专题：求数列通项公式讲义2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第二册

专题：求数列通项公式 题型一：观察法 用观察法时要注意： (1)观察数列各项符号的变化，考虑通项公式中是否有或者 部分． (2)考虑各项的变化规律与序号的关系． (3)应特别注意自然数列、正奇数列、正偶数列、自然数的平方、与有关的数列、等差数列、等比数列以及由它们组成的数列． 例1.根据下列各数列前几项的值，写出数列的一个通项公式： (1)；(2)1，7，13，19，…；(3)，2，，8，，…；(4)5，55，555，5 555，…. 练习1.数列前6项为，则数列的通项公式可以为(    ) A． B． C． D． 题型二：公式法求数列的通项 一．等差数列的通项公式：，变形：(*)． 二．等比数列的通项公式：an＝a1qn－1.() 变形：() 例2.已知等差数列为递增数列，且满足，，则其通项公式为（    ） A． B． C． D． 例3.在数列中，数列是以3为公比的等比数列，则等于（    ） A．2020 B．2021 C．2022 D．2023 练习2.已知数列满足，，则此数列的通项公式（    ） A． B． C． D． 练习3.已知数列为等比数列，且，，则的通项公式为 . 题型三：累加法求数列通项 一．特征：已适用于，求 二．方法：定两边分别相加得 例4：若数列满足，（，），则的最小值是 . 练习4.若，则（    ） A．55 B．56 C．45 D．46 练习5.已知数列满足：，，数列是以4为公差的等差数列． (1)求数列的通项公式； (2)记数列的前n项和为，求的值． 类型四：累乘法求数列通项 一．特征：累乘法：适用于，求 二．方法：等，两边分别相乘得 例5.已知，则（    ） A．506 B．1012 C．2024 D．4048 练习6.已知数列满足，，则数列的通项公式为（    ） A． B． C． D． 题型五：由与关系求数列通项 一．特征：给在已知数列中存在：的关系，可以利用项和公式，求数列的通项. 二．方法：①先利用求出;②用替换中的得到一个新的关系，利用便可求出当时的表达式;③注意检验时的表达式是否可以与的表达式合并。 例6.数列的前n项和，且，计算 . 例7.设数列的前项和为，已知，，则(    ) A． B． C．数列是等比数列 D．数列是等差数列 例8.已知正项数列满足，求的通项公式. 例9.已知各项均为正数的数列的前项和为，且，（且），求的通项公式. 练习7.已知数列的前n项和为，则（    ） A．81 B．162 C．243 D．486 练习8.在数列中，，前项和，则数列的通项公式为 练习9.已知数列满足，设数列的通项公式 ． 练习10.已知正项等差数列的前项和为，满足，求数列的通项公式； 题型六：用“待定系数法”构造等比数列 一．形如an＋1＝Aan＋B(A≠0且A≠1，B≠0)的递推式： 例10.已知数满足，则数列的通项公式 ． 练习11.已知数列的递推公式为且，则数列的前n项和= 二．形如型的递推式： (1)当为一次函数类型(即等差数列) 例11.在数列中，已知，且 ，则该数列的通项公式为 . 练习12.在数列中，已知，且，则 (2)当为指数函数类型(即等比数列). 例12.数列满足，则数列的通项公式为 . 练习13.已知数列的首项为，且满足，则 ． 练习14.已知数列满足，，求数列的通项公式． 三．形如：两边取对数得，令得：， 即化归为型，求出之后得(注意：底数不一定要取10，可根据题意选择)． 例13.数列满足，则数列的前8项和为(      ). A．63 B．127 C．255 D．256 练习15.设正项数列满足，，则数列的通项公式为 . 题型七：倒数构造法 形如（为常数，）的数列，通过两边取“倒”，从而构造出新的等差数列，先求出的通项，即可求得. 例14.在数列中，已知，，则的通项公式为 ． 练习16.数列中，若，，则 ． 练习17.已知数列满足，，则的前n项和为 . 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题：求数列通项公式 题型一：观察法 用观察法时要注意： (1)观察数列各项符号的变化，考虑通项公式中是否有或者 部分． (2)考虑各项的变化规律与序号的关系． (3)应特别注意自然数列、正奇数列、正偶数列、自然数的平方、与有关的数列、等差数列、等比数列以及由它们组成的数列． 例1.根据下列各数列前几项的值，写出数列的一个通项公式： (1)；(2)1，7，13，19，…；(3)，2，，8，，…；(4)5，55，555，5 555，…. 【答案】(1) (2) (3) (4) 【详解】（1）这个数列前4项的绝对值都等于序号与序号加1的积的倒数，且奇数项为负，偶数项为正，所以它的一个通项公式为an＝(－1)n. （2）偶数项为正，奇数项为负，故通项公式必含有因式(－1)n，观察各项的绝对值，后一项的绝对值总比它前一项的绝对值大6，故数列的一个通项公式为an＝(－1)n(6n－5). （3）数列的各项，有的是分数，有的是整数，可将数列的各项都统一成分数再观察，即，，，，，…分子为项数的平方，分母都为2，从而可得数列的一个通项公式为an＝. （4）将原数列改写为×9，×99，×999，…易知数列9，99，999，…的通项为10n－1，故所求的数列的一个通项公式为an＝ (10n－1). 练习1.数列前6项为，则数列的通项公式可以为(    ) A． B． C． D． 【答案】D 【详解】通过观察数列的前6项，可以发现有如下规律： 且奇数项为正，偶数项为负，故用表示各项的正负； 各项的绝对值为分数，分子等于各自的序号数， 而分母是以1为首项，2为公差的等差数列， 故第n项的绝对值是， 所以数列的通项可为， 故选：D 题型二：公式法求数列的通项 一．等差数列的通项公式：，变形：(*)． 二．等比数列的通项公式：an＝a1qn－1.() 变形：(,) 例2.已知等差数列为递增数列，且满足，，则其通项公式为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由数列为递增等差数列，则，且， 又因为，所以，， 所以数列的公差，， 所以数列的通项公式为，故B项正确. 故选：B. 例3.在数列中，数列是以3为公比的等比数列，则等于（    ） A．2020 B．2021 C．2022 D．2023 【答案】C 【详解】数列{an}是以3为公比的等比数列，且， 所以， 则， 故选：C. 练习2.已知数列满足，，则此数列的通项公式（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】∵，∴，∴数列是首项为2，公差为的等差数列，∴. 故选：A 练习3.已知数列为等比数列，且，，则的通项公式为 . 【答案】或 【详解】设等比数列的公比为， 则，解得或， 所以或. 故答案为：或. 题型三：累加法求数列通项 一．特征：已适用于，求 二．方法：定两边分别相加得 例4：若数列满足，（，），则的最小值是 . 【答案】6 【详解】由已知，，…，，， 所以，， 又也满足上式，所以， 设，由对勾函数性质知在上单调递减，在递增， 因此在时递减，在时递增， 又，， 所以的最小值是6， 故答案为：6. 练习4.若，则（    ） A．55 B．56 C．45 D．46 【答案】D 【详解】由， 得，， ，，， 累加得， ， 当时，上式成立， 则， 所以. 故选：D 练习5.已知数列满足：，，数列是以4为公差的等差数列． (1)求数列的通项公式； (2)记数列的前n项和为，求的值． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）根据题意可得，     则 ； 又符合上式，所以； （2）∵， ∴. 类型四：累乘法求数列通项 一．特征：累乘法：适用于，求 二．方法：等，两边分别相乘得 例5.已知，则（    ） A．506 B．1012 C．2024 D．4048 【答案】D 【详解】， ， ，， ，， 显然，当时，满足， ∴， . 故选D. 练习6.已知数列满足，，则数列的通项公式为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：由，得， 即，则，，，…，， 由累乘法可得，所以， 又，符合上式，所以. 故选：D． 题型五：由与关系求数列通项 一．特征：给在已知数列中存在：的关系，可以利用项和公式，求数列的通项. 二．方法：①先利用求出;②用替换中的得到一个新的关系，利用便可求出当时的表达式;③注意检验时的表达式是否可以与的表达式合并。 例6.数列的前n项和，且，计算 . 【答案】726 【详解】数列的前n项和， 时，，有 时，， 此时，，有， 所以时，；时，， . 故答案为：726 例7.设数列的前项和为，已知，，则(    ) A． B． C．数列是等比数列 D．数列是等差数列 【答案】AB 【详解】对于：由，则， ，正确； 对于：①， 当时，②， ①②得：， ∴， ∴，正确； 对于：当时，； 但不满足， 所以数列不是等比数列，错误； 对于：由，即， ∴； 所以数列是等比数列，不是等差数列，错误. 故选：. 例8.已知正项数列满足，求的通项公式. 【答案】 【详解】（1）解：因为， 当时，， 两式相减得，因为，可得，， 令，可得，满足， 所以的通项公式为 例9.已知各项均为正数的数列的前项和为，且，（且），求的通项公式； 【答案】 【详解】当时，， 即，解得． 因为（）， 所以（）， 又（，），， 所以（）， 又， 所以数列是以1为首项，1为公差的等差数列， 所以，所以． 当时，， 当时，，满足上式， 所以数列的通项公式为． 练习7.已知数列的前n项和为，则（    ） A．81 B．162 C．243 D．486 【答案】B 【详解】数列的前n项和为，所以. 故选：B 练习8.在数列中，，前项和，则数列的通项公式为 【答案】 【详解】由于数列中，，前项和， 所以当时，， 两式相减可得：， 所以， ， 所以， 所以， 所以 ， 符合上式， 因此. 故答案为： 练习9.已知数列满足，设数列的通项公式 ． 【答案】 【详解】由题意，当时，， 当时，由， 可得， 两式相减，可得，解得， 当时，不满足上式， 练习10.已知正项等差数列的前项和为，满足，求数列的通项公式； 【答案】 【详解】①， 时，②， ①②得， ， ，可得， 或（舍）， 又验证时，符合， . 题型六：用“待定系数法”构造等比数列 一．形如an＋1＝Aan＋B(A≠0且A≠1，B≠0)的递推式： 例10.已知数满足，则数列的通项公式 ． 【答案】 【详解】由可得：，又, ， 所以是以为首项，为公比的等比数列， 所以，所以. 故答案为： 练习11.已知数列的递推公式为且，则数列的前n项和= 【答案】 【详解】当时，， 则，所以是首项为，公比为的等比数列， 所以，所以， 数列的前n项和. 故答案为： 二．形如型的递推式： (1)当为一次函数类型(即等差数列) 例11.在数列中，已知，且 ，则该数列的通项公式为 . 【答案】 【详解】令， 则，由条件得，解得， 即，故数列是首项为，公比为4的等比数列， 从而，故.故答案为：. 练习12.在数列中，已知，且，则 【答案】 【详解】（1）因为，故， 而，则，即首项为0， 故数列不为等比数列， 则由，结合， 知为各项为0的常数列， 故； (2)当为指数函数类型(即等比数列). 例12.数列满足，则数列的通项公式为 . 【答案】 【详解】数列中，由，得，即， 而，，于是数列是首项为3，公比为的等比数列， 因此，即， 所以数列的通项公式为. 故答案为： 练习13.已知数列的首项为，且满足，则 ． 【答案】 【详解】由，即， 则，又， 故数列是以为公比、为首项的等比数列， 即，则. 故答案为：. 练习14.已知数列满足，，求数列的通项公式． 【答案】 【详解】将两边除以，得，则， 故数列是以为首项，以为公差的等差数列，则， ∴数列的通项公式为． 三．形如：两边取对数得，令得：， 即化归为型，求出之后得(注意：底数不一定要取10，可根据题意选择)． 例13.数列满足，则数列的前8项和为(      ). A．63 B．127 C．255 D．256 【答案】C 【详解】由，得， 因此数列是首项为1，公比为2的等比数列， 数列的前8项和为.故选：C 练习15.设正项数列满足，，则数列的通项公式为 . 【答案】 【详解】对任意的，， 因为，则， 所以，，且， 所以，数列是首项为，公比为的等比数列， 所以，，解得. 题型七：倒数构造法 形如（为常数，）的数列，通过两边取“倒”，从而构造出新的等差数列，先求出的通项，即可求得. 例14.在数列中，已知，，则的通项公式为 ． 【答案】 【详解】由， 两边取倒数得， 即， 又因为， 所以是首项为，公差为的等差数列， 所以， 故， 故答案为： 练习16.数列中，若，，则 ． 【答案】19 【分析】取倒数可得，即可得数列的通项公式，计算即可得. 【详解】∵，则， ∴，∴故数列为等差数列，公差等于2， 又，故， ∴. 故答案为：19． 练习17.已知数列满足，，则的前n项和为 . 【答案】 【详解】解：数列满足，整理得：， 所以， 又， 故是以4为首项，2为公比的等比数列， 所以，所以，所以的前项和 故答案为： 1 学科网（北京）股份有限公司 $