2.2 充分条件、必要条件、充要条件(PPT课件)-【满分思维】2026-2027学年高中数学必修第一册配套课件（苏教版）

2.2 充分条件、必要条件、充要条件 1 探究点一 充分条件、必要条件的判断 探究点二 充要条件、充分且不必要条件、 必要且不充分条件的判断 探究点三 根据充要条件求参数 探究点四 判定定理、性质定理与充分、必 要条件 ◆ ◆ ◆ 课前预习 课中探究 课后习题 2 【学习目标】 1.能结合具体命题理解充分条件、必要条件和充要条件的意义. 2.能结合典型数学命题理解判定定理与充分条件、性质定理与必 要条件、数学定义与充要条件的关系. 3 知识点一 充分条件与必要条件 1.一般地,当命题“若,则”为真命题时,我们就说“由可以推出 成立”, 记作_______,读作“推出 ”； 如果命题“若,则”为假命题,就说“由不能推出 成立”,记作_______, 读作“不能推出 ”. 2.定义：如果“”，那么称是的__________，也称是 的 ___________. 充分条件 必要条件 课 前 预 习 4 【诊断分析】 判断正误.（在括号内打“√”或“×”） （1）“”是“ ”的充分条件.( ) × [解析] 当时,不能推出,所以“”不是“ ” 的充分条件. 课 前 预 习 5 判断正误.（在括号内打“√”或“×”） （2）“”是“ ”的必要条件.( ) √ [解析] 当时,一定有,所以“”是“ ”的必要条件. （3）“”是“ ”的充分条件.( ) × [解析] 当时,不一定成立,如,但 ，所以“”不是“ ”的充分条件. 课 前 预 习 6 判断正误.（在括号内打“√”或“×”） （4）“或”是“ ”的必要条件.( ) √ [解析] 当时,可得或,所以“或 ” 是“ ”的必要条件. 课 前 预 习 7 知识点二 充要条件 1.定义：如果,且,那么称是的充分且必要条件,简称为 是的______条件,也称的充要条件是 . 2.如果是的充要条件，就记作_______，称为“与等价”，或“ 等 价于 ”. 充要 课 前 预 习 8 3.条件关系判定的常用结论： 条件与结论 的关系 结论是的 ，且 充分且不必要条件 ，且 必要且不充分条件 ，且 充要条件 ，且 既不充分又不必要条件 课 前 预 习 9 知识点三 充分条件与判定定理、必要条件与性质定理的关系 判定定理都给出了相应数学结论成立的一个______条件.性质定理都 给出了相应数学结论成立的一个______条件. 充分 必要 课 前 预 习 10 探究点一 充分条件、必要条件的判断 角度1 充分条件 例1 下列各题中，哪些是 的充分条件? （1）是完全平方式, ; 解：若是完全平方式,则,所以,所以 不是 的充分条件. （2）, ; 解：若,则且 ,所以,所以,所以是 的充分条件. 课 中 探 究 11 例1 下列各题中，哪些是 的充分条件? （3）在中, ,在中， ； 解：由三角形的内角和为 可知,若 ,则 ,因此,所以是 的充分条件. （4）， . 解：因为，所以若，则 ，所以，所以是 的充分条件. 综上,中是 的充分条件. 课 中 探 究 12 角度2 必要条件 例2 下列各题中,哪些是 的必要条件? （1）, ; 解：当时,,所以,所以是 的必要条件. （2）, ; 解：当时,成立,但是不成立,所以 , 所以不是 的必要条件. （3）是自然数, 是正整数; 解：0是自然数,但是0不是正整数,所以,所以不是 的必要条件. 课 中 探 究 13 例2 下列各题中,哪些是 的必要条件? （4）三角形是等边三角形, 三角形是等腰三角形. 解：等边三角形一定是等腰三角形,所以,所以是 的必要条件. 综上,中是 的必要条件. 课 中 探 究 14 变式 下列各题中,哪些是的充分条件?哪些是 的必要条件? （1）, ； 解：若,则,,不是的充分条件. 若 ,则,,是 的必要条件. （2）四边形是矩形, 四边形的对角线相等. 解：由四边形是矩形,可得四边形的对角线相等,即,是 的充分条件. 四边形的对角线相等不能推出四边形是矩形,即, 不是 的必要条件. 综上,（2）中是的充分条件,（1）中是 的必要条件. 课 中 探 究 15 ［素养小结］ 充分条件或必要条件的判断方法： （1）若<m></m>,则<m></m>是<m></m>的充分条件，<m></m>是<m></m>的必要条件. （2）若<m></m>对应的集合为<m></m>,<m></m>对应的集合为<m></m>,<m></m>,则<m></m>是<m></m>的充分条 件，<m></m>是<m></m>的必要条件. 课 中 探 究 16 探究点二 充要条件、充分且不必要条件、必要且不充分条件的 判断 例3 下列“若,则”形式的命题中，分别是 的什么条件？ （用“充要条件”“充分且不必要条件”“必要且不充分条件”或“既不充 分又不必要条件”回答） （1）若，则 ； 解：当时，不一定成立，但当时， 一定成立，所以是 的必要且不充分条件. 课 中 探 究 17 例3 下列“若,则”形式的命题中，分别是 的什么条件？ （用“充要条件”“充分且不必要条件”“必要且不充分条件”或“既不充 分又不必要条件”回答） （2）若,都为无理数，则 为无理数； 解：若,都为无理数，则不一定为无理数，例如 是无理数，但是有理数. 当为无理数时，,不一定都为无理数，即 是 的既不充分又不必要条件. 课 中 探 究 18 例3 下列“若,则”形式的命题中，分别是 的什么条件？ （用“充要条件”“充分且不必要条件”“必要且不充分条件”或“既不充 分又不必要条件”回答） （3）若，则 ； 解：若，则，即. 当 时，不一定成立，即是 的充分且不必要条件. 课 中 探 究 19 例3 下列“若,则”形式的命题中，分别是 的什么条件？ （用“充要条件”“充分且不必要条件”“必要且不充分条件”或“既不充 分又不必要条件”回答） （4）若，则且 . 解：若，则且不一定成立，例如当 ，时，，但. 当，时， 一定成立，即是 的必要且不充分条件. 课 中 探 究 20 变式（1）[2026·福建莆田高一期中]设集合 ， ，则“”是“ ”的( ) A.充分且不必要条件 B.必要且不充分条件 C.充要条件 D.既不充分又不必要条件 [解析] 由题意可知，集合 ，因为，所以，所以“”是“ ”的必要且不充分条件.故选B. √ 课 中 探 究 21 （2）[2026·江苏无锡一中高一段考]已知集合，1，4， ， ，1，，则“”是“ ”的( ) A.充分且不必要条件 B.必要且不充分条件 C.充要条件 D.既不充分又不必要条件 [解析] 若，则，因为，1，4，， ，1，，所以或所以 ，经检验符合题意. 若，则，1，2，，，1，，所以 .故“”是“ ”的充要条件.故选C. √ 课 中 探 究 22 ［素养小结］ 判断充分条件、必要条件及充要条件的三种方法 （1）定义法：直接判断“若<m></m>,则<m></m>”以及“若<m></m>,则<m></m>”的真假. （2）集合法：利用集合的包含关系判断. （3）传递法：充分条件和必要条件具有传递性，即由 <m></m>,可得<m></m>;充要条件也有传递性. 课 中 探 究 23 拓展 已知两个关于的一元二次方程 和 ,求两方程的根都是整数的充要条件. 解：因为是一元二次方程,所以 ，又另一个方程为 ,且两方程都有实根, 所以解得 . 综上可得且 . 因为两方程的根都是整数,所以其根的和与积也为整数, 课 中 探 究 24 所以所以或或 或1. 当时，第一个方程可化为 ，该方程的根不是整数，不符合题意； 当时，第一个方程可化为 ，该方程的根不是整数，不符合题意； 当 时,第一个方程可化为，该方程的根不是整数，不符合题意;当 时,易知两方程的根均为整数. 所以两方程的根都是整数的充要条件是 . 课 中 探 究 25 探究点三 根据充要条件求参数 例4 已知集合， ， . （1）是否存在实数,使“”是“ ”的充要条件？若存在，求 出实数 的值；若不存在，请说明理由. 解：若存在实数,使“”是“”的充要条件，则 ，故 无解，故不存在实数,使“”是“ ”的充要条件. 课 中 探 究 26 例4 已知集合， ， . （2）是否存在实数,使“”是“ ”的充分且不必要条件？若 存在，求出实数 的值；若不存在，请说明理由. 解：因为,所以,故 . 由“”是“”的充分且不必要条件得 , 故 且等号不同时成立，解得，故的取值范围是 . 课 中 探 究 27 例4 已知集合， ， . （3）是否存在实数,使“”是“ ”的必要且不充分条件？若 存在，求出实数 的值；若不存在，请说明理由. 解：因为，所以，故 . 由“”是“”的必要且不充分条件得，故 且等号不同时成立，解得 ， 又，故的取值范围是 . 课 中 探 究 28 变式（1）[2026·江苏扬州公道中学高一月考]已知集合, ， ,4,，若“”是“”的充分条件，则 ( ) A.0 B. C.0或或1 D.0或 [解析] “”是“”的充分条件， . 可分以下两种情况：，解得;，解得或 （舍去）. 综上，或 .故选D. √ 课 中 探 究 29 （2）设全集，已知集合 ， .若不是空集，设； ， 且是的必要且不充分条件，则实数 的取值范围是______. [解析] 因为不是空集，所以，则. 因为是 的必要且不充分条件，所以是的真子集，即 且等号不能同时取得，解得， 经验证当 时符合题意，则实数的取值范围是 . 课 中 探 究 30 ［素养小结］ 利用充分条件、必要条件求参数的取值范围时，主要根据充分条件、 必要条件与集合间的关系，将问题转化为相应的两个集合之间的包 含关系，然后建立关于参数的不等式（组）进行求解，有时还需要 借助数轴解决问题. 课 中 探 究 31 探究点四 判定定理、性质定理与充分、必要条件 例5 指出下列定理是判定定理还是性质定理： （1）直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半； 解：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半为性质定理. （2）有两个角互余的三角形是直角三角形； 解：有两个角互余的三角形是直角三角形为判定定理. （3）菱形的对角线互相垂直； 解：菱形的对角线互相垂直为性质定理. 课 中 探 究 32 例5 指出下列定理是判定定理还是性质定理： （4）两边成比例且夹角相等的两个三角形相似； 解：两边成比例且夹角相等的两个三角形相似为判定定理. （5）三边对应成比例的两个三角形相似； 解：三边对应成比例的两个三角形相似为判定定理. （6）相似三角形的面积比等于相似比的平方. 解：相似三角形的面积比等于相似比的平方为性质定理. 课 中 探 究 33 变式 判断下述命题是否可以看成判定定理或性质定理，如果可以， 写出其中涉及的充分条件或必要条件： （1）形如是常数 的函数是二次函数； 解：该命题可以看成一个判定定理，因此“形如 是常数 的函数”是“函数是二次函数”的充分条件. （2）菱形的对角线互相平分. 解：该命题可以看成一个性质定理，因此“四边形对角线互相平分” 是“四边形是菱形”的必要条件. 课 中 探 究 34 ［素养小结］ （1）区分一个定理是判定定理还是性质定理关键是看定理阐述了结 论成立的依据还是揭示了一个研究对象的某个特征，若定理阐述了 结论成立的依据，则是判定定理，否则是性质定理. （2）判定定理可用充分条件的语言来表述，性质定理可用必要条件 的语言来表述. 课 中 探 究 35 课后习题 36 1.若，则“”是“ ”的( ) A.充分条件 B.必要条件 C.既不充分又不必要条件 D.充要条件 [解析] 由，得，所以充分性不成立；由 ，得，所以必要性成立. 所以“”是“ ”的必要条件. √ 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 37 2.“”是“ ”的( ) A.充分且不必要条件 B.必要且不充分条件 C.充要条件 D.既不充分又不必要条件 [解析] 当时，一定有 ，充分性成立； 当时，如时，不满足 ，即必要性不成立. 所以“”是“ ”的充分且不必要条件.故选A. √ 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 38 3.“两个三角形相似”是“两个三角形的三边对应成比例”的( ) A.充分且不必要条件 B.必要且不充分条件 C.充要条件 D.既不充分又不必要条件 [解析] 由“两个三角形相似”可得“两个三角形的三边对应成比例”，即充分性成立；反之，由“两个三角形的三边对应成比例”可得“两个三角形相似”，即必要性成立. 所以“两个三角形相似”是“两个三角形的三边对应成比例”的充要条件.故选C. √ 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 39 4.[2026·江苏南京高一期中]已知，若是 的必要条件， 则 可以为( ) A. B. C. D. [解析] 由题意得，对照选项，当满足 时，必满足 .故选C. √ 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 40 5.[2026·江苏无锡南菁中学高一月考]已知，若集合 ， ，，0，，则“”是“ ”的( ) A.充分且不必要条件 B.必要且不充分条件 C.充要条件 D.既不充分又不必要条件 [解析] 由，，可知，结合，0，， ，可得或. 当时，可推出；反之，由 不能得到. 所以“”是“ ”的充分且不必要条件.故选A. √ 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 41 6.（多选题）[2026·云南昆明高一期中] 下列说法中正确的是( ) A.已知,为非空集合，若“”是“”的充分条件，则 B.“”是“ ”的充分且不必要条件 C.在中，“”是“ 为直角三角形”的充要 条件 D.“”的一个必要且不充分条件为“ ” √ √ [解析] 若“”是“”的充分条件，则 ，A正确； 由得或，故“”是“ ”的充分且不必要条件，B正确； 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 42 在中，若，则 为直角三角形，但当 为直角三角形时，无法判断直角是哪个角，从而不一定成立，C错误； 由可得 ，由能推出，由推不出，故“”是“ ” 的充分且不必要条件，D错误.故选 . 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 43 7.已知为实数，则“”是“ ”的______________条件. （请填“充分且不必要”“必要且不充分”“充要”“既不充分又不必要”中 的一个） 充分且不必要 [解析] 由可以推出；由可得 ，不能推出. 故“”是“ ”的充分且不必要条件. 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 44 8.“二次函数的图象的对称轴方程是 ”的充要条 件是“ ____”. [解析] 由二次函数的图象的对称轴方程是 ,可得;反之也成立. 所以“二次函数 的图象的对称轴方程是”的充要条件是“ ”. 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 45 9.（13分）下列各题中，分别判断是 的什么条件. （1）， ； 解：因为，但，所以是 的必要且不充分条件. （2）是直角三角形， 是等腰三角形； 解：因为是直角三角形是等腰三角形， 是等腰三角形是直角三角形，所以是 的既不充分又不必要条件. 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 46 9.（13分）下列各题中，分别判断是 的什么条件. （3）四边形的对角线互相平分， 四边形是矩形； 解：因为四边形的对角线互相平分 四边形是矩形，但四边形是矩形 四边形的对角线互相平分，所以是 的必要且不充分条件. （4）, ; 解：因为,所以是 的充要条件. 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 47 9.（13分）下列各题中，分别判断是 的什么条件. （5）有两个不等的实数根, . 解：由 有两个不等的实数根,知且,得且,则 ; 反之, 当时,方程只有一个实数根,即,所以是 的充分且不必要条件. 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 48 10.（13分）已知非空集合 ， . （1）若，求 ； 解：当时，，所以或 ， 又，所以 或 . 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 49 10.（13分）已知非空集合 ， . （2）若“”是“”的充分且不必要条件，求实数 的取值范围. 解：因为“”是“”的充分且不必要条件，所以， 又 是非空集合，所以且 （等号不同时成立），解得 ，所以实数的取值范围为 . 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 50 11.一元二次方程 有一个正根和一个负根的 充分且不必要条件可以是( ) A. B. C. D. [解析] 因为一元二次方程 有一个正根和一个负根，所以解得 ，所以一元二次方程 有一个正根和一个负根的充分且不必要条件可以是 .故选C. √ 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 51 12.[2026·湖北百强高中名校高一月考]设,, ，则 “ ”是“ ”的( ) A.充分且不必要条件 B.必要且不充分条件 C.充要条件 D.既不充分又不必要条件 [解析] ，所以“”是“ ”的充要条件.故选C. √ 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 52 13.（多选题）下列选项中，是 的充要条件的是( ) A.， B.， C.，关于的方程 有实数根 D.或， √ √ [解析] 对于A，易知或，且，则 ，所以不是的充要条件; 对于B，由知，, 要么同为正数,要么同为负数,要么至少有一个为零,均满足,故是 的充要条件; 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 53 对于C，因为关于的方程 有实数根,所以,即,所以是的充要条件; 对于D，因为 , 所以不是的充要条件,故选 . 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 54 14.[2026·陕西渭南高一期中] 已知方程 至少有一 个负实根，若为真命题的一个必要且不充分条件为 ，则 实数 的取值范围是_______. [解析] 方程至少有一个负实根，若 为真命题，则当时，由,得，符合题意. 当 时，，设方程的两个实根分别为， ，则,，则此时方程 有一个正根和一个负根，符合题意. 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 55 当时，若 ，则，此时方程为,解得 ，符合题意； 若，则，设方程 的两个实根分别为，，则, ，则此时方程有两个负根，符合题意. 综上所述，当 为真命题时，的取值范围是. 因为 为真命题的一个必要且不充分条件为，所以,解得 . 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 15.已知集合点不在第一、三象限， ，集 合，若“”是“”的必要条件，则实数 的 取值范围是__________. [解析] 由“”是“”的必要条件，得. 又 中元素为整数，故只可能为，，. 由点 不在第一、三象限，得或则或. 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 57 当时，①无解，由②得 ，此时，，故，则； 当 时，，则，满足题意；当 时，②无解，由①得，此时,，因为， ，所以. 综上，实数的取值范围是 . 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 16.（15分）设，，分别是的内角,， 所对的边，且 ，则“为直角三角形”的充要条件是“ ”.试 用边长，，探究 为锐角三角形的一个充要条件，并证明. 证明： 为锐角三角形的充要条件为 . 充分性：若，则 不是直角三角形. 假设为钝角三角形，则 ， 过作的延长线的垂线，垂足为（如图①）， 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 59 由勾股定理知，与 矛盾， 故假设不成立， 为锐角三角形，充分性成立. 必要性：过点作边的垂线，垂足为 （如图②）， 由勾股定理知，.故必要性成立. 故 为锐角三角形的充要条件为 . 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 60 $