第一章 特殊的平行四边形 方法专题(一)特殊平行四边形中的折叠问题-【天成导学·金典同步练】2023-2024学年九年级全一册数学课时练（广东专版）

数学 九年级全一册 BS 方法专题(一) 特殊平行四边形中的折叠问题   在解决有关特殊平行四边形的折叠问题时, 利用对应线段相等,将所求线段集中在某个直角 三角形中,利用勾股定理求解. ❶如图,将菱形纸片ABCD 折叠,使点A 恰好落在 菱形的对称中心O 处,折痕为EF.若菱形ABCD 的边长为4,∠B=120°,则EF 的长是 ( ) A.3 B.2 C.23 D.4 第1题图 第2题图 ❷如图,在正方形ABCD 中,AB=6,点E,F 分 别在边AB,CD 上,∠EFC=120°.若将四边 形EBCF 沿EF 折叠,点B 恰好落在AD 边 上,则AE 的长度为 ( ) A.2 B.3 C.2 D.1 ❸如图,在矩形ABCD 中,AB= 3,AD=5,点E 在DC 上,将 矩形ABCD 沿AE 折叠,点D 恰好落在BC 边上的点F 处, 则CE= . ❹如图,矩形ABCD 中,AB>AD,把矩形沿对 角线AC 所在直线折叠,使点B 落在点E 处, AE 交CD 于F,连接DE. (1)求证:△ADE≌△CED; (2)若AD=4,AB=8,求△ACF 的面积. (1)证明:∵四边形ABCD 是 矩形, ∴AD=BC,AB=CD. 由折叠的性质可得:BC=CE, AB=AE, ∴AD=CE,AE=CD. 在△ADE 和△CED 中, AD=CE, AE=CD, DE=ED, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁 􀪁 􀪁 􀪁 ∴△ADE≌△CED(SSS); (2)解:∵四边形ABCD 是矩形, ∴AB∥CD,CD=AB=8,∠ADC=90°, ∴S△ACF= 1 2CF×AD= 1 2×5×4=10. ❺如图所示,矩形纸片ABCD 的长AD=8 cm, 宽AB=4 cm,将其折叠,使点D 与点B 重合. (1)求证:BE=BF; (2)求折叠后DE 的长; 3 求以折痕EF 为边的正方 的面积. (1)证明:由题意 得: ∠BEF =∠DEF. ∵四边形ABCD 为矩形,∴DE∥BF, ∴∠BFE=∠DEF,∴∠BEF=∠BFE, ∴BE=BF; (2)解:设DE=x cm,则BE=x cm,AE=(8 -x) cm, 在Rt△ABE 中,由勾股定理得:42+(8-x)2 =x2,∴x=5, 即DE 的长为5 cm; (3)解:过E 作EH⊥BF 于点H, 则EH=AB=4 cm,BH=AE=3 cm, ∴HF=BF-BH=5-3=2(cm), ∴EF2=22+42=20, ∴以EF 为边长的正方形的面积为20 cm2. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 13 —142 — 同理可得∠BHC=∠HEF=90°. ∴四边形EFGH 是矩形. 7.B 8.B 9.12 10. 12 5 11.证明:(1)∵四边形ABCD 是平行四边形, ∴AB∥CD,∴∠EAB=∠CFE, 又∵E 为BC 的中点,∴EC=EB, ∴在△ABE 和△FCE 中, ∠EAB=∠CFE, ∠BEA=∠CEF, EC=EB, ∴△ABE≌△FCE(AAS). (2)∵△ABE≌△FCE,∴AB=CF, ∵四边形ABCD 是平行四边形, ∴AB=DC,∴DC=CF, 又∵CE=CG, ∴四边形DEFG 是平行四边形, ∵E 为BC 的中点,CE=CG,∴BC=EG, 又∵AD =BC=EG=2AB,DF =CD +CF =2CD =2AB, ∴DF=EG, ∴平行四边形DEFG 是矩形. 12.解:(1)∵EF 交∠ACB 的平分线于点E,交∠ACB 的外 角的平分线于点F, ∴∠OCE=∠BCE, ∠OCF=∠DCF. ∵EF∥BC, ∴∠OEC=∠BCE,∠OFC=∠DCF, ∴∠OEC=∠OCE,∠OFC=∠OCF, ∴OE=OC,OF=OC, ∴OE=OF. ∵∠OCE+∠BCE+∠OCF+∠DCF=180°, ∴∠ECF=90°. ∵在Rt△CEF 中,EF= CE2+CF2=10, ∴OC=OE= 1 2EF=5. (2)当点O 运动到AC 的中点时,四边形AECF 是矩形.