基本不等式比较大小时应注意成立的条件,即<m></m> 成立的条件是<m></m>,<m></m>,等号成立的条件是<m></m>;<m></m>成 立的条件是<m></m>,<m></m>,等号成立的条件是<m></m>. 课 中 探 究 16 拓展 很多代数的公理或定理都能够通过图形实现证明, 也称之为无字证明.现有如图所示的图形,点在半圆 的 圆弧上,点在直径上,且,设, , 则该图形可以完成的无字证明为( ) A. B. C. D. √ 课 中 探 究 17 [解析] 由题图可知, , . 由题可得, 因为 ,所以 .故选B. 课 中 探 究 18 探究点二 利用基本不等式证明不等式 例2-1 （1）已知，为正实数，求证： . 证明：因为，为正实数，所以, 也为正实数， 所以，当且仅当 时取等号. 课 中 探 究 19 例2-1 （2）已知,，求证： . 证明： 因为， ，所以由基本不等式可得 ，故 ，当且仅当 时等号成立. 课 中 探 究 20 例2-2 已知，， 都是非负实数，求证: . 证明：因为， 都是非负数， 且 , 所以,即,当且仅当 时取得等号, 则有 . 课 中 探 究 21 同理得，. 故，当且仅当 时等号成立. 课 中 探 究 22 变式 证明：对任意的,, , 恒成立. 证明：因为,, 都是正数， 所以（当且仅当 时等号成立）, （当且仅当 时等号成立）, （当且仅当 时等号成立）， 所以 ，当且仅当 时，等号成立. 课 中 探 究 23 探究点三 利用基本不等式求最值 例3（1）[2026·江苏常熟高一期中]已知，则函数 有( ) A.最大值1 B.最小值9 C.最小值1 D.最大值9 [解析] 因为，所以 ，所以 ，当且仅当，即时 取等号，故函数 的最小值为9. 故选B. √ 课 中 探 究 24 （2）[2026·江苏南通高一期中]若实数，满足 ，则 的最大值是( ) A.2 B. C.4 D. [解析] 因为，满足，所以 ， 当且仅当 时取等号.故选B. √ 课 中 探 究 25 （3）[2026·江苏无锡高一调研] 若，，且 ，则 的最小值为___. 2 [解析] 因为，，，所以 ，当且仅 当，即，时，等号成立，故 的最小值为2. 课 中 探 究 26 变式（1）（多选题）下列说法中正确的是( ) A.若,,则 B.若,则 C.若,,则 D.若,,,则 √ √ 课 中 探 究 27 [解析] ,,,当且仅当 时,等号成立, 故A正确; , , 当且仅当,即时取等号,显然不成立,故B错误; ,, 当时,不成立,故C错误; , ,,,当且仅当 时, 等号成立,故D正确.故选 . 课 中 探 究 （2）已知，则 的最大值为__. [解析] 因为,所以 , 所以,当且仅当, 即 时等号成立. 课 中 探 究 29 ［素养小结］ 利用基本不等式求最值,必须按照“一正,二定,三相等”的原则. ①一正:基本不等式<m></m>成立的前提条件为<m></m>,<m></m>. ②二定:化不等式的一边为定值. ③三相等:必须存在取等号的条件,即等号成立的条件. 以上三点缺一不可. 课 中 探 究 30 拓展 已知正实数,满足，求 的最小值. 解：,，（当且仅当 时， 等号成立），整理可得 ， 即，可得 . 的最小值为6. 课 中 探 究 31 早在公元前6世纪,毕达哥拉斯学派已经知道算术中项、几何中项以及 调和中项，毕达哥拉斯学派哲学家阿契塔在《论音乐》中定义了上 述三类中项,其中算术中项、几何中项的定义与今天大致相同，即对 于两个正数,,称为,的算术中项,称为, 的几何中项，而 今我们分别称之为, 的算术平均数和几何平均数， 并把这两者相结 合的不等式（当且仅当 时取等号）叫作基本不等式. 数 学 文 化 32 中华民族悠悠五千年文明史,给予了我们丰富的数学文化.我们先来看 一张图片，如图1,2002年第24届国际数学家大会在我国召开，大会会 标是根据我国古代数学家赵爽的“弦图”设计的.公元3世纪，中国数学 家赵爽“负薪余日，聊观《周髀》”，他在给《周髀算经》“勾股圆方 图”作注时，给出图2所示的“大方图”. 图1 图2 数 学 文 化 33 赵爽写道：“以图考之，倍弦实，满外大方，而多黄实.黄实之多，即 勾股差实.以差实减之，开其余，得外大方.大方之面，即勾股并也.” 用数学符号语言表达，即：若直角三角形两直角边分别为，,斜边为 ， 则 ， ，因此，可得不等式 . 图1 图2 数 学 文 化 34 课后习题 35 1.不等式 中,等号成立的条件是( ) A. B. C. D. [解析] 该不等式等号成立的条件为,即 .故选D. √ 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 36 2.函数 有( ) A.最小值 B.最大值 C.最小值4 D.最大值4 [解析] 因为,所以,当且仅当 , 即 时等号成立,故函数有最小值4,无最大值.故选C. √ 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 37 3.若 ，则下列不等式成立的是( ) A. B. C. D. [解析] ，因此只有B项正确. √ 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 38 4.函数 的最大值是( ) A. B. C. D. [解析] ，， 由基本不等式得 ，当且仅当 时取等号. ， 故函数 的最大值是 .故选B. √ 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 39 5.已知正数，满足，则 的最大值是( ) A. B. C. D. [解析] 因为正数，满足，所以 ， 当且仅当 时，等号成立.故选A. √ 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 40 6.若，则 有( ) A.最小值0 B.最大值2 C.最大值 D.不能确定 [解析] 由基本不等式得， ，当且仅当，即时等号成立， 故有最大值 ，故C正确，B，D错误； 令，解得或 ， 又，所以 取不到0，故A错误.故选C. √ 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 41 7.[2026·江苏南京高一期中] 已知，，且，则 的最小值为___. 4 [解析] 因为,，所以 ，当且仅当 时等号成立,所以 的最小值为4. 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 42 8.已知为正数，比较大小：___4.（填“ ”“ ”“ ”“ ”中 的一个） [解析] 由,得 ,当且仅当 时，等号成立. 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 43 9.（13分） （1）若，求 的最大值； 解：因为，所以 ， 所以 ， 当且仅当，即 时取等号， 所以，即的最大值为 . 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 44 9. （2）已知，求 的最大值； 解：因为，所以，则 ， 所以 ， 当且仅当，即 时取等号， 所以的最大值是 . 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 45 9. （3）已知，，且,求 的最小值. 解：由，，得， 当且仅当 时取等号，可得，所以 的最小值为4. 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 46 10.[2026·江苏泰州高一质检]已知，且 ，则 的最小值为( ) A.4 B.6 C. D.8 [解析] 因为，且 ， 所以 ， 当且仅当 时，等号成立.故选A. √ 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 47 11.[2026·江苏无锡高一期末]已知实数,满足 ，则 的最小值为( ) A.10 B.12 C.13 D.14 [解析] 因为，所以 ， 令，，则 ， 所以， 当且仅当 时取等号.故选B. √ 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 48 12.（多选题）[2026·江苏连云港高一期中] 设， 均为正数，且 ，， ，则下列说法中正确的是( ) A.的最小值为2 B. 的最小值为2 C.的最小值为9 D. 的最小值为6 √ √ 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 49 [解析] 因为，均为正数，且，所以 ， 当且仅当时取等号，A正确； ，当且仅当，即， 时取等号， B错误； ，当且仅当，即，时取等号，C正确； ，当且仅当，即，时取等号，D错误.故选 . 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 13.[2026·江苏江阴二中高一月考] 若，且 ， 则 的取值范围为________. [解析] 因为，且 ， 所以，当且仅当 时等号成立， 可得，所以 . 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 51 14.（15分） （1）已知，，，求证： ； 证明：由， ，得 ，当且仅当 ，即,时取等号，所以 . 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 52 14. （2）设,,均为正实数，求证： . 证明： . 因为,,均为正实数，所以,, ， 当且仅当 时，等号同时成立， 所以 ， 所以 . 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 53 15.已知，则 的最小值为 __________. [解析] 因为,所以 ， 设，则,所以， , 所以 , 当且仅当，即时等号成立， 所以 的最小值为 . 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 54 16.（15分）我们都知道，,,，当且仅当 时 等号成立，于是就有，当且仅当 时等号成立，即 得到重要的不等关系：，,，当且仅当 时等 号成立，其实这是基于完全平方公式和非负数的性质得出的.事实上， 我们还能得出下列结论：，, . （1）证明“，, ”. 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 55 证明：因为，当且仅当 时等号成立， 所以，即 ， 则 . 因为，当且仅当 时等号成立, 所以，即，则 . 综上可得 . 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 56 16.（15分）我们都知道，,,，当且仅当 时 等号成立，于是就有，当且仅当 时等号成立，即 得到重要的不等关系：，,，当且仅当 时等 号成立，其实这是基于完全平方公式和非负数的性质得出的.事实上， 我们还能得出下列结论：，, . （2）若，,，求 的最大值与最小值. 解：由，得 且 ， 即 . 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 57 因为，当且仅当 时 等号成立，所以 ， 即，可得 ，当且仅 当时等号成立. 又因为 ， 且 ， 所以，即 ， 可得，当且仅当， 或， 时等号成立. 所以的最大值为，最小值为 . 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 $