重庆市第八中学校2026-2027学年高三上学期9月阶段检测数学试题

数学试卷 注意事项： 1. 答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答题卡上填写清楚． 2.每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．在试题卷上作答无效． 3.考试结束后．请将本试卷和答题卡一并交回．满分150分，考试用时120分钟． 一、单项选择题 （本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 是角 为第二象限角的（ ）． A. 充要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分又不必要条件 2. 已知 的内角 的对边分别为 ,则 （ ）． A. B. C. D. 3. 已知 ,则 （ ）． A. 3 B. -3 C. D. 4. 记 为等差数列 的前 项和, ,则 （ ）． A. 7 B. 6 C. 5 D. 4 5. 甲、乙、丙、丁、戊 5 人站成一排, 若甲和乙相邻, 且甲和丙不相邻, 则不同的排列方式共有（ ）． A. 24 种 B. 30 种 C. 36 种 D. 42 种 6. 已知函数 ,则 在 内的极大值点为（ ）． A. B. C. D. 7. 已知 ,则 的值是（ ）． A. B. C. D. 8. 若对任意 ,则实数 的值可以是（ ）． A. B. C. D. 二、多项选择题 （本大题共3小题, 每小题 6 分, 共 18 分. 在每小题给出的选项中, 有多项是符合题目要求的. 全部选对的得 6 分, 部分选对的得部分分, 有选错的得 0 分） 9. 已知幂函数 的定义域不为 ,则（ ）． A. B. C. 为偶函数 D. 对任意正数 ,都有 10. 设 ,则（ ）． A. 当 为奇函数时, 不是单调函数 B. 当 为奇函数时, 的值域为 C. 当 为偶函数时, D. 当 为偶函数时, 的最小值为 -1 11. 已知函数 ,且 在 内有最大值, 没有最小值, 则下列结论正确的有（ ）． A. B. 在 上有且仅有 1 个零点 C. 若 ,则 D. 函数 的所有零点之和为 三、填空题 （本大题共 3 小题, 每小题 5 分, 共 15 分） 12. 设 ,则 的最小值为_____． 13. 已知将函数 的图象向左平移 个单位后,所得的函数图象关于点 中心对称,则实数 _____． 14. 已知函数 ,设 ,若 有三个零点，则 的取值范围是_____． 四、解答题 （共 77 分、解答应写出文字说明, 证明过程或演算步骤） 15. （本小题满分 13 分） 为探究高三学生每天使用 AI 辅助学习时间与数学成绩之间的关系, 某市重点中学随机抽取了 200 名高三学生开展问卷调查, 将数学成绩分为优秀、合格、不合格 3 个等级, 统计数据如下: 组别 数学成绩优秀 数学成绩合格 数学成绩不合格 合计 AI 辅助学习时间达到 30 分钟 70 42 8 120 AI 辅助学习时间不足 30 分钟 30 48 2 80 合计 100 90 10 200 （1）填写如下列联表： 组别 数学成绩优秀 数学成绩非优秀 合计 AI 辅助学习时间达到 30 分钟 AI 辅助学习时间不足 30 分钟 合计 现从被调查的 200 名学生中任选一人, 表示事件 “选到的人数学成绩优秀”, 表示事件“选到的人每天使用 AI 辅助学习时间达到 30 分钟”，求 的值； （2）依据小概率值 的独立性检验，分析高三学生每天使用 AI 辅助学习时间与数学成绩优秀是否有关． 附: ． 0.050 0.010 0.001 3.841 6.635 10.828 16. （本小题满分15分） 如图，在棱长为 2 的正方体 中, 为棱 的中点, 为棱 的中点． （1） 求证: 平面 ； （2）求平面 与平面 所成角的余弦值． 17.（本小题满分15分） 已知抛物线 的焦点为 ,抛物线上一点 到点 的距离为 2． （1）求抛物线上的动点 到直线 的最小距离； （2）设 是抛物线 上异于原点 的两个不同点，直线 和 关于 对称，证明:直线 恒过定点,并求出该定点的坐标． 18. （本小题满分17分） 已知锐角 的内角 的对应边分别为 , 如图， 分别在边 上,且 为等边三角形． （1）求 的值及 ； （2）证明: ； （3）求边 的最小值. 19. （本小题满分 17 分） 已知定义在 上的三个函数 ,其中 的图象关于直线 对称． （1）求 的单调区间； （2）若对任意的 ，都有 ，求实数 的取值范围； （3）若方程 有两个不等实根 ,求证: ． 数学参考答案 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 C A A D C B A C 【解析】 1.由题意可知，角的终边不在坐标轴上．若角为第二象限角，则； 若，角为第二或第四象限角． 因此，是角为第二象限角的必要不充分条件，故选C． 2.，，故， 由正弦定理得，即， ∴，故选A． 3.由题意得，则， 则，故选A． 4.因为数列为等差数列，则， 即，且，则， 可得公差，所以，故选D． 5.甲丙两人插剩余三人空，考虑甲乙相邻，则排法数为，则满足要求的方法数为36种． 也可以仅考虑甲乙相邻排法数为，甲与乙相邻且甲与丙相邻排法数为， 则满足要求的方法数为，故选C． 6.， 故， 且时，，单调递增； 时，，单调递减； 时，单调递增，所以在内的极大值点，故选B． 7.因为，， 所以 ， 所以．， 所以， 所以，故选A． 8.已知条件等价于恒成立， 设，则， 故时，，单调递减；时，，单调递增； 故有最小值． 同理：设，则在上单调递增，上单调递减， 故有最大值， 故时，，，，选项中只有满足，故选C． 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．） 题号 9 10 11 答案 BCD BD ACD 【解析】 9.由幂函数的定义可得：或1， 又由于定义域不为R，故，且为偶函数． 对于D，，，， 因为正数，，故有，故D正确，故选BCD． 10.当为奇函数时，，， 为单调（递增）函数，故A错误； 且时，，时，，故的值域为R，故B正确； 当为偶函数时，时，， 故，故C错误； 对于D，设，则， 故， 当时，取得最小值为，故D正确，故选BD． 11.A 由，得，， 设，，则． 由于在内有最大值，没有最小值， 不妨取，，则， 故，解得； B.令，得， 令，，得，，所以在上有2个零点； C.，得， 因为，得，， 因此，，得，， 所以，，且， 所以， 故， ，得； D.令，有， 得或， 解得或， 故零点依次为，，或，，，，， 所以各零点和为，故选ACD． 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 题号 12 13 14 答案 6 【解析】 12.由，，得， 当且仅当，即时取等号． 13.法一：， 左平移个单位得到， 其关于中心对称则有，， 故． 法二：平移后， 由于其定义域为R，又关于中心对称， 故，故． 14.的定义域为，， 注意到，， 由的定义知，，， 零点首先必为或的零点． 由于时，，，故在内无零点； 时，，，若，则；若，则； 时，，故在内的零点即为的零点； 由于在内的零点即为的根（最多2个）， 所以：要使得有三个零点，在这三个零点的构成为0，，， 其中，为的两个正根，故． 四、解答题（共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．） 15.（本小题满分13分） 解：（1） 组别 数学成绩优秀 数学成绩非优秀 合计 AI辅助学习时间达到30分钟 70 50 120 AI辅助学习时间不足30分钟 30 50 80 合计 100 100 200 ，． （2）零假设：高三学生每天使用AI辅助学习时间与数学成绩优秀无关（即两个分类变量相互独立）． ， 根据小概率值的独立性检验，我们推断不成立，即认为每天使用AI辅助学习时间与数学成绩优秀有关联，此推断犯错误的概率不超过0.01． 16.（本小题满分15分） （1）证明：如图，记CD的中点为G，连接AG，GF，GF交于点H，连接EH． 因为G，F分别为棱CD，的中点，所以四边形为平行四边形． 又因为E，H分别为，GF的中点，所以． 因为平面，平面，所以/平面． （2）解：以D为坐标原点，的方向为x轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系． 由已知可得，，，，， ，，． 设是平面BCE的法向量，则， 即，那么可取． 设是平面的法向量，则，即， 那么可取． 所以． 17.（本小题满分15分） （1）解：法1：由抛物线定义可知，得， ∴抛物线方程． 令点，则点P到直线l的距离 ， 当且仅当时取等号． 所以动点P到直线的最小距离为． 法2：由抛物线定义可知，得， ∴抛物线方程． 抛物线，其切线斜率为，要与直线平行， 所以，，．切点为，切线为． 直线与的距离． 因此最小距离为． （2）证明：设，， 则直线OA的斜率为，直线OB的斜率为． 由于直线OA与OB关于对称，所以，即， 所以． （提示：的证明可用三种方法． 法1：到角公式，化简得； 法2：OA与OB的倾斜角，满足，即， 所以，得； 法3：设关于直线的对称点为，则， 所以，即，得．） 法1.设，，由题意得，且， 则直线AB的斜率存在，从而可设AB方程为，显然，， 将与联立消去y，得，， 由韦达定理知x，可得， 所以AB方程为，可知直线AB恒过定点． 法2.由前面已得，直线AB的斜率为， 所以直线AB的方程为， 化简． 又，所以， 所以直线AB恒过定点． 法3.由于直线OA与OB关于对称，所以． 设直线OA的斜率为k，则直线OB的斜率为． 直线，与联立， 解得或，所以． 同理，直线，与联立， 解得或，所以． 直线AB的斜率为， 于是直线AB的方程为， 化简得． 所以直线AB恒过定点． 18.（本小题满分17分） （1）解：因为， 所以， 解得或（舍去），所以． ． （2）证明：，∴． （3）解：记，， 设，，，，， ，． ， ， 取等． 19.（本小题满分17分） （1）解：若的图象关于直线对称， 则有， 故，所以也为的对称轴，故． 故，由于与均在上单调递减， 所以在上单调递减，同理，在上单调递增． （2）解：即对任意的，都有成立， 由对称性，只需要在上成立即可， 令，知，现证时命题成立． 又由，，只需证即可． 令，，． 由于在上单调递减，，， 故存在使得，且上，单调递增， 上，单调递减． 又，，则，故存在， 使得，且上，单调递减， 上，单调递增， 而，故，所以． （3）证明：由（2）知， 故． 不妨设，记的两根为， 则，， 故有． 现证和， 由，，故． 又，，均位于的单调递减区间， 由知，同理可得， 故，，，命题得证． 补充（3）法二： 由于函数的图象关于对称， 不妨设方程的两根，满足， 且，故． 由，要证， 即证． 即证， 由第（2）问，上式已成立，故原命题成立． 学科网（北京）股份有限公司 $