专题7 二次函数综合压轴题专项 单元复习讲义 20276-2027学年人教版九年级数学上册

简一数理 单元复习、期中期末复习 专题7 二次函数综合压轴题专项 （新教材人教版） 01 考情分析 → 锚考向，明权重，联考点，定方向 2 02 知识回顾 → 梳核心，破难点，搭框架，织体系 2 知识点一 二次函数动点通用解题框架（所有压轴通用） 2 知识点二 函数几何核心工具公式（压轴万能工具） 3 知识点三 线段与周长核心模型 3 知识点四 角度核心考点 3 知识点五 特殊三角形存在性原理 3 知识点六 特殊四边形存在性原理 3 知识点七 二次函数与相似三角形核心原理 4 03 典型例题 → 归题型，研母题，悟思路，善迁移 4 【题型1 线段周长问题】 4 【题型2 面积问题】 14 【题型3 角度问题】 26 【题型4 特殊三角形问题】 40 【题型5 特殊四边形问题】 54 【题型6 多结论问题】 68 【题型7 其他问题】 74 04 过关检测 → 分梯度，强综合，查漏洞，固成效 85 05 复盘笔记 → 集错题，析错因，重订正，常反思 120 01 考情分析 → 锚考向，明权重，联考点，定方向 常考考点 命题风向 ・求抛物线解析式、顶点、交点坐标，基础计算打底。 ・线段最值、面积最值与面积定值问题，坐标法表达线段与面积。 ・存在性探究：等腰三角形、直角三角形、平行四边形、相似三角形。 ・角度问题：等角、倍角、直角的转化与坐标推理。 ・动点、动线问题，分类讨论，结合函数图象分析边界。 ・基础命题：解析式求解、简单线段长度计算，一般为压轴第一小问，难度较低。 ・综合命题：面积最值、线段最值、简单图形存在性，压轴第二问，考查数形结合与分类讨论。 ・素养命题：多情况存在性、角度转化、动点多阶段分析，设问层层递进，侧重逻辑推理与严谨分类。 考情解码： ・模块地位：中考代数几何综合核心大题，整册书难度顶峰，综合前面方程、几何、函数全部知识。 ・考频与分值：中考必考压轴大题；期中期末常作为试卷最后一题，分值 10-12 分。 ・高频考法：求解析式；面积最值；线段最值；平行四边形、等腰、直角三角形存在性；角度探究。 ・失分规律：分类讨论漏情况；坐标计算出错；图形转化思路不清；忽略点的位置限制；漏分类、计算失误是主要丢分点。 02 知识回顾 → 梳核心，破难点，搭框架，织体系 知识点一 二次函数动点通用解题框架（所有压轴通用） 1. 固定第一步：求抛物线解析式、对称轴、顶点坐标、与坐标轴交点坐标。 2. 动点通用设法： 抛物线上动点：设 对称轴上动点、直线上动点采用对应解析式设元。 3. 核心转化思想：所有几何问题，全部转化为坐标与方程问题。 4. 必备限制条件：动点横坐标取值范围（图像区间限制）。 知识点二 函数几何核心工具公式（压轴万能工具） 1. 水平线段长： 2. 竖直线段长： 3. 任意两点距离公式： 4. 铅垂高·水平宽面积公式（必考） S=1/2*水平宽*铅垂高，适合所有动点三角形面积最值、面积比例问题。 知识点三 线段与周长核心模型 1. 将军饮马最短路径：两定点一动点，利用对称转化两点之间线段最短。 2. 三角形最小周长、四边形最小周长模型。 3. 线段差最大值模型：利用三角形三边关系。 知识点四 角度核心考点 1. 垂直问题：斜率乘积为-1（初中可通过直角三角形相似/勾股替代）。 2. 45°角、等角、余角、补角构造。 3. 平行线、夹角相等的坐标特征。 知识点五 特殊三角形存在性原理 1. 等腰三角形：两腰相等，分三类讨论：三边两两相等。 2. 直角三角形：勾股定理垂直，分三类讨论：三个顶点分别为直角顶点。 知识点六 特殊四边形存在性原理 1. 平行四边形：对角线互相平分（中点重合），压轴万能解法。 2. 矩形：平行四边形+邻边垂直/对角线相等。 3. 菱形：平行四边形+邻边相等/对角线垂直。 4. 正方形：兼具矩形、菱形特征。 知识点七 二次函数与相似三角形核心原理 1. 两角对应相等即可相似。 2. 动点相似必须分类讨论对应顶点，避免唯一解漏情况。 3. 利用竖直角三角形、水平直角三角形构造相似，列比例方程求解。 03 典型例题 → 归题型，研母题，悟思路，善迁移 【题型1 线段周长问题】 【例1】（26-27九年级上·山东济宁·阶段检测）已知，如图一次函数的图象与轴交于点，与轴交于点；二次函数的图象与一次函数的图象交于、两点，与轴交于、两点，且顶点坐标为． (1)求二次函数的解析式； (2)若点是轴上的一动点，当的值最小时，求点的坐标； (3)在轴上是否存在点，使得是直角三角形？若存在，求出所有的点，若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)或或或 【分析】（1）根据直线的解析式，可求得点B的坐标，再结合顶点坐标利用待定系数法求解即可． （2）求出点C的坐标，作点B关于x轴的对称点R，连接，则，可证明当C、P、R三点共线时，有最小值，据此求解即可； （3）分三种情况：当点P为直角顶点时，则，当点B为直角顶点时，则，当点C为直角顶点时，则，利用勾股定理建立方程求解即可． 【详解】（1）解：在中，当时，， ∴， ∵顶点坐标为， ∴抛物线的解析式为， 把代入得，， 解得， ∴二次函数的解析式为； （2）解：联立，解得或， ∴； 如图所示，作点B关于x轴的对称点R，连接，则， 由轴对称的性质可得， ∴， ∴当C、P、R三点共线时，有最小值； 设直线的解析式为， 则， ∴， ∴直线的解析式为， 在中，当时，， ∴点P的坐标为； （3）解：设： ∵， ∴，， ； 当点P为直角顶点时，则， ∴， 解得或， ∴点P的坐标为或； 当点B为直角顶点时，则， ∴， 解得， ∴点P的坐标为； 当点C为直角顶点时，则， ∴， 解得， ∴点P的坐标为； 综上所述，点P的坐标为或或或． 【变式1-1】（26-27九年级上·河北邯郸·阶段检测）如图，已知二次函数的图象经过点，，与x轴另一交点为点B，点D在线段上运动（不与点O，点A重合），过点D作x轴的垂线，与交于点Q，与抛物线交于点P． (1)__________； (2)若，求点P的坐标． (3)求线段的最大值． (4)在抛物线上是否存在一点E（不与点C重合），使得的面积等于的面积？若存在，请直接写出点E的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3) (4)点的坐标为或或 【分析】（1）将代入二次函数解析式计算即可得出结果； （2）由（1）可得二次函数的解析式为，求出直线的解析式为，设点的坐标为，则，，表示出，，再结合计算即可得出结果； （3）由（2）可得，再结合二次函数的性质计算即可得出结果； （4）先由二次函数的对称性可得，则，从而可得，设点，则，再结合的面积等于的面积，计算即可得出结果． 【详解】（1）解：∵二次函数的图象经过点， ∴， 解得； （2）解：由（1）可得二次函数的解析式为， 设直线的解析式为， 将，代入解析式得， 解得， ∴直线的解析式为， ∵点D在线段上运动（不与点O，点A重合）， ∴设点的坐标为， ∵过点D作x轴的垂线，与交于点Q，与抛物线交于点P， ∴，， ∴，， ∵， ∴， 解得或（不符合题意，舍去）， ∴当时，， ∴； （3）解：由（2）可得，， ∵，， ∴当时，取最大值，最大值为； （4）解：由（1）可得二次函数的解析式为， ∴二次函数的对称轴为直线， ∵二次函数的图象经过点，与x轴另一交点为点B， ∴由二次函数的对称性可得， ∴， ∵， ∴， ∴， 设点，则， ∵的面积等于的面积， ∴， ∴， ∴或， 当时，整理得， 解得（此时与点重合，不符合题意，舍去）或， 此时点的坐标为， 当时，整理得， 解得或， 此时点的坐标为或； 综上所述，点的坐标为或或． 【变式1-2】（26-27九年级上·山东淄博·阶段检测）如图1，抛物线的顶点为D，与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，直线与抛物线交于点B及点C． (1)求抛物线解析式； (2)在直线上方（不和点B、C重合）抛物线上有一动点P． ①点P的纵坐标的取值范围为_____________； ②过点P作x轴的平行线，交直线于点Q，求的最大值； (3)如图2当P在抛物线上运动时（不和点A、B、C重合），过点P作x轴的垂线，交直线于点E，交x轴于点F，当时，求点P的坐标． 【答案】(1) (2)①；②的最大值为：； (3)点P的坐标为：或． 【分析】（1）由待定系数法即可求解； （2）①观察函数图象即可求解； ②设点，则点，则，即可求解； （3）设，则点，则，，即可求解． 【详解】（1）解：∵直线与抛物线交于点B及点C， 当时；当时，， ∴点B、C的坐标分别为：、， 由题意得：， 解得：， 则抛物线的表达式为：； （2）解：由抛物线的表达式可知点， ①当点P在上方时，则点P的纵坐标的取值范围为：， 故答案为：； ②如图，设点，则点， 则， ，故有最大值， 当时，的最大值为：； （3）解：如图2，设，则点， 则，， ， 即， 解得：（舍去）或2或， 故点P的坐标为：或． 【变式1-3】（26-27九年级上·全国·期中）如图，抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，直线经过B，C两点，点A的坐标为，P是第一象限内抛物线上的一个动点，于点Q，设点P的横坐标为n． (1)求抛物线的函数解析式； (2)求线段的最大值，并求此时n的值； (3)在（2）的条件下，当线段取最大值时，若M是x轴正半轴上一动点，N是抛物线上一动点，试判断是否存在这样的点M，使得以点B，P，M，N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)； (2)当时，线段有最大值，最大值为； (3)存在．点M的坐标为、、． 【分析】（1）将代入求出，进而求出直线的函数解析式，得到点B的坐标为，将，代入中求解即可； （2）由题意可知，得到，过点P作轴于点E，交于点F，根据勾股定理求出，根据点P的横坐标为可知，，则，求出解析式，进而根据二次函数的性质作答即可； （3）由（2）得取最大值时，P点坐标为，分两种情况根据平行四边形的性质作答即可． 【详解】（1）解：当时，， ∴点C的坐标为． 将代入中，得， ∴直线的函数解析式为． 当时，，∴点B的坐标为． 将，代入中， 得解得 ∴抛物线的函数解析式为． （2）解：，， ， ． 如图，过点P作轴于点E，交于点F， ， ． ， ． ∵点P的横坐标为， ，， ， ． ，， ∴当时，线段有最大值，最大值为． （3）解：由（2）得取最大值时，P点坐标为，已知， 设（，M在x轴正半轴），以B、P、M、N为顶点的四边形是平行四边形，分两种情况：为平行四边形的边或为平行四边形的对角线. ①当为平行四边形的边时，如图， 可知， 此时N的纵坐标为4， 代入抛物线， 解得或（对应点P，舍去）， 即． ∴， 由平行四边形对边平行且相等，得 或 即或； ②当为平行四边形的对角线时，如图， 根据平行四边形的性质可知，， 即，， 解得：，， 即 将代入得， 解得​， 当时，， 当时，（舍去）， ∴M点为； 综上所述，∴点M的坐标为、、． 【题型2 面积问题】 【例2】．（26-27九年级上·河南新乡·阶段检测）如图，抛物线与x轴交于点，与y轴交于点C，连接． (1)求抛物线的表达式； (2)①点E是第一象限抛物线上一点，连接，求的面积最大值； ②抛物线上是否存在点M，使得的面积与的面积相等，若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由； (3)点在第一象限的抛物线上，连接．在对称轴左侧的抛物线上是否存在一点P，满足？如果存在，请求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)①；②或 (3) 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）①过点E作y轴的平行线交于点S，求出直线的表达式为；设，则，求出的最大值；根据，可推出当有最大值时，有最大值，据此可得答案；②求出的面积，可推出当点M在直线上方时，不满足的面积与的面积相等；当点M在直线下方时，则，故直线的解析式为，据此求解即可； （3）取点，连接，可证明，推出，则B、P、G三点共线；求出直线的表达式为，再联立函数表达式求解即可． 【详解】（1）解：∵抛物线与x轴交于点， ∴， ∴， ∴抛物线的表达式为； （2）解：①如图所示，过点E作y轴的平行线交于点S， 在中，当时，， ∴； 设直线的表达式为， ∴， ∴， ∴直线的表达式为； 设，则， ∴， ∵， ∴当时，有最大值，最大值为； ∵ ， ∴当有最大值时，有最大值， ∴的最大值为； ②∵， ∴， ∴， 由（2）①可知当点M在直线上方时，的最大值为，此时不满足的面积与的面积相等； 当点M在直线下方时， ∵的面积与的面积相等， ∴， ∴直线的解析式为， 联立， 解得或， ∴点M的坐标为或； （3）解：在中， 当时，， ∴； 如图所示，取点，连接， ∵，，， ∴，轴， ∴，，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴B、P、G三点共线； 同理可得直线的表达式为， 联立， 解得或， ∴点P的坐标为． 【变式2-1】（26-27九年级上·重庆长寿·阶段检测）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点C． (1)求抛物线的解析式； (2)如图1，点P是直线上方抛物线上的一动点，连接，求面积的最大值及此时点P的坐标； (3)如图2，连接，抛物线是否存在点Q使？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)面积最大，此时点 (3)存在，点Q的坐标为或 【分析】（1）利用待定系数法解答即可； （2）过P作轴交于E，求出，直线解析式为，设，则，可得，故，根据二次函数性质可得答案； （3）分两种情况：当点Q在上方时， 当点Q在下方时，即可求解． 【详解】（1）解：∵抛物线与轴交于两点， ∴， 解得：， ∴抛物线的解析式为； （2）解：当时，， ， ∴设直线解析式为，把，分别代入，得 ， 解得， ∴直线解析式为， 设，其中，过作轴交于，如图 则， ∴， ∴， ∵，开口向下，对称轴为， ∴当时，面积最大． 此时，即； （3）解：存在，理由如下： ①当点Q在上方时，作点关于y轴的对称点，过点B作交抛物线于点Q，则， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，此时点Q符合题意， 设直线的解析式为， 把点代入得： ， 解得：， ∴直线的解析式为， 可设直线的解析式为， 把点代入得：， 解得：， ∴直线的解析式为， 联立得：， 解得：或， ∴点Q的坐标为； ②当点Q在下方时，作点，直线与抛物线交于点， 同理直线的解析式为， ∵， ∴， ∴， ∴， 联立得：， 解得：或， ∴点的坐标为； 综上所述，点Q的坐标为或． 【变式2-2】（26-27九年级上·黑龙江齐齐哈尔·阶段检测）在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，抛物线经过点、． (1)求、满足的关系式及的值． (2)如图，当时，在抛物线上是否存在点，使的面积与的面积相等？若存在，请求出符合条件的所有点的坐标；若不存在，请说明理由． (3)当时，若的函数值随的增大而增大，请直接写出的取值范围． 【答案】(1)， (2)或或或 (3) 【分析】（1）求出点、的坐标，代入，即可求解； （2）当时，可得抛物线解析式为，设点，过点作于点，由，，可得，则，即可求解； （3）由，可得抛物线的对称轴为直线，根据题意可得，结合，即可求解． 【详解】（1）解：∵直线与轴交于点，与轴交于点， 当时，，解得， 当时，， ∴，， 把，代入，得， ∴，． （2）解：由（1）可知，， 当时，， ∴抛物线解析式为， 如图，设点，过点作于点， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴，即， ∴， ∴或 整理得或 解得，，，， 当，时，， ∴，， 当，时，， ∴，， 综上所述，点的坐标为或或或． （3）解：由（1）可知，，， ∴抛物线解析式为， ∴抛物线的对称轴为直线， ∵， ∴抛物线开口向下， ∵当时，的函数值随的增大而增大， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 【变式2-3】（26-27九年级上·上海金山·阶段检测）如图，已知抛物线的图像与轴交于，，与轴交于点，、为抛物线上的两点． (1)求该二次函数的表达式； (2)若在抛物线的对称轴上存在一点，连接、，使的值最小，求点的坐标； (3)设的横坐标为，的横坐标为，试探究：的面积是否存在最小值？若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)S存在最小值为 【分析】（1）由待定系数法即可求解； （2）求出抛物线的对称轴为直线，得，，当三点共线时，值最小，求出直线的解析式，代入即可求解； （3）由，分三种情况讨论即可求解． 【详解】（1）解：∵抛物线的图像与轴交于，， ∴设， ∵在抛物线上， ∴ ∴， 则抛物线的表达式为：； （2）解：∵， ∴抛物线的对称轴为直线， ∵，， ∴关于对称轴对称， ∴， ∴， ∴当三点共线时，值最小， 设直线的解析式为， 把，代入解析式得， 解得， ∴直线的解析式为， 把代入得， ∴； （3）解：存在， ∵的横坐标为， ∴； ∵的横坐标为， ∴ ， ∴ 设直线交x轴于点H，直线的表达式为， 把点P、Q的坐标代入得： ∴ ∴直线的表达式为：， ①当时，， 此时，, ∴点关于对称轴对称，且轴， 此时； ②当时，令y＝0， 则， 则， ∵， 、当，即时，， 则 ； Ⅱ、当，即时，， 则 ． 综上，S存在最小值为． 【题型3 角度问题】 【例3】（26-27九年级上·重庆·开学考试）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于，B两点，且经过点，连接，． (1)求抛物线的表达式； (2)P是线段上方抛物线上的一动点，过点P作，垂足为D，E，F是线段上动点（E在F上方），且，连接，．当的长度取得最大值时，求点P的坐标及的最小值； (3)将抛物线沿射线方向平移个单位长度得到抛物线，点C的对应点为G，M是平移后抛物线上一点，射线交直线于点N，且．请直接写出所有符合条件的点M的横坐标，并写出求解点M的横坐标的其中一种情况的过程． 【答案】(1) (2)；的最小值为 (3)符合条件的点M的横坐标为或； 将抛物线沿射线方向平移个单位长度得到抛物线，即将抛物线向右平移1个单位，向下平移1个单位， ∵， ∴， ∵点的对应点为G， ∴， 又，， ∴，． ∴ ∴是等腰直角三角形， ∴ ∵ 情形一：如图，当时， 由，可得直线的解析式为， 由，可得直线的解析式为． 设直线的解析式为， 代入得，，解得：， ∴直线的解析式为． 联立 ∴ 解得：或（舍去） 情形二：由情形一可得， 解得：，则 作关于的对称点， ∵，则点在直线上， ∴设， ∵ ∴ 解得： ∴ 设直线的解析式为，代入， ∴ 解得： ∴直线的解析式为 联立 ∴ 解得：或（舍去） 综上所述，符合条件的点M的横坐标为或 【分析】（1）将，代入，待定系数法求解析式，即可求解； （2）先求得直线的解析式，过点作轴交于点，过点作轴于点，得出，设，当的长度取得最大值时，取得最大值，进而求得关于的解析式，根据二次函数的性质求得最值；作，则，， ，得出，作点关于的对称点，连接，则，，进而根据轴对称的性质求得最小值； （3）根据已知得出，进而得出求得其中一个解，再根据对称性即可求得另一个解，即可求解． 【详解】（1）解：将，代入， 得：， 解得：， ∴抛物线的表达式为； （2）解：令， 解得：， ∴． 设直线的解析式为，代入，， ∴， 解得：， ∴直线的解析式为． 如图，过点作轴交于点，过点作轴于点， ∵，， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴，， ∵轴，轴， ∴， ∴， 又∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴当的长度取得最大值时，取得最大值． 设， ∴， ∴， ∵, ∴当时，取得最大值为，则的最大值为， 此时，， ∴． 如图，作，则，， ， ∴， 过点分别作轴的平行线交于点， ∵，， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴ ∵，则 ∴， ∵， ∴，即最小值为． 作点关于的对称点，连接，，则，， 当与的交点即为点时取得最小值，最小值为的长， ∵的最大值为，且，又点关于的对称点， ∴， ∵， ∴ 在中， 即的最小值为； （3）略 【变式3-1】（2026·四川雅安·一模）如图，抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点． (1)求抛物线及直线的解析式； (2)直接写出抛物线的顶点坐标和对称轴； (3)若P为抛物线上一点，当时，求点P的横坐标． 【答案】(1)抛物线的解析式为，直线的解析式为； (2)顶点坐标为，对称轴为直线； (3)点的横坐标为． 【分析】（1）已知抛物线与轴交于、，可设交点式，再利用与轴交点求出；利用待定系数法求直线解析式即可． （2）把抛物线解析式化为顶点式，或直接利用顶点横坐标公式，代入求纵坐标． （3）延长交x轴于点，由可得，设点的坐标为，利用两点距离公式求出m，再用待定系数法求出直线的解析式，最后与抛物线联立求解． 【详解】（1）解：抛物线与轴交于、， 设其解析式为， 抛物线与轴交于点，令得， 又此时， ， 解得：， ， 点的坐标为， 设直线解析式为， 把、，代入，得 解得， 直线的解析式为． （2）解：， 抛物线的顶点坐标为，对称轴为直线． （3）解：、、， ，，， 在中，， 延长交x轴于点， ， ∴， 设点的坐标为， ， 解得， 点的坐标为， 设直线的解析式为， 直线过点， ， 又直线过点， ， 解得：， 直线的解析式为， 点在抛物线上， ， 解得：（为点，舍去）或， 点的横坐标为． 【变式3-2】（25-26八年级下·福建福州·期末）已知抛物线： (1)当，时，求抛物线的顶点坐标； (2)点为平面直角坐标系原点，点，在抛物线上，且，． ①若，用含的代数式表示； ②当时，求证：抛物线恒过定点，并求出定点的坐标． 【答案】(1) (2)①； ②抛物线恒过定点，定点坐标为； 证明：∵， ∴由勾股定理得， ∵，， ∴，， ， ， 将上述式子代入得： 整理得， 提取公因式得， ∵，且， ∴， ∴，即， 由①得，将代入得：， 将代入得， ∴抛物线的解析式为， 当时，，结果与的取值无关， ∴抛物线恒过定点，定点坐标为． 【分析】（1）将给定的代入抛物线解析式，用配方法即可求出顶点坐标； （2）①将，两点坐标代入抛物线解析式，两式作差后因式分解，结合和即可推导出关于的表达式； ②利用勾股定理结合求出的值，再推导得到为定值，即可证明抛物线恒过定点并求出定点坐标，即可求解． 【详解】（1）解：当，时，抛物线的解析式为 配方得 因此抛物线的顶点坐标为 （2）①因为点，都在抛物线上 所以可得 两式作差得 整理得 因式分解得 ∵， ∴， ∴ ②略 【变式3-3】（2026·重庆·一模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，连接，，，． (1)求抛物线的表达式； (2)点P是直线上方抛物线上的一动点，连接与交于点D，点E是y轴上一动点，连接，．记的面积为；的面积为，当取得最大值时，求点P的坐标及的最小值； (3)在（2）中取得最大值的条件下，将抛物线沿射线CA方向平移得到抛物线，抛物线经过点A，且抛物线的对称轴与x轴交于点G，点N为抛物线上一动点，若 ，请直接写出所有符合条件的点N的坐标，并写出求解点N的坐标的其中一种情况的过程． 【答案】(1) (2)，的最小值为． (3)的坐标为：或，过程见解析． 【分析】（1）求解，，，进一步求解解析式即可； （2）如图，过作轴交于，设，则，证明，可得，当时，取得最大值，，即当取得最大值时，点P的坐标为，如图，作于，，且为延长线上的点，作交于，交轴于，此时，此时值最小，再进一步求解即可； （3）求解平移后的抛物线为，抛物线的对称轴为直线，，延长交轴于，过作于，求解，可得，在轴上取点，且，延长交新抛物线于，同理取，连接并延长交新的抛物线于，此时符合题意，进一步求解即可． 【详解】（1）解：∵抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，即，即， 设抛物线为：， ∴， 解得：， ∴抛物线为： ． （2）解：如图，过作轴交于， ∵，， 设直线为，则， 解得：， ∴直线为， 设，则， ∴ ， ∵轴， ∴， ∴， ∵， 当时，取得最大值， ∴， 记的面积为；的面积为， ∴， ∴当取得最大值时，点P的坐标为， 如图，作于，，且为延长线上的点，作交于，交轴于， ∴， ， ∴ ， 此时，此时值最小， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的最小值为． （3）解：如图，将抛物线沿射线方向平移得到抛物线， ∴抛物线先向左平移个单位，再向下平移个单位，抛物线经过点A， ∴平移后的抛物线为， ∴抛物线的对称轴为直线， ∴， 延长交轴于，过作于， ∵，， 同理可得：直线为， ∴， ∴ ， ∴， 而，则， ∴， ∵ ，当 时， ∴ ， ∴， 在轴上取点，且，延长交新抛物线于， ∴， ∴， 同理可得的解析式为：， 令， 解得：，（舍去）， ∴， ∴， 同理取，连接并延长交新的抛物线于， 此时符合题意， 同理可得：的解析式为：， 同理可得：， 综上：的坐标为：或． 【题型4 特殊三角形问题】 【例4】（26-27九年级上·新疆·阶段检测）如图，A，B，C是平面直角坐标系轴上的三个点，直线与抛物线交于B，C两点，，抛物线经过A，B，C三点． (1)求抛物线的解析式； (2)若点N是抛物线上的一动点且位于直线的上方，试求的最大面积． (3)在抛物线上是否存在点M，使得是以为直角边的直角三角形？若存在，求出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在，M的坐标是或 【分析】（1）先求出点坐标，再设交点式求解即可； （2）过点N作轴交直线于点P，设，则，表示出，再由建立起面积的二次函数关系式，再由二次函数的性质求解； （3）设，①当以C为直角顶点时，如图，过点C作，交抛物线于点．过点作y轴的垂线，垂足是E，则，得到是等腰直角三角形，则，即可建立方程求解；②当以B为直角顶点时，如图，过点B作，交抛物线于点，交y轴于点G．过点作y轴的垂线，垂足是F，则，轴，得到是等腰直角三角形，则，即可建立方程求解． 【详解】（1）解：令，则， 令，则，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， 设抛物线， 代入，得，， ∴； （2）解：如图3，过点N作轴交直线于点P， 设，则， ∴， ∵轴， ∴点C到的距离为，点B到的距离为， ∴， ∵ ∴当时，的面积最大，为． （3）解：存在． 设， ①当以C为直角顶点时，如图，过点C作，交抛物线于点．过点作y轴的垂线，垂足是E，则， 由，，得， ∴， ∵， ∴． ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴，即， 解得（舍去），． ∴， ∴． ②当以B为直角顶点时，如图，过点B作，交抛物线于点，交y轴于点G．过点作y轴的垂线，垂足是F，则，轴， ∵，， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∵轴，即轴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴，即， 解得，（舍去）， ∴， ∴， 综上所述，M的坐标是或． 【变式4-1】（2026·山东威海·三模）如图，抛物线（）与轴交于，两点，与轴交于点，且．直线与抛物线交于、两点，与轴交于点，点是抛物线的顶点，设直线上方的抛物线上的动点的横坐标为． (1)求该抛物线的解析式及顶点的坐标； (2)连接，直接写出线段与线段的数量关系和位置关系； (3)在直线上是否存在一点，使为等腰直角三角形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，顶点的坐标为 (2)，且 (3)存在，点的坐标为或 【分析】（1）直线与抛物线交于A、E两点，可得点A和点E坐标，再求出点B、C的坐标分别为：、，利用待定系数法即可求解； （2）分别求出和的长，根据待定系数法求出直线的解析式，即可求解； （3）分、、三种情况，分别求解即可． 【详解】（1）解：直线与抛物线交于、两点， ∴令，则，解得； 令,则， ∴点，点． ，， 点B的坐标为， 故抛物线的表达式为， 将点的坐标代入，得， 解得， 抛物线的表达式为， 顶点的坐标为． （2）解：，且，理由： ，， ， 设直线的解析式为， 将，代入，得， 解得， 故直线的解析式为． 、点， ， 故； 直线的解析式为，直线的解析式为， 故将直线向上平移个单位得到直线， ， 故，且． （3）解：存在，点的坐标为或． 设点，点，，而点， 联立， 得，， ∴，， ∵P点在直线的上方， ∴． ①当时， 如图，过点作轴的平行线，过点、点作轴的平行线，交过点且平行于轴的直线于点、， ，， ， ，， ， ，， 即，， 解得． 当时，， 解得，（舍去）， 点． ②当时，如图，过Q点作y轴的垂线，过P、H分别作的垂线，交于M、N两点， 则， ∴， 又∵， ∴， ∴， 又∵, ∴， ∴，， ∴，， 解得，， 又∵， ∴， 解得，（舍去）， ∴． ③当时， 当点在抛物线对称轴的右侧时，如图， 点在的下方，与题意不符，舍去； 当点在抛物线对称轴的左侧时，如图，过H点作直线轴，分别过P、Q点作直线的垂线，垂足分别为M、N ， 则， ∴， 又∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∴，， 解得， 又∵， ∴， 解得（舍去），， 故点． 综上可得，点的坐标为或． 【点睛】本题考查的是二次函数综合运用，难度较大，涉及到一次函数、三角形全等，要注意分类求解，避免遗漏．熟练掌握这些性质、判定、二次函数的图象和性质是解题的关键． 【变式4-2】（·四川自贡·模拟预测）如图，已知抛物线 的对称轴为，且抛物线经过， (1)若直线经过两点，求直线所在直线的解析式； (2)抛物线的对称轴上找一点，使点到点的距离与到点的距离之和最小，求出此点的坐标； (3)在抛物线的对称轴上的是否存在点，使为直角三角形，若存在，请求出符合条件的点的坐标？若不存在，请说明理由． (4)在抛物线的对称轴上的是否存在点，使为等腰三角形，若存在，请求出符合条件的点的坐标？若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3) 存在，点的坐标为或或或 (4) 存在，点的坐标为或或或或 【分析】（1）根据抛物线的对称轴，经过，运用待定系数法得到抛物线的解析式，由此得到，再运用待定系数法得到一次函数解析式； （2）根据题意，点A关于的对称点为点B，当点三点共线时点到点的距离与到点的距离之和最小，结合一次函数解析式即可求解； （3）设，运用两点之间距离公式得到，结合勾股定理列式求解即可； （4）设，运用两点之间距离公式得到，根据等腰三角形的定义，分类讨论，由数量关系列式求解即可． 【详解】（1）解：抛物线 的对称轴为，且抛物线经过， ∴， 解得，， ∴抛物线解析式为， 当时，， 解得，， ∴， ∵直线经过两点， ∴， 解得， ∴直线的解析式为； （2）解：点A关于的对称点为点B，如图所示， ∴， ∴， 当点三点共线时，取等号， ∴当时，在直线上得，， ∴； （3）解：如图所示，设，已知， 当是以为直角的直角三角形时，， ∵，，， ∴， 整理得，， 解得：， ∴，； 当是以为直角的直角三角形时，， ∴， 整理得，， 解得：， ∴； 当是以为直角的直角三角形时，， ∴， 整理得，， 解得：， ∴； 综上，点的坐标为或或或； （4）解：设，已知， ∴，，， 当是以为顶角的等腰三角形时，，则， ∴， 解得：， ∴； 当是以为顶角的等腰三角形时，，则， ∴， 整理得，， 解得：， ∴或； 当是以为顶角的等腰三角形时，，则， ∴， 解得：， ∴或； 综上，点的坐标为或或或或． 【变式4-3】（山东临沂·模拟预测）二次函数的图象的一部分如图所示．已知它的顶点M在第二象限，且经过点和点． (1)试求a，b所满足的关系式； (2)设此二次函数的图象与x轴的另一个交点为C，当的面积为面积的倍时，求a的值； (3)是否存在实数a，使得为直角三角形？若存在，请求出a的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)不存在实数a，使得为直角三角形． 理由如下： ①由图可知，A为直角顶点，不可能； ②若C为直角顶点，此时与原点O重合，由题意可知，也不可能； ③若B为直角顶点，则， 令，可得， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴，整理得， 解得， 由（2）可知，， ∴，不合题意，舍去； 综上所述，不存在实数a，使得为直角三角形． 【分析】（1）把点和点代入，即可求解； （2）先求出顶点M的坐标，再利用得到关于a的方程，即可求解； （3）分A为直角顶点，C为直角顶点，B为直角顶点，三种情况进行讨论，即可求解． 【详解】（1）解：将，代入，得， ∴． （2）解：由（1）可知， ∴顶点M的纵坐标为， ∵， ∴ ∴， 整理得， 解得， 由图象可知， ∵顶点M在第二象限， ∴对称轴， ∵， ∴，即， ∴， ∴． （3）略 【题型5 特殊四边形问题】 【例5】（26-27九年级上·陕西榆林·阶段检测）如图，抛物线经过、、三点． (1)求、、的值； (2)在抛物线对称轴上找一点，使的值最小时，求点的坐标； (3)点为轴上的动点，轴左侧的抛物线上是否存在点，使以、、、四点构成的四边形是以为边的平行四边形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)1，， (2) (3)存在，点的坐标为或 【分析】（1）首先将点代入抛物线解析式并解得的值，即可确定该抛物线解析式，然后计算，的值； （2）首先确定该抛物线的对称轴为，且点关于直线对称，易得，当点在同一直线上时，取最小值，即取最小值；设直线的解析式为，利用待定系数法确定直线的解析式，进而确定点坐标即可； （3）分点N在x轴下方和点N在x轴上方两种情况讨论，结合平行四边形的性质求解即可． 【详解】（1）解：将点代入抛物线， 可得，解得， ∴该抛物线解析式为， 当时，可得， 解得， ∵，且点在点左侧， ∴，即， 将点代入抛物线， 可得； （2）∵抛物线的解析式为， ∴其对称轴为直线， 由（1）可知，，，且点为对称轴上一点， 由抛物线的对称性可知，点关于直线对称， ∴， ∴，当点在同一直线上时，取最小值，即取最小值，连接，交对称轴于点，如图所示， 设直线的解析式为， 将点，点代入， 可得，解得， ∴直线的解析式为， 当时，， ∴； （3）存在点N，使以A，C，M，N四点构成的四边形为平行四边形， 分两种情况讨论，如图所示， ①当点N在x轴下方时，四点构成平行四边形，如图所示， ∴， ∴， 对于抛物线，当时， 可得，解得， ∵， ∴， ∴； ②当点N在x轴上方时，四点构成平行四边形，如图所示，过点作轴于点D， ∴，， ∴ 在与中， ， ∴， ∴，即点的纵坐标为3， 对于抛物线，当时， 可得，解得， ∵点在轴左侧的抛物线上， ∴， ∴． 综上所述，符合条件的点N的坐标为或． 【变式5-1】（26-27九年级上·湖南长沙·阶段检测）如图1，抛物线交轴于点和点，交轴于点，且． (1)求抛物线的表达式； (2)点是直线上方抛物线上一动点，连接和，交于点，交轴于点，若是以为底的等腰三角形，求点的坐标； (3)如图2所示，若点是抛物线上一动点，过点作轴交直线于点，请问在轴上是否存在点，使以，，，为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)抛物线的表达式为 (2) (3)符合条件的点有三个，坐标为：，， 【分析】（1）先推导出，再根据待定系数法进行求解即可； （2）先求出，即，根据三角形的内角和求出，推导出，得到，可推导出是等腰直角三角形，求出，继而求出直线解析式是，联立直线与抛物线，求出点D的横坐标，再求出，即可解答； （3）分类讨论：当为对角线和菱形边时，利用直线与x轴成角关系建立关于P的横坐标的方程，进而求出点的坐标． 【详解】（1）解：∵，且， ∴， ∴， 将，分别代入，得 ， 解得， ∴抛物线的表达式为； （2）解：当时， ， 解得， ∴，即， ∵，， ∴， ∵是以为底的等腰三角形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形，且， ∴， 设直线解析式是，把，分别代入，得 ， ∴， ∴直线解析式是， 联立直线与抛物线：，得 ， 解得（点B，舍去），， 将代入，得 ， ∴； （3）解：设直线解析式是， 把，代入，得 ， ∴， ∴直线解析式是． ①当为菱形的对角线时，如图2， 设，则， ∴， ，四边形是菱形， ∴，， ∴四边形是正方形， ∴，即轴， ∴， ， 解得（不合题意舍去）或， 此时， ． ②当为菱形的边时，如图， 作于点H，   设，则， ∴，， ， ∴． ∴ 解得：，，（不合题意舍去）． 或． ∴，， 如图所示， 综上所述，符合条件的点有三个，坐标为：，，． 【变式5-2】（25-26九年级上·内蒙古赤峰·阶段检测）如图，已知抛物线经过，两点，与y轴的交点为C，顶点为D． (1)求该抛物线的表达式及D点的坐标； (2)点P为该抛物线上一动点（与点B、C不重合），设点P的横坐标为m． ①当点P在直线的下方运动时，求的面积的最大值； ②点P在抛物线上，点Q在y轴上，是否存在以B、D、P、Q为顶点的四边形为平行四边形？若存在，直接写出所有点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)抛物线的表达式为：，点的坐标为 (2)①②点P的坐标为或或 【分析】（1）将A点和B点坐标代入表达式，解二元一次方程组即可得到抛物线的表达式，将表达式化为顶点式，就可以得到D点的坐标； （2）①先求出点C和点P的坐标，再求出所在直线的表达式，过点P向x轴作垂线交于点E，数形结合，写出面积的表达式即可得到结果； ②利用平行四边形的性质求解，进行分类讨论，为对角线时，点B和点D的中点坐标也是点P和点Q的中点坐标；为边时，且，设和所在直线的表达式为、，则，再分别求出和，联立求解即可 ． 【详解】（1）解：，两点在抛物线的图象上， 将，两点代入得：， 解得：， 抛物线的表达式为：； ∵， 点的坐标为； （2）解：①过点P向x轴作垂线，交于点E，如下图所示： 在中，当时，， 抛物线与y轴交于点C， 点的坐标为， 设所在直线的表达式为：， 将和代入得：， 解得：， 所在直线的表达式为， P点在抛物线的图象上，P点的横坐标为m， 点的坐标， ∵在中，当时，， ∴， ， ， 的最大面积是； ②设，， 点B、D、P、Q构成的四边形是平行四边形， 分为以下两种情况进行讨论： 第一种：以为对角线，根据平行四边形对角线互相平分的性质进行求解：中点的坐标为，则的中点坐标也为， ，， 解得：，， 的坐标为； 第二种：以为边，根据平行四边形对边平行且相等的性质进行求解，即，， 设所在直线的表达式为， 将，代入得：， 解得：， ∴所在直线的表达式为． 设所在直线的表达式为， 将，代入得：， 解得：， ∴所在直线的表达式为． ， ， 即， 得：， ∵，， 又， ， 解得：， 当时，点P的坐标为； 当时，点P的坐标为； 综上所述，点P的坐标为或或． 【变式5-3】（25-26九年级上·四川眉山·阶段检测）已知，抛物线交x轴于，两点，交y轴于点C，． (1)求抛物线的解析式； (2)如图1，若点M是直线上方的抛物线上一动点（不与A，C重合），连接，，求的面积最大值以及此时点M的坐标． (3)如图2，若动点P在抛物线的对称轴上，点Q是平面直角坐标系内的任意一点，是否存在点Q，使得以A，C，P，Q为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)的面积最大值为，此时点M的坐标为 (3)存在，符合条件的点P的坐标为：，，，， 【分析】（1）利用待定系数法求解； （2）作轴于点H，交线段于点D，先求直线的解析式，设点M的坐标为，用含q的式子表示出，进而用含q的式子表示出，利用二次函数的最值求解； （3）以A，C，P，Q为顶点的四边形是菱形时，分三种情况：当以为对角线时，则；当以为对角线时，则；当以为对角线时，则，分别列方程求解即可． 【详解】（1）解：将，代入， 得：， 解得， 该抛物线的解析式为； （2）解：如图，作轴于点H，交线段于点D， 将代入，得， ， 设直线的解析式为，将，代入， 得：， 解得， 直线的解析式为； 设点M的坐标为，则点D的坐标为， ， ， 二次项系数，抛物线开口向下，对称轴为， 当时，取最大值，最大值为， 此时， 综上可知，的面积最大值为，此时点M的坐标为； （3）解：抛物线的对称轴为：直线， 设，，，， ，，， 以A，C，P，Q为顶点的四边形是菱形时，分三种情况： 当以为对角线时，则，如图： ， 解得， ，； 当以为对角线时，则，如图： ， 解得， ； 当以为对角线时，则，如图： ， 解得， ， ， 综上可得，符合条件的点P的坐标为：，，，， ． 【题型6 多结论问题】 【例6】（26-27九年级上·山东济宁·阶段检测）如图所示，已知二次函数的图像与轴交于，两点，与轴交于点，对称轴为直线．直线与抛物线交于，两点，点在轴下方且横坐标小于，则下列结论：①；②；③；④．其中正确的结论有（     ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】B 【分析】结合抛物线的开口方向、与y轴的交点位置即可判断a、c的符号，根据对称轴即可判断a、b的关系，此时即可判断①；②先说明当时，函数值小于0，即，再结合①的相关结论即可判断②；根据当时，二次函数值取最大值，即可判断③；联立一次函数和二次函数，即可求出交点D的横坐标，根据该横坐标小于3即可判断④． 【详解】解： ∵抛物线开口向下，与y轴正半轴交于点， ∴，， ∵对称轴直线， ∴，即， ∴，即①错误； 由函数图像可知：对称轴直线，当时，函数值小于0， ∵与关于对称轴直线对称， ∴当时，函数值小于0，即， ∵， ∴， ∴，即②错误； ∵抛物线开口向下，对称轴直线， ∴当时，二次函数值取最大值， ∴，即， ∴，即③正确； 对于直线，当时，，即直线与x轴交于点， 联立：，即， 解得：，即， ∵点在轴下方且横坐标小于， ∴，解得： ，④正确. 综上，正确的有③④，共2个． 【变式6-1】（26-27九年级上·山东临沂·阶段检测）已知二次函数（，，为常数，且）的图象如图所示，对称轴为直线．以下结论中：①；②；③；④对于任意的实数，总有；⑤方程（，为常数）的所有根的和为2或3或4．其中正确结论的个数为（     ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】由图象可得，当时，，即可判断①正确；由图象可得抛物线与轴有两个交点，则，即可判断②错误；根据抛物线的对称轴为直线即可判断③正确；由图象可得，当时，函数取得最小值为，从而可判断④正确；画出函数的图象，分情况讨论的取值，从而判断⑤错误． 【详解】解：由图象可得，当时，，故①正确； 由图象可得抛物线与轴有两个交点，则， ∴，故②错误； ∵抛物线的对称轴为直线， ∴， ∴， ∴，故③正确； 由图象可得，当时，函数取得最小值为， 故对于任意的实数，有，即，故④正确； 画出函数的图象如图所示： 结合函数图象可得，当时，函数与有两个交点，此时两根之和为； 当等于二次函数顶点纵坐标的绝对值时，函数与有三个交点，方程共有个根（其中与顶点的相交时，为重根），总和为； 当的值在和二次函数顶点纵坐标的绝对值之间时，函数与有四个交点，方程有个根，总和为； 当大于二次函数顶点纵坐标的绝对值时，函数与有两个交点，方程有个根，此时两根之和为； 综上所述，方程（，为常数）的所有根的和为2或4，故⑤错误； 综上所述，正确的有①③④，共个． 【变式6-2】（26-27九年级上·浙江金华·开学考试）如图，抛物线的部分图象，其顶点坐标为，与轴的一个交点在点和之间，则下列结论：．其中正确结论的个数是（） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】根据抛物线开口方向、对称轴位置及与y轴交点判断a，b，c的符号；利用抛物线的对称性确定时y的符号，结合判断①；利用对称轴公式判断③；利用顶点坐标公式判断④，即可解答． 【详解】解：抛物线开口向下， ， 抛物线与轴交于正半轴， ， 对称轴为直线， ，即． ，故②错误． ， ，故③错误． 抛物线与轴的一个交点在和之间，对称轴为直线， 抛物线与轴的另一个交点在和之间． 当时，，即． ， ，即，故①正确． 抛物线的顶点坐标为， ． ． ，故④正确． 综上所述，正确的结论是①④，共个． 【变式6-3】（2026·黑龙江绥化·中考真题）已知二次函数的图象如图所示，顶点坐标为，与轴交于，两点，其中．则下列结论： ①②③④⑤方程（为常数）有实数根． 其中正确的个数有（     ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】B 【分析】根据抛物线开口向下，顶点坐标为，与y轴交于正半轴，得到，，，即可判断①②③；根据抛物线的顶点坐标为得到，根据当时，，当时，，即可判断④；讨论抛物线与直线的交点情况即可判断⑤． 【详解】解∶∵抛物线开口向下，顶点坐标为，与y轴交于正半轴， ∴，，， ∴， ∴，故①错误； ∵， ∴，故②错误； ∵，， ∴， ∴，故③正确； ∵抛物线的顶点坐标为， ∴当时，，即， ∴， 由图象可得当时，，即， ∴， ∴， 由图象可得当时，，即， ∴， ∴， ∴，故④正确； ∵方程可化为， ∴该方程的解为抛物线与直线的交点的横坐标， ∵直线， ∴该直线过定点，且过第二、三、四象限， ∴抛物线与直线必有交点， ∴方程（为常数）有实数根．故⑤正确． 综上所述，正确的结论是③④⑤，共3个． 【题型7 其他问题】 【例7】（26-27九年级上·黑龙江哈尔滨·开学考试）如图，二次函数（）的图象与x轴分别交于点、B两点，与y轴交于点C，直线平行于轴，交抛物线于点D，． (1)求该二次函数的解析式； (2)点P在第一象限的抛物线上，其横坐标为，连接、，设的面积为S，求S关于t的函数关系式； (3)在（2）的条件下，延长交轴于点M，点N在C点上方的轴上，连接，使，若，求的面积． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）令，求出点C的坐标，得到的长，根据直线平行于轴，交抛物线于点D，得到点D的坐标，运用待定系数法即可求解； （2）令，求出点B的坐标，由题意得到，，过点P作于点E，表示出的长，根据三角形的面积公式即可求解； （3）设，求出，，因此．过点D作，交x轴对于点F，则，则．设，则．证明四边形是正方形，推出，进而证明，得到，，，．连接，证明，得到，又，从而在中，根据勾股定理构造方程，求出a的值，即可得出点M的坐标，运用待定系数法求出直线的解析式，联立抛物线与直线的解析式，求出点P的坐标，根据的面积关于点P的横坐标t的函数关系式即可求解． 【详解】（1）解：对于二次函数，令，则， ∴， ∴， ∵直线平行于轴，交抛物线于点D，， ∴， ∵二次函数（）的图象过点，， ∴，解得， ∴该二次函数的解析式为． （2）解：对于二次函数，令，则， 解得，， ∴． ∵点P在第一象限的抛物线上，其横坐标为， ∴，， 过点P作于点E， ， ∴， ∴关于t的函数关系式为． （3）解：设， ∵轴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴． 过点D作，交x轴于点F，则， ∴， ∴． 设，则． 过点D作轴于点G，则，轴， ∵轴， ∴四边形是平行四边形， ∵，， ∴是正方形， ∴，， ∴， ∴，即． ∵在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ， 连接， ∵在和中， ， ∴， ∴． ∵在中，，， ∴， 解得，（不合题意，舍去）， ∴， ∴． 设直线的解析式为， ∵直线过点，， ∴，解得， ∴直线的解析式为 解方程组得或， ∴点P的坐标为， 由（2）有，的面积S关于点P的横坐标t的函数关系式为， ∴当时，， ∴的面积为． 【变式7-1】（2026·广东广州·中考真题）已知抛物线G：． (1)当，时，求抛物线G的对称轴； (2)若对于任意实数，抛物线G总经过定点． ①求和的值； ②点，在抛物线G上，且线段与轴有交点．记的面积为，求的取值范围． 【答案】(1)直线 (2)①，；② 【分析】（1）把， 代入解析式，再把解析式化为顶点式，即可； （2）①先把原解析式化为，再根据对于任意实数，抛物线G总经过定点，即可求解； ②点，在抛物线G上，且线段与轴有交点，求出m的取值范围，再求出直线的解析式，过点P作轴交得延长线于点Q，则点，根据，可得S关于m的函数关系式，即可求解． 【详解】（1）解：当，时， ， 所以抛物线G的对称轴为直线； （2）解：①， 当时，， ∵对于任意实数，抛物线G总经过定点， ∴， ∴； ②由①得：，，， ∴抛物线的解析式为， ∵点，在抛物线G上，且线段与轴有交点， ∴， 把点，代入得： ， ， ∴，点，， 解得：， 设直线的解析式为， 把点，代入得： ， 解得：， ∴直线的解析式为， 如图，过点P作轴交的延长线于点Q，则点， ∴， ∴ ∵， ， ， ∵当时，随m的增大而减小， ∴当时， 随m的增大而减小， ∴当时，取得最大值， 此时， 当时，取得最小值， 此时， ∴S的取值范围为． 【变式7-2】（2026·湖南长沙·中考真题）我们约定：在平面直角坐标系中，当点的坐标满足时，称点为“靓点”．请你根据该约定，解答下列问题： (1)若点为“靓点”，则点是否为“靓点”？请作出你的判断并给出证明； (2)当时，求证：关于的函数（，为常数）的图象上总存在两个不同的“靓点”； (3)已知关于的二次函数（为常数）的图象上存在三个不同的“靓点”：，，，且满足，求的值． 【答案】(1)点是“靓点”，证明如下： ∵点为“靓点”， ∴， ∵，， ∴将代入上式，得， ∴， ∴点是“靓点”； (2)证明：∵点为“靓点”， ∴， 当时代入上式，可得，方程无解， ∴满足“靓点”的点，横坐标不能为1， 将代入，得，整理得， ∵， ∴判别式 ， ∵，， ∴， ∴该一元二次方程有两个不相等的实数根， 将代入方程左边，得， ∴方程的两个根都不等于1，即对应的点均满足“靓点”定义， 又∵，两个不同的对应两个不同的， ∴函数的图象上总存在两个不同的“靓点”； (3)的值为 【分析】（1）由“靓点”的定义可得，再表示出点的横、纵坐标之和与横、纵坐标之积，由此即可证明； （2）将代入得到，再结合一元二次方程根的判别式计算即可得证； （3）将代入得，结合题意，令，则方程有两个不相等的实数根，，利用一元二次方程根的判别式求出或，求出，从而可得，由一元二次方程根与系数的关系可得，，表示出，，从而可得，整理得，求解即可． 【详解】（1）略； （2）略； （3）解：将代入得， 整理得， ∵关于的二次函数（为常数）的图象上存在三个不同的“靓点”， ∴令，则方程有两个不相等的实数根，， ∴， ∴或， 将代入，得， ∵， ∴， ∴， ∵方程有两个不相等的实数根，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 整理得， ∴（不符合题意，舍去）或， ∴的值为． 【变式7-3】（2026·上海·中考真题）对于函数，对称轴与轴交于点，将点向右平移一个单位得到点，使点与点的横坐标相等，且点的纵坐标为，则称点为抛物线的“派生点”，并且将直线称为抛物线的“派生直线”． (1)已知函数，求该函数的“派生直线”解析式； (2)已知点为某抛物线的“派生点”，点和在其“派生直线”上，且点是该抛物线与其“派生直线”的交点，求的值，并判断点是否在抛物线上． 【答案】(1) (2)，点在抛物线上 【分析】（1）用待定系数法求一次函数解析式； （2）先根据点在直线上的性质求出各点坐标，计算线段比，再求出抛物线解析式，代入点坐标验证点是否在抛物线上． 【详解】（1）解：已知函数，可得，，二次函数对称轴为，对称轴与轴交点坐标为， 将向右平移1个单位得到， 的横坐标为， 根据定义，横坐标为1，纵坐标为.即， 设派生直线解析式为， 代入得． 因此该函数的派生直线解析式为． （2）解：由题意，是派生直线与轴的交点，纵坐标为， 将代入得， 解得，因此， 根据定义，横坐标为，因此横坐标为， 将代入得. 因此， 将代入得 ，即， 将代入得，即， ∴，， ， 由定义，抛物线对称轴为， 纵坐标为，得 ， 设抛物线解析式为， ∵在抛物线上，代入得， 解得， ∵抛物线解析式为， ∴将代入抛物线解析式得，与的纵坐标相等， 因此点在抛物线上． 04 过关检测 → 分梯度，强综合，查漏洞，固成效 1．（2026·四川达州·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点．与轴交于点．直线经过点、与轴交于点． (1)求的值及抛物线的函数表达式； (2)若线段在抛物线的对称轴上运动，且，求四边形周长最小时点的坐标； (3)将抛物线沿射线方向平移个单位长度，点为平移后的抛物线对称轴上一动点，请问是否存在以，，为顶点的直角三角形？若存在，直接写出点的坐标；若不存在．说明理由． 【答案】(1)， (2) (3)存在，、、、 【分析】（1）将点代入直线方程求，得到点坐标，再代入抛物线交点式求系数，展开得抛物线表达式； （2）、为定长，将周长最小转化为求的最小值；通过平移构造平行四边形、作轴对称，利用两点之间线段最短确定点位置，联立直线与对称轴求解； （3）先根据平移方向与距离，得出平移后抛物线的对称轴，设点坐标；分三个顶点分别为直角，利用勾股定理列方程求解． 【详解】（1）解：∵直线与轴交于点， ∴把，代入得， 解得， ∴直线解析式为， ∵直线经过点，且点在轴上， ∴令，得， ∴， ∵抛物线与轴交于点， ∴把代入，得， 解得， ∴， 综上所述，，抛物线的函数表达式为； （2）解：∵，， ∴，， ∴， ∵， ∴四边形的周长为：， ∴求四边形周长的最小值，只需求的最小值， ∵抛物线的函数表达式为， ∴抛物线的对称轴为直线， ∵、在直线上，且，在上方， ∴设，， 如图：把点向上平移2个单位得，作与关于直线对称，则，连接、、、、， 在四边形中， ∵轴，轴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵与关于直线对称，在直线上， ∴， ∴， ∵两点之间线段最短， ∴当点在与直线的交点处时，最小， 设直线的函数解析式为， 把，代入得：， 解得， ∴直线的解析式为， ∵当时，， ∴； （3）解：∵抛物线与轴交于，两点， ∴令，得， 解得：或， ∵在左侧， ∴，， ∵由（1）知，， ∴，， ∴， ∵抛物线沿射线方向平移个单位长度，且在抛物线上，， ∴点沿射线方向平移个单位长度后与点重合， ∵，， ∴抛物线沿射线方向平移个单位长度可看作整体向左平移3个单位长度，向上平移3个单位长度，如图： ∵抛物线的对称轴为直线， ∴平移后对称轴为直线， ∵点为平移后的抛物线对称轴上一动点， ∴设， ∵，， ∴，， ， 若，如图： 则， ∴， 解得， ∴， 若，如图： 则， ∴， 解得或， ∴或， 若，如图： 则， ∴， 解得， ∴． 2．（2026·河南驻马店·模拟预测）如图，抛物线经过两点． (1)求抛物线的解析式； (2)点是直线上方抛物线上的一个动点，作轴交直线于点，求线段的最大值； (3)连接，将线段沿着射线向上平移，设平移过程中点的横坐标为，若线段与抛物线无交点，请直接写出的取值范围． 【答案】(1) (2)的最大值为4 (3)或 【分析】（1）根据待定系数法求解即可； （2）先求出直线的解析式，设，则，表示出，再根据二次函数的性质即可解答； （3）求出平移后的线段的端点坐标，再结合函数图象解答即可； 【详解】（1）解：将、代入，得方程组：， 解得， ∴抛物线解析式为． （2）解：设直线的解析式为：， 代入、得：， 解得：， 即直线的解析式为：， 设， ∵轴， ∴， ∵在上方， ∴ ∵， ∴当时，． （3）解：∵直线的解析式为：， ∴方向为横、纵坐标均每单位增加， 设线段与平移后的线段为（的对应点分别为）， ∵沿射线向上平移，原平移后横坐标为， ∴、， 当在抛物线解析式上时，， 解得：（与点重合）或， 当在抛物线解析式上时，， 解得：（与点重合）或， 画图如下： 结合图象可得，若线段与抛物线无交点，则或． 3．（25-26九年级上·安徽合肥·期中）如图，抛物线的图象与轴交于点，与轴的负半轴交于点，点坐标为． (1)求抛物线的表达式． (2)若为抛物线上线段上方一点，过作，垂足为，求的最大值． (3)在（2）的条件下，当的面积最大时，将抛物线沿水平方向平移得到抛物线，抛物线的顶点为，且的面积等于的面积，直接写出的坐标． 【答案】(1) (2)的最大值为 (3)或 【分析】（1）将点坐标代入即可得解； （2）过点作轴，交于点，交轴于点， 易得为等腰直角三角形，，进而设参表示出即可； （3）先求出面积最大值时点的坐标，由平移可知，分类讨论，当向左平移时，直线，据此求出直线解析式，即可得点坐标；当向右平移时，则与第一种情况的直线关于直线对称，据此求解即可． 【详解】（1）解：将点代入抛物线，得， 解得， ∴抛物线的表达式为：； （2）解：设直线的解析式为， 将点、代入得， ，解得， ∴直线的解析式为， 如图，过点作轴，交于点，交轴于点， 设点，则， ∴， ∵， ∴， ∵轴， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴当时，取最大值，最大值为； （3）解：由（2）可知， ∴． ∵， ∴当时，的面积的最大值为， 此时； 当抛物线向左平移，即点在直线上方时， ， ， 如图，过点作， 由（2）知直线解析式为，则可设直线的解析式为， 将点代入，得，解得， ∴直线的解析式为． ∵， ∴其顶点为， ∵抛物线沿水平方向平移得到抛物线， ， 令，解得， ， 当抛物线向右平移，即点在直线下方时， 此时过与的平行线与轴交点记为点，则与第一种情况的直线关于直线对称，此时点与第一种情况的直线与轴交点关于点对称， ， 则直线解析式为． ， ，解得， ． 综上，或． 4．（25-26八年级下·黑龙江绥化·期末）如图，抛物线经过点、，与直线交于B、D两点，点P是抛物线上一动点，记点P的横坐标为t． (1)求抛物线的解析式； (2)当点P位于直线下方时，求面积的最大值及此时点P的坐标； (3)过点P作x轴的垂线交x轴于点H，若是等腰直角三角形，求点P的坐标． 【答案】(1) (2)的面积的最大值为8， (3)或 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）过点P作轴，交于点E，先表示，，得出，故，再利用二次函数的性质求解即可； （3）因为，且是等腰直角三角形，得，由（2）知，所以，，则，再解出方程，即可作答． 【详解】（1）解：抛物线经过点、， ， 解得   抛物线的解析式为， （2）解：抛物线的解析式为与直线交于B、D两点． ， 解得，， 把代入，得， 点D的坐标为， 如图1，过点P作轴，交于点E， 则，， ， 点B的坐标是 ， 当时，的面积的最大值为8， 此时． （3）解：如图2，过点P作x轴的垂线交x轴于点H， 轴于H， ， 是等腰直角三角形， ， 由（2）知， 点H的坐标为， 由（1）可知， ，， ， 或， 即或， 当时， 解得或（舍去）， 此时； 当时， 解得或（舍去）， 此时， 综上，点P的坐标为或． 5．（25-26九年级下·湖南衡阳·开学考试）如图，抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点C． (1)求抛物线的解析式； (2)如图1，在抛物线上存在一点Q，使，求出点Q的坐标． (3)如图2，抛物线的对称轴与抛物线相交于点D，交x轴于点E，交直线于点F，抛物线上是否存在点P，使得？若存在，请直接写出点P的坐标，若不存在，请说明理由； 【答案】(1) (2)Q点坐标为或 (3)存在，点P坐标为或 【分析】（1）运用待定系数法将，代入，解方程组即可； （2）由可得点到的距离与点到的距离相等，利用平行线间的距离处处相等可得，利用一次函数图象平行时相等可求出的解析式，结合抛物线解析式即可求解； （3）由题意可得，分射线在的右侧和射线在的左侧两种情况即可求解； 【详解】（1）解：∵抛物线经过点，两点， ∴， 解得， ∴抛物线的解析式为． （2）解：由抛物线的解析式为，当时，， ∴， 设直线的解析式为， 把，代入得， ， 解得， ∴直线的解析式为， ∵， ∴点到的距离与点到的距离相等， ∴， 设直线的解析式为， 把代入得，，即， ∴直线的解析式为， 联立得， 解得，， ∴点的坐标为或． （3）解：存在． ∵抛物线交y轴于点，经过点， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 当射线在的右侧时， ∵， ∴轴， ∴点与点重合， ∵， ∴， ∴； ②当射线在的左侧时， ∵， ∴， 设，则， ∵抛物线的对称轴与抛物线相交于点D，交x轴于点E， ∴， 在中，， ∴， 解得， ∴， 设直线的解析式为， 把，代入得， ， 解得， ∴直线的解析式为， 联立得， ∴， 解得，（舍去）， 当时，， ∴， 综上所述，点的坐标为或． 【点睛】解题时重点运用平行线间距离处处相等，方程的思想，分类讨论的思想． 6．（25-26九年级上·辽宁沈阳·期末）如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与直线交于，两点，二次函数的图象经过点，． (1)求点，的坐标及，的值； (2)直线与二次函数，的图象分别相交于点，，与直线相交于点，当时， ①求证：； ②过点作直线与正半轴交于点，与二次函数交于点（点不与重合），使得，请直接写出点的坐标； (3)若新函数满足，直线与函数的图象有三个公共点，函数，当时，函数y的最小值为，最大值为，求的值． 【答案】(1)，， ， (2)①证明：由题意可知，点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为， ∵， ∴，， ∴； ② (3) 【分析】（1）联立二次函数与直线，解方程求出点、的坐标，将求出的坐标代入，求出与； （2）①先表示出点、、的坐标，再表示出与，进而得到与的关系； ②作轴，垂足为，作，垂足为，容易判断出和都是等腰直角三角形，结合三角形外角的性质可计算出．根据含角的直角三角形的性质和等腰直角三角形的性质可推导出，从而求得点的坐标．使用待定系数法求出直线的解析式后，与抛物线联立，求出点的坐标； （3）根据满足的不等式，画出其图象，由抛物线与较低的部分组成，容易判断出直线过定点，则当直线与有三个公共点时，直线的斜率应该在过点与相切的直线的斜率以及直线的斜率之间，从而求出的取值范围．根据函数的对称轴位置和增减性，分为和两种情况讨论，计算出最大值和最小值后，结合题意构造方程组，解出的值即可． 【详解】（1）解：联立二次函数与直线，得， ， 解得或， ∴点的坐标为，点的坐标为， 将，代入，得， ， 解得， ∴； （2）解：①略 ②如图，作轴，垂足为，作，垂足为， ∵，轴， ∴点的坐标为， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， 由勾股定理可得， ∵是的外角， ∴， ∵， ∴， ∵， 又∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， 在直角中，，， ∴， 由勾股定理可得， ∴， ∴， 在直角中，， ∴点的坐标为， 设直线的解析式为， 将，代入，得， ， 解得， ∴直线的解析式为， 联立直线与抛物线，得， ， 解得或， ∴点的坐标为； （3）解：∵， ∴的图象为与中较低的部分，如图所示， 对于直线，当时，为定值， ∴直线过定点， 当直线过点时，此时直线与直线重合， ∴， 当直线与抛物线相切时，联立方程，得， ， 化简，得， ∵直线与抛物线相切，即只有一个交点， ∴判别式， ∴， 解得， ∵直线与函数的图象有三个公共点， ∴， 在二次函数中，图象开口向上，对称轴为直线， ①当时，区间在对称轴右侧， ∴随的增大而增大， ∴当时，取得最小值；当时，取得最大值， ∴， 解得，这与矛盾，故舍去； ②当时， ∵图象开口向上， ∴离对称轴越近，函数值越小 ∵， ∴当时，取得最小值， ∵， ∴当时，取得最大值， ∴， 解得（负值舍去）， 综上所述，． 7．（2026·黑龙江绥化·中考真题）综合与探究，已知抛物线与轴交于点，，与轴交于点，点为坐标原点，作直线． (1)求该抛物线的解析式． (2)在抛物线上有两个动点，，点在第一象限，横坐标为，过点作轴的垂线，垂足为，交于点，点的横坐标为．若的面积记作，的面积记作，当有最大值时，求点的坐标．（自行完成作图并解答） (3)把抛物线沿射线方向平移，平移后，新抛物线过点，点是新抛物线对称轴与轴的交点，点是新抛物线对称轴上的动点，连接，．若平分，请直接写出符合条件的点坐标．（自行完成作图并作答） 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（1）根据待定系数法求解即可； （2）根据待定系数法求出直线的解析式为，结合已知可得，，， ，则，，，则可求出，根据二次函数的性质得出当时，S有最大值，此时，即可求解； （3）根据题意判断出点C与点B是平移前后的对应点，则把原抛物线向左平移4个单位长度，再向上平移4个单位长度得出新抛物线，根据平移规律得出，则新抛物线的对称轴为直线，，根据角平分线的定义和平行线的性质可得出，根据等边对等角得出，设，根据两点距离公式得出，解方程即可． 【详解】（1）解：∵抛物线经过点，， ∴， 解得， ∴； （2）解：当时，， ∴， 设直线的解析式为， 则， 解得， ∴直线的解析式为， ∵点在第一象限，横坐标为，过点作轴的垂线，垂足为，交于点，点的横坐标为， ∴，，，Q的纵坐标为，则， 或 ∴，，， ∴ ， ∵， ∴当时，S有最大值， 此时， ∴； （3）解：∵抛物线沿射线方向平移，平移后，新抛物线过点， ∴相当于点C与点B是平移前后的对应点， 即把原抛物线向左平移4个单位长度，再向上平移4个单位长度得出新抛物线， ∴， ∴新抛物线的对称轴为直线，， ∵平分， ∴， ∵轴， ∴， ∴， ∴， 设， ∵，， ∴， 解得， ∴的坐标为或． 或 8．（2026·辽宁沈阳·三模）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线与轴负半轴相交于点，与轴正半轴相交于点，与轴相交于点，点是抛物线上一动点，设点的横坐标为． (1)求出的长； (2)连接，若，求出的值； (3)连接，过点作直线，交轴于点．过点作轴交直线于点，交直线于点． ①如图2，当时，若点和点到直线距离之和不超过，求的取值范围； ②如图3，当点在对称轴右侧的抛物线上，过点作对称轴的垂线，垂足分别为点，点．若四边形在直线之间的部分的面积恰好是四边形面积的一半时，直接写出的值． 【答案】(1)， (2) (3)①或；②或 【分析】（1）当时，则，即可求出点B，进而可求出，当时，则，求出点A，B的坐标，进而可求出． （2）由全等三角形的性质得出点E在一三象限的角平分线上，即直线在一次函数上，又点E在二次函数解析式上，联立建立关于m的一元二次方程，求解即可得出m的值． （3）①过点作于点，过点作于点，由等腰直角三角形的性质得出，，根据三角形直角边小于斜边得出，根据一次函数的图象和性质求出点E的坐标，得出，进而可求出m的取值范围，最后结合题干m的范围得出最终的范围． ②分两种情况求解，四边形为矩形或者正方形，根据矩形或者正方形的性质结合四边形在直线之间的部分的面积恰好是四边形面积的一半建立关于m的一元一次方程，求解即可得出答案． 【详解】（1）解：当时， 则， ∴， ∴， 当时，则， 解得：，， ∴，， ∴． （2）解：由（1）可知， 若， ∴， ∴点E在一三象限的角平分线上 ∴， ∴点E到x轴的距离等于点E到y轴的距离， 即直线在一次函数上， ∵是抛物线上一动点， ∴， 又∵在一次函数上， ∴， ∴ 解得：． （3）解：①过点作于点，过点作于点，如图， ∵， ∴， ∴，， ∵点和点到直线距离之和不超过， ∴， ∴，即， 设的解析式为， 则， 解得， ∴的解析式为， ∵， ∴直线的一次系数为， 故设直线的解析为， 把代入， 则， ∴， ∴直线的解析为， 把代入，得， ∴点， 又∵点， ∴， 则，解得 或， ∵， ∴，或； ②根据题意可知四边形为矩形或者正方形， ∵，点，点， ∴，， 根据题意可知当时，四边形为正方形，且在直线之间的部分的面积恰好是四边形面积的一半，如图， 则，解得，或， ∵点在对称轴右侧的抛物线上， ∴， ∴； 设线段与直线交于点I，线段与直线交于点K，根据题意可知当时，四边形为矩形，且在直线之间的部分的面积恰好是四边形面积的一半，如图， 同理可得，点，点，点， ∵直线的解析式为， ∴点，点， 则，解得，或， ∵， ∴， 综上所述，当或时，四边形在直线之间的部分的面积恰好是四边形面积的一半． 【点睛】本题主要考查二次函数与几何的结合，难度较大，涉及二次函数的性质、全等三角形的判定和性质、一次函数的解析式和性质、等腰三角形的性质和判定、解不等式、正方形的性质和矩形的性质等知识点，解题的关键是熟悉二次函数的性质和特殊四边形的性质，以及动态思想的应用． 9．（·四川广安·二模）如图，抛物线经过，，三点 (1)求抛物线的解析式； (2)在抛物线的对称轴上有一点P，使的值最小，请求出最小值及此时P的坐标； (3)点M为x轴上一动点，在抛物线上是否存在一点N，使以A，C，M，N四点构成的四边形为平行四边形？若存在，直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)； (3)存在；或或 【分析】（1）根据待定系数法，可得函数解析式； （2）连接，交抛物线的对称轴于点P，连接，根据轴对称的性质得出，根据两点之间线段最短，得出此时最小，即最小，求出此时点P的坐标即可； （3）分三种情况：当为对角线时，当为对角线时，当为对角线时，分别根据中点坐标公式，列出方程组，解方程组即可． 【详解】（1）解：设抛物线的解析式为， ∵，，三点在抛物线上， ， 解得：， 抛物线的解析式为：． （2）解：连接，交抛物线的对称轴于点P，连接，如图所示： 根据轴对称可知：， ∴， ∵两点之间线段最短， ∴此时最小，即最小，且最小值为： 抛物线的解析式为， 其对称轴为直线：， 设直线的解析式为， ，， ， 解得， 直线的解析式为． 当时，． ； （3）解：存在． 设点M的坐标为，点N的坐标为， ①当为对角线时，根据中点坐标公式可得： ， 解得：（舍去）或， 此时点N的坐标为； ②当为对角线时，根据中点坐标公式可得： 解得：或， ∴此时点N的坐标为或； ③当为对角线时，根据中点坐标公式可得： 解得：（舍去）或， 此时点N的坐标为； 综上所述，点的坐标为或或． 10．（2026·甘肃天水·中考真题）抛物线与轴交于，两点，与轴交于点．动点在线段上（点与点不重合）． (1)求抛物线的表达式； (2)连接，在的左上方以为边作正方形． ①如图1，当时，求正方形的面积； ②如图2，当点落在抛物线上时，求点的坐标； (3)如图3，在动点的正上方有另一动点，且，当点从点开始运动时，点以相同的速度同时出发，两点都沿轴的正方向匀速运动，点停止运动时点同时停止运动．连接，，求的最小值和此时的值． 【答案】(1) (2)①；② (3)的最小值为，此时 【分析】（1）把、代入，解方程组求出，即可得出答案； （2）①根据、得出，根据点，利用勾股定理求出，即可求出正方形的面积； ②过点作轴于，轴于，得出四边形是矩形，得出，，根据正方形的性质及角的和差关系得出，，可证明，得出，，设，则，，根据得出，解方程求出的值，即可得出答案； （3）过点作轴，使，连接，得出四边形是平行四边形，可得，得出当点、、三点在同一条直线上时，取最小值，最小值为的长，根据抛物线解析式求出，利用勾股定理求出，利用待定系数法求出直线的解析式为，进而求出，根据，即可求出． 【详解】（1）解：∵抛物线与轴交于，两点，与轴交于点， ∴， 解得：， ∴抛物线的表达式为． （2）解：①∵，点在线段上，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴正方形的面积为； ②如图，过点作轴于，轴于， ∵， ∴四边形是矩形， ∴，， ∵在的左上方以为边作正方形， ∴，， ∵，， ∴， 在和中，， ∴， ∴，， 设，则，， ∵， ∴， 解得：，（舍去）， ∴， ∴点的坐标． （3）解：如图，过点作轴，使，连接， ∵点、的速度相同， ∴是定值， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴当点、、三点在同一条直线上时，取最小值，最小值为的长， ∵， ∴当时，， 解得：，， ∴，，， ∴，即的最小值为， ∵，， ∴， 设直线的解析式为， ∴， 解得：， ∴直线的解析式为， 当时，， ∴， ∵，，点在点上方， ∴． 05 复盘笔记 → 集错题，析错因，重订正，常反思 “化繁为简，一通百通” 更多初中数学精品讲义、同步练习、单元试卷、专项训练，欢迎来到学科网【简一数理】店铺查看，关注店铺接收上新通知。 1.PC端：https://shop.xkw.com/175938 2.移动网页端 3.小程序端 第 2 页 共 120 页 第 1 页 共 120 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 简一数理 单元复习、期中期末复习 专题7 二次函数综合压轴题专项 （新教材人教版） 01 考情分析 → 锚考向，明权重，联考点，定方向 2 02 知识回顾 → 梳核心，破难点，搭框架，织体系 2 知识点一 二次函数动点通用解题框架（所有压轴通用） 2 知识点二 函数几何核心工具公式（压轴万能工具） 3 知识点三 线段与周长核心模型 3 知识点四 角度核心考点 3 知识点五 特殊三角形存在性原理 3 知识点六 特殊四边形存在性原理 3 知识点七 二次函数与相似三角形核心原理 4 03 典型例题 → 归题型，研母题，悟思路，善迁移 4 【题型1 线段周长问题】 4 【题型2 面积问题】 7 【题型3 角度问题】 9 【题型4 特殊三角形问题】 12 【题型5 特殊四边形问题】 14 【题型6 多结论问题】 17 【题型7 其他问题】 19 04 过关检测 → 分梯度，强综合，查漏洞，固成效 21 05 复盘笔记 → 集错题，析错因，重订正，常反思 29 01 考情分析 → 锚考向，明权重，联考点，定方向 常考考点 命题风向 ・求抛物线解析式、顶点、交点坐标，基础计算打底。 ・线段最值、面积最值与面积定值问题，坐标法表达线段与面积。 ・存在性探究：等腰三角形、直角三角形、平行四边形、相似三角形。 ・角度问题：等角、倍角、直角的转化与坐标推理。 ・动点、动线问题，分类讨论，结合函数图象分析边界。 ・基础命题：解析式求解、简单线段长度计算，一般为压轴第一小问，难度较低。 ・综合命题：面积最值、线段最值、简单图形存在性，压轴第二问，考查数形结合与分类讨论。 ・素养命题：多情况存在性、角度转化、动点多阶段分析，设问层层递进，侧重逻辑推理与严谨分类。 考情解码： ・模块地位：中考代数几何综合核心大题，整册书难度顶峰，综合前面方程、几何、函数全部知识。 ・考频与分值：中考必考压轴大题；期中期末常作为试卷最后一题，分值 10-12 分。 ・高频考法：求解析式；面积最值；线段最值；平行四边形、等腰、直角三角形存在性；角度探究。 ・失分规律：分类讨论漏情况；坐标计算出错；图形转化思路不清；忽略点的位置限制；漏分类、计算失误是主要丢分点。 02 知识回顾 → 梳核心，破难点，搭框架，织体系 知识点一 二次函数动点通用解题框架（所有压轴通用） 1. 固定第一步：求抛物线解析式、对称轴、顶点坐标、与坐标轴交点坐标。 2. 动点通用设法： 抛物线上动点：设 对称轴上动点、直线上动点采用对应解析式设元。 3. 核心转化思想：所有几何问题，全部转化为坐标与方程问题。 4. 必备限制条件：动点横坐标取值范围（图像区间限制）。 知识点二 函数几何核心工具公式（压轴万能工具） 1. 水平线段长： 2. 竖直线段长： 3. 任意两点距离公式： 4. 铅垂高·水平宽面积公式（必考） S=1/2*水平宽*铅垂高，适合所有动点三角形面积最值、面积比例问题。 知识点三 线段与周长核心模型 1. 将军饮马最短路径：两定点一动点，利用对称转化两点之间线段最短。 2. 三角形最小周长、四边形最小周长模型。 3. 线段差最大值模型：利用三角形三边关系。 知识点四 角度核心考点 1. 垂直问题：斜率乘积为-1（初中可通过直角三角形相似/勾股替代）。 2. 45°角、等角、余角、补角构造。 3. 平行线、夹角相等的坐标特征。 知识点五 特殊三角形存在性原理 1. 等腰三角形：两腰相等，分三类讨论：三边两两相等。 2. 直角三角形：勾股定理垂直，分三类讨论：三个顶点分别为直角顶点。 知识点六 特殊四边形存在性原理 1. 平行四边形：对角线互相平分（中点重合），压轴万能解法。 2. 矩形：平行四边形+邻边垂直/对角线相等。 3. 菱形：平行四边形+邻边相等/对角线垂直。 4. 正方形：兼具矩形、菱形特征。 知识点七 二次函数与相似三角形核心原理 1. 两角对应相等即可相似。 2. 动点相似必须分类讨论对应顶点，避免唯一解漏情况。 3. 利用竖直角三角形、水平直角三角形构造相似，列比例方程求解。 03 典型例题 → 归题型，研母题，悟思路，善迁移 【题型1 线段周长问题】 【例1】（26-27九年级上·山东济宁·阶段检测）已知，如图一次函数的图象与轴交于点，与轴交于点；二次函数的图象与一次函数的图象交于、两点，与轴交于、两点，且顶点坐标为． (1)求二次函数的解析式； (2)若点是轴上的一动点，当的值最小时，求点的坐标； (3)在轴上是否存在点，使得是直角三角形？若存在，求出所有的点，若不存在，请说明理由． 【变式1-1】（26-27九年级上·河北邯郸·阶段检测）如图，已知二次函数的图象经过点，，与x轴另一交点为点B，点D在线段上运动（不与点O，点A重合），过点D作x轴的垂线，与交于点Q，与抛物线交于点P． (1)__________； (2)若，求点P的坐标． (3)求线段的最大值． (4)在抛物线上是否存在一点E（不与点C重合），使得的面积等于的面积？若存在，请直接写出点E的坐标；若不存在，请说明理由． 【变式1-2】（26-27九年级上·山东淄博·阶段检测）如图1，抛物线的顶点为D，与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，直线与抛物线交于点B及点C． (1)求抛物线解析式； (2)在直线上方（不和点B、C重合）抛物线上有一动点P． ①点P的纵坐标的取值范围为_____________； ②过点P作x轴的平行线，交直线于点Q，求的最大值； (3)如图2当P在抛物线上运动时（不和点A、B、C重合），过点P作x轴的垂线，交直线于点E，交x轴于点F，当时，求点P的坐标． 【变式1-3】（26-27九年级上·全国·期中）如图，抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，直线经过B，C两点，点A的坐标为，P是第一象限内抛物线上的一个动点，于点Q，设点P的横坐标为n． (1)求抛物线的函数解析式； (2)求线段的最大值，并求此时n的值； (3)在（2）的条件下，当线段取最大值时，若M是x轴正半轴上一动点，N是抛物线上一动点，试判断是否存在这样的点M，使得以点B，P，M，N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 【题型2 面积问题】 【例2】．（26-27九年级上·河南新乡·阶段检测）如图，抛物线与x轴交于点，与y轴交于点C，连接． (1)求抛物线的表达式； (2)①点E是第一象限抛物线上一点，连接，求的面积最大值； ②抛物线上是否存在点M，使得的面积与的面积相等，若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由； (3)点在第一象限的抛物线上，连接．在对称轴左侧的抛物线上是否存在一点P，满足？如果存在，请求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由． 【变式2-1】（26-27九年级上·重庆长寿·阶段检测）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点C． (1)求抛物线的解析式； (2)如图1，点P是直线上方抛物线上的一动点，连接，求面积的最大值及此时点P的坐标； (3)如图2，连接，抛物线是否存在点Q使？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 【变式2-2】（26-27九年级上·黑龙江齐齐哈尔·阶段检测）在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，抛物线经过点、． (1)求、满足的关系式及的值． (2)如图，当时，在抛物线上是否存在点，使的面积与的面积相等？若存在，请求出符合条件的所有点的坐标；若不存在，请说明理由． (3)当时，若的函数值随的增大而增大，请直接写出的取值范围． 【变式2-3】（26-27九年级上·上海金山·阶段检测）如图，已知抛物线的图像与轴交于，，与轴交于点，、为抛物线上的两点． (1)求该二次函数的表达式； (2)若在抛物线的对称轴上存在一点，连接、，使的值最小，求点的坐标； (3)设的横坐标为，的横坐标为，试探究：的面积是否存在最小值？若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由． 【题型3 角度问题】 【例3】（26-27九年级上·重庆·开学考试）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于，B两点，且经过点，连接，． (1)求抛物线的表达式； (2)P是线段上方抛物线上的一动点，过点P作，垂足为D，E，F是线段上动点（E在F上方），且，连接，．当的长度取得最大值时，求点P的坐标及的最小值； (3)将抛物线沿射线方向平移个单位长度得到抛物线，点C的对应点为G，M是平移后抛物线上一点，射线交直线于点N，且．请直接写出所有符合条件的点M的横坐标，并写出求解点M的横坐标的其中一种情况的过程． 【变式3-1】（2026·四川雅安·一模）如图，抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点． (1)求抛物线及直线的解析式； (2)直接写出抛物线的顶点坐标和对称轴； (3)若P为抛物线上一点，当时，求点P的横坐标． 【变式3-2】（25-26八年级下·福建福州·期末）已知抛物线： (1)当，时，求抛物线的顶点坐标； (2)点为平面直角坐标系原点，点，在抛物线上，且，． ①若，用含的代数式表示； ②当时，求证：抛物线恒过定点，并求出定点的坐标． 【变式3-3】（2026·重庆·一模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，连接，，，． (1)求抛物线的表达式； (2)点P是直线上方抛物线上的一动点，连接与交于点D，点E是y轴上一动点，连接，．记的面积为；的面积为，当取得最大值时，求点P的坐标及的最小值； (3)在（2）中取得最大值的条件下，将抛物线沿射线CA方向平移得到抛物线，抛物线经过点A，且抛物线的对称轴与x轴交于点G，点N为抛物线上一动点，若 ，请直接写出所有符合条件的点N的坐标，并写出求解点N的坐标的其中一种情况的过程． 【题型4 特殊三角形问题】 【例4】（26-27九年级上·新疆·阶段检测）如图，A，B，C是平面直角坐标系轴上的三个点，直线与抛物线交于B，C两点，，抛物线经过A，B，C三点． (1)求抛物线的解析式； (2)若点N是抛物线上的一动点且位于直线的上方，试求的最大面积． (3)在抛物线上是否存在点M，使得是以为直角边的直角三角形？若存在，求出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，说明理由． 【变式4-1】（2026·山东威海·三模）如图，抛物线（）与轴交于，两点，与轴交于点，且．直线与抛物线交于、两点，与轴交于点，点是抛物线的顶点，设直线上方的抛物线上的动点的横坐标为． (1)求该抛物线的解析式及顶点的坐标； (2)连接，直接写出线段与线段的数量关系和位置关系； (3)在直线上是否存在一点，使为等腰直角三角形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【变式4-2】（·四川自贡·模拟预测）如图，已知抛物线 的对称轴为，且抛物线经过， (1)若直线经过两点，求直线所在直线的解析式； (2)抛物线的对称轴上找一点，使点到点的距离与到点的距离之和最小，求出此点的坐标； (3)在抛物线的对称轴上的是否存在点，使为直角三角形，若存在，请求出符合条件的点的坐标？若不存在，请说明理由． (4)在抛物线的对称轴上的是否存在点，使为等腰三角形，若存在，请求出符合条件的点的坐标？若不存在，请说明理由． 【变式4-3】（山东临沂·模拟预测）二次函数的图象的一部分如图所示．已知它的顶点M在第二象限，且经过点和点． (1)试求a，b所满足的关系式； (2)设此二次函数的图象与x轴的另一个交点为C，当的面积为面积的倍时，求a的值； (3)是否存在实数a，使得为直角三角形？若存在，请求出a的值；若不存在，请说明理由． 【题型5 特殊四边形问题】 【例5】（26-27九年级上·陕西榆林·阶段检测）如图，抛物线经过、、三点． (1)求、、的值； (2)在抛物线对称轴上找一点，使的值最小时，求点的坐标； (3)点为轴上的动点，轴左侧的抛物线上是否存在点，使以、、、四点构成的四边形是以为边的平行四边形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【变式5-1】（26-27九年级上·湖南长沙·阶段检测）如图1，抛物线交轴于点和点，交轴于点，且． (1)求抛物线的表达式； (2)点是直线上方抛物线上一动点，连接和，交于点，交轴于点，若是以为底的等腰三角形，求点的坐标； (3)如图2所示，若点是抛物线上一动点，过点作轴交直线于点，请问在轴上是否存在点，使以，，，为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【变式5-2】（25-26九年级上·内蒙古赤峰·阶段检测）如图，已知抛物线经过，两点，与y轴的交点为C，顶点为D． (1)求该抛物线的表达式及D点的坐标； (2)点P为该抛物线上一动点（与点B、C不重合），设点P的横坐标为m． ①当点P在直线的下方运动时，求的面积的最大值； ②点P在抛物线上，点Q在y轴上，是否存在以B、D、P、Q为顶点的四边形为平行四边形？若存在，直接写出所有点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【变式5-3】（25-26九年级上·四川眉山·阶段检测）已知，抛物线交x轴于，两点，交y轴于点C，． (1)求抛物线的解析式； (2)如图1，若点M是直线上方的抛物线上一动点（不与A，C重合），连接，，求的面积最大值以及此时点M的坐标． (3)如图2，若动点P在抛物线的对称轴上，点Q是平面直角坐标系内的任意一点，是否存在点Q，使得以A，C，P，Q为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【题型6 多结论问题】 【例6】（26-27九年级上·山东济宁·阶段检测）如图所示，已知二次函数的图像与轴交于，两点，与轴交于点，对称轴为直线．直线与抛物线交于，两点，点在轴下方且横坐标小于，则下列结论：①；②；③；④．其中正确的结论有（     ） A．个 B．个 C．个 D．个 【变式6-1】（26-27九年级上·山东临沂·阶段检测）已知二次函数（，，为常数，且）的图象如图所示，对称轴为直线．以下结论中：①；②；③；④对于任意的实数，总有；⑤方程（，为常数）的所有根的和为2或3或4．其中正确结论的个数为（     ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式6-2】（26-27九年级上·浙江金华·开学考试）如图，抛物线的部分图象，其顶点坐标为，与轴的一个交点在点和之间，则下列结论：．其中正确结论的个数是（） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式6-3】（2026·黑龙江绥化·中考真题）已知二次函数的图象如图所示，顶点坐标为，与轴交于，两点，其中．则下列结论： ①②③④⑤方程（为常数）有实数根． 其中正确的个数有（     ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【题型7 其他问题】 【例7】（26-27九年级上·黑龙江哈尔滨·开学考试）如图，二次函数（）的图象与x轴分别交于点、B两点，与y轴交于点C，直线平行于轴，交抛物线于点D，． (1)求该二次函数的解析式； (2)点P在第一象限的抛物线上，其横坐标为，连接、，设的面积为S，求S关于t的函数关系式； (3)在（2）的条件下，延长交轴于点M，点N在C点上方的轴上，连接，使，若，求的面积． 【变式7-1】（2026·广东广州·中考真题）已知抛物线G：． (1)当，时，求抛物线G的对称轴； (2)若对于任意实数，抛物线G总经过定点． ①求和的值； ②点，在抛物线G上，且线段与轴有交点．记的面积为，求的取值范围． 【变式7-2】（2026·湖南长沙·中考真题）我们约定：在平面直角坐标系中，当点的坐标满足时，称点为“靓点”．请你根据该约定，解答下列问题： (1)若点为“靓点”，则点是否为“靓点”？请作出你的判断并给出证明； (2)当时，求证：关于的函数（，为常数）的图象上总存在两个不同的“靓点”； (3)已知关于的二次函数（为常数）的图象上存在三个不同的“靓点”：，，，且满足，求的值． 【变式7-3】（2026·上海·中考真题）对于函数，对称轴与轴交于点，将点向右平移一个单位得到点，使点与点的横坐标相等，且点的纵坐标为，则称点为抛物线的“派生点”，并且将直线称为抛物线的“派生直线”． (1)已知函数，求该函数的“派生直线”解析式； (2)已知点为某抛物线的“派生点”，点和在其“派生直线”上，且点是该抛物线与其“派生直线”的交点，求的值，并判断点是否在抛物线上． 04 过关检测 → 分梯度，强综合，查漏洞，固成效 1．（2026·四川达州·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点．与轴交于点．直线经过点、与轴交于点． (1)求的值及抛物线的函数表达式； (2)若线段在抛物线的对称轴上运动，且，求四边形周长最小时点的坐标； (3)将抛物线沿射线方向平移个单位长度，点为平移后的抛物线对称轴上一动点，请问是否存在以，，为顶点的直角三角形？若存在，直接写出点的坐标；若不存在．说明理由． 2．（2026·河南驻马店·模拟预测）如图，抛物线经过两点． (1)求抛物线的解析式； (2)点是直线上方抛物线上的一个动点，作轴交直线于点，求线段的最大值； (3)连接，将线段沿着射线向上平移，设平移过程中点的横坐标为，若线段与抛物线无交点，请直接写出的取值范围． 3．（25-26九年级上·安徽合肥·期中）如图，抛物线的图象与轴交于点，与轴的负半轴交于点，点坐标为． (1)求抛物线的表达式． (2)若为抛物线上线段上方一点，过作，垂足为，求的最大值． (3)在（2）的条件下，当的面积最大时，将抛物线沿水平方向平移得到抛物线，抛物线的顶点为，且的面积等于的面积，直接写出的坐标． 4．（25-26八年级下·黑龙江绥化·期末）如图，抛物线经过点、，与直线交于B、D两点，点P是抛物线上一动点，记点P的横坐标为t． (1)求抛物线的解析式； (2)当点P位于直线下方时，求面积的最大值及此时点P的坐标； (3)过点P作x轴的垂线交x轴于点H，若是等腰直角三角形，求点P的坐标． 5．（25-26九年级下·湖南衡阳·开学考试）如图，抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点C． (1)求抛物线的解析式； (2)如图1，在抛物线上存在一点Q，使，求出点Q的坐标． (3)如图2，抛物线的对称轴与抛物线相交于点D，交x轴于点E，交直线于点F，抛物线上是否存在点P，使得？若存在，请直接写出点P的坐标，若不存在，请说明理由； 6．（25-26九年级上·辽宁沈阳·期末）如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与直线交于，两点，二次函数的图象经过点，． (1)求点，的坐标及，的值； (2)直线与二次函数，的图象分别相交于点，，与直线相交于点，当时， ①求证：； ②过点作直线与正半轴交于点，与二次函数交于点（点不与重合），使得，请直接写出点的坐标； (3)若新函数满足，直线与函数的图象有三个公共点，函数，当时，函数y的最小值为，最大值为，求的值． 7．（2026·黑龙江绥化·中考真题）综合与探究，已知抛物线与轴交于点，，与轴交于点，点为坐标原点，作直线． (1)求该抛物线的解析式． (2)在抛物线上有两个动点，，点在第一象限，横坐标为，过点作轴的垂线，垂足为，交于点，点的横坐标为．若的面积记作，的面积记作，当有最大值时，求点的坐标．（自行完成作图并解答） (3)把抛物线沿射线方向平移，平移后，新抛物线过点，点是新抛物线对称轴与轴的交点，点是新抛物线对称轴上的动点，连接，．若平分，请直接写出符合条件的点坐标．（自行完成作图并作答） 8．（2026·辽宁沈阳·三模）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线与轴负半轴相交于点，与轴正半轴相交于点，与轴相交于点，点是抛物线上一动点，设点的横坐标为． (1)求出的长； (2)连接，若，求出的值； (3)连接，过点作直线，交轴于点．过点作轴交直线于点，交直线于点． ①如图2，当时，若点和点到直线距离之和不超过，求的取值范围； ②如图3，当点在对称轴右侧的抛物线上，过点作对称轴的垂线，垂足分别为点，点．若四边形在直线之间的部分的面积恰好是四边形面积的一半时，直接写出的值． 9．（·四川广安·二模）如图，抛物线经过，，三点 (1)求抛物线的解析式； (2)在抛物线的对称轴上有一点P，使的值最小，请求出最小值及此时P的坐标； (3)点M为x轴上一动点，在抛物线上是否存在一点N，使以A，C，M，N四点构成的四边形为平行四边形？若存在，直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由． 10．（2026·甘肃天水·中考真题）抛物线与轴交于，两点，与轴交于点．动点在线段上（点与点不重合）． (1)求抛物线的表达式； (2)连接，在的左上方以为边作正方形． ①如图1，当时，求正方形的面积； ②如图2，当点落在抛物线上时，求点的坐标； (3)如图3，在动点的正上方有另一动点，且，当点从点开始运动时，点以相同的速度同时出发，两点都沿轴的正方向匀速运动，点停止运动时点同时停止运动．连接，，求的最小值和此时的值． 05 复盘笔记 → 集错题，析错因，重订正，常反思 “化繁为简，一通百通” 更多初中数学精品讲义、同步练习、单元试卷、专项训练，欢迎来到学科网【简一数理】店铺查看，关注店铺接收上新通知。 1.PC端：https://shop.xkw.com/175938 2.移动网页端 3.小程序端 第 2 页 共 120 页 第 1 页 共 120 页 学科网（北京）股份有限公司 $