第4章 相似三角形（高效培优单元自测·强化卷）数学新教材浙教版九年级上册

**基本信息** 第4章相似三角形单元强化卷，以文化传承（明朝造像黄金分割、四分仪测量）、实际应用（玻璃管内径、铁塔高度测量）为情境，覆盖相似判定、性质、位似等核心知识，适配单元复习巩固与培优提升。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/30|比例性质、黄金分割、相似判定、位似坐标|结合《黑神话·悟空》等文化素材，考查基础概念辨析| |填空题|6/18|相似三角形性质、位似图形、矩形相似|融入《墨子》记载，强化性质应用与几何直观| |解答题|8/72|比例计算、位似作图、相似证明、实际测量（铁塔高度）、综合探究（矩形中相似与旋转）|设计分层任务，如21题测量实践培养数学眼光，24题综合旋转与相似发展推理能力，贴合核心素养要求|

函学科网·上好课 Www,zX×k.com 上好每一堂课 第4章相似三角形（高效培优单元自测·强化卷） （考试时间：120分钟试卷满分：120分) 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的。) 2 n 1.若m5,则mn=（） A.10 B.7 n 2.明朝不仅驱除胡虏，收复了痛失430年的燕云十六州，而且让北方重新恢复了汉文化，现存的铁佛寺二 十四诸天彩塑造像正是建成于明朝嘉靖年间.人物面部表情丰富，被游戏《黑神话·悟空》引用，动漫 《西行记》也涉及相关神话人物名称.古人在设计造像时，使造像的腰部以下与全身高度比值接近黄金分 割比，可以增加视觉美感，若造像全身高度3m,则腰部以下约为() A.1.854m B.1.584m c.1.416m D.1.236m △ABC∽△4BC 3.下列条件中，不能判定 的是() AB AC BC A.∠A=∠A∠B=∠B B.AB AC BC AB=AC,∠A=LA AB=AC,∠B=∠B C.AB AC D.AB AC 4.如图，在测量小玻璃管内径的量具上，AC被分为50等份.如果玻璃管的内径DE正对量具的30等分 处(DE‖AB),量得AB长为5m,则DE的长为()mm 118 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B E 30 40 50 u山山山山uu山山u D B C.3 D.30 5.四分仪是一种十分古老的测量仪器，其出现可追溯到数学家托勒密的《天文学大成》·图1是古代测量 员用四分仪测量一方井的深度，将四分仪置于方井上的边沿，通过窥衡杆测望井底点F,窥衡杆与四分仪 的一边BC交于点H.图2中，四分仪为正方形ABCD,方井为矩形BEFG.若测量员从四分仪中读得AB 为2，BH为1，实地测得BE为5，则井深BG为() D HC B 图1 图2 A.8 B.9 C.10 D.11 6如图，在平面直角坐标系中，a01B与0CD是以0为位似中心的位似图形，若4(-3,2) B(-2,0),D(4,0 ,则点C的坐标是() A.(4,-6) B.(6-4) c.(6,-) D.（6,4) 7.如图，在四边形ABCD中，已知∠B=∠DAC,那么补充下列条件后不能判定△ADC和△BAC相似的是 () 218 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D A AB BC A.CA平分∠BCDB.∠BCA=∠D C.AC-CD AB BC D.AC AD 8.如图，四边形ABCD中，AB∥CD,∠B=90°，DE垂直平分AC,交AC于点O,交AB于点E.若 BE=3,CD=5 5,则4C的长为() D ■ B A.5 B.8 C.4v5 D.4V5 9.如图，在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，则在下列五个条件中：①∠AED=∠B;② AD AE DE∥BC:③ACAB:④AD.BC=DE·AC;⑤∠ADE=∠C,能使得以A'D'E为顶点的三角形 与△ABC相似的条件有() A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 10.如图，AB为半圆O的直径，C为半圆O上一点，连接AC,BC,CD1AB,垂足为点D.以点B为 圆心，以BC的长为半径作弧，交AB于点E;以点A为圆心，以AE的长为半径作弧，交AC于点F,设 BC=a AC=b CD=h AD=m BD=n 有下列结论：Om+n≥2h. ,②+m2≤3h b=2a ；③若 318 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 AF 5+1 则CF=2:④(m+n-a,0)是二次函数y=x2+2a-b的图象与x轴的一个交点：⑤若F为AC的中 a 3 点，则方4，以上结论正确的有() EO D B A.2个 B.3个 C.4个 D.5个 二、填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分.） 1l.己知△ABCAAB'C,顶点A、B、C分别与A八、B八C'对应，AD、A'D分别是△ABC和△A'B'C'的角 AD 3 平分线，AD=2,AB=9,则AB=一 12.如图，已知矩形ABCD∽矩形BCFE,AE=4,EB=1,则BC的长为 D E B AD AM DM 13.如图，四边形ABCD为矩形，AB=AN=BN,则∠MAN的度数为 B 14.《墨子·天文志》记载：“执规矩，以度天下之方圆.”度方知圆，感悟数学之美.如图，正方形 ABCD的边长为2.以它的对角线的交点为位似中心，作它的位似图形A'B'CD,若AB':AB=2:L,则四 边形A'B'C"D'的外接圆半径为 418 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D' B OB 2 15.如图，AABC与ADEF位似，其位似中心为点0，且BE3,若△ABC的周长为5，则ADEF的周长 为 16.如图，在矩形ABCD中，AB=I0cm,BC=6cm,点P沿AB边从点A开始向点B以2Cm/s的速度移 动，点Q沿DA边从点D开始向点A以lcm/s的速度移动，如果P、Q同时出发，当以点Q、A、P为顶 点的三角形与△ABC相似时，所需时间为 D 三、解答题（本题共8小题，第17-21题每题8分，第22-23题每题10分，第24题12分，共72分，解答 应写出文字说明、证明过程或演算步骤.) 17.己知线段a,b的长满足2a=3b. 2a-b (1)求b的值： (②)当线段m是a,b的比例中项，且a=6时，求的值 18.如下图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，口ABCD的顶点均为格点（网格线的交 点)· 518 函学科网·上好课 Www,zX×k.com 上好每一堂课 C A B (I)将ABCD ABCD BABCD 向上平移5个单位长度，再向右平移4个单位长度后得到 ，画出 (2)以点A为位似中心，画出 AB,C,D与aACD位似，相似比为2. I9.如图，在△ABC中，点D,E分别在边AC,AB上且AE·AB=AD·AC,连接DE,BD (I)求证：△ADE∽△ABC (2)若点E为AB中点，AD:AE=6:5,若AB=20,求CD的长. 20.如图所示，己知AB∥EF∥CD,AC、BD相交于点E,BF=2cm,CF=4cm. D A E B (I)若BE=3,求ED (2)若AB=3,求CD 21.开封铁塔位于河南省开封市北门大街铁塔公园的东半部，是1951年中国首批公布的国家重点保护文物 之一，素有“天下第一塔”之称，某中学数学实验小组利用节假日时间到现场测量开封铁塔AB的高度， 如图，在地面BC上取E、G两点，分别竖立高为2m的标杆EF和GH,两标杆间隔27m,并且开封铁塔 AB、标杆EF和GH在同一竖直平面内，从标杆EF后退2m到D处，从D处观察A点，A、F、D三点成 一线，从标杆GH走3m到C处，从C处观察A点，A、H、C三点也成一线. 独立思考： (1)该小组在制定方案时，讨论过“利用物体在阳光下的影子测量标杆的高度”的方案，但未被采纳， 你认为其原因可能是什么？（写出一条即可） 618 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 问题解决： (2)请根据以上测量数据，帮助该实践小组求出开封铁塔的高度. H 22.己知AB=BD,AE=EF,∠ABD=∠AEF, (1)找出与∠DBF相等的角并证明； (2)求证：∠BFD=∠AFB: AE (③)AF=kDF,∠EDF+∠MDF=-180,求MF: 23.如图，在△ABC中，P'是边AB上一点，四边形P'OMN'是正方形，点，M'在边BC上，点N'在 △ABC .连结N,并延长交4C于点M1BC于点M,PLMN交B于点2，PO1BC AC 交1 于点 o 0'O MM ( B 备用图 ()求证：四边形PMN为正方形： (2)若∠A=90°，AC=1.5m,△ABC的面积=1.5m2.求PN的长. 718 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 24.矩形4BCD中， BC=1Bk≥1)，0为对角线4C的中点，M为边4B上一点，连接OM,过点0作 OM的垂线，交BC于点N,连接MN. D D D M 图1 图2 图3 (1)如图1，当k=1时，请完成填空：OM与OW的数量关系为 用等式表示线段 AM,MN,NC的数量关系为 (2)如图2，当k>1时， ①写出OM与ON的数量关系，并证明； ②用等式表示线段AM,MN,NC的数量关系，并证明； 8咖图3，当=分，奶=6时，连接08：注点V作NH108,垂近为点：B为D上一方，在接BC 将线段EC绕点E逆时针旋转9O°得到线段EF,连接MF,DF,当NO平分∠CNH时，求MF+DF的最 小值. 818 第4章 相似三角形（高效培优单元自测·强化卷） （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 1、 选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．若，则（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题主要考查了比例的基本性质，熟练掌握比例式的两个内项之积等两个外项之积是解决问题的关键． 根据比例的基本性质可得出的值． 【详解】解：， ， 故选：A． 2．明朝不仅驱除胡虏，收复了痛失430年的燕云十六州，而且让北方重新恢复了汉文化，现存的铁佛寺二十四诸天彩塑造像正是建成于明朝嘉靖年间．人物面部表情丰富，被游戏《黑神话・悟空》引用，动漫《西行记》也涉及相关神话人物名称．古人在设计造像时，使造像的腰部以下与全身高度比值接近黄金分割比，可以增加视觉美感，若造像全身高度，则腰部以下约为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了黄金分割，解决本题的关键是掌握黄金分割的定义．根据造像的腰部以下与全身的高度比值接近，造像全身高度，即可求出腰部以下的高度． 【详解】解：根据题意，得造像的腰部以下的高度为． 故选：A． 3．下列条件中，不能判定的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查相似三角形的判定定理，需逐一分析各选项是否符合判定条件，找出不能判定相似的选项． 【详解】解：∵两角分别相等的两个三角形相似，选项A中，，，A选项能判定． ∵三边对应成比例的两个三角形相似，选项B中，，B选项能判定． ∵两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似，选项C中，且是与的夹角，是与的夹角，，，C选项能判定． ∵选项D中，但不是与的夹角，不是与的夹角，不满足相似三角形的判定定理，不能判定，D选项符合题意． 故选D． 4．如图，在测量小玻璃管内径的量具上，被分为50等份．如果玻璃管的内径正对量具的30等分处，量得长为，则的长为（   ）． A． B． C．3 D．30 【答案】C 【分析】此题考查了相似三角形的应用．易知，利用相似三角形的相似比，列出方程求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 5．四分仪是一种十分古老的测量仪器，其出现可追溯到数学家托勒密的《天文学大成》．图1是古代测量员用四分仪测量一方井的深度，将四分仪置于方井上的边沿，通过窥衡杆测望井底点，窥衡杆与四分仪的一边交于点．图2中，四分仪为正方形，方井为矩形．若测量员从四分仪中读得为2，为1，实地测得为5，则井深为（   ） A．8 B．9 C．10 D．11 【答案】A 【分析】本题考查了相似三角形的性质和判定，矩形性质，证明，根据相似三角形的性质建立等式求解，再结合矩形性质，即可解题． 【详解】解：由题知，， ， ， 从四分仪中读得为2，为1，实地测得为5， ， ， 解得， 四边形为矩形， ． 故选：A． 6．如图，在平面直角坐标系中，与是以为位似中心的位似图形，若，，则点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是位似变换，根据点B、D的坐标求出相似比，再根据位似变换的性质解答即可． 【详解】解：∵与是以O为位似中心的位似图形，， ∴且相似比为， ∵点A的坐标为， ∴点C的坐标是，即， 故选：B． 7．如图，在四边形中，已知，那么补充下列条件后不能判定和相似的是（   ） A．平分 B． C． D． 【答案】C 【详解】解：在和中，， ．平分，则，则，故该选项不符合题意； ．，则故该选项不符合题意； ．不是和对应的比例，不能判断和相似，故该选项符合题意； ．即，则，故该选项不符合题意； 8．如图，四边形中，垂直平分，交于点O，交于点E．若，则的长为（     ） A．5 B．8 C． D． 【答案】D 【分析】连接，根据相似三角形的性质求出，根据线段垂直平分线的性质求出，根据勾股定理计算，得到答案． 【详解】解：如图，连接， ， ， ， 垂直平分， ，， ， ， ， ． 9．如图，在中，点、分别在边、上，则在下列五个条件中：①；②；③；④；⑤，能使得以，，为顶点的三角形与相似的条件有（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】D 【分析】根据相似三角形的判定定理对各条件进行逐一判断即可． 【详解】解：，， ，故①符合题意； ， ，故②符合题意； ③，且夹角， ，故③符合题意； ④， ， 不确定， 不能确定，故④不符合题意； ⑤，， ，故⑤符合题意； 综上所述，能满足的条件有个， 故选：D． 10．如图，为半圆的直径，为半圆上一点，连接，，，垂足为点．以点为圆心，以的长为半径作弧，交于点；以点为圆心，以的长为半径作弧，交于点．设，，，，，有下列结论：①；②；③若，则；④是二次函数的图象与轴的一个交点；⑤若为的中点，则．以上结论正确的有（     ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】C 【分析】由圆周角定理可得，由勾股定理可得，由相似三角形的性质可得，，，再结合代数运算，逐项分析即可得出结果． 【详解】解：∵为半圆的直径， ∴， 在中，由勾股定理得，即， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴，即， ∵，， ∴， ∴， ∴，即， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即， ∴， ①∵对于正数，，有，则， ∴，故①正确； ②∵，， ∴，， ∵， ∴，故②错误； ③∵， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， 由作图过程可得，， ∴， ∴， ∴， ∵，即， ∴， ∴， ∴，， ∴，故③正确； ④当时， ， ∵，且， ∴， ∴， ∴是二次函数的图象与轴的一个交点，故④正确； ⑤∵为的中点， ∴， 由作图可得， ∴，即， ∵， ∴， ∵， ∴， 整理得， ∵， ∴，故⑤正确； 综上所述，正确的有①③④⑤，共个． 2、 填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分．） 11．已知，顶点A、B、C分别与对应，分别是和的角平分线，，，则______ 【答案】6 【分析】本题考查相似三角形的性质，掌握相关知识是解决问题的关键．相似三角形对应角平分线的比等于相似比，据此解答即可． 【详解】解：∵，分别是和的角平分线， ∴， ， 故答案为：6． 12．如图，已知矩形矩形，，，则的长为___________． 【答案】 【分析】本题主要考查了相似多边形的性质，矩形的性质，先根据矩形的性质得到，再求出，最后根据相似多边形对应边成比例得到，据此代值计算即可． 【详解】解∵四边形和四边形都是矩形， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵矩形矩形， ∴，即， ∴（负值舍去）， 经检验，是原方程的解， 故答案为：． 13．如图，四边形为矩形，，则的度数为________． 【答案】 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定是解题的关键． 根据已知推出，进而推出，根据矩形的性质得出，求出即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴． ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴，即． 故答案为：． 14．《墨子·天文志》记载：“执规矩，以度天下之方圆．”度方知圆，感悟数学之美．如图，正方形的边长为．以它的对角线的交点为位似中心，作它的位似图形，若，则四边形的外接圆半径为___________． 【答案】 【分析】本题考查位似图形的性质，正方形的性质，勾股定理，解题关键求出正方形的边长．根据正方形的边长为和位似比求出，再根据勾股定理求出，即可求解． 【详解】解：如图，连接， 正方形与四边形是位似图形， 四边形是正方形， ∴， 是四边形的外接圆直径， 正方形的边长为，， ， ∴， 四边形的外接圆半径为， 故答案为：． 15．如图，与位似，其位似中心为点，且，若的周长为5，则的周长为________．    【答案】12.5 【分析】本题考查位似图形，根据两个位似图形一定相似，且相似比等于位似比，再根据两个相似三角形的周长比等于相似比，进行求解即可． 【详解】解：∵与位似，且， ∴，， ∴与的相似比为：， ∴与的周长比为：， ∵的周长为5， ∴的周长为12.5； 故答案为：12.5． 16．如图，在矩形中，，，点沿边从点开始向点以的速度移动，点沿边从点开始向点以的速度移动，如果、同时出发，当以点、、为顶点的三角形与相似时，所需时间为________． 【答案】或 【分析】本题考查了相似三角形的性质．分时， 时两种情况计算即可求解． 【详解】解；根据题意，， 在矩形中，，则 ①当时，，有：，解得， 即当时，； ②当时，，有：，解得， 即当时，； 所以，当或时，以点Q、A、P为顶点的三角形与相似． 故答案为：或． 三、解答题（本题共8小题，第17-21题每题8分，第22-23题每题10分，第24题12分，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17．已知线段a，b的长满足． (1)求的值； (2)当线段m是a，b的比例中项，且时，求m的值． 【答案】(1)2 (2) 【分析】本题考查了比例的性质，比例中项的定义．熟练掌握比例的性质是解题的关键． （1）根据比例的性质求解即可； （2）根据比例中项的定义，得到，再根据，可得即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴； （2）解：∵线段m是a，b的比例中项， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴． 18．如下图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，的顶点均为格点（网格线的交点）． (1)将向上平移5个单位长度，再向右平移4个单位长度后得到，画出． (2)以点A为位似中心，画出与位似，相似比为2． 【答案】(1)如图，即为所求． (2) 如图，即为所求． 【分析】（1）作出点平移后的对应点，然后顺次连接即可得出； （2）根据位似图形的性质，结合位似中心和位似比，画出即可． 【详解】（1）略 （2）略 【点睛】本题主要考查了画平移图形和位似图形，解题的关键是熟练掌握位似图形的性质，作出平移后的对应点． 19．如图，在中，点D，E分别在边上且，连接，． (1)求证：． (2)若点E为中点，，若，求的长． 【答案】(1)证明：∵， ∴， 又∵， ∴； (2) 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定，三角形中线的性质，证明是解题的关键． （1）根据已知条件得到，再根据两边对应成比例且它们的夹角相等的两三角形相似进行证明即可； （2）先求出，再根据，求出，根据，求出，即可得出答案． 【详解】（1）略 （2）解：∵点E为中点，， ∴， ∵， ∴， 根据解析（1）可知：， ∴， 解得：， ∴． 20．如图所示，已知，、相交于点，，． (1)若，求． (2)若，求． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查相似三角形的判定和性质的运用，掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键． （1）根据题意，可证，可得，由此即可求解； （2）根据题意，可证，，可得，由此即可求解． 【详解】（1）解：， ∴， ∴，即， ∴； （2）解：，， ， ， ，， ， ， ， ， ． 21．开封铁塔位于河南省开封市北门大街铁塔公园的东半部，是1951年中国首批公布的国家重点保护文物之一，素有“天下第一塔”之称，某中学数学实验小组利用节假日时间到现场测量开封铁塔的高度，如图，在地面上取E、G两点，分别竖立高为的标杆和，两标杆间隔，并且开封铁塔、标杆和在同一竖直平面内，从标杆后退到D处，从D处观察A点，A、F、D三点成一线，从标杆走到C处，从C处观察A点，A、H、C三点也成一线． 独立思考： （1）该小组在制定方案时，讨论过“利用物体在阳光下的影子测量标杆的高度”的方案，但未被采纳，你认为其原因可能是什么？（写出一条即可） 问题解决： （2）请根据以上测量数据，帮助该实践小组求出开封铁塔的高度． 【答案】 （1）未被采纳的原因可能是节假日阳光不一定充足，影子不好测量；（答案不唯一） （2）开封铁塔的高度为56米 【分析】本题考查的是相似三角形的应用， （1）没有阳光，影子不好测量等原因即可； （2）设塔的高度为x米，利用相似三角形判定与性质求解即可． 【详解】解：（1）略； （2）设塔的高度为x米， 由题意知， ， ， 即， ∴， ， ， ， 即， ∴， ∵， 即， ∴， ∴开封铁塔的高度为56米． 22．已知，，． (1)找出与相等的角并证明； (2)求证：； (3)，，求． 【答案】(1)与相等的角是. 证明：，，， ； (2)证明：如图，在上截取，使，连接， 由（1）得，即， 在和中， ， ， ， ， ， ，即， ， ∴， ∴， ， ， ∴， ， ． (3) 【分析】（1）根据三角形外角的性质直接求解即可； （2）在上截取，使，即可证明，可得和均为等腰三角形且顶角相等，即可证明； （3）由（2）可得，即可得，设，则，根据，可求得，即可证明，列比例求出，代入以上数据即可求得的值． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：由（2）可知：， ∴， ， ， 设，则， ， ， ， 则， 又， ， ， ， ，即， ∴， ∴， ∴． 23．如图，在中，是边上一点，四边形是正方形，点，在边上，点在内．连结，并延长交于点N，于点M，交于点P，于点Q． (1)求证：四边形为正方形； (2)若，，的面积．求的长． 【答案】(1)证明：，，， ∴四边形为矩形， ∴， ∵四边形是正方形， ∴，， ， ． ∵，， ， ， ， ∵在正方形中，， ， ∴四边形为正方形； (2) 【分析】（1）先证得四边形为矩形．根据正方形的性质得到，，得到，，由此证得PN=MN，即可得到结论； （2）作于点D，交于点E，根据的面积求出，，，设，则，，由证得，即可求出. 【详解】（1）略 （2）解：作于点D，交于点E， ，， ， ∵， ， ， ， ，                 设，则，， ， ， ，即，                                         解得， 即的长为． 24．矩形中，，为对角线的中点，为边上一点，连接，过点作的垂线，交于点，连接． (1)如图1，当时，请完成填空：与的数量关系为____________________；用等式表示线段，，的数量关系为_________________； (2)如图2，当时， ①写出与的数量关系，并证明； ②用等式表示线段，，的数量关系，并证明； (3)如图3，当，时，连接，过点作，垂足为点，为上一点，连接，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接，，当平分时，求的最小值． 【答案】(1)； (2)①， 证明如下： 如图，过点作，垂足为点，过点作，垂足为点， ，， ， 又∵点为中点，即， ，即为的中点，为的中位线， ， 同理可得：， ， ∵四边形为矩形， ∴ 又∵，， ∴四边形为矩形，即， ，， （当时，，） ， 又， ， ，即． ②， 证明如下： 如图，延长，交于点，连接， 四边形是矩形， ， ， 又，， ， ，， ，即垂直平分， ， ∵在中，由勾股定理得， ∴． (3) 【分析】（1）过点作，，连接，证明即可得出；证明得出，，再在中，利用，即可得出； （2）①过点作，垂足为点，过点作，垂足为点，先由三角形中位线性质得出，再证明，即可得出，即；②延长，交于点，连接，由得出，，进而得出，在中，由勾股定理得，通过等量代换即可得出； （3）当点与点重合时，点落在点的位置，连接，，证明，可得出点在过点并且垂直于的射线上运动，当点与点重合时，点落在点的位置，所以点的轨迹是线段，作关于的对称点，连接，过点作，交的延长线于点，所以当，，三点共线时，取最小值，即为的长度，求出的长度即可． 【详解】（1）解：如图所示，过点作，，连接， ∵， ∴，即此时矩形是正方形， 又∵为对角线的中点， ∴，， 又∵，， ∴为中点，为中点， ∴，， ∴， ∵，，矩形是正方形， ∴， ∵， ∴，， （当时，，） ∴， 在与中 ∴， ∴； ∵，， ∴，， ∴， 在与中 ∴， ∴， ∵， ∴，即， ∵在中，， ∴． （2）略 （3）解：如图，过点作，垂足为点，过点作，垂足为点， 由题意得，，，，． 平分，，， ，， 又∵， ∴， 设，． 在中，由勾股定理得，解得， 由（2）得：， ∴， ， ， 当点与点重合时，点落在点的位置， 此时，， ，， 连接，， ∵，， ，，， （当时，） 即． ， ， ， 点在过点并且垂直于的射线上运动，即， ∴， 当点与点重合时，点落在点的位置， 点的轨迹是线段， 作关于的对称点，连接，过点作，交的延长线于点， ∴，，， ∴当，，三点共线时，取最小值， ， 四边形是矩形， ，， ， ， 的最小值为． 1 / 22 学科网（北京）股份有限公司 $函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 第4章相似三角形（高效培优单元自测·强化卷） （考试时间：120分钟试卷满分：120分) 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的。) 题号 1 2 5 6 7 8 9 10 答案 D C A B C D D C 二、填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分.） 11.6 2 13.90° 14.2V2 15.12.5 1830 16.13或17s 三、解答题（本题共8小题，第17-21题每题8分，第22-23题每题10分，第24题12分，共72分，） 17.(1)2 ,3v6 【详解】(1)解：2a=3b, 2a-b_3b-b=2,-3分 :.b 6 (2)解：线段m是a,b的比例中项， ∴.m2=ab, 2a=3b,a=6, =2x6=4 3 .m2=4×6=24, 1/13 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ,m>0, :m=2V6 8分 18.(1)如图， 口AB,CD即为所求. (2) 如图， AB C2D: 即为所求。 B -8分 ABB2 19.(1)证明：，AE·AB=AD·AC, AE AD ∴ACAB' 又，∠A=∠A, △ADE∽△ABC;-4分 14 (2)3 【详解】(1)略 (2)解：：点E为AB中点，AB=20, :B=号4B=0, AD:AE=6:5, .AD=12, AE AD 根据解析(1)可知： ACAB· 1012 .AC20 解得：AC=50 3, 2/13 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ..CD=AC-AD=50_ 2=14 3 3· -8分 20.(1)DE=6cm (2)CD=6cm 【详解】(1)解：EF∥CD, .△BEF∽aBDC, BE BF 3 2 DECF,即DE4, .DE=6cm;-3分 (2)解：：BF=2cm,CF=4cm, .BC=6cm, ABI EF ICD ∴.△CEFACAB.△BEFABDC, EF CF EF BF AB BC'CD BC EF 4 、36, .EF=2, 2=2 CD 6 ∴.CD=6cm.-8分 21. (1)未被采纳的原因可能是节假日阳光不一定充足，影子不好测量；（答案不唯一）一2分 (2)开封铁塔的高度为56米 【详解】解：(1)略： (2)设塔的高度为x米， 由题意知∠ABD=∠FED=90°，LADB=∠FDE, .△DFE∽ADAB. FE AB DE BD' 3/13 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 2 x 即2BD’ .BD=x, :∠ABC=∠HGC=90°，∠C=∠C ∴.△CHG∽△CAB. HG AB CGBC· 2 x 即3BC' EG-BC-BE-CG-BC-BD+ED-CG=3x-x+2-3-27, 即2x=28, .x=56, ∴.开封铁塔的高度为56米.--8分 22.(1)与∠DBF相等的角是∠BAE. 证明：∠ABD=∠AEF,∠AEF=∠ABF+∠BAE,∠ABD=∠ABF+∠DBF, .∠DBF=∠BAE;--2分 (2)证明：如图，在BF上截取BP,，使AE=BP,连接DP, M P E D 由(1)得∠DBF=∠BAE,即∠DBP=∠BAE, 在△ABE和△BDP中， AB=BD ∠BAE=∠DBP AE=BP 4/13 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .∴△ABE≌ABDP(SAS) ∴.BE=DP,∠AEB=∠BPD, BP=AE, :BP=EF, ∴BP-EP=EF-EP,即BE=PF, :PF=PD, ∴.∠PFD=∠PDF, ∴.∠BPD=∠BFD+∠PDF=2∠BFD, .AE =EF, ∴.∠EAF=∠AFE, ∴.∠AEB=∠EAF+∠AFB=2∠AFB, ∠AEB=∠BPD, .∠BFD=∠AFB.---6分 =k-1 (3)MF 解：由(2)可知：∠EAF=∠EFA=∠PFD=∠PDF, ∴.△AEF∽aFPD, AF kDF, 、AFEF DEF=k 设PF=PD=a,则AE=EF=ka, :∠EDF+∠MDF=180°， ∠MDF=∠MDP+∠PDF, ∠EDF=180°-∠FED-∠PFD 则180°=∠MDP+∠PDF+180°-∠FED-∠PFD, 又∠PDF=∠PFD, ∴.∠MDP=∠FED, ·.·∠EPD=∠DPM ∴.PMDSAPDE, PD PM PEPD,即PD2=PMPE 5/13 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 a2=PM-(k-1)a .PM=_a k-1 AE ka .MF -=k-1 a a+- -…-10分 k-1 23.(1)证明：：WM⊥BC,NP⊥MN,P9⊥BC, 四边形PQMW为矩形， .PN II BC. :四边形PQMN'是正方形， .P'N'IBC,MN⊥BC, PN∥P'N', P'N'BN' PNBN· :MN⊥BC,MN'⊥BC, ..MN I MN' MN'BN MNBN· P'N MN PNMN· ,在正方形P'OMN'中，P'N'=MN', ∴.PN=MN, .四边形POMN为正方形：--5分 30 (2)37m 解：作AD⊥BC于点D,AD交PN于点E, 6/13 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B QDMC:S.MBc=1.5m2∠BAC=90° 4BAC=15 1 .AC=1.5m, ∴.AB=2m, .BC=V22+1.52=2.5(m) BC4D=1.5 2 AD=2x1.56 =(m) 2.5-5 设PN=m则rQ=DE=m,4E- 5 -x(m). PN∥BC, .AAPN∽aABC, 6 S-r :4g-PW,即625， AD BC 5 0 解得x=37 30 即pPw的长为37m -10分 24.(1)0M=ON;AM2+NC2=MN2-3分 (2)①OM=kON, 证明如下： 如图，过点O作OP⊥BC,垂足为点P,过点O作OO上AB,垂足为点， 7/13 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D B PN C:OQ⊥ABBC⊥AB ∴.O2I‖BC AO 1 又：点0为C中点，即AC=2, 40 A0 1 AB4AC2,即Q为B的中点，OQ为。4BC的中位线， ∴og=BC 2 同理可得：OP=。AB 2 00 BC OP AB k :四边形ABCD为矩形， .∠B=90° 又：OO⊥AB,OP⊥BC, .四边形QBPO为矩形，即∠QOP=90°， :∠MOQ+∠MOP=90°∠NOP+∠MOP=90° (当4M<2MB时，∠M00+∠Q0N=90,∠N0P+∠00N=90） ∴.∠MOg=∠NOP 又∠OQM=∠OPW=90°， ∴.△OQM∽△OPN 8-8器-，oM-o 8/13 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ②AM2+NC2=MN2 证明如下： 如图，延长NO,交AD于点N',连接MW, N D 四边形 是矩形， M B C ABCD .ADBC .∠OCN=∠OAN', 又：∠CON=∠AONW',OA=OC, :△OCN≌△OAW'(ASA) ∴.ON=ON',CN=AW'」 OM⊥NW',即MO垂直平分NN', :MN =MN', ,在Rt△MAW'中，由勾股定理得AM2+AN2=MN2, .AM2+NC2=MW2.--8分 3,75 【详解】(1)解：如图所示，过点O作OE1AB,OF⊥BC,连接OB, D E M B FN k=1 .BC=AB,即此时矩形ABCD是正方形， 9/13 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 又：O为对角线AC的中点， .OB=AO=OC,OB⊥AC, 又：OE⊥AB,OF⊥BC, ∴.E为AB中点，F为BC中点， ..OE=OF :OE⊥AB,OF⊥BC,矩形ABCD是正方形， ∴.OE⊥OF, .OM⊥ON, ∴.∠EOM+∠MOF=90°，∠FON+∠MOF=90°， (当AM<AE时，∠EOM+∠EON=90°，∠FON+∠EON=90°) ∴∠EOM=∠FON, 在△EOM与△FON中 ∠MEO=∠NFO EO=FO ∠EOM=∠FON △EOM≌△FON(ASA) ..OM=ON .OB⊥AC,OM⊥ON, ∴.∠MOB+∠BON=90°，∠NOC+∠BON=90°， .∠MOB=∠NOC, 在△MOB与△NOC中 MO=NO ∠MOB=∠NOC BO=CO △MOB≌△NOC(SAS) ∴.MB=NC, AB=BC. 10113 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .AB-BM=BC-NC,MA=NB, ,在Rt△MBN中，MB2+NB2=MW2, .'AM2+NC2 MN2 (2)略 (3)解：如图，过点O作OP⊥BC,垂足为点P,过点O作O0LAB,垂足为点O, D' 、F D M G 由题点得，BC-号4B=8,0P=B0=A0=3:0=B即=4，O6=N+年-5 NO平分∠CNH,OP⊥BC,OH⊥HN, OH=OP=3,BH=5-3=2, 又，ON=ON, Rt△OHN≌Rt△OPW(HL) .设NH=NP=x,BN=4-x. 3 在RtABHN中，由勾股定理得2+x2=(4-x2,解得x 2, 由(2)得：aOQM∽aOPN MO OM 4 ∴.NP=ON3 MO=4NP=2 3 11/13 函学科网·上好课 Www,zX×k.com 上好每一堂课 .AM=A0-MO=1 F。 当点E与点D重合时，点F落在点的位置， DC=DF。=6∠CDF。=90° 此时 CF-2, ·.∠DFC=∠DCE=45°，CD 连接FC,仍 .EF=EC,∠FEC=90°， g2ECE=45,CE=V2,∠DCE=∠ECF .∠DCF-∠DCF=∠ECF-∠DCF (当4B<2时， ∠DCF+∠DCF=∠ECF+∠DCF ∠ECD=∠PCF。 即 器05 .△EDC∽△FF,C .∠FFC=∠EDC=90° F CF。 心点F在过点并且垂直于C0的射线 FF⊥CF。 0上运动，即 ∠FFD=∠FF。C-∠DFC=45° F 当点E与点4重合时，点F落在点的位置， FF ·点F的轨迹是线段。5， 作D关于的对称点”，连接D,过6“作G山听，安的延长我T向6。 12/13 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 :MF+DF=MF+D'F≥MD'∠DFD'=2∠DFF=90°=∠GfAD'E,=DE=6 ∴.当M,F,D'三点共线时，MF+DF取最小值， ∠G=∠GfFA=∠MAF。=90° AMGF。 ·四边形 是矩形， ..MG=AF=14 AM=FG=1 :.D'G=D'F。+FG=6+1=7 .MD'=√MG+D'G=7√5 :MF+DF的最小值为 75 12分 13113