2027年河北省中考数学一轮专项复习 尺规作图-6类基础考点

尺规作图-6类基础考点 目录 尺规作图-6类基础考点 1 思维导图 2 考情分析 3 考点1：作线段 4 1. 作已知线段的相等线段 4 2. 作已知线段的和 6 3. 作已知线段的差 8 4. 作已知线段的倍 11 5. 作已知线段的分 13 考点2：作角 16 1. 作已知角的等角 16 2. 作已知角的和 18 3. 作已知角的差 19 4. 作已知角的倍 21 考点3：作已知角的角平分线 22 考点4：作线段的垂直平分线 26 考点5：过一点作已知直线的垂线 29 1. 点在直线上 29 2. 点在直线外 31 考点6：过直线外一点，作已知直线的平行线 35 中考数学 平面几何专题 尺规作图 1 学科网（北京）股份有限公司 思维导图 学习目标 (1) 掌握六类基础尺规作图的方法； (2) 熟练掌握尺规作等角、等线段、平行线、垂线的做法； (3) 理解尺规作图的原理 学习重难点 (1) 利用尺规作线段三等分点； (2) 对作图步骤进行理解记忆； 考情分析 在河北中考数学中，作线段、作角、作角平分线、作线段垂直平分线、过一点作已知直线的垂线、过直线外一点作已知直线的平行线这六大基础尺规作图，是全部尺规作图题型的底层工具，整套内容围绕“用圆规截取等长、构造全等”这一核心逻辑展开，命题很少孤立考查单一作图步骤，多以痕迹识别、原理判断、性质应用、综合构造为主要方向。 题型分布上，这类基础作图相关设问以选择题、填空题为主，偶尔在解答题的小问中出现，分值多为2~4分；命题重点不再是机械默写作图流程，偏向给出作图圆弧痕迹，让学生判断作图目的、写出作图依据，或是依托作图得到的等线段、等角、垂直、平行、距离相等的结论，结合全等、三角形、圆的性质求解角度与边长。 阅卷有统一硬性要求：必须完整保留圆弧等作图痕迹，无痕迹会直接扣分，同时严格区分实线、虚线，是稳定的失分点。其中角平分线、线段垂直平分线、过点作垂线的综合考查频次更高，常延伸到找圆弧圆心、三角形外心内心、作三角形的高、圆的切线等复杂作图；作线段、作角、作平行线更多作为配套构造手段，服务于三角形作图、平行与相似类几何题。 备考层面，核心是吃透作图背后的几何依据（SSS全等、垂直平分线性质、角平分线性质、平行线判定、等腰三角形三线合一等），不能只背画法，同时区分不同作图的圆弧取法，规避弧半径不一致、交点缺失、钝角三角形高画错位置等典型错误，六大作图融会贯通，才能应对河北中考里三角形、圆、网格无刻度作图等衍生几何题型。 考点1：作线段 1. 作已知线段的相等线段 例：如下图，已知线段，作线段，使； 【作图步骤】 1　 直尺：使用直尺画射线，确定端点； 2　 圆规：将圆规的两脚张开，圆规针尖对准已知线段的一端，笔尖对准另一端，量取已知线段的长度； 3　 圆规：保持圆规两脚距离不变，把圆规的针尖落在射线端点，画弧，交射线于点； 4　 线段即为所求线段。 【作图要点】 1　 必须保留圆弧痕迹，不画弧直接描点会扣分 2　 圆规量长度时，不能用尺子量刻度（尺规要求直尺无刻度） 3　 最后一句话必须写作答收尾句。 【例题-作相等线段】 1. （25-26七年级上·山西晋中·期末）综合与探究 【问题】 如图1，已知线段，请用尺规按下列要求作图．（保留作图痕迹，不写作法，标明字母） （1）延长线段到点，使；延长线段到点，使． 【探究】 （2）在（1）中所作的图中，若，则________，________（用含的代数式表示） 【问题探究】 2. （2025七年级上·河北邢台·专题练习）如图，在同一平面内有三个点，，． (1)利用尺规，按下面的要求作图．要求：不写作法、保留作图痕迹，不必写结论； ①作射线； ②作线段； ③连接，并在线段上作一条线段，使，连接． (2)观察（1）题得到的图形，__________（填“”“”或“”） 3. （25-26七年级上·山东枣庄·期中）如图，已知线段． (1)请用尺规按要求作图．（不要求写作法，但要保留作图痕迹） ①在线段的延长线上取点，使； ②在线段的延长线上取点，使； 4. （25-26七年级上·陕西咸阳·期中）如图，已知点、、，利用尺规作直线、射线和线段，并在射线上作线段，使得．（不写作法，保留作图痕迹） 5. （20-21七年级上·陕西商洛·期末）如图，线段，请按下列语句作出图形：（不写作法，保留作图痕迹） (1)作射线； (2)请用尺规在射线上依次截取线段，，使得， 2. 作已知线段的和 例：如下图，已知线段，作线段，使 【作图步骤】 1　 直尺：使用直尺画射线，确定端点； 2　 圆规：将圆规的两脚张开，圆规针尖对准已知线段的一端，笔尖对准另一端，量取已知线段的长度； 3　 圆规：保持圆规两脚距离不变，把圆规的针尖落在射线端点，画弧，交射线于点，则； 4　 圆规：重复步骤②，量取已知线段的长度，再以为圆心，长为半径，画弧，交射线于，则 【作图要点】 1　 必须保留圆弧痕迹，不画弧直接描点会扣分 2　 圆规量长度时，不能用尺子量刻度（尺规要求直尺无刻度） 3　 最后一句话必须写作答收尾句。 【例题-作线段的和】 1. （22-23七年级下·重庆沙坪坝·期中）如图，已知，，垂足分别为，，。 (1) 用尺规完成基本作图：延长至点，使；（保留作图痕迹，不写作法） 2. （24-25七年级上·贵州黔东南·期末）已知三点，，，请用尺规按要求完成下列作图．（保留画图痕迹） (1)画直线． (2)画射线． (3)连接并延长到，使得． 3. （24-25七年级上·安徽安庆·期末）如图，已知，，，四点，请用尺规按下列要求作图．（保留作图痕迹） (1)画直线； (2)连接并延长到点，使得； (3)画射线，并在线段上取点，使的值最小． 4. （25-26七年级上·全国·课后作业）线段如图所示，用尺规作一条线段，使（保留作图痕迹，不写作法）． 5. （22-23七年级上·山西太原·期末）如图，平面内有线段和点    (1)按下面的要求作图：（要求：利用尺规，不写画法，保留作图痕迹） ①连接；②作射线；③延长线段到点使得 (2) 若，，点是线段的中点，将点在（1）所画的图中标出，并求线段的长 3. 作已知线段的差 例：如下图，已知线段，作线段，使 【作图步骤】 1　 直尺：使用直尺画射线，确定端点； 2　 圆规：将圆规的两脚张开，圆规针尖对准已知线段的一端，笔尖对准另一端，量取已知线段的长度； 3　 圆规：保持圆规两脚距离不变，把圆规的针尖落在射线端点，画弧，交射线于点，则； 4　 圆规：重复步骤②，量取已知线段的长度，再以为圆心，长为半径，画弧，交射线于，则 【作图要点】 1　 必须保留圆弧痕迹，不画弧直接描点会扣分 2　 圆规量长度时，不能用尺子量刻度（尺规要求直尺无刻度） 3　 最后一句话必须写作答收尾句。 【例题-作线段的差】 1. （2025七年级上·重庆·专题练习）如图，在同一平面内有三个点，，，利用尺规，按下面的要求作图（要求：不写作法，保留作图痕迹，不必写结论）． (1)①作射线； ②作线段； ③作直线． (3) 在直线上作线段，使得线段． 2. （24-25七年级上·河南郑州·期末）如图，已知线段，，． (1)请用尺规按下列要求作图；（不要求写作法，但要保留作图痕迹） ①延长到，使； ②反向延长线段到，使． (2)在（1）的条件下，如果，，，点为的中点． ①求线段的长度； ②若点在线段上，且，则线段的长为__________． 3. （20-21七年级上·陕西汉中·期末）如图，平面上有A、B、C、D四个点，根据下列语句画出图形： (1)连接； (2)用尺规在线段上作一条线段，使得．（不写作法，保留作图痕迹） 4. （20-21七年级上·陕西榆林·期末）如图，点是线段外一点．请用尺规按下列语句画图： (1)连接； (2)在线段上求作线段，使得．（不写作法，保留作图痕迹） 5. （24-25七年级上·广东深圳·阶段检测）如图，已知线段、、． (1)请用尺规按下列要求作图：（不要求写作法，但要保留作图痕迹） ①求作：延长线段到，使，再反向延长线段到，使． ②如果，，，且点为的中点，求线段的长度． 4. 作已知线段的倍 例：如下图，已知线段，作线段，使； 【作图步骤】 1　 直尺：使用直尺画射线，确定端点； 2　 圆规：将圆规的两脚张开，圆规针尖对准已知线段的一端，笔尖对准另一端，量取已知线段的长度； 3　 圆规：保持圆规两脚距离不变，以点为圆心，画弧，交射线于点，则线段； 4　 以点为圆心，画弧，交射线于点，则线段， 5　 线段即为所求线段。 【作图要点】 1　 必须保留圆弧痕迹，不画弧直接描点会扣分 2　 圆规量长度时，不能用尺子量刻度（尺规要求直尺无刻度） 3　 最后一句话必须写作答收尾句。 【例题-作线段的倍】 1. （2025七年级上·全国·专题练习）动手操作题：如图，已知平面内有4个点A、B、C、D，请用尺规按下列要求作图． (1)作直线和线段； (2)作射线，并在射线上取一点E，使，不写作法，但要保留作图痕迹． 2. （24-25七年级上·河南平顶山·期末）用尺规完成下列作图（不写作法，保留作图痕迹）： (1)已知平面上四个点，连接，并反向延长线段．作直线、相交于点；在射线上作一点，使得． 3. （2025七年级上·全国·专题练习）如图，已知，，，四个点，根据要求完成下列各小题． (1)画线段，射线； (2)用尺规在线段的延长线上作线段； (3)找一点，使点既在直线上，又在直线上； (4)在（1）、（2）、（3）的基础上，线段与的大小关系为________，理由是________． 4. （24-25七年级上·新疆吐鲁番·期末）如图，已知线段． (1)请用尺规按下列要求作图： ①延长线段到C，使； ②D是线段的中点，画点D，并表示该点．（不写画法，但要保留画图痕迹）； (2)如果，那么的长为多少． 5. （25-26七年级上·全国·课后作业）如图，已知线段，，，用尺规作一条线段，使．（保留作图痕迹，不必写作法） 5. 作已知线段的分 例：如下图，已知线段，作点，使； 【作图步骤】 1　 圆规：分别以点、为圆心，大于长为半径，在线段上下两侧画弧，上下两组弧分别交于点，； 2　 直尺：作直线，交线段于点； 3　 点即为线段的中点，，则即为所求线段。 【作图要点】 1　 必须保留圆弧痕迹，不画弧直接描点会扣分 2　 圆规量长度时，不能用尺子量刻度（尺规要求直尺无刻度） 3　 最后一句话必须写作答收尾句。 【例题-作线段的分】 1. （25-26七年级上·山东威海·期末）如图，三角形纸片． (1) 将折叠，使点与点重合，折痕交于点，请用尺规作出点（不写作法，保留作图痕迹）； 2. 如图，已知线段， (1)请用尺规按下列要求作图： ①延长线段到C，使； ②D是线段的中点，画点D，并表示该点（不写画法，当要保留画图痕迹） 3. 如图，线段，请用尺规按下列要求作图（不写作法，保留作图痕迹），再完成作答． (1) 延长线段到点C，使，并直接取、的中点分别为点D、点E； 4. （19-20九年级上·山西太原·阶段检测）阅读下列材料，完成相应任务： 我们知道，利用尺规作已知线段的垂直平分线可以得到该线段的中点、四等分点…怎样得到线段的三等分点呢？如图，已知线段、用尺规在上求作点，使得，小志的作法是： ①作射线（点不在直线上）， ②在射线上依次截取线段，，使，连接并延长； ③在射线上截取线段，使； ④连接交线段于点. ∴点即为所求作的点. 任务：请你说明小志作法的合理性.    考点2：作角 1. 作已知角的等角 例：已知：，求作，使 ； 【作图步骤】 1　 直尺：使用直尺画射线； 2　 圆规：以点为圆心，任意长为半径画弧，分别交 于点，交于点； 3　 圆规：以点为圆心，同样的长度为半径画弧，交射线于点； 4　 圆规：以点为圆心，的长为半径画弧，交上一步所作的弧于点； 5　 直尺：过点、作射线，就是所求作的角。 【作图要点】 1　 第②步半径必须任意长，但不能太长太短，保证两个交点都存在； 2　 第③步半径必须和第②步保持一致，不能改动； 3　 第④步半径是弦长，不是原来的半径； 4　 圆弧全部保留，不能擦除； 5　 最后要有结论句。 【例题-作等角】 1. （25-26七年级上·全国·课后作业）如图，已知，小明用尺规作出了，其中，点在上，点在上． (1) 请根据作图痕迹描述小明的作图过程． 2. （24-25七年级上·广东深圳·阶段检测）如图，已知，线段、、． (1)请用尺规按下列要求作图：（不要求写作法，但要保留作图痕迹） 求作：，使． 3. （24-25七年级上·河南平顶山·期末）用尺规完成下列作图（不写作法，保留作图痕迹）： 如图，以点为顶点、射线为一边，作，使． 4. （26-27七年级上·全国·课后作业）如图，已知，利用尺规作图作一个角等于该角的补角． 5. （22-23七年级下·江苏泰州·开学考试）长方形中，为上一点． (1)如图1，当点在上时， ①在长方形内部作（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）； ②用量角器画出的角平分线，探索和的位置关系，并说明理由． 6. （25-26七年级上·河南郑州·阶段检测）在探究用尺规作一个与相等的时，小明和小华分别提出了自己的想法，图1是他们二人的作图痕迹，请你观察思考，解决问题． (1)你认为他们的作法是否正确？__________．（请把你认为正确的选项填写在横线上） A．小明和小华的作法都正确    B．小明的作法正确，小华的作法不正确 C．小明的作法不正确，小华的作法正确    D．小明和小华的作法都不正确 2. 作已知角的和 例：如图，已知，，求作，使 【作图步骤】 1　 直尺：作射线 2　 尺规：以射线为边，作的等角（利用作已知角的等角方法作） 3　 尺规：再以射线为边，作的等角（利用作已知角的等角方法作） 4　 则，所以即为所求角 【作图要点】 1　 必须遵守作已知角等角的要点； 2　 圆弧全部保留，不能擦除，最后要有结论句。 3. 作已知角的差 例：如图，已知，，求作，使 【作图步骤】 1　 直尺：作射线 2　 以射线为边，作的等角（利用作已知角的等角方法作） 3　 再以射线为边，在内侧作的等角（利用作已知角的等角方法作） 4　 则，所以即为所求角。 【作图要点】 1　 必须遵守作已知角等角的要点； 2　 圆弧全部保留，不能擦除，最后要有结论句。 【例题-作角的差】 1. （23-24七年级上·安徽蚌埠·期末）如图，已知，． (1) 请用尺规在内作使得． 2. 如图，已知∠α、∠β． 尺规作，使，且，；（不写作法，保留作图痕迹） 3. 如图，已知，． (1) 请用尺规在内作使得． 4. 如图，已知，请你借助尺规，以为一边，在的左侧作，使（不写作法，保留作图痕迹）； 4. 作已知角的倍 例：如图，已知，求作，使 【作图步骤】 1　 直尺：作射线； 2　 以射线为边，作的等角（利用作已知角的等角方法作）； 3　 再以射线为边，在的外侧作的等角（利用作已知角的等角方法作）； 4　 则，所以即为所求角。 【作图要点】 1　 必须遵守作已知角等角的要点； 2　 圆弧全部保留，不能擦除，最后要有结论句。 【例题-作倍角】 1. （25-26七年级下·福建泉州·期末）如图，若，根据尺规作图的痕迹，则的度数为（     ） A． B． C． D． 3．已知，用尺规作（保留作图痕迹） 考点3：作已知角的角平分线 1. 例：已知，求作射线，使平分； 【作图步骤】 1　 圆规：以点为圆心，适当长为半径画弧，分别交于点，交于点； 2　 圆规：分别以点、为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在的内部交于点； 3　 直尺：作射线，射线就是所求作的角平分线。 【作图要点】 1　 第②步半径必须大于；如果等于，两弧只会相切，无交点；小于则两弧不相交； 2　 交点一定要在角的内部； 3　 要保留三段弧：以为圆心一段，以点、为圆心各一段； 4　 最后作的是射线，不要画成线段； 5　 必须写结论：射线就是所求作的角平分线。 【例题-作角平分线】 1. （25-26七年级下·吉林长春·期末）如图，在中，，于点，尺规作图：作的平分线，分别交、于点（不写作法，保留作图痕迹）． 2. （25-26八年级下·广西崇左·期末）如图，在平行四边形中，． (1) 尺规作图，作的平分线，交于点（不写作法，保留作图痕迹）； 3. （25-26七年级下·福建泉州·期末）如图：在四边形中，平分，交于点． (1) 尺规作图：求作的平分线，交于点；（不写作法，保留作图痕迹） 4. （25-26七年级下·河南南阳·期末）如图，在中，． (1) 求作：的角平分线（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）； 5. （25-26七年级下·福建泉州·期末）如图，中，． (1) 作的平分线，交于点；（要求：尺规作图，不写作法） 6. （25-26七年级下·江苏扬州·期末）在四边形中，，点是延长线上一定点． (1) 尺规作图：在图中作线段的中点，连接交于点，作的平分线交于点．（要求：保留作图痕迹，不写作法） 7. （25-26七年级下·江苏连云港·期末）根据题目条件，解答下列各题 (1)尺规作图：（要求：保留作图痕迹，不写作法） ①将折叠使得点与点重合，折痕交于点．请用尺规画出折痕； ②连接，作的平分线交于点； 8. （2022·河南三门峡·一模）数学老师在给同学们讲完下面例题后，告诉同学们，知道平行线、角平分线和等腰三角形中的任意两个条件，可证明第三个条件成立． 如图，已知，BD平分∠ABC，可证：． 受此启发，丽丽想到了另一种用尺规作角平分线的方法． (1)请你帮她完善下面作图步骤： 已知：如图，． 求作：的平分线OP． 作法：①在OA上任取一点C； ②在内作，使； ③在CD上截取______； ④作射线OP，射线OP即为所求． (2)补全上面作图．（保留作图痕迹） (3)为了说明这一方法的正确性，需要对其进行证明．下面给出了不完整的“已知”，请结合（2）的图形将已知补充完整，并写出证明过程． 已知：如图，C是边OA上任意一点，，P是CD上的点，且___=______，作射线OP．求证：OP平分． 考点4：作线段的垂直平分线 1. 例：如下图，已知线段，作直线的垂直平分线； 【作图步骤】 1　 圆规：分别以点、为圆心，大于长为半径，在线段上下两侧画弧，上下两组弧分别交于点，； 2　 直尺：作直线； 3　 直线即为线段的垂直平分线。 【作图要点】 1　 半径必须大于；若等于，两弧只交于一点，无法画出直线； 2　 上下两侧都要画弧，得到两个交点，只画一侧只能得到一个点，不能确定直线； 3　 作图圆弧痕迹一定要保留，不能擦掉； 4　 结果是直线，不是射线、不是线段； 5　 不要直接写“连接”，规范表述：作直线。 【例题-作垂直平分线】 1. （25-26七年级下·辽宁沈阳·期末）如图，在中，通过尺规作图，得到直线和射线，观察作图痕迹，若，，则________°． 2. （2026·新疆吐鲁番·二模）按要求解题： (1)已知的补角比它的余角的倍还多，求的大小； (2)如图，是菱形的对角线． ①作边的垂直平分线，分别与，交于点，（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）； ②在①的条件下，连接，若，求的度数． 4．（2026·河北保定·二模）综合与实践 【问题情境】在学习了平分矩形周长的方法后，嘉嘉和淇淇探究将如图1所示的一个五边形铁板余料（部分数据已标出）切割成面积相等的两部分． (1) 嘉嘉认为利用尺规作边的垂直平分线，直线即可将五边形面积平分．请用尺规作图根据嘉嘉的想法作出直线（保留作图痕迹，不写作法）； 3. （21-22九年级上·福建宁德·期中）如图，已知是矩形中的对角线． (1) 用尺规作出的垂直平分线，交于，交于，在图中标出相应的字母，请用实线保留必要的作图痕迹； 4. （21-22八年级上·安徽合肥·期末）如图，．    (1)用尺规作出的角平分线和线段的垂直平分线（不写作法，保留作图痕迹）； (2)按下面要求画出图形：和交于点D，交于点E，连接并延长，交于点F； (3)求证：． 5. （23-24八年级下·河南郑州·期中）已知，如图，射线平分． (1)请用尺规作出的垂直平分线，交于点，交点，交于点，不写作法保留作图痕迹． (2)若，，求的度数． 6. （2022·重庆万州·一模）如图，AD是△ABC的角平分线． (1)用尺规完成以下基本作图：作AD的垂直平分线，交AB、AC于点E、F，连接DE、DF（不写作法，保留作图痕迹）； (2)在（1）中所作的图形中，判断四边形AEDF的形状，并证明． 考点5：过一点作已知直线的垂线 1. 点在直线上 例：已知：直线，点在直线上，求作直线，使 【作图步骤】 1　 圆规：以点为圆心，适当长为半径画弧，交直线于两点、； 2　 圆规：分别以点、为圆心，大于的长为半径画弧，在直线的一侧两弧交于点； 3　 直尺：作直线，直线就是所求作的垂线。 【作图要点】 1　 第一步圆弧要交出两个交点、； 2　 第二步半径必须大于； 3　 所有圆弧痕迹保留实线，不能擦除； 4　 最终是直线，不是线段、不是射线； 5　 两弧交点画在直线的任意一侧都可以。 【例题-过直线上一点作垂线】 1. （25-26七年级下·江苏苏州·期中）如图，点是直线上一点，，平分． (1)的度数是__________； (2)尺规作图：作直线，使得（不写作法，保留作图痕迹并标注字母）． 2. （25-26七年级下·湖北武汉·阶段检测）按要求作图，不要求写画法：如图，点P、Q分别在的边上． (1)过点作的垂线； (2)过点作的平行线； 3. （25-26八年级下·江西赣州·期末）如图，菱形和中，点在上，请仅用无刻度的直尺分别按下列要求作图． (1)在图1中，作一条的平行线； (2)在图2中，过点作一条的垂线． 4. （25-26七年级下·北京西城·期中）按要求作图，并完成填空．如图，点是的边上的一点． (1)过点作的平行线； (2)过点作的垂线段，垂足为； (3)过点作的垂线，交直线于点； 2. 点在直线外 例：已知：直线，点在直线外，求作直线，使 【作图步骤】 4　 圆规：以点为圆心，适当长为半径画弧，交直线于两点、； 5　 圆规：分别以点、为圆心，大于的长为半径画弧，在直线的另一侧两弧交于点； 6　 直尺：作直线，直线就是所求作的垂线。 【作图要点】 1　 第一步圆规半径要足够大，保证圆弧与直线于两点、； 2　 第二步半径必须大于； 3　 两弧交点要画在直线的另一侧，不能和点在同一侧； 4　 全部作图圆弧痕迹保留实线，不得擦除； 5　 最终结果是直线，不是线段、不是射线。 【例题-过直线外一点作垂线】 1. （25-26七年级下·福建泉州·期末）如图，在中，点是边上一点． (1)尺规作图：在射线上确定一点，使得；（要求：保留作图痕迹，不写作法） (2)在（1）的前提下，直线与相交于点，若，试说明：． 2. （25-26七年级下·福建泉州·期末）如图，在中，，平分， (1) 作边上的高（尺规作图，不用写作法，保留作图痕迹） 3. （25-26九年级下·广东肇庆·期中）如图，直线与相切于点，为的直径，延长交直线于点． (1) 尺规作图：过点作于点；（保留作图痕迹，不要求写出具体作法） 4. （2025·河南周口·模拟预测）如图，在中，，，，尺规作的平分线交于点，求四边形的周长为 。 5. （22-23八年级下·贵州六盘水·期末）阅读下面材料：小明遇到这样一个问题：如图1，在中，，于点，求证：． 小明利用条件，在上截取，连接，既构造了等腰，又得到，从而命题得证． (1)动手操作：根据题意，利用尺规将图1补充完整；（保留作图痕迹，不写作法） 6. （21-22九年级下·重庆·开学考试）如图，四边形为平行四边形，连接、交于点． (1) 请用尺规完成基本作图：过点作直线的垂线，垂足为；在直线上作点使得，连接（保留作图痕迹，不写作法） 7. （2026·重庆·二模）学习了角平分线的性质后，小蜀发现在如图所示的四边形中，，与不平行，，若点为边上的中点，平分，则有平分．其证明思路是利用角平分线的性质和全等得出结论．请根据小蜀的思路完成以下作图和推理填空． (1) 用尺规完成以下作图：过点作的垂线，垂足为点（不写作法，保留作图痕迹）； 8. （24-25七年级下·北京·期中）如图，P是内一点，按要求完成下列问题： (1)过点P作的垂线，垂足为点D； (2)过点P作的平行线，交于点E； 考点6：过直线外一点，作已知直线的平行线 1. 例：已知直线，点在直线外，过点，求作直线的平行线。 【作图步骤】 1　 直尺：在直线上任取一点，连接； 2　 圆规：以为圆心，适当长为半径画弧，交直线于，交直线于； 3　 圆规：以为圆心，同样的长为半径画弧，交直线于； 4　 圆规：以为圆心，长为半径画弧，交前面的弧于点G； 5　 直尺：作直线，直线就是所求作的平行线。 【作图要点】 1　 作图时作等角的圆弧全部保留实线，不能擦掉； 2　 两个角必须在截线的同一侧，保证是同位角； 3　 最终是直线，不是射线； 4　 本作图是组合作图，不能直接写“过作的平行线”，必须写出作等角的完整弧迹。 【例题-作平行线】 1. （25-26七年级下·辽宁铁岭·期末）如图，点D为线段上的一点，过点D作射线，平分． (1)尺规作图：过点O作，交射线于点C（要求：不写作法，保留作图痕迹）； (2)在（1）的条件下，求的度数． 2. （25-26七年级下·山东烟台·期末）如图，是直线上一点，射线，，在直线同侧，且平分，平分，是上一点．请解答下列问题： (1)直接写出的度数是____________； (2)尺规作图：过点作的平行线，与交于点，与交于点（保留作图痕迹，不写作法）； 3. （25-26七年级下·广东茂名·期中）【模型发现】某学校数学兴趣小组的学生在活动中发现：图1中的几何图形，很像小猪的猪蹄，于是将这个图形称为“猪蹄模型”，“猪蹄模型”中蕴含着角的数量关系． (1)如图1，过点P作（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法） 4. （24-25七年级下·福建漳州·期中）如图，直线与相交于点A，平分． (1)利用尺规：过点B作直线，交于点D； (2)若，求的度数． $尺规作图-6类基础考点 目录 尺规作图-6类基础考点 1 思维导图 2 考情分析 3 考点1：作线段 4 1. 作已知线段的相等线段 4 2. 作已知线段的和 7 3. 作已知线段的差 11 4. 作已知线段的倍 16 5. 作已知线段的分 19 考点2：作角 23 1. 作已知角的等角 23 2. 作已知角的和 26 3. 作已知角的差 27 4. 作已知角的倍 29 考点3：作已知角的角平分线 31 考点4：作线段的垂直平分线 36 考点5：过一点作已知直线的垂线 43 1. 点在直线上 43 2. 点在直线外 47 考点6：过直线外一点，作已知直线的平行线 53 中考数学 平面几何专题 尺规作图 1 学科网（北京）股份有限公司 思维导图 学习目标 (1) 掌握六类基础尺规作图的方法； (2) 熟练掌握尺规作等角、等线段、平行线、垂线的做法； (3) 理解尺规作图的原理 学习重难点 (1) 利用尺规作线段三等分点； (2) 对作图步骤进行理解记忆； 考情分析 在河北中考数学中，作线段、作角、作角平分线、作线段垂直平分线、过一点作已知直线的垂线、过直线外一点作已知直线的平行线这六大基础尺规作图，是全部尺规作图题型的底层工具，整套内容围绕“用圆规截取等长、构造全等”这一核心逻辑展开，命题很少孤立考查单一作图步骤，多以痕迹识别、原理判断、性质应用、综合构造为主要方向。 题型分布上，这类基础作图相关设问以选择题、填空题为主，偶尔在解答题的小问中出现，分值多为2~4分；命题重点不再是机械默写作图流程，偏向给出作图圆弧痕迹，让学生判断作图目的、写出作图依据，或是依托作图得到的等线段、等角、垂直、平行、距离相等的结论，结合全等、三角形、圆的性质求解角度与边长。 阅卷有统一硬性要求：必须完整保留圆弧等作图痕迹，无痕迹会直接扣分，同时严格区分实线、虚线，是稳定的失分点。其中角平分线、线段垂直平分线、过点作垂线的综合考查频次更高，常延伸到找圆弧圆心、三角形外心内心、作三角形的高、圆的切线等复杂作图；作线段、作角、作平行线更多作为配套构造手段，服务于三角形作图、平行与相似类几何题。 备考层面，核心是吃透作图背后的几何依据（SSS全等、垂直平分线性质、角平分线性质、平行线判定、等腰三角形三线合一等），不能只背画法，同时区分不同作图的圆弧取法，规避弧半径不一致、交点缺失、钝角三角形高画错位置等典型错误，六大作图融会贯通，才能应对河北中考里三角形、圆、网格无刻度作图等衍生几何题型。 考点1：作线段 1. 作已知线段的相等线段 例：如下图，已知线段，作线段，使； 【作图步骤】 1　 直尺：使用直尺画射线，确定端点； 2　 圆规：将圆规的两脚张开，圆规针尖对准已知线段的一端，笔尖对准另一端，量取已知线段的长度； 3　 圆规：保持圆规两脚距离不变，把圆规的针尖落在射线端点，画弧，交射线于点； 4　 线段即为所求线段。 【作图要点】 1　 必须保留圆弧痕迹，不画弧直接描点会扣分 2　 圆规量长度时，不能用尺子量刻度（尺规要求直尺无刻度） 3　 最后一句话必须写作答收尾句。 【例题-作相等线段】 1. （25-26七年级上·山西晋中·期末）综合与探究 【问题】 如图1，已知线段，请用尺规按下列要求作图．（保留作图痕迹，不写作法，标明字母） （1）延长线段到点，使；延长线段到点，使． 【探究】 （2）在（1）中所作的图中，若，则________，________（用含的代数式表示） 【问题探究】 【答案】 （1）如图所示为所求： （2）， 【详解】（1）略 （2）∵ ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：，； 2. （2025七年级上·河北邢台·专题练习）如图，在同一平面内有三个点，，． (1)利用尺规，按下面的要求作图．要求：不写作法、保留作图痕迹，不必写结论； ①作射线； ②作线段； ③连接，并在线段上作一条线段，使，连接． (2)观察（1）题得到的图形，__________（填“”“”或“”） 【答案】(1) 解：①如图所示，射线即为所求； ②如图所示，线段即为所求； ③如图所示，线段即为所求． (2) 【详解】（1）略 （2）解：因为三角形两边之和大于第三边， 所以：， 故答案为． 3. （25-26七年级上·山东枣庄·期中）如图，已知线段． (1)请用尺规按要求作图．（不要求写作法，但要保留作图痕迹） ①在线段的延长线上取点，使； ②在线段的延长线上取点，使； 【答案】(1) ①如下图：即为所求 ②如下图：即为所求； 【详解】（1）①以为圆心为半径画弧交的延长线于点，即为所求；②以为圆心，为半径画弧交的延长线于点，即为所求； 4. （25-26七年级上·陕西咸阳·期中）如图，已知点、、，利用尺规作直线、射线和线段，并在射线上作线段，使得．（不写作法，保留作图痕迹） 【答案】 如图：直线、射线、线段和线段即为所求， 5. （20-21七年级上·陕西商洛·期末）如图，线段，请按下列语句作出图形：（不写作法，保留作图痕迹） (1)作射线； (2)请用尺规在射线上依次截取线段，，使得， 【答案】(1) 射线，如图所示： (2)线段，，如图所示： 2. 作已知线段的和 例：如下图，已知线段，作线段，使 【作图步骤】 1　 直尺：使用直尺画射线，确定端点； 2　 圆规：将圆规的两脚张开，圆规针尖对准已知线段的一端，笔尖对准另一端，量取已知线段的长度； 3　 圆规：保持圆规两脚距离不变，把圆规的针尖落在射线端点，画弧，交射线于点，则； 4　 圆规：重复步骤②，量取已知线段的长度，再以为圆心，长为半径，画弧，交射线于，则 【作图要点】 1　 必须保留圆弧痕迹，不画弧直接描点会扣分 2　 圆规量长度时，不能用尺子量刻度（尺规要求直尺无刻度） 3　 最后一句话必须写作答收尾句。 【例题-作线段的和】 1. （22-23七年级下·重庆沙坪坝·期中）如图，已知，，垂足分别为，，。 (1)用尺规完成基本作图：延长至点，使；（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】(1) 解：如图所示，线段即为所求； 2. （24-25七年级上·贵州黔东南·期末）已知三点，，，请用尺规按要求完成下列作图．（保留画图痕迹） (1)画直线． (2)画射线． (3)连接并延长到，使得． 【答案】(1) 如图，直线即为所求； (2) 如图，射线即为所求； (3) 如图，即为所求． 3. （24-25七年级上·安徽安庆·期末）如图，已知，，，四点，请用尺规按下列要求作图．（保留作图痕迹） (1)画直线； (2)连接并延长到点，使得； (3)画射线，并在线段上取点，使的值最小． 【答案】(1) 解：画直线，如图所示； (2) 解：线段即为所求，如图所示； (3) 解：画射线，点即为所求，如图所示； 4. （25-26七年级上·全国·课后作业）线段如图所示，用尺规作一条线段，使（保留作图痕迹，不写作法）． 【详解】解：如图：在射线上截取点，使，再在线段上截取点，使， 根据线段的和差计算，，可知线段即为所求． 5. （22-23七年级上·山西太原·期末）如图，平面内有线段和点    (1)按下面的要求作图：（要求：利用尺规，不写画法，保留作图痕迹） ①连接；②作射线；③延长线段到点使得 (2)若，，点是线段的中点，将点在（1）所画的图中标出，并求线段的长 【答案】(1) 解：如图所示，线段，射线，线段即为所求；    (2) 如图所示，    【详解】（1）略 （2）解：∵，， ∴， ∵点是线段的中点， ∴， ∴． 3. 作已知线段的差 例：如下图，已知线段，作线段，使 【作图步骤】 1　 直尺：使用直尺画射线，确定端点； 2　 圆规：将圆规的两脚张开，圆规针尖对准已知线段的一端，笔尖对准另一端，量取已知线段的长度； 3　 圆规：保持圆规两脚距离不变，把圆规的针尖落在射线端点，画弧，交射线于点，则； 4　 圆规：重复步骤②，量取已知线段的长度，再以为圆心，长为半径，画弧，交射线于，则 【作图要点】 1　 必须保留圆弧痕迹，不画弧直接描点会扣分 2　 圆规量长度时，不能用尺子量刻度（尺规要求直尺无刻度） 3　 最后一句话必须写作答收尾句。 【例题-作线段的差】 1. （2025七年级上·重庆·专题练习）如图，在同一平面内有三个点，，，利用尺规，按下面的要求作图（要求：不写作法，保留作图痕迹，不必写结论）． (1)①作射线； ②作线段； ③作直线． (2)在直线上作线段，使得线段． 【答案】(1) 如图，射线，线段，直线即为所求； (2) 如图，线段即为所求． 2. （24-25七年级上·河南郑州·期末）如图，已知线段，，． (1)请用尺规按下列要求作图；（不要求写作法，但要保留作图痕迹） ①延长到，使； ②反向延长线段到，使． (2)在（1）的条件下，如果，，，点为的中点． ①求线段的长度； ②若点在线段上，且，则线段的长为__________． 【答案】(1) 如图所示： (2)①；②1或5 【详解】（1）略 （2）解：①∵，，， ∴， ∴， ∵点为的中点． ∴， ∴． ②由①得出， ∵， ∴， ∵点在线段上，且， ∴当点在线段上，则； ∴当点在线段上，则． 3. （20-21七年级上·陕西汉中·期末）如图，平面上有A、B、C、D四个点，根据下列语句画出图形： (1)连接； (2)用尺规在线段上作一条线段，使得．（不写作法，保留作图痕迹） 【答案】(1) 解：如图所示，线段即为所求图形； (2)上图即为所求； 【详解】（1）略 （2）解：如图所示，以点A为圆心，以为半径画弧，交于点，得， ∴． 4. （20-21七年级上·陕西榆林·期末）如图，点是线段外一点．请用尺规按下列语句画图： (1)连接； (2)在线段上求作线段，使得．（不写作法，保留作图痕迹） 【答案】(1) 线段即为所连： (2) 点即为所作： 5. （24-25七年级上·广东深圳·阶段检测）如图，已知线段、、． (1)请用尺规按下列要求作图：（不要求写作法，但要保留作图痕迹） ①求作：延长线段到，使，再反向延长线段到，使． ②如果，，，且点为的中点，求线段的长度． 【答案】(1) ①如图所示，线段即为所求； ② 【详解】（1）解：①略 ②∵，，， ∴， ∵点为的中点， ∴， ∴． 4. 作已知线段的倍 例：如下图，已知线段，作线段，使； 【作图步骤】 1　 直尺：使用直尺画射线，确定端点； 2　 圆规：将圆规的两脚张开，圆规针尖对准已知线段的一端，笔尖对准另一端，量取已知线段的长度； 3　 圆规：保持圆规两脚距离不变，以点为圆心，画弧，交射线于点，则线段； 4　 以点为圆心，画弧，交射线于点，则线段， 5　 线段即为所求线段。 【作图要点】 1　 必须保留圆弧痕迹，不画弧直接描点会扣分 2　 圆规量长度时，不能用尺子量刻度（尺规要求直尺无刻度） 3　 最后一句话必须写作答收尾句。 【例题-作线段的倍】 1. （2025七年级上·全国·专题练习）动手操作题：如图，已知平面内有4个点A、B、C、D，请用尺规按下列要求作图． (1)作直线和线段； (2)作射线，并在射线上取一点E，使，不写作法，但要保留作图痕迹． 【答案】(1)如图，直线，线段，即为所求； (2)如图，射线，点E，即为所求． 2. （24-25七年级上·河南平顶山·期末）用尺规完成下列作图（不写作法，保留作图痕迹）： (1)已知平面上四个点，连接，并反向延长线段．作直线、相交于点；在射线上作一点，使得． 【答案】(1)如图所示，即为所求； 3. （2025七年级上·全国·专题练习）如图，已知，，，四个点，根据要求完成下列各小题． (1)画线段，射线； (2)用尺规在线段的延长线上作线段； (3)找一点，使点既在直线上，又在直线上； (4)在（1）、（2）、（3）的基础上，线段与的大小关系为________，理由是________． 【答案】(1) 如图，线段，射线、即为所求； (2) 如图，以点为圆心，长为半径画弧，交线段的延长线于点，则线段即为所求； (3) 如图，作直线、相交于点，则点即为所求； (4)；两点之间，线段最短 4. （24-25七年级上·新疆吐鲁番·期末）如图，已知线段． (1)请用尺规按下列要求作图： ①延长线段到C，使； ②D是线段的中点，画点D，并表示该点．（不写画法，但要保留画图痕迹）； (2)如果，那么的长为多少． 【答案】(1)①如图所示， ②如图所示，点D即为所求； (2)6 【详解】（1）解：①如图，延长线段到C，使，点C即为所求； ②略 （2）解：∵， ∴， ∴， ∵D是线段的中点， ∴． 5. （25-26七年级上·全国·课后作业）如图，已知线段，，，用尺规作一条线段，使．（保留作图痕迹，不必写作法） 【答案】 解：线段即为所求： 5. 作已知线段的分 例：如下图，已知线段，作点，使； 【作图步骤】 1　 圆规：分别以点、为圆心，大于长为半径，在线段上下两侧画弧，上下两组弧分别交于点，； 2　 直尺：作直线，交线段于点； 3　 点即为线段的中点，，则即为所求线段。 【作图要点】 1　 必须保留圆弧痕迹，不画弧直接描点会扣分 2　 圆规量长度时，不能用尺子量刻度（尺规要求直尺无刻度） 3　 最后一句话必须写作答收尾句。 【例题-作线段的分】 1. （25-26七年级上·山东威海·期末）如图，三角形纸片． (1)将折叠，使点与点重合，折痕交于点，请用尺规作出点（不写作法，保留作图痕迹）； 【答案】(1) 如图，点D即为所求： 2. 如图，已知线段， (1)请用尺规按下列要求作图： ①延长线段到C，使； ②D是线段的中点，画点D，并表示该点（不写画法，当要保留画图痕迹） 【答案】(1) ①如图所示，点C即为所求； ②如图所示，点D即为所求； 3. 如图，线段，请用尺规按下列要求作图（不写作法，保留作图痕迹），再完成作答． (1)延长线段到点C，使，并直接取、的中点分别为点D、点E； 【答案】(1) 如下图， 【详解】（1）解：以点A为圆心，长为半径画弧，交的延长线与点C，， 以点A为圆心，长为半径画弧，交的延长线与点E，， 以点B为圆心，长为半径画弧，交与点D，， 点C、点D、点E为所求； 4. （19-20九年级上·山西太原·阶段检测）阅读下列材料，完成相应任务： 我们知道，利用尺规作已知线段的垂直平分线可以得到该线段的中点、四等分点…怎样得到线段的三等分点呢？如图，已知线段、用尺规在上求作点，使得，小志的作法是： ①作射线（点不在直线上）， ②在射线上依次截取线段，，使，连接并延长； ③在射线上截取线段，使； ④连接交线段于点. ∴点即为所求作的点. 任务：请你说明小志作法的合理性.    【答案】过点作交于点，    ∵， ∴，∴， ∵，， ∴， ∵， ∴ ∴ 即点为三等分点. 考点2：作角 1. 作已知角的等角 例：已知：，求作，使 ； 【作图步骤】 1　 直尺：使用直尺画射线； 2　 圆规：以点为圆心，任意长为半径画弧，分别交 于点，交于点； 3　 圆规：以点为圆心，同样的长度为半径画弧，交射线于点； 4　 圆规：以点为圆心，的长为半径画弧，交上一步所作的弧于点； 5　 直尺：过点、作射线，就是所求作的角。 【作图要点】 1　 第②步半径必须任意长，但不能太长太短，保证两个交点都存在； 2　 第③步半径必须和第②步保持一致，不能改动； 3　 第④步半径是弦长，不是原来的半径； 4　 圆弧全部保留，不能擦除； 5　 最后要有结论句。 【例题-作等角】 1. （25-26七年级上·全国·课后作业）如图，已知，小明用尺规作出了，其中，点在上，点在上． (1)请根据作图痕迹描述小明的作图过程． 【答案】(1)以点为圆心，任意长为半径画弧，分别交于点，以点为圆心，同样长为半径画弧，交于点，以为圆心，长为半径画弧，与前弧交于点，过作射线，射线交射线于点； 2. （24-25七年级上·广东深圳·阶段检测）如图，已知，线段、、． (1)请用尺规按下列要求作图：（不要求写作法，但要保留作图痕迹） 求作：，使． 【答案】(1)如图即为所求 3. （24-25七年级上·河南平顶山·期末）用尺规完成下列作图（不写作法，保留作图痕迹）： 如图，以点为顶点、射线为一边，作，使． 【答案】如图，，即为所求． 4. （26-27七年级上·全国·课后作业）如图，已知，利用尺规作图作一个角等于该角的补角． 【答案】即为所求， 5. （22-23七年级下·江苏泰州·开学考试）长方形中，为上一点． (1)如图1，当点在上时， ①在长方形内部作（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）； ②用量角器画出的角平分线，探索和的位置关系，并说明理由． 【答案】 (1) ① ②，理由如下： ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 即， ∴； 6. （25-26七年级上·河南郑州·阶段检测）在探究用尺规作一个与相等的时，小明和小华分别提出了自己的想法，图1是他们二人的作图痕迹，请你观察思考，解决问题． (1)你认为他们的作法是否正确？__________．（请把你认为正确的选项填写在横线上） A．小明和小华的作法都正确    B．小明的作法正确，小华的作法不正确 C．小明的作法不正确，小华的作法正确    D．小明和小华的作法都不正确 【答案】(1) 【详解】（1）解：小明的作法：，，， ， ，即， 小华的作法：，，， ， ，即， 综上所述，小明和小华的作法都正确， 故答案为：． 2. 作已知角的和 例：如图，已知，，求作，使 【作图步骤】 1　 直尺：作射线 2　 尺规：以射线为边，作的等角（利用作已知角的等角方法作） 3　 尺规：再以射线为边，作的等角（利用作已知角的等角方法作） 4　 则，所以即为所求角 【作图要点】 1　 必须遵守作已知角等角的要点； 2　 圆弧全部保留，不能擦除，最后要有结论句。 3. 作已知角的差 例：如图，已知，，求作，使 【作图步骤】 1　 直尺：作射线 2　 以射线为边，作的等角（利用作已知角的等角方法作） 3　 再以射线为边，在内侧作的等角（利用作已知角的等角方法作） 4　 则，所以即为所求角。 【作图要点】 1　 必须遵守作已知角等角的要点； 2　 圆弧全部保留，不能擦除，最后要有结论句。 【例题-作角的差】 1. （23-24七年级上·安徽蚌埠·期末）如图，已知，． (1)请用尺规在内作使得． 【答案】(1) 如图所示，即为所求； 2. 如图，已知∠α、∠β． 尺规作，使，且，；（不写作法，保留作图痕迹） 【答案】(1)如图，为求作的角； 3. 如图，已知，． (1)请用尺规在内作使得． 【答案】(1)如图所示，即为所求； 4. 如图，已知，请你借助尺规，以为一边，在的左侧作，使（不写作法，保留作图痕迹）； 【答案】如图所示 4. 作已知角的倍 例：如图，已知，求作，使 【作图步骤】 1　 直尺：作射线； 2　 以射线为边，作的等角（利用作已知角的等角方法作）； 3　 再以射线为边，在的外侧作的等角（利用作已知角的等角方法作）； 4　 则，所以即为所求角。 【作图要点】 1　 必须遵守作已知角等角的要点； 2　 圆弧全部保留，不能擦除，最后要有结论句。 【例题-作倍角】 1. （25-26七年级下·福建泉州·期末）如图，若，根据尺规作图的痕迹，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】 【详解】解：根据尺规作图的痕迹可知，， ， ． 3．已知，用尺规作（保留作图痕迹） 【答案】如图，即为所求作． 考点3：作已知角的角平分线 1. 例：已知，求作射线，使平分； 【作图步骤】 1　 圆规：以点为圆心，适当长为半径画弧，分别交于点，交于点； 2　 圆规：分别以点、为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在的内部交于点； 3　 直尺：作射线，射线就是所求作的角平分线。 【作图要点】 1　 第②步半径必须大于；如果等于，两弧只会相切，无交点；小于则两弧不相交； 2　 交点一定要在角的内部； 3　 要保留三段弧：以为圆心一段，以点、为圆心各一段； 4　 最后作的是射线，不要画成线段； 5　 必须写结论：射线就是所求作的角平分线。 【例题-作角平分线】 1. （25-26七年级下·吉林长春·期末）如图，在中，，于点D． (1)尺规作图：作的平分线，分别交、于点（不写作法，保留作图痕迹）． 【答案】(1) 2. （25-26八年级下·广西崇左·期末）如图，在平行四边形中，． (1)尺规作图，作的平分线，交于点（不写作法，保留作图痕迹）； 【答案】(1)解：如图所示： 即为所求； 【详解】（1）以点为圆心，恰当长度为半径画弧，与交于两点，再分别以这两个点为圆心，恰当长度为半径画弧交于点，作射线交于点即可得到答案； 3. （25-26七年级下·福建泉州·期末）如图：在四边形中，平分，交于点． (1)尺规作图：求作的平分线，交于点；（不写作法，保留作图痕迹） 【答案】(1)如图所示，点为所求； 4. （25-26七年级下·河南南阳·期末）如图，在中，． (1)求作：的角平分线（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）； 【答案】(1) 5. （25-26七年级下·福建泉州·期末）如图，中，． (1)作的平分线，交于点；（要求：尺规作图，不写作法） 【答案】(1) 6. （25-26七年级下·江苏扬州·期末）在四边形中，，点是延长线上一定点． (1)尺规作图：在图中作线段的中点，连接交于点，作的平分线交于点．（要求：保留作图痕迹，不写作法） 【答案】(1)如图， 7. （25-26七年级下·江苏连云港·期末）根据题目条件，解答下列各题 (1)尺规作图：（要求：保留作图痕迹，不写作法） ①将折叠使得点与点重合，折痕交于点．请用尺规画出折痕； ②连接，作的平分线交于点； 【答案】(1)①如图，折痕即为所求； ②如图，即为所求． 8. （2022·河南三门峡·一模）数学老师在给同学们讲完下面例题后，告诉同学们，知道平行线、角平分线和等腰三角形中的任意两个条件，可证明第三个条件成立． 如图，已知，BD平分∠ABC，可证：． 受此启发，丽丽想到了另一种用尺规作角平分线的方法． (1)请你帮她完善下面作图步骤： 已知：如图，． 求作：的平分线OP． 作法：①在OA上任取一点C； ②在内作，使； ③在CD上截取______； ④作射线OP，射线OP即为所求． (2)补全上面作图．（保留作图痕迹） (3)为了说明这一方法的正确性，需要对其进行证明．下面给出了不完整的“已知”，请结合（2）的图形将已知补充完整，并写出证明过程． 已知：如图，C是边OA上任意一点，，P是CD上的点，且___=______，作射线OP．求证：OP平分． 【答案】(1) (2)如图，即为补全的图形； (3)，， 证明：∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴平分． 考点4：作线段的垂直平分线 1. 例：如下图，已知线段，作直线的垂直平分线； 【作图步骤】 1　 圆规：分别以点、为圆心，大于长为半径，在线段上下两侧画弧，上下两组弧分别交于点，； 2　 直尺：作直线； 3　 直线即为线段的垂直平分线。 【作图要点】 1　 半径必须大于；若等于，两弧只交于一点，无法画出直线； 2　 上下两侧都要画弧，得到两个交点，只画一侧只能得到一个点，不能确定直线； 3　 作图圆弧痕迹一定要保留，不能擦掉； 4　 结果是直线，不是射线、不是线段； 5　 不要直接写“连接”，规范表述：作直线。 【例题-作垂直平分线】 1. （25-26七年级下·辽宁沈阳·期末）如图，在中，通过尺规作图，得到直线和射线，观察作图痕迹，若，，则________°． 【答案】25 【详解】解：由作图可得是的垂直平分线，平分． ∵，， ∴． ∵是的垂直平分线， ∴， ∴， ∴， ∵平分， ∴． 2. （2026·新疆吐鲁番·二模）按要求解题： (1)已知的补角比它的余角的倍还多，求的大小； (2)如图，是菱形的对角线． ①作边的垂直平分线，分别与，交于点，（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）； ②在①的条件下，连接，若，求的度数． 【答案】(1) (2)①见解析；② 【详解】（1）解：设， 的补角为，的余角为， ， 解得：， ； （2）解：①如图，即为所求； ② ，四边形为菱形， ， 是菱形的对角线， 平分， ， 又是的垂直平分线， ，， 为等腰三角形， ， 在菱形中，， ． 4．（2026·河北保定·二模）综合与实践 【问题情境】在学习了平分矩形周长的方法后，嘉嘉和淇淇探究将如图1所示的一个五边形铁板余料（部分数据已标出）切割成面积相等的两部分． (1)嘉嘉认为利用尺规作边的垂直平分线，直线即可将五边形面积平分．请用尺规作图根据嘉嘉的想法作出直线（保留作图痕迹，不写作法）； 【答案】(1) 直线如下图所示即为所求； 3. （21-22九年级上·福建宁德·期中）如图，已知是矩形中的对角线． (1)用尺规作出的垂直平分线，交于，交于，在图中标出相应的字母，请用实线保留必要的作图痕迹； 【答案】 （1）解：如图所示， 4. （21-22八年级上·安徽合肥·期末）如图，．    (1)用尺规作出的角平分线和线段的垂直平分线（不写作法，保留作图痕迹）； (2)按下面要求画出图形：和交于点D，交于点E，连接并延长，交于点F； (3)求证：． 【答案】(1)如图，射线、直线即为所求 (2)如图，点E，D，线段即为所求． (3)证明：过点D作于点T．    ∵平分，， ∴， ∵垂直平分线段，， ∴，， ∵，∴， ∵，，平分， ∴， ∴． 5. （23-24八年级下·河南郑州·期中）已知，如图，射线平分． (1)请用尺规作出的垂直平分线，交于点，交点，交于点，不写作法保留作图痕迹． (2)若，，求的度数． 【答案】(1) 如图，即为所求作的图形： (2) 【详解】（1）略 （2）解：∵，， ∴， 又∵射线平分， ∴， ∴， ∵直线是的垂直平分线， ∴， ∴， ∴． 6. （2022·重庆万州·一模）如图，AD是△ABC的角平分线． (1)用尺规完成以下基本作图：作AD的垂直平分线，交AB、AC于点E、F，连接DE、DF（不写作法，保留作图痕迹）； (2)在（1）中所作的图形中，判断四边形AEDF的形状，并证明． 【答案】(1)（1）解：以点A、D为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于两点，过这两点作直线交AB于E，交AC于F，则直线EF为所求； (2) 证明：∵AD是△ABC的角平分线． ∴， ∵EF为AD的垂直平分线， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴四边形为平行四边形， ∵， ∴四边形为菱形． 考点5：过一点作已知直线的垂线 1. 点在直线上 例：已知：直线，点在直线上，求作直线，使 【作图步骤】 1　 圆规：以点为圆心，适当长为半径画弧，交直线于两点、； 2　 圆规：分别以点、为圆心，大于的长为半径画弧，在直线的一侧两弧交于点； 3　 直尺：作直线，直线就是所求作的垂线。 【作图要点】 1　 第一步圆弧要交出两个交点、； 2　 第二步半径必须大于； 3　 所有圆弧痕迹保留实线，不能擦除； 4　 最终是直线，不是线段、不是射线； 5　 两弧交点画在直线的任意一侧都可以。 【例题-过直线上一点作垂线】 1. （25-26七年级下·江苏苏州·期中）如图，点是直线上一点，，平分． (1)的度数是__________； (2)尺规作图：作直线，使得（不写作法，保留作图痕迹并标注字母）． 【答案】(1)；(2)见解析 【详解】（1）解：，平分， ， ； （2）解：如图，直线即为所求作． 2. （25-26七年级下·湖北武汉·阶段检测）按要求作图，不要求写画法：如图，点P、Q分别在的边上． (1)过点作的垂线； (2)过点作的平行线； 【答案】(1) 如图所示，直线m即为所求； (2)如图所示，直线即为所求； 3. （25-26八年级下·江西赣州·期末）如图，菱形和中，点在上，请仅用无刻度的直尺分别按下列要求作图． (1)在图1中，作一条的平行线； (2)在图2中，过点作一条的垂线． 【答案】(1)如图，为的平行线， (2)如图，即为所求． 【分析】（1）连接，则即为所求； （2）延长交于点M，连接、交于点P，连接，交于点Q，连接交于点H，连接，则即为所求． 【详解】（1）证明：∵四边形和为菱形， ∴，，， ∴， ∴， ∴； （2）证明：如图，连接，交于点O， ∵菱形中，，，菱形中，， ∴， ∴四边形为平行四边形， ∴，，， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴四边形为平行四边形， ∴， ∵四边形和为菱形， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵菱形中， ∴． 4. （25-26七年级下·北京西城·期中）按要求作图，并完成填空．如图，点是的边上的一点． (1)过点作的平行线； (2)过点作的垂线段，垂足为； (3)过点作的垂线，交直线于点； 【答案】(1) 解：如图所示，即为所求 (2) 解：如图，即为所求， (3) 解：如图，即为所求， 2. 点在直线外 例：已知：直线，点在直线外，求作直线，使 【作图步骤】 4　 圆规：以点为圆心，适当长为半径画弧，交直线于两点、； 5　 圆规：分别以点、为圆心，大于的长为半径画弧，在直线的另一侧两弧交于点； 6　 直尺：作直线，直线就是所求作的垂线。 【作图要点】 1　 第一步圆规半径要足够大，保证圆弧与直线于两点、； 2　 第二步半径必须大于； 3　 两弧交点要画在直线的另一侧，不能和点在同一侧； 4　 全部作图圆弧痕迹保留实线，不得擦除； 5　 最终结果是直线，不是线段、不是射线。 【例题-过直线外一点作垂线】 1. （25-26七年级下·福建泉州·期末）如图，在中，点是边上一点． (1)尺规作图：在射线上确定一点，使得；（要求：保留作图痕迹，不写作法） (2)在（1）的前提下，直线与相交于点，若，试说明：． 【答案】(1) 解：理由如下： ∵， 故， ∴． (2)证明：由（1）可知：， ，， ，， 又∵， ， 又， ． 2. （25-26七年级下·福建泉州·期末）如图，在中，，平分， (1)作边上的高（尺规作图，不用写作法，保留作图痕迹） 【答案】(1)如图1，即为所求； 【详解】（1）以为圆心，适当长为半径画弧交于，以为圆心，大于长为半径画弧，交于点，连接，交于，则是线段的垂直平分线，即为所求； 3. （25-26九年级下·广东肇庆·期中）如图，直线与相切于点，为的直径，延长交直线于点． (1)尺规作图：过点作于点；（保留作图痕迹，不要求写出具体作法） 【答案】(1) 如图所示，即为所作； 4. （2025·河南周口·模拟预测）如图，在中，，，，尺规作的平分线交于点，求四边形的周长为 。 【答案】 【详解】解：如图，连接， 由作图可知，， ∵是的平分线，， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形，是等边三角形， ∴， ∴四边形是菱形， ∴，，， 在中，， ∴， ∴， ∴四边形的周长． 5. （22-23八年级下·贵州六盘水·期末）阅读下面材料：小明遇到这样一个问题：如图1，在中，，于点，求证：． 小明利用条件，在上截取，连接，既构造了等腰，又得到，从而命题得证． (1)动手操作：根据题意，利用尺规将图1补充完整；（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】(1) 作图如下 6. （21-22九年级下·重庆·开学考试）如图，四边形为平行四边形，连接、交于点． (1)请用尺规完成基本作图：过点作直线的垂线，垂足为；在直线上作点使得，连接（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】（1）解：以点A为圆心，AO为半径画弧，交OB于H，分别以O、H为圆心，大于为半径画弧，两弧交于两点，过作直线交BD于E，以点B为圆心，AB长为半径画弧交直线AE于G，连结BG； 7. （2026·重庆·二模）学习了角平分线的性质后，小蜀发现在如图所示的四边形中，，与不平行，，若点为边上的中点，平分，则有平分．其证明思路是利用角平分线的性质和全等得出结论．请根据小蜀的思路完成以下作图和推理填空． (1)用尺规完成以下作图：过点作的垂线，垂足为点（不写作法，保留作图痕迹）； 【答案】（1）以点为圆心，大于点到的距离为半径画弧，使弧与交于点，点，再分别以点，点为圆心，大于一半的长度为半径画弧，两弧相交于左侧的点，连接交于点，则垂线即为所求； 8. （24-25七年级下·北京·期中）如图，P是内一点，按要求完成下列问题： (1)过点P作的垂线，垂足为点D； (2)过点P作的平行线，交于点E； 【答案】(1)如图，即为所求． (2)如图，所在直线即为所求． 考点6：过直线外一点，作已知直线的平行线 1. 例：已知直线，点在直线外，过点，求作直线的平行线。 【作图步骤】 1　 直尺：在直线上任取一点，连接； 2　 圆规：以为圆心，适当长为半径画弧，交直线于，交直线于； 3　 圆规：以为圆心，同样的长为半径画弧，交直线于； 4　 圆规：以为圆心，长为半径画弧，交前面的弧于点G； 5　 直尺：作直线，直线就是所求作的平行线。 【作图要点】 1　 作图时作等角的圆弧全部保留实线，不能擦掉； 2　 两个角必须在截线的同一侧，保证是同位角； 3　 最终是直线，不是射线； 4　 本作图是组合作图，不能直接写“过作的平行线”，必须写出作等角的完整弧迹。 【例题-作平行线】 1. （25-26七年级下·辽宁铁岭·期末）如图，点D为线段上的一点，过点D作射线，平分． (1)尺规作图：过点O作，交射线于点C（要求：不写作法，保留作图痕迹）； (2)在（1）的条件下，求的度数． 【答案】(1)如图，射线，点即为所求， (2) 【详解】 解： 以点为圆心，任意长度为半径画弧交于点，交于点； 以点为圆心，线段为半径画弧交于点； 以点为圆心，线段为半径画弧，两弧交于点； 作射线，交于点； 由作图可得， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 2. （25-26七年级下·山东烟台·期末）如图，是直线上一点，射线，，在直线同侧，且平分，平分，是上一点．请解答下列问题： (1)直接写出的度数是____________； (2)尺规作图：过点作的平行线，与交于点，与交于点（保留作图痕迹，不写作法）； 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：∵是直线上一点， ∴， ∵平分，平分， ∴， ∴； （2）略 3. （25-26七年级下·广东茂名·期中）【模型发现】某学校数学兴趣小组的学生在活动中发现：图1中的几何图形，很像小猪的猪蹄，于是将这个图形称为“猪蹄模型”，“猪蹄模型”中蕴含着角的数量关系． (1)如图1，过点P作（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法） 【答案】（1）解：如图，即为所求； 4. （24-25七年级下·福建漳州·期中）如图，直线与相交于点A，平分． (1)利用尺规：过点B作直线，交于点D； (2)若，求的度数． 【答案】(1) 解：，如图所示； (2) 【详解】（1）略 （2）解：由（1）得， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴． $