专题09 相似动态几何压轴（动点与旋转） （压轴题专项训练）数学新教材沪科版九年级上册

专题09 相似动态几何压轴（动点与旋转） 目 录 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、手拉手旋转相似 题型二、相似三角形存在性问题【最高频压轴】 题型三、线段长度最值问题 题型四、一线三等角模型 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 适用：动点、旋转、动点 + 旋转混合压轴题 步骤 1：定背景，找不变量（动中抓静） 标出固定线段、固定角度；旋转角是定值，旋转过程中不变。 区分：不变角、不变边长；变化的点、变化线段。 核心思想：图形在旋转 / 点在移动，但某些角相等关系永远成立，这是相似的来源。 步骤 2：设元，表示动点线段 设运动时间t，写出动点走过的路程；注意分段讨论（点在不同边上表达式不同）。 写出所有相关线段：用含t代数式表达。 注意：t取值范围，必须结合动点的起点终点，限制定义域。 步骤 3：找等角，证相似 1.旋转：∵旋转，∴对应角相等，旋转角 相等，通过角加减得到一组等角； 2.再找第二组等角（AA），证明三角形相似； 3.写出相似对应关系，对应顶点写在对应位置（防止比例式写错）。 步骤 4：列比例式，建立方程求解 由相似得： 求线段长：代入含t表达式，解方程； 存在性问题：假设相似成立，列方程，检验t是否在取值范围内。 步骤 5：分类讨论（压轴重中之重） 相似三角形没有指定对应顶点时必须分类；旋转方向分顺时针、逆时针；动点在不同边上也要分类。 常见分类： ① 两组顶点对应关系不同； ② 动点在线段上 / 延长线上； ③ 旋转顺时针、逆时针两种位置。 步骤 6：检验 + 作答 检验解出的t是否满足：动点位置、线段长度 > 0；舍去不合理解； 最值问题：转化为函数（一次 / 二次）或者几何最值（两点之间、垂线段最短）。 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、手拉手旋转相似 【典例1】．（2024·安徽·模拟预测）如图，和都是等腰直角三角形，，且点、、在同一条直线上，连接． （1）的度数为______． （2）若、分别是、的中点，连接，，，则的值为______． 【答案】 90° 【知识点】用SAS证明三角形全等（SAS）、相似三角形的判定与性质综合 【分析】（1）先根据已知条件证明△AOC ≌△BOD，再根据等腰直角三角形的性质计算即可． （2）先利用中位线定理得出BD的长，再根据全等三角形的性质得出AC，利用勾股定理得出AP，根据△AOC≌△BOD，利用相似比和面积的关系计算即可． 【详解】（1)∵△AOB与△COD都是等腰直角三角形 ∴ OA=OB. OC=OD ∠ODC= ∠OCD=45° 又∵ ∠AOB-∠BOC= ∠COD- ∠BOC ∴ ∠AOC=∠BOD， 即OA=OB，OC=OD， ∠AOC= ∠BOD ∴ △AOC ≌△BOD (SAS) ， ∴ ∠BDO=∠ACO=180°-∠OCD=135°， ∴ ∠ADB=∠BDO-∠ODC＝135°-45°=90°； （2)由题意可知PC是△ABD的中位线， ∴ BD=2PC=2， PC∥BD ∴ △ACP是直角三角形， 又∵△AOC≌△BOD ∴AC=CD=BD=2， ∴AP= AB= 又△COD∽△AOB， ∴； 故答案为：90°； 【点睛】本题考查手拉手模型、相似三角形、全等三角形、勾股定理、相似三角形的性质．了解手拉手模型对解决本题有很大的作用．熟悉相似三角形的性质、判定是关键． 题型模版 特征：两个有公共顶点的三角形，一个固定，一个绕公共顶点旋转；伴随一个动点沿边运动；旋转角固定。 【变式1】．（2026·安徽安庆·三模）如图，中，，将绕点逆时针旋转到，连接，． (1)如图1，求证：； (2)如图2，若与相交于点，求证：点是的中点； (3)如图3，当，时，探究与的数量关系并说明理由． 【答案】(1)证明：∵将绕点A旋转得到， ∴，，． ∴，． ∴． (2)证明：过点D作于点M，过点B作，交的延长线于点N， 由旋转的性质可知，， ， ，，， ， 又∵ ， ， ，， ， ， 即点是线段的中点． (3)解：结论：， 理由：延长、交于点，过点作，垂足为， 设，由可得， ∵， ∴， ∴，， ∵，即， ∴， ∵，， ∴，，， 由（2）得， ∴ ∴，， ∴， ∴， ∴ ∵，， ∴， ∴，即：， ∴， ∴， ∴ ∴，即． 【知识点】全等三角形综合问题、用勾股定理解三角形、根据旋转的性质求解、相似三角形的判定与性质综合 【分析】（1）根据旋转的性质可得，，，即可得出，，根据相似三角形的判定定理即可证明． （2）过点D作于点M，过点B作，交的延长线于点N，构造K字形全等，得，由全等三角形的性质得到，进而证明即可得出． （3）延长、交于点，过点作，垂足为，设，则，可求，，根据中点+平行线模型可得，可得，，由勾股定理可得，进而求出，利用可得，由此求出，根据，求出，由此得出． 【变式2】．如图，已知和均为等腰三角形，，，将这两个三角形放置在一起. 【问题发现】（1）如图①，当时，点B、D、E在同一直线上，连接，请判断的度数及线段、之间的数量关系，并说明理由； 【拓展探究】（2）如图②，当时，点B、D、E在同一直线上，连接，请判断的度数及线段、之间的数量关系，并说明理由； 【解决问题】（3）如图③，，，，连接、，在绕点A旋转的过程中，当时，请直接写出的长. 【答案】（1），；（2），；（3）或 【知识点】全等三角形综合问题、等腰三角形的性质和判定、根据旋转的性质求解、相似三角形的判定与性质综合 【分析】（1）证明，得出，，即可得出结论； （2）证明，得出，，即可得出结论； （3）先判断出，再求出，①当点E在点D上方时，先判断出四边形是矩形，求出，再根据勾股定理求出，，得出；②当点E在点D下方时，同①的方法得，，，进而得出，即可得出结论． 【详解】解：（1）为等腰三角形，，， ∴是等边三角形 同理可得是等边三角形 ∵， ∴ ∴， ∴， ∴， ∵，即 ∴ （2），，理由如下： 在等腰三角形ABC中，，， ∴， 同理，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∵点B、D、E在同一条直线上， ∴， ∴ ∴， （3）由（2）知，， ∴， 在中，， ∴， ①当点E在点D上方时，如图， 过点A作交BD的延长线于P， ∵， ∴， ∴四边形是矩形， ∵， ∴矩形是正方形， ∴， 在中，根据勾股定理得，， ∴， ∴ ②当点E在点D下方时，如图，同①的方法 得，， ∴， ∴ 综上可知，CE的长为或. 【点睛】此题是几何变换综合题，主要考查了旋转的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，等边三角形的性质，判断出是解本题的关键． 【变式3】．（24-25九年级上·安徽合肥·期中）（1）如图①，若在等边△ABC的边AB上任取一点E（点E不与B重合），以EC为边在△ABC同侧作等边△CEN，连接AN．求证：ANBC且AN＝BE； （2）如图②，若把（1）中的“等边△ABC”改成正方形ABCD，同样在边AB上任取一点E（点E不与B重合），以EC为边在正方形ABCD同则作正方形CEMN，连接DN，请你判断图中是否有与（1）中类似的结论．若有，直接写出结论；若没有，请说明理由； （3）如图③，若把（2）中的“正方形”改成边长为6、宽为4的矩形ABCD，以同样的方式作矩形CEMN，且矩形CEMN∽矩形CBAD，连接DN，此时DN＝EB这个结论还成立吗？若成立，请写出证明过程；若不成立，请写出正确结论并写出证明过程． 【答案】（1）见解析；（2）有，ANBC且DN＝BE；（3）不成立，，理由见解析 【知识点】全等三角形综合问题、相似三角形的判定与性质综合 【分析】（1）直接由“手拉手”模型推出，然后根据全等三角形的性质证明即可； （2）仿照（1）的过程判断出，然后根据全等三角形的性质证明即可； （3）根据相似三角形的判定与性质进行求解即可． 【详解】证：（1）∵△ABC和△CEN均为等边三角形， ∴AC=BC，EC=NC，∠ACB=∠NCE=60°，∠B=60°， ∵∠ACB=∠ACE+∠ECB，∠NCE=∠ACE+∠NCA， ∴∠ECB=∠NCA， 在△ECB和△NCA中， ∴△ECB≌△NCA(SAS)， ∴AN=BE，∠NAC=∠B=60°， ∵∠ACB=∠NAC=60°， ∴AN∥BC， ∴AN∥BC且AN＝BE； （2）有，AN∥BC且DN＝BE；理由如下： ∵四边形ABCD和四边形CEMN均为正方形， ∴BC=DC，EC=NC，∠BCD=∠ECN=90°，∠B=90°， ∵∠BCD=∠BCE+∠ECD，∠ECN=∠ECD+∠DCN， ∴∠BCE=∠DCN， 在△BCE和△DCN中， ∴△BCE≌△DCN(SAS)， ∴BE=DN，∠CDN=∠B=90°， ∵∠ADC=90°， ∴∠ADC+∠CDN=180°， 即：A、D、N三点共线， ∵AD∥BC， ∴AN∥BC， ∴AN∥BC且DN＝BE； （3）不成立，，理由如下： ∵矩形CEMN∽矩形CBAD， ∴∠BCD=∠ECN=90°，∠B=90°，， ∴， ∵∠BCD=∠BCE+∠ECD，∠ECN=∠ECD+∠DCN， ∴∠BCE=∠DCN， ∴△BCE∽△DCN， ∴， ∵矩形ABCD的长为6，宽为4， ∴BC=6，DC=4， ∴， ∴． 【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，特殊平行四边形的性质等，理解基本图形的性质，掌握全等三角形和相似三角形的判定方法以及基本性质是解题关键． 题型二、相似三角形存在性问题【最高频压轴】 【典例2】．（2025·安徽合肥·模拟预测）如图，在菱形中，对角线，相交于点，，．动点从点出发，沿方向匀速运动，速度为；同时，动点从点出发，沿方向匀速运动，速度为．以，为邻边的平行四边形的边与交于点．设运动时间为，解答下列问题： (1)当点在的垂直平分线上时，求的值； (2)连接，是否存在某一时刻，使？若存在，求出的值：若不存在，请说明理由． (3)是否存在某一时刻，使点在的平分线上？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在，当时， (3)存在，当时，点在的平分线上 【知识点】角平分线的性质定理、线段垂直平分线的性质、利用菱形的性质求线段长、相似三角形的判定与性质综合 【分析】（1）过点作于点，交于点，当点在的垂直平分线上时，，用等面积法求出，再用含的式子表示、，再利用可求出； （2）连接，过点作于点，先用含的式子表示，再利用，将用含的式子表示，通过面积关系可求出； （3）点在的平分线上，过点作于点，，交的延长线于点，得到，用等面积法求出，再利用求出，即可求解． 【详解】（1）解：如图，当点在的垂直平分线上时，过点作于点，交于点， 四边形是菱形，对角线，相交于点， ，，， ， ， 菱形的面积为，即， ， ， 由题意得：，，四边形是平行四边形， ，， 点在的垂直平分线上， ， ， ， ，即， 解得：； （2）存在， 如图，连接，过点作于点， ，，，， ， ，即， ， ，， ， ，即， ， ， ， ，， ， 整理得：， 解得：， 当时，； （3）存在， 如图，点在的平分线上，过点作于点，，交的延长线于点， ， ， ， ， ，， ， ，即， ， 当时，点在的平分线上． 【点睛】本题考查了菱形的性质，相似三角形的判定与性质，线段垂直平分线的性质，角平分线的性质，勾股定理，掌握相关知识并正确作出辅助线是解题的关键． 题型模版 特征：点沿着多边形边匀速运动；某条线段 / 三角形绕定点旋转；问：是否存在时刻t，使得两个三角形相似。 【变式1】．（2024·安徽·一模）如图，中，点在线段上，点在线段延长线上，且，交直线于点，交直线于点，．    (1)图1中是否存在与相等的线段？若存在，请找出，并加以证明，若不存在，说明理由； (2)若将“点在线段上，点在线段延长线上”改为“点在线段延长线上，点在线段延长线上”，其他条件不变（如图）．当，，时，求线段的长． 【答案】(1) 解：；证明如下： ∵， ∴， 又∵， ， ∴①， ∵， ∴，② 由①②可得，， ∵， ； (2)6 【知识点】与三角形中位线有关的求解问题、由平行截线求相关线段的长或比值、相似三角形的判定与性质综合 【分析】（1）根据条件证明，再结合，利用相似三角形的性质即可求解； （2）根据等角对等边证明，再根据平行证明是的中位线，同理证明是的中位线，即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：，， ∴， ，， //， ∴， ， ∵， ∴， ，， ∴， ∴，即为的中点， 又//， ∴，即， 是的中点， ∴是的中位线， ∴， ，， ， ∴， ∵，， ，即为的中点， 又//， ∴， 为的中点， 是的中位线， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定与性质、三角形中位线定理以及平行线分线段成比例定理的综合运用；证明三角形相似是解决问题的关键，解题时注意相似三角形的对应边成比例；在直角三角形中，30度角所对的直角边等于斜边的一半． 【变式2】．（24-25九年级上·安徽六安·阶段检测）问题探究 （1）如图，在中，，，分别为，，边上的点，，交于点，求证：； （2）如图，在正方形中，点、分别在边、上，连接、，且．若，求的长； 问题解决 （3）如图是某公园中的一个矩形花园，米，米．园林设计师想在矩形的左侧扩建一个三角形区域种植玫瑰花．按照设计要求，在的延长线上，点在边上，且满足，连接、，与相交于点，为方便游客休息，设计师想在处修建一个亭子，从点到点处修一条小路（亭子大小忽略不计），且满足点到点的距离最小，这样的点是否存在，若存在，求的最小值；若不存在，说明理由． 【答案】（1）证明：， ，， ，， ， ； （2） （3）存在，米 【知识点】用勾股定理解三角形、根据矩形的性质求线段长、根据正方形的性质证明、相似三角形的判定与性质综合 【分析】（1）由可得，，根据相似三角形对应边成比例即可得出结论； （2）由正方形的性质可得，，从而可证得，利用相似三角形对应边成比例可得，据此即可求出的长度； （3）过点作于，交于，交于，设，则，可证得，，根据相似三角形对应边成比例可得，从而可得，利用勾股定理可得，利用完全平方数的非负性可知时有最小值米． 【详解】（1）略 （2）解：， ，， ， 四边形是正方形， ，， ， ， ， ， 又， ， ， ， ； （3）解：这样的点存在，的最小值为米，理由如下： 如图，过点作于，交于，交于， ， 设，则， 由（1）可知：， ， ， 设，则， 四边形为矩形，且米，米， 米，米，，， ，， ， 四边形为矩形， ， ，，，， ∵， ∴， ∵， ∴， ， ， ， ， ， ， ， ， 整理，得：， ， ， 在中，由勾股定理得：， ， 整理，得：， 当时，为最小，最小值为， 的最小值为：米， 答：从点到点处修一条小路（亭子大小忽略不计），且满足点到点的距离最小，这样的点存在，的最小值为米． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，矩形的判定与性质，正方形的性质，勾股定理等知识点，利用相似三角形的性质找到边之间的关系是解题的关键． 【变式3】．（2024·安徽合肥·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，点O为原点，的顶点B、C在x轴上，A在y轴上，，直线）分别与x轴，y轴，线段，直线交于点E，F，P，Q． (1)当时，求证：． (2)探究线段之间的数量关系，并说明理由． (3)在x轴上是否存在点M，使得，且以点M、P、Q为顶点的三角形与相似，若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) 证明：由知，， 则， 则点、的坐标分别为：， 当时，，则， 即点， ； (2) (3)时，时，时， 【知识点】利用二次根式的性质化简、一次函数与几何综合、利用平行四边形的性质求解、相似三角形的判定与性质综合 【分析】（1）根据，求出与交点的坐标，即可求解； （2）先求出直线的表达式为，再联立直线与直线求出，再求出点，利用坐标系中两点距离公式求出，结合即可求解； （3）证明，得到或，分四种情况画图求解． 【详解】（1）略 （2）解：， 理由： 设直线的表达式为：， 将代入得：， 解得：， ∴直线的表达式为：， 联立上式和得， 解得． 即点， 同理（1）可得，点， ， ， ； （3）解：分别过点作轴，轴， ， ， ， ， ， ， ， 设点，由（2）知，点、的坐标分别为：、， ①若，如图2，则， 当时， ， ， ， 联立方程组：， 解得：， ∴时，， ②若，如图3， 当时， ， ， ， 联立方程组：， 解得：． 时，； ③若，当时， 如图4，， AI， ， ， ， 联立方程组：， 解得：， ； ④的情况不存在， 综上，时，时，时，． 【点睛】本题考查的是一次函数综合运用，涉及到三角形相似、平行四边形的性质等知识点，分类求解是解题的关键． 题型三、线段长度最值问题 【典例3】．（2025·安徽亳州·三模）如图，中，，点M为边上一动点，将线段绕点O按逆时针方向旋转至，连接，（1）当N点在上时_____；（2）周长的最小值为______． 【答案】 4 / 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、用勾股定理解三角形、根据旋转的性质求解、相似三角形的判定与性质综合 【分析】本题主要考查了相似三角形的性质和判定，全等三角形的性质和判定，勾股定理， 对于（1），当N点在上时，，此时，进而求出，然后根据得出答案； 对于（2），作，，再根据“角角边”证明，可得，然后说明的周长最小，再作，最后根据勾股定理求出答案. 【详解】解：（1）当N点在上时，， ∴， ∴， ∵， ∴； ∵将线段绕点O按逆时针方向旋转至， ∴， ∴； 故答案为：4； （2）如图，作于H，于J． ∵， ∴， ∵于H， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴点N的运动轨迹是直线（该直线与直线平行，在的右侧，与的距离是）， 作点C关于该直线的对称点，连接交该直线于，连接，此时的周长最小，作于G． 在中，， ∴的周长的最小值为． 故答案为：． 题型模版 特征：动点运动同时图形旋转，求某条线段的最大值、最小值。 【变式1】．（2024·安徽阜阳·模拟预测）如图，正方形ABCD的边长为a，E．F分别是边AD、BC的中点，点G在CD上．且，DF、EG相交于点H． （1）求出的值； （2）求证：EG⊥DF； （3）过点H作MN∥CD，分别交AD、BC于点M、N，点P是MN上一点，当点P在什么位置时，△PDC的周长最小，并求△PDC周长的最小值． 【答案】（1） ；（2）见解析；（3）见解析，△PDC周长的最小值＝ . 【知识点】根据正方形的性质求线段长、轴对称综合题(几何变换)、相似三角形的判定与性质综合 【分析】（1）根据题意求出DE、DG，根据勾股定理求出EG，计算即可； （2）证明△EDG∽△DCF，根据相似三角形的性质得到∠DEG＝∠CDF，根据垂直的定义证明结论； （3）作点C关于NM的对称点K，连接DK交MN于点P，连接PC，得到△PDC周长的最小值＝CD+DK，根据勾股定理、三角形的面积公式计算即可． 【详解】（1）解：∵E是边AD的中点，＝，正方形ABCD的边长为a， ∴DE＝AD＝a，DG＝DC＝a，     由勾股定理得，EG＝ ＝a， ∴＝＝； （2）证明：＝，＝， ∴＝，又∠EDG＝∠DCF， ∴△EDG∽△DCF， ∴∠DEG＝∠CDF， ∵∠EDG＝90°， ∴∠DEG+∠DGE＝90°， ∴∠GDH+∠DGE＝90°，即∠DHG＝90°， ∴EG⊥DF； （3）解：作点C关于NM的对称点K，连接DK交MN于点P，连接PC，此时△PDC的周长最短．周长的最小值＝CD+PD+PC＝CD+PD+PK＝CD+DK． 由题意：CD＝AD＝a， 由（1）可知，ED＝AE＝a，DG＝a，EG＝a， △DEG的面积＝×EG×DH＝×DG×DE， DH＝＝a， ∴EH＝＝a， ∴HM＝ ＝a， ∴DM＝CN＝NK＝＝a， ∴DK＝ ＝a， 则△PDC周长的最小值＝CD+DK＝ a． 故答案为（1） ；（2）见解析；（3）见解析，△PDC周长的最小值＝ . 【点睛】本题考查正方形的性质、轴对称-最短问题、相似三角形的判定和性质、勾股定理等知识，解题的关键是掌握相似三角形的判定定理和性质定理、学会利用轴对称解决最短问题． 【变式2】．（24-25九年级上·安徽合肥·期中）正方形中，E、F和G分别在边、和上的点， (1)求证：； (2)试证：； (3)，当E在上运动时，试求的最小值． 【答案】(1) 证明：∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； (2) 证明：∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 由①②得：， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴； (3)3 【知识点】y=ax²+bx+c的最值、根据正方形的性质证明、相似三角形的判定与性质综合 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，二次函数最值，正方形的性质，熟练掌握知识点，运用相似三角形的判定与性质时解题的关键． （1）根据四边形是正方形，得到，故，而，则，即可求证； （2）由，，由，得到，由①②得：，故，化简即可求证； （3）设，则由得，则，故此时，再利用二次函数求最值即可解决． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：设，则由 得：， ∴， ∴， ∴， ∵，，且， ∴当时，取得最小值为3． 【变式3】．（2025·安徽亳州·一模）综合与探究：数学兴趣小组学习了特殊四边形的判定与性质后，对多边形中的相似三角形进行了研究． 【初步感知】如图1，点是正方形的边上一动点，过点作交于点．求证：； 【类比探究】如图2，点是矩形的边上一动点，连接交对角线于点，若线段是线段和的比例中项，求证：； 【拓展提升】如图3，的对角线相交于点，过点作交边的延长线于点，若，求线段的最小值． 【答案】 初步感知： 如图所示： 在正方形中，， ， ， ， ， ； 类比探究：如图所示： 在矩形中，，， 线段是线段和的比例中项， ， 则， ，， ， ， 在中，， ， 即在中，，则， ； 拓展提升： 【知识点】利用平行四边形的性质证明、根据矩形的性质求线段长、根据正方形的性质证明、相似三角形的判定与性质综合 【分析】初步感知：由正方形性质得到，进而得到，再由得到，则，最后由相似三角形的判定定理即可得证； 类比探究：由矩形性质得到，，根据题中条件，结合相似三角形的判定定理得到，再由相似性质得到，在中，，等量代换即可得到，即，从而得证； 拓展提升：先由勾股定理求出，再由平行四边形性质得到，，从而确定求线段的最小值，就是求线段的最小值，由直线外一个定点与直线上一个动点之间的距离，垂线段最短可知，当时，线段有最小值，作出图形，由相似三角形的判定定理得到，列比例式代值计算求出即可得到线段的最小值． 【详解】初步感知：略 类比探究：略 拓展提升：如图所示： ，， 在中，由勾股定理可得， 在中，对角线相交于点，则，， 点是定点、点是边上的一个动点，且，即求线段的最小值，就是求线段的最小值， 由直线外一个定点与直线上一个动点之间的距离，垂线段最短可知，当时，线段有最小值，如图所示： ，， ， 则， 即， 解得， 线段的最小值为． 【点睛】本题考查相似三角形综合，综合性较强，涉及正方形的性质、互余定义、相似三角形的判定与性质、矩形性质、比例中项定义、比例性质、垂直判定、勾股定理、平行四边形性质、动点最值问题-垂线段最短等知识，熟记特殊平行四边形的性质、相似三角形的判定与性质是解决问题的关键． 题型四、一线三等角模型 【典例4】．（25-26九年级上·安徽合肥·阶段检测）综合与探究： 数学课上，老师给出了一个模型：如图1，点在直线上，且，像这种一条直线上的三个顶点含有三个相等的角的模型我们把它称为“一线三等角”模型． 【初步探究】如图2，正方形的边长为4，点是边的中点，点在边上，连接，若，求的长； 【深入探究】如图3，等边的边长为6，点是的三等分点，点在边上，连接，若，求的长； 【拓展延伸】如图4，在中，点为边上的一点，点为边上的一点．若，求的值． 【答案】（1）1；（2）；（3） 【知识点】等边三角形的性质、利用平行四边形的性质求解、根据正方形的性质求线段长、相似三角形的判定与性质综合 【分析】（1）根据正方形的性质证明即可求解； （2）根据等边三角形的性质证明即可求解； （3）在的延长线上取点，连接，使得，证明，由相似三角形的性质可得出答案 【详解】解：（1）∵正方形， ∴，， ∵点是边的中点， ∴ ∵ ∴， ∴ ∴， ∴， ∴， ∴； （2）∵等边， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵点是的三等分点， ∴；或， ∵或 解得， ∴的值为； （3）在的延长线上取点，连接，使得， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了等边三角形的性质，平行四边形的性质，正方形的性质，相似三角形的判定与性质，解题的关键是正确利用“一线三等角”基本图形求解． 题型模版 特征：一条直线上有三个相等角，伴随旋转；动点移动改变边长，但等角关系不变。 【变式1】．（2024·安徽滁州·一模）感知：数学课上，老师给出了一个模型：如图1，点A在直线上，且，像这种一条直线上的三个顶点含有三个相等的角的模型我们把它称为“一线三等角“模型． 应用： (1)如图2，中，，直线经过点C，过A作于点D，过B作于点E．求证：． (2)如图3，在中，D是上一点， ，求点C到边的距离． (3)如图4，在中，E为边上的一点，F为边上的一点．若 ，求 的值． 【答案】(1) 证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴； (2) (3) 【知识点】全等三角形综合问题、相似三角形的判定与性质综合 【分析】（1）由直角三角形的性质得出，可证明； （2）过点D作于点F，过点C作于，交的延长线于点E，证明，由全等三角形的性质可得出，则可得出答案； （3）过点D作交的延长线于点M，证明，由相似三角形的性质可得出答案． 【详解】（1）略 （2）解：过点D作于点F，过点C作于，交的延长线于点E， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 即点C到的距离为； （3）过点D作交的延长线于点M， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题是四边形综合题，考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． 【变式2】．（2024·安徽合肥·三模）（1）问题发现：如图1，在中，，将边绕点C顺时针旋转得到线段，在射线上取点D，使得，线段与的数量关系是______； （2）类比探究：如图2，若，作，且，其他条件不变，写出变化后线段与的数量关系，并给出证明； （3）拓展延伸：如图3，正方形的边长为6，点E是边上一点，且，把线段逆时针旋转得到线段，连接，直接写出线段的长． 【答案】（1）； （2）． 证明：同（1）可得，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． （3） 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、用勾股定理解三角形、根据旋转的性质求解、相似三角形的判定与性质综合 【分析】（1）结合“一线三等角”推出，从而证得结论即可； （2）利用条件证明，然后根据相似三角形的性质证明即可； （3）作延长线于点，过点作，交于点，交于点，结合“一线三垂直”证明，从而利用全等三角形的性质求出和，最后利用勾股定理计算即可． 【详解】（1）解：∵将边绕点C顺时针旋转得到线段， ∴， ∵，， ∴． 在和中， ∴， ∴． 故答案为： （2）略 （3）如图所示，作延长线于点，过点作，交于点，交于点， 则，，， 由（1）同理可证，， ∴，， ∴，， ∴． 【点睛】本题考查旋转的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理等知识点，掌握一线三等角全等和相似模型，并熟练运用是解题关键． 【变式3】．等边△ABC边长为6，P为BC上一点，含30°、60°的直角三角板60°角的顶点落在点P上，使三角板绕P点旋转． (1)如图1，当P为BC的三等分点，且PE⊥AB时，判断△EPF的形状； (2)在（1）问的条件下，FE、PB的延长线交于点G，如图2，求△EGB的面积； (3)在三角板旋转过程中，若CF＝AE＝2，（CF≠BP），如图3，求PE的长． 【答案】(1)等边三角形 (2) (3)4 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、等边三角形的判定和性质、相似三角形的判定与性质综合 【分析】（1）要证三角形EPF是等边三角形，已知了∠EPF＝60°，主要再证得PE＝PF即可，可通过证三角形PBE和PFC全等来得出结论，再证明全等过程中，可通过证明FP⊥BC和BE＝PC来实现； （2）由（1）不难得出∠CFG＝90°，那么在△CFG中，有∠C的度数，可以根据CF的长求出GC的长，从而求出GB的长，下面的关键就是求GB边上的高，过E作EH⊥BC，那么EH就是所求的高，在直角△BEP中，有BP的长，有∠ABC的度数，可以求出BE、EP的长，再根据三角形面积的不同表示方法求出EH的长，这样有了底和高就能求出△GBE的面积； （3）由相似三角形的判定定理得出△BPE∽△CFP，设BP＝x，则CP＝6﹣x，由相似三角形的对应边成比例可求出x的值，再根据勾股定理求出PE的值即可． 【详解】（1）∵PE⊥AB，∠B＝60°， 因此直角三角形PEB中，， ∴∠BPE＝30°， ∵∠EPF＝60°， ∴FP⊥BC， 在△BEP和△CPF中， ， ∴△BEP≌△CPF， ∴EP＝PF， ∵∠EPF＝60°， ∴△EPF是等边三角形． （2）过E作EH⊥BC于H， 由（1）可知：FP⊥BC，， 在三角形FCP中，∠PFC＝90°﹣∠C＝30°， ∵∠PFE＝60°， ∴∠GFC＝90°， 直角三角形FGC中，∠C＝60°，CF＝4， ∴GC＝2CF＝8， ∴GB＝GC﹣BC＝2， 直角三角形BEP中∠EBP＝60°，BP＝4， ∴PE＝2，BE＝2， ∴EH＝BE•PE÷BP＝， ∴S△GBE＝； （3）∵在BPE中，∠B＝60°， ∴∠BEP+∠BPE＝120°， ∵∠EPF＝60°， ∴∠BPE+∠FPC＝120°， ∴∠BEP＝∠FPC， 又∵∠B＝∠C， ∴△BPE∽△CFP， ∴， 设BP＝x，则CP＝6﹣x． ∴＝， 解得：x＝2或4． 当x＝2时，在△△BEP中，∠B＝60°，BE＝4，BP＝2， 过E作EH⊥BC于H， 则EH＝BE•sin∠B＝2，BH＝2， ∴PH＝0， 即P与H重合，与CF≠BP矛盾，故x＝2不合题意，舍去； 当x＝4时，在△BEP中，∠B＝60°，BE＝4，BP＝4， 则△BEP是等边三角形， ∴PE＝4． 故PE＝4． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和等边三角形的性质以及相似三角形的判定与性质，注意对全等三角形和等边三角形的应用． 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 解答题 1．（23-24九年级下·全国·单元测试）正方形边长为3，点E是上一点，连结交于点F．    (1)如图1，若，求的值； (2)如图1，，若，求m的值． (3)如图2，点G为上一点，且满足，设，试探究y与x的函数关系． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】函数解析式、根据正方形的性质证明、相似三角形的判定与性质综合 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质、正方形的性质等知识点，掌握相似三角形判定定理的内容是解题关键． （1）证可得，结合即可求解； （2）由可得，进一步可得，据此即可求解； （3）由（1）可得，证得即可求解． 【详解】（1）解：由题意得： ∴ ∴ 即： 解得： （2）解：∵， ∴ ∴ 由（1）可得： ∴ ∴ ∵， ∴ 解得： （3）解：由（1）得： 即： 解得： ∵， ∴ ∴ 即： ∴ 整理得： ∵ ∴， 又 ∴ 故： 2．（24-25九年级上·安徽六安·阶段检测）如图1，和中，，，边与相交于点，且，连接，． (1)求的值为_______； (2)如图2，连接，，求证：； (3)将绕着点在平面内旋转，在旋转过程中是否为定值，若是，请直接写出该定值；若不是，请说明理由． 【答案】(1) (2) ∵， ∴，即 ∵ ∴， ∴ ∴， ∴， 即：， 又∵， ∴ (3)是定值，； 【知识点】用勾股定理解三角形、根据旋转的性质求解、相似三角形的判定与性质综合 【分析】本题主要考查直角三角形的性质，相似三角形的判定和性质； （1）设，，得到，，代入即可； （2）先证出，得到，即可证出结果； （3）先证出，得到，即可求出结果． 【详解】（1）解：根据题意不妨设，， ∵ ∴ ∵， ∴ ∴ 故答案为：； （2）略 （3）∵， ∴ 即 ∵ ∴， ∴ ∴， ∴， 即：， 又∵ ∴ ∴ ∴ ∴为定值． 3．（2026·安徽六安·模拟预测）如图，四边形是矩形，，将绕点逆时针旋转，得到，点的对应点分别为点．直线分别与直线，直线相交于点． (1)如图1，当时，的度数为______． (2)如图2，当点在的延长线上时． （ⅰ）求证：． （ⅱ）求的长． (3)当点在线段上时，请直接写出的长． 【答案】(1) (2)（ⅰ）见解析；（ⅱ） (3) 【知识点】用勾股定理解三角形、矩形性质理解、根据旋转的性质求解、相似三角形的判定与性质综合 【分析】（1）根据旋转的性质可得,，进而根据四边形的内角和为，即可求解； （2）（ⅰ）连接．证明，进而得出根据平行线的性质进而得出，则，等量代换，即可得证； （ⅱ）在中，，勾股定理求得，证明，根据相似三角形的性质，即可求解； （3）当点在线段上时，，由（2）（ⅰ）得，在，根据勾股定理列出方程，即可求解． 【详解】（1）解：∵四边形是矩形， ∴ ∵将绕点逆时针旋转，得到，， ∴,， ∴， ∴． （2）（ⅰ）证明：如图1，连接． 在和中， ， ． ， ， ， ． ， ． （ⅱ）在中，， ， ． ， ， ， ． ， ， ， ， 解得． （3）解：如图2，当点在线段上时，， ， 由（2）（ⅰ）得． 在中， ， 解得． 4．如图，的顶点坐标分别为，动点P、Q同时从点O出发，分别沿x轴正方向和y轴正方向运动，速度分别为每秒3个单位和每秒2个单位，点P到达点B时点P、Q同时停止运动．过点Q作分别交、于点M、N，连接、．设运动时间为t（秒）． （1）求点M的坐标（用含t的式子表示）； （2）求四边形面积的最大值或最小值； （3）是否存在这样的直线l，总能平分四边形的面积？如果存在，请求出直线l的解析式；如果不存在，请说明理由； （4）连接，当时，求点N到的距离． 【答案】（1）；（2）四边形面积不存在最小值，存在最大值，最大值为（3）存在，；（4）. 【知识点】y=ax²的图象和性质、点到直线的距离、利用平行四边形的判定与性质求解、相似三角形的判定与性质综合 【分析】（1）做适当的辅助线，过M点作轴于G点．过A点作轴于D点，利用三角形相似的判定定理证明两个三角形相似，根据对应边成比例，从而可得答案； （2）根据坐标先求解长度，再证明 再利用相似三角形的性质证明 证明四边形为平行四边形，再列面积函数关系式，利用二次函数的性质求解最大值即可； （3）先判断存在，通过观察图形知，当直线l过的对角线交点时，总能平分其面积；再利用平行四边形的性质求解对角线的中点坐标，从而可得答案； （4）当＜时，证明，利用三角形相似，对应边成比例，求解时间 再利用等面积法求解点到直线的距离即可．当、时，MN与OB是重合的，不合题意，舍去． 【详解】解：（1）过M点作轴于G点．过A点作轴于D点． 则 四边形为矩形， 则 ， ， ， ∴，即 ∴ ∴ （2）∵ ∴四边形为平行四边形 ∵， ＜＜ （当或时，四边形不存在） 而， 当时，取最大值6 ∴四边形面积不存在最小值，存在最大值，最大值为 （3）存在．理由如下： 连接 交于 由（2）得：四边形为平行四边形， 过的任意直线都平分的面积， 所以由中点坐标公式可得：，即l过点H， ∴ （4）如图，当＜时， ∵ ∴ ∴，即， ∴， 经检验；是原方程的根，是增根，舍去， 此时： 如图，过作于 当和t=2时，即 MN与OB是重合的，不符合MN∥OB的前提， ∴、t=2不合题意． 综上，到的距离为． 【点睛】本题考查了平面图形中动点的综合性问题，涉及动点的轨迹，相似三角形的判定与性质，等腰三角形的定义与性质，矩形的判定与性质，图形与坐标，列二次函数的关系式，二次函数的性质，解题的关键是：灵活应用基础知识；注意知识的系统化． 5．（2025·安徽合肥·一模）如图1，，，将绕点逆时针旋转得到，使点落在的点处，与相交于点，与相交于点，连接． (1)求证：； (2)求证：； (3)若点，，在同一条直线上，如图2，求的值．（温馨提示：请用简洁的方式表示角） 【答案】(1) 证明：将绕点逆时针旋转得到， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ． (2) 证明：由（1）得，， ， ，， ，， ， ，， ， ， ， ，， 又， ， 即， ， (3) 【知识点】根据平行线判定与性质证明、全等三角形综合问题、相似三角形的判定与性质综合 【分析】（1）根据旋转变换的性质得到旋转前后两个三角形全等，从而得到，根据，就能得到，然后利用平行可以得到内错角相等，最后加上，就可以通过边角边证明两个三角形全等． （2）根据旋转和第一小题的结论，可以得到，然后用等角对等边即可得到，又可以从前面的两个全等中得到，从而得到，那么和就是顶角互为对顶角的一组等腰三角形，所以就能得到底角相等，即，那么内错角相等，两直线平行即可证结论． （3）根据，，在同一条直线上，可以证明和全等，即可得到，那么就是中位线，则，加上第二小题结论就能得到四边形是平行四边形，那么，然后通过三角形外角的性质，可以证得，就能证和是一组子母型相似，然后根据相似比可得最终答案． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：在和中， ， ， ， ， ， 四边形是平行四边形， ， ， ， ， ， ， 即， ， ， ． 【点睛】本题考查了三角形全等的证明，平行线的判定以及利用相似三角形求线段长之比，解题时需要学会将多个小题的结论联系起来，把前面小题的结论用到后面小题的思路中，熟练寻找证明三角形全等或相似所需要的条件是解题的关键． 6．（2026·安徽·二模）在△ABC中， ， ， 是AC上一动点，作 的平分线交 于点 ． (1)当 时，求证： ； (2)将 沿 翻折得到 ，当 ，， 时，求的值； (3)将 绕点 逆时针旋转 到 ，连接 交 于点 ，若 ， ，，当的值最小时，求． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【知识点】等腰三角形的性质和判定、用勾股定理解三角形、根据旋转的性质求解、相似三角形的判定与性质综合 【分析】（1）利用角平分线性质和等腰三角形性质（），推导出 ，从而证明 ，最后利用相似三角形的对应边比例关系即可得出结论； （2）设，可得，由折叠和可以证明四边形是菱形，由此求出，过点作，垂足为，交延长线于点，可得，，进而求出，由平分可证明，由此求出，进而解题； （3）先解三角形求出，，再结合由平分可证明，由此可得当的值最小时，最小，即，再利用相似三角形的性质求出、，过点作，垂足为，过点作，垂足为，根据旋转和角平分线的性质求出、，由相似可得．由此即可求解． 【详解】（1）证明：∵ ， ∴ ， ∵ 是 的平分线， ∴ ， ∵ ， ， ∴ ， 又∵ ， ∴ ， ∴，即 ， ∴ ． （2）解：设，由可得， ∵， ∴， 由折叠可知， ， ， ， ， ∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴， 过点作，垂足为，交延长线于点， ∴， ∴， ∴，， ∴，， 即，①式， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵平分，即， ∴， ∴， ∴代入①式得：， 解得：， ∴； （3）解：如图，过点作，垂足为， ∵， ∴， ∴，， 又∵， ∴，， ∵，即 ， 解得：，， 过点作，如图，同理（2）可以证明，， ∴当取最小值时，取最小值，即取最小值， 如图3，当时，最小， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，即， 解得：， 过点作，垂足为，过点作，垂足为，如图， ∵平分， ∴， 由旋转可知：，， ∴， 又∵， ∴， ∴，即， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴． 7．（24-25九年级上·安徽六安·期末）已知，，直线与直线相交于点． (1)如图1，点在内部，当且点，重合时，请证明：； (2)如图2，点在内部． ①当时，探究线段，，之间的数量关系； ②当时，直接写出一个等式，表示线段，，之间的数量关系； (3)当，，且为直角三角形时，直接写出表示线段与的比值． 【答案】(1) 证明：， 是等边三角形， ， 是等边三角形， ， ∵， ， ， 在和中， ， ()， ． (2)①；② (3)或或 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、等边三角形的判定和性质、用勾股定理解三角形、相似三角形的判定与性质综合 【分析】（1）由等边三角形的性质及相似三角形的性质得是等边三角形，由判定，由全等三角形的性质，即可得证； （2）①(ⅰ)如图，当点D，N重合时，由直角三角形的特征得，由相似三角形的性质得，由相似三角形的判定方法得，由相似三角形的性质得，由勾股定理得，即可求解；(ⅱ)当点D，N不重合时，同理可求； ②在上取一点H，使得，连接，由①中的(ⅱ)同理可求； （3）取的中点，连接，由等边三角形的判定方法得是等边三角形，由等边三角形的性质可求，①当时，此时与重合，（ⅰ）点在线段上， 由相似三角形的判定方法得，由相似三角形的性质得 ，即可求解；（ⅱ）点在线段延长线上，同理可求； ②当时，（ⅰ）当点在的内部时，连接，在上取一点H，使得，连接，过作交的延长线于，过作交于，设，由相似三角形的性质及直角三角形的特征、勾股定理得，，由勾股定理得，可得，，，从而求出，由三角形面积可求，再由勾股定理求出，，求出，，即可求解；（ⅱ）当点在的外部时，同理可求：，，即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：①(ⅰ)如图，当点D，N重合时， ，， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， 即， 在中，， ， ， ， ， 当点D，N重合时，； (ⅱ) 如图，当点D，N不重合时， 在上取一点H，使得，连接； 由(ⅰ)同理可证：，， ， ， ， ，， ，， ， ， ， ； 在中， 同理可求：， 当点D，N不重合时， ． 综上，． ②如图：在上取一点H，使得，连接， 由①中的(ⅱ)同理可证，， ∴，， ， 如图，过作交于， ， 设，则， ， ， ， ， ， ， 故； （3）解：如图，取的中点，连接， ， ， ， ， ， 是等边三角形， ，， ， ， ， ， ， ，， ， ①如图，当时，此时与重合， （ⅰ）点在线段上，如图， ， ， ， ； （ⅱ）点在线段延长线上，如图， 由（ⅰ）同理可证：； ②当时， （ⅰ）如图，当点在的内部时， 如图，连接，在上取一点H，使得，连接，过作交的延长线于，过作于， 设， ， ， ， ， 由勾股定理得：， ， 四边形是矩形， ，，， ，， ，， ， ， ， 由（2）同理可证：， ， ， ， 解得：， ， ， 解得：， ， ， ， ， ； （ⅱ）如图，当点在的外部时， 连接，在上取一点H，使得，连接，过作交于，过作交于， 设， ， ， ， ， ， ， 四边形是矩形， ， ， ， ，， ，， ， ， ， 由（2）同理可证：， ， ， ， ， 解得：， ， ， 解得：， ， ， ， ， ； 综上所述：或或． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定及性质，全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定及性质，勾股定理，直角三角形的特征，矩形的判定及性质等；相似三角形的判定及性质，全等三角形的判定就性质，等边三角形的判定及性质，能根据题意构建相似三角形及根据点的不同位置进行分类讨论，并能熟练利用勾股定理求解是解题的关键. 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题09 相似动态几何压轴（动点与旋转） 目 录 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、手拉手旋转相似 题型二、相似三角形存在性问题【最高频压轴】 题型三、线段长度最值问题 题型四、一线三等角模型 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 适用：动点、旋转、动点 + 旋转混合压轴题 步骤 1：定背景，找不变量（动中抓静） 标出固定线段、固定角度；旋转角是定值，旋转过程中不变。 区分：不变角、不变边长；变化的点、变化线段。 核心思想：图形在旋转 / 点在移动，但某些角相等关系永远成立，这是相似的来源。 步骤 2：设元，表示动点线段 设运动时间t，写出动点走过的路程；注意分段讨论（点在不同边上表达式不同）。 写出所有相关线段：用含t代数式表达。 注意：t取值范围，必须结合动点的起点终点，限制定义域。 步骤 3：找等角，证相似 1.旋转：∵旋转，∴对应角相等，旋转角 相等，通过角加减得到一组等角； 2.再找第二组等角（AA），证明三角形相似； 3.写出相似对应关系，对应顶点写在对应位置（防止比例式写错）。 步骤 4：列比例式，建立方程求解 由相似得： 求线段长：代入含t表达式，解方程； 存在性问题：假设相似成立，列方程，检验t是否在取值范围内。 步骤 5：分类讨论（压轴重中之重） 相似三角形没有指定对应顶点时必须分类；旋转方向分顺时针、逆时针；动点在不同边上也要分类。 常见分类： ① 两组顶点对应关系不同； ② 动点在线段上 / 延长线上； ③ 旋转顺时针、逆时针两种位置。 步骤 6：检验 + 作答 检验解出的t是否满足：动点位置、线段长度 > 0；舍去不合理解； 最值问题：转化为函数（一次 / 二次）或者几何最值（两点之间、垂线段最短）。 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、手拉手旋转相似 【典例1】．（2024·安徽·模拟预测）如图，和都是等腰直角三角形，，且点、、在同一条直线上，连接． （1）的度数为______． （2）若、分别是、的中点，连接，，，则的值为______． 题型模版 特征：两个有公共顶点的三角形，一个固定，一个绕公共顶点旋转；伴随一个动点沿边运动；旋转角固定。 【变式1】．（2026·安徽安庆·三模）如图，中，，将绕点逆时针旋转到，连接，． (1)如图1，求证：； (2)如图2，若与相交于点，求证：点是的中点； (3)如图3，当，时，探究与的数量关系并说明理由． 【变式2】．如图，已知和均为等腰三角形，，，将这两个三角形放置在一起. 【问题发现】（1）如图①，当时，点B、D、E在同一直线上，连接，请判断的度数及线段、之间的数量关系，并说明理由； 【拓展探究】（2）如图②，当时，点B、D、E在同一直线上，连接，请判断的度数及线段、之间的数量关系，并说明理由； 【解决问题】（3）如图③，，，，连接、，在绕点A旋转的过程中，当时，请直接写出的长. 【变式3】．（24-25九年级上·安徽合肥·期中）（1）如图①，若在等边△ABC的边AB上任取一点E（点E不与B重合），以EC为边在△ABC同侧作等边△CEN，连接AN．求证：ANBC且AN＝BE； （2）如图②，若把（1）中的“等边△ABC”改成正方形ABCD，同样在边AB上任取一点E（点E不与B重合），以EC为边在正方形ABCD同则作正方形CEMN，连接DN，请你判断图中是否有与（1）中类似的结论．若有，直接写出结论；若没有，请说明理由； （3）如图③，若把（2）中的“正方形”改成边长为6、宽为4的矩形ABCD，以同样的方式作矩形CEMN，且矩形CEMN∽矩形CBAD，连接DN，此时DN＝EB这个结论还成立吗？若成立，请写出证明过程；若不成立，请写出正确结论并写出证明过程． 题型二、相似三角形存在性问题【最高频压轴】 【典例2】．（2025·安徽合肥·模拟预测）如图，在菱形中，对角线，相交于点，，．动点从点出发，沿方向匀速运动，速度为；同时，动点从点出发，沿方向匀速运动，速度为．以，为邻边的平行四边形的边与交于点．设运动时间为，解答下列问题： (1)当点在的垂直平分线上时，求的值； (2)连接，是否存在某一时刻，使？若存在，求出的值：若不存在，请说明理由． (3)是否存在某一时刻，使点在的平分线上？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 题型模版 特征：点沿着多边形边匀速运动；某条线段 / 三角形绕定点旋转；问：是否存在时刻t，使得两个三角形相似。 【变式1】．（2024·安徽·一模）如图，中，点在线段上，点在线段延长线上，且，交直线于点，交直线于点，．    (1)图1中是否存在与相等的线段？若存在，请找出，并加以证明，若不存在，说明理由； (2)若将“点在线段上，点在线段延长线上”改为“点在线段延长线上，点在线段延长线上”，其他条件不变（如图）．当，，时，求线段的长． 【变式2】．（24-25九年级上·安徽六安·阶段检测）问题探究 （1）如图，在中，，，分别为，，边上的点，，交于点，求证：； （2）如图，在正方形中，点、分别在边、上，连接、，且．若，求的长； 问题解决 （3）如图是某公园中的一个矩形花园，米，米．园林设计师想在矩形的左侧扩建一个三角形区域种植玫瑰花．按照设计要求，在的延长线上，点在边上，且满足，连接、，与相交于点，为方便游客休息，设计师想在处修建一个亭子，从点到点处修一条小路（亭子大小忽略不计），且满足点到点的距离最小，这样的点是否存在，若存在，求的最小值；若不存在，说明理由． 【变式3】．（2024·安徽合肥·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，点O为原点，的顶点B、C在x轴上，A在y轴上，，直线）分别与x轴，y轴，线段，直线交于点E，F，P，Q． (1)当时，求证：． (2)探究线段之间的数量关系，并说明理由． (3)在x轴上是否存在点M，使得，且以点M、P、Q为顶点的三角形与相似，若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 题型三、线段长度最值问题 【典例3】．（2025·安徽亳州·三模）如图，中，，点M为边上一动点，将线段绕点O按逆时针方向旋转至，连接，（1）当N点在上时_____；（2）周长的最小值为______． 题型模版 特征：动点运动同时图形旋转，求某条线段的最大值、最小值。 【变式1】．（2024·安徽阜阳·模拟预测）如图，正方形ABCD的边长为a，E．F分别是边AD、BC的中点，点G在CD上．且，DF、EG相交于点H． （1）求出的值； （2）求证：EG⊥DF； （3）过点H作MN∥CD，分别交AD、BC于点M、N，点P是MN上一点，当点P在什么位置时，△PDC的周长最小，并求△PDC周长的最小值． 【变式2】．（24-25九年级上·安徽合肥·期中）正方形中，E、F和G分别在边、和上的点， (1)求证：； (2)试证：； (3)，当E在上运动时，试求的最小值． 【变式3】．（2025·安徽亳州·一模）综合与探究：数学兴趣小组学习了特殊四边形的判定与性质后，对多边形中的相似三角形进行了研究． 【初步感知】如图1，点是正方形的边上一动点，过点作交于点．求证：； 【类比探究】如图2，点是矩形的边上一动点，连接交对角线于点，若线段是线段和的比例中项，求证：； 【拓展提升】如图3，的对角线相交于点，过点作交边的延长线于点，若，求线段的最小值． 题型四、一线三等角模型 【典例4】．（25-26九年级上·安徽合肥·阶段检测）综合与探究： 数学课上，老师给出了一个模型：如图1，点在直线上，且，像这种一条直线上的三个顶点含有三个相等的角的模型我们把它称为“一线三等角”模型． 【初步探究】如图2，正方形的边长为4，点是边的中点，点在边上，连接，若，求的长； 【深入探究】如图3，等边的边长为6，点是的三等分点，点在边上，连接，若，求的长； 【拓展延伸】如图4，在中，点为边上的一点，点为边上的一点．若，求的值． 题型模版 特征：一条直线上有三个相等角，伴随旋转；动点移动改变边长，但等角关系不变。 【变式1】．（2024·安徽滁州·一模）感知：数学课上，老师给出了一个模型：如图1，点A在直线上，且，像这种一条直线上的三个顶点含有三个相等的角的模型我们把它称为“一线三等角“模型． 应用： (1)如图2，中，，直线经过点C，过A作于点D，过B作于点E．求证：． (2)如图3，在中，D是上一点， ，求点C到边的距离． (3)如图4，在中，E为边上的一点，F为边上的一点．若 ，求 的值． 【变式2】．（2024·安徽合肥·三模）（1）问题发现：如图1，在中，，将边绕点C顺时针旋转得到线段，在射线上取点D，使得，线段与的数量关系是______； （2）类比探究：如图2，若，作，且，其他条件不变，写出变化后线段与的数量关系，并给出证明； （3）拓展延伸：如图3，正方形的边长为6，点E是边上一点，且，把线段逆时针旋转得到线段，连接，直接写出线段的长． 【变式3】．等边△ABC边长为6，P为BC上一点，含30°、60°的直角三角板60°角的顶点落在点P上，使三角板绕P点旋转． (1)如图1，当P为BC的三等分点，且PE⊥AB时，判断△EPF的形状； (2)在（1）问的条件下，FE、PB的延长线交于点G，如图2，求△EGB的面积； (3)在三角板旋转过程中，若CF＝AE＝2，（CF≠BP），如图3，求PE的长． 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 解答题 1．（23-24九年级下·全国·单元测试）正方形边长为3，点E是上一点，连结交于点F．    (1)如图1，若，求的值； (2)如图1，，若，求m的值． (3)如图2，点G为上一点，且满足，设，试探究y与x的函数关系． 2．（24-25九年级上·安徽六安·阶段检测）如图1，和中，，，边与相交于点，且，连接，． (1)求的值为_______； (2)如图2，连接，，求证：； (3)将绕着点在平面内旋转，在旋转过程中是否为定值，若是，请直接写出该定值；若不是，请说明理由． 3．（2026·安徽六安·模拟预测）如图，四边形是矩形，，将绕点逆时针旋转，得到，点的对应点分别为点．直线分别与直线，直线相交于点． (1)如图1，当时，的度数为______． (2)如图2，当点在的延长线上时． （ⅰ）求证：． （ⅱ）求的长． (3)当点在线段上时，请直接写出的长． 4．如图，的顶点坐标分别为，动点P、Q同时从点O出发，分别沿x轴正方向和y轴正方向运动，速度分别为每秒3个单位和每秒2个单位，点P到达点B时点P、Q同时停止运动．过点Q作分别交、于点M、N，连接、．设运动时间为t（秒）． （1）求点M的坐标（用含t的式子表示）； （2）求四边形面积的最大值或最小值； （3）是否存在这样的直线l，总能平分四边形的面积？如果存在，请求出直线l的解析式；如果不存在，请说明理由； （4）连接，当时，求点N到的距离． 5．（2025·安徽合肥·一模）如图1，，，将绕点逆时针旋转得到，使点落在的点处，与相交于点，与相交于点，连接． (1)求证：； (2)求证：； (3)若点，，在同一条直线上，如图2，求的值．（温馨提示：请用简洁的方式表示角） 6．（2026·安徽·二模）在△ABC中， ， ， 是AC上一动点，作 的平分线交 于点 ． (1)当 时，求证： ； (2)将 沿 翻折得到 ，当 ，， 时，求的值； (3)将 绕点 逆时针旋转 到 ，连接 交 于点 ，若 ， ，，当的值最小时，求． 7．（24-25九年级上·安徽六安·期末）已知，，直线与直线相交于点． (1)如图1，点在内部，当且点，重合时，请证明：； (2)如图2，点在内部． ①当时，探究线段，，之间的数量关系； ②当时，直接写出一个等式，表示线段，，之间的数量关系； (3)当，，且为直角三角形时，直接写出表示线段与的比值． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $