重庆市第八中学校2026-2027学年高三上学期9月阶段检测数学试题

数学参芳答案 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的) 题号 2 3 5 6 答案 C A A D C B A C 【解析】 1.由题意可知，角0的终边不在坐标轴上.若角0为第二象限角，则tan0<0;若tan0<0, 角0为第二或第四象限角.因此，tanB<0是角0为第二象限角的必要不充分条件，故选C. 2.∠A=1358,∠B=15°，故∠C=180-1350-15°=30°，由正弦定理得4B=BC ，即 sinC sinA BC S030°=125o,·BC=×2=2√2，故选A 12 3.由题意得2(sina-cosa)=sina+cosa,则sina=3cosa,则tana=snc=3,故选A cosa 4.因为数列{an}为等差数列，则S4=2(a+a4)=20,即a,+a4=10,且a=2,则a4=8, 可得公差d=a-4=2,所以a=4+d=4,故选D. 4-1 5.甲丙两人插剩余三人空，考虑甲乙相邻，则排法数为A·A,·A;=36,则满足要求的方法 数为36种.也可以仅考虑甲乙相邻排法数为A?·A4=48,甲与乙相邻且甲与丙相邻排法 数为A?·A=12,则满足要求的方法数为48-12=36，故选C. 6.f'(x)=2f'(0)cos2x+1→f'(0)=2f'"(0)+1→f'(0)=-1,故f(x)=x-sin2x→f'(x)= 1-2o2x±)=0且e（至君时，>0，f0)单调递增： xe(名君时，f<0,)单调递减：e(后时， f(x)单调递增，所以f(x)在 (受引内的极大值点- ,故选B. 6 数学参考答案·第1页（共11页） 口■■口口■口■■■口 7.因为tana+tanB=3,a+B=T,所以sina+sinB_sina cosB+-sin Bcosa_ sin(a+B) 4 cosa cos B cosacos B cosa cos B Sin a √2 4 2 cosacos B cosacos B =3，所以cosc= cos(a+B)=cosacos B-sinasin B 6 =,所以sinasin B2-号=-3，所以cos(a-P月=cos a cosB+sin asin =巨22 故选A. 63 6 8.已知条件等价于 任-小恒成立，设兰，则，故 x2 x∈(0,1)时，f"(x)<0,f(x)单调递减：x∈(1，+o)时，f'(x)>0,f(x)单调递增；故f(x) 有最小值f0=e.同理：设g=nx,则g(x)在(0，e)上单调递增，(e,+0)上单调递减， 故g)有最大值ge)=,故≤a≤e时，g-≥0，n-a≤0， e e ms-a)o 选项中只有。满足，故选C 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有 多个选项是符合题目要求的，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 题号 9 10 11 答案 BCD BD ACD 【解析】 9.由幂函数的定义可得：22+2k-3=1一k2+k-2=0三k=-2或1，又由于f(x)定义域不 为R,故=-2今)=子→0=1，且)为偶函数，对于D, 1 =(x+x2)2, f(+x) 1 )=X足，、三x,因为正数px,故有(x+=x+发+2x>x+号，故D正 确，故选BCD. 10.当)为奇函数时，k=-1,)=e-e門→)=e+e)>0,f)为单调（递 增)函数，故A错误；且x→-o时，f(x)→-0，x→+o时，f(x)→+o,故f(x)的值 域为R,故B正确；当f(x)为偶函数时，k=1时， 数学参考答案·第2页（共11页） 口■■口口■口■■■口 f)e+e)→f2)=e2+e故f2)=2fa)-l,故C错误：对于D,设 1=e+ee2则r-2=e+e,故0)-2e-2)-1--3≥2 当1=2时，f(2x)-2f(x)取得最小值为-1，故D正确，故选BD. 1A由o-a+角am引片+哥引片a=am号 8=©m+君引-骨则em4=s8-子由于在(mm+引内有级大值，设有最 小值，不取=-+2,8-+2a,则△0=4-日=故- 3 ，解得 63 0=4:B.令4x-于x+2,得x=子经ke,令=0-，得x=骨名所以 3 2 在引有2个点：c)=)手0om胃引=o如r骨引=号 3 3 2 <骨，得旺引低四所以sm4到 m4}专·且24-0（受0）·所以o2-训>0故 到m引m4引4卦ma引 2c0s2(2x-2x2)-1=cos(4x-4x2) 得cos(2x-2x,)=号 3；D 令 8=--}-10，有x引m引m-}得 4-=x-+2或4x-= 3 +2年+2m,解得x=-+2或x=+2,故零点 3 9+3 5 5 .7π9π 版次为玩11斤1或号，行，所以各零点和为 9’9’91 3 故选ACD 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 题号 12 13 14 答案 6 5 a∈(0,1) 3 数学参考答案·第3页（共11页） 口■■口口■口■■■口 【解析】 2.由a>06>0,得如20-2+名+02+22号 .o=2+46,当且仅当白-如 a b a b a b 即b=2a时取等号. 13.法一：f)=asn2x+cos2x=厅+1sn2x+0)，左平移胥个单位得到 x+引m2x++,其关于（侵0 中心对称则有 π+ 3 3 ,tmn==5,故a= 3 法二，半移后g=am2x+)+2x+),由于其定义拔为R,又关于 3 14.h(x)的定义域为(-1，+o),f(0)=0,注意到g(-1)=0,g(x)=(x+1)x2-2x+a),由h(x) 的定义知，h(x)≤f(x),h(x)≤g(x),h(x)的零点首先必为f(x)或g(x)的零点.由于 x∈(-l,0)时，f(x)<0,hx)≤f(x)<0，故f(x)在(0，)内无零点： x=0时，f(0)=0,g(0)=a,若a≥0，则h0)=0:若a<0,则h0)=a<0: x∈(0，+o)时，f(x)>0,故f(x)在(0，+o)内的零点即为g(x)的零点；由于 g(x)=(x+1)(x2-2x+a)在(0，+o)内的零点即为x2-2x+a=0的根（最多2个），所以： 要使得h(x)有三个零点，在这三个零点的构成为：0，x2,x3,其中x2,x为x2-2x+a=0 a≥0 △=4-4a>0 的两个正根故 →ae(0,1). x1+x2=2>0 xx=a>0 四、解答题（共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15.(本小题满分13分) 解：(1) 组别 数学成绩优秀 数学成绩非优秀 合计 AI辅助学习时间达到30分钟 70 50 120 AI辅助学习时间不足30分钟 30 50 80 合计 100 100 200 (2分) 数学参考答案·第4页（共11页） 口■■口口■口■■■口 4-把四子44.03 …(6分) P(B)120121 PB)808 (2)零假设H:高三学生每天使用AI辅助学习时间与数学成绩优秀无关（即两个分类变 量相互独立). …(7分) 200×(70×50-50×30)225 ≈8.333>6.635，…(11分) 120×80×100×100 3 根据小概率值=0.01的独立性检验，我们推断H。不成立，即认为每天使用AI辅助学习 时间与数学成绩优秀有关联，此推断犯错误的概率不超过0.01.…(13分) 评分标准附加： (1)只有最后结果无过程-2分，没有体现条件概率公式-2分，若用缩小样本空间的方法 说明样本点个数之比的不扣分。 (2)卡方没有列式-2分，零假设不规范-1分，下结论不完整-1分。 16.(本小题满分15分) (1)证明：如图1，记CD的中点为G,连接AG,GF,GF交CD 0 于点H,连接EH. 因为G,F分别为棱CD,C,D的中点，所以四边形AGFA为平 行四边形， 又因为E,H分别为AA,GF的中点，所以AF∥EH· 图1 因为AFE平面CD,E,EH∈平面CD,E, 所以AF∥平面CDE.… …(4分)》 (2)解：以D为坐标原点，DA的方向为x轴正方向，建立如 图2所示的空间直角坐标系D-z· 由已知可得， B(2,2,0),C(0,2,0),D(0,0,2),E(2,0,1), CD=(0,-2,2),CE=(2,-2,1),BC=(-2,0,0). m·BC=0 设m=(x,为)是平面BCE的法向量，则 即 图2 m.CE=0 2x-2y+:=0'那么可取m=(0,12). -2x=0 设n=(p,9,r）是平面CD,E的法向量， 则 n.C0=0,即24+2r=0 n.CE=02p-2q+r=0 那么可取n=(1,2,2). 数学参考答案·第5页（共11页） 口■■口口■口■■■口 所以cos(m,)= m.n 0+2+4 625 mlV0+1P+22.√1P+22+223√5 5 …（15分) 评分标准附加： (1)未注明AF平面CDE-1分： (2)未说明建系过程-1分，求法向量未写出代数式，每个-1分. 17.(本小题满分15分) (1)解：法1：由抛物线定义可知：1MF=1+2=2,得P=2, 2 ∴.抛物线方程x2=4y.… (3分) 令点P4 则点P到直线I的距离 4 d 1G-22+4_-2+4互 v3 4√2 45 2 当且仅当x。=2时取等号. 所以动点P到直线ky=x-2的最小距离为 …(6分) 2 法2：由抛物线定义可知：1MF=1+2=2,得p=2, 2 .抛物线方程X2=4y.…(3分) 抛物线y=, 4 ·其切线斜率为y),要与直线：y=x-2平行 所以1，=2=1 切点为P(2,),切线为y=x-1 直线y=x-2与y=x-1的距离d=巨 因此最小距离为巨 ,…………(6分) 2)证明：设叫 则直线OA的斜率为k=,直线OB的斜率为 4 数学参考答案·第6页（共11页） 口■■口口■口■■■口 由于直线OA与OB关于y=-x对称，所以kk=1,即.立=1， 44 所以xX3=16.… …（10分) (提示：kk2=1的证明可用三种方法， 法1.到角公式： k2-(-1)(-)-k +k1+仁派，化简得= 法2.OA与0B的倾斜角a,B满足a+B,即B=江一&， 2 所以k2=tanB=tan 3π 11 ana无，得kk=l: 法3.设A(x,y)关于直线y=-x的对称点为A',则A(--x), 所以kr=k,即二主-上，得kk=1) -y x2 法1.设A(x,y》B(x乃)，由题意得x≠0，且≠五， 5 则直线AB的斜率存在，从而可设B方程为y=x+b,显然y:片4 将y=kc+b与x2=4y联立消去y,得x2-4x-4b=0,△=16k2+16b>0, 由韦达定理知x·X2=-4b=16,…(12分) 可得：b=4,…（14分) 所以AB方程为y=x-4,可知直线AB恒过定点(0，-4).…(15分) 法2.由前面已得：xx2=16, 为22 直线AB的斜率为44=与+生】 x2-x4 所以直线AB的方程为y 王=+3(x-x) 4 4 化简：y=+龙x- x x2 …(12分) 4 4 又x5=16,所以y=+x-4, …(14分) 4 所以直线AB恒过定点(0，-4).…(15分) 法3.由于直线OA与OB关于y=-x对称，所以ko4koB=1.…(10分) 数学参考答案·第7页（共11页） 口■■口口■口■■■口 设直线O1的斜率为k,则直线OB的斜率为云 直线OA:y=,与x2=4y联立：x2=4, 解得x=0或x=4k,所以A(4k,4K2). 4 同理，直线OBy=,与=4y联立：=， k 解得x=0或x= ,所以B 44 K2 …（12分) 4 42 直线AB的斜率为 k2 一=k+ 4 -4k 于是直线B的方程为y-4=（k+》x-4)。 化简得：y= k+x-4 …（14分) 所以直线AB恒过定点(O,-4) (15分) 说明：1.最值取等条件没说扣1分： 2.得出kk=1有三种方法，只写结论不写证明过程扣1分： 3.每问中不作答扣1分. 18.(本小题满分17分) (1)解：因为cos2A-√3sinA+2=0, 所以-2sin2A-√5sinA+3=0,… (2分) 解得nA=5或nA=-万（合去，所以4=吾 .…(4分) 3 3 5 …(6分) (2)证明：∠AD+背∠FDE+∠BDE=∠BDE+骨∠FD=∠BDE … …(9分) (3)解：记∠ADF=∠EFC=a,∠BDE=∠DFA=B, 设BE=m,EC=n,DE=x, m x n sinB sin B'sina sinC 数学参考答案·第8页（共11页） 口■■口口■口■■■口 m+n=a= sinB sina asin B x+ X,x= -(sin B=v3sinC). sin B sinC sin B sina sinB+√3sina sin B sinC …(13分) bsinA r= …(15分) sin 2π 3 -a+sina 4+万 2 54+万 5V4+万 2l25+-)sina+5osa个 (2+1)+3sin(a+o)24+sin(a+o) 2 5 tan= 取等. (17分) 2√5+1 评分标准附加： (1)A角求出来没舍去的-1，只列出余弦定理没解出来具体值-2分： (2)证明出来给满分，没证明出来不给分： (3)没取等-1分，若有其他解法酌情给分. 19.(本小题满分17分) (1)解：若F(x)的图象关于直线x=对称， 则有F行及=位+-sm经+f传小sm段 故/传+及列所以x=也为)的对称销，故a=-1. …(2分，未说明理由扣1分) 故F(x)=x2-x-sin元x,由于f(x)与-g(x)均在0， 上单调递减， 所以F(x)在 0习上单调递减，同理，F)在】 上单调递增 …(4分) (2)解：即对任意的x∈[0,1]，都有x2-x-ksin≤0成立， 由对称性，只需要x2-x-ksin元r≤0在x∈ 0,2 上成立即可， 令x=二，知k≥ …(5分) 2 现证k≥-时命题成立。 数学参考答案·第9页（共11页） 口■■口口■口■■■口 又由位- ，sn0,只需证-x+sn≤0即可。 1 令h(x)=x2-x+-sinr, h)=2x-1+os,M到=2- ……(6分) 由于h'(x)在 上单调递减，(O)=2>0, 故存在0<m<号使得h'(m)=0,且(0，m)上h(x)>0,hx)单调递增， 叫，】上)<0，)单调递减，…(8分》 又h0)=-1+<0， 2 0,则hm)>0,故存在0<m<2 使得h(m,)=0,且(O,m,)上h(x)<0,h(x)单调递减， m2:2 上h(x)>0,h(x)单调 递增，… …(10分) 面0=)-0，放0，所以2产-号 …(11分)》 (3)证明：由(2)知-sin元r≥4(x2-x), …(13分) 不妨设0≤，<7<，记G(x)=b的两根为0Sx<)<1, 4b1 故有x-=2+4 b,1 …（14分) 现证x'≤x和x2≥x [F(x)≥G(x) 由F(x)≥G(x),x∈[0,1]，故 →G(x')≥G(x) b=F(x)=G(x) 又0长<兮05气<分均位于G的单调递减区间， 数学参考答案·第10页（共11页） 口■■口口■口■■■口 由G(x')≥G(x)知x'≤x,同理可得x'≥x2 故x≤x,x2≥x2,x2-x≤x-x= 46 +1,命题得证.…(17分) 补充(3)法二： 由于函数F)的图象关于x=对称，不妨设方程Fx)=b的两根X，x,满足 0s5. 且x+x2=1,故x32-x=1-2x·… …(13分) 由F(x)=b→b=x2-x,-sinx,要证|x1-x2 +1 即证0-2x≤x-sm)+.- …(15分) -X≤4sin…（ 由第(2)问，上式已成立，故原命题成立.…(17分) 评分标准附加： (1)问只给a=-1,未出说明理由，或者赋具体值得到a=-1,未证明对任意x∈[0，] 成立扣1分： (3)问中法一直接由由F(x)≥G(x)得到x≤x,x≥x2,或者借助图象，无代数证明， 均需扣3分 数学参考答案·第11页（共11页） 数学试卷 注意事项: 1. 答题前, 考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答题卡上填写清楚. 2. 每小题选出答案后, 用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑, 如需改动, 用橡皮擦干净后, 再选涂其他答案标号. 在试题卷上作答无效. 3. 考试结束后, 请将本试卷和答题卡一并交回. 满分 150 分, 考试用时 120 分钟. 一、单项选择题 (本大题共 8 小题, 每小题 5 分, 共 40 分. 在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的) 1. 是角 为第二象限角的 A. 充要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分又不必要条件 2. 已知 的内角 的对边分别为 ,则 A. B. C. D. 3. 已知 ,则 A. 3 B. -3 C. D. 4. 记 为等差数列 的前 项和, ,则 A. 7 B. 6 C. 5 D. 4 5. 甲、乙、丙、丁、戊 5 人站成一排, 若甲和乙相邻, 且甲和丙不相邻, 则不同的排列方式共有 A. 24 种 B. 30 种 C. 36 种 D. 42 种 6. 已知函数 ,则 在 内的极大值点为 A. B. C. D. 7. 已知 ,则 的值是 A. B. C. D. 8. 若对任意 ,则实数 的值可以是 A. B. C. D. 二、多项选择题 (本大题共 3 小题, 每小题 6 分, 共 18 分. 在每小题给出的选项中, 有多项是符合题目要求的. 全部选对的得 6 分, 部分选对的得部分分, 有选错的得 0 分) 9. 已知幂函数 的定义域不为 ,则 A. B. C. 为偶函数 D. 对任意正数 ,都有 10. 设 ,则 A. 当 为奇函数时, 不是单调函数 B. 当 为奇函数时, 的值域为 C. 当 为偶函数时, D. 当 为偶函数时, 的最小值为 -1 11. 已知函数 ,且 在 内有最大值, 没有最小值, 则下列结论正确的有 A. B. 在 上有且仅有 1 个零点 C. 若 ,则 D. 函数 的所有零点之和为 三、填空题 (本大题共 3 小题, 每小题 5 分, 共 15 分) 12. 设 ,则 的最小值为_____. 13. 已知将函数 的图象向左平移 个单位后,所得的函数图象关于点 中心对称,则实数 _____. 14. 已知函数 ,设 ,若 有三个零点，则 的取值范围是_____. 四、解答题 (共 77 分、解答应写出文字说明, 证明过程或演算步骤) 15. (本小题满分 13 分)为探究高三学生每天使用 AI 辅助学习时间与数学成绩之间的关系, 某市重点中学随机抽取了 200 名高三学生开展问卷调查, 将数学成绩分为优秀、合格、不合格 3 个等级, 统计数据如下: 组别 数学成绩优秀 数学成绩合格 数学成绩不合格 合计 AI 辅助学习时间达到 30 分钟 70 42 8 120 AI 辅助学习时间不足 30 分钟 30 48 2 80 合计 100 90 10 200 (1)填写如下列联表: 组别 数学成绩优秀 数学成绩非优秀 合计 AI 辅助学习时间达到 30 分钟 AI 辅助学习时间不足 30 分钟 合计 现从被调查的 200 名学生中任选一人, 表示事件 “选到的人数学成绩优秀”, 表示事件 “选到的人每天使用 AI 辅助学习时间达到 30 分钟”,求 的值; (2)依据小概率值 的独立性检验，分析高三学生每天使用 AI 辅助学习时间与数学成绩优秀是否有关. 附: . 0.050 0.010 0.001 3.841 6.635 10.828 16. (本小题满分 15 分)如图 1,在棱长为 2 的正方体 中, 为棱 的中点, 为棱 的中点. 图 1 (1) 求证: 平面 ; (2)求平面 与平面 所成角的余弦值. 17. (本小题满分 15 分)已知抛物线 的焦点为 ,抛物线上一点 到点 的距离为 2 . (1)求抛物线上的动点 到直线 的最小距离； (2)设 是抛物线 上异于原点 的两个不同点，直线 和 关于 对称，证明:直线 恒过定点,并求出该定点的坐标. 18. (本小题满分 17 分)已知锐角 的内角 的对应边分别为 , 如图 分别在边 上,且 为等边三角形. 图 2 (1)求 的值及 ; (2)证明: ； (3)求边 的最小值. 19. (本小题满分 17 分)已知定义在 上的三个函数 ,其中 的图象关于直线 对称. (1)求 的单调区间； (2)若对任意的 ，都有 ，求实数 的取值范围； (3)若方程 有两个不等实根 ,求证: . 学科网（北京）股份有限公司 $