3.2.1 基本不等式的证明 课件-2026-2027学年高一上学期数学苏教版必修第一册

该高中数学课件聚焦基本不等式的概念、证明及应用，以金店天平称重情境导入，通过顾客对算术平均数的质疑引出算术与几何平均数，搭建从实际问题到数学概念再到应用的学习支架。 其亮点在于通过生活情境培养学生用数学眼光观察现实世界，典型例题结合正误辨析和变式训练强化逻辑推理与数学运算，通性通法总结助力规范数学语言表达。学生能提升问题解决能力，教师可高效实施分层教学。

3.2.1　基本不等式的证明 新课程标准解读 核心素养 逻辑推理 2.能用基本不等式证明简单的不等式及比较代数 式的大小 数学运算 3.结合具体实例，能用基本不等式解决简单的最 大值或最小值问题 数学建模、数学 运算 目录 数学·必修第一册（SJ） 目录 基础知识·重落实 01 典型例题·精研析 02 基础知识·重落实 01 课前预习 必备知识梳理 目录 目录 某金店有一台天平，由于左右两臂长略有不等，所以直接称重不 准确.有一个顾客要买一串金项链，店主分别把项链放于左右两盘各 称一次，得到两个不同的重量 a 和 b ，然后就把两次称得的重量的算 术平均数 作为项链的重量来计算.顾客对这个重量的真实性提出 了质疑. 【问题】　你认为顾客的质疑有道理吗？  　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 目录 数学·必修第一册（SJ） 知识点一　算术平均数与几何平均数 对于正数 a ， b ，我们把 　 　称为 a ， b 的算术平均数， 　 　 称为 a ， b 的几何平均数. 　 　 目录 数学·必修第一册（SJ） 知识点二　基本不等式与重要不等式 1. 基本不等式 如果 a ， b 是正数，那么 （当且仅当 ⁠ 时，等号成立）. 基本不等式表明：两个正数的算术平均数 ⁠它们的几何平 均数. ≤　 a ＝ b 　 不小于　 目录 数学·必修第一册（SJ） 【想一想】 “当且仅当 a ＝ b 时，等号成立”的含义是什么？ 提示：一方面是当 a ＝ b 时取等号，即 a ＝ b ⇒ ＝ ；另一方面 是仅当 a ＝ b 时取等号，即 ＝ ⇒ a ＝ b . 目录 数学·必修第一册（SJ） 2. 重要不等式 当 a ， b ∈R时， ab ≤ （当且仅当 时，等号成 立）； ab ≤ （当且仅当 时，等号成立）. 提醒　基本不等式的常见变形：① a ＋ b ≥2 （其中 a ， b ≥0， 当且仅当 a ＝ b 时等号成立）；② ab ≤ ≤ （其中 a ， b ∈R，当且仅当 a ＝ b 时等号成立）；③ a2＋ b2＋ c2≥ ab ＋ bc ＋ ac （其中 a ， b ， c ∈R，当且仅当 a ＝ b ＝ c 时等号成立）. 　 a ＝ b 　 a ＝ b 　 目录 数学·必修第一册（SJ） 【想一想】 1. 基本不等式中的 a ， b 只能是具体的某个数吗？ 提示： a ， b 既可以是具体的某个数，也可以是代数式. 2. 基本不等式成立的条件“ a ≥0， b ≥0”能省略吗？请举例说明. 提示：不能，如 ≥ 是不成立的. 目录 数学·必修第一册（SJ） 1. （多选）下列说法中正确的是（　　） A. a2＋ b2≥2 ab 成立的条件是 a ≥0， b ≥0 B. a2＋ b2≥2 ab 成立的条件是 a ， b ∈R 解析：根据不等式成立的条件可知只有B、C正确，故选B、C. 目录 数学·必修第一册（SJ） 2. 若 x ＞0，则 y ＝ ＋ x 的最小值为 ⁠. 解析：∵ x ＞0， ＞0，∴ y ＝ x ＋ ≥2 ＝4，当且仅当 x ＝ ，即 x ＝2时，等号成立，故 y ＝ ＋ x 的最小值为4. 4　 目录 数学·必修第一册（SJ） 3. 已知0＜ x ＜1，则 x （1－ x ）的最大值为 　 　，此时 x ＝ 　 　 解析：因为0＜ x ＜1，所以1－ x ＞0，所以 x （1－ x ）≤ ＝ ＝ ，当且仅当 x ＝1－ x ，即 x ＝ 时等号成 立，即当 x ＝ 时， x （1－ x ）取得最大值 . 　 　 目录 数学·必修第一册（SJ） 典型例题·精研析 02 课堂互动 关键能力提升 目录 目录 题型一 对基本不等式的理解 【例1】　给出下面三个推导过程： ①∵ a ， b 为正实数，∴ ＋ ≥2 ＝2； ②∵ a ∈R， a ≠0，∴ ＋ a ≥2 ＝4； ③∵ x ， y ∈R， xy ＜0，∴ ＋ ＝－［（－ ）＋ ］≤－2 ＝－2. 目录 数学·必修第一册（SJ） 其中正确的推导为（　　） A. ①② B. ①③ C. ②③ D. ①②③ 解析：　①∵ a ， b 为正实数，∴ ， 为正实数，符合基本不等式 的条件，故①的推导正确.②∵ a ∈R， a ≠0，不符合基本不等式的条 件，∴ ＋ a ≥2 ＝4是错误的.③由 xy ＜0，得 ， 均为负数， 但在推导过程中将整体 ＋ 提出负号后，－ ，－ 均变为正数，符 合基本不等式的条件，故③正确. 目录 数学·必修第一册（SJ） 通性通法 利用基本不等式判断命题真假的步骤 第一步：检查是否满足应用基本不等式的条件； 第二步：应用基本不等式； 第三步：检验等号是否成立. 目录 数学·必修第一册（SJ） 【跟踪训练】 下列不等式中正确的是（　　） D. a2＋ b2≥4 ab 目录 数学·必修第一册（SJ） 解析：　对于选项A，符合基本不等式的条件，故A正确；对于选项 B，忽视了验证等号成立的条件，即 x ＝ ，则 x ＝1，不满足 x ≥2， 故B错误；对于C，当 a ≥0， b ≥0时， ≤ ，当且仅当 a ＝ b 时取等号，故C错误；对于D，由基本不等式得 a2＋ b2≥2 ab ，当且仅 当 a ＝ b 时取等号，故D错误.故选A. 目录 数学·必修第一册（SJ） 题型二 利用基本不等式证明不等式 【例2】　（链接教科书第57页例1）设 a ， b 为正数，证明下列不等 式成立： （1） a ＋ ≥2； 证明：因为 a 为正数，所以 也为正数. 由基本不等式，得 a ＋ ≥2 ＝2， 当且仅当 a ＝ ，即 a ＝1时，等号成立.所以原不等式成立. 目录 数学·必修第一册（SJ） （2） ＋ ≥ ＋ . 证明：因为 a ＞0， b ＞0， 所以 ＋ ≥2 ＝2 ，　① ＋ ≥2 ＝2 .　② ①②两式相加，得 ＋ ＋ ＋ ≥2 ＋2 ， 所以 ＋ ≥ ＋ ，当且仅当 a ＝ b 时等号成立.所以原不 等式成立. 目录 数学·必修第一册（SJ） 通性通法 运用基本不等式证明不等式的策略与注意事项 （1）策略：从问题的已知条件出发，借助不等式的性质和基本不等 式或已证的重要不等式，经过逐步的逻辑推理，最后转化为所 求问题，其特征是以“已知”看“可知”，逐步推向“未 知”； （2）注意事项：①多次使用基本不等式时，要注意等号能否成立； ②累加法是不等式证明中的一种常用方法，证明不等式时注意 使用；③对不能直接使用基本不等式的证明可重新组合，构成 基本不等式模型再使用. 目录 数学·必修第一册（SJ） 【跟踪训练】 　设 a ， b ， c 为正数，证明下列不等式成立： （1） a ＋ b ＋ c ＋ ＋ ＋ ≥6； 目录 数学·必修第一册（SJ） 证明：因为 a ， b ， c 为正数，所以 ， ， 也为正数. 由基本不等式，得 a ＋ ≥2 ＝2， b ＋ ≥2 ＝2， c ＋ ≥2 ＝2， 所以 a ＋ b ＋ c ＋ ＋ ＋ ≥6. 当且仅当 a ＝ ， b ＝ ， c ＝ ，即 a ＝ b ＝ c ＝1时，等号成立. 所以原不等式成立. 目录 数学·必修第一册（SJ） （2）（ a ＋ b ）（ b ＋ c ）（ a ＋ c ）≥8 abc . 证明：因为 a ， b ， c 为正数，所以由基本不等式，得 a ＋ b ≥2 ， b ＋ c ≥2 ， a ＋ c ≥2 ， 所以（ a ＋ b ）（ b ＋ c ）（ a ＋ c ）≥2 ·2 ·2 ＝8 abc ， 当且仅当 a ＝ b ， b ＝ c ， a ＝ c ，即 a ＝ b ＝ c 时，等号成立. 所以原不等式成立. 目录 数学·必修第一册（SJ） 题型三 利用基本不等式求最值 【例3】　（链接教科书第58页例2）（1）已知 x ＞0，求 x ＋ 的最 小值； 解：因为 x ＞0，所以 ＞0，由基本不等式，得 x ＋ ≥2 ＝8， 当且仅当 x ＝ ，即 x ＝4时，等号成立. 所以 x ＋ 的最小值为8. 目录 数学·必修第一册（SJ） （2）当 x ＞3时，求2 x ＋ 的最小值. 解：因为 x ＞3，所以2 x －6＞0，由基本不等式， 得2 x ＋ ＝（2 x －6）＋ ＋6≥2 ＋6＝ 2×2＋6＝10，当且仅当2 x －6＝ ，即 x ＝4时取等号.所以2 x ＋ 的最小值为10. 目录 数学·必修第一册（SJ） 【母题探究】 （变条件、变设问）若 x ＜0，则 x ＋ 的最大值为 ⁠. 解析：∵ x ＜0，∴－ x ＞0，∴（－ x ）＋（－ ）≥2 ＝8，∴ x ＋ ＝－（－ x ＋ ）≤－8，当且仅当 － x ＝－ ，即 x ＝－4时，等号成立.故 x ＋ 的最大值为－8. －8　 目录 数学·必修第一册（SJ） 通性通法 1. 利用基本不等式求最值时要牢记“一正、二定、三相等” （1）一正：各项必须为正； （2）二定：各项之和或各项之积为定值； （3）三相等：必须验证取等号时条件是否具备. 2. 拼凑法求最值的策略 将已知数学表达式变形，拼凑出符合基本不等式条件的形式（和或 积为定值）.解题时应对照已知和所求的式子进行适当的“拆项、 添项、配凑、变形”等方法创设应用基本不等式的条件. 目录 数学·必修第一册（SJ） 【跟踪训练】 1. （－6≤ a ≤3）的最大值为（　　） A. 9 C. 3 解析：　当 a ＝－6或 a ＝3时， ＝0；当－6＜ a ＜3时， ≤ ＝ ，当且仅当3－ a ＝ a ＋6，即 a ＝－ 时取等号. 目录 数学·必修第一册（SJ） 2. 设 y ＝ ， x ＞1，则 y 的最小值为 ⁠. 解析：因为 x ＞1，所以 x －1＞0，所以 y ＝ ＝ ＝ x ＋1＋ ＝ x －1＋ ＋2≥2＋2＝4.当且仅当 ＝ x －1，即 x ＝2时， 等号成立，所以当 x ＝2时， y 的最小值为4. 4　 目录 数学·必修第一册（SJ） 1. 不等式（ x －2 y ）＋ ≥2成立的前提条件为（　　） A. x ≥2 y B. x ＞2 y C. x ≤2 y D. x ＜2 y 解析：　因为不等式成立的前提条件是 x －2 y 和 均为正数， 所以 x －2 y ＞0，即 x ＞2 y ，故选B. 目录 数学·必修第一册（SJ） 2. 下列各式中，最小值为4的是（　　） 解析：　A中，当 x ＝－1时， x ＋ ＝－5＜4，故A错误；B中， 当 t ＝－1时，2 t ＋ ＝－3＜4，故B错误；C中，4 t ＋ ≥2 ＝4，当且仅当 t ＝ 时，等号成立，故C正确；D中，当 t ＝－1 时， t ＋ ＝－2＜4，故D错误.故选C. 目录 数学·必修第一册（SJ） 3. 设实数 x 满足 x ＞－1，则函数 y ＝ x ＋ 的最小值为（　　） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 解析：　∵ x ＞－1，∴函数 y ＝ x ＋ ＝（ x ＋1）＋ －1≥2 －1＝4－1＝3，当且仅当 x ＋1＝ ，即 x ＝1时 取等号.因此函数 y ＝ x ＋ 的最小值为3.故选A. 目录 数学·必修第一册（SJ） 4. 已知 a ， b ＞0，证明：（ a ＋ ）（ b ＋ ）≥4. 证明：因为 a ， b ＞0，所以 ab ＞0， ＞0，所以（ a ＋ ）（ b ＋ ）＝2＋ ab ＋ ≥2＋2 ＝4， 当且仅当 ab ＝ ，即 ab ＝1时，等号成立. 所以原不等式成立. 目录 数学·必修第一册（SJ） 谢 谢 观 看！ $