2.3.1 全称量词命题与存在量词命题 课件-2026-2027学年高一上学期数学苏教版必修第一册

该高中数学课件聚焦全称量词命题与存在量词命题，通过学校团体操表演情境导入，借助“所有”“至少有”等短语引出核心概念，搭建从具体实例到抽象知识的学习支架，衔接课前预习与新知探究。 其亮点是以数学抽象和逻辑推理为核心，设置自我诊断、分题型例题及通性通法总结，结合母题变式训练。例如通过实例判断命题真假，总结“全称命题需证全体成立，存在命题只需举一例”的方法，助力学生形成系统思维。学生能提升抽象能力与推理意识，教师可直接使用结构化内容提高教学效率。

2.3.1　全称量词命题与存在量词命题 新课程标准解读 核心素养 1.通过已知的数学实例，理解全称量词与存在量词 的意义 数学抽象 2.能准确地利用全称量词和存在量词叙述数学命题 数学抽象 3.掌握判断全称量词命题和存在量词命题真假性的 方法 数学抽象、逻 辑推理 目录 数学·必修第一册（SJ） 目录 基础知识·重落实 01 典型例题·精研析 02 基础知识·重落实 01 课前预习 必备知识梳理 目录 目录 　　学校为了迎接秋季田径运动会，正在排练由1 000名学生参加的开 幕式团体操表演.这1 000名学生符合下列条件： （1）所有学生都来自高一年级； （2）至少有30名学生来自高一（1）班； （3）每一个学生都有固定表演路线. 目录 数学·必修第一册（SJ） 【问题】　上述条件中包含以下短语：“所有”“至少有”和 “每一个”，这些短语在逻辑上称为什么？含有这些短语的命 题称为什么命题？ 目录 数学·必修第一册（SJ） 知识点一　全称量词与全称量词命题 全称量词 “所有”“任意”“每一个”等表示全体的词 符号 ∀ 全称量词命题 含有 ⁠的命题 形式 ∀ x ∈ M ， p （ x ） 全称量词　 目录 数学·必修第一册（SJ） 提醒　（1）常见的全称量词还有“一切”“任取（选）”“凡是” 等；（2）有些全称量词命题在语言叙述上省略了全称量词，理解时 需把它补充出来.例如，命题“平行四边形的对角线互相平分”应理 解为“所有平行四边形的对角线都互相平分”. 目录 数学·必修第一册（SJ） 知识点二　存在量词与存在量词命题 存在量词 “存在”“有的”“有一个”等表示部分或个体的词 符号 ∃ 存在量词命题 含有 ⁠的命题 形式 ∃ x ∈ M ， p （ x ） 提醒　（1）常见的存在量词还有“有些”“对某个”“至少有一 个”等；（2）有些命题可能没有写出存在量词，但其意义具备“存 在”“有一个”等特征的命题都是存在量词命题. 存在量词　 目录 数学·必修第一册（SJ） 1. 下列命题是全称量词命题的是（　　） A. 每个四边形的内角和都是360° B. 有的实数没有算术平方根 C. ∃ x ∈Z，2 x ＋1是整数 D. 存在一个 x ∈R，使2 x ＋1＝3 解析：　“所有”“任意”“每一个”等表示全体的词称为全称 量词，“存在”“有的”“有一个”等表示部分或个体的词称为存 在量词.故选A. 目录 数学·必修第一册（SJ） 2. 下列命题中的假命题是（　　） A. ∀ x ∈R，｜ x ｜＋1＞0 B. ∀ x ∈N*，（ x －1）2＞0 C. ∃ x ∈R，｜ x ｜＜1 D. ∀ x ∈R， x2＋1≠0 解析：　A中命题是全称量词命题，易知｜ x ｜＋1＞0恒成立， 故是真命题；B中命题是全称量词命题，当 x ＝1时，（ x －1）2＝ 0，故是假命题；C中命题是存在量词命题，当 x ＝0时，｜ x ｜＝ 0，故是真命题；D中命题是全称量词命题，∀ x ∈R， x2≥0， x2＋ 1≥1≠0，故是真命题.故选B. 目录 数学·必修第一册（SJ） 3. 将命题“ x2＋ y2≥2 xy ”改写为全称量词命题为 ⁠ ⁠. 解析：命题“ x2＋ y2≥2 xy ”是指对任意 x ， y ∈R，都有 x2＋ y2≥2 xy 成立，故命题“ x2＋ y2≥2 xy ”改写成全称量词命题为：对任意 x ， y ∈R，都有 x2＋ y2≥2 xy 成立. 对任意 x ， y ∈R， 都有 x2＋ y2≥2 xy 成立　 目录 数学·必修第一册（SJ） 典型例题·精研析 02 课堂互动 关键能力提升 目录 目录 题型一 全称量词命题与存在量词命题的识别 【例1】　（链接教科书第37页练习1题）判断下列语句是全称量词命 题还是存在量词命题，并用符号“∀”或“∃”表示下列命题： （1）自然数的平方大于或等于零； 解：是全称量词命题，表示为∀ x ∈N， x2≥0. 目录 数学·必修第一册（SJ） （2）任意实数 x ，满足 x2＋2≥2； 解：是全称量词命题，表示为∀ x ∈R， x2＋2≥2. （3）有些实数 a ， b ，使｜ a － b ｜＝｜ a ｜＋｜ b ｜； 解：是存在量词命题，表示为∃ a ， b ∈R，｜ a － b ｜＝｜ a ｜ ＋｜ b ｜. （4）存在实数 a ，使函数 y ＝ ax ＋ b 的值随 x 的增大而增大. 解：是存在量词命题，表示为∃ a ∈R，使函数 y ＝ ax ＋ b 的值随 x 的增大而增大. 目录 数学·必修第一册（SJ） 通性通法 　　判断一个语句是全称量词命题还是存在量词命题的思路 提醒　全称量词命题可能省略全称量词，存在量词命题的存在量词一 般不能省略. 目录 数学·必修第一册（SJ） 【跟踪训练】 判断下列语句是全称量词命题还是存在量词命题，并用符号“∀”或 “∃”表示下列命题： （1）不等式 x2＋ x ＋1＞0恒成立； 解：是全称量词命题，∀ x ∈R， x2＋ x ＋1＞0恒成立. （2）存在一个有理数 x ，使 x2＋ x ＋1是有理数； 解：是存在量词命题，∃ x ∈Q，使 x2＋ x ＋1是有理数. （3）对所有实数 a ， b ，方程 ax ＋ b ＝0恰有一个解； 解：是全称量词命题，∀ a ， b ∈R，方程 ax ＋ b ＝0恰有一个解. （4）有些整数既能被2整除，又能被3整除. 解：是存在量词命题，∃ x ∈Z， x 既能被2整除，又能被3整除. 目录 数学·必修第一册（SJ） 题型二 全称量词命题、存在量词命题的真假判断 【例2】　（链接教科书第37页例1）判断下列命题的真假： （1）∃ x ∈Z， x3＜1； 解：因为当 x ＝－1时，－1∈Z，且（－1）3＝－1＜1，即 x3＜1 成立，所以“∃ x ∈Z， x3＜1”是真命题. （2）∀ x ∈R， x2＜ x ； 解：因为当 x ＝0时， x2＜ x 不成立，所以“∀ x ∈R， x2＜ x ”是 假命题. 目录 数学·必修第一册（SJ） （3）∃ x ∈Q， x2－2＝0； 解：因为使 x2－2＝0成立的 x 的值只有 x ＝ 与 x ＝－ ，但 它们都不是有理数，所以“∃ x ∈Q， x2－2＝0”是假命题. （4）∀ x ∈N， x2＋2＞0. 解：因为对任意自然数 x ，都有 x2≥0， x2＋2≥2＞0，即 x2＋2 ＞0成立，所以“∀ x ∈N， x2＋2＞0”是真命题. 目录 数学·必修第一册（SJ） 通性通法 全称量词命题与存在量词命题真假判断的技巧 （1）要判定一个全称量词命题是真命题，必须对限定集合 M 中的每 个元素 x 验证 p （ x ）成立；但要判定全称量词命题是假命题， 只要能举出集合 M 中的一个 x ，使得 p （ x ）不成立即可； （2）要判定一个存在量词命题是真命题，只要在限定集合 M 中，能 找到一个 x 使 p （ x ）成立即可；否则，这个存在量词命题就是 假命题. 目录 数学·必修第一册（SJ） 【跟踪训练】 （多选）下列命题判断为真的是（　　） A. 在平面直角坐标系中，任意有序实数对（ x ， y ）都对应一点 P B. 每一条线段的长度都能用正有理数来表示 C. 至少有一个直角三角形不是等腰三角形 D. 存在一个实数 x ，使得方程 x2＋ x ＋8＝0成立 目录 数学·必修第一册（SJ） 解析：　A是真命题.B是假命题，如边长为1的正方形，对角线长 度为 ，就不能用正有理数表示.C是真命题，如有一个内角为30° 的直角三角形就不是等腰三角形.D是假命题，方程 x2＋ x ＋8＝0的判 别式Δ＝－31＜0，故方程无实数根.故选A、C. 目录 数学·必修第一册（SJ） 【例3】　已知集合 A ＝{ x ｜－2≤ x ≤5}， B ＝{ x ｜ m ＋1≤ x ≤2 m －1}，且 B ≠⌀，若命题 p ：“∀ x ∈ B ， x ∈ A ”是真命题，求 m 的取 值范围. 解：由于命题 p ：“∀ x ∈ B ， x ∈ A ”是真命题， 所以 B ⊆ A ，因为 B ≠⌀，所以 解得2≤ m ≤3. 即 m 的取值范围为{ m ｜2≤ m ≤3}. 题型三 根据全称量词命题与存在量词命题的真假求参数范围 目录 数学·必修第一册（SJ） 【母题探究】 1. （变条件）把本例中命题 p 改为“∃ x ∈ A ， x ∈ B ”，求 m 的取值 范围. 解： p 为真命题，则 A ∩ B ≠⌀，因为 B ≠⌀，所以 m ≥2. 所以或 解得2≤ m ≤4. 即 m 的取值范围为{ m ｜2≤ m ≤4}. 目录 数学·必修第一册（SJ） 2. （变设问）把本例中的命题 p 改为“∀ x ∈ A ， x ∈ B ”，是否存在 实数 m ，使命题 p 是真命题？若存在，求出实数 m 的取值范围；若 不存在，说明理由. 解：由于命题 p ：“∀ x ∈ A ， x ∈ B ”是真命题， 所以 A ⊆ B ，因为 B ≠⌀， 所以无解， 所以不存在实数 m ，使命题 p 是真命题. 目录 数学·必修第一册（SJ） 通性通法 根据全称（存在）量词命题的真假求参数范围的策略 （1）首先根据全称量词和存在量词的含义透彻理解题意； （2）其次根据含量词命题的真假把命题的真假问题转化为集合间的 关系或函数的最值问题，再转化为关于参数的不等式（组）求 参数的取值范围. 目录 数学·必修第一册（SJ） 【跟踪训练】 1. 若命题“∃ x ∈R，使得 x2－2 x ＋ m ＝0”是真命题，则实数 m 的取值范围是（　　） A. （1，＋∞） B. [1，＋∞） C. （－∞，1） D. （－∞，1] 解析：　由题意可知方程 x2－2 x ＋ m ＝0有实数解，则Δ＝4－4 m ≥0，解得 m ≤1.故选D. 目录 数学·必修第一册（SJ） 2. 若命题“二次函数 y ＝ x2－3 x ＋9 a 的图象恒在 x 轴上方”为真命 题，则实数 a 的取值范围为 ⁠. 解析：由题意，“二次函数 y ＝ x2－3 x ＋9 a 的图象恒在 x 轴上方” 为真命题，根据二次函数的图象与性质，可得Δ＝（－3）2－4×9 a ＜0，解得 a ＞ ，即实数 a 的取值范围为 . 　 目录 数学·必修第一册（SJ） 1. 下列结论正确的个数是（　　） ①命题“所有的四边形都是矩形”是存在量词命题； ②命题“∀ x ∈R， x2＋2＜0”是全称量词命题； ③命题“存在一个 x ∈R，使得 x2＋4 x ＋4≤0”是存在量词命题. A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 目录 数学·必修第一册（SJ） 解析：　①命题“所有的四边形都是矩形”是全称量词命题，故 ①错误；②命题“∀ x ∈R， x2＋2＜0”是全称量词命题，故②正 确；③命题“存在一个 x ∈R，使得 x2＋4 x ＋4≤0”是存在量词命 题，故③正确.故选C. 目录 数学·必修第一册（SJ） 2. 下列命题既是存在量词命题又是真命题的是（　　） A. ∃ x ∈Z， x3＝3 B. ∃ x ∈R，3 x ＋1是整数 C. ∀ x ∈R，｜ x ｜＞3 D. ∀ x ∈Q， x2∈Z 解析：　A、B为存在量词命题，C、D为全称量词命题.A中，由 x3＝3得 x ＝ ，所以选项A为假命题；B中，当 x ＝1时，3 x ＋1＝ 4是整数，所以选项B为真命题；故选B. 目录 数学·必修第一册（SJ） 3. 若命题“∃ x ∈R， x2＋2 x ＋ m ＋2＜0”为真命题，则 m 的取值范围是 ⁠. 解析：由题意得，Δ＝22－4（ m ＋2）＞0，解得 m ＜－1. （－∞，－1）　 目录 数学·必修第一册（SJ） 谢 谢 观 看！ $