第四章 代数式（复习讲义）数学新教材浙教版七年级上册

第四章 代数式 复习要点 1.掌握代数式的概念和列代数式：由数、表示数的字母和运算符号组成的数学表达式称为代数式，运算包括加、减、乘、除、乘方和开方；单独一个数或一个字母也是代数式；能根据实际问题中的数量关系正确列代数式。 2.掌握代数式的值：用数值代替代数式里的字母，计算后所得的结果叫作代数式的值；能按代数式中的运算顺序求值，注意负数、分数代入时必要时应加括号。 3.掌握整式的概念：由数与字母或字母与字母相乘组成的代数式叫作单项式，单项式中的数字因数叫作系数，所有字母的指数的和叫作次数；由几个单项式相加组成的代数式叫作多项式，每个单项式叫作项，不含字母的项叫作常数项，次数最高的项的次数就是多项式的次数；单项式和多项式统称整式。 4.掌握合并同类项：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项叫作同类项，所有常数项也看作同类项；把同类项的系数相加，所得结果作为系数，字母和字母的指数不变；能正确合并同类项。 5.掌握去括号法则：括号前是“＋”号，把括号和它前面的“＋”号去掉，括号里各项都不变号；括号前是“－”号，把括号和它前面的“－”号去掉，括号里各项都改变符号；括号前有数字因数时，应先用分配律乘遍括号内各项，再去括号。 6.掌握整式的加减及实际应用：整式的加减可以归结为去括号与合并同类项；能进行整式的加减运算，能先化简再代入求值；能用整式表示实际问题中的数量关系并合理解释结果，注意分母中含字母、根号下含字母的代数式一般不是整式。 复习重难点 重点：代数式的概念与列代数式；代数式的值；单项式、多项式、整式的概念；同类项与合并同类项；去括号法则；整式的加减运算及实际应用。 难点：根据实际问题正确列出代数式；同类项的判断与合并同类项；去括号时的符号变化；整式加减中的化简与求值；运用整式加减解决实际问题。 知识点 列代数式 1.代数式的概念 由数、表示数的字母和运算符号组成的数学表达式称为 。这里的运算是指加、减、乘、除、乘方和开方。单独一个数或者一个字母也称代数式。 2.列代数式 用代数式表示实际问题中的数量关系，要抓住关键词语，如和、差、积、商、平方、立方根等，并注意运算顺序。 例如： （1） x的3倍与3的差：； （2） （2）x的2倍与y的1/2的和：； （3）a与b的和的平方：(a＋b)²； （4）2a的立方根：。 3.常见数量关系举例 （1）大米的单价为每千克a元，食用油的单价为每千克b元，买10千克大米、2千克食用油共需(10a＋2b)元。 （2）日平均气温是指一天中2:00，8:00，14:00，20:00四个时刻气温的平均值。若上述四个时刻气温分别为a，b，c，d，则日平均气温为。 （3）一条隧道长l米，一列火车长180米，火车穿过隧道所花的时间为t分，则列车的速度为。 要点归纳： （1）代数式可以简明地、具有普遍意义地表示实际问题中的量，给数量关系的研究带来方便。 （2）单独一个数或一个字母也是代数式。 （3）列代数式时要弄清数量关系和运算顺序，正确使用括号。 要点速测 1．比 的 倍小 的数是（    ） A． B． C． D． 知识点 代数式的值 1.代数式的值的概念 一般地，用数值代替代数式里的字母，计算后所得的结果叫作 。例如，当x＝20时，代数式x-7的值是13。 2.求代数式的值的方法 把字母所取的值代入代数式，按照代数式中的运算顺序计算。字母取不同值时，代数式的值可能不同。 要点归纳： （1）求代数式的值，就是“代入—计算”，代入时要注意字母取值和运算符号。 （2）负数、分数代入时，必要时应加 ，避免符号错误。 （3）代数式的值随字母取值的变化而变化。 要点速测 2．若，则的值为（     ） A． B． C． D． 知识点 整式 1.单项式：由数与字母或字母与字母相乘组成的代数式叫作 。单独一个数或一个字母也叫单项式，如0，－1，a。 2.单项式的系数：单项式中的数字因数叫作这个单项式的 。例如，-3x的系数是-3，ab的系数是1。 3.单项式的次数：一个单项式中，所有字母的指数的和叫作这个单项式的 。例如，-3x的次数是1，ab的次数是1＋1＝2。 4.多项式 由几个单项式相加组成的代数式叫作 。在多项式中，每个单项式叫作多项式的 ，不含字母的项叫作 ，次数最高的项的次数就是这个多项式的次数。 例如，a²＋3a-2的项有a²，3a，-2，常数项是-2，次数最高的项a²的次数是2，所以a²＋3a-2称为二次多项式。 5.整式：单项式和多项式统称 。 要点归纳： （1）单项式的系数包括它前面的 ；单独一个字母的系数是1，次数是1。 （2）单项式的次数只与字母的 有关，与系数无关。 （3）多项式的次数是“次数 的项的次数”，不是所有项次数的和；常数项的次数为 。 （4）分母中含字母、根号下含字母的代数式一般 整式。 要点速测 3．关于代数式，下列说法正确的是（     ） A．它的系数是3 B．它是单项式 C．它的次数是6 D．它不是整式 知识点 合并同类项 1.同类项：多项式中，所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项，叫作 。所有常数项也看作同类项。 2.合并同类项：把多项式中的同类项合并成一项，叫作 。 3.合并同类项法则：把同类项的系数相加，所得结果作为系数，字母和字母的指数不变。 示例： 3b-5b＝(3-5)b＝-2b； 6xy-10x²-5yx＋7x² ＝(6xy-5xy)＋(-10x²＋7x²) ＝xy-3x²。 例：2a²b-3a-3a²b＋2a ＝(2a²b-3a²b)＋(-3a＋2a) ＝(2-3)a²b＋(-3＋2)a ＝-a²b-a。 要点归纳： （1）判断同类项只看 和相同字母的 ，与系数无关，与字母的排列顺序无关。 （2）所有常数项都是 ，可以合并。 （3）合并同类项时，系数相加，字母和字母的指数不变；系数相加为0时，该项结果为0。 要点速测 4．下列计算正确的是（     ） A． B． C． D． 知识点 去括号 1.去括号法则 括号前是“＋”号，把括号和它前面的“＋”号去掉，括号里各项都不变号；括号前是“-”号，把括号和它前面的“-”号去掉，括号里各项都改变符号。 2.依据：分配律同样适用于代数式的运算。 例如： 示例：＋(2a-3b)＝2a-3b；-3(2x²-3x)＝-6x²＋9x。 要点归纳： （1）去括号时，括号前的 要连同括号一起去掉。 （2）括号前是“-”号，去掉括号后括号内每一项都要 ，不能只变第一项。 （3）括号前有数字因数时，应先用 乘遍括号内各项，再去括号。 要点速测 5．下列各式中，去括号后得的是（     ） A． B． C． D． 知识点 整式的加减 1.整式加减的实质：在解决实际问题时，经常需要把若干个整式相加减。整式的加减可以归结为 与 。 2.步骤：有括号先去括号，再合并同类项；求值时，先化简，再代入求值。 示例 求整式3x＋4y与2x-2y-1的和： (3x＋4y)＋(2x-2y-1) ＝3x＋4y＋2x-2y-1 ＝(3x＋2x)＋(4y-2y)-1 ＝5x＋2y-1。 化简并求值：2(a²-ab)-3((2/3)a²-ab)，其中a＝-2，b＝3。 原式＝2a²-2ab-2a²＋3ab＝ab。 当a＝-2，b＝3时，原式＝ab＝(-2)×3＝-6。 要点归纳： （1）几个整式相加减，通常先用括号把每个整式括起来，再用加减号连接。 （2）整式加减的结果仍是 。 （3）求整式的值时，先合并同类项、去括号化简，再代入，计算更简便。 要点速测 6．青青在计算时，a、b均大于0，不小心抄成了，计算结果比正确得数（     ） A．少 B．少 C．少 D．少 题型1 代数式的概念辨析与实际问题中的列式 ▌例1-1 （2026·湖南长沙·中考真题）冰糖葫芦是我国传统小吃，起源于宋代，一般是用竹签穿上山楂蘸上熔化的冰糖制作而成．若每根竹签穿5个山楂，则穿（为正整数）串冰糖葫芦需要山楂的个数是（     ） A． B． C． D． ▌例1-2 （25-26七年级上·广东茂名·阶段检测）下列式子不是代数式的是（   ） A． B． C．2025 D． ▌例1-3 （25-26七年级上·浙江温州·期中）下列各式中，符合代数式书写规则的是（   ） A． B． C． D． 解题要点 代数式的概念辨析与实际问题中的列式 1.判断一个式子是否为代数式，要看它是否由数、表示数的字母和运算符号组成，单独一个数或一个字母也属于代数式。 2.列代数式时，先找准题目中的数量关系，再确定运算顺序，最后用恰当的括号表示整体关系。 3.注意区分“和的平方”“平方的和”“差”“差的平方”“商”“倍”等关键词，避免因理解数量关系错误而列错式子。 4.对于实际问题，要结合题意明确各量所表示的意义，并注意单位是否统一。 ▌迁移练1-1（25-26七年级下·浙江衢州·期末）设A种糖果的单价为每千克a元，B种糖果的单价为每千克6元，则2千克A种糖果和b千克B种糖果混合而成的什锦糖果的单价为每千克（     ） A．元 B．元 C．元 D．元 ▌迁移练1-2（25-26七年级上·浙江台州·期末）某商店举办促销活动，将原价为x元的衣服以元出售，则下列对促销活动的描述正确的是（    ） A．原价打8折后再减去10元 B．原价打2折后再减去10元 C．原价减去10元后再打2折 D．原价减去10元后再打8折 ▌迁移练1-3（25-26七年级上·黑龙江哈尔滨·期末）观察下列图中所示的一系列图形，它们是按一定规律排列的，依照此规律，第6个图形中共有__________个○． 题型2 代数式的值 ▌例2-1 （26-27七年级上·内蒙古）已知是的相反数，比最小的正整数大，是相反数等于它本身的数，则的值是_____． ▌例2-2 当时，求下列代数式的值： (1)； (2)． 解题要点 代数式的值 1.求代数式的值，基本方法是“代入—计算”，先把字母的已知值代入，再按照运算顺序计算。 2.负数、分数等作为字母的取值代入时，要根据需要加括号，避免运算符号与数值符号混淆。 3.代入时要注意字母与对应数值一一对应，不能漏代、错代或改变原有运算关系。 4.当代数式较复杂时，应先观察式子结构，能化简的先化简，再代入计算。 ▌迁移练2-1（26-27七年级上·湖北武汉·开学考试）已知，则________． ▌迁移练2-2（26-27七年级上·江苏泰州·阶段检测）已知，，．若，则的值为 __________ ． ▌迁移练2-3（25-26七年级下·安徽合肥·期末）若，则的值为（     ） A． B． C． D． 题型3 单项式与多项式 ▌例3-1 在式子①，②，③，④，⑤中下列结论正确的是（     ） A．①、③是单项式 B．②、⑤是多项式 C．②④⑤都是多项式 D．都是整式 ▌例3-2 （25-26七年级上·北京·阶段检测）单项式的系数和次数分别为_______． ▌例3-3 写出系数为，含有字母，的三次单项式________． ▌例3-4 下列说法中正确的是（    ） A．的系数是，次数是6 B．单项式的系数是，次数是9 C．多项式的次数是8，项数是3 D．是二次四项式 解题要点 单项式与多项式 1.判断单项式的系数时，要把数字因数连同它前面的符号一起看；单独一个字母的系数是 1。 2.单项式的次数等于所有字母指数的和，与系数无关。 3.判断多项式的项时，要按加减号进行分项，每一项都要连同前面的符号确定。 4.多项式的次数取各项次数中的最大值，不能把各项次数相加；不含字母的常数项次数为 0。 5.判断一个代数式是否为整式时，要特别关注分母和根号中是否含有字母。 ▌迁移练3-1（2026·河南平顶山·三模）请写出一个含有字母m，n，且次数是3，系数为的单项式：______． ▌迁移练3-2（2025·四川绵阳·中考真题）观察下列单项式：，探究发现其中规律，你认为从左到右第15个单项式是（  ） A． B． C． D． ▌迁移练3-3（25-26七年级上·浙江嘉兴·阶段检测）已知多项式是五次三项式，则a的平方根为______． ▌迁移练3-4已知多项式是关于、的五次四项式． (1)求的值； (2)把这个多项式按的降幂重新排列． ▌迁移练3-5（25-26七年级上·浙江宁波·期中）下列结论中，正确的是（    ） A．的次数为5 B．是三次二项式 C．是整式 D．的系数是3，次数是2 题型4 同类项的识别与合并 ▌例4-1 （26-27七年级上·浙江杭州·开学考试）下列各选项中，两项是同类项的是（     ） A．和 B．和 C．4和 D．和 ▌例4-2 （25-26七年级上·浙江嘉兴·期末）若单项式与单项式的差仍是单项式，则的值为____． ▌例4-3 （25-26七年级上·浙江宁波·期末）下列运算中，正确的是（   ） A． B． C． D． 解题要点 同类项的识别与合并 1.判断同类项，只看所含字母是否相同，以及相同字母的指数是否分别相同，与系数无关。 2.字母的排列顺序不同，不影响同类项的判断，如 xy 与 yx 可以看作同类项。 3.所有常数项都是同类项，可以直接合并。 4.合并同类项时，只把同类项的系数相加，字母及其指数保持不变。 5.合并前应先准确找出全部同类项，避免漏项或把非同类项错误合并。 ▌迁移练4-1（25-26七年级上·浙江杭州·期中）下列说法正确的是（    ） A．是多项式 B．单项式的次数是2次 C．与是同类项 D．的系数是 ▌迁移练4-2（25-26七年级上·山东临沂·期中）若单项式与的和仍是单项式，则的值是（   ） A．3 B．6 C．8 D．9 ▌迁移练4-3阅读材料：我们知道，，类似的，我们把看成一个整体，则．“整体思想”是中学教学解题中的一种重要的思想方法，它在多项式的化简与求值中应用极为广泛． 尝试应用： （1）把看成一个整体，合并：的结果等于______； （2）已知，求的值； 拓广探索： （3）已知，，，求的值． 题型5 去括号 ▌例5-1 （25-26七年级上·浙江温州·期末）去括号：___________． ▌例5-2 （25-26七年级上·浙江台州·期末）将代数式去括号得（    ） A． B． C． D． 解题要点 去括号 1.括号前是“＋”号，去掉括号后，括号内各项的符号都不改变。 2.括号前是“-”号，去掉括号后，括号内每一项都要改变符号，不能只改变第一项。 3.括号前有数字因数时，要利用乘法分配律，将数字因数分别乘括号内的每一项。 4.遇到多层括号时，应按照由内到外的顺序逐层处理，并特别注意每一步括号前的符号。 ▌迁移练5-1（25-26七年级上·河南周口·阶段检测）化简： ______． ▌迁移练5-2（25-26七年级上·江苏·期中）化简：______． 题型6 整式的加减与化简 ▌例6-1 （25-26七年级下·浙江衢州·期末）若，则（     ） A． B． C． D． ▌例6-2 （25-26七年级上·浙江杭州·期末）已知代数式：，化简的结果是单项式，题中“●”表示该处有一个数字被墨水污染了，则被污染的数字是___________． 解题要点 整式的加减与化简 1.整式的加减实质上是去括号和合并同类项，通常按照“去括号→合并同类项”的顺序进行。 2.进行整式相加减时，要先用括号把一个完整的整式括起来，再根据题意写出加减关系。 3.去括号后要重新整理同类项，注意符号变化，再进行合并。 4.计算结果应整理成最简形式，通常按字母及次数由高到低排列，使结果清晰规范。 ▌迁移练6-1（25-26七年级上·浙江金华·阶段检测）已知：，．若的取值与y无关，则的值为______． ▌迁移练6-2（25-26七年级下·浙江·期中）我国数学家杨辉所著的《详解九章算法》中，用三角形数表给出二项式展开式的系数规律，这个三角形数表称为杨辉三角（如图）．根据杨辉三角，可得的展开式中从左起第五项的系数是（   ）． A． B． C． D． 题型7 整式化简后求值 ▌例7-1 （25-26七年级上·浙江丽水·期末）先化简，再求值：，其中，． ▌例7-2 先化简，再求值：，其中． 解题要点 整式化简后求值 1.求整式的值时，通常先去括号、合并同类项，将原式化简成较简单的整式。 2.化简完成后，再将字母的已知值代入计算，可有效减少计算量并降低符号错误的概率。 3.代入时要特别注意负数的括号，以及乘法、乘方等运算的优先顺序。 4.若原式中存在结构相同的部分，应优先整体观察和化简，再进行代入。 ▌迁移练7-1（25-26七年级上·浙江杭州·期末）已知代数式． (1)化简：； (2)当时，求的值． ▌迁移练7-2（25-26七年级上·浙江杭州·阶段检测）已知整式，． (1)若，求的值． (2)若代数式的值与字母b的取值无关，求a的值． 难点一 复杂数量关系的列式与运算顺序 本类问题的关键不在于计算，而在于准确理解题意并把文字关系转化为代数式。题目中常通过“和的平方”“平方的和”“差”“差的平方”“一个数的几倍”“两数之商”等语言考查运算顺序和括号的正确使用。 方法总结： ① 先确定各个量分别表示什么，再找出它们之间的数量关系。 ② 明确“先整体、后局部”的运算关系，遇到“和的……”“差的……”等整体结构时，必须正确使用括号。 ③ 列式完成后，可将式子重新用文字描述一遍，检查是否与题意一致。 易错提醒： ① 混淆“a＋b²”和“（a＋b）²”这类结构不同的式子。 ② 看到“倍”“平方”“立方”等关键词时，忽略其对应的作用对象。 ③ 数量关系本身正确，但运算顺序错误，导致所列代数式不符合题意。 难点精练 1．如图，将周长相等的正方形 和长方形 放入一个大长方形内，大长方形未被覆盖部分为①和②，若已知①和②的周长之差为 6，则下列可求具体数值的选项是（     ） A． 与 的和 B． 与 的积 C． 与 的差 D． 与 的商 2．甲、乙两店卖豆浆，每杯售价均相同．已知甲店的促销方式是：每买2杯，第1杯原价，第2杯半价；乙店的促销方式是；每买3杯，第1、2杯原价，第3杯免费．若东东想买12杯豆浆，则下列所花的钱最少的方式是（    ） A．在甲店买12杯 B．在甲店买8杯，在乙店买4杯 C．在甲店买6杯，在乙店买6杯 D．在乙店买12杯 3．（25-26七年级上·天津静海·阶段检测）老师给出一个两位数，让同学们将这个两位数的十位上的数字与个位上的数字交换位置后得到一个新的两位数，用新的两位数减去原来的两位数，甲、乙、丙、丁四位同学计算的结果分别为15、36、58、83，老师判定4个结果中有且只有一个正确，则四位同学中答对的为（   ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 4．有一种面积为的正方形餐垫． （1）如图1，两张这样的餐垫部分重叠放在桌面上，如果它们盖住桌面的总面积是，那么这两张餐垫重叠部分的面积是______（用含的代数式表示）； （2）如图2，三张这样的餐垫两两重叠放在桌面上，如果它们盖住桌面的总面积是，图中两个阴影部分的面积的和是，那么这三张餐垫共同重叠部分的面积是______ （用含，，的代数式表示）． 难点二 同类项识别、合并与整式结构综合 这类问题通常把单项式的系数、次数、同类项判断和合并同类项结合起来考查，容易因为只看系数、忽略字母指数或错误分项而失分。 方法总结： ① 判断同类项时，坚持“字母相同、相同字母的指数相同”这一标准。 ② 先把多项式中的各项准确分开，再寻找同类项，最后进行合并。 ③ 合并时只改变系数，不改变字母及其指数。 ④ 对含有多个字母的单项式，要逐个比较对应字母的指数，不能只看字母种类。 易错提醒： ① 把“字母相同”错误理解成“只要出现相同字母就是同类项”。 ② 忽略字母指数不同这一条件。 ③ 将系数、次数混淆，认为单项式的次数与系数有关。 ④ 多项式的次数错误地按各项次数之和计算。 难点精练 5．（25-26七年级上·广西崇左·阶段检测）与合并同类项后结果是，那么______ ． 6．（25-26七年级上·江西九江·期末）已知整式，其中为自然数，，为正整数，且，下列说法错误的是（    ） A．当时， B．当时，满足条件的所有整式的和为 C．当时，整式的次数为3 D．的最大值为4 7．合并同类项的结果为（    ） A．0 B． C．m D．无法确定 8．对多项式添加一次绝对值运算（只添加一个绝对值，不可添加单项式的绝对值）后只含加减运算，然后化简，结果按降幂排列，称此为一次“绝对操作”．例如：，称对多项式一次“绝对操作”；选择这次“绝对操作”的其中一个结果，例如对多项式进行如上操作，称此为二次“绝对操作” 下列说法正确的个数是（    ） ①经过两次“绝对操作”后，式子化简后的结果可能为； ②进行一次“绝对操作”后的式子化简结果可能有5种； ③经过若干次“绝对操作”，一定存在式子化简后的结果与原式互为相反数． A．0 B．1 C．2 D．3 难点三 多括号整式的加减与符号处理 这类题型综合了括号、分配律、合并同类项等多个环节，是整式运算中最容易出现过程性错误的部分。核心是保证“每一步符号正确”。 方法总结： ① 按照“先去括号，再合并同类项”的基本步骤处理。 ② 去掉“-”号前的括号时，要做到“括号内每一项全部变号”。 ③ 括号前有数字因数时，要先利用分配律乘遍括号内各项。 ④ 多层括号按照由内到外的顺序逐层展开，展开后再统一整理同类项。 易错提醒： ① 去负号括号时只改变第一项的符号。 ② 数字因数漏乘括号内某一项。 ③ 去括号后没有重新检查各项符号，导致后续合并全部出错。 ④ 合并同类项时，把非同类项强行合并。 难点精练 9．对多项式只任意加一个括号后仍然只含减法运算并将所得式子化简，称之为“减算操作”，例如：，，给出下列说法 ①至少存在一种“减算操作”，使其结果与原多项式相等； ②不存在任何“减算操作”，使其结果与原多项式之和为； ③所有的“减算操作”共有种不同的运算结果． 以上说法中正确的个数为（   ） A． B． C． D． 10．（25-26七年级上·重庆·期末）对于多项式：，，，，用任意两个多项式求和后所得的结果，再与剩余两个多项式的和作差，并算出结果，称之为“和差操作” 例如：，，，称为一次操作．下列说法正确的个数是（   ） ①不存在任何“和差操作”，使其结果为单项式； ②只有一种“和差操作”，其结果与x的取值无关； ③所有的“和差操作”共有6种不同的结果． A．0 B．1 C．2 D．3 11．（25-26七年级上·山东济南·阶段检测）对于4个关于x的一次二项式∶，我们定义∶取其中任意两个作差，再与剩余两个多项式的差相减，其结果称为“淬炼结果”，例如∶，则多项式便是一个“淬炼结果”．则下列结论中∶ ①存在一种“淬炼结果”为； ②x为任意整数时，所有“淬炼结果”的值都能被2整除； ③共有6种不同的“淬炼结果”． 正确的有(　　) A．①③ B．②③ C．①② D．①②③ 12．对任意代数式，每个字母及其左边的符号（不包括括号外的符号）称为一个数，如：，其中称为“数1”，为“数2”，为“数3”，为“数4”，为“数5”，若将任意两个数交换位置，则称这个过程为“换位思考”，例如：对上述代数式的“数1”和“数5”进行“换位思考”，得到：，则下列说法中正确的个数是（    ） ①代数式进行一次“换位思考”，化简后只能得到1种结果 ②代数式进行一次“换位思考”，化简后可能得到5种结果 ③代数式进行一次“换位思考”，化简后可能得到7种结果 ④代数式进行一次“换位思考”，化简后可能得到8种结果 A．0 B．2 C．3 D．4 难点四 整式化简与求值的综合应用 这类题目把“去括号、合并同类项、代入求值”串联起来，既考查运算能力，也考查解题顺序。通常不宜直接代入复杂原式，而应先化简。 方法总结： ① 先观察原式结构，确定需要去括号和合并的部分。 ② 按“化简→整理→代入→计算”的顺序完成。 ③ 代入负数、分数时，根据运算结构正确加括号。 ④ 化简后的式子越简单，代入计算越方便，因此应尽量减少重复计算。 易错提醒： ① 未化简就直接代入，增加计算量。 ② 字母取值代入时漏掉负号或括号。 ③ 化简过程中符号错误，导致最终结果错误。 ④ 只关注计算结果，没有检查化简后的整式是否已经合并完整。 难点精练 13．（25-26七年级下·重庆·期末）先化简，再求值：，其中、满足，． 14．（25-26七年级上·江西上饶·期末）先化简，再求值：，其中． 15．（25-26七年级上·湖北武汉·阶段检测）（1）已知，求的值． （2）已知多项式，，若为五次六项式，求m的值． 16．（25-26七年级上·全国·期末）已知是关于x，y的多项式，且该多项式化简后不含二次项，求代数式的值． 基础达标 1．一次竞赛共有30道选择题，规定：答对一道得3分，不答或答错一道扣1分，如果某位学生答对了a道题，则用式子表示他的成绩（单位：分）为（     ） A． B． C． D． 2．（26-27七年级上·江苏徐州·开学考试）某地某天凌晨的温度比上午9时的温度低，中午12时的温度比凌晨的温度高，晚上9时的温度比中午12时的温度低，若该地当天上午9时的温度记为，则当天晚上9时的温度应记为（     ） A． B． C． D． 3．（25-26七年级下·安徽六安·阶段检测）若单项式与是同类项，则的值是（   ） A． B． C．3 D．9 4．（25-26七年级上·湖南湘潭·期中）代数式的值（      ） A．当时，原式 B．当时，原式 C．当时，原式 D．不论x取何值，原式都等于12 5．（25-26七年级上·黑龙江七台河·期中）下列说法：①a是代数式，1不是代数式；②表示数a，b，的积的代数式是；③代数式的意义是a与4的差除以b的商；④a，b两数平方的差与两数的积的4倍的和用代数式表示是，其中正确的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 6．（25-26七年级上·吉林·期中）用文字叙述代数式的意义，下列选项表述错误的是（   ） A．x的倒数与3的差 B．x的倒数与的和 C．比x的倒数大3的数 D．比x的倒数小3的数 7．如图，多边形的边上按规律排列着部分点，第1个图形中有3个点，第2个图形中有8个点，第3个图形中有15个点，第4个图形中有24个点，按照此规律，第m个图形中点的个数为（    ） A． B． C． D． 8．下列结论正确的是（     ） A．单项式的系数是 B．单项式的次数是6 C．单项式没有系数 D．多项式是二次三项式 9．（2026·云南昆明·模拟预测）按一定规律排列的多项式：，，，，，…，第n个多项式是（     ） A． B． C． D． 10．（25-26七年级上·重庆合川·期末）下列说法正确的有（   ）个 ①单项式x的系数和次数都是0； ②的次数是11； ③多项式是由1，，三项组成； ④在，，中整式有2个． A．1 B．2 C．3 D．4 能力进阶 11．（25-26七年级上·江苏南京·开学考试）古希腊著名的毕达哥拉斯学派把1、3、6、10、15、21…这样的数称为“三角形数”，而把1、4、9、16、25、36…这样的数称为“正方形数”．从图中可以发现，任何一个大于1的“正方形数”都可以看作两个相邻的“三角形数”之和．下列等式中，不符合这一规律的是（     ）． A． B． C． D． 12．（25-26七年级上·湖南湘潭·期末）若多项式是关于的二次二项式，则________． 13．已知 ， ，则 _____________． 14．（25-26七年级上·陕西咸阳·期末）若关于x、y的多项式的次数是3，项数是2，则的值为_______． 15．（25-26七年级上·四川乐山·期末）把多项式，按的降幂排列为_______________． 16．化简：已知，，且，求的值． 17．（26-27七年级上·全国·课后作业）根据下列各组x、y的值，分别求出代数式和的值： (1)； (2)． 18．（25-26七年级上·安徽安庆·期末）已知，，，，求的值． 19．（25-26七年级上·河北张家口·期末）“整体思想”是数学解题中的一种重要的思想方法，它在多项式的化简与求值中应用很广泛．例如，我们把看成一个整体，则． (1)化简：________； (2)若，则________； (3)若 求 的值． 20．如果多项式的值与x的取值无关，且该多项式的次数是三次．求m，n的值． 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第四章 代数式 复习要点 1.掌握代数式的概念和列代数式：由数、表示数的字母和运算符号组成的数学表达式称为代数式，运算包括加、减、乘、除、乘方和开方；单独一个数或一个字母也是代数式；能根据实际问题中的数量关系正确列代数式。 2.掌握代数式的值：用数值代替代数式里的字母，计算后所得的结果叫作代数式的值；能按代数式中的运算顺序求值，注意负数、分数代入时必要时应加括号。 3.掌握整式的概念：由数与字母或字母与字母相乘组成的代数式叫作单项式，单项式中的数字因数叫作系数，所有字母的指数的和叫作次数；由几个单项式相加组成的代数式叫作多项式，每个单项式叫作项，不含字母的项叫作常数项，次数最高的项的次数就是多项式的次数；单项式和多项式统称整式。 4.掌握合并同类项：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项叫作同类项，所有常数项也看作同类项；把同类项的系数相加，所得结果作为系数，字母和字母的指数不变；能正确合并同类项。 5.掌握去括号法则：括号前是“＋”号，把括号和它前面的“＋”号去掉，括号里各项都不变号；括号前是“－”号，把括号和它前面的“－”号去掉，括号里各项都改变符号；括号前有数字因数时，应先用分配律乘遍括号内各项，再去括号。 6.掌握整式的加减及实际应用：整式的加减可以归结为去括号与合并同类项；能进行整式的加减运算，能先化简再代入求值；能用整式表示实际问题中的数量关系并合理解释结果，注意分母中含字母、根号下含字母的代数式一般不是整式。 复习重难点 重点：代数式的概念与列代数式；代数式的值；单项式、多项式、整式的概念；同类项与合并同类项；去括号法则；整式的加减运算及实际应用。 难点：根据实际问题正确列出代数式；同类项的判断与合并同类项；去括号时的符号变化；整式加减中的化简与求值；运用整式加减解决实际问题。 知识点 列代数式 1.代数式的概念 由数、表示数的字母和运算符号组成的数学表达式称为代数式。这里的运算是指加、减、乘、除、乘方和开方。单独一个数或者一个字母也称代数式。 2.列代数式 用代数式表示实际问题中的数量关系，要抓住关键词语，如和、差、积、商、平方、立方根等，并注意运算顺序。 例如： （1） x的3倍与3的差：； （2） （2）x的2倍与y的1/2的和：； （3）a与b的和的平方：(a＋b)²； （4）2a的立方根：。 3.常见数量关系举例 （1）大米的单价为每千克a元，食用油的单价为每千克b元，买10千克大米、2千克食用油共需(10a＋2b)元。 （2）日平均气温是指一天中2:00，8:00，14:00，20:00四个时刻气温的平均值。若上述四个时刻气温分别为a，b，c，d，则日平均气温为。 （3）一条隧道长l米，一列火车长180米，火车穿过隧道所花的时间为t分，则列车的速度为。 要点归纳： （1）代数式可以简明地、具有普遍意义地表示实际问题中的量，给数量关系的研究带来方便。 （2）单独一个数或一个字母也是代数式。 （3）列代数式时要弄清数量关系和运算顺序，正确使用括号。 要点速测 1．比 的 倍小 的数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：的倍为，比小的数为． 知识点 代数式的值 1.代数式的值的概念 一般地，用数值代替代数式里的字母，计算后所得的结果叫作代数式的值。例如，当x＝20时，代数式x-7的值是13。 2.求代数式的值的方法 把字母所取的值代入代数式，按照代数式中的运算顺序计算。字母取不同值时，代数式的值可能不同。 要点归纳： （1）求代数式的值，就是“代入—计算”，代入时要注意字母取值和运算符号。 （2）负数、分数代入时，必要时应加括号，避免符号错误。 （3）代数式的值随字母取值的变化而变化。 要点速测 2．若，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用绝对值和平方的非负性求出，的值，代入代数式计算． 【详解】解：∵，，且， ∴，， 解得，， ∴． 知识点 整式 1.单项式：由数与字母或字母与字母相乘组成的代数式叫作单项式。单独一个数或一个字母也叫单项式，如0，－1，a。 2.单项式的系数：单项式中的数字因数叫作这个单项式的系数。例如，-3x的系数是-3，ab的系数是1。 3.单项式的次数：一个单项式中，所有字母的指数的和叫作这个单项式的次数。例如，-3x的次数是1，ab的次数是1＋1＝2。 4.多项式 由几个单项式相加组成的代数式叫作多项式。在多项式中，每个单项式叫作多项式的项，不含字母的项叫作常数项，次数最高的项的次数就是这个多项式的次数。 例如，a²＋3a-2的项有a²，3a，-2，常数项是-2，次数最高的项a²的次数是2，所以a²＋3a-2称为二次多项式。 5.整式：单项式和多项式统称整式。 要点归纳： （1）单项式的系数包括它前面的符号；单独一个字母的系数是1，次数是1。 （2）单项式的次数只与字母的指数有关，与系数无关。 （3）多项式的次数是“次数最高的项的次数”，不是所有项次数的和；常数项的次数为0。 （4）分母中含字母、根号下含字母的代数式一般不是整式。 要点速测 3．关于代数式，下列说法正确的是（     ） A．它的系数是3 B．它是单项式 C．它的次数是6 D．它不是整式 【答案】B 【详解】解：． ∵该式的数字因数为9， ∴系数为9，故A选项错误； ∵该代数式是数字与字母的乘积， ∴它是单项式，属于整式，故B选项正确，D选项错误； ∵所有字母的指数和为， ∴次数为4，故C选项错误． 知识点 合并同类项 1.同类项：多项式中，所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项，叫作同类项。所有常数项也看作同类项。 2.合并同类项：把多项式中的同类项合并成一项，叫作合并同类项。 3.合并同类项法则：把同类项的系数相加，所得结果作为系数，字母和字母的指数不变。 示例： 3b-5b＝(3-5)b＝-2b； 6xy-10x²-5yx＋7x² ＝(6xy-5xy)＋(-10x²＋7x²) ＝xy-3x²。 例：2a²b-3a-3a²b＋2a ＝(2a²b-3a²b)＋(-3a＋2a) ＝(2-3)a²b＋(-3＋2)a ＝-a²b-a。 要点归纳： （1）判断同类项只看字母和相同字母的指数，与系数无关，与字母的排列顺序无关。 （2）所有常数项都是同类项，可以合并。 （3）合并同类项时，系数相加，字母和字母的指数不变；系数相加为0时，该项结果为0。 要点速测 4．下列计算正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用去括号法则与合并同类项法则，逐一验证各选项计算的正误． 【详解】解：，A计算错误； ，B计算正确； ，C计算错误； 与不是同类项，不能合并，D计算错误． 知识点 去括号 1.去括号法则 括号前是“＋”号，把括号和它前面的“＋”号去掉，括号里各项都不变号；括号前是“-”号，把括号和它前面的“-”号去掉，括号里各项都改变符号。 2.依据：分配律同样适用于代数式的运算。 例如： 示例：＋(2a-3b)＝2a-3b；-3(2x²-3x)＝-6x²＋9x。 要点归纳： （1）去括号时，括号前的符号要连同括号一起去掉。 （2）括号前是“-”号，去掉括号后括号内每一项都要变号，不能只变第一项。 （3）括号前有数字因数时，应先用分配律乘遍括号内各项，再去括号。 要点速测 5．下列各式中，去括号后得的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据去括号的法则依次进行运算，即可得到答案． 【详解】解：选项A：，选项A符合题意； 选项B：，选项B不符合题意； 选项C：，选项C不符合题意； 选项D：，选项D不符合题意． 知识点 整式的加减 1.整式加减的实质：在解决实际问题时，经常需要把若干个整式相加减。整式的加减可以归结为去括号与合并同类项。 2.步骤：有括号先去括号，再合并同类项；求值时，先化简，再代入求值。 示例 求整式3x＋4y与2x-2y-1的和： (3x＋4y)＋(2x-2y-1) ＝3x＋4y＋2x-2y-1 ＝(3x＋2x)＋(4y-2y)-1 ＝5x＋2y-1。 化简并求值：2(a²-ab)-3((2/3)a²-ab)，其中a＝-2，b＝3。 原式＝2a²-2ab-2a²＋3ab＝ab。 当a＝-2，b＝3时，原式＝ab＝(-2)×3＝-6。 要点归纳： （1）几个整式相加减，通常先用括号把每个整式括起来，再用加减号连接。 （2）整式加减的结果仍是整式。 （3）求整式的值时，先合并同类项、去括号化简，再代入，计算更简便。 要点速测 6．青青在计算时，a、b均大于0，不小心抄成了，计算结果比正确得数（     ） A．少 B．少 C．少 D．少 【答案】D 【详解】解：正确结果： 错误结果： 差值，即计算结果比正确得数少． 题型1 代数式的概念辨析与实际问题中的列式 ▌例1-1 （2026·湖南长沙·中考真题）冰糖葫芦是我国传统小吃，起源于宋代，一般是用竹签穿上山楂蘸上熔化的冰糖制作而成．若每根竹签穿5个山楂，则穿（为正整数）串冰糖葫芦需要山楂的个数是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】首先明确题目中的数量关系，已知每串冰糖葫芦需要5个山楂，要求n串的总山楂数，确定这是乘法应用问题．因为总个数等于单串所需个数乘以串数，所以可根据这个数量关系列出对应的代数式．结合代数式的书写规范，得到对应表达式后匹配选项即可． 【详解】解：∵每串冰糖葫芦穿5个山楂，共串， ∴需要山楂的个数为． ▌例1-2 （25-26七年级上·广东茂名·阶段检测）下列式子不是代数式的是（   ） A． B． C．2025 D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了代数式的定义，代数式是由数字、字母和运算符号组成的表达式，单独的一个数或一个字母也是代数式，不包含等号或不等号，据此可得答案． 【详解】解：根据代数式的定义可知，只有式子不是代数式， 故选：B． ▌例1-3 （25-26七年级上·浙江温州·期中）下列各式中，符合代数式书写规则的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查代数式的书写规则，根据规则逐一判断各选项是否符合． 【详解】代数式书写规则要求：数字与字母相乘时，数字应写在字母前面，乘号省略，不得使用“”号；带分数应化为假分数形式；除法运算应用分数线表示，不得使用“”号． 选项A：，数字在前，乘号省略，符合规则； 选项B：，使用“”号，不符合规则； 选项C：，带分数未化为假分数，不符合规则； 选项D：，使用“”号且数字在后，不符合规则． 符合代数式书写规则的是A，故选：A． 解题要点 代数式的概念辨析与实际问题中的列式 1.判断一个式子是否为代数式，要看它是否由数、表示数的字母和运算符号组成，单独一个数或一个字母也属于代数式。 2.列代数式时，先找准题目中的数量关系，再确定运算顺序，最后用恰当的括号表示整体关系。 3.注意区分“和的平方”“平方的和”“差”“差的平方”“商”“倍”等关键词，避免因理解数量关系错误而列错式子。 4.对于实际问题，要结合题意明确各量所表示的意义，并注意单位是否统一。 ▌迁移练1-1（25-26七年级下·浙江衢州·期末）设A种糖果的单价为每千克a元，B种糖果的单价为每千克6元，则2千克A种糖果和b千克B种糖果混合而成的什锦糖果的单价为每千克（     ） A．元 B．元 C．元 D．元 【答案】C 【分析】本题考查列代数式的实际应用，先求出混合什锦糖果的总价和总重量，再根据单价=总价÷总重量列出代数式即可得到答案． 【详解】解：∵ 2千克A种糖果的总价为元，千克B种糖果的总价为元， ∴ 混合后什锦糖果的总价格为元，总重量为千克， ∴ 什锦糖果的单价为每千克元． ▌迁移练1-2（25-26七年级上·浙江台州·期末）某商店举办促销活动，将原价为x元的衣服以元出售，则下列对促销活动的描述正确的是（    ） A．原价打8折后再减去10元 B．原价打2折后再减去10元 C．原价减去10元后再打2折 D．原价减去10元后再打8折 【答案】D 【分析】本题考查了列代数式，理解代数式的含义是解题关键．根据售价表达式，可知运算顺序为先减法后乘法，即先减10元再打8折，即可得到答案． 【详解】解：由题意可知，原价为x元的衣服以元出售， 则原价减去10元后再打8折， 故选：D． ▌迁移练1-3（25-26七年级上·黑龙江哈尔滨·期末）观察下列图中所示的一系列图形，它们是按一定规律排列的，依照此规律，第6个图形中共有__________个○． 【答案】37 【分析】本题考查了图形规律探索，根据图形找到规律即可求得结果． 【详解】解：每个图形是“十字形”结构，包含部分：上方固定个○；左右两边：第个图中，每边有个○，两边共个；下方：第个图中有个○， 因此，第个图形的○总数为：， 当时，总数为：． 故答案为：． 题型2 代数式的值 ▌例2-1 （26-27七年级上·内蒙古）已知是的相反数，比最小的正整数大，是相反数等于它本身的数，则的值是_____． 【答案】10 【分析】根据相反数的定义，最小的正整数等概念得到a，b，c的值，再代入计算即可． 【详解】解：，是的相反数， ； 最小的正整数是， ； 相反数等于自身的数只有， ； ． ▌例2-2 当时，求下列代数式的值： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）将已知 整体代入代数式，直接计算即可得到结果； （2）将已知 整体代入代数式，直接计算即可得到结果． 【详解】（1）解：已知， 将代入 ， 得：原式； （2）解：将代入， 得：原式． 解题要点 代数式的值 1.求代数式的值，基本方法是“代入—计算”，先把字母的已知值代入，再按照运算顺序计算。 2.负数、分数等作为字母的取值代入时，要根据需要加括号，避免运算符号与数值符号混淆。 3.代入时要注意字母与对应数值一一对应，不能漏代、错代或改变原有运算关系。 4.当代数式较复杂时，应先观察式子结构，能化简的先化简，再代入计算。 ▌迁移练2-1（26-27七年级上·湖北武汉·开学考试）已知，则________． 【答案】 【分析】已知，设比例系数为，将用表示后代入所求分式计算即可． 【详解】解：设，则，，， 则． ▌迁移练2-2（26-27七年级上·江苏泰州·阶段检测）已知，，．若，则的值为 __________ ． 【答案】13或 【分析】根据题意求得a，b，c的值后代入中计算即可． 【详解】解：∵，，， ∴， ∵， ∴或， 则 或． ▌迁移练2-3（25-26七年级下·安徽合肥·期末）若，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先根据已知等式得到，再将所求代数式变形后整体代入计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 题型3 单项式与多项式 ▌例3-1 在式子①，②，③，④，⑤中下列结论正确的是（     ） A．①、③是单项式 B．②、⑤是多项式 C．②④⑤都是多项式 D．都是整式 【答案】B 【分析】根据定义逐个判断各代数式的类型，再对比选项得到正确结论． 【详解】①是数与字母的积，是单项式，属于整式； ②是两个单项式的差，是多项式，属于整式； ③分母含有字母a，是分式，不是单项式； ④分母含有字母，是分式，不是多项式； ⑤中分母是常数，属于单项式，因此原式是三个单项式的和，是多项式， ∴A选项中③不是单项式，错误； B选项中②⑤都是多项式，正确； C选项中④不是多项式，错误； D选项中③④是分式，不是整式，错误． ▌例3-2 （25-26七年级上·北京·阶段检测）单项式的系数和次数分别为_______． 【答案】和 【分析】根据单项式的系数和次数概念进行判断即可； 【详解】解：故系数为，次数为． ▌例3-3 写出系数为，含有字母，的三次单项式________． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查单项式的定义，由数或字母的乘积组成的代数式叫做单项式，单独的一个数或一个字母也叫做单项式，单项式中数字因数叫做单项式的系数（当系数为1或时，1可以省略不写）．一个单项式中，所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数． 【详解】解：系数为，含有字母，的三次单项式： 故答案为：（答案不唯一） ▌例3-4 下列说法中正确的是（    ） A．的系数是，次数是6 B．单项式的系数是，次数是9 C．多项式的次数是8，项数是3 D．是二次四项式 【答案】C 【详解】解：A、的系数是，次数是3，故A不符合题意； B、单项式的系数是，次数是，故B不符合题意； C、多项式的次数是8，项数是3，故C符合题意； D、是二次三项式，故D不符合题意． 解题要点 单项式与多项式 1.判断单项式的系数时，要把数字因数连同它前面的符号一起看；单独一个字母的系数是 1。 2.单项式的次数等于所有字母指数的和，与系数无关。 3.判断多项式的项时，要按加减号进行分项，每一项都要连同前面的符号确定。 4.多项式的次数取各项次数中的最大值，不能把各项次数相加；不含字母的常数项次数为 0。 5.判断一个代数式是否为整式时，要特别关注分母和根号中是否含有字母。 ▌迁移练3-1（2026·河南平顶山·三模）请写出一个含有字母m，n，且次数是3，系数为的单项式：______． 【答案】或（答案不唯一） 【详解】解：符合题意的单项式可以是或． ▌迁移练3-2（2025·四川绵阳·中考真题）观察下列单项式：，探究发现其中规律，你认为从左到右第15个单项式是（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了单项式，正确找出规律是解题的关键． 先找出规律，再得出第15个单项式． 【详解】解：观察可得，从左到右第个单项式是， ∴第15个单项式是，故选：B． ▌迁移练3-3（25-26七年级上·浙江嘉兴·阶段检测）已知多项式是五次三项式，则a的平方根为______． 【答案】 【分析】本题主要考查了多项式的相关概念，求一个数的平方根，解题的关键是掌握多项式和平方根． 根据多项式的次数求出的值，然后再求平方根即可． 【详解】解：多项式的三项分别为：，次数为； ，次数为； ，次数为； 由于多项式是五次式，最高次项的次数必须为5，因此第二项的次数， 解得， ∴a的平方根为，故答案为：． ▌迁移练3-4已知多项式是关于、的五次四项式． (1)求的值； (2)把这个多项式按的降幂重新排列． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了多项式的次数的定义，按字母次数排列多项式等等，熟知多项式的次数的定义是解题的关键． （1）多项式中次数最高的项为多项式的次数，据此可得，解之即可得到答案； （2）按照x的次数从高到低排列多项式即可． 【详解】（1）解；∵项式是关于、的五次四项式， ∴， ∴； （2）解：把多项式按照的降幂重新排列为． ▌迁移练3-5（25-26七年级上·浙江宁波·期中）下列结论中，正确的是（    ） A．的次数为5 B．是三次二项式 C．是整式 D．的系数是3，次数是2 【答案】C 【分析】本题考查整式、单项式的次数和系数、多项式的次数的概念． 根据定义判断各选项的正确性． 【详解】解：A、的字母部分指数和为，次数为3，不是5，选项说法错误，不符合题意； B、的最高次项的次数为2，是二次二项式，不是三次二项式，选项说法错误，不符合题意； C、是多项式，是整式，选项说法正确，符合题意； D、的系数为，次数为2，系数不是3，选项说法错误，不符合题意． 故选：C． 题型4 同类项的识别与合并 ▌例4-1 （26-27七年级上·浙江杭州·开学考试）下列各选项中，两项是同类项的是（     ） A．和 B．和 C．4和 D．和 【答案】D 【详解】解：A、与，所含字母不同，不是同类项，不符合题意； B、与相同字母的指数不同，不是同类项，不符合题意； C、与所含字母不同，不是同类项，不符合题意； D、与所含字母相同，且相同字母的指数均相同，是同类项，符合题意． ▌例4-2 （25-26七年级上·浙江嘉兴·期末）若单项式与单项式的差仍是单项式，则的值为____． 【答案】 【分析】本题考查的是同类项的含义，根据同类项的定义，两个单项式的差仍是单项式，说明它们是同类项，因此相同字母的指数相等，从而求出 和 的值，进一步可得答案． 【详解】解：∵单项式与单项式的差仍是单项式， ∴单项式与单项式是同类项， ∴， ， 解得 ． ∴．故答案为 ▌例4-3 （25-26七年级上·浙江宁波·期末）下列运算中，正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题主要考查合并同类项，熟练掌握其运算法则是解题的关键． 根据合并同类项的运算法则逐一判断即可求解． 【详解】解：A、，本选项错误，故不符合题意； B、，本选项错误，故不符合题意； C、，本选项正确，故符合题意； D、与不是同类项，不能合并，本选项错误，故不符合题意； 故选：C． 解题要点 同类项的识别与合并 1.判断同类项，只看所含字母是否相同，以及相同字母的指数是否分别相同，与系数无关。 2.字母的排列顺序不同，不影响同类项的判断，如 xy 与 yx 可以看作同类项。 3.所有常数项都是同类项，可以直接合并。 4.合并同类项时，只把同类项的系数相加，字母及其指数保持不变。 5.合并前应先准确找出全部同类项，避免漏项或把非同类项错误合并。 ▌迁移练4-1（25-26七年级上·浙江杭州·期中）下列说法正确的是（    ） A．是多项式 B．单项式的次数是2次 C．与是同类项 D．的系数是 【答案】D 【分析】本题主要考查单项式定义、多项式的定义、单项式的次数、同类项的概念等知识点，理解相关定义是解题的关键． 根据相关定义逐项判断即可． 【详解】解：A．多项式是整式，而A选项中是分式，不是整式，即 A错误； B．单项式的次数是所有字母指数之和，即a指数1、b指数2，次数为3，即 B错误； C．同类项要求字母相同且相同字母指数相同，但中x指数2、y指数1，中x指数1、y指数2，指数不同，即C错误； D．单项式的系数是数字部分，即，即 D正确． 故选D． ▌迁移练4-2（25-26七年级上·山东临沂·期中）若单项式与的和仍是单项式，则的值是（   ） A．3 B．6 C．8 D．9 【答案】C 【分析】本题考查了同类项的定义． 两个单项式的和仍是单项式，说明它们是同类项，因此相同字母的指数必须相同． 【详解】解：∵单项式与的和是单项式， ∴它们是同类项， ∴，， ∴，， ∴．故选：C． ▌迁移练4-3阅读材料：我们知道，，类似的，我们把看成一个整体，则．“整体思想”是中学教学解题中的一种重要的思想方法，它在多项式的化简与求值中应用极为广泛． 尝试应用： （1）把看成一个整体，合并：的结果等于______； （2）已知，求的值； 拓广探索： （3）已知，，，求的值． 【答案】（1）；（2）；（3）8 【分析】本题考查了整体思想的应用，合并同类项，求代数式的值等知识；理解整体思想是解题的关键． （1）根据整体思想，利用合并同类项法则进行即可； （2）变形为，再整体代入即可； （3）去括号后，再重新结合变为，即可整体代入求解． 【详解】解：（1） ； 故答案为：； （2） ； （3） ． 题型5 去括号 ▌例5-1 （25-26七年级上·浙江温州·期末）去括号：___________． 【答案】 【分析】本题考查去括号，根据去括号法则进行计算即可． 【详解】解：； 故答案为： ▌例5-2 （25-26七年级上·浙江台州·期末）将代数式去括号得（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了去括号，根据去括号法则即可求解，当括号前是“+”号时，去掉括号和前面的“+”号，括号内各项的符号都不变号；当括号前是“－”号时，去掉括号和前面的“－”号，括号内各项的符号都要变号． 【详解】解：，故选：C． 解题要点 去括号 1.括号前是“＋”号，去掉括号后，括号内各项的符号都不改变。 2.括号前是“-”号，去掉括号后，括号内每一项都要改变符号，不能只改变第一项。 3.括号前有数字因数时，要利用乘法分配律，将数字因数分别乘括号内的每一项。 4.遇到多层括号时，应按照由内到外的顺序逐层处理，并特别注意每一步括号前的符号。 ▌迁移练5-1（25-26七年级上·河南周口·阶段检测）化简： ______． 【答案】/ 【分析】本题考查的是去括号、合并同类项，先根据去括号法则化简括号外的负号，再合并同类项即可． 【详解】解：原式 故答案为：． ▌迁移练5-2（25-26七年级上·江苏·期中）化简：______． 【答案】 【分析】本题考查了去括号和合并同类项的法则，准确的计算是解决本题的关键． 先去括号，再合并同类项即可． 【详解】解： ． 故答案为：． 题型6 整式的加减与化简 ▌例6-1 （25-26七年级下·浙江衢州·期末）若，则（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵， ∴． ▌例6-2 （25-26七年级上·浙江杭州·期末）已知代数式：，化简的结果是单项式，题中“●”表示该处有一个数字被墨水污染了，则被污染的数字是___________． 【答案】2或3/3或2 【分析】本题考查整式的加减运算，设被污染的数字为k，化简，根据结果是单项式，分2种情况讨论求解即可． 【详解】解：设被污染的数字为k，则：， ∵化简的结果是单项式， ∴或， ∴或； 故被污染的数字是2或3； 故答案为：2或3． 解题要点 整式的加减与化简 1.整式的加减实质上是去括号和合并同类项，通常按照“去括号→合并同类项”的顺序进行。 2.进行整式相加减时，要先用括号把一个完整的整式括起来，再根据题意写出加减关系。 3.去括号后要重新整理同类项，注意符号变化，再进行合并。 4.计算结果应整理成最简形式，通常按字母及次数由高到低排列，使结果清晰规范。 ▌迁移练6-1（25-26七年级上·浙江金华·阶段检测）已知：，．若的取值与y无关，则的值为______． 【答案】3 【分析】本题考查了整式的加减； 先计算，化简得，根据取值与y无关，得y的系数为0，即，解得，代入计算即可． 【详解】解： ， ∵的取值与y无关， ∴， ∴， ∴ ， 故答案为：3． ▌迁移练6-2（25-26七年级下·浙江·期中）我国数学家杨辉所著的《详解九章算法》中，用三角形数表给出二项式展开式的系数规律，这个三角形数表称为杨辉三角（如图）．根据杨辉三角，可得的展开式中从左起第五项的系数是（   ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题是数字类规律探索问题，观察图中数字的变化规律，得出的行数和每项的系数，从而得出答案． 【详解】解：根据杨辉三角第行对应的展开式系数， ∴对应第行， ∵观察杨辉三角的图形，每项的系数等于上一行这一项上方的左右两个系数的和， ∴逐行构建至第行， 第行：， 第行：， 第行：， 第行：， ∴第行第五项系数为． 题型7 整式化简后求值 ▌例7-1 （25-26七年级上·浙江丽水·期末）先化简，再求值：，其中，． 【答案】 【分析】先化简整式，第一步需运用去括号法则去掉式子中的括号，注意括号前的系数和符号对括号内各项的影响；去括号后，要找出式子中的同类项，再运用合并同类项法则进行合并；化简完成后，将给定的、代入化简后的式子，计算出最终结果． 【详解】解： ， 当，时， 原式 ． ▌例7-2 先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【分析】先去括号，然后合并同类项化简，最后代入求值即可． 【详解】解： ， 当时， 原式． 解题要点 整式化简后求值 1.求整式的值时，通常先去括号、合并同类项，将原式化简成较简单的整式。 2.化简完成后，再将字母的已知值代入计算，可有效减少计算量并降低符号错误的概率。 3.代入时要特别注意负数的括号，以及乘法、乘方等运算的优先顺序。 4.若原式中存在结构相同的部分，应优先整体观察和化简，再进行代入。 ▌迁移练7-1（25-26七年级上·浙江杭州·期末）已知代数式． (1)化简：； (2)当时，求的值． 【答案】(1) (2)10 【分析】本题考查整式的加减运算，化简求值： （1）根据整式的加减运算法则进行计算即可； （2）将字母的值代入（1）中化简的代数式中，进行计算即可． 【详解】（1）解：； （2）解：当时， ． ▌迁移练7-2（25-26七年级上·浙江杭州·阶段检测）已知整式，． (1)若，求的值． (2)若代数式的值与字母b的取值无关，求a的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了整式的加减运算，非负数的性质及代数式的值与字母取值无关的条件． （1）先通过去括号、合并同类项化简的表达式，得到最简整式，再根据非负数的性质（平方数和绝对值均为非负数，和为0则各自为0），求出a和b的具体数值，最后将a、b的值代入化简后的整式，计算得出结果； （2）将的表达式整理为“不含b的项+含b的项”的形式，提取含b项的公因式，由于代数式的值与b无关，含b项的系数必须为0，据此建立方程求解a的值． 【详解】（1）解：∵，且，， ∴，， 解得，， ∴ ， 将，代入上式得：． （2）解：∵代数式的值与字母b的取值无关， ∴， ∴含b的项的系数为， 解得． 难点一 复杂数量关系的列式与运算顺序 本类问题的关键不在于计算，而在于准确理解题意并把文字关系转化为代数式。题目中常通过“和的平方”“平方的和”“差”“差的平方”“一个数的几倍”“两数之商”等语言考查运算顺序和括号的正确使用。 方法总结： ① 先确定各个量分别表示什么，再找出它们之间的数量关系。 ② 明确“先整体、后局部”的运算关系，遇到“和的……”“差的……”等整体结构时，必须正确使用括号。 ③ 列式完成后，可将式子重新用文字描述一遍，检查是否与题意一致。 易错提醒： ① 混淆“a＋b²”和“（a＋b）²”这类结构不同的式子。 ② 看到“倍”“平方”“立方”等关键词时，忽略其对应的作用对象。 ③ 数量关系本身正确，但运算顺序错误，导致所列代数式不符合题意。 难点精练 1．如图，将周长相等的正方形 和长方形 放入一个大长方形内，大长方形未被覆盖部分为①和②，若已知①和②的周长之差为 6，则下列可求具体数值的选项是（     ） A． 与 的和 B． 与 的积 C． 与 的差 D． 与 的商 【答案】C 【分析】本题主要考查了列代数式，正方形和长方形的周长公式，解题关键是通过利用正方形和长方形周长相等这一条件，建立等式关系，进行代数运算和推理的能力．设正方形的边长为，长方形的长为，宽为．中间四边形的周长为．然后根据①+③的周长和②+③的周长之差为6，列出等式，化简得到．再由正方形和长方形周长相等，即，变形为．最后通过和这两个式子，能够求出（即）与（即）的差，从而确定答案为C选项，而其他选项仅根据现有条件无法求出具体数值． 【详解】设正方形的边长为，长方形的长为，宽为．中间四边形的周长为③ ①+③的周长为：， ②+③的周长为：， 已知①和②的周长之差为6， ①+③的周长和②+③的周长之差为6， 即， 化简可得， 则， 因为正方形和长方形周长相等， 所以，可得， 又因为， 可通过这两个式子求出的值， 所以与的差可求． 与的和，与的积，与的商，仅根据现有条件无法求出具体数值． 答案选C． 2．甲、乙两店卖豆浆，每杯售价均相同．已知甲店的促销方式是：每买2杯，第1杯原价，第2杯半价；乙店的促销方式是；每买3杯，第1、2杯原价，第3杯免费．若东东想买12杯豆浆，则下列所花的钱最少的方式是（    ） A．在甲店买12杯 B．在甲店买8杯，在乙店买4杯 C．在甲店买6杯，在乙店买6杯 D．在乙店买12杯 【答案】D 【分析】设每杯售价元，分别计算每个选项中的花费，再进行比较即可．本题考查了整式加减的应用，读懂题意并根据题意表示出所花费用是解题的关键． 【详解】解：设每杯售价x元， 在甲店购买12杯的费用为（元）； 在甲店买8杯，在乙店买4杯的费用为（元）； 在甲店买6杯，在乙店买6杯的费用为（元）； 在乙店购买12杯的费用为（元）； 在乙店买12杯花钱最少， 故选：D． 3．（25-26七年级上·天津静海·阶段检测）老师给出一个两位数，让同学们将这个两位数的十位上的数字与个位上的数字交换位置后得到一个新的两位数，用新的两位数减去原来的两位数，甲、乙、丙、丁四位同学计算的结果分别为15、36、58、83，老师判定4个结果中有且只有一个正确，则四位同学中答对的为（   ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【答案】B 【分析】本题考查整式的加减，列代数式，理解题意并列出正确的算式是解题的关键．设一个两位数的十位数字为a，个位数字为b，根据“这个两位数的十位上的数字与个位上的数字交换位置后得到一个新的两位数”可知，a，b都是1～9之间的整数，那么这个数可表示为，新的两位数可表示为，然后求得新的两位数和原来的两位数的差即可求解． 【详解】解：设一个两位数的十位数字为a，个位数字为b， ∵这个两位数的十位上的数字与个位上的数字交换位置后可得到一个新的两位数 ∴，，即a，b都是1～9之间的整数， ∴这个数可表示为，新的两位数可表示为， ∴， ∴它们的差应被9整除， 选项中的15、36、58、83四个数，只有36能被9整除，则四位同学中答对的为乙． 故选：B． 4．有一种面积为的正方形餐垫． （1）如图1，两张这样的餐垫部分重叠放在桌面上，如果它们盖住桌面的总面积是，那么这两张餐垫重叠部分的面积是______（用含的代数式表示）； （2）如图2，三张这样的餐垫两两重叠放在桌面上，如果它们盖住桌面的总面积是，图中两个阴影部分的面积的和是，那么这三张餐垫共同重叠部分的面积是______ （用含，，的代数式表示）． 【答案】 【分析】本题考查了列代数式，根据图中的面积关系正确列出代数式是解题的关键． （1）用两个正方形的面积之和减去它们盖住桌面的总面积即可得到重叠部分的面积； （2）同理（1），用三个正方形的面积之和减去它们盖住桌面的总面积，再减去两个阴影部分的面积的和，然后除以2即可得到三张餐垫共同重叠部分的面积． 【详解】解：（1）根据题意，盖住桌面的总面积加上两张餐垫重叠部分的面积=两个正方形的面积， ∴两张餐垫重叠部分的面积是：； （2）根据题意，盖住桌面的总面积两个阴影部分的面积的和三张餐垫共同重叠部分的面积三个正方形的面积， 三张餐垫共同重叠部分的面积是：； 故答案为：，． 难点二 同类项识别、合并与整式结构综合 这类问题通常把单项式的系数、次数、同类项判断和合并同类项结合起来考查，容易因为只看系数、忽略字母指数或错误分项而失分。 方法总结： ① 判断同类项时，坚持“字母相同、相同字母的指数相同”这一标准。 ② 先把多项式中的各项准确分开，再寻找同类项，最后进行合并。 ③ 合并时只改变系数，不改变字母及其指数。 ④ 对含有多个字母的单项式，要逐个比较对应字母的指数，不能只看字母种类。 易错提醒： ① 把“字母相同”错误理解成“只要出现相同字母就是同类项”。 ② 忽略字母指数不同这一条件。 ③ 将系数、次数混淆，认为单项式的次数与系数有关。 ④ 多项式的次数错误地按各项次数之和计算。 难点精练 5．（25-26七年级上·广西崇左·阶段检测）与合并同类项后结果是，那么______ ． 【答案】 【分析】本题考查的是合并同类项，根据合并同类项的条件，两个单项式的相同字母的指数必须相等，从而列出关于n和m的方程，求解后代入计算． 【详解】解：由于合并同类项后结果为， 因此两个单项式是同类项，即a的指数和b的指数分别相等， ，解得， ，解得， 则， 故答案为：． 6．（25-26七年级上·江西九江·期末）已知整式，其中为自然数，，为正整数，且，下列说法错误的是（    ） A．当时， B．当时，满足条件的所有整式的和为 C．当时，整式的次数为3 D．的最大值为4 【答案】B 【分析】本题主要考查了整式的含义，合并同类项，熟练掌握以上知识是解题的关键． 选项A、C、D均正确，选项B错误，因当时，满足条件的整式有4个，其和为，而非． 【详解】解：∵ 整式满足为自然数，为正整数，且， A：当时，，由条件，正确； B：当时，，，，可能情况为： ； ； ； ； 所有之和为，错误； C：当时，为正整数，∴的最高次项为，次数为，正确； D：∵均为正整数，∴，又，∴，∴最大为，正确； 7．合并同类项的结果为（    ） A．0 B． C．m D．无法确定 【答案】B 【分析】与结合，与结合，依此类推相减结果为，得到506对，计算即可得到结果． 【详解】解： ，故选B． 8．对多项式添加一次绝对值运算（只添加一个绝对值，不可添加单项式的绝对值）后只含加减运算，然后化简，结果按降幂排列，称此为一次“绝对操作”．例如：，称对多项式一次“绝对操作”；选择这次“绝对操作”的其中一个结果，例如对多项式进行如上操作，称此为二次“绝对操作” 下列说法正确的个数是（    ） ①经过两次“绝对操作”后，式子化简后的结果可能为； ②进行一次“绝对操作”后的式子化简结果可能有5种； ③经过若干次“绝对操作”，一定存在式子化简后的结果与原式互为相反数． A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】先将一次“绝对操作”化简为，对经过两次“绝对操作”可以得到，故①正确，再经过不同的一次“绝对操作”得到4种化简结果，故②错误，经过和的“绝对操作”不可能可能得到原式的相反数，故③错误． 【详解】解： 将原式一次“绝对操作”： 再把第一个结果二次“绝对操作”：当时，， 故①正确； 把原式一次“绝对操作”还可以为：； ； ∴进行一次“绝对操作”后的式子化简结果可能有，，，，4种，故②错误． 其中， ， 不管几次“绝对操作”，得到的结果中不存在与原式互为相反数，故③错误． 故选B 难点三 多括号整式的加减与符号处理 这类题型综合了括号、分配律、合并同类项等多个环节，是整式运算中最容易出现过程性错误的部分。核心是保证“每一步符号正确”。 方法总结： ① 按照“先去括号，再合并同类项”的基本步骤处理。 ② 去掉“-”号前的括号时，要做到“括号内每一项全部变号”。 ③ 括号前有数字因数时，要先利用分配律乘遍括号内各项。 ④ 多层括号按照由内到外的顺序逐层展开，展开后再统一整理同类项。 易错提醒： ① 去负号括号时只改变第一项的符号。 ② 数字因数漏乘括号内某一项。 ③ 去括号后没有重新检查各项符号，导致后续合并全部出错。 ④ 合并同类项时，把非同类项强行合并。 难点精练 9．对多项式只任意加一个括号后仍然只含减法运算并将所得式子化简，称之为“减算操作”，例如：，，给出下列说法 ①至少存在一种“减算操作”，使其结果与原多项式相等； ②不存在任何“减算操作”，使其结果与原多项式之和为； ③所有的“减算操作”共有种不同的运算结果． 以上说法中正确的个数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了新定义运算，给加括号，即可判断①；根据无论如何添加括号，无法使得的符号为负号，即可判断②；列举出所有情况即可判断③，据此即可求解，理解新定义运算是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴①正确； ∵无论如何添加括号，无法使得的符号为负号, ∴②说法正确； 共有种不同的运算结果： 第种：； 第种：； 第种：； 第种：； 第种：； 第种：； 第种：； ∴③正确； ∴正确的个数为，故选：． 10．（25-26七年级上·重庆·期末）对于多项式：，，，，用任意两个多项式求和后所得的结果，再与剩余两个多项式的和作差，并算出结果，称之为“和差操作” 例如：，，，称为一次操作．下列说法正确的个数是（   ） ①不存在任何“和差操作”，使其结果为单项式； ②只有一种“和差操作”，其结果与x的取值无关； ③所有的“和差操作”共有6种不同的结果． A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】A 【分析】本题考查了多项式的运算及对“和差操作”的理解，通过计算所有6种“和差操作”的结果，发现实际有5种不同的表达式，包括常数0，据此判断各说法的正确性． 【详解】解：设多项式，，，， 所有操作及结果： ∵ ， ， ， ， ， ∴不同结果为：，，0，，，共5种， 说法①：和结果为0（单项式），故错误； 说法②：和结果与x无关（有两种操作），故错误； 说法③：实际有5种不同结果，非6种，故错误， 综上，正确个数为0，故选：A． 11．（25-26七年级上·山东济南·阶段检测）对于4个关于x的一次二项式∶，我们定义∶取其中任意两个作差，再与剩余两个多项式的差相减，其结果称为“淬炼结果”，例如∶，则多项式便是一个“淬炼结果”．则下列结论中∶ ①存在一种“淬炼结果”为； ②x为任意整数时，所有“淬炼结果”的值都能被2整除； ③共有6种不同的“淬炼结果”． 正确的有(　　) A．①③ B．②③ C．①② D．①②③ 【答案】C 【分析】本题考查了整式的加减，根据题意，写出所有情况，计算结果，逐一进行判断即可． 【详解】解：设 由题意，共有6种情况： 第1种：； 第2种：； 第3种：； 第4种：； 第5种：； 第6种：； ∴存在一种“淬炼结果”为；故①正确； x为任意整数时，所有“淬炼结果”的值都能被2整除；故②正确； 共有5种不同的“淬炼结果”；故③错误； 故选C 12．对任意代数式，每个字母及其左边的符号（不包括括号外的符号）称为一个数，如：，其中称为“数1”，为“数2”，为“数3”，为“数4”，为“数5”，若将任意两个数交换位置，则称这个过程为“换位思考”，例如：对上述代数式的“数1”和“数5”进行“换位思考”，得到：，则下列说法中正确的个数是（    ） ①代数式进行一次“换位思考”，化简后只能得到1种结果 ②代数式进行一次“换位思考”，化简后可能得到5种结果 ③代数式进行一次“换位思考”，化简后可能得到7种结果 ④代数式进行一次“换位思考”，化简后可能得到8种结果 A．0 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】根据括号外面是“”，去括号不改变括号里面式子的符号；括号外面是“”，去括号改变括号里面式子的符号；依此即可求解． 【详解】解：在代数式中，将任意两个数交换位置，均不会改变每个数的符号，故化简后只能得到一种结果，均为，故①正确； 代数式中，有两种情况： （1）括号内四个数任意两个交换位置，化简后的结果不变，故只有一种结果，为； （2）当a分别与括号内的四个数换位思考，化简后得到4种结果分别为： ；；；． 故该代数式共得到5种结果，故②正确； 代数式中，有三种情况： （1）a与b进行换位思考以及三个数中任意两个进行换位思考，化简后只有1种结果，均为：； （2）a与分别进行换位思考，化简后得到3种结果，分别为： ； （3）b与分别进行换位思考，化简后得到3种结果，分别为：，故该函代数式共得到7种结果，故③正确； 代数式中，有三种情况： （1）b与c换位思考及d与换位思考，化简后只有1种结果：； （2）a分别与b和c换位思考，得到2种结果；分别为：； （3）a分别与换位思考，得到1种结果为，此结果重复； （4）b分别与换位思考，得到2种结果，分别为：； （5）c分别与换位思考，得到2种结果；分别为：； 故该代数式共有7种结果，故④错误； 故选：C． 难点四 整式化简与求值的综合应用 这类题目把“去括号、合并同类项、代入求值”串联起来，既考查运算能力，也考查解题顺序。通常不宜直接代入复杂原式，而应先化简。 方法总结： ① 先观察原式结构，确定需要去括号和合并的部分。 ② 按“化简→整理→代入→计算”的顺序完成。 ③ 代入负数、分数时，根据运算结构正确加括号。 ④ 化简后的式子越简单，代入计算越方便，因此应尽量减少重复计算。 易错提醒： ① 未化简就直接代入，增加计算量。 ② 字母取值代入时漏掉负号或括号。 ③ 化简过程中符号错误，导致最终结果错误。 ④ 只关注计算结果，没有检查化简后的整式是否已经合并完整。 难点精练 13．（25-26七年级下·重庆·期末）先化简，再求值：，其中、满足，． 【答案】， 【分析】先通过去括号、合并同类项对整式进行化简，再根据算术平方根、立方根、绝对值及有理数乘方的运算法则求出、的值，最后将、代入化简后的式子计算出最终结果． 【详解】解：原式 ，， 原式． 14．（25-26七年级上·江西上饶·期末）先化简，再求值：，其中． 【答案】 ； 【分析】本题主要考查了整式的化简求值、非负数的性质等知识点，掌握整式的四则混合运算法则成为解题的关键，先根据整式的四则混合运算法则化简，然后将值代入计算即可． 【详解】解：原式 ∵ ∴ ∴原式． 15．（25-26七年级上·湖北武汉·阶段检测）（1）已知，求的值． （2）已知多项式，，若为五次六项式，求m的值． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查整式加减的化简求值； （1）先去括号，再合并同类项化简，最后代入求值即可； （2）先计算出，再根据为五次六项式，求m的值即可． 【详解】（1）解：∵， ∴，， ∴，， ∴ ； （2）解：∵，， ∴ ， ∵为五次六项式， ∴和中一个是五次单项式， 当是五次单项式时，，，此时是五次六项式； 当是五次单项式时，，，此时是五次五项式，不合题意； ∴． 16．（25-26七年级上·全国·期末）已知是关于x，y的多项式，且该多项式化简后不含二次项，求代数式的值． 【答案】 【分析】本题考查多项式的定义，多项式化简求值，掌握相关知识是解决问题的关键．根据多项式化简后不含二次项求出的值，然后将所求代数式进行去括号合并同类项，最后代入的值求值即可． 【详解】解： ∵该多项式化简后不含二次项， ∴，， ∴，； ； 当，时， 原式 ． 基础达标 1．一次竞赛共有30道选择题，规定：答对一道得3分，不答或答错一道扣1分，如果某位学生答对了a道题，则用式子表示他的成绩（单位：分）为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意得出不答或答错的题数，列式可得结论． 【详解】解：由题意得，该生不答或答错了道题，则答对得分为分，扣分为分， 所以他的成绩为． 2．（26-27七年级上·江苏徐州·开学考试）某地某天凌晨的温度比上午9时的温度低，中午12时的温度比凌晨的温度高，晚上9时的温度比中午12时的温度低，若该地当天上午9时的温度记为，则当天晚上9时的温度应记为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意列式化简即可． 【详解】解：由题意得晚上9时温度为． 3．（25-26七年级下·安徽六安·阶段检测）若单项式与是同类项，则的值是（   ） A． B． C．3 D．9 【答案】C 【分析】掌握同类项“所含字母相同，相同字母的指数也相同”的定义，根据定义列方程求出a,b的值，再代入计算算术平方根即可． 【详解】由同类项的定义可知，， 解得， ． 4．（25-26七年级上·湖南湘潭·期中）代数式的值（      ） A．当时，原式 B．当时，原式 C．当时，原式 D．不论x取何值，原式都等于12 【答案】D 【详解】解：原式 ， ∴ 不论取何值，原式都等于． 5．（25-26七年级上·黑龙江七台河·期中）下列说法：①a是代数式，1不是代数式；②表示数a，b，的积的代数式是；③代数式的意义是a与4的差除以b的商；④a，b两数平方的差与两数的积的4倍的和用代数式表示是，其中正确的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】本题考查代数式的定义、书写规范及含义的理解，逐一判断各说法的正确性． 【详解】∵ 代数式是由数字、字母和运算符号组成的式子，单独的数字或字母也是代数式， ∴ 说法①中“a是代数式”正确，但“1不是代数式”错误，故①错误； ∵ 带分数在代数式中应化为假分数，应写为， ∴ 表示a，b，的积的代数式应为，而非，故②错误； ∵ 代数式的运算顺序是先求差再求商， ∴ 其含义是a与4的差除以b的商，故③正确； ∵ “两数平方的差”指，“两数的积的4倍”指， ∴ 它们的和应为，而， 两者不等，故④错误． 故选：A． 6．（25-26七年级上·吉林·期中）用文字叙述代数式的意义，下列选项表述错误的是（   ） A．x的倒数与3的差 B．x的倒数与的和 C．比x的倒数大3的数 D．比x的倒数小3的数 【答案】C 【分析】本题主要考查了代数式表示的意义，掌握代数式表示的意义是解题的关键．根据题意写出代数式，进行判断即可． 【详解】解：A、x的倒数与3的差，即 ，故A表述正确，不符合题意； B、x的倒数与的和，即 ，故B表述正确，不符合题意； C、比x的倒数大3的数，即 ，故C表述错误，符合题意； D、比x的倒数小3的数，即 ，故D表述正确，不符合题意； 故选：C． 7．如图，多边形的边上按规律排列着部分点，第1个图形中有3个点，第2个图形中有8个点，第3个图形中有15个点，第4个图形中有24个点，按照此规律，第m个图形中点的个数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了图形的规律，发现图形变化规律与图形序号的关系是解题的关键． 先根据已有图形观察、归纳图形变化规律与图形序号的关系，即可发现规律． 【详解】解：第一个图形中点数为， 第二个图形中点数为， 第三个图形中点数为， 第四个图形中点数为 …… 第m个图形中点数为， 故选：C． 8．下列结论正确的是（     ） A．单项式的系数是 B．单项式的次数是6 C．单项式没有系数 D．多项式是二次三项式 【答案】D 【分析】根据单项式系数为单项式的数字因数，单项式次数为所有字母的指数和，注意是常数不是字母，多项式的次数为最高次项的次数，项数为单项式的个数，逐一判断选项即可． 【详解】解：A、单项式的系数是，不是，结论错误； B、单项式中字母的指数是，的指数是，总次数为，不是，结论错误； C、单项式的系数是，不是没有系数，结论错误； D、多项式 有、、共三项，最高次项的次数是，是二次三项式，结论正确． 9．（2026·云南昆明·模拟预测）按一定规律排列的多项式：，，，，，…，第n个多项式是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题为规律探究题，将多项式拆分为含x的项和含y的项，分别找出两项指数随n变化的规律，即可得到第n个多项式． 【详解】解：∵第1个多项式中，x的指数为，第2个多项式中，x的指数为，第3个多项式中，x的指数为…… ∴第个多项式中，x的指数为，即含x的项为． ∵第1个多项式中，y的指数为，第2个多项式中，y的指数为，第3个多项式中，y的指数为…… ∴第个多项式中，y的指数为，即含y的项为． 综上，第n个多项式为． 10．（25-26七年级上·重庆合川·期末）下列说法正确的有（   ）个 ①单项式x的系数和次数都是0； ②的次数是11； ③多项式是由1，，三项组成； ④在，，中整式有2个． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】本题考查单项式的系数和次数、多项式的次数和项、整式的定义，需逐一判断各说法的正确性． 【详解】解：单项式x的系数是1，次数是1，①说法错误； 多项式中，最高次项次数为4，因此该多项式的次数是4，②说法错误； 多项式是由1，，三项组成，③说法错误； 在，，中，，是整式，共2个整式，④说法正确； 故正确的说法有1个， 故选：A． 能力进阶 11．（25-26七年级上·江苏南京·开学考试）古希腊著名的毕达哥拉斯学派把1、3、6、10、15、21…这样的数称为“三角形数”，而把1、4、9、16、25、36…这样的数称为“正方形数”．从图中可以发现，任何一个大于1的“正方形数”都可以看作两个相邻的“三角形数”之和．下列等式中，不符合这一规律的是（     ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据给定的部分“三角形数”和“正方形数”找出“三角形数”可看成从1开始几个连续自然数的和以及“正方形数”可看成某个自然数的平方，依此规律逐一分析四个选项中的三个数是否符合该规律，由此即可得出结论． 【详解】解：A、9和16不是三角形数，该选项符合题意； B、， 该选项不符合题意； C、， 该选项不符合题意； D、； 该选项不符合题意． 12．（25-26七年级上·湖南湘潭·期末）若多项式是关于的二次二项式，则________． 【答案】 【分析】根据二次二项式的定义，最高次数为，且多项式只含两项，据此确定和的值，再计算即可． 【详解】解：∵多项式是关于的二次二项式． ∴多项式的最高次数为，可得． ∵多项式为二项式，即总共只有个非零项，最高次项系数，常数项． ∴一次项的系数为，即， 解得． ∴． 13．已知 ， ，则 _____________． 【答案】 【分析】根据，，可得，，再进一步代入求解即可． 【详解】解：∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴． 14．（25-26七年级上·陕西咸阳·期末）若关于x、y的多项式的次数是3，项数是2，则的值为_______． 【答案】 【分析】根据多项式的次数和项数，列出方程求解和的值． 本题考查了多项式的项数和次数，掌握基本概念是解题关键． 【详解】解：由题可知次数为3， 则第一项的次数， 解得, 由项数为2，且第一项系数3和第三项系数1均不为零， 故第二项系数， 解得, 因此, 故答案为． 15．（25-26七年级上·四川乐山·期末）把多项式，按的降幂排列为_______________． 【答案】 【分析】本题考查多项式的降幂排列，把多项式按的降幂排列就是把多项式中的单项式按的指数从高到低排列． 【详解】解：把多项式，按的降幂排列， 可得：． 故答案为：． 16．化简：已知，，且，求的值． 【答案】 【分析】计算，将和的表达式代入，展开括号后合并同类项，再代入已知条件，即可求解． 【详解】解： ， 代入，可得：． 17．（26-27七年级上·全国·课后作业）根据下列各组x、y的值，分别求出代数式和的值： (1)； (2)． 【答案】(1)， (2)， 【详解】（1）解：当时， ； ． （2）解：当，时， ； ． 18．（25-26七年级上·安徽安庆·期末）已知，，，，求的值． 【答案】 【分析】根据整式的加减运算法则计算即可得出结果． 【详解】解：∵，，， ∴ ． 19．（25-26七年级上·河北张家口·期末）“整体思想”是数学解题中的一种重要的思想方法，它在多项式的化简与求值中应用很广泛．例如，我们把看成一个整体，则． (1)化简：________； (2)若，则________； (3)若 求 的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了合并同类项，代数式求值，利用整体思想求解是解题的关键． （1）把看成一个整体，利用合并同类项的法则求解即可； （2）把所求式子变形为，再把看成一个整体，利用合并同类项的法则化简，最后代入求值即可； （3）把所求式子变形为，再代入求值即可． 【详解】（1）解： ； （2）解：∵， ∴ ； （3）解：∵ ∴ ． 20．如果多项式的值与x的取值无关，且该多项式的次数是三次．求m，n的值． 【答案】， 【详解】解：原式 ； ∵多项式的值与x的取值无关，且该多项式的次数是三次， ∴， ∴，． 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $