第4章 代数式 单元复习讲义2026—2027 学年浙教版数学七年级上册-

该初中数学代数式单元复习讲义通过思维导图系统构建知识体系，涵盖列代数式、代数式的值、整式、合并同类项及整式加减等核心内容，用表格归纳书写规范、同类项判断等要点，呈现从具体到抽象的递进关系与内在逻辑。 讲义亮点在于分层练习设计，基础题巩固定义应用，中等题强化整体代入与规律探究，优质题提升综合思维，如“用代数式表示立体图形并求值”题培养几何直观与模型意识，助力不同层次学生提升运算能力与推理意识，为教师精准教学提供支持。

第4章 代数式 思维导图 4.1 列代数式 代数式是初中代数的基础，是从具体数字运算过渡到抽象符号运算的核心转折点，列代数式就是用含有数、字母和运算符号的式子来表示实际问题中的数量关系。 1. 用字母表示数 用字母表示数可以简洁地表达数学规律、数量关系和公式，具有一般性，核心要点包括： · 任意性：字母可以表示任意一个数，既可以表示正数也可以表示负数和0，不能默认字母一定表示正数。例如a可以是-2，此时-a就是正数。 · 确定性：当字母的取值确定后，对应的数量也就有唯一确定的值与之对应。例如已知a=3，那么a+2的值就是5。 · 限制性：字母的取值要保证实际问题和代数式本身有意义。例如表示人数的字母只能取非负整数，表示长方形边长的字母只能取正数，在分式中a不能取0。 2. 代数式的定义 像、、、这样由数、表示数的字母和运算符号连接而成的式子叫做代数式，单独一个数或者一个字母也叫做代数式。这里的运算符号包括加、减、乘、除、乘方和开方，不包括等号、不等号这类关系符号，因此、都不是代数式。 3. 列代数式的书写规范 · 数字与字母相乘时，乘号通常省略不写，或者写成“·”，并且数字要写在字母的前面；例如应该写成或者，不能写成。 · 字母与字母相乘时，乘号省略，相同字母相乘要写成幂的形式；例如写成，写成。 · 带分数与字母相乘时，要先把带分数化成假分数；例如应该写成，不能直接保留带分数形式。 · 除法运算要写成分数的形式；例如写成，写成。 · 代数式表示和差关系且后面带单位时，要把代数式整体用括号括起来；例如米，不能写成米。 4. 常见数量关系的列法 · 和差倍分问题：比a大3的数是，比a的2倍小5的数是，a与b的平方和是，a与b和的平方是，注意区分运算顺序。 · 行程问题：路程，速度，时间，相遇问题总路程等于两者路程和，追及问题路程差等于初始距离。 · 面积体积问题：例如长方形长为a宽为b，面积；正方体棱长为a，体积；圆环外半径R内半径r，面积。 4.2 代数式的值 1. 代数式的值的定义 用数值代替代数式里的字母，按照代数式中指明的运算顺序计算得出的结果，叫做代数式的值。 代数式的值由代数式中字母的取值决定，字母取值不同，对应的代数式的值一般也不同，当字母取值确定后，代数式的值也就唯一确定。 2. 求代数式的值的步骤 · 第一步：代入，先明确字母对应的取值，将数值替换对应字母，替换时要注意还原省略的乘号，负数和分数代入乘方运算时要加上括号。例如当时，计算要写成，不能写成。 · 第二步：计算，按照有理数的运算法则和运算顺序计算出结果，先乘方、再乘除、最后加减，有括号先算括号内的。 3. 整体代入求值 当无法直接求出每个字母的具体值，或者直接代入计算繁琐时，可以把一个代数式看作一个整体，代入到另一个代数式中求值，这是本章常见的考察题型。例如已知，求的值，可以直接把整体代入，得到，不需要单独求出x和y的值。 4. 代数式求值的实际意义 可以通过代入实际问题中变量的取值，得到对应的结果，解决实际问题；同时也可以观察不同取值下代数式的值的变化规律，推测问题的发展趋势，做出合理决策。例如在计算租车费用的代数式中，代入不同人数就可以得到对应总费用，选择更便宜的方案。 4.3 整式 整式是代数式中最基础的一类，分为单项式和多项式两类。 1. 单项式 · 定义：由数与字母或字母与字母相乘组成的代数式叫做单项式，单独一个数或一个字母也叫做单项式，例如、、都是单项式，分母中含有字母的代数式不是单项式，例如不是单项式。 · 系数：单项式中的数字因数叫做这个单项式的系数，例如的系数是，的系数是，的系数是，注意系数包括前面的符号，当系数是1或-1时，1通常省略不写。 · 次数：一个单项式中，所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数，例如中x的指数是2，y的指数是1，所以次数是，这是一个三次单项式；单独一个非零数的次数是0，例如5的次数是0。 2. 多项式 · 定义：由几个单项式相加组成的代数式叫做多项式，多项式中的每个单项式叫做多项式的项，不含字母的项叫做常数项，多项式有几项就叫做几项式，例如有三项，分别是、、，常数项是5，是一个三项式，注意项包括前面的符号。 · 次数：多项式里次数最高项的次数就是这个多项式的次数，例如中最高次项是，次数是3，所以这个多项式是三次三项式，注意多项式的次数不是所有项次数的和，只是最高项的次数。 · 命名：多项式通常按照“几次几项式”命名，例如是二次二项式。 3. 整式的定义 单项式和多项式统称为整式，判断一个代数式是不是整式，核心看分母是否含有字母：分母不含字母的代数式是整式，分母含有字母的代数式不是整式。例如是整式，不是整式。 4. 多项式的排列 通常会按照某个字母的指数从大到小或者从小到大排列多项式，叫做按这个字母的降幂排列或者升幂排列。例如把多项式按x的降幂排列为，排列时要注意带着项的符号一起移动位置。 4.4 合并同类项 1. 同类项的定义 所含字母相同，并且相同字母的指数也分别相同的项叫做同类项，几个常数项也是同类项。 同类项的判断要点：两个“相同”——所含字母相同，相同字母的指数相同；两个“无关”——与系数无关，与字母的排列顺序无关。例如和是同类项，和不是同类项，因为x和y的指数都不相同。 2. 合并同类项的定义 把多项式中的几个同类项合并成一项，叫做合并同类项。合并同类项的本质是逆用乘法分配律，将同类项的系数相加，字母和字母的指数保持不变。 3. 合并同类项的法则 同类项的系数相加，所得结果作为新的系数，字母和字母的指数保持不变，简记为“一加两不变”：系数相加，字母不变，字母的指数不变。 注意：如果两个同类项的系数互为相反数，合并后结果为0，例如；不是同类项不能合并，只能保留原式。 4. 合并同类项的步骤 · 第一步：找，准确找出多项式中的所有同类项，可以给不同的同类项标记不同的符号，避免出错。 · 第二步：移，利用加法交换律和结合律，把同类项移动到一起，移动时要带着项的符号一起移动。 · 第三步：并，按照合并同类项的法则合并同类项，写出合并后的结果。 4.5 整式的加减 1. 去括号法则 去括号是整式加减的基础，核心法则是： · 如果括号前面是“+”号，去括号后括号里各项的符号都不改变，例如。 · 如果括号前面是“-”号，去括号后括号里各项的符号都要改变，例如。 当括号前面有数字系数时，要将系数乘括号里的每一项，不要漏乘，并且可以先把系数乘进去再去括号，或者利用乘法分配律直接展开。例如，，注意符号不要出错。 2. 添括号法则 · 添括号时，如果括号前面添的是“+”号，括到括号里的各项都不改变符号，例如。 · 添括号时，如果括号前面添的是“-”号，括到括号里的各项都改变符号，例如。 添括号的正确性可以用去括号法则验证，去括号和添括号是互逆的变形过程。 3. 整式加减的运算法则 整式加减的本质就是合并同类项，一般步骤是：如果有括号，先去括号，然后再合并同类项，最后结果中不能再有同类项。 计算过程中需要注意的问题： · 去括号时要准确判断各项符号，括号前是负号时所有项都要变号，不要只改变第一项的符号。 · 括号前有系数时，系数要和括号内每一项都相乘，不要漏乘常数项。 · 合并同类项时要找全所有同类项，不要漏项，结果要按照某一个字母的降幂或升幂排列。 4. 整式加减的应用 整式加减可以用来解决实际问题中的数量计算，比如求图形的周长、面积，解决销售利润问题、方案选择问题等，基本步骤是：先根据题意列出代数式，再通过去括号、合并同类项化简，最后代入求值得到结果。 例如求两个多项式的和或者差，列式时要注意把两个多项式分别用括号括起来，再进行加减，比如求与的差，应该列式为，不能写成，避免符号错误。 5. 化简求值题型步骤 先对整式进行去括号、合并同类项化简，得到最简结果后，再代入字母的值进行计算，不要直接代入计算，直接计算会增加运算量，更容易出错。例如已知，求的值，先化简得到，再代入得到。 【类型一】代数式的定义与书写 1．有下列式子：①；②；③；④；⑤；⑥；⑦，其中代数式有（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 2．下列各式中：①；②；③人；④；⑤．其中符合代数式书写要求的个数有(    ) A．3个 B．2个 C．1个 D．0个 3．下列各式：①；②；③；④；⑤，其中符合用字母表示数的书写要求的是________．（填序号） 【类型二】用代数式表示数 1．，两数的平方差用代数式可表示为（     ） A． B． C． D． 2．三个连续的偶数，最大的一个是A，则最小的一个是（     ） A．A B． C． D． 3．忻州五台山台蘑种植基地种植100公顷台蘑，原计划每公顷收获台蘑，后因暴雨使总产量减产，则最终收获台蘑的总质量为________kg．（用含的代数式表示） 【类型三】代数式的实际意义 1．下列说法中，不能表示代数式“”意义的是（ ）． A．的倍 B．与的积 C．个相加的和 D．个相乘 2．元旦期间，某服装店举办“折上再打折”促销活动．若某套衣服原价元，现价元，则下列说法正确的是（    ） A．原价先减50元，再打六折 B．原价先打六折，再减50元 C．原价先减50元，再打四折 D．原价先打四折，再减50元 3．已知一个足球的价格是a元，则代数式“”表示的实际意义为_________． 【类型四】已知字母计算代数式的值 1．当时，代数式的值是（     ） A． B． C．2 D．12 2．已知，当时，；当时，；当时，的值是（   ） A． B． C． D． 3．若有理数a，b满足，则______． 【类型五】单项式与多项式的定义 1．在代数式，，，中，单项式的个数是（     ） A．个 B．个 C．个 D．个 2．式子：，，，，，0中，是整式的有（    ）个 A．6 B．5 C．4 D．3 3．已知代数式：①0，②，③，④，⑤，⑥，⑦，⑧，⑨．其中属于单项式的有__；属于多项式的有__．（填序号） 【类型六】单项式的系、次数 1．单项式的系数是（     ） A． B． C． D． 2．下列关于单项式的说法中，正确的是（    ） A．系数是3，次数是2 B．系数是，次数是 2 C．系数是 ，次数是 3 D．系数是，次数是 3 3．a2b的系数是 _________，次数是 _________． 【类型七】多项式的项、次数 1．如果是关于x，y的四次三项式，那么（     ） A． B．或3 C．3 D． 2．对于多项式，这个多项式的次数是（     ） A．0 B．1 C．2 D．3 3．多项式的最高次项的系数为_____，常数项为_____． 【类型八】同类项的定义及求参 1．下列各对单项式是同类项的是（    ） A．与 B．与 C．与 D．3与 2．若与是同类项，则的值为（     ） A．2 B．4 C．8 D．16 3．若单项式与是同类项，则___________，___________． 【类型九】用代数式表示立体图形并求值 1．如图，在一张宽为10，长为20的长方形纸片的四个角剪去四个同样大小的小正方形，可以折成一个无盖的长方体，且无盖长方体的底面为长方形（纸板厚度及剪切接缝处损耗忽略不计）． (1)若设剪去小正方形的边长为，则折成无盖长方体纸盒的底面长为_________，宽为_________，体积为_________（用含x的代数式表示，结果无需化简）； (2)剪去小正方形的边长分别取时，折成无盖长方体的容积如下表，表中_________，_________，观察表格数据，当剪去的小正方形的边长变大时，折成的无盖长方体盒子容积的变化情况是_________． 剪去小正方形的边长 1 2 3 4 容积/ 144 a b 96 2．钢城区高铁站有为旅客提供打包服务的项目．现有一个长、宽、高分别为，，的箱子(其中)，准备采用如图①、②的两种打包方式，所用打包带的总长(不计接头处的长)分别记为． (1)求图①中打包带的总长、图②中打包带的总长分别是多少？(用含的式子表示)； (2)当时，计算两种打包方式用打包带总长各是多少？并判断哪一种打包方式所用打包带更节省． 3．在数学活动课上，老师让同学们制作了一些边长为的正方形纸片，并要求各个小组利用这些纸片研究数学问题． 【设计方案】 （1）勤勉小组提出：将如（1）图所示的纸片的四个角各剪去一个边长为的正方形，得到图（1）中的阴影部分，请计算阴影部分的面积 （用含的式子表示），并求出当时，阴影部分的面积________； （2）创新小组将图（1）中的阴影部分折成一个无盖的长方体盒子，如图（2），设长方体的容积为，若用含有的代数式表示，则________． 【实施方案】根据（2）中结果，填写下表： （3）先补全表格，再观察表格中容积的值是否随值的增大而增大？此时当取什么整数值时，容积的值最大？ 【评估反思】课后小英同学继续对这个问题作了以下探究： 当时，；当时，； 当时，；当时，． 小英同学发现使最大的的取值一定介于和之间，估计的取值还能更精确些，小英再计算时，发现的值还在逐渐增大． （4）现请你也观察数据变化，能否推测可以取到哪一个定值，容积的值最大？最大值是多少？ 【类型十】合并同类项(含去括号) 1．化简 (1) (2) 2．合并同类项： (1)； (2)． 3．化简： (1)； (2)． 【类型十一】整式的加减 1．已知，且，求． 2．已知多项式，． (1)化简：； (2)直接写出下列条件下的值． ①； ②． 3．已知多项式，． (1)求； (2)如果，，求的值． 【类型十二】化简求值 1．先化简，再求值：，其中． 2．化简求值 (1)，其中 (2)，其中 3．先化简再求值：，其中，． 【类型一】升、降幂排列 1．把多项式按的升幂排列为（） A． B． C． D． 2．把多项式按的降幂排列正确的是（    ） A． B． C． D． 3．把多项式按字母的降幂排列是__________． 【类型二】整体代入求值 1．已知，则代数式的值是（     ） A． B． C． D． 2．已知，则代数式的值为（    ） A． B． C． D． 3．若，则_____________． 【类型三】程序流程图 1．按照如下程序，输入x的值并计算．规定从“输入一个数x”到“判断结果是否大于0”为一次程序操作．若输入9，程序输出的值为（   ） A．73 B．75 C．72 D．70 2．按如图所示的程序计算：若开始输入的值为4，则最后输出的结果是（     ） A．40 B．95 C．112 D．160 3．根据如图所示的计算程序计算变量y的值，若输入，时，则输出y的值是_______． 【类型四】不含某项、与某项无关 1．若代数式中不含项，则的值为（    ） A．0 B．3 C． D． 2．定义一种新运算：．如：．若的值与的取值无关，则的值为（    ） A． B． C．6 D． 3．若多项式（m，n为常数），无论x取何值代数式的值不变，则___________，___________． 【类型五】绝对值在数轴中的化简 1．有理数，在数轴上对应点的位置如图所示，结合数轴化简的结果是（   ） A． B． C． D． 2．有理数a，b，c在数轴上对应的点的位置如图所示，化简：的值为（   ） A．c B． C． D． 3．数a、b、c在数轴上对应的位置如图，化简的结果为__________． 【类型六】数的规律 1．按照一定规律排列的代数式：，，，，…，第个代数式是（    ） A． B． C． D． 2．观察下列一组代数式：，根据该组代数式的排列规律，可推断出第（为正整数）个代数式是_____． 3．观察下列各式： ……………………①； ……………………②； ……………………③； …… 探索以上式子的规律： (1)写出第5个等式：___________； (2)写出第个等式：___________； (3)计算… 【类型七】图形的规律 1．如图，用长度相同的木棍拼图案，其中第1个图案用了9根木棍，第2个图案用了14根木棍，第3个图案用了19根木棍，第4个图案用了24根木棍…按此规律排列下去，则第8个图案需要木棍的根数是（     ） A．44 B．49 C．54 D．59 2．如图是一组有规律的图案，第1个图中有4个小黑点，第2个图中有7个小黑点，第3个图中有12个小黑点，第4个图中有19个小黑点……，以此规律，第n个图中有2028个小黑点，则n的值为______． 3．如图，是的直径，把分成几条相等的线段，以每条线段为直径分别画小圆，设，那么的周长． 【探究】 (1)把分成两条相等的线段，每个小圆的周长__________； (2)把分成三条相等的线段，每个小圆的周长__________； (3)把分成条相等的线段，每个小圆的周长__________； (4)当把大圆直径平均分成等分时，以每条线段为直径画小圆，那么每个小圆的面积与大圆的面积的关系是：__________． 【类型八】月历日期问题 1．数学活动：月历中的奥秘 同学们，大家一定很熟悉月历吧！你们知道吗？月历中有很多奥秘，下面就让我们一起来探索吧！ 图1是某月的月历，请仔细观察并思考下列问题： (1)阴影方框中的9个数的和与方框正中心的数有什么关系？你能证明一下吗？ (2)如图2，如果带阴影的方框里的数是4个，请直接写出你发现的结论． 2．幻方起源于中国，月历常用于生活，它们有很多奥秘，探究并完成填空． 主题：探究月历与幻方的奥秘 活动一：图1是2026年3月的月历，用平行四边形框选取了其中的9个数 活动二：移动平行四边形框，选取月历中的9个数；将其放入的正方形网格中，并调整它们的位置，使其满足“三阶幻方”分布规律：每一横行、每一竖列以及两条斜对角线上的三个数的和都相等． (1)移动平行四边形框，若框中的部分数如图2所示，则是__________，是__________； (2)移动平行四边形框，若框中的部分数如图3所示，则是__________，是__________；（注：用含的代数式表示和）． (3)若平行四边形框选取的数如图4所示，调整后，部分数的位置如图5所示，则是___________，是___________； (4)若平行四边形框选取的数中最小的数是，调整后，部分数的位置如图6所示，则是___________（用含的代数式表示g）． 3．如下图，是2025年10月的月历： (1)小天用一个“工”形框在上面的月历中框出7个数，移动“工”形，若框出的7个数如下图所示，直接写出________，________； (2)小津用一个“H”形框在上面的月历中也框出7个数，移动“H”形，若框出的7个数如下图所示，请用含的代数式表示________，________； (3)小天框出的7个数中间的一个记为，7个数之和记为；小津框出的7个数中间一个记为，7个数之和记为．当时，________（填“>”“<”或“=”）； (4)小天说自己算出的7个数的和可能为：①50，②56，③112，④147，其中正确的有________（填序号）； (5)将上面“工”形，“H”形两个框的中心重合后，形成一个框住9个数的方框．移动方框选取月历中的9个数，调整它们的位置，使其满足“三阶幻方”分布规律：每一横行、每一竖列以及两条斜对角线上的三个数的和都相等．如下图所示，若方框选取的数中最小的数是，调整后，部分数的位置如下图所示，则用含的代数式表示________． 【类型九】收费问题 1．学校组织学生到远的科技馆参观，李明因事没能搭上学校的包车．于是准备坐出租车前往．出租车的收费标准如下：以内（含）收费10元；超过的每增加另收费2元．问： (1)若出租车行驶的路程为，则收费 元； (2)若出租车行驶的路程为（且x为整数），用含x的式子表示收费； (3)李明身上仅有25元，够不够支付到科技馆的车费？请说明理由． 2．为保护地球，节约资源，某市天然气采用阶梯收费，关注社情的滨滨同学从市天然气公司看到这样一张价目表： 用气类别 年用气量 单价（元/） 备注 第一档 年用气量 人口超过4人的家庭，每增加1人，第一、二档年用气量上限分别增加、 第二档 年用气量 第三档 年用气量 滨滨一开始看不明白，公司员工举了一个例子：若某三口之家年用气，则收费元．聪明的同学请跟滨滨一起解决下列问题吧！ (1)若某三口之家1年用气，则应收费多少元？若另一三口之家该年用气，则应收费多少元？ (2)若某三口之家该年用气（其中），则应收费多少元？（结果用含的代数式表示） (3)若某三口之家和五口之家该年用气量均为（其中），则这两户人家用气费相差多少元？（结果用含的代数式表示） 3．某出租车公司推出A专车和B快车两种出租车，它们的收费方式如下． A专车：3千米以内收费10元，超过3千米的部分每千米收费2.5元，不收其他费用； B快车： 计费项目 起步价 里程费 远途费 计费价格 8元 2元/千米 1元/千米 注：车费由起步价、里程费、远途费三部分组成，其中起步价包含里程2千米；里程大于2千米的部分按计价标准收取里程费；远途费的收取方式为：行车不超过12千米，不收远途费，超过12千米的，超出的部分每千米加收1元． (1)如果乘车路程是3千米，使用A专车出行，需支付的费用是 元；使用B快车出行，需支付的费用是 元； (2)如果乘车路程是10千米，使用A专车出行，需支付的费用是 元；使用B快车出行，需支付的费用是 元； (3)如果乘车路程是x（）千米，使用A专车出行，需支付的费用是 元；使用B快车出行，需支付的费用是 元（用含x的式子表示）； 【类型一】阴影部分问题 1．如图，长为，宽为的大长方形被分割为7小块，除阴影A，B外，其余5块是形状、大小完全相同的小长方形，其较短的边长为，下列说法中正确的有（    ）． ①小长方形的较长边为； ②阴影A的较短边为； ③若为定值，则阴影B的周长为定值； ④当且时，阴影A和阴影B的面积和为． A．①② B．①③ C．①③④ D．①④ 2．如图，把四张大小相同的长方形卡片（如图1所示）分别按图2、图3两种方式放在一个底面为长方形（长比宽多）的盒底上，底面未被卡片覆盖的部分用阴影表示，若记图2中阴影部分的周长为，图3中阴影部分的周长为，则（    ） A． B． C． D． 3．如图，图①和图②是两个形状、大小完全相同的大长方形，在每个大长方形内放入六个大小相同的小长方形，阴影区域是空下来的地方，已知大长方形的长比宽多5，记图①中阴影区域周长为，图②中阴影区域周长为，则_____． 【类型二】操作问题 1．“回头差”游戏，对依次排列的两个整式m，n按如下规律进行操作：第1次操作后得到整式串；第2次操作后得到整式串；第3次操作后……其操作规则为：每次操作增加的项，都是用上一次操作得到的最末项减去其前一项的差．则该“回头差”游戏第2026次操作后得到的整式串各项之和是（   ） A． B．6 C． D．0 2．有依次排列的两个整式：x，对任意相邻的两个整式，都用左边的整式减去右边的整式，所得的差写在这两个整式之间，可以产生一个新的整式串：x，3，这称为第一次操作：将第一次操作后的整式串按上述方式再做一次操作，可以得到第二次操作后的整式串：x，，3，，以此类推，通过实际操作，小红同学得到以下结论：①第二次操作后，当时，所有整式的积为负数；②第四次操作后整式共有17个；③第n次操作后整式共有个整式（其中n为正整数）；④第2024次操作后，所有整式的和为，四个结论中正确的个数有（   ） A．4 B．3 C．2 D．1 3．对于数2进行如下操作： 第1次操作：把2加上3，得到数5；第2次操作：把5减去5，得到数0； 第3次操作：把0加上7，得到数7；第4次操作：把7减去9，得到数； 当为奇数时，第次操作就是把前一次操作得到的数加上；当为偶数时，第次操作就是把前一次操作得到的数减去，则第6次操作得到数是______，第2023次操作得到数是______． 【类型三】行列排序问题 1．杨辉三角是我国古代数学的重要成就，其结构如下： 我们把杨辉三角的行从上到下依次记为第行、第行、第行……，把每行的数从左到右依次记为第个数、第个数……．下列说法： ①第行中间的数是； ②第行所有数的和比第行多； ③第行所有数的和为； ④第行第个数与第行第个数相等． 其中正确的个数是（     ）． A． B． C． D． 2．观察下面三行数： 第①行：1，3，5，7，9，11，…… 第②行：2，4，6，8，10，12，…… 第③行：1，4，9，16，25，36，…… 设，，分别为第①，②，③行的第20个数，则的值为（   ） A．799 B．800 C．801 D．803 3．如图，将正整数按以下规律排列： 第一列 第二列 第三列 第四列 第五列 … 第一行 1 4 5 16 17 … 第二行 2 3 6 15 … … 第三行 9 8 7 14 … … 第四行 10 11 12 13 … … 第五行 … 表中数1在第一行第一列，与有序数对对应，2在第二行第一列，与有序数对对应，数9与对应，数10与对应，…，根据这一规律，数对应的有序数对为________． 【类型四】整除问题 1．进位制是人们为了计数和运算方便而约定的计数方式，约定逢十进一就是十进制，在日常生活中，我们最熟悉、最常用的就是十进制．当我们学完《用字母表示数》以后，发现用字母表示数简洁明了，具有普遍性和概括性，可以揭示一般规律和本质，也可以进行代数推理和证明． (1)我们常用表示一个十位数字为a，个位数字为b的两位数，即用代数式表示，类似的，请你用代数式表示三位数______． (2)在小学中，我们知道一个自然数的所有数位上的数字之和能被3整除，那么这个自然数就能被3整除．例如：一个两位数，若能被3整除，则这个两位数就能被3整除，理由如下： 证明：， 因为9a中有因数3且a为整数， 所以9a能被3整除， 因为能被3整除，所以能被3整除， 即能被3整除． 请用类似的方法说明：若能被9整除，则三位数就能被9整除． (3)请选出三位数能被11整除的条件是______． A．能被11整除； B．能被11整除； C．能被11整除； D．能被11整除； 在此条件下，交换这个三位数的个位数字与百位数字后得到的新三位数能否被11整除，请说明理由． 2．综合与探究 【问题情境】一般地，如果一个自然数的所有数位上的数字之和能被3整除，那么这个自然数就能被3整除．比如：若一个两位数的十位、个位上的数字分别为，则通常记这个两位数为．于是．显然能被3整除，因此，如果能被3整除，那么就能被3整除，即能被3整除． 【类比探究】已知三位数． （1）请用含的代数式表示三位数：___________； （2）小军说：“若能被3整除，则三位数就能被3整除．”请判断他的说法是否正确，并说明理由； 【类比拓展】判断一个三位整数能否被7整除，只需看去掉这个数的末位数字后，所得到的数与此末位数字5倍的和能否被7整除，如果这个和能被7整除，则原数就能被7整除． 比如：三位数去掉末位数字得两位数，再用加上的5倍所得的和为．若能被7整除，则能被7整除． （3）请你对“若能被7整除，则能被7整除”说理． 3．小学已经学过自然数被3整除的规律，即如果一个自然数所有数位之和能被3整除，那么这个自然数就能被3整除．在课堂中，同学们完成了三位数被3整除规律的证明，证明过程如下： 设一个三位数的百位数字为a，十位数字为b，个位数字为c，且这个三位数记为， 因为， 其中能被3整除， 所以，只要能被3整除，那么就能被3整除． 学习结束后，小颖同学继续探究三位数被7整除的规律，她采用归纳的策略，先列举一些简单的三位数，如182，364，576，…等，她发现了如下特征： 182能被7整除，则有，14能被7整除； 364能被7整除，则有，28能被7整除； 576不能被7整除，则有，45不能被7整除； …… (1)类比例子中的特征，下列能被7整除的是______； ①371；②457；③756． (2)小颖根据以上探究过程，猜想：一个三位数记为，如果______可以被7整除，那么就能被7整除（请用含a、b、c的代数式表示）； (3)若三位数能被7整除，直接写出m的值． 【类型五】代数式的整体思想 1．我们知道：，同理，若我们把看成一个整体，则有．这种解决问题的方法渗透了数学中的“整体思想”，“整体思想”是中学数学解题中的一种重要的思想方法，其应用极为广泛．请运用“整体思想”解答下面的问题： (1)把看成一个整体，合并； (2)已知：，求代数式的值； (3)已知，，，求的值． 2．我们知道：，类似地，若我们把看成一个整体，则有：．这种解决问题的方法渗透了数学中的“整体思想”．“整体思想”是中学数学解题中的一种重要的思想方法，其应用极为广泛．请运用“整体思想”解答下面问题： (1)把看成一个整体，合并； (2)已知：，求代数式的值； (3)已知，，，求的值． 3．“整体思想”是数学解题中一种重要的思想方法，其核心是将相关问题或部分看作一个整体，通过整体的代入、运算或转化，简化求解过程．“整体思想”在多项式的化简与求值中应用较为广泛，如下图是一道可利用“整体思想”解答的拓展题． 【阅读理解】 因为 所以 所以 所以代数式的值为21 【方法运用】 （1）若代数式的值为，求代数式的值； （2）当时，代数式的值为10，求当时，代数式的值； 【拓展应用】 （3）若，求的值． 【类型六】代数式的变化规律 1．为探索代数式与的值的变化情况，小亮通过填写下表，获得了相应的结论． x … 0 1 2 3 4 … … m 0 2 4 … … 9 8 7 6 5 n 3 2 1 … (1)根据表中信息可知：_______，________； (2)表中的值随着x的变化而变化的规律是：x的值每增加的值就随之增加2．类似地，的值随着x的变化而变化的规律是：________； (3)请写一个与具有相同变化规律的多项式________． 2．代数式是表示数量变化规律的重要形式．一般地，代数式的值随着代数式中字母取值的变化而变化，观察表格： x … 0 1 2 … … 0 a … … b 0 2 … … 1 3 5 … 【初步感知】 (1)根据表中信息可知：___________；___________． 【归纳规律】 (2)表中的值随着x的变化而变化的规律是：x的值每增加1，的值就减少1．类似地，的值随着x的变化而变化的规律是：___________； (3)观察表格，下列说法错误的有___________（填序号）； ①当时，； ②当时，； ③当时，； ④当时，． 【应用迁移】 (4)若已知的值总是大于的值，请直接写出x的取值范围． 3．根据下表，回答问题： … 0 1 2 3 … … 4 3 2 1 0 … … 9 4 1 0 1 9 … (1) ， ； (2)①代数式的值随着的值增大而 （填“增大”或“减小”）； ②观察的值随取值变化的规律，写一个具有相同变化规律的多项式 ； (3)比较和的大小，直接写出结果． 【类型七】代数式的归纳 1．阅读材料，完成填空： 你能比较 和 的大小吗？ 为了解决问题，先把问题一般化，即比较 和 的大小（n大于或等于1，且n为正整数），然后从分析，2，3，…这些简单的情形入手，从中发现规律，经过归纳、猜想得出结论． (1)通过计算，在横线上填“>”“<”或“=”． ①______；　　②______； ③______；　　④______； ⑤______；　　⑥______； ⑦______；　　　…… (2)由第（1）题的结果经过归纳，可以猜想和 的大小关系是______； (3)根据上面的归纳、猜想得到一般性结论，可以得到_____．（填“>”“<”或“=”） 2．阅读理解 通过对现象的观察、分析，从特殊到一般的探索这类现象的规律、提出猜想的思想方法称为归纳．例如，运用归纳法探求如下规律： 三角形有3个顶点，如果在它的内部再画个点，并以个点为顶点画三角形，那么最多可以剪得多少个这样的三角形？ 为了解决这个问题，我们可以从、、等具体的、简单的情形入手，探索最多可以剪得的三角形个数的变化规律． 三角形内点的个数 图形 最多剪出的小三角形的个数 1 3 2 5 3 7 …… …… …… (1)通过观察、比较，可以发现： ，， 即三角形内的点每增加1个，最多可剪得的三角形增加______个； (2)猜想，当三角形内的点的个数为时，最多可以剪得_____个三角形． 请你尝试用归纳的方法探索：的和是多少？ 3．数形结合是解决数学问题的一种重要的思想方法，初中数学里的代数公式，很多都可以借助几何图形进行直观推导和解释． 【方法初探】 （1）例如：求…的值（其中是正整数）．方案如下：如图，斜线左边的三角形图案是由上到下每层依次分别为，，，…，个小圆圈排列组成的．而组成整个三角形小圆圈的个数恰为所求式子的值．为求式子的值，现把左边三角形倒放于斜线右边，与原三角形组成一个平行四边形．此时，组成平行四边形的小圆圈共有 行，每行有 个小圆圈，所以组成一个三角形小圆圈的个数为 ； 【探索归纳】 （2）下面我们将利用数形结合尝试求的值（其中是正整数）．请你仔细观察图，找出图形与算式之间的关系，解决下列问题： ①探索规律：根据前面的规律，第（）个图形可以表示的等式为 ； ②归纳结论：则 （结果用含n的代数式表示）； 【拓展应用】 （3）求的值． 【类型八】代数式的新定义应用 1．定义：若一个多项式的各项系数之和为7的整数倍，则称这个多项式为“7倍系数多项式”，称这个多项式的各项系数之和为“7倍系数和”． 例如：多项式的系数和为，所以多项式是“7倍系数多项式”，它的“7倍系数和”为28． 请根据这个定义解答下列问题： (1)在下列多项式中，属于“7倍系数多项式”的是 ；（在横线上填写序号） ①；②；③． (2)若多项式是关于x、y的“7倍系数多项式”（其中m，n均为整数），则多项式也是关于x、y的“7倍系数多项式”吗?若是，请说明理由；若不是，请举出反例． 2．定义：若一个多项式的各项系数之和为7的整数倍，则称这个多项式为“青一多项式”，称这个多项式的各项系数之和为“青一和”．例如：多项式的系数和为，所以多项式是“青一多项式”，它的“青一和”为．请根据这个定义解答下列问题： (1)在下列多项式中，属于“青一多项式”的是 ；（在横线上填写序号） ①；②；③． (2)若关于x的“青一多项式”的“青一和”为7，且均为正整数，求的值； (3)若多项式是关于x，y的“青一多项式”（其中m，n均为整数），则多项式也是关于x，y的“青一多项式”吗？若是，请说明理由；若不是，请举出反例． 3．定义：若，则称与是关于2的友好数． (1)3与 是关于2的友好数； (2)若，，判断与是否是关于2的友好数，并说明理由； (3)若，，且与是关于2的友好数，求代数式的值． 1．（25-26七年级下·重庆·阶段检测）已知，则代数式的值为（   ） A．1 B．4 C．6 D．10 2．（25-26八年级下·河北衡水·阶段检测）长方体的底面是边长为的正方形，当长方体的高变化时，长方体的体积随之发生变化，关于①、②的说法，下列判断正确的是（    ） ①V与h的关系式为；②h每增加，V就增加 A．①、②都对 B．①、②都错 C．①对②错 D．①错②对 3．（25-26八年级下·河南南阳·阶段检测）若，则我们把称为的“卢卡斯数”，例如4的“卢卡斯数”是，的“卢卡斯数”是．已知，是的“卢卡斯数”，是的“卢卡斯数”，是的“卢卡斯数”，……，依此类推，则的值为（） A．－1 B． C． D． 4．（25-26七年级下·重庆·阶段检测）下列图形是由相同大小的“●”按一定规律组成，其中第①个图形一共有12个“●”，第②个图形一共有18个“●”，第③个图形一共有24个“●”，．．．，则第⑦个图形中“●”的个数为（   ） A．32 B．42 C．48 D．56 5．（25-26七年级上·上海·阶段检测）计算：___________． 6．（25-26九年级下·江西九江·阶段检测）单项式的次数是______． 7．（25-26八年级下·江苏宿迁·阶段检测）已知，，代数式的值为_______． 8．（25-26六年级上·山东东营·阶段检测）化简： (1)； (2)； 9．（25-26七年级上·福建漳州·阶段检测）先化简，再求值：，其中． 10．（25-26七年级上·内蒙古赤峰·阶段检测）用一根绳子围成一个长，宽的长方形． 【基础设问】 （1）表示的实际意义：__________________． （2）当绳子的长为时，用含y的代数式表示x，则_________． （3）当长方形的面积为时，用含y的代数式表示x，则_________． （4）在围成的长方形中，分别以它的两个顶点为圆心，以为半径作两个不重叠的四分之圆，如图．    ①用代数式表示阴影部分的面积； ②当，时，求阴影部分的面积（结果保留）． 【开放设问】 （5）在不同实际问题中，相同的代数式表示不同的意义，请举2个例子说明代数式表示的实际问题中的数量关系． 1．（25-26七年级上·上海·期中）下列各式中，计算正确的是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级下·云南昭通·期中）已知实数满足，则的值为（    ） A．3 B． C．0 D．1 3．（25-26七年级上·四川宜宾·期中）下列关于多项式的说法中，错误的是（     ） A．有三项 B．常数项为 C．次数是7 D．二次项的系数是 4．（25-26七年级下·重庆万州·期中）如图，用相同的圆点按照一定的规律拼出图形．第一幅图3个圆点，第二幅图7个圆点，第三幅图11个圆点，第四幅图15个圆点……按照此规律，第8幅图中圆点的个数是（　　） A．39 B．36 C．33 D．31 5．（25-26六年级下·四川成都·期中）若代数式的值为7，则代数式的值为__________． 6．（25-26八年级下·北京·期中）根据如图所示的程序计算函数的值，若输入的值是，则输出的值为_____． 7．（25-26七年级下·广东佛山·期中）如表被称为“杨辉三角”或“贾宪三角”．其规律是：从第三行起，每行两端的数都是“1”，其余各数都等于该数“两肩”上的数之和．表中两平行线之间的一列数：1，3，6，10，15，…，我们把第一个数记为，第二个数记为，第三个数记为，…，第n个数记为，则______，______． 8．（25-26七年级下·云南·期中）已知的立方根是，的算术平方根是，是的整数部分． (1)的值为_____；的值为_____；的值为_____； (2)求的平方根． 9．（25-26七年级下·江苏无锡·期中）如图，两个正方形的边长分别为a和b． (1)求阴影部分的面积S（用含a和b的代数式表示）； (2)若，，求阴影部分面积S的值． 10．（25-26七年级上·广东东莞·期中）【阅读理解】我们知道：，类似的，若我们把看成一个整体，则有．这种解决问题的方法渗透了数学中的“整体思想”．“整体思想”是中学数学解题中的一种重要的思想方法，其应用极为广泛． 【方法运用】 (1)把看成一个整体，则__________； (2)已知，求代数式的值； (3)当时，代数式的值是，则当时，求的值（结果用含的代数式表示）． 【拓展应用】 (4)将一块长方形纸片剪成如图所示的①、②、③、④4个正方形和⑤一个小长方形，设①号正方形的边长为，②号正方形的边长为，若图中⑤号小长方形的周长为20，试求③号正方形的周长． 1．（25-26七年级下·云南昆明·期末）下列运算中，正确的是（     ） A． B． C． D． 2．（25-26七年级下·浙江衢州·期末）若，则（     ） A． B． C． D． 3．（25-26七年级下·湖南邵阳·期末）探索规律：观察下面的算式，第99个算式的结果是（     ） ① ② ③ ④ A．9998 B．9999 C．10000 D．10001 4．（25-26七年级下·云南曲靖·期末）按一定规律排列的代数式：，，，，，…，第个代数式是（     ） A． B． C． D． 5．（25-26七年级下·四川广元·期末）若，则_____________． 6．（25-26六年级下·山东泰安·期末）若当时，的值为，那么当时，的值为____________． 7．（25-26六年级下·山东东营·期末）如图，将正整数按此规律排列成数表，则2026是表中第________行，第________列． 8．（25-26七年级上·吉林白山·期末）如图是某居民小区的一块长为a米，宽为米的长方形空地，为了美化环境，准备在这个长方形空地的四个顶点处各修建一个半径为b米的圆形休息区，阴影部分种植草坪，草坪外围用篱笆围起来． (1)求阴影部分的周长C（用含a、b的代数式表示）； (2)已知围建篱笆的费用为每米20元．当，，π取3时，求围建篱笆的费用． 9．（25-26七年级下·宁夏中卫·期末）【问题呈现】在某些数学问题中，我们经常要比较两个数或代数式的大小，解决问题的方法一般都是进行一定的转化，其中“作差法”就是常用的转化方法之一． 作差法：通过作差、变形，利用差的符号确定它们的大小． 对于任意的两个代数式，要比较大小，只要计算的值，即若，则；若，则；若，则，反过来也成立． 【解决问题】例如比较和的大小，我们可以用，即． 【数学思考】依据上面的方法，完成下列问题： (1)若，则_______；（填“>”“<”或“=”） (2)比较与的大小； (3)已知，，若，试比较与的大小． 10．（25-26七年级下·河南郑州·期末）“数理致远”数学兴趣小组探究如下问题： 从1，2，3，…，n为整数，且这个整数中任取6个整数，这6个整数之和共有多少种不同的结果？ 【分析问题】 我们采取特殊化的策略，先从最简单的特殊化情形入手，再将一般问题转化为特殊问题，从而找出解决问题的方法． 【解决问题】 (1)特殊化1：从1，2，3这3个整数中任取2个整数，这2个整数之和共有多少种不同的结果？ 所取的2个整数 1，2 1，3 2，3 2个整数之和 3 4 5 如表所示：所取的2个整数之和可以为3，4，5，也就是从3到5的连续整数，其中最小是3，最大是5，所以共有3种不同的结果． 特殊化2：从1，2，3，4，5这5个整数中任取2个整数，任意2个整数之和中最小的是： ，最大的是 ，所以共有 种不同的结果． 特殊化3：从1，2，3，…，10这10个整数中任取3个整数，这3个整数之和共有 种不同的结果． (2)验证结论：从1，2，3，…，n（n为整数，且）这个整数中任取6个整数，这6个整数之和共有多少种不同的结果，说明理由．（结果用含的式子表示） (3)迁移应用：从60张面值分别为1元、2元、3元、…、60元的奖券中（面值为整数），一次任意抽取5张奖券并把面值相加，共有 种不同的金额． 学科网（北京）股份有限公司 $ 第4章 代数式 思维导图 4.1 列代数式 代数式是初中代数的基础，是从具体数字运算过渡到抽象符号运算的核心转折点，列代数式就是用含有数、字母和运算符号的式子来表示实际问题中的数量关系。 1. 用字母表示数 用字母表示数可以简洁地表达数学规律、数量关系和公式，具有一般性，核心要点包括： · 任意性：字母可以表示任意一个数，既可以表示正数也可以表示负数和0，不能默认字母一定表示正数。例如a可以是-2，此时-a就是正数。 · 确定性：当字母的取值确定后，对应的数量也就有唯一确定的值与之对应。例如已知a=3，那么a+2的值就是5。 · 限制性：字母的取值要保证实际问题和代数式本身有意义。例如表示人数的字母只能取非负整数，表示长方形边长的字母只能取正数，在分式中a不能取0。 2. 代数式的定义 像、、、这样由数、表示数的字母和运算符号连接而成的式子叫做代数式，单独一个数或者一个字母也叫做代数式。这里的运算符号包括加、减、乘、除、乘方和开方，不包括等号、不等号这类关系符号，因此、都不是代数式。 3. 列代数式的书写规范 · 数字与字母相乘时，乘号通常省略不写，或者写成“·”，并且数字要写在字母的前面；例如应该写成或者，不能写成。 · 字母与字母相乘时，乘号省略，相同字母相乘要写成幂的形式；例如写成，写成。 · 带分数与字母相乘时，要先把带分数化成假分数；例如应该写成，不能直接保留带分数形式。 · 除法运算要写成分数的形式；例如写成，写成。 · 代数式表示和差关系且后面带单位时，要把代数式整体用括号括起来；例如米，不能写成米。 4. 常见数量关系的列法 · 和差倍分问题：比a大3的数是，比a的2倍小5的数是，a与b的平方和是，a与b和的平方是，注意区分运算顺序。 · 行程问题：路程，速度，时间，相遇问题总路程等于两者路程和，追及问题路程差等于初始距离。 · 面积体积问题：例如长方形长为a宽为b，面积；正方体棱长为a，体积；圆环外半径R内半径r，面积。 4.2 代数式的值 1. 代数式的值的定义 用数值代替代数式里的字母，按照代数式中指明的运算顺序计算得出的结果，叫做代数式的值。 代数式的值由代数式中字母的取值决定，字母取值不同，对应的代数式的值一般也不同，当字母取值确定后，代数式的值也就唯一确定。 2. 求代数式的值的步骤 · 第一步：代入，先明确字母对应的取值，将数值替换对应字母，替换时要注意还原省略的乘号，负数和分数代入乘方运算时要加上括号。例如当时，计算要写成，不能写成。 · 第二步：计算，按照有理数的运算法则和运算顺序计算出结果，先乘方、再乘除、最后加减，有括号先算括号内的。 3. 整体代入求值 当无法直接求出每个字母的具体值，或者直接代入计算繁琐时，可以把一个代数式看作一个整体，代入到另一个代数式中求值，这是本章常见的考察题型。例如已知，求的值，可以直接把整体代入，得到，不需要单独求出x和y的值。 4. 代数式求值的实际意义 可以通过代入实际问题中变量的取值，得到对应的结果，解决实际问题；同时也可以观察不同取值下代数式的值的变化规律，推测问题的发展趋势，做出合理决策。例如在计算租车费用的代数式中，代入不同人数就可以得到对应总费用，选择更便宜的方案。 4.3 整式 整式是代数式中最基础的一类，分为单项式和多项式两类。 1. 单项式 · 定义：由数与字母或字母与字母相乘组成的代数式叫做单项式，单独一个数或一个字母也叫做单项式，例如、、都是单项式，分母中含有字母的代数式不是单项式，例如不是单项式。 · 系数：单项式中的数字因数叫做这个单项式的系数，例如的系数是，的系数是，的系数是，注意系数包括前面的符号，当系数是1或-1时，1通常省略不写。 · 次数：一个单项式中，所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数，例如中x的指数是2，y的指数是1，所以次数是，这是一个三次单项式；单独一个非零数的次数是0，例如5的次数是0。 2. 多项式 · 定义：由几个单项式相加组成的代数式叫做多项式，多项式中的每个单项式叫做多项式的项，不含字母的项叫做常数项，多项式有几项就叫做几项式，例如有三项，分别是、、，常数项是5，是一个三项式，注意项包括前面的符号。 · 次数：多项式里次数最高项的次数就是这个多项式的次数，例如中最高次项是，次数是3，所以这个多项式是三次三项式，注意多项式的次数不是所有项次数的和，只是最高项的次数。 · 命名：多项式通常按照“几次几项式”命名，例如是二次二项式。 3. 整式的定义 单项式和多项式统称为整式，判断一个代数式是不是整式，核心看分母是否含有字母：分母不含字母的代数式是整式，分母含有字母的代数式不是整式。例如是整式，不是整式。 4. 多项式的排列 通常会按照某个字母的指数从大到小或者从小到大排列多项式，叫做按这个字母的降幂排列或者升幂排列。例如把多项式按x的降幂排列为，排列时要注意带着项的符号一起移动位置。 4.4 合并同类项 1. 同类项的定义 所含字母相同，并且相同字母的指数也分别相同的项叫做同类项，几个常数项也是同类项。 同类项的判断要点：两个“相同”——所含字母相同，相同字母的指数相同；两个“无关”——与系数无关，与字母的排列顺序无关。例如和是同类项，和不是同类项，因为x和y的指数都不相同。 2. 合并同类项的定义 把多项式中的几个同类项合并成一项，叫做合并同类项。合并同类项的本质是逆用乘法分配律，将同类项的系数相加，字母和字母的指数保持不变。 3. 合并同类项的法则 同类项的系数相加，所得结果作为新的系数，字母和字母的指数保持不变，简记为“一加两不变”：系数相加，字母不变，字母的指数不变。 注意：如果两个同类项的系数互为相反数，合并后结果为0，例如；不是同类项不能合并，只能保留原式。 4. 合并同类项的步骤 · 第一步：找，准确找出多项式中的所有同类项，可以给不同的同类项标记不同的符号，避免出错。 · 第二步：移，利用加法交换律和结合律，把同类项移动到一起，移动时要带着项的符号一起移动。 · 第三步：并，按照合并同类项的法则合并同类项，写出合并后的结果。 4.5 整式的加减 1. 去括号法则 去括号是整式加减的基础，核心法则是： · 如果括号前面是“+”号，去括号后括号里各项的符号都不改变，例如。 · 如果括号前面是“-”号，去括号后括号里各项的符号都要改变，例如。 当括号前面有数字系数时，要将系数乘括号里的每一项，不要漏乘，并且可以先把系数乘进去再去括号，或者利用乘法分配律直接展开。例如，，注意符号不要出错。 2. 添括号法则 · 添括号时，如果括号前面添的是“+”号，括到括号里的各项都不改变符号，例如。 · 添括号时，如果括号前面添的是“-”号，括到括号里的各项都改变符号，例如。 添括号的正确性可以用去括号法则验证，去括号和添括号是互逆的变形过程。 3. 整式加减的运算法则 整式加减的本质就是合并同类项，一般步骤是：如果有括号，先去括号，然后再合并同类项，最后结果中不能再有同类项。 计算过程中需要注意的问题： · 去括号时要准确判断各项符号，括号前是负号时所有项都要变号，不要只改变第一项的符号。 · 括号前有系数时，系数要和括号内每一项都相乘，不要漏乘常数项。 · 合并同类项时要找全所有同类项，不要漏项，结果要按照某一个字母的降幂或升幂排列。 4. 整式加减的应用 整式加减可以用来解决实际问题中的数量计算，比如求图形的周长、面积，解决销售利润问题、方案选择问题等，基本步骤是：先根据题意列出代数式，再通过去括号、合并同类项化简，最后代入求值得到结果。 例如求两个多项式的和或者差，列式时要注意把两个多项式分别用括号括起来，再进行加减，比如求与的差，应该列式为，不能写成，避免符号错误。 5. 化简求值题型步骤 先对整式进行去括号、合并同类项化简，得到最简结果后，再代入字母的值进行计算，不要直接代入计算，直接计算会增加运算量，更容易出错。例如已知，求的值，先化简得到，再代入得到。 【类型一】代数式的定义与书写 1．有下列式子：①；②；③；④；⑤；⑥；⑦，其中代数式有（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】C 【分析】本题考查代数式的判断，掌握用运算符号连接数或字母的式子叫代数式，单独的数或字母也是代数式．依据代数式的定义：由运算符号连接数或字母的式子，或单独的数、字母，含有等号、不等号的式子不是代数式，据此判断即可． 【详解】解：∵代数式是指用运算符号连接数或字母的式子，或单独的数、字母，含有等号、不等号的式子不是代数式 ∴①（单独的数）是代数式， ②（数与字母的乘积）是代数式， ④（数与字母的除法）是代数式， ⑦（字母的乘方）是代数式， ③（含等号，是方程）不是代数式， ⑤（含等号，是公式）不是代数式， ⑥（含不等号，是不等式）不是代数式， 综上，代数式有①②④⑦，共个． 故选：C． 2．下列各式中：①；②；③人；④；⑤．其中符合代数式书写要求的个数有(    ) A．3个 B．2个 C．1个 D．0个 【答案】C 【详解】解：①带分数作字母系数时，必须化为假分数，因此不符合要求； ②代数式中除法运算需要写成分数形式，不能直接使用除号，因此不符合要求； ③加减形式的代数式带单位时，需要给整体代数式加括号，因此人不符合要求； ④数字与数字相乘不能使用点乘，必须用乘号连接，因此不符合要求； ⑤符合代数式的书写要求． ∴符合书写要求的式子共1个，故选C． 3．下列各式：①；②；③；④；⑤，其中符合用字母表示数的书写要求的是________．（填序号） 【答案】③ 【分析】本题考查了代数式书写方法，解题关键是掌握代数式书写方法． 根据代数式书写方法，对所给的式子逐一分析，再作出判断． 【详解】解∶中数字1与字母相乘时，应省略1直接写成y，故①不符合书写要求； 中带分数应化为假分数，故②不符合书写要求； 中数字与字母相乘时乘号省略、数字写在字母前面，且无带分数，故③符合书写要求； 中字母与分数相乘时应将数字写在前面，即写成，故④不符合书写要求； 中数字与字母相乘时乘号应省略，即写成，故⑤不符合书写要求． 因此，符合书写要求的只有③． 故答案为：③． 【类型二】用代数式表示数 1．，两数的平方差用代数式可表示为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵题目要求表示，两数的平方差， ∴运算顺序为：先分别求，的平方，再求两个平方的差， ∵的平方为，的平方为， ∴两数的平方差可表示为． 2．三个连续的偶数，最大的一个是A，则最小的一个是（     ） A．A B． C． D． 【答案】D 【详解】解：，因此，三个连续的偶数，最大的一个是A，则最小的一个是． 3．忻州五台山台蘑种植基地种植100公顷台蘑，原计划每公顷收获台蘑，后因暴雨使总产量减产，则最终收获台蘑的总质量为________kg．（用含的代数式表示） 【答案】 【分析】先求出原计划的台蘑总产量，再根据减产比例得到实际总产量占原计划的比例，化简代数式得到最终结果． 【详解】解：由题意可得，原计划收获台蘑的总产量为， 因为总产量减产，所以实际总产量为原计划总产量的， 计算最终收获台蘑的总质量：． 【类型三】代数式的实际意义 1．下列说法中，不能表示代数式“”意义的是（ ）． A．的倍 B．与的积 C．个相加的和 D．个相乘 【答案】D 【详解】解：对于选项A：的倍，即，可以表示的意义，不符合题意； 对于选项B：与的积，直接表示为，可以表示的意义，不符合题意； 对于选项C：个相加的和，即，可以表示的意义，不符合题意； 对于选项D：个相乘，即，不能表示代数式的意义，符合题意． 2．元旦期间，某服装店举办“折上再打折”促销活动．若某套衣服原价元，现价元，则下列说法正确的是（    ） A．原价先减50元，再打六折 B．原价先打六折，再减50元 C．原价先减50元，再打四折 D．原价先打四折，再减50元 【答案】B 【详解】解：A、：原价先减50元，再打六折，价格为，与题意不符； B、原价先打六折，再减50元，价格为，与题目给出的现价一致； C、原价先减50元，再打四折，价格为，与题意不符； D、原价先打四折，再减50元，价格为，与题意不符． 3．已知一个足球的价格是a元，则代数式“”表示的实际意义为_________． 【答案】3个足球的总价格 【详解】解：已知一个足球的价格是a元，则代数式“”表示的实际意义为3个足球的总价格． 【类型四】已知字母计算代数式的值 1．当时，代数式的值是（     ） A． B． C．2 D．12 【答案】C 【详解】把代入可得． 2．已知，当时，；当时，；当时，的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先代入求得，再代入得到，最后将代入并整体代入，算出． 【详解】 解：把，代入， 得：， ∴， 把，代入， 得： ， 整理得， 把代入， 得：， 代入， 得：． 3．若有理数a，b满足，则______． 【答案】81 【分析】根据有理数的概念和实数的运算法则分析计算． 【详解】解：∵，是有理数， ， ， ∴． 【类型五】单项式与多项式的定义 1．在代数式，，，中，单项式的个数是（     ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】C 【详解】解：是单独的数，属于单项式；是两个单项式的差，不属于单项式；是字母的积，属于单项式；是数与字母的积，属于单项式， ∴单项式的个数是个． 2．式子：，，，，，0中，是整式的有（    ）个 A．6 B．5 C．4 D．3 【答案】C 【分析】本题考查整式的判断，判断每个式子是否为整式，再统计整式的个数．整式包含单项式与多项式，分母含有字母的式子不属于整式． 【详解】解：∵整式是单项式和多项式的统称，且分母中含有字母的式子不是整式． ∴是多项式，属于整式． 分母含字母，不是整式． 是多项式，属于整式． 是单项式，属于整式． 分母含字母，不是整式． 0是单独的数，属于单项式，即整式． ∴整式共有4个． 故选：C 3．已知代数式：①0，②，③，④，⑤，⑥，⑦，⑧，⑨．其中属于单项式的有__；属于多项式的有__．（填序号） 【答案】 ①②⑨ ③⑤⑥ 【详解】解：其中属于单项式的有①0，②，⑨； 属于多项式的有③，⑤，⑥． 【类型六】单项式的系、次数 1．单项式的系数是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据定义找出单项式中的数字因数即可得到答案． 【详解】解：∵单项式中，字母前的数字因数叫做单项式的系数，在单项式中，数字因数为， ∴该单项式的系数是． 2．下列关于单项式的说法中，正确的是（    ） A．系数是3，次数是2 B．系数是，次数是 2 C．系数是 ，次数是 3 D．系数是，次数是 3 【答案】D 【分析】根据定义求出给定单项式的系数和次数，即可选出正确选项． 【详解】解：对于单项式，它的数字因数为，即系数为， 其中的指数为，的指数为，总次数为 ，即次数为， ∴正确选项是D． 3．a2b的系数是 _________，次数是 _________． 【答案】 3 【分析】根据单项式系数与次数的定义，确定单项式的数字因数得到系数，计算所有字母的指数和得到次数． 【详解】解：单项式，其数字因数为，因此系数为； 字母的指数为，字母的指数为，所有字母指数和为 ，因此次数为． 【类型七】多项式的项、次数 1．如果是关于x，y的四次三项式，那么（     ） A． B．或3 C．3 D． 【答案】A 【详解】解：∵是关于，的四次三项式 ∴，， 解得或，， ∴． 2．对于多项式，这个多项式的次数是（     ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【详解】解：多项式中，最高次项为，次数为， 故这个多项式的次数是3. 3．多项式的最高次项的系数为_____，常数项为_____． 【答案】 2 【分析】根据多项式的相关概念，确定多项式各项的次数，找出最高次项，进而得到最高次项的系数和常数项. 【详解】解：多项式中，的次数为，的次数为，因此最高次项为，其系数为，多项式中不含字母的项是，因此常数项为. 【类型八】同类项的定义及求参 1．下列各对单项式是同类项的是（    ） A．与 B．与 C．与 D．3与 【答案】C 【详解】解：选项A中，与所含字母相同，但相同字母的指数不同，∴不是同类项，不符合题意； 选项B中，与所含字母不同，∴不是同类项，不符合题意； 选项C中，与所含字母相同，且相同字母的指数也相同，∴是同类项，符合题意； 选项D中，是常数项，含有字母，所含字母不同，∴不是同类项，不符合题意． 2．若与是同类项，则的值为（     ） A．2 B．4 C．8 D．16 【答案】A 【详解】解：根据同类项的定义：所含字母相同，且相同字母的指数也相同的单项式是同类项， ∵ 与 是同类项， ∴ 相同字母的指数相等，得 ，相同字母的指数相等，得， ∴ ． 3．若单项式与是同类项，则___________，___________． 【答案】 5 3 【分析】根据同类项的定义，相同字母的指数相等求解． 【详解】解：∵单项式与是同类项， ∴，． 【类型九】用代数式表示立体图形并求值 1．如图，在一张宽为10，长为20的长方形纸片的四个角剪去四个同样大小的小正方形，可以折成一个无盖的长方体，且无盖长方体的底面为长方形（纸板厚度及剪切接缝处损耗忽略不计）． (1)若设剪去小正方形的边长为，则折成无盖长方体纸盒的底面长为_________，宽为_________，体积为_________（用含x的代数式表示，结果无需化简）； (2)剪去小正方形的边长分别取时，折成无盖长方体的容积如下表，表中_________，_________，观察表格数据，当剪去的小正方形的边长变大时，折成的无盖长方体盒子容积的变化情况是_________． 剪去小正方形的边长 1 2 3 4 容积/ 144 a b 96 【答案】(1)，， (2)192，168，先变大后变小 【分析】本题主要考查了列代数式，代数式求值等知识，正确理解题意是解题关键． （1）根据题意确定底面长和宽，然后计算其体积即可； （2）分别将，代入并计算，即可确定的值，比较表格中的数据，即可获得答案． 【详解】（1）解：若设剪去小正方形的边长为， 则折成无盖长方体纸盒的底面长为，宽为， 体积为． 故答案为：，，； （2）剪去小正方形的边长分别取时， ， ， 将表格填写完整，如下所示， 剪去小正方形的边长 1 2 3 4 容积/ 144 192 168 96 观察表格数据，当剪去的小正方形的边长变大时，折成的无盖长方体盒子容积的变化情况是先变大后变小． 故答案为：192，168，先变大后变小． 2．钢城区高铁站有为旅客提供打包服务的项目．现有一个长、宽、高分别为，，的箱子(其中)，准备采用如图①、②的两种打包方式，所用打包带的总长(不计接头处的长)分别记为． (1)求图①中打包带的总长、图②中打包带的总长分别是多少？(用含的式子表示)； (2)当时，计算两种打包方式用打包带总长各是多少？并判断哪一种打包方式所用打包带更节省． 【答案】(1)； (2)；；第二种打包方式所用打包带更节省 【分析】本题考查了列代数式以及代数式求值，根据题意正确列出代数式是解题的关键． （1）根据图①、②的两种打包方式，分别计算所用打包带的总长即可； （2）先把、的值代入（1）中的代数式求值，然后比较结果即可． 【详解】（1）解：图①中打包带的总长为：， 图②中打包带的总长为：； （2）解：当时， 图①中打包带的总长是， 图②中打包带的总长是， ∴第二种方式更节省． 3．在数学活动课上，老师让同学们制作了一些边长为的正方形纸片，并要求各个小组利用这些纸片研究数学问题． 【设计方案】 （1）勤勉小组提出：将如（1）图所示的纸片的四个角各剪去一个边长为的正方形，得到图（1）中的阴影部分，请计算阴影部分的面积 （用含的式子表示），并求出当时，阴影部分的面积________； （2）创新小组将图（1）中的阴影部分折成一个无盖的长方体盒子，如图（2），设长方体的容积为，若用含有的代数式表示，则________． 【实施方案】根据（2）中结果，填写下表： （3）先补全表格，再观察表格中容积的值是否随值的增大而增大？此时当取什么整数值时，容积的值最大？ 【评估反思】课后小英同学继续对这个问题作了以下探究： 当时，；当时，； 当时，；当时，． 小英同学发现使最大的的取值一定介于和之间，估计的取值还能更精确些，小英再计算时，发现的值还在逐渐增大． （4）现请你也观察数据变化，能否推测可以取到哪一个定值，容积的值最大？最大值是多少？ 【答案】（1）；．（2）；（3）588，576，否，当取时，容积的值最大；（4）能，取时，容积的值最大，最大值是 【分析】本题考查代数式求值，正确列出代数式是解题关键． （1）根据图中条件用含的代数式表示出长方体的长、宽、高，利用长方体体积公式即可得答案； （2）根据（1）所得结论，代入值求出值即可得答案； （3）根据表格信息即可得答案； （4）根据小英取的值的特点可得的值无限接近，把代入（1）中所得结论即可得到答案． 【详解】解：（1）由题意得， 当时，， 故答案为：； （2）由题意可知，长方体的长和宽均为cm，高为cm， 所以 故答案为：． （3）当时，； 当时，， 在表中从左往右依次填入，； 观察表中数据可知的值不随值的增大而增大， 当取时，容积的值最大． （4）能，取时，容积的值最大，最大值是． 【类型十】合并同类项(含去括号) 1．化简 (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先找出式子中的同类项，再分别合并同类项即可得到结果； （2）先根据去括号法则去掉括号，再合并同类项即可得到结果． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． 2．合并同类项： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查整式加减中的合并同类项，去括号，掌握合并同类项法则和去括号法则是解题的关键． （1）根据合并同类项法则计算即可； （2）先去括号，再合并同类项即可． 【详解】（1）解：； （2）解： ． 3．化简： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了整式的加减运算，熟练掌握合并同类项法则和去括号法则是解答本题的关键． （1）利用合并同类项法则，将同类项的系数相加减，字母和字母的指数不变，化简式子； （2）先根据去括号法则去掉括号，再利用合并同类项法则合并同类项，得到最终结果． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 【类型十一】整式的加减 1．已知，且，求． 【答案】 【分析】根据整式加减的计算方法，即可求解． 【详解】解：由，得， 把代入，得 ． 2．已知多项式，． (1)化简：； (2)直接写出下列条件下的值． ①； ②． 【答案】(1) (2)， 【分析】本题考查了整式的加减、化简求值． （1）根据整式的加减运算法则计算即可； （2）根据（1）中的化简结果代入求解即可； 【详解】（1）解： ， （2）解；①当时，， ②当时，． 3．已知多项式，． (1)求； (2)如果，，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了整式的加减运算以及代入求值，准确地进行运算是解题的关键． （1）根据题意表达，然后去括号化简即可； （2）根据（1）中的结果，代入求值即可． 【详解】（1）解： ． （2）解：∵，， ∴ ． 【类型十二】化简求值 1．先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【分析】先去括号，然后合并同类项化简，再根据非负数的性质求出a、b的值，最后代值计算即可． 【详解】解： ， ∵， ∴，， 解得：，， ∴原式． 2．化简求值 (1)，其中 (2)，其中 【答案】(1)， (2)， 【分析】（1）先去括号，再合并同类项后，把a和b的值代入求值即可； （2）先去括号，再合并同类项后，把和的值代入求值即可． 【详解】（1）解： ， 当时， 原式 ； （2）解： ， 当时， 原式 ． 3．先化简再求值：，其中，． 【答案】；16． 【分析】先去括号，再合并同类项即可化简，再将，代入求值即可． 【详解】解： ， 当，时，原式． 【类型一】升、降幂排列 1．把多项式按的升幂排列为（） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了多项式，按y的升幂排列，即根据y 的指数从小到大重新排列多项式各项 【详解】解：按y的升幂排列为：， 故选：C． 2．把多项式按的降幂排列正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了多项式，先分清各项，再根据多项式降幂排列的定义解答． 【详解】解：多项式按x的降幂排列：． 故选：C． 3．把多项式按字母的降幂排列是__________． 【答案】 【分析】根据降幂排列的定义，只需找出多项式的各项，按字母的指数从大到小的顺序排列即可． 【详解】解：把多项式按字母的降幂排列是． 【类型二】整体代入求值 1．已知，则代数式的值是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据已知等式整理出的值，再将所求代数式变形后整体代入计算即可． 【详解】解：， 则， 故． 2．已知，则代数式的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先将所求代数式展开化简，整理出含的式子，再结合已知条件整体代入计算即可． 【详解】解：∵， ∴， 展开化简所求代数式： ， 把代入得： 原式， ∴代数式的值为． 3．若，则_____________． 【答案】2024 【分析】利用已知条件得到，对所求多项式进行降次变形，再整体代入计算，运用整式的变形和整体代入的思想求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴ ． 【类型三】程序流程图 1．按照如下程序，输入x的值并计算．规定从“输入一个数x”到“判断结果是否大于0”为一次程序操作．若输入9，程序输出的值为（   ） A．73 B．75 C．72 D．70 【答案】A 【分析】根据程序框图，将代入计算，若结果不大于则继续代入计算，直到结果大于为止． 【详解】解：当时，， ， 需再次输入计算． 当时，， ， 输出结果为． 2．按如图所示的程序计算：若开始输入的值为4，则最后输出的结果是（     ） A．40 B．95 C．112 D．160 【答案】D 【详解】解：由程序计算图可得：第一次输出结果为， 第二次输出结果为． 3．根据如图所示的计算程序计算变量y的值，若输入，时，则输出y的值是_______． 【答案】4 【分析】本题主要考查了程序运算，有理数的混合运算，解题的关键是掌握程序规则． 根据程序规则进行选择运算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故答案为：4． 【类型四】不含某项、与某项无关 1．若代数式中不含项，则的值为（    ） A．0 B．3 C． D． 【答案】B 【分析】代数式不含某一项时，该项合并后的系数为0，据此计算a的值． 【详解】解：， ∵代数式中不含项， ∴项的系数等于0，即， ∴． 2．定义一种新运算：．如：．若的值与的取值无关，则的值为（    ） A． B． C．6 D． 【答案】A 【分析】本题考查整式加减中的无关型问题，先根据新运算规则展开代数式，再根据代数式的值与x无关时x的系数为0求出k，最后代入计算结果即可． 【详解】解：∵根据新运算定义，， ∴展开得：． ∵该式的值与x的取值无关， ∴x的系数． ∴解得． 将代入，得． 故选：A． 3．若多项式（m，n为常数），无论x取何值代数式的值不变，则___________，___________． 【答案】 7 【分析】先合并同类项，再根据已知条件列出方程式，进而得出答案． 【详解】解： ， ∵无论x取何值代数式的值不变， ∴，， ∴，． 【类型五】绝对值在数轴中的化简 1．有理数，在数轴上对应点的位置如图所示，结合数轴化简的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了有理数与数轴，化简绝对值，整式的加减计算，先根据数轴得到，，则，据此化简绝对值，最后根据整式的加减计算法则求解即可． 【详解】解：由数轴可知，， ∴， ∴ ， 故选：C． 2．有理数a，b，c在数轴上对应的点的位置如图所示，化简：的值为（   ） A．c B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了数轴、化简绝对值，整式的加减运算等知识，根据数轴上的点所在的位置，准确判断各个代数式的符号是化简绝对值的关键．由有理数a、b、c在数轴上对应点的位置可知：，且，可得、、，进而化简得出结果． 【详解】解：由题意得：，， ∴、、， ∴ ． 故选：A． 3．数a、b、c在数轴上对应的位置如图，化简的结果为__________． 【答案】 【分析】根据有理数a、b、c在数轴上的位置，得到它们之间的大小关系，再利用绝对值及算术平方根和立方根的性质去化简原式求出结果． 【详解】解：根据有理数a、b、c在数轴上的位置，得到，且， ∴， ∴ ． 【类型六】数的规律 1．按照一定规律排列的代数式：，，，，…，第个代数式是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】分别找出系数、的指数的变化规律，推导得到第个代数式，对应选项判断即可． 【详解】解：分别观察系数和的指数的变化规律： 当时，第1个代数式为； 当时，第2个代数式为； 当时，第3个代数式为； 当时，第4个代数式为； ∴第个代数式是． 2．观察下列一组代数式：，根据该组代数式的排列规律，可推断出第（为正整数）个代数式是_____． 【答案】 【分析】根据题意分别找出分子和分母的排列规律即可解题． 【详解】解：观察这组代数式的分子部分，依次为 ， 因此第个代数式的分子为， 观察这组代数式的分母部分，依次为 ，是连续奇数， 因此第个代数式的分母为， 因此第个代数式是． 3．观察下列各式： ……………………①； ……………………②； ……………………③； …… 探索以上式子的规律： (1)写出第5个等式：___________； (2)写出第个等式：___________； (3)计算… 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据题干给出的式子得出规律即可求解； （2）根据题干给出的式子得出规律即可求解； （3）由（2）的结论得，再进行求解即可． 【详解】（1）解：观察已知等式：第个等式中，被减数指数为，减数指数为，右侧为， 因此第5个等式为； （2）解：根据（1）得出的规律，可得第个（为正整数）的等式为； （3）解：由（2）的结论，得， 设所求和为， ． 【类型七】图形的规律 1．如图，用长度相同的木棍拼图案，其中第1个图案用了9根木棍，第2个图案用了14根木棍，第3个图案用了19根木棍，第4个图案用了24根木棍…按此规律排列下去，则第8个图案需要木棍的根数是（     ） A．44 B．49 C．54 D．59 【答案】A 【分析】通过观察图形中木棍数量的变化，归纳出第n个图案的木棍数的规律． 【详解】解：由题意可知，第1个图案用了根木棍， 第2个图案用了根木棍， 第3个图案用了根木棍， 第4个图案用了根木棍， 第个图案用的木棍根数是， 当时，木棍根数为． 2．如图是一组有规律的图案，第1个图中有4个小黑点，第2个图中有7个小黑点，第3个图中有12个小黑点，第4个图中有19个小黑点……，以此规律，第n个图中有2028个小黑点，则n的值为______． 【答案】45 【分析】仔细观察图形，根据前面几个图形，找到图形变化的规律，然后利用规律求解即可． 【详解】解：第1个图案由个小黑点组成， 第2个图案由个小黑点组成， 第3个图案由个小黑点组成， 第4个图案由个小黑点组成， ……， 第个图案由个小黑点组成， 根据题意可得，解得：（不合题意，舍去），． n的值为45． 3．如图，是的直径，把分成几条相等的线段，以每条线段为直径分别画小圆，设，那么的周长． 【探究】 (1)把分成两条相等的线段，每个小圆的周长__________； (2)把分成三条相等的线段，每个小圆的周长__________； (3)把分成条相等的线段，每个小圆的周长__________； (4)当把大圆直径平均分成等分时，以每条线段为直径画小圆，那么每个小圆的面积与大圆的面积的关系是：__________． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）先求出每个小圆的直径，即可解答； （2）先求出每个小圆的直径，即可解答； （3）先求出每个小圆的直径，即可解答； （4）根据大圆直径被等分，得出小圆直径为，即可解答； 【详解】（1）解：把分成两条相等的线段，每个小圆的周长； （2）解：把分成三条相等的线段，每个小圆的周长； （3）解：把分成条相等的线段，每个小圆的周长； （4）解：以为直径的圆的面积为， 把分成条相等的线段，每个小圆的直径为，即每个小圆的半径为， 则每个小圆的面积， ∵ ∴． 【类型八】月历日期问题 1．数学活动：月历中的奥秘 同学们，大家一定很熟悉月历吧！你们知道吗？月历中有很多奥秘，下面就让我们一起来探索吧！ 图1是某月的月历，请仔细观察并思考下列问题： (1)阴影方框中的9个数的和与方框正中心的数有什么关系？你能证明一下吗？ (2)如图2，如果带阴影的方框里的数是4个，请直接写出你发现的结论． 【答案】(1)方框中9个数之和为方框正中心的9倍，证明见解答 (2)方框中对角两数之和相等，理由见解答 【分析】本题考查了列代数式，设出其中一个数，用该数表示出另外的数是解题的关键． （1）方框中9个数之和为方框正中心的9倍，设方框正中心的数为x，则另外8个数分别为，，，，，，，，将9个数相加，可得出9个数之和为，结合，即可证出方框中9个数之和为方框正中心的9倍； （2）方框中对角两数之和相等，设最小的数为a，则另外3个数分别为，，，将两对角上的两个数相加，即可证出结论． 【详解】（1）解：方框中9个数之和为方框正中心的9倍． 证明：设方框正中心的数为x，则另外8个数分别为，，，，，，，， ∴9个数之和为 ， ∵， ∴方框中9个数之和为方框正中心的9倍； （2）解：方框中对角两数之和相等，理由如下： 设最小的数为a，则另外3个数分别为，，， ∵， ， ∴方框中对角两数之和相等． 2．幻方起源于中国，月历常用于生活，它们有很多奥秘，探究并完成填空． 主题：探究月历与幻方的奥秘 活动一：图1是2026年3月的月历，用平行四边形框选取了其中的9个数 活动二：移动平行四边形框，选取月历中的9个数；将其放入的正方形网格中，并调整它们的位置，使其满足“三阶幻方”分布规律：每一横行、每一竖列以及两条斜对角线上的三个数的和都相等． (1)移动平行四边形框，若框中的部分数如图2所示，则是__________，是__________； (2)移动平行四边形框，若框中的部分数如图3所示，则是__________，是__________；（注：用含的代数式表示和）． (3)若平行四边形框选取的数如图4所示，调整后，部分数的位置如图5所示，则是___________，是___________； (4)若平行四边形框选取的数中最小的数是，调整后，部分数的位置如图6所示，则是___________（用含的代数式表示g）． 【答案】(1)14；18 (2)， (3)18；6 (4) 【分析】（1）（2）根据月历的特点即可得到答案； （3）求出选取的9个数的和，进而可求出幻方中，每一横行、每一竖列以及两条斜对角线上的三个数的和都为36，据此可得答案； （4）用含t的式子表示出其他8个数，求出选取的9个数的和，进而可求出幻方中，每一横行、每一竖列以及两条斜对角线上的三个数的和，据此可得答案． 【详解】（1）解：由月历的特点可得； （2）解：由月历的特点可得； （3）解：∵，， ∴幻方中，每一横行、每一竖列以及两条斜对角线上的三个数的和都为36， ∴ （4）解：∵平行四边形框选取的数中最小的数是， ∴其他8个数分别为， ∴这选取的9个数的和为， ∵， ∴幻方中，每一横行、每一竖列以及两条斜对角线上的三个数的和都为， ∴． 3．如下图，是2025年10月的月历： (1)小天用一个“工”形框在上面的月历中框出7个数，移动“工”形，若框出的7个数如下图所示，直接写出________，________； (2)小津用一个“H”形框在上面的月历中也框出7个数，移动“H”形，若框出的7个数如下图所示，请用含的代数式表示________，________； (3)小天框出的7个数中间的一个记为，7个数之和记为；小津框出的7个数中间一个记为，7个数之和记为．当时，________（填“>”“<”或“=”）； (4)小天说自己算出的7个数的和可能为：①50，②56，③112，④147，其中正确的有________（填序号）； (5)将上面“工”形，“H”形两个框的中心重合后，形成一个框住9个数的方框．移动方框选取月历中的9个数，调整它们的位置，使其满足“三阶幻方”分布规律：每一横行、每一竖列以及两条斜对角线上的三个数的和都相等．如下图所示，若方框选取的数中最小的数是，调整后，部分数的位置如下图所示，则用含的代数式表示________． 【答案】(1)16，23 (2)， (3) (4)③④ (5) 【分析】（1）根据日历规律列式计算即可； （2）根据日历规律列式计算即可； （3）先分别求出M、N，然后再比较即可； （4）由（3）可知7个数的和为，即能被7整除，据此判断即可； （5）设幻方中心数为f，则，根据幻方的特点可得，再将代入整理即可解答． 【详解】（1）解：由题意可得：，即：； ． 故答案为：16，23． （2）解：由题意可得：，． 故答案为：，． （3）解：小天框出的7个数中间的一个记为，则其余六个数为：， ∴； ∵小津框出的7个数中间一个记为，则其余六个数为：， ∴， ∵， ∴，即：； （4）解：设小天框出的7个数中间的一个记为，则其余六个数为：， ∴7个数的和，即能被7整除， 在①50，②56，③112，④147中②③④能被7整除． 当即时，在此日历中不能找到相应的7个数， 故答案为：③④； （5）解：设幻方中心数为f，则， 在三阶幻方中，对角线上的数满足“两端数之和等于中心数的2倍”观察图形可得：15与e在同一条对角线上，因此， 将代入可得：，整理得：． 【类型九】收费问题 1．学校组织学生到远的科技馆参观，李明因事没能搭上学校的包车．于是准备坐出租车前往．出租车的收费标准如下：以内（含）收费10元；超过的每增加另收费2元．问： (1)若出租车行驶的路程为，则收费 元； (2)若出租车行驶的路程为（且x为整数），用含x的式子表示收费； (3)李明身上仅有25元，够不够支付到科技馆的车费？请说明理由． 【答案】(1)10 (2)（且x为整数） (3)够支付到科技馆的车费；理由见解析 【分析】本题考查列代数式，代数式求值，正确读懂题意是解题的关键． （1）根据出租车的收费标准：以内（含）收费10元即可解答； （2）根据出租车的收费标准：超过的每增加另收费2元，列出代数式即可； （3）将代入（2）中代数式求值，再与比较即可解答． 【详解】（1）解：根据题意，出租车行驶的路程为，收费是10元， 故答案为：10； （2）解：由题意得，出租车收费为（且x为整数）； （3）解：够支付到科技馆的车费，理由如下， 当时，出租车收费为， 所以够支付到科技馆的车费． 2．为保护地球，节约资源，某市天然气采用阶梯收费，关注社情的滨滨同学从市天然气公司看到这样一张价目表： 用气类别 年用气量 单价（元/） 备注 第一档 年用气量 人口超过4人的家庭，每增加1人，第一、二档年用气量上限分别增加、 第二档 年用气量 第三档 年用气量 滨滨一开始看不明白，公司员工举了一个例子：若某三口之家年用气，则收费元．聪明的同学请跟滨滨一起解决下列问题吧！ (1)若某三口之家1年用气，则应收费多少元？若另一三口之家该年用气，则应收费多少元？ (2)若某三口之家该年用气（其中），则应收费多少元？（结果用含的代数式表示） (3)若某三口之家和五口之家该年用气量均为（其中），则这两户人家用气费相差多少元？（结果用含的代数式表示） 【答案】(1)520；1180； (2)应收费元； (3)这两户人家燃气费用相差元 【分析】本题考查了有理数混合运算的应用，列代数式，整式加减的应用，熟练掌握相关运算法则，注意价目表备注内容是解题关键． （1）根据价目表计算即可； （2）根据价目表列代数式即可； （3）根据价目表，分别求出三口之家和五口之家的费用，再作差即可． 【详解】（1）解：若某三口之家1年用气，则应收费元， 若另一三口之家该年用气，则应收费元； 故答案为：520；1180； （2）解：若某三口之家该年用气（其中）， 则应收费元， 即应收费元； （3）解：若某三口之家该年用气量均为（其中），用气量达到第三档， 则应收费元； 若某五口之家该年用气量均为（其中），用气量达到第二档，未达到第三档， 则应收费， ， 即这两户人家用气费相差元． 3．某出租车公司推出A专车和B快车两种出租车，它们的收费方式如下． A专车：3千米以内收费10元，超过3千米的部分每千米收费2.5元，不收其他费用； B快车： 计费项目 起步价 里程费 远途费 计费价格 8元 2元/千米 1元/千米 注：车费由起步价、里程费、远途费三部分组成，其中起步价包含里程2千米；里程大于2千米的部分按计价标准收取里程费；远途费的收取方式为：行车不超过12千米，不收远途费，超过12千米的，超出的部分每千米加收1元． (1)如果乘车路程是3千米，使用A专车出行，需支付的费用是 元；使用B快车出行，需支付的费用是 元； (2)如果乘车路程是10千米，使用A专车出行，需支付的费用是 元；使用B快车出行，需支付的费用是 元； (3)如果乘车路程是x（）千米，使用A专车出行，需支付的费用是 元；使用B快车出行，需支付的费用是 元（用含x的式子表示）； 【答案】(1)10，10 (2)27.5，24 (3) 【分析】此题考查了整式加减、列代数式等知识． （1）分别根据两种方式列式计算即可； （2）分别根据两种方式列式计算即可； （3）分别根据两种方式列代数式进行整式加减法计算即可． 【详解】（1）解：根据题意得：如果乘车路程是3千米，使用A专车出行，需支付的费用是10元； 使用B快车出行，需支付的费用是（元）． 故答案为：10，10； （2）根据题意得：如果乘车路程是10千米，使用A专车出行，需支付的费用是（元）； 使用B快车出行，需支付的费用是（元）． 故答案为：27.5，24； （3）根据题意得：如果乘车路程是x（）千米，使用A专车出行，需支付的费用是（元）； 使用B快车出行，需支付的费用是（元）． 故答案为：； 【类型一】阴影部分问题 1．如图，长为，宽为的大长方形被分割为7小块，除阴影A，B外，其余5块是形状、大小完全相同的小长方形，其较短的边长为，下列说法中正确的有（    ）． ①小长方形的较长边为； ②阴影A的较短边为； ③若为定值，则阴影B的周长为定值； ④当且时，阴影A和阴影B的面积和为． A．①② B．①③ C．①③④ D．①④ 【答案】D 【分析】本题考查了列代数式，整式的混合运算，代入求值，掌握相关知识是解决问题的关键．逐一分析四条说法的正误是解题的关键．①观察图形，由大长方形的长及小长方形的宽，可得出小长方形的长为，说法①正确；②由大长方形的宽及小长方形的宽，可得出阴影的较短边长，说法②错误；③由阴影，的相邻两边的长度，利用长方形的周长计算公式可得出阴影的周长为，则说法③错误；④代入和利用长方形面积公式可得出说法④正确． 【详解】解：①大长方形的长为，小长方形的宽为， 小长方形的长为，说法①正确； ②大长方形的宽为，小长方形的宽为， 阴影的较短边为，说法②错误； ③阴影的较长边为，较短边为， 则阴影的周长为， 阴影的周长与取值都有关，只有为定值，阴影的周长不为定值，说法③错误； ④当且时， 阴影的较长边为，较短边为，阴影的较长边为，较短边为， 阴影的面积为，阴影的面积为， 阴影和阴影的面积之和为，说法④正确． 综上所述，正确的说法有①④． 故选：D． 2．如图，把四张大小相同的长方形卡片（如图1所示）分别按图2、图3两种方式放在一个底面为长方形（长比宽多）的盒底上，底面未被卡片覆盖的部分用阴影表示，若记图2中阴影部分的周长为，图3中阴影部分的周长为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设小长方形的长为，宽为，盒底的宽为，则盒底的长为，然后分别表示出，，最后将它们作差即可． 本题考查整式的加减的应用，理解题意并列出正确的算式是解题的关键． 【详解】解：设小长方形的长为，宽为，盒底的宽为，则盒底的长为， 那么，， 则 ， 由图3得， 则， 那么， 即， 故选：C． 3．如图，图①和图②是两个形状、大小完全相同的大长方形，在每个大长方形内放入六个大小相同的小长方形，阴影区域是空下来的地方，已知大长方形的长比宽多5，记图①中阴影区域周长为，图②中阴影区域周长为，则_____． 【答案】10 【分析】本题考查了列代数式，整式加减的应用，根据图形正确列式是解题关键．设每一个小长方形的长为，宽为，由图②得大长方形的长为，则宽为，进而表示出和，再作差即可． 【详解】解：设每一个小长方形的长为，宽为， 由图②得大长方形的长为． 大长方形的长比宽多5， 它的宽为． ， ． 故答案为：10． 【类型二】操作问题 1．“回头差”游戏，对依次排列的两个整式m，n按如下规律进行操作：第1次操作后得到整式串；第2次操作后得到整式串；第3次操作后……其操作规则为：每次操作增加的项，都是用上一次操作得到的最末项减去其前一项的差．则该“回头差”游戏第2026次操作后得到的整式串各项之和是（   ） A． B．6 C． D．0 【答案】D 【分析】本题考查整式的加减运算，规律探究，先依次计算每次操作后整式串的各项之和，找出和的循环周期，再根据周期计算第2026次操作后的和即可． 【详解】∵ 第1次操作后整式串各项之和：， 第2次操作后整式串各项之和：， 第3次操作新增项为，各项之和：， 第4次操作新增项为，各项之和：， 第5次操作新增项为，各项之和：， 第6次操作新增项为，各项之和：， 第7次操作新增项为，各项之和：， ∴各项之和以为周期循环，周期为6， ∵，余数为4 ∴第2026次操作后整式串各项之和与第4次操作后的和相同，即为0； 故选D． 2．有依次排列的两个整式：x，对任意相邻的两个整式，都用左边的整式减去右边的整式，所得的差写在这两个整式之间，可以产生一个新的整式串：x，3，这称为第一次操作：将第一次操作后的整式串按上述方式再做一次操作，可以得到第二次操作后的整式串：x，，3，，以此类推，通过实际操作，小红同学得到以下结论：①第二次操作后，当时，所有整式的积为负数；②第四次操作后整式共有17个；③第n次操作后整式共有个整式（其中n为正整数）；④第2024次操作后，所有整式的和为，四个结论中正确的个数有（   ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】B 【分析】此题主要考查了数字变化类，解决问题的关键是熟练掌握每一次操作的方法，每一次操作所产生的整式的个数与操作次数的关系规律，或所有整式之和与操作次数的关系规律． ①根据第二次操作后的整式串，计算积的符号判断；②根据操作次数与整式个数的关系规律判断；③根据操作次数与整式个数的通项公式判断；④根据操作次数与整式和的规律计算判断． 【详解】解：初始整式：，，和为， 第一次操作后整式串：x，3，， ①第二次操作后整式串：，，，，， 积为， 当时，，，，， ∴积为负，①正确； ②操作后整式个数：第1次， 第2次， 第3次， 第4次， ∴第四次操作后整式共有17个，②正确； ③由②，第次操作后整式个数为，③正确； ④第1次操作后所得整式串为：x，3，，所有整式之和为：， 第2次操作后所得整式串为：，，，，，所有整式之和为：， 第3次操作后所得整式串为：x，3，，，3，，，，，所有整式之和为：， ……， 第n次操作后所得所有整式的和为：， 第2024次操作后和， 但结论為为， ∴④错误。 综上，正确结论有3个， 故选：B 3．对于数2进行如下操作： 第1次操作：把2加上3，得到数5；第2次操作：把5减去5，得到数0； 第3次操作：把0加上7，得到数7；第4次操作：把7减去9，得到数； 当为奇数时，第次操作就是把前一次操作得到的数加上；当为偶数时，第次操作就是把前一次操作得到的数减去，则第6次操作得到数是______，第2023次操作得到数是______． 【答案】 2027 【分析】本题考查了有理数的混合运算，数字类规律探索，根据已知操作发现规律是解题关键．根据已知操作，即可得到第6次操作得到数；再由奇数次操作的结果可知，当为奇数时，第次操作得到数是，即可求出第2023次操作得到数． 【详解】解：第5次操作：把加上，得到数； 第6次操作：把9减去，得到数； 由奇数次操作的结果可知，得到的数按5、7、9……排列， 即当为奇数时，第次操作得到数是， 则第2023次操作得到数是， 故答案为：；． 【类型三】行列排序问题 1．杨辉三角是我国古代数学的重要成就，其结构如下： 我们把杨辉三角的行从上到下依次记为第行、第行、第行……，把每行的数从左到右依次记为第个数、第个数……．下列说法： ①第行中间的数是； ②第行所有数的和比第行多； ③第行所有数的和为； ④第行第个数与第行第个数相等． 其中正确的个数是（     ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题是数字类规律探索问题，观察图中数字的变化规律，得出第行的数和每行所有数的和，分析其变化规律，从而得出答案． 【详解】解：∵观察杨辉三角的图形，每项的数字等于上一行这一项上方的左右两个数字的和， ∴逐行构建至第行， 第行：， 第行：， 第行：， ∴第行中间的数是，故①正确； ∴第行所有数的和为：， 第行所有数的和为：， ，故②正确； ∵第行所有数的和为：， 第行所有数的和为：， 第行所有数的和为：， 第行所有数的和为：， 第行所有数的和为：， 第行所有数的和为：， ∴由此可归纳为：第行所有数的和为，故③正确； 观察杨辉三角的形状，是一个等腰三角形，每一行的数字排列具有对称性， 以第行为例：，共个数字， 第个数与第个数相等，第个数与第个数相等， ∴第行的数字关于中间对称，即第个数与第个数相等， 即第行第个数与第行第个数相等，故④正确； 故正确的个数为4个． 2．观察下面三行数： 第①行：1，3，5，7，9，11，…… 第②行：2，4，6，8，10，12，…… 第③行：1，4，9，16，25，36，…… 设，，分别为第①，②，③行的第20个数，则的值为（   ） A．799 B．800 C．801 D．803 【答案】A 【分析】本题考查了数字规律题，利用所给数据找到规律是解题的关键． 第①行是奇数序列，第②行是偶数序列，第③行是平方序列，找出规律后运算求解即可． 【详解】∵第①行为奇数序列，即， ∴把代入得：， ∵第②行为偶数序列，即， ∴把代入得：， ∵第③行为平方序列，即， ∴把代入得：， ∴， 故选：A． 3．如图，将正整数按以下规律排列： 第一列 第二列 第三列 第四列 第五列 … 第一行 1 4 5 16 17 … 第二行 2 3 6 15 … … 第三行 9 8 7 14 … … 第四行 10 11 12 13 … … 第五行 … 表中数1在第一行第一列，与有序数对对应，2在第二行第一列，与有序数对对应，数9与对应，数10与对应，…，根据这一规律，数对应的有序数对为________． 【答案】 【分析】本题考查了规律型中数字的变换类，解题的关键是找出变换规律“当n为偶数时，第n列第一行数为，第n列第二行数为，第n列第三行数为，…”．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据偶数列首位数的变化，找出变化规律是关键． 设第n列第一个数为（n为正整数），观察发现偶数列第一个数变化规律为：当n为偶数时，第n列第一行数为，第n列第二行数为，第n列第三行数为，…再根据，得出399在第20列第二行，即可得出答案． 【详解】解：设第n列第一个数为（n为正整数）， 观察偶数列第一个数：，，，… ∴发现偶数列第一个数变化规律为：当n为偶数时，第n列第一行数为， 第n列第二行数为，第n列第三行数为，… ∵ ∴399在第20列第二行， ∴数对应的有序数对为． 故答案为：． 【类型四】整除问题 1．进位制是人们为了计数和运算方便而约定的计数方式，约定逢十进一就是十进制，在日常生活中，我们最熟悉、最常用的就是十进制．当我们学完《用字母表示数》以后，发现用字母表示数简洁明了，具有普遍性和概括性，可以揭示一般规律和本质，也可以进行代数推理和证明． (1)我们常用表示一个十位数字为a，个位数字为b的两位数，即用代数式表示，类似的，请你用代数式表示三位数______． (2)在小学中，我们知道一个自然数的所有数位上的数字之和能被3整除，那么这个自然数就能被3整除．例如：一个两位数，若能被3整除，则这个两位数就能被3整除，理由如下： 证明：， 因为9a中有因数3且a为整数， 所以9a能被3整除， 因为能被3整除，所以能被3整除， 即能被3整除． 请用类似的方法说明：若能被9整除，则三位数就能被9整除． (3)请选出三位数能被11整除的条件是______． A．能被11整除； B．能被11整除； C．能被11整除； D．能被11整除； 在此条件下，交换这个三位数的个位数字与百位数字后得到的新三位数能否被11整除，请说明理由． 【答案】(1) (2)见解析 (3)B，见解析 【分析】本题考查列代数式，整式加减运算的实际应用，理解并掌握题干给定的方法，是解题的关键： （1）仿照两位数的表示方法，进行作答即可； （2）仿照题干给出的证明方法进行证明即可； （3）仿照题干给出的方法，进行作答即可． 【详解】（1）解：由题意，； （2）证明： ， ∵能被整除，也能被9整除， ∴能被9整除， 即三位数能被9整除． （3） ， ∵能被11整除， ∴当能被11整除时，能被11整除； 故选B； 当交换三位数的个位数字与百位数字后得到的新三位数能被11整除，理由如下： ， ∵能被11整除，也能被11整除， ∴能被11整除， 即能被11整除． 2．综合与探究 【问题情境】一般地，如果一个自然数的所有数位上的数字之和能被3整除，那么这个自然数就能被3整除．比如：若一个两位数的十位、个位上的数字分别为，则通常记这个两位数为．于是．显然能被3整除，因此，如果能被3整除，那么就能被3整除，即能被3整除． 【类比探究】已知三位数． （1）请用含的代数式表示三位数：___________； （2）小军说：“若能被3整除，则三位数就能被3整除．”请判断他的说法是否正确，并说明理由； 【类比拓展】判断一个三位整数能否被7整除，只需看去掉这个数的末位数字后，所得到的数与此末位数字5倍的和能否被7整除，如果这个和能被7整除，则原数就能被7整除． 比如：三位数去掉末位数字得两位数，再用加上的5倍所得的和为．若能被7整除，则能被7整除． （3）请你对“若能被7整除，则能被7整除”说理． 【答案】（1）；（2）小军的说法正确．理由见解析；（3）见解析 【分析】本题主要考查了整式的加减和数的整除，熟练掌握相关知识并理解题意是解题的关键． （1）根据题意可得出三位数为百位数字十位数字个位数字，进而得解； （2）首先将三位数变形，然后分析各项与3的整除关系得，得和都能被3整除然后根据整除性质，几个能被3整除的数相加所得的和也能被3整除，即可得出结论． （3）对三位数变形，利用已知条件替换，最后化简式子并判断整除性． 【详解】解：（1）由题意根据数的表示方法，百位上的数字表示个100，即；十位上的数字表示个10，即；个位上的数字表示个1，即． 那么三位数可以表示为这三个部分的和，即． 故答案为：； （2）小军的说法正确． 理由：， ， ∴和均能被3整除， 又因为能被3整除， 所以能被3整除， 即就能被3整除． （3）因为能被7整除， 所以，也能被7整除， 又， 因为和都能被7整除， 所以也能被7整除， 即能被7整除． 3．小学已经学过自然数被3整除的规律，即如果一个自然数所有数位之和能被3整除，那么这个自然数就能被3整除．在课堂中，同学们完成了三位数被3整除规律的证明，证明过程如下： 设一个三位数的百位数字为a，十位数字为b，个位数字为c，且这个三位数记为， 因为， 其中能被3整除， 所以，只要能被3整除，那么就能被3整除． 学习结束后，小颖同学继续探究三位数被7整除的规律，她采用归纳的策略，先列举一些简单的三位数，如182，364，576，…等，她发现了如下特征： 182能被7整除，则有，14能被7整除； 364能被7整除，则有，28能被7整除； 576不能被7整除，则有，45不能被7整除； …… (1)类比例子中的特征，下列能被7整除的是______； ①371；②457；③756． (2)小颖根据以上探究过程，猜想：一个三位数记为，如果______可以被7整除，那么就能被7整除（请用含a、b、c的代数式表示）； (3)若三位数能被7整除，直接写出m的值． 【答案】(1)①③ (2) (3)2或9 【分析】本题主要考查了运用类比的思想解决问题、有理数的混合运算、整式的加减运算． （1）根据阅读材料中提供的解题思路进行判断即可； （2）根据（1）中的规律可知：如果能被整除，那么就能被整除；设一个三位数的百位为，十位为，个位为，可得：，其中能被7整除，所以只要能被整除，那么就能被整除． （3）结合（2）的结论，且三位数能被7整除，进行列式计算，再根据，且为整数，进行分析计算，即可作答． 【详解】（1）解：，能被整除， 能被整除； ，不能被整除， 不能被整除； ，能被整除， 能被整除； 能被整除的是； （2）解：由（1）中的规律可知：如果能被整除，那么就能被整除，过程如下： 设一个三位数的百位为，十位为，个位为，且这个三位数记为， 其中能被7整除， 只要能被整除，那么就能被整除． （3）解：由（2）得只要能被整除，那么就能被整除． ∵三位数能被7整除， ∴， 即能被整除， ∵，且为整数， ∴， ∵， ∴或， 即或． 【类型五】代数式的整体思想 1．我们知道：，同理，若我们把看成一个整体，则有．这种解决问题的方法渗透了数学中的“整体思想”，“整体思想”是中学数学解题中的一种重要的思想方法，其应用极为广泛．请运用“整体思想”解答下面的问题： (1)把看成一个整体，合并； (2)已知：，求代数式的值； (3)已知，，，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查合并同类项，代数式的恒等变形，代数式的加减代换，掌握整体思想是解题关键． （1）把看作一个整体，直接合并同类项的系数，得到简化结果； （2）将代数式变形为，再把整体代入求值； （3）把已知的、、看作整体，通过加减组合出和，再代入目标式计算． 【详解】（1）解： ． （2）解：， ． （3）解：，，， ， ， ． 2．我们知道：，类似地，若我们把看成一个整体，则有：．这种解决问题的方法渗透了数学中的“整体思想”．“整体思想”是中学数学解题中的一种重要的思想方法，其应用极为广泛．请运用“整体思想”解答下面问题： (1)把看成一个整体，合并； (2)已知：，求代数式的值； (3)已知，，，求的值． 【答案】(1) (2)6 (3)8 【分析】（1）利用材料给出的“整体思想”合并同类项； （2）对原式进行整理，添加括号，整体代入求值； （3）利用原式进行整理，利用加法结合律，最后整体代入求值． 【详解】（1）解： ； （2）解： 将代入上式得， 原式； （3）解： 将，，代入上式得， 原式． 【点睛】注意“整体思想”的灵活应用． 3．“整体思想”是数学解题中一种重要的思想方法，其核心是将相关问题或部分看作一个整体，通过整体的代入、运算或转化，简化求解过程．“整体思想”在多项式的化简与求值中应用较为广泛，如下图是一道可利用“整体思想”解答的拓展题． 【阅读理解】 因为 所以 所以 所以代数式的值为21 【方法运用】 （1）若代数式的值为，求代数式的值； （2）当时，代数式的值为10，求当时，代数式的值； 【拓展应用】 （3）若，求的值． 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】本题考查了代数式求值，整式加减中的化简求值，熟练掌握整体代入法，是解题的关键． （1）仿照题干，利用整体代入法进行求值即可； （2）把代入代数式得到，则，把代入，再添括号，利用整体的思想代入求值即可； （3）先进行整式的加减计算，然后再整体代入求值即可． 【详解】解：（1）由题意得，， ∴； （2）∵时，代数式的值为10， ∴，即， ∴， 当时， ； （3） ∵， ∴原式 ． 【类型六】代数式的变化规律 1．为探索代数式与的值的变化情况，小亮通过填写下表，获得了相应的结论． x … 0 1 2 3 4 … … m 0 2 4 … … 9 8 7 6 5 n 3 2 1 … (1)根据表中信息可知：_______，________； (2)表中的值随着x的变化而变化的规律是：x的值每增加的值就随之增加2．类似地，的值随着x的变化而变化的规律是：________； (3)请写一个与具有相同变化规律的多项式________． 【答案】(1)；4 (2)x的值每增加1，的值就随之减少1 (3)（答案不唯一） 【分析】本题考查代数式求值，掌握代数式求值的方法是解题的关键． （1）把代入可求的值；把代入可求出的值； （2）根据表格中的数据可得出结论； （3）根据“的值随着x的变化而变化的规律是：x的值每增加的值就随之增加2”解答即可． 【详解】（1）解：当时，； 当时，； 故答案为：；4； （2）解：的值随着x的变化而变化的规律是x的值每增加1，的值就随之减少1， 故答案为：x的值每增加1，的值就随之减少1； （3）解：如：（答案不唯一）． 2．代数式是表示数量变化规律的重要形式．一般地，代数式的值随着代数式中字母取值的变化而变化，观察表格： x … 0 1 2 … … 0 a … … b 0 2 … … 1 3 5 … 【初步感知】 (1)根据表中信息可知：___________；___________． 【归纳规律】 (2)表中的值随着x的变化而变化的规律是：x的值每增加1，的值就减少1．类似地，的值随着x的变化而变化的规律是：___________； (3)观察表格，下列说法错误的有___________（填序号）； ①当时，； ②当时，； ③当时，； ④当时，． 【应用迁移】 (4)若已知的值总是大于的值，请直接写出x的取值范围． 【答案】(1)， (2)x的值每增加1，的值就增加2 (3)①② (4)． 【分析】（1）根据表中的规律进行求解即可； （2）根据的变化规律进行描述即可； （3）结合表格进行分析即可得出结果； （4）观察表格中的数据，从而可求解． 【详解】（1）解：当时，， 故； 当时，， 故， 故答案为：，； （2）解：的值随着x的变化而变化的规律是：x的值每增加1，的值就增加2； 故答案为：x的值每增加1，的值就增加2； （3）解：①当时，；；①说法错误； ②当时，；；②说法错误； ③当时，；；③说法正确； ④由得，则；④说法正确； 故答案为：①②； （4）观察表格得，当时，的值总是大于的值． 【点睛】本题主要考查代数式求值，解答的关键是对分析清楚所给的数列之间的关系． 3．根据下表，回答问题： … 0 1 2 3 … … 4 3 2 1 0 … … 9 4 1 0 1 9 … (1) ， ； (2)①代数式的值随着的值增大而 （填“增大”或“减小”）； ②观察的值随取值变化的规律，写一个具有相同变化规律的多项式 ； (3)比较和的大小，直接写出结果． 【答案】(1) (2)减小，（答案不唯一） (3)当或时，；当或时，，当时， 【分析】本题考查代数式求值，数字类规律探究： （1）分别求出时，的值和时，的值，即可求出的值； （2）根据表格数据，得到相应规律进行作答即可； （3）根据表格比较大小即可． 【详解】（1）解：当时，； 当时， ； 故答案为：； （2）①由表格可知：代数式的值随着的值增大而减小； ②由表格可知，的值随值的增大先减小，后增大，故具有相同变化规律的多项式可以为：（答案不唯一）； （3）由表格可知：当或时，， 当或时，， 当时，． 【类型七】代数式的归纳 1．阅读材料，完成填空： 你能比较 和 的大小吗？ 为了解决问题，先把问题一般化，即比较 和 的大小（n大于或等于1，且n为正整数），然后从分析，2，3，…这些简单的情形入手，从中发现规律，经过归纳、猜想得出结论． (1)通过计算，在横线上填“>”“<”或“=”． ①______；　　②______； ③______；　　④______； ⑤______；　　⑥______； ⑦______；　　　…… (2)由第（1）题的结果经过归纳，可以猜想和 的大小关系是______； (3)根据上面的归纳、猜想得到一般性结论，可以得到_____．（填“>”“<”或“=”） 【答案】(1)①<，②<，③>，④>，⑤>，⑥>，⑦> (2)当或2时，；当且n为正整数时， (3)> 【分析】本题考查了有理数的乘方运算． （1）先计算各数，再比较大小即可； （2）根据（1）归纳结论即可； （3）根据（2）中结论作答即可． 【详解】（1）解：①，，可知， ②，，可知， ③，，可知， ④，，可知， ⑤，，可知， ⑥，，可知， ⑦，，可知， 故答案为：①<，②<，③>，④>，⑤>，⑥>，⑦>； （2）解：由（1）的结果归纳可得，当或2时，；当且n为正整数时，， 故答案为：当或2时，；当且n为正整数时，； （3）解：因为且为正整数，根据（2）的结论，可得， 故答案为：>． 2．阅读理解 通过对现象的观察、分析，从特殊到一般的探索这类现象的规律、提出猜想的思想方法称为归纳．例如，运用归纳法探求如下规律： 三角形有3个顶点，如果在它的内部再画个点，并以个点为顶点画三角形，那么最多可以剪得多少个这样的三角形？ 为了解决这个问题，我们可以从、、等具体的、简单的情形入手，探索最多可以剪得的三角形个数的变化规律． 三角形内点的个数 图形 最多剪出的小三角形的个数 1 3 2 5 3 7 …… …… …… (1)通过观察、比较，可以发现： ，， 即三角形内的点每增加1个，最多可剪得的三角形增加______个； (2)猜想，当三角形内的点的个数为时，最多可以剪得_____个三角形． 请你尝试用归纳的方法探索：的和是多少？ 【答案】(1)2 (2)，证明见详解 【分析】本题考查了根据图形规律列代数式，正确找出图形规律是解题的关键． （1）由图形规律即可求解； （2）列表归纳即可． 【详解】（1）解；∵， ∴三角形内的点每增加1个，最多可以剪得的三角形增加2个； 故答案为：2； （2）解：猜想：三角形内点的个数为时，最多剪出的小三角形个数个． 加数的个数 和 证明：令 则 ∴， ∴， ∴． 3．数形结合是解决数学问题的一种重要的思想方法，初中数学里的代数公式，很多都可以借助几何图形进行直观推导和解释． 【方法初探】 （1）例如：求…的值（其中是正整数）．方案如下：如图，斜线左边的三角形图案是由上到下每层依次分别为，，，…，个小圆圈排列组成的．而组成整个三角形小圆圈的个数恰为所求式子的值．为求式子的值，现把左边三角形倒放于斜线右边，与原三角形组成一个平行四边形．此时，组成平行四边形的小圆圈共有 行，每行有 个小圆圈，所以组成一个三角形小圆圈的个数为 ； 【探索归纳】 （2）下面我们将利用数形结合尝试求的值（其中是正整数）．请你仔细观察图，找出图形与算式之间的关系，解决下列问题： ①探索规律：根据前面的规律，第（）个图形可以表示的等式为 ； ②归纳结论：则 （结果用含n的代数式表示）； 【拓展应用】 （3）求的值． 【答案】（1），，；（2）①；②；（3） 【分析】本题考查数字规律探究，利用数形结合，探究出规律是解题的关键． （1）根据平行四边形的面积公式列式即可得解； （2）①根据前四个图总结规律即可得解；②根据①中的等式总结规律即可得解； （3）根据（1）（2）中的结论求解即可． 【详解】解：（1）把左边三角形倒放于斜线右边，与原三角形组成一个平行四边形．此时，组成平行四边形的小圆圈共有行，每行有个小圆圈， ∴组成一个三角形小圆圈的个数为， 故答案为：，，； （2）①∵由第图形得， 由第图形得， 由第图形得， 由第图形得， ∴第（）个图形可以表示的等式为， 故答案为：； ②由①可得：， 故答案为：； （3）； 【类型八】代数式的新定义应用 1．定义：若一个多项式的各项系数之和为7的整数倍，则称这个多项式为“7倍系数多项式”，称这个多项式的各项系数之和为“7倍系数和”． 例如：多项式的系数和为，所以多项式是“7倍系数多项式”，它的“7倍系数和”为28． 请根据这个定义解答下列问题： (1)在下列多项式中，属于“7倍系数多项式”的是 ；（在横线上填写序号） ①；②；③． (2)若多项式是关于x、y的“7倍系数多项式”（其中m，n均为整数），则多项式也是关于x、y的“7倍系数多项式”吗?若是，请说明理由；若不是，请举出反例． 【答案】(1)①③ (2) 是，理由如下： 多项式是关于，的“7倍系数多项式”， 是7的整数倍， 设为整数，且， 则， 多项式的系数之和为：， ， ， 为7的倍数，即为7的倍数， 当多项式是关于，的“7倍系数多项式”，多项式也是关于，的“7倍系数多项式”． 【分析】本题考查了多项式的新定义， （1）分别算一下这三个多项式各系数之和是否为7的整数陪，即可求出答案； （2）根据题意可知，是7的整数倍，推出，根据要求推一下是否是7的整数倍即可． 【详解】（1）解：（1）①因为，是整式，所以这个多项式是“7倍系数多项式”； ②因为，不是整数，所以这个多项式不是“7倍系数多项式”； ③因为，2是整数，所以这个多项式不是“7倍系数多项式； 故答案选：①③； （2）略 2．定义：若一个多项式的各项系数之和为7的整数倍，则称这个多项式为“青一多项式”，称这个多项式的各项系数之和为“青一和”．例如：多项式的系数和为，所以多项式是“青一多项式”，它的“青一和”为．请根据这个定义解答下列问题： (1)在下列多项式中，属于“青一多项式”的是 ；（在横线上填写序号） ①；②；③． (2)若关于x的“青一多项式”的“青一和”为7，且均为正整数，求的值； (3)若多项式是关于x，y的“青一多项式”（其中m，n均为整数），则多项式也是关于x，y的“青一多项式”吗？若是，请说明理由；若不是，请举出反例． 【答案】(1)①③ (2) (3)是，理由见解析 【分析】（1）根据“青一多项式”的定义进行解答即可； （2）根据题意可得，整理为，因为均为正整数，则也为正整数，则分和进行讨论即可； （3）根据题意可得（为整数），即，将之代入中分析即可得出结论． 【详解】（1）解：∵， ∴属于青一多项式”； ∵（为整数）， ∴不属于青一多项式”； ∵， ∴属于青一多项式”； 故属于“青一多项式”的是①③， 故答案为：①③． （2）∵关于x的“青一多项式”的“青一和”为7， ∴，即， ∵均为正整数， ∴也为正整数， 当时，则，即，则； 当时，则，即，则； 综上：的值为； （3）是，理由如下： ∵多项式是关于x，y的“青一多项式”， ∴（为整数）， ∴， ∴， ∴是的整数倍， ∴多项式也是关于x，y的“青一多项式”． 【点睛】本题考查了多项式的系数，整倍数的分析，读懂题意，理解题目所给出的定义进行解答是关键． 3．定义：若，则称与是关于2的友好数． (1)3与 是关于2的友好数； (2)若，，判断与是否是关于2的友好数，并说明理由； (3)若，，且与是关于2的友好数，求代数式的值． 【答案】(1) (2)是，理由见解析 (3) 【分析】本题主要考查代数式求值，理解题意是解题的关键． （1）根据友好数的定义列式计算即可； （2）根据友好数的定义列式计算即可； （3）根据友好数的定义列式求出，再代入即可得出答案． 【详解】（1）解：． 故答案为：． （2）解：是，理由如下： ， 所以与是关于2的友好数． （3）解：与是关于2的友好数， ， ，， ， ， ． 1．（25-26七年级下·重庆·阶段检测）已知，则代数式的值为（   ） A．1 B．4 C．6 D．10 【答案】A 【分析】先从已知方程变形得到的值，再将所求代数式变形后整体代入计算即可． 【详解】∵ ∴ 将代入得 原式． 2．（25-26八年级下·河北衡水·阶段检测）长方体的底面是边长为的正方形，当长方体的高变化时，长方体的体积随之发生变化，关于①、②的说法，下列判断正确的是（    ） ①V与h的关系式为；②h每增加，V就增加 A．①、②都对 B．①、②都错 C．①对②错 D．①错②对 【答案】A 【分析】根据长方体体积公式得出V与h的关系式，再根据关系式分析h变化时V的变化情况． 【详解】分析①：∵长方体底面是边长为的正方形，根据正方形面积公式可得， 将代入体积公式， ∴，故①正确； 分析②：由①可知，当h增加时，即变为，此时体积， ∴体积增加的值为，故②正确， 综上，①、②都对． 3．（25-26八年级下·河南南阳·阶段检测）若，则我们把称为的“卢卡斯数”，例如4的“卢卡斯数”是，的“卢卡斯数”是．已知，是的“卢卡斯数”，是的“卢卡斯数”，是的“卢卡斯数”，……，依此类推，则的值为（） A．－1 B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意，依次求出，，，…，发现规律即可解决问题． 【详解】解：，是的“卢卡斯数”， ， 是的“卢卡斯数”， ， 是的“卢卡斯数”， ， 同理可得： ， ， ， …， 由此可见，这列数从开始按循环出现， ， ． 4．（25-26七年级下·重庆·阶段检测）下列图形是由相同大小的“●”按一定规律组成，其中第①个图形一共有12个“●”，第②个图形一共有18个“●”，第③个图形一共有24个“●”，．．．，则第⑦个图形中“●”的个数为（   ） A．32 B．42 C．48 D．56 【答案】C 【分析】先根据题意找出其中的规律，即可求出第⑦个图形中“●”的个数． 【详解】解：第①个图形一共有个●， 第②个图形一共有：个●， 第③个图形一共有个●， … 第个图形一共有个●， 第⑦个图形一共有：个●． 5．（25-26七年级上·上海·阶段检测）计算：___________． 【答案】/ 【分析】利用合并同类项法则求解即可． 【详解】解：． 6．（25-26九年级下·江西九江·阶段检测）单项式的次数是______． 【答案】 3 【详解】解：单项式的次数为． 7．（25-26八年级下·江苏宿迁·阶段检测）已知，，代数式的值为_______． 【答案】/0.25 【分析】本题考查代数式求值，先根据已知条件将所有字母用同一个字母表示，再代入所求代数式约分求解即可； 【详解】解： ，， ，， 将，代入代数式得： 原式； 8．（25-26六年级上·山东东营·阶段检测）化简： (1)； (2)； 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查整式的加法与减法： （1）根据整式的加法与减法的运算法则计算即可； （2）根据整式的加法与减法的运算法则计算即可； 【详解】（1）原式 （2）原式 9．（25-26七年级上·福建漳州·阶段检测）先化简，再求值：，其中． 【答案】 ， 【分析】先将多项式去括号，再合并同类项，最后代入求解． 本题考查了整式的加减法，掌握去括号和合并同类项法则是解题关键． 【详解】解：原式 将代入得 故答案为：,． 10．（25-26七年级上·内蒙古赤峰·阶段检测）用一根绳子围成一个长，宽的长方形． 【基础设问】 （1）表示的实际意义：__________________． （2）当绳子的长为时，用含y的代数式表示x，则_________． （3）当长方形的面积为时，用含y的代数式表示x，则_________． （4）在围成的长方形中，分别以它的两个顶点为圆心，以为半径作两个不重叠的四分之圆，如图．    ①用代数式表示阴影部分的面积； ②当，时，求阴影部分的面积（结果保留）． 【开放设问】 （5）在不同实际问题中，相同的代数式表示不同的意义，请举2个例子说明代数式表示的实际问题中的数量关系． 【答案】（1）这根绳子的长度；（2）；（3）；（4）①，②阴影部分的面积；（5）见解析 【分析】本题主要考查了列代数式，代数式求值和代数式的实际应用，正确理解题意是解题的关键． （1）根据长方形周长公式可得表示这个长方形的周长，即为这根绳子的长度； （2）根据长方形周长公式求解即可； （3）根据长方形面积公式求解即可； （4）①阴影部分面积等于长方形面积减去两个四分之一圆的面积，据此求解即可；②根据（4）①所求代值计算即可； （5）结合实际举例即可． 【详解】解：（1）∵一根绳子围成一个长，宽的长方形， ∴表示这个长方形的周长， ∴表示的实际意义为这根绳子的长度； （2）∵绳子的长为， ∴， ∴， ∴； （3）∵长方形的面积为， ∴， ∴； （4）①由题意得，； ②当，时，； （5）举例1：橘子的单价为2元每千克，妈妈第一次购买了x千克橘子，第二次购买了y千克橘子，那么妈妈一共花费元； 举例2：数字z是数字x与数字y的和的2倍，则数字z为． 1．（25-26七年级上·上海·期中）下列各式中，计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查合并同类项的法则，只有同类项才能合并，合并时系数相加减，字母和字母的指数保持不变，根据法则逐一判断选项即可． 【详解】解：对选项A：，A错误； 对选项B：与相同字母的指数不同，不是同类项，不能合并，B错误； 对选项C：，C错误； 对选项D：，D正确． 2．（25-26八年级下·云南昭通·期中）已知实数满足，则的值为（    ） A．3 B． C．0 D．1 【答案】C 【分析】先根据“几个非负数的和为0，则每个非负数都为0”求出的值，再代入代数式计算即可． 【详解】解：∵，，， ∴ ，， 解得，． ∴． 3．（25-26七年级上·四川宜宾·期中）下列关于多项式的说法中，错误的是（     ） A．有三项 B．常数项为 C．次数是7 D．二次项的系数是 【答案】C 【分析】本题考查多项式的基本概念，首先明确多项式相关定义：组成多项式的每个单项式叫做多项式的项，不含字母的项叫常数项，多项式中次数最高项的次数就是多项式的次数，单项式中的数字因数是单项式的系数．根据多项式的项数，次数，常数项，系数的定义逐一判断即可，找出错误说法，即可求解． 【详解】解：∵ 多项式 由个单项式组成， ∴ 多项式共有三项，A选项说法正确； ∵ 不含字母的项是， ∴ 常数项为，B选项说法正确； ∵ 最高次项为 ，次数为， ∴ 多项式的次数为，不是，C选项说法错误； ∵ 二次项是，数字因数为， ∴ 二次项的系数是，D选项说法正确． 综上，错误的是C． 4．（25-26七年级下·重庆万州·期中）如图，用相同的圆点按照一定的规律拼出图形．第一幅图3个圆点，第二幅图7个圆点，第三幅图11个圆点，第四幅图15个圆点……按照此规律，第8幅图中圆点的个数是（　　） A．39 B．36 C．33 D．31 【答案】D 【分析】根据图形总结规律：第幅图中圆点的个数为，进一步即可得解． 【详解】解：由题意可知，第一幅图个圆点，， 第二幅图个圆点，， 第三幅图11个圆点，， 第四幅图15个圆点，， … 观察发现，第幅图中圆点的个数为， 则第8幅图中圆点的个数是（个）． 5．（25-26六年级下·四川成都·期中）若代数式的值为7，则代数式的值为__________． 【答案】20 【分析】由题意可得，再将所求代数式变形后，利用整体代入思想计算即可． 【详解】解：代数式的值为7， ， ． 6．（25-26八年级下·北京·期中）根据如图所示的程序计算函数的值，若输入的值是，则输出的值为_____． 【答案】 【分析】观察程序计算图，根据输入的值，找出与的关系式，将其值代入即可求出答案，计算过程需要注意的是有理数的加减法法则（减一个数等于加上这个数的相反数；同号两数相加，取相同的符号并将绝对值相加）． 【详解】解：输入的值是， 将代入中， ． 7．（25-26七年级下·广东佛山·期中）如表被称为“杨辉三角”或“贾宪三角”．其规律是：从第三行起，每行两端的数都是“1”，其余各数都等于该数“两肩”上的数之和．表中两平行线之间的一列数：1，3，6，10，15，…，我们把第一个数记为，第二个数记为，第三个数记为，…，第n个数记为，则______，______． 【答案】 【分析】通过观察数列中相邻两项的差，发现后一项比前一项依次增加，从而得出等于从加到的和，利用求和公式即可求解． 【详解】解：由题意得 ， ， ， ， ， ， 所以． 当时， ． 8．（25-26七年级下·云南·期中）已知的立方根是，的算术平方根是，是的整数部分． (1)的值为_____；的值为_____；的值为_____； (2)求的平方根． 【答案】(1) ，， (2) 【分析】本题考查了立方根、算术平方根、无理数的整数部分的有关计算以及代数式求值： （1）根据题意列方程求解即可； （2）将代入后再算平方根． 【详解】（1）解：根据题意，得， 则 即， 解得：； 根据题意，得， 则， 即， 解得：； ， ， 是的整数部分， ． （2）解：将，，代入中，得： ， 则的平方根为． 9．（25-26七年级下·江苏无锡·期中）如图，两个正方形的边长分别为a和b． (1)求阴影部分的面积S（用含a和b的代数式表示）； (2)若，，求阴影部分面积S的值． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：阴影部分的面积 ． （2）解：当，时， ． 10．（25-26七年级上·广东东莞·期中）【阅读理解】我们知道：，类似的，若我们把看成一个整体，则有．这种解决问题的方法渗透了数学中的“整体思想”．“整体思想”是中学数学解题中的一种重要的思想方法，其应用极为广泛． 【方法运用】 (1)把看成一个整体，则__________； (2)已知，求代数式的值； (3)当时，代数式的值是，则当时，求的值（结果用含的代数式表示）． 【拓展应用】 (4)将一块长方形纸片剪成如图所示的①、②、③、④4个正方形和⑤一个小长方形，设①号正方形的边长为，②号正方形的边长为，若图中⑤号小长方形的周长为20，试求③号正方形的周长． 【答案】(1) (2)36 (3) (4)20 【分析】（1）按照“整体思想”进行计算即可； （2）把用表示，然后整体代入即可； （3）由题意得，再把代入，最后整体代入 即可求解； （4）由题意可得③号正方形的边长，进而表示出④号正方形的边长，则可表示⑤号长方形的长与宽，根据⑤号长方形的周长为20，可求得的值，从而求解． 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：当时，代数式的值是， 即， ∴； 当时，； （4）解：∵①号正方形的边长为，②号正方形的边长为， ∴③号正方形的边长为， ∴④号正方形的边长为， ∴⑤号长方形的长为，宽为， 由题意得， ∴， 则③号正方形的周长为． 1．（25-26七年级下·云南昆明·期末）下列运算中，正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：A选项：∵与所含字母不同，不是同类项，不能合并，∴A错误． B选项：∵与中相同字母的指数不同，不是同类项，不能合并，∴B错误． C选项：∵与是同类项，合并同类项时系数相减，字母及指数不变， ∴，∴C错误． D选项：∵与是同类项，合并同类项得，计算正确，∴D正确． 2．（25-26七年级下·浙江衢州·期末）若，则（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵， ∴． 3．（25-26七年级下·湖南邵阳·期末）探索规律：观察下面的算式，第99个算式的结果是（     ） ① ② ③ ④ A．9998 B．9999 C．10000 D．10001 【答案】C 【分析】先观察已知算式，归纳出第个算式的结果规律为，再代入计算即可得到答案． 【详解】解：观察给出的算式可得： ∵ 第1个算式的结果为， 第2个算式的结果为， 第3个算式的结果为， ... ∴ 归纳规律：第个算式的结果为. 当时，， 因此第99个算式的结果是10000． 4．（25-26七年级下·云南曲靖·期末）按一定规律排列的代数式：，，，，，…，第个代数式是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】所有代数式都含字母，找出系数的变化规律，即可推出第个代数式． 【详解】解：∵第个代数式为，系数， 第个代数式为，系数， 第个代数式为，系数， 第个代数式为，系数， ……， ∴以此类推，第个代数式的系数为，即第个代数式是． 5．（25-26七年级下·四川广元·期末）若，则_____________． 【答案】 【分析】利用非负数的性质解题，几个非负数的和为时，每个非负数都为，先求出、、的值，再计算三者的和即可． 【详解】解∵，，，且， ∴，，， 解得，，， ∴． 6．（25-26六年级下·山东泰安·期末）若当时，的值为，那么当时，的值为____________． 【答案】4 【分析】根据题意可得的值，再把代入到得到，据此求解即可． 【详解】解：∵当时，的值为， ∴， ∴， ∴当时， ． 7．（25-26六年级下·山东东营·期末）如图，将正整数按此规律排列成数表，则2026是表中第________行，第________列． 【答案】 64 10 【分析】观察数表可知，第行有个数，且前行共有个数，即第行最后一个数为，通过估算确定2026所在的行数，进而求出列数． 【详解】解：由图可知，第1行最后一个数是1， 第2行最后一个数是， 第3行最后一个数是， 第4行最后一个数是， 第行最后一个数是， 当时，， 当时，， ∵， ∴2026在第64行， ∵第63行最后一个数是2016， ∴第64行第1个数是2017， ， ∴2026是第64行第10列． 8．（25-26七年级上·吉林白山·期末）如图是某居民小区的一块长为a米，宽为米的长方形空地，为了美化环境，准备在这个长方形空地的四个顶点处各修建一个半径为b米的圆形休息区，阴影部分种植草坪，草坪外围用篱笆围起来． (1)求阴影部分的周长C（用含a、b的代数式表示）； (2)已知围建篱笆的费用为每米20元．当，，π取3时，求围建篱笆的费用． 【答案】(1)米 (2)围建篱笆的费用为320元 【分析】本题主要考查列代数式及代数式的值，解题的关键是理解题意； （1）根据圆的周长公式及图形可进行求解； （2）把，，代入（1）中代数式进行求解即可． 【详解】（1）解：由题意，得： 米． （2）解：把，，分别代入C，得： （米）， 围建篱笆的费用为每米20元， （元）． 答：围建篱笆的费用为320元． 9．（25-26七年级下·宁夏中卫·期末）【问题呈现】在某些数学问题中，我们经常要比较两个数或代数式的大小，解决问题的方法一般都是进行一定的转化，其中“作差法”就是常用的转化方法之一． 作差法：通过作差、变形，利用差的符号确定它们的大小． 对于任意的两个代数式，要比较大小，只要计算的值，即若，则；若，则；若，则，反过来也成立． 【解决问题】例如比较和的大小，我们可以用，即． 【数学思考】依据上面的方法，完成下列问题： (1)若，则_______；（填“>”“<”或“=”） (2)比较与的大小； (3)已知，，若，试比较与的大小． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）先对两个代数式作差，通过整式加减化简差，再结合已知条件判断差的符号，即可得到两个代数式的大小关系； （2）先对两个代数式作差，通过整式加减化简差，再结合平方数的非负性判断差的符号，即可得到两个代数式的大小关系； （3）先对两个代数式作差，通过整式加减化简差，再结合已知条件判断差的符号，即可得到两个代数式的大小关系． 【详解】（1）解： ， ∵， ∴， ∴； （2）解： ， ∵， ∴， ∴， ∴； （3）解： ， ∵， ∴， ∴． 10．（25-26七年级下·河南郑州·期末）“数理致远”数学兴趣小组探究如下问题： 从1，2，3，…，n为整数，且这个整数中任取6个整数，这6个整数之和共有多少种不同的结果？ 【分析问题】 我们采取特殊化的策略，先从最简单的特殊化情形入手，再将一般问题转化为特殊问题，从而找出解决问题的方法． 【解决问题】 (1)特殊化1：从1，2，3这3个整数中任取2个整数，这2个整数之和共有多少种不同的结果？ 所取的2个整数 1，2 1，3 2，3 2个整数之和 3 4 5 如表所示：所取的2个整数之和可以为3，4，5，也就是从3到5的连续整数，其中最小是3，最大是5，所以共有3种不同的结果． 特殊化2：从1，2，3，4，5这5个整数中任取2个整数，任意2个整数之和中最小的是： ，最大的是 ，所以共有 种不同的结果． 特殊化3：从1，2，3，…，10这10个整数中任取3个整数，这3个整数之和共有 种不同的结果． (2)验证结论：从1，2，3，…，n（n为整数，且）这个整数中任取6个整数，这6个整数之和共有多少种不同的结果，说明理由．（结果用含的式子表示） (3)迁移应用：从60张面值分别为1元、2元、3元、…、60元的奖券中（面值为整数），一次任意抽取5张奖券并把面值相加，共有 种不同的金额． 【答案】(1)，，；22； (2)种； (3) 【分析】（1）特殊化2；类比特殊化1求解即可；根据特殊化1和2的结论求解即可； （2）（3）利用（1）（2）得到的规律求解即可． 【详解】（1）解：特殊化2：由题意得：从1，2，3，4，5这5个整数中任取2个整数， 所取的2个整数 1，2 1，3 1，4 1，5 2，3 2，4 2，5 3，4 3，5 4，5 2个整数之和 3 4 5 6 5 6 7 7 8 9 其中它们和的最小值为，最大值为， 所以这两个整数之和共有种情况； 特殊化3：类比特殊化1和2可知：从1，2，3，4，…，10这10个整数中任取3个整数，其中它们和的最小值为，最大值为， 所以这3个整数之和共有种情况． （2）解：由（1）可知：从1，2，3，…，n（n为整数，且）这个整数中任取6个整数，其中它们和的最小值为，最大值为， 所以这6个整数之和共有种情况． （3） 解：由（1）（2）规律可得：从60张面值分别为1元、2元、3元、…、60元的奖券中面值为整数，任意抽取5张奖券，其中它们和的最小值为，最大值为，所以其面值之和共有种情况． 学科网（北京）股份有限公司 $