微专题 与一元一次方程相关的“新定义”试题教材解读与拓展 --2026-2027学年沪教版（五四制）数学六年级上册

【解析版】 微专题 与一元一次方程相关的“新定义”试题 与一元一次方程有关的“新定义”试题核心是： 给出课本没有的新概念、新运算，结合一元一次方程求解，主要分三类题型。第一类是新定义运算题，规定特殊运算符号的运算法则，按法则列出代数式；第二类是新定义数，定义某种特殊数，根据数的特征建立等式；第三类是新定义方程，给出方程新判定标准，依据标准构造一元一次方程。 解题通用步骤：首先读懂题目，准确理解新定义的文字或符号规则，不能套用原有运算习惯；其次，把题目条件按照新定义转化为普通的一元一次方程，去除陌生外壳，翻译成熟悉数学式子；接着利用一元一次方程解法，去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1求出未知数；最后检验结果，既要满足一元一次方程，还要符合新定义的附加限制条件，舍去不符合题意的解。这类题重在信息迁移，关键是完成新定义向常规方程的转化。 本文有关界定有关一元一次方程的 “新定义” 试题是指：命题者给出课本中没有出现过的新运算、新概念、新规则、新判定标准，将陌生定义与一元一次方程知识相结合的数学题型。 题目会通过文字或符号给出全新规定，不依赖课本原有概念，要求学生现场阅读理解新定义，把陌生的问题情境，转化为标准的一元一次方程，再运用一元一次方程的相关知识进行计算、推理、求值或判断。 题型1、有关一元一次的新定义运算题 例1、对于有理数a，b，定义了一种新运算“△”为：． 例如：，． （1）计算：①；②； （2）若是关于x的一元一次方程，且方程的解为，求m的值 【提示】（1）①②根据题中定义代入即可得出；（2）根据，讨论3和的两种大小关系，进行计算； 【答案】（1）①；②；（2）； 【解析】（1）根据题意：①因为，，所以，，故答案为：； ②因为，，所以，，故答案为：； （2）当时，， 因为，方程的解为，则，得，符合题意 当时，方程为， 因为，方程的解为，，得，不合题意，舍去； 所以． 【说明】本题考查了新定义运算，有理数的混合运算，利用合并同类项与移项解一元一次方程； 例2、对于有理数a，b，定义了一种新运算“※”为：，如：，； （1）计算：①_______； （2）若是关于的一元一次方程，且方程的解为，求的值； （3）若，，，且，求的值． 【提示】（1）根据新定义计算即可； （2）分两种情况，根据新定义将转化为一元一次方程，再将代入方程即可； （3）根据新定义将转化为关于x的等式，然后整理即可； 【答案】（1）5；（2）；（3）； 【解析】（1）①；故答案为：5． （2）因为，若是关于x的一元一次方程． 所以，当时，， 因为，方程的解为， 所以，， 所以，，符合题意． 当时，方程为：． 因为，方程的解为， 所以，， 所以，，不合题意，舍去． 所以，． （3）因为，，且， 所以，． 所以，， 所以，， 所以，， 所以，； 【说明】本题考查了新定义，解一元一次方程，有理数的运算，代数式求值，理解新定义，将新定义中的计算转化为常规运算是求解本题的关键。 例3、新定义：如果两个一元一次方程的解之积为1，我们就称这两个方程是“成倒方程”；例如：方程和是“成倒方程”； （1）请判断方程与方程是否是“成倒方程”，并说明理由； （2）若关于x的方程与方程是“成倒方程”，求m的值． 【提示】（1）分别解两个方程，再计算两方程解的乘积，看其是否等于1，继而判断即可； （2）先解方程，再根据“成倒方程”的定义得出的解为，将其代入原方程，求m即可； 【答案】（1）不是；（2）； 【解析】（1）不是，理由如下： 解得， 解得， 因为，， 所以，方程与方程不是“成倒方程”； （2）解得， 因为，关于x的方程与方程是“成倒方程”， 所以，方程的解为， 所以，， 解得． 【说明】本题考查了解一元一次方程及新定义，准确理解“成倒方程”的定义是关键；同时考查了已知方程的解，求参数、利用合并同类项与移项、去括号解一元一次方程； 例4、新定义：如果两个一元一次方程的解之和为1，我们就称这两个方程为“1方程”；例如：方程和为“1方程”． （1）若关于的方程与方程是“1方程”，求的值； （2）若“1方程”的两个解的差为8，其中一个解为，求的值； （3）若关于的一元一次方程和是“1方程”，求关于的一元一次方程的解； 【提示】（1）先解方程得，根据“1方程”的定义得到关于的方程的解为，则，解得； （2）由题意得，另一个解为，则根据“1方程”的定义得到或，解方程即可得到答案； （3）先解方程得：，根据“1方程”的定义得到关于的方程的解为，进而得到关于的方程的解为，即可求解； 【答案】（1）；（2）或；（3）； 【解析】（1）解方程得， 因为，关于的方程与方程是“1方程”， 所以，关于的方程的解为， 所以，， 所以，； （2）由题意得，另一个解为， 因为，“1方程”的两个解的差为8， 所以，或， 解得或； （3）解方程得：， 因为，关于的一元一次方程和是“1方程”， 所以，关于的一元一次方程的解为， 所以，关于的一元一次方程的解为， 即的解为， 所以，关于的方程的解为 解得：； 【说明】本题主要考查了解一元一次方程，一元一次方程解的定义与利用合并同类项与移项、去括号解一元一次方程； 例5、新定义：如果两个一元一次方程的解的和为1，我们就称这两个方程为“美好方程”，例如：关于x的一元一次方程与为“美好方程”； （1）若关于x的一元一次方程与方程是“美好方程”，求m的值； （2）若关于x的一元一次方程与是“美好方程”，求关于y的一元一次方程的解； 【提示】（1）先分别解出两个方程的解，再根据“解的和为1”列方程，求出的值； （2）先解出已知方程的解，利用“美好方程”的定义求出的值，再代入新方程求解； 【答案】（1）；（2）； 【解析】（1）由方程，得， 由方程，得， 因为，方程与方程是“美好方程”， 所以，， 解得． 答：． （2）由方程，得， 因为，方程和是“美好方程”， 所以，方程的解为， 将代入方程中，解得， 所以，关于的一元一次方程可化为， 解得． 所以，关于y的一元一次方程的解为； 【说明】本题考查一元一次方程的解法和新定义题型，理解“美好方程”的定义是解题关键；已知一元一次方程的解，求参数、利用合并同类项与移项、去括号解一元一次方程； 题型2、有关一元一次的新定义数 例6、规定：若关于x的一元一次方程的解为，则称该方程是“奇异方程”；例如：的解为，因为，所以该方程是“奇异方程”． （1）若关于x的一元一次方程是“奇异方程”，则m的值为_______． （2）若关于x的一元一次方程和都是“奇异方程”，则代数式的值为_______． 【提示】（1）根据“奇异方程”的定义即可得出关于m的一元一次方程，解之即可得出结论； （2）根据“奇异方程”的定义即可得出，，然后代入代数式)中即可算出结论； 【答案】；16； 【解析】（1）解一元一次方程是，得， 因为，一元一次方程是“奇异方程”， 所以，， 所以，， 所以，； （2）因为，一元一次方程和都是“奇异方程”， 所以，， 所以，， 所以， 故答案为：，16． 【说明】本题考查了解一元一次方程、代数式求值，已知式子的值，求代数式的值、利用合并同类项与移项解一元一次方程；解题的关键是：（1）根据“奇异方程”定义列出关于m的一元一次方程；（2）根据“奇异方程”的定义列出关于m、n的方程组，利用整体思想解答； 例7、在学习完一元一次方程后，老师给出一个新定义：若是关于的一元一次方程的解，是关于的方程的解或所有解中的一个解，且，则称关于的方程是关于的一元一次方程的“十全十美”方程；例如的解是，关于的方程的所有解是或，当时，，所以是一元一次方程的“十全十美”方程． （1）已知关于的方程：①；②．其中是的“十全十美”方程的是____________（只填序号）； （2）若关于的方程是关于的一元一次方程的“十全十美”方程，求的值； 【提示】（1）根据新定义的要求，解方程验证即可； （2）分别解方程和，根据“十全十美”方程的定义可得关于a的一元一次方程，解之即可； 【答案】（1）②；（2）0或； 【解析】（1）方程的解是， 方程①的解为， 因为，， 所以，方程①不是一元一次方程的“十全十美”方程； 方程②的解为或， 因为，当时，， 所以，方程②是一元一次方程的“十全十美”方程． 故答案为：②； （2）方程的解是， 方程的解是或， 因为，关于的方程是关于的一元一次方程的“十全十美”方程， 所以，当时，，解得； 当时，，解得； 所以，或； 【说明】本题考查了新定义方程，解方程，熟练掌握定义，正确解方程是解题的关键； 例8、新定义：如果将两个一元一次方程的解相减，差的绝对值为Q，我们称这两个方程为“值Q方程”；例如：方程的解是，方程的解是．因为，所以方程与方程是“值3方程” （1）下列方程中：①；②；③， _____和_____为“值1方程”，_____和_____为“值6方程”（填写序号）． （2）若关于x的一元一次方程和是“值2方程”，求a的值． 【提示】（1）先分别求解三个方程的解，然后根据“值Q方程”的定义，计算两个方程解的差的绝对值，若绝对值为1，则这两个方程为“值1方程”；若绝对值为6，则这两个方程为“值6方程”； （2）先分别求解方程和的解，根据题意，两个方程解的差的绝对值为2，可列出关于a的绝对值方程，求解即可得到a的值； 【答案】（1）①和②，①和③；（2）或； 【解析】（1）方程①：，解得； 方程②：，解得； 方程③：，解得， 因为，，， 所以，①和②为“值1方程”，①和③为“值6方程”， 故答案为：①和②，①和③． （2）由方程，解得， 由方程，解得， 由题意得，即， 当时，，解得； 当时，，解得， 综上所述，或； 【说明】本题考查了新定义问题的应用，一元一次方程求解及解绝对值方程；同时考查了合并同类项与移项、去括号、去分母解一元一次方程； 例9、规定：关于x的一元一次方程的解为，则称该方程是“差解方程”；例如：的解为，则方程就是“差解方程”，据上述规定解答下列问题： 【定义理解】 （1）判断：方程______差解方程；（填“是”或“不是”） （2）若关于x的一元一次方程是“差解方程”，求m的值； 【知识应用】 （3）若关于x的一元一次方程是“差解方程”，求的值； （4）已知关于x的一元一次方程和都是“差解方程”，求代数式的值． 【提示】（1）根据差解方程的定义判断即可； （2）根据差解方程的定义即可得出关于的一元一次方程，解之即可得出结论； （3）根据差解方程的定义即可得出关于、的二元二次方程，整理即可得出； （4）根据差解方程的概念列式得到关于、的两个方程，联立求解得到、的关系，得出，然后代入代数式进行计算即可求解； 【答案】（1）是；（2）；（3）16；（4）0 【解析】（1）因为，方程的解为， 所以，方程是差解方程． 故答案为：是； （2）由题意可知，由一元一次方程可知， 所以，， 解得； （3）因为，方程是“差解方程”， 所以，， 解方程，得， 所以，， 所以，，即， 故答案为：16； （4）因为，一元一次方程是“差解方程”， 所以，， 解方程一元一次方程得 所以，，整理得， 因为，一元一次方程是“差解方程”， 所以，， 解方程一元一次方程得， 所以，， 所以，，即， 所以，原式； 【说明】本题考查了一元一次方程的解，解题的关键是读懂题意，理解差解方程的概念并根据概念列出方程； 例10、【阅读材料】定义：关于的一元一次方程，若它的解满足，则称该方程是“差解方程”；例如：的解为，则方程就是“差解方程”，据上述规定解答下列问题： 【定义理解】 （1）判断：方程_____差解方程；（填“是”或“不是”） （2）若关于的一元一次方程是“差解方程”，求的值； 【知识应用】 （3）若关于的一元一次方程是“差解方程”，求的值； 【提示】（1）根据差解方程的定义判断即可； （2）根据差解方程的定义即可得出关于m的一元一次方程，解之即可得出结论； （3）根据差解方程的定义即可得出关于a、b的方程，整理即可得出； 【答案】（1）是；（2）；（3）16 【解析】由：方程的解为，而，符合“差解方程”的定义， 所以，方程是差解方程， 故答案为：是； （2）由题意可知， 由一元一次方程可知 所以， 解得 ； （3）因为方程是“差解方程”，所以， 解方程， 得 所以 所以， 即； 【说明】本题考查了一元一次方程的解，解题的关键是读懂题意，理解差解方程的概念并根据概念列出方程；同时考查了已知方程的解，求参数、利用合并同类项与移项解一元一次方程； 例11、我国古代有很多著名的典型数学问题，请列一元一次方程解下列应用题． ①周瑜寿属：而立之年督东吴，早逝英年两位数；十比个位正小三，个位六倍与寿符；哪位同学算得快，多少年寿属周瑜？意思是：周瑜病逝时的年龄是一个大于30的两位数，其十位数上的数字比个位上的数字小3，个位上的数字的6倍正好等于这个两位数，求这个两位数． ②《孙子算经》是我国古代的重要数学著作，其中记载的“百鹿入城”问题很有趣．原文如下：今有百鹿入城，家取一鹿不尽，又三家共一鹿适尽，问城中家几何？其大意为：现在有100头鹿进城，每家领取一头后还有剩余，剩下的鹿每三家分一头，则恰好取完．问城中共有多少户人家？ 【提示】①设十位上的数字为，则个位上的数字为，根据“个位上的数字的6倍正好等于这个两位数”列方程求出x即可； ②设城中共有户人家，根据“100头鹿，每家领取一头后，剩下的鹿每三家分一头，恰好取完”列方程求解即可； 【答案】①这个两位数为36；②75户； 【解析】①由题意：设十位上的数字为，则个位上的数字为， 根据题意得：， 解得， 则， 答：这个两位数为36； ②由题意：设城中共有户人家， 根据题意得：， 解得， 答：城中共有75户人家； 【说明】本题考查了一元一次方程的应用与古代数学史问题的交汇；阅读理解是解题的关键； 题型3、有关一元一次的新定义方程 例12、我们规定：若关于x的一元一次方程的解为，则称该方程为“差解方程”；例如：的解为，且，则称方程是“差解方程”，若关于x的一元一次方程是“差解方程”，则m的值为__________． 【提示】先解方程，再由“差解方程”的定义列式即可； 【答案】； 【解析】由：方程得： 因为，关于x的一元一次方程是“差解方程” 所以， 解得： 故答案为：； 【说明】本题考查了一元一次方程的解的定义．理解“差解方程”的定义，运用“差解方程”的规定是解决本题的关键； 例13、中考新趋势·新定义 定义：关于x的方程与方程（a，b均为不等于0的常数）称互为“反对方程”；例如：方程与方程互为“反对方程”． （1）若关于x的方程与方程互为“反对方程”，则_______； （2）若关于x的方程与其“反对方程”的解都是整数，求整数d的值； （3）已知关于x的一元一次方程的解为，那么关于y的一元一次方程的解为_______．（请直接写出答案） 【提示】（1）根据“反对方程”的定义，进行求解即可； （2）求出两个方程的解，根据解为整数，进行求解即可； （3）根据互为“反对方程”的解互为倒数，根据换元法，得到，进行求解即可； 【答案】（1）2；（2）d的值为或；（3）； 【解析】（1）因为，关于x的方程与方程互为“反对方程”， 所以，； 故答案为：2； （2）变形为， 由题意可知方程的“反对方程”为． 解，得． 解，得． 因为与的解都是整数， 所以与都是整数，且d为整数， 所以当或时，与都是整数， 故整数d的值为或； （3）由题可知的解为． 由题意得，互为“反对方程”的两个方程的解互为倒数， 所以的解为， 将变形为， 所以， 所以关于y的一元一次方程的解为． 【说明】本题考查解一元一次方程，一元一次方程的解，熟练掌握新定义，是解题的关键； 例14、阅读下面的内容，并完成相应任务． 成双方程 新定义：如果两个一元一次方程的解之和为2，我们就称这两个方程互为 “成双方程”；例如：方程的解为，方程的解为 因为，所以这两个方程互为“成双方程”． 任务： （1）请写出一个一元一次方程，使它与方程互为“成双方程”． （2）若关于x的方程 和 互为“成双方程”，求m的值． 【提示】求已知方程的解，再根据“成双方程”的定义求解即可； 【答案】（1）（答案不唯一）；（2） 【解析】（1）解：解方程，得， 根据“成双方程”的定义，两个方程的解之和为2， 所以，另一个方程的解为， 那么这个一元一次方程可以是（答案不唯一）． （2）解方程得， 因为，两个方程互为“成双方程”， 所以，方程的解为， 将代入方程得， 解得； 【说明】本题考查了阅读与理解新定义，已知一元一次方程的解，求参数、一元一次方程解的关系； 这类试题不以记忆公式为主，重点考查阅读理解、知识迁移与转化能力。解题不仅要解出方程，求得的结果还必须满足题目给出的新定义约束条件，要剔除不符合新规则的解。简单来说，就是现场学规则，利用一元一次方程解决陌生情境问题。 2026年10月15日初中数学作业 1．新定义：如果两个一元一次方程的解互为相反数，就称这两个方程为“友好方程”；如：方程 和 为“友好方程”.若关于x的方程与方程 是“友好方程”,求m的值． 【提示】本题考查一元一次方程，相反数，先求出的解，再根据“友好方程”的定义求出的解，代入得到关于m的一元一次方程，即可求解； 【答案】15； 【解析】解，得， 因为，关于x的方程与方程 是“友好方程”, 所以， 的解为， 所以，， 解得． 即m的值为15． 2．新定义：若关于的方程的解是，另一个关于的方程（可能有多个解）中有一个解是，且满足，则称这两个方程构成“树人方程组”；例如：方程的解是，方程的所有解是或，当时，，所以方程与方程构成“树人方程组”； （1）下列关于的方程：①；②，哪个方程可以与方程构成“树人方程组”？请直接写出正确的序号：__________． （2）已知关于的方程，其中，求的值；若该方程与关于的方程构成“树人方程组”，求的值； （3）已知关于的一元一次方程与关于的方程构成“树人方程组”，求的值． 【提示】（1）先求出的解，根据定义得到所需，再解两个关于y的方程，判断是否存在满足条件的解即可； （2）先解关于y的方程得到y的值，再根据定义得到，解关于x的方程，即可求出a的值； （3）先解关于x的一元一次方程得到，根据定义得到，将代入关于y的方程化简，即可得到的值； 【答案】（1）②；（2），；（3）； 【解析】（1）由： 一元一次方程的解为． 根据“树人方程组”的定义，得． 解方程，得， 不存在， 因此①不能构成“树人方程组” ； 解方程，得或， 存在满足， 因此②可以构成“树人方程组”； （2）由： 已知，， 解得． 因为，两个方程构成“树人方程组”，满足， ， 所以，． 解方程 ，得 ． 因为， ， 所以， ， 所以，； （3）因为，是一元一次方程， 所以，， 解得 ． 根据定义，得 ． 将代入方程， 得 ， 化简，得， 所以，； 3．新定义：若关于x的一元一次方程的解是，一个关于y的方程有解，满足，则称关于y的方程为这个一元一次方程的“满分方程”；例如：一元一次方程的解是，方程的所有解是或，当时，，则为一元一次方程的“满分方程”． （1）已知关于y的方程：①，②，以上哪个方程是一元一次方程的“满分方程”？请直接写出正确的序号 ． （2）若关于y的方程是关于x的一元一次方程．的“满分方程”，请求出a的值； （3）如关于y的方程是关于x的一元一次方程的“满分方程”，请直接写出m与n之间的数量关系． 【提示】本题考查一元一次方程的应用，解题的关键是理解题目中定义的“满分方程”，通过解一元一次方程的方法求解； （1）先求出一元一次方程的解，再解方程和，根据“满分方程”的定义去判断； （2）解出方程的解，一元一次方程的解是，分类讨论，令求出的值； （3）解一元一次方程，得，由，得到，把它代入关于的方程即可求出结果； 【答案】（1）①；（2）的值是或；（3） 【解析】（1）由：一元一次方程的解是， 方程的解是或， 当时，， 所以，①是“满分方程”，符合题意； 方程的解是， 因为，， 所以，②不是“满分方程”，不符合题意； 故答案为：①； （2）因为，方程， 所以，， 即或， 解得：或， 所以，方程的解为或， 解一元一次方程得， 若， 则， 解得， 若， 则， 解得， 综上，的值是或； （3）方程， 解得：， 因为，， 所以，， 因为，， 所以，， 即， 所以，， 所以，， 因为，分母不能为 0 ， 所以，，， 即； 4．新定义：如果两个一元一次方程的解互为相反数，就称这两个方程为“友好方程”，如：方程与为“友好方程”． （1）若关于x的方程与方程是“友好方程”，求m的值； （2）若关于x的方程与方程是“友好方程”，求的值； （3）若某“友好方程”的两个解的差为6，其中一个方程的解为n，求n的值； 【提示】（1）先求出第一个方程的解，再根据“友好方程”的定义进而即可求出m的值； （2）将两个方程的解表示出来，再根据“友好方程”的定义求解即可； （3）根据“友好方程”的定义分情况讨论两个解差的两种不同情况即可； 【答案】（1）；（2）；（3）或； 【解析】（1）由：，，解得， 因为，两个方程是“友好方程”，解互为相反数， 所以，方程的解为， 把代入，得， 解得； （2）由：，，解得， ，，解得， 因为，两个方程是“友好方程”，解互为相反数， 所以，，，所以，； （3）因为，两个方程是“友好方程”，其中一个解为，所以，另一个解为， 由题意得，两个解的差为， 当时，， 解得， 当时，， 解得， 所以，的值为或． 5．新定义阅读理解题 如果两个一元一次方程的解互为相反数，我们就称这两个方程为“友好方程”；如方程和为“友好方程”； （1）若关于的方程与方程是“友好方程”，求的值； （2）若两个“友好方程”的两个解的差为，其中一个解为，求的值． 【提示】本题主要考查了一元一次方程的解法及新定义“友好方程”的应用，熟练掌握一元一次方程的解法、理解“友好方程”的定义是解题的关键； （1）先求解方程的解，根据“友好方程”的定义，得到方程的解是其相反数，代入该方程求解； （2）根据“友好方程”的定义，另一个解为，结合两个解的差为，分两种情况列方程求解； 【答案】（1）；（2）或； 【解析】（1）由：解得， 因为，关于的方程与方程是“友好方程”， 所以，方程的解为． 将代入得， 解得； （2）因为，两个方程是“友好方程”，所以，另一个解为． 分两种情况： ①当时，解得； ②当时，解得； 综上，或； 6．【阅读材料】 在学习一元一次方程后，数学老师给出一个新定义：若x是关于x的一元一次方程的解，y是关于y的方程的解或所有解的其中一个解，且x，y满足，则称关于y的方程是关于x的一元一次方程的“友好方程”． 例如：一元一次方程的解是，方程的所有解是或．当时，，所以是一元一次方程的“友好方程”． 【问题解决】 （1）已知关于y的方程：①；②．请通过计算说明哪个方程是一元一次方程的“友好方程”？ （2）若关于y的方程是关于x的一元一次方程的“友好方程”，求a的值． 【提示】本题主要考查新定义下解一元一次方程以及绝对值的应用， （1）首先解得x的值，再分别求得y的值，进一步判断“友好方程”； （2）首先求得y的值，再分别求得与其“友好方程”的x的值，进一步求得a即可； 【答案】（1）②是的“友好方程”；（2）或； 【解析】（1）由：由，解得， 由，解得， 因为，， 所以，①不是的“友好方程”． 方程的解是或． 当时，，则②是的“友好方程”． （2）方程的解是或． 当时，由题意，得， 将代入，得，解得， 当时，由题意得， 将代入，得，解得． 则a的值为或． 7．定义：如果两个一元一次方程的解之和为4，我们就称这两个方程为“毓德方程”．例如：方程和为“毓德方程”． （1）请判断方程与方程是否互为“毓德方程”； （2）若关于x的方程与方程互为“毓德方程”，求m的值． 【提示】（1）求出两个方程的解，再根据“毓德方程”的定义，进行判断即可； （2）求出两个方程的解，再根据“毓德方程”的定义，列出关于的方程，进行求解即可． 【答案】（1）方程与方程互为“毓德方程”；（2）； 【解析】（1）由：解方程，得； 解方程，得， 因为，， 所以，方程与方程是互为“毓德方程”； （2）由：解方程得， 解方程，得， 因为，关于的方程与方程互为“毓德方程”， 所以，， 所以，． 8．我们规定：若关于的一元一次方程的解为，则该方程为“和解方程”； 例如：的解为，且，则方程是“和解方程”． （1）判断方程是否是“和解方程”，并说明理由． （2）若关于的一元一次方程是“和解方程”，求的值． 【提示】本题考查了一元一次方程的解的应用，能理解和解方程的意义是解此题的关键． （1）求出方程的解，再根据和解方程的意义得出即可； （2）由，得，解得，先解根据和解方程得出关于的方程，求出方程的解即可． 【答案】（1）是；（2）； 【解析】（1）是；理由如下： 因为，，所以，， 因为，，所以，是和解方程； （2）因为，，所以，，所以，， 因为，关于的一元一次方程是和解方程， 所以，， 解得：； 第22页，共22页 学科网（北京）股份有限公司 $ 【原卷版】 微专题 与一元一次方程相关的“新定义”试题 与一元一次方程有关的“新定义”试题核心是： 给出课本没有的新概念、新运算，结合一元一次方程求解，主要分三类题型。第一类是新定义运算题，规定特殊运算符号的运算法则，按法则列出代数式；第二类是新定义数，定义某种特殊数，根据数的特征建立等式；第三类是新定义方程，给出方程新判定标准，依据标准构造一元一次方程。 解题通用步骤：首先读懂题目，准确理解新定义的文字或符号规则，不能套用原有运算习惯；其次，把题目条件按照新定义转化为普通的一元一次方程，去除陌生外壳，翻译成熟悉数学式子；接着利用一元一次方程解法，去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1求出未知数；最后检验结果，既要满足一元一次方程，还要符合新定义的附加限制条件，舍去不符合题意的解。这类题重在信息迁移，关键是完成新定义向常规方程的转化。 本文有关界定有关一元一次方程的 “新定义” 试题是指：命题者给出课本中没有出现过的新运算、新概念、新规则、新判定标准，将陌生定义与一元一次方程知识相结合的数学题型。 题目会通过文字或符号给出全新规定，不依赖课本原有概念，要求学生现场阅读理解新定义，把陌生的问题情境，转化为标准的一元一次方程，再运用一元一次方程的相关知识进行计算、推理、求值或判断。 题型1、有关一元一次的新定义运算题 例1、对于有理数a，b，定义了一种新运算“△”为：． 例如：，． （1）计算：①；②； （2）若是关于x的一元一次方程，且方程的解为，求m的值 【提示】 【答案】 【解析】 【说明】 例2、对于有理数a，b，定义了一种新运算“※”为：，如：，； （1）计算：①_______； （2）若是关于的一元一次方程，且方程的解为，求的值； （3）若，，，且，求的值． 例3、新定义：如果两个一元一次方程的解之积为1，我们就称这两个方程是“成倒方程”；例如：方程和是“成倒方程”； （1）请判断方程与方程是否是“成倒方程”，并说明理由； （2）若关于x的方程与方程是“成倒方程”，求m的值． 例4、新定义：如果两个一元一次方程的解之和为1，我们就称这两个方程为“1方程”；例如：方程和为“1方程”． （1）若关于的方程与方程是“1方程”，求的值； （2）若“1方程”的两个解的差为8，其中一个解为，求的值； （3）若关于的一元一次方程和是“1方程”，求关于的一元一次方程的解； 例5、新定义：如果两个一元一次方程的解的和为1，我们就称这两个方程为“美好方程”，例如：关于x的一元一次方程与为“美好方程”； （1）若关于x的一元一次方程与方程是“美好方程”，求m的值； （2）若关于x的一元一次方程与是“美好方程”，求关于y的一元一次方程的解； 题型2、有关一元一次的新定义数 例6、规定：若关于x的一元一次方程的解为，则称该方程是“奇异方程”；例如：的解为，因为，所以该方程是“奇异方程”． （1）若关于x的一元一次方程是“奇异方程”，则m的值为_______． （2）若关于x的一元一次方程和都是“奇异方程”，则代数式的值为_______． 例7、在学习完一元一次方程后，老师给出一个新定义：若是关于的一元一次方程的解，是关于的方程的解或所有解中的一个解，且，则称关于的方程是关于的一元一次方程的“十全十美”方程；例如的解是，关于的方程的所有解是或，当时，，所以是一元一次方程的“十全十美”方程． （1）已知关于的方程：①；②．其中是的“十全十美”方程的是____________（只填序号）； （2）若关于的方程是关于的一元一次方程的“十全十美”方程，求的值； 例8、新定义：如果将两个一元一次方程的解相减，差的绝对值为Q，我们称这两个方程为“值Q方程”；例如：方程的解是，方程的解是．因为，所以方程与方程是“值3方程” （1）下列方程中：①；②；③， _____和_____为“值1方程”，_____和_____为“值6方程”（填写序号）． （2）若关于x的一元一次方程和是“值2方程”，求a的值． 例9、规定：关于x的一元一次方程的解为，则称该方程是“差解方程”；例如：的解为，则方程就是“差解方程”，据上述规定解答下列问题： 【定义理解】 （1）判断：方程______差解方程；（填“是”或“不是”） （2）若关于x的一元一次方程是“差解方程”，求m的值； 【知识应用】 （3）若关于x的一元一次方程是“差解方程”，求的值； （4）已知关于x的一元一次方程和都是“差解方程”，求代数式的值． 例10、【阅读材料】定义：关于的一元一次方程，若它的解满足，则称该方程是“差解方程”；例如：的解为，则方程就是“差解方程”，据上述规定解答下列问题： 【定义理解】 （1）判断：方程_____差解方程；（填“是”或“不是”） （2）若关于的一元一次方程是“差解方程”，求的值； 【知识应用】 （3）若关于的一元一次方程是“差解方程”，求的值； 例11、我国古代有很多著名的典型数学问题，请列一元一次方程解下列应用题． ①周瑜寿属：而立之年督东吴，早逝英年两位数；十比个位正小三，个位六倍与寿符；哪位同学算得快，多少年寿属周瑜？意思是：周瑜病逝时的年龄是一个大于30的两位数，其十位数上的数字比个位上的数字小3，个位上的数字的6倍正好等于这个两位数，求这个两位数． ②《孙子算经》是我国古代的重要数学著作，其中记载的“百鹿入城”问题很有趣．原文如下：今有百鹿入城，家取一鹿不尽，又三家共一鹿适尽，问城中家几何？其大意为：现在有100头鹿进城，每家领取一头后还有剩余，剩下的鹿每三家分一头，则恰好取完．问城中共有多少户人家？ 题型3、有关一元一次的新定义方程 例12、我们规定：若关于x的一元一次方程的解为，则称该方程为“差解方程”；例如：的解为，且，则称方程是“差解方程”，若关于x的一元一次方程是“差解方程”，则m的值为__________． 例13、中考新趋势·新定义 定义：关于x的方程与方程（a，b均为不等于0的常数）称互为“反对方程”；例如：方程与方程互为“反对方程”． （1）若关于x的方程与方程互为“反对方程”，则_______； （2）若关于x的方程与其“反对方程”的解都是整数，求整数d的值； （3）已知关于x的一元一次方程的解为，那么关于y的一元一次方程的解为_______．（请直接写出答案） 例14、阅读下面的内容，并完成相应任务． 成双方程 新定义：如果两个一元一次方程的解之和为2，我们就称这两个方程互为 “成双方程”；例如：方程的解为，方程的解为 因为，所以这两个方程互为“成双方程”． 任务： （1）请写出一个一元一次方程，使它与方程互为“成双方程”． （2）若关于x的方程 和 互为“成双方程”，求m的值． 这类试题不以记忆公式为主，重点考查阅读理解、知识迁移与转化能力。解题不仅要解出方程，求得的结果还必须满足题目给出的新定义约束条件，要剔除不符合新规则的解。简单来说，就是现场学规则，利用一元一次方程解决陌生情境问题。 2026年10月15日初中数学作业 1．新定义：如果两个一元一次方程的解互为相反数，就称这两个方程为“友好方程”；如：方程 和 为“友好方程”.若关于x的方程与方程 是“友好方程”,求m的值． 2．新定义：若关于的方程的解是，另一个关于的方程（可能有多个解）中有一个解是，且满足，则称这两个方程构成“树人方程组”；例如：方程的解是，方程的所有解是或，当时，，所以方程与方程构成“树人方程组”； （1）下列关于的方程：①；②，哪个方程可以与方程构成“树人方程组”？请直接写出正确的序号：__________． （2）已知关于的方程，其中，求的值；若该方程与关于的方程构成“树人方程组”，求的值； （3）已知关于的一元一次方程与关于的方程构成“树人方程组”，求的值． 3．新定义：若关于x的一元一次方程的解是，一个关于y的方程有解，满足，则称关于y的方程为这个一元一次方程的“满分方程”；例如：一元一次方程的解是，方程的所有解是或，当时，，则为一元一次方程的“满分方程”． （1）已知关于y的方程：①，②，以上哪个方程是一元一次方程的“满分方程”？请直接写出正确的序号 ． （2）若关于y的方程是关于x的一元一次方程．的“满分方程”，请求出a的值； （3）如关于y的方程是关于x的一元一次方程的“满分方程”，请直接写出m与n之间的数量关系． 4．新定义：如果两个一元一次方程的解互为相反数，就称这两个方程为“友好方程”，如：方程与为“友好方程”． （1）若关于x的方程与方程是“友好方程”，求m的值； （2）若关于x的方程与方程是“友好方程”，求的值； （3）若某“友好方程”的两个解的差为6，其中一个方程的解为n，求n的值； 5．新定义阅读理解题 如果两个一元一次方程的解互为相反数，我们就称这两个方程为“友好方程”；如方程和为“友好方程”； （1）若关于的方程与方程是“友好方程”，求的值； （2）若两个“友好方程”的两个解的差为，其中一个解为，求的值． 6．【阅读材料】 在学习一元一次方程后，数学老师给出一个新定义：若x是关于x的一元一次方程的解，y是关于y的方程的解或所有解的其中一个解，且x，y满足，则称关于y的方程是关于x的一元一次方程的“友好方程”． 例如：一元一次方程的解是，方程的所有解是或．当时，，所以是一元一次方程的“友好方程”． 【问题解决】 （1）已知关于y的方程：①；②．请通过计算说明哪个方程是一元一次方程的“友好方程”？ （2）若关于y的方程是关于x的一元一次方程的“友好方程”，求a的值． 7．定义：如果两个一元一次方程的解之和为4，我们就称这两个方程为“毓德方程”．例如：方程和为“毓德方程”． （1）请判断方程与方程是否互为“毓德方程”； （2）若关于x的方程与方程互为“毓德方程”，求m的值． 8．我们规定：若关于的一元一次方程的解为，则该方程为“和解方程”； 例如：的解为，且，则方程是“和解方程”． （1）判断方程是否是“和解方程”，并说明理由． （2）若关于的一元一次方程是“和解方程”，求的值． 第14页，共14页 学科网（北京）股份有限公司 $