2.1 命题、定理、定义(PPT课件)-【满分思维】2026-2027学年高中数学必修第一册配套课件（苏教版）

2.1 命题、定理、定义 1 探究点一 命题的条件与结论 探究点二 命题的真假性 探究点三 根据命题的真假求参数范围 ◆ ◆ ◆ 课前预习 课中探究 课后习题 2 【学习目标】 1.能结合具体实例认识和识别什么是命题，对于给出的一些例子, 会判断哪些陈述句是命题，哪些陈述句不是命题. 2.能分清一个命题的条件与结论. 3 知识点一 命题 1.在数学中，我们将可判断______的陈述句叫作命题. 2.数学中，许多命题可表示为“如果，那么”或“若，则 ”的形式， 其中___叫作命题的条件，___叫作命题的结论. 真假 课 前 预 习 4 【诊断分析】 1.下列语句中为命题的是( ) A.请打开教材第27页 B.全等三角形的对应边相等 C.矩形难道不是平行四边形吗？ D. [解析] A是祈使句,不是命题;B是陈述句，且能判断真假,是命题；C是疑问句，不是命题；D不能判断真假,不是命题.故选B. √ 课 前 预 习 5 2.把命题“面积相等的两个三角形全等”写成“如果,那么 ”的形式,并 指出命题的条件与结论. 解：如果两个三角形面积相等，那么这两个三角形全等. 命题的条件是“两个三角形面积相等”,结论是“这两个三角形全等”. 课 前 预 习 6 知识点二 定理、定义 1.在数学中，有些已经被证明为____的命题可以作为推理的依据而直 接使用，一般称之为定理. 真 2.在数学中，我们经常遇到定义.定义是对某些对象标明符号、指明 称谓，或者揭示所研究问题中对象的______.定义的特点是用已知的 ____________来解释、刻画陌生的对象，并加以区别. 内涵 对象及关系 课 前 预 习 7 探究点一 命题的条件与结论 例1 将下列命题改写成“若，则”（或者“如果，那么 ”）的形式： （1）绝对值相等的两个数也相等； 解：若两个数的绝对值相等,则这两个数相等. （2）对角线互相垂直且相等的四边形是正方形； 解：如果一个四边形的对角线互相垂直且相等，那么这个四边形是正方形. 课 中 探 究 8 例1 将下列命题改写成“若，则”（或者“如果，那么 ”）的形式： （3）线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等; 解：如果一个点在线段的垂直平分线上,那么它到这条线段的两端点的距离相等. （4）当 时，关于的方程 无实数根. 解：若，则关于的方程 无实数根. 课 中 探 究 9 变式 指出下列命题中的条件与结论： （1）若，则 ； 解：条件是“”，结论是“ ”. （2）有一个角是直角的菱形是正方形； 解：命题可改写成“如果菱形有一个角是直角，那么这个菱形是正方形”. 因此条件是“菱形有一个角是直角”，结论是“这个菱形是正方形”. （3）若,则 ; 解：条件是“”,结论是“ ”. 课 中 探 究 10 变式 指出下列命题中的条件与结论： （4）四条边对应相等的两个四边形全等. 解：命题可改写成“如果两个四边形的四条边对应相等,那么这两个四边形全等”. 因此条件是“两个四边形的四条边对应相等”,结论是“这两个四边形全等”. 课 中 探 究 11 ［素养小结］ 将一个命题改写成“如果<m></m>，那么<m></m>”或“若<m></m>，则<m></m>”的形式后，<m></m>就是命 题的条件，<m></m>就是命题的结论. 课 中 探 究 12 探究点二 命题的真假性 例2 判断下列命题的真假： （1）若,则 ; 解：当时, ,所以该命题是假命题. （2）若,则 ; 解：由并集的定义得该命题为真命题. （3）有两边及一角对应相等的两个三角形全等； 解：这一个角不一定是对应相等两边的夹角，因此该命题是假命题. 课 中 探 究 13 例2 判断下列命题的真假： （4）角平分线上的点到角的两边的距离相等. 解：该命题是真命题. 课 中 探 究 14 变式 判断下列命题的真假： （1）关于的方程 有两个不相等的实数根; 解：为假命题,当时,方程 是一元一次方程，只有一个实数根. （2）关于的方程 有两个不相等的实数根； 解：为真命题,因为 ，所以方程 有两个不相等的实数根. （3）空集是任何集合的真子集； 解：为假命题，空集不是它本身的真子集. 课 中 探 究 15 变式 判断下列命题的真假： （4）两个集合的并集一定不是空集. 解：为假命题，如果两个集合都是空集，那么它们的并集仍然是空集. ［素养小结］ 判断命题真假的方法： （1）要判断一个命题是假命题，只需举一个反例； （2）要判断一个命题是真命题，必须通过推理证明或列举所有的情 况都成立，才能得出结论. 课 中 探 究 16 探究点三 根据命题的真假求参数范围 例3 若命题“关于的方程 有两个不等的实数根”是真 命题，求实数 的取值范围. 解： 关于的方程 有两个不等的实数根，，或 ，即实数的取值范围是 . 课 中 探 究 17 变式 已知,，且“若，则”为真命题，则实数 的取值范围是________. [解析] 由，得，因为“若，则 ”为真命题，所以，解得，故实数的取值范围是 . 课 中 探 究 18 课后习题 19 1.下列语句中不是命题的是( ) A. 可以写成分数形式 B. C.当时, D.一个实数不是有理数,就是无理数 [解析] 根据命题的定义可知B不是命题,其他语句都是命题. √ 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 20 2.命题“若整数是素数,则 是奇数”的条件是( ) A.整数是素数 B.整数 C.是奇数 D.整数是素数, 是奇数 [解析] 易知A正确.故选A. √ 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 21 3.命题“如果两个角是同位角，那么这两个角相等”的结论是( ) A.这两个角相等 B.两个角是同位角 C.相等 D.两个角是同位角，两个角相等 [解析] 易知A正确.故选A. √ 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 22 4.将命题“三角形中，大角对大边”改写成“若，则 ”的形式为( ) A.三角形中，若一个角较大，则其对的边较大 B.三角形中，若一个边较大，则其对的角较大 C.若一个平面图形是三角形，则大边对大角 D.若一个平面图形是三角形，则大角对大边 [解析] 所给命题中，前提是“三角形中”，条件是“大角”，结论是“对大边”.故选A. √ 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 23 5.能说明命题“关于的方程 一定有实数根”是假命题 的反例为( ) A. B. C. D. [解析] 当时，方程为 ，因为 ，所以方程没有实数根， 所以可作为说明命题“关于的方程 一定有实数根” 是假命题的反例.故选D. √ 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 24 6.下列命题为真命题的是( ) A.面积相等的三角形全等 B.若，则 C.若两个角是对顶角，则这两个角相等 D.若关于的方程有两个负实数根，则实数 的取值范围是 √ 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 25 [解析] 对于A，面积相等的三角形不一定是全等三角形，故A错误. 对于B，不妨取，，满足，但 ，故B错误. 对于C，对顶角相等，故C正确. 对于D，关于 的方程 有两个负实数根，则解得，则实数 的取值范围是 ,故D错误.故选C. 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 26 7.命题“一次函数中，随 的增大而增大”的条件是______ ________________________，结论是__________________. 一次函数的解析式为 随的增大而增大 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 27 8.命题“若,则 ”是____命题.（填“真”或“假”） 真 [解析] 因为,且,所以 ,因此该命题是真命题. 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 28 9.（13分）指出下列命题中的条件和结论： （1）直角三角形的两个锐角互余； 解：条件：两个角是直角三角形的两个锐角，结论：这两个角互余. （2）互余的两个角不一定相等； 解：条件：两个角互余，结论：这两个角不一定相等. （3）如果,是奇数,那么 是奇数; 解：条件:,是奇数,结论: 是奇数. 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 29 9.（13分）指出下列命题中的条件和结论： （4）如果一条直线和两条平行直线中的一条垂直，那么这条直线也 和另一条直线垂直. 解：条件：一条直线和两条平行直线中的一条垂直，结论：这条直线也和另一条直线垂直. 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 30 10.（13分）将下列命题改写成“若，则 ”的形式，并判断真假： （1）能被5整除的数一定是奇数； 解：若一个数能被5整除，则这个数一定是奇数.假命题. （2）当时，, ； 解：若，则, .真命题. （3）两个无理数的积是无理数. 解：若两个数是无理数，则这两个数的积是无理数.假命题. 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 31 11.已知命题全等三角形的周长相等，命题 周长相等的三角形 全等，则下列说法中正确的是( ) A.和都是真命题 B.和 都是假命题 C.是真命题，是假命题 D.是假命题， 是真命题 [解析] 对于，全等三角形的形状和大小均相同，故周长相等，故 为真命题. 对于命题 ，只要三角形三边之和相等，周长就相等，对三角形的形状和大小无要求，故周长相等的三角形不一定全等，故 为假命题.故选C. √ 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 32 12.已知不等式的解集是，若是假命题，则 的取值 范围是( ) A. B. C. D. [解析] 由，解得，则. 因为 是假命题，所以，则 .故选D. √ 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 33 13.（多选题）[2026·江苏扬州高一期中] 下列命题中为真命题的是 ( ) A.若，则 B.若，则 C.菱形的对角线互相垂直 D.若,是无理数，则 是无理数 √ √ 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 34 [解析] 对于A，若，则或，故 不一定为0，故A为假命题； 对于B，若 ，则由不等式的性质可得 ，故B为真命题； 对于C，由菱形的性质可知菱形的对角线互相垂直，故C为真命题； 对于D，若,是无理数，则 不一定是无理数，如,，则 是有理数，故D为假命题.故选 . 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 35 14.若“方程有实数解”为真命题，则， 满足的条 件是_________________________________. ，或， [解析] ①当时，方程为 ，只有当时，方程才有实数解； ②当 时，方程 为一元二次方程，方程有实数解的条件为. 综上可得，当，或， 时，方程 有实数解. 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 36 15.（多选题）取整函数表示不超过的最大整数,如 , , ，取整函数在现实生活中有着广泛的应用.以下 关于“取整函数”的命题是真命题的有( ) A., B., C.,且, D.,, √ √ [解析] 对于A,当时, ,但,故A为假命题; 对于B,当 时, ,故B为真命题; 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 37 对于C,设 ,则,,所以 ,故C为真命题; 对于D,当,时, ,但 ,故D为假命题.故选 . 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 38 16.（15分）已知关于的方程 有实 根，关于的方程的解在 内. （1）若是真命题，求实数 的取值范围； 解：由，解得 ，由，解得 ，因为是真命题，所以的取值范围是 . 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 39 16.（15分）已知关于的方程 有实 根，关于的方程的解在 内. （2）若和中恰有一个是真命题，求实数 的取值范围. 解：由（1）知，当是真命题时，；当 是假命题时，或. 若为真命题，即关于 的方程 有实数根，则，解得，则为假命题时， . 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 40 当真假时，有解得；当假 真时，有解得 . 综上所述，和中恰有一个是真命题时， 的取值范围为 . 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 $