1.1 集合的概念与表示(PPT课件)-【满分思维】2026-2027学年高中数学必修第一册配套课件（苏教版）

1.1 集合的概念与表示 1 探究点一 集合与元素的概念 探究点二 集合的表示 探究点三 集合中元素的特性及应用 ◆ ◆ ◆ 课前预习 课中探究 课后习题 2 【学习目标】 1.能结合具体实例认识和识别什么是集合，对于给出的一些例子， 会判断哪些事物可以组成集合，哪些不能组成集合. 2.能在具体的情境中判断元素与集合的关系. 3.能够在简单的现实情境或数学情境中，抽象概括出数学对象的 一般特征，并用集合语言予以表达. 4.对于给定的具体情境，会用三种语言（自然语言、图形语言、 符号语言）表达所要研究的数学对象，并能进行转换. 5.在具体情境中，了解空集的含义. 3 知识点一 集合的相关概念 1.集合与元素的概念:一般地,一定范围内某些________________对象 的全体组成一个集合.集合中的每一个______称为该集合的元素,简称 ____. 确定的、不同的 对象 元 2.常用数集及表示符号 名称 非负整数集 （或自然数集） 正整数集 整数集 有理数集 实数集 记法 ___ ________ ___ ___ ___ 或 课 前 预 习 4 3.集合与元素之间的关系 关系 概念 记法 读法 属于 如果________________，那么 就说属于集合 ______ 属于 不属于 如果__________________，那 么就说不属于集合 ______或 ______ 不属于 是集合的元素 不是集合的元素 课 前 预 习 5 【诊断分析】 1.判断正误.（请在括号中打“√”或“×”） （1）平面上到, 两点的距离相等的点的全体可以组成一个集合. ( ) √ [解析] “平面上到, 两点的距离相等的点的全体”是确定的,能够组成集合. （2）苏教版必修第一册课本上所有的难题能够组成一个集合．( ) × [解析] “苏教版必修第一册课本上所有的难题”不是确定的，不能组成集合. 课 前 预 习 6 2.某中学高一年级16个班组成一个集合 . （1）高一（5）班、高三（5）班是集合 中的元素吗? 解：因为集合 是由高一年级16个班组成的,所以高一（5）班是集合中的元素,高三（5）班不是集合 中的元素. （2）若,,则元素, 有什么关系?为什么? 解：,是高一年级16个班中某两个不同的班. 因为集合 中的元素具有互异性,所以与 是不同的班. 课 前 预 习 7 知识点二 集合的表示法 1.列举法:将集合的元素一一列举出来,并置于_____________内，这 种表示集合的方法叫作列举法（注意元素间要用“,”隔开,如 ,0,1, ）. 花括号“” 2.描述法:将集合的所有元素都具有的______（满足的条件）表示出 来，写成_________的形式,这种表示集合的方法叫作描述法. 3. 图：为了直观地表示集合，我们常画一条______的曲线，用 它的______来表示一个集合，称为 图. 性质 封闭 内部 课 前 预 习 8 【诊断分析】 讨论下列说法是否正确． （1）集合，}与集合， } 表示同一个集合； 解：正确.两个集合都表示 到2之间的实数. （2）集合与集合 表示同一个集合. 解：错误.集合是点集，集合 是数集.不表示同一个集合. 课 前 预 习 9 知识点三 集合相等及分类、集合中元素的特性 1.集合相等 如果两个集合所含的元素__________（即中的元素______ 的元素, 中的元素也______ 的元素）,那么称这两个集合相等. 完全相同 都是 都是 2.集合的分类 有限集 含有______个元素的集合 无限集 含有______个元素的集合 空集 不含任何元素的集合称为______,记作___ 有限 无限 空集 课 前 预 习 10 3.集合中元素的三大特性 确定性：集合中的元素都是确定的. 互异性：集合中的任意两个元素都不相同. 无序性：集合中的元素没有顺序. 课 前 预 习 11 探究点一 集合与元素的概念 例1（1）[2026·上海海洋大学附中高一月考]下列说法正确的是 ( ) A.联合国安理会常任理事国能组成一个集合 B.我校很喜欢踢足球的同学能组成一个集合 C.由不大于3的自然数组成的集合中的元素为1，2，3 D.1，0，5，，，， 组成的集合中有6个元素 √ 课 中 探 究 12 [解析] 对于A，联合国安理会常任理事国包括中国、俄罗斯、英国、法国和美国，能组成一个集合，故A正确； 对于B，“很喜欢”不是一个明确的标准，具有不确定性，故我校很喜欢踢足球的同学不能组成一个集合，故B错误； 对于C，不大于3的自然数包括0，1，2，3，故C错误； 对于D，，，不同的数有1，0，5，， ，共5个，故D错误.故选A. 课 中 探 究 13 （2）给出下列关系：；； ； . 其中关系正确的个数为( ) A.1 B.2 C.3 D.4 [解析] 因为 是实数，所以①正确；因为2是整数，所以②正确；因为是正整数，所以③错误；因为 不是有理数，所以④错误. 所以关系正确的有2个，故选B. √ 课 中 探 究 14 变式（1）下列给出的对象可以组成一个集合的是( ) A.比较大的数 B.中国农业人才 C.地球上的七大洲 D.高中善于跳远的学生 [解析] 因为集合具有确定性，且比较大的数、中国农业人才、高中善于跳远的学生都是不确定的，所以A，B，D错误； 对于C，地球上的七大洲为亚洲、非洲、欧洲、北美洲、南美洲、大洋洲和南极洲，满足集合的特性，C正确.故选C. √ 课 中 探 究 15 （2）（多选题）由不超过5的实数组成集合，若 ，则 ( ) A. B. C. D. [解析] 对于A，因为，所以 ，所以A正确； 对于B，因为，所以 ，所以B错误； 对于C，因为，所以 ，所以C正确； 对于D，因为 ，所以，所以D正确.故选 . √ √ √ 课 中 探 究 16 ［素养小结］ （1）判断一组对象能组成集合的条件是能找到一个明确的标准，使 得对于任何一个对象，都能确定它是不是给定集合的元素. （2）判断元素和集合关系的两种方法 ①直接法：集合中的元素是直接给出的. ②推理法：判断该元素是否满足集合中元素所具有的性质即可. 课 中 探 究 17 探究点二 集合的表示 角度1 用列举法表示集合 例2 用列举法表示下列集合. （1）不大于10的非负偶数组成的集合； 解：因为不大于10是指小于或等于10，非负是大于或等于0的意思，所以不大于10的非负偶数组成的集合是 . （2）方程 的所有实数解组成的集合； 解：方程的实数解是或 ，所以方程的解组成的集合为 . 课 中 探 究 18 例2 用列举法表示下列集合. （3）直线与 轴的交点所组成的集合； 解：将代入，得，即直线与 轴的交点是，故直线与轴的交点组成的集合是 . （4）方程组 的解组成的集合. 解：解方程组得 所以方程组的解组成的集合为 . 课 中 探 究 19 角度2 用描述法表示集合 例3 用描述法表示下列集合： （1）大于 且小于7的所有整数组成的集合； 解：大于且小于7的整数可以用表示，它满足的条件是 且，因此集合可表示为 . （2）被3除余2的正整数组成的集合； 解：设被3除余2的数为，则， ，但要求元素为正整数，故， ，所以被3除余2的正整数组成的集合可表示为， }. 课 中 探 究 20 例3 用描述法表示下列集合： （3）方程 的解组成的集合. 解：由，解得， ，所以集合可表示为， . 课 中 探 究 21 变式 用适当的方法表示下列集合. （1）大于1且不大于17的质数组成的集合 ; 解： . （2）所有奇数组成的集合 ; 解：, }. （3）平面直角坐标系中,二次函数图象上的点组成的集合 ; 解： . （4）,, . 解：,,, . 课 中 探 究 22 ［素养小结］ 用描述法表示集合应注意以下三点： （1）写清楚该集合代表元素的符号．例如，集合<m></m>不能 写成<m></m>． （2）所有描述的内容都要写在花括号内． （3）在通常情况下，集合的代表元素的所属范围为实数集时可以省 略不写． 课 中 探 究 23 探究点三 集合中元素的特性及应用 例4（1）（多选题）[2026·北京东城区东直门中学高一月考] 下列集 合中，与集合， 相等的是( ) A. B. C.， D. [解析] 对于A，， ，A错误； 对于B， ，，B正确； 对于C， ，，，C错误； 对于D，只有当 或时，，故， ，D正确.故选 . √ √ 课 中 探 究 24 （2）[2026·江苏扬州大学附中高一期中] 已知集合， ， ，若，则 ____. [解析] 由，，，，可得 或. 若，则 ，此时不满足集合中元素的互异性，故舍去；若，则或 （舍去），当时，，，，符合题意.综上， . 课 中 探 究 25 变式（1）[2026·山西大同高一期中]由，,4组成一个集合 ， 若中含有3个元素，则实数 的值可以是( ) A.1 B. C.6 D.2 [解析] 当时，由，，4组成一个集合，则 中含有2个元素，故A错误； 当时，由， ，4组成一个集合，则中含有1个元素，故B错误； 当 时，由，，4组成一个集合，则 中含有3个元素，故C正确； √ 课 中 探 究 26 当时，由，，4组成一个集合，则 中含有2个元素，故D错误.故选C. 课 中 探 究 27 （2）设集合,,,,若,则 ___. 1 [解析] 因为,所以或. 若,则,此时集合 中的元素不满足互异性,舍去; 若,则,得 （舍去）或,此时. 所以,,所以 . 课 中 探 究 28 ［素养小结］ （1）对于求集合中字母参数的问题,常根据集合中元素的确定性得出 字母的所有可能取值,再利用集合中元素的互异性进行检验. （2）在利用集合中元素的特性解题时常用分类讨论思想,注意分类的 标准要明确. 课 中 探 究 29 康托尔是19世纪末20世纪初德国的伟大数学家、集合论的创立 者，是数学史上最富有想象力、最具有争议的人物之一.19世纪末， 他所从事的关于连续性和无穷的研究从根本上背离了数学中关于无 穷的使用和解释的传统，从而引起了激烈的争论乃至严厉的谴责， 然而数学的发展最终证明康托尔是正确的.他所创立的集合论被誉为 20世纪最伟大的数学创造，集合概念大大扩充了数学的研究领域， 给数学结构提供了一个基础，集合论不仅影响了现代数学，也深深 影响了现代哲学和逻辑. 数 学 文 化 30 课后习题 31 1.下列对象能构成集合的是( ) A.不等式 的解集 B.著名的数学家 C.非常接近0的数 D.面积非常小的三角形 [解析] 不等式 的解集是确定的，可以构成集合，故A正确； 著名的数学家，非常接近0的数，面积非常小的三角形都没有确定性，不能构成集合，故B，C，D错误.故选A. √ 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 32 2.下列关系中正确的是( ) A. B. C. D. [解析] 因为不是自然数，所以A错误；因为 ，不是正整数，所以B错误；因为是整数，所以C正确；因为 是实数，所以D错误.故选C. √ 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 33 3.[2026·江苏扬州树人中学高一月考]集合 ，则下列结论正确的是( ) A. B. C. D. [解析] 由题意可知，， ，所以，， .故选B. √ 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 34 4.[2026·江西赣州南康中学高一月考]下列四个集合中是空集的是( ) A. B. C.或 D. [解析] 对于A，含元素 ， 不是空集，故A错误； 对于B，无实数解，所以集合 是空集，故B正确； 对于C，集合或 不是空集，故C错误； 对于D，集合 ，所以 不是空集，故D错误.故选B. √ 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 35 5.已知集合，则用列举法表示 为( ) A.,0,1,2, B.,0,2, C. D. [解析] 由，得,或，即,2,4, ，又，,2,4，故 .故选C. √ 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 36 6.（多选题）下列各组中, 表示不同集合的是( ) A.,， B.， C.,，, D.,，, √ √ √ [解析] 选项A中，,是数集， 是点集，二者不是同一集合,故； 选项B中，与 表示不同的点，故； 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 37 选项C中，, ，,，故； 选项D中， 是二次函数,中所有组成的集合，而集合 是二次函数,图象上所有点组成的集合，故.故选 . 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 38 7.已知集合,，，若 中元素至多 有1个，则 的取值范围是_ ____________. 或 [解析] 当时，，解得 ，故集合中只有1个元素，符合要求； 当时，对于 ，需满足，即.综上，或 . 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 39 8.[2026·江苏怀仁中学高一期中] 已知集合，， , ，若，则实数 的值为___. 2 [解析] 由题意可知，集合，，,，且 ，则或，所以或或. 当 时，集合，，，，则，满足题意；当 时，集合，，，， ，不满足题意，舍去； 当时，集合，，，， ，不满足题意，舍去.综上，实数 的值为2. 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 40 9.（13分）选择适当的方法表示下列集合: （1）由不超过5的所有自然数组成的集合 ； 解：利用列举法可表示为 . （2）不等式的解集 ； 解：利用描述法可表示为 . （3）平面直角坐标系中第二象限的点组成的集合 ; 解：利用描述法可表示为, . （4）二次函数的图象上所有的点组成的集合 ; 解：利用描述法可表示为 . 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 41 9.（13分）选择适当的方法表示下列集合: （5）方程 的解组成的集合. 解：由,得所以 所以方程 的解组成的集合用描述法可表示为 . 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 42 10.（13分）集合中有三个元素,,，集合 中有三 个元素0,2, . （1）若，求实数 的值； 解：由，得或或 . 当时，或2；当时， ； 当时， . 经检验，当与时都满足题意，当 时不满足集合元素的互异性，故当时，实数的值为或 . 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 43 10.（13分）集合中有三个元素,,，集合 中有三 个元素0,2, . （2）若，求实数 的值. 解：由，得或或 . 当时，，不满足集合元素的互异性，舍去； 当 时，满足题意； 当时，（舍）或，当 时，满足题意. 综上所述，若，则实数 的值为1或2. 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 44 11.由实数，，， 所组成的集合最多含有的元素个数为 ( ) A.1 B.2 C.3 D.4 [解析] 当时，，，，均为0，此时由，， ，所组成的集合含有1个元素； 当时， ，，此时由，，， 所组成的集合含有2个元素； 当时，，，此时由，，， 所组成的集合含有2个元素.故选B. √ 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 45 12.（多选题）已知集合, ,, ，且，， ，则( ) A. B. C. D. [解析] 设,, ，则 ，故A错误，C正确； ，故B正确； ，故D正确.故选 . √ √ √ 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 46 13.[2026·江苏无锡辅仁中学高一月考] 已知数集， ,， ，2，，若，则 ___. 1 [解析] 数集，,，，2，，若 ，易知，则或. 若，则，此时 ，1，，，2，，符合题意； 若，则 ，2，，，2，，，不符合题意.综上， . 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 47 14.[2026·上海浦东新区上南中学高一月考] 已知 ，集合 的元素中恰有两个是整数，则 的取值范围 是 _ _________________. 或 [解析] 因为集合 的元素中恰有两个是整数，所以，解得. ①当 时，集合中的两个整数分别为2，3，则，解得 ； ②当时，，符合题意. 综上所述，实数 的取值范围是或 . 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 48 15.（15分）[2026·湖北黄石七中高一月考] 设集合 满足：若 ，则 . （1）若，则 中还有几个元素？求出这几个元素. 解：若，则 ，则，则 ，所以中还有2个元素，分别为， . 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 49 15.（15分）[2026·湖北黄石七中高一月考] 设集合 满足：若 ，则 . （2） 能否为单元素集合？请说明理由. 解： 不能为单元素集合，理由如下:假设为单元素集合，即存在唯一元素,使得 ，整理得 ， 由于 ，所以此方程无解，假设不成立，所以 不能为单元素集合. 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 50 15.（15分）[2026·湖北黄石七中高一月考] 设集合 满足：若 ，则 . （3）若，求证: . 证明：若，则 ，则 . 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 51 $