第2节 导数与函数的单调性（一）复习讲义-2027届高三数学一轮复习

第2节 导数与函数的单调性(一) 考试要求　1.结合实例,借助几何直观了解函数的单调性与导数的关系.　2.能利用导数研究函数的单调性,对于多项式函数,能求不超过三次的多项式函数的单调区间. 1.函数的单调性与导数的关系 条件 恒有 结论 函数y=f(x)在区间(a,b)上可导 f'(x)>0 f(x)在(a,b)上____________ f'(x)<0 f(x)在(a,b)上____________ f'(x)=0 f(x)在(a,b)上是___________ 2.利用导数判断函数单调性的步骤 第1步,确定函数的_______; 第2步,求出导函数f'(x)的_______; 第3步,用f'(x)的零点将f(x)的定义域划分为若干个区间,列表给出f'(x)在各区间上的正负,由此得出函数y=f(x)在定义域内的单调性. |微点拨| 讨论函数的单调性或求函数的单调区间的实质是解不等式,求解时,要坚持“定义域优先”原则. 1.f'(x)>0(<0)在区间(a,b)内恒成立是f(x)在区间(a,b)内单调递增(减)的充分不必要条件. 2.f'(x)≥0(≤0)在区间(a,b)内恒成立是f(x)在区间(a,b)内单调递增(减)的必要不充分条件. 3.f'(x)≥0(≤0)在区间(a,b)内恒成立且在区间(a,b)的任意子区间内都不恒等于零是f(x)在区间(a,b)内单调递增(减)的充要条件. 1.思考辨析(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)函数f(x)在(a,b)内单调递增,那么一定有f'(x)>0.( ) (2)在(a,b)内f'(x)≤0且f'(x)=0的根为有限个,则f(x)在(a,b)内单调递减.( ) (3)若函数f(x)在定义域上都有f'(x)>0,则f(x)在定义域上一定单调递增.( ) (4)函数f(x)=x-sin x在R上是增函数. ( ) 2.(人教B版选择性必修第三册习题改编)已知函数f(x)的定义域为[0,2],且y=f'(x)的图象如图所示,则f(x)的单调递增区间是　　　　,单调递减区间是　　　　.  3.(人教A版选择性必修第二册习题改编)函数f(x)=x3+2x2-4x的单调递增区间是　　　　.  4.已知函数f(x)=x2-ax+ln x(a∈R)的单调递减区间为,则a=　　　　.  考点一　函数的单调性与导函数图象之间的关系 例1 (1)已知函数f(x)在定义域内可导,f(x)的图象如图,则其导函数f'(x)的图象可能为(　　) 课堂笔记： (2)若定义在R上的函数y=x3f'(x)的图象如图所示,则函数y=f(x)的单调递增区间为(　　) A.[0,1] B.[0,2] C.(-∞,0] D.(-∞,2] 课堂笔记： 1.由原函数图象识别导函数图象的依据 若f(x)单调递增,则f'(x)的图象一定在x轴的上方;若f(x)单调递减,则f'(x)的图象一定在x轴的下方;若f(x)是常函数,则f'(x)=0. 2.由导函数图象识别原函数图象的依据 若f'(x)>0,则f(x)单调递增,若f'(x)<0,则f(x)单调递减. 1.函数f(x)的图象如图所示,设f(x)的导函数为f'(x),则>0的解集为(　　) A.(1,6) B.(1,4) C.(-∞,1)∪(6,+∞) D.(1,4)∪(6,+∞) 考点二　不含参函数的单调性 例2 (1)下列函数在(0,+∞)上单调递增的是(　　) A.f(x)=sin 2x B.f(x)=xex C.f(x)=x3-x D.f(x)=-x+ln x 课堂笔记： (2)若函数f(x)=,则函数f(x)的单调递增区间为　　　　.  课堂笔记： 确定不含参数的函数的单调性,按照判断函数单调性的步骤即可,但应注意两点,一是不能漏掉求函数的定义域,二是函数的单调区间不能用并集,要用“逗号”或“和”隔开. 2.若函数f(x)=x2-3x-4ln x,则函数f(x)的单调递减区间为(　　) A.(-∞,-1),(4,+∞) B.(-1,4) C.(0,4) D.(4,+∞) 3.已知定义在区间[0,π]上的函数f(x)=x+2cos x,判断函数f(x)的单调性. 考点三　含参数的函数的单调性 例3 已知函数f(x)=x2-(a+2)x+2aln x.讨论函数f(x)在(0,3)上的单调性. 讨论含参函数单调性的方法 1.研究含参数的函数的单调性,要依据参数对不等式解集的影响进行分类讨论. 2.划分函数的单调区间时,要在函数定义域内讨论,还要确定导数为零的点和函数的间断点. 4.已知函数f(x)=ex-ax-a,a∈R,讨论f(x)的单调区间. 1.函数f(x)=2x-cos x在R上是(　　) A.增函数 B.减函数 C.先增后减 D.不确定 2.函数y=f(x)的导函数y=f'(x)的图象如图所示,则函数y=f(x)的图象可能是(　　) 3.设f(x)=2x2-x3,则f(x)的单调递减区间是(　　) A. B. C.(-∞,0) D.(-∞,0)和 4.函数f(x)=x-2ln(2x)的单调递减区间为(　　) A.(-∞,1) B.(0,1) C.(0,2) D.(2,+∞) 5.已知函数f(x)=,则下列说法中正确的是(　　) A.函数f(x)是奇函数,且在(-∞,-1)上单调递减 B.函数f(x)是奇函数,且在(-∞,-1)上单调递增 C.函数f(x)是偶函数,且在(-∞,-1)上单调递减 D.函数f(x)是偶函数,且在(-∞,-1)上单调递增 6.已知函数f(x)与其导函数f'(x)的图象的一部分如图所示,则关于函数g(x)=单调性的说法正确的是(　　) A.在(-1,1)上单调递减 B.在(0,2-)上单调递减 C.在[2-,1]上单调递减 D.在[1,2]上单调递减 7.(多选)如图为y=f(x)的导函数f'(x)的图象,给出下列四个说法,其中正确的是(　　) A.f(x)有三个单调区间 B.f(-2)<f(-1) C.f(-1)<f(1) D.f(x)在[-1,2]上单调递增,在(2,4]上单调递减 8.(多选)下列函数在定义域上是增函数的是(　　) A.f(x)= B.f(x)=ln x- C.f(x)=ex·2-x D.f(x)=ex(x2+1) 9.函数f(x)=ex+ln(1-x)+1的单调递减区间为　　　　.  10.已知函数f(x)满足下列条件:①f(x)的导函数f'(x)为偶函数;②f(x)在区间(-∞,-2),(2,+∞)上单调递增,则f(x)的一个解析式为f(x)=　　　　.(答案不唯一)  11.(14分)已知函数f(x)=+ax-(ax+1)ln x在x=1处的切线方程为y=bx+(a,b∈R). (1)求a,b的值; (2)证明:f(x)在(1,+∞)上单调递增. 12.(13分)已知函数f(x)=ax2-(a+4)x+2ln x,其中a≠0.试讨论f(x)的单调性. 13.(多选)如果函数f(x)对定义域内的任意两实数x1,x2(x1≠x2)都有>0,则称函数y=f(x)为“F函数”.下列函数不是“F函数”的是(　　) A.f(x)=ex B.f(x)=x2 C.f(x)=ln x D.f(x)=sin x 14.函数f(x)=sin 2x+2cos x在(0,π)上的单调递增区间为　　　　.  学科网（北京）股份有限公司 $ 第2节 导数与函数的单调性(一) 考试要求　1.结合实例,借助几何直观了解函数的单调性与导数的关系.　2.能利用导数研究函数的单调性,对于多项式函数,能求不超过三次的多项式函数的单调区间. 1.函数的单调性与导数的关系 条件 恒有 结论 函数y=f(x)在区间(a,b)上可导 f'(x)>0 f(x)在(a,b)上单调递增 f'(x)<0 f(x)在(a,b)上单调递减 f'(x)=0 f(x)在(a,b)上是常数函数 2.利用导数判断函数单调性的步骤 第1步,确定函数的定义域; 第2步,求出导函数f'(x)的零点; 第3步,用f'(x)的零点将f(x)的定义域划分为若干个区间,列表给出f'(x)在各区间上的正负,由此得出函数y=f(x)在定义域内的单调性. |微点拨| 讨论函数的单调性或求函数的单调区间的实质是解不等式,求解时,要坚持“定义域优先”原则. 1.f'(x)>0(<0)在区间(a,b)内恒成立是f(x)在区间(a,b)内单调递增(减)的充分不必要条件. 2.f'(x)≥0(≤0)在区间(a,b)内恒成立是f(x)在区间(a,b)内单调递增(减)的必要不充分条件. 3.f'(x)≥0(≤0)在区间(a,b)内恒成立且在区间(a,b)的任意子区间内都不恒等于零是f(x)在区间(a,b)内单调递增(减)的充要条件. 1.思考辨析(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)函数f(x)在(a,b)内单调递增,那么一定有f'(x)>0.(×) (2)在(a,b)内f'(x)≤0且f'(x)=0的根为有限个,则f(x)在(a,b)内单调递减.(√) (3)若函数f(x)在定义域上都有f'(x)>0,则f(x)在定义域上一定单调递增.(×) (4)函数f(x)=x-sin x在R上是增函数. (√) 2.(人教B版选择性必修第三册习题改编)已知函数f(x)的定义域为[0,2],且y=f'(x)的图象如图所示,则f(x)的单调递增区间是　　　　,单调递减区间是　　　　.  答案　(0,1)　(1,2) 解析　由题图知,当x∈(0,1)时,f'(x)>0, 当x∈(1,2)时,f'(x)<0, 故f(x)的单调递增区间是(0,1), 单调递减区间是(1,2). 3.(人教A版选择性必修第二册习题改编)函数f(x)=x3+2x2-4x的单调递增区间是　　　　.  答案　(-∞,-2), 解析　由f'(x)=3x2+4x-4=(3x-2)(x+2)>0, 得x<-2或x>, 故f(x)的单调递增区间为(-∞,-2),. 4.已知函数f(x)=x2-ax+ln x(a∈R)的单调递减区间为,则a=　　　　.  答案　3 解析　由题意可得,f(x)的定义域为(0,+∞),又f'(x)=2x-a+=<0的解集为,则a=3. 考点一　函数的单调性与导函数图象之间的关系 例1 (1)已知函数f(x)在定义域内可导,f(x)的图象如图,则其导函数f'(x)的图象可能为(　　) (2)若定义在R上的函数y=x3f'(x)的图象如图所示,则函数y=f(x)的单调递增区间为(　　) A.[0,1] B.[0,2] C.(-∞,0] D.(-∞,2] 答案　(1)A　(2)B 解析　(1)观察图象知,当x<0时,f(x)单调递减,f'(x)<0,选项BD不可能;当x>0时,函数f(x)先单调递增,再单调递减,然后又单调递增,则f'(x)的值先正,再负,然后又为正,有两个不同的零点,所以A可能,C不可能. (2)由题图可得, 当0≤x≤2时,由y=x3f'(x)≥0得f'(x)≥0,y=f(x)在[0,2]上单调递增; 当x>2时,由y=x3f'(x)<0得f'(x)<0,y=f(x)在(2,+∞)上单调递减; 当x<0时,由y=x3f'(x)>0得f'(x)<0,y=f(x)在(-∞,0)上单调递减, 综上,函数y=f(x)的单调递增区间为[0,2]. 1.由原函数图象识别导函数图象的依据 若f(x)单调递增,则f'(x)的图象一定在x轴的上方;若f(x)单调递减,则f'(x)的图象一定在x轴的下方;若f(x)是常函数,则f'(x)=0. 2.由导函数图象识别原函数图象的依据 若f'(x)>0,则f(x)单调递增,若f'(x)<0,则f(x)单调递减. 1.函数f(x)的图象如图所示,设f(x)的导函数为f'(x),则>0的解集为(　　) A.(1,6) B.(1,4) C.(-∞,1)∪(6,+∞) D.(1,4)∪(6,+∞) 解析　D　由题意,>0⇒f'(x)·f(x)>0, 由题图可知,当x∈(-∞,4)时,f(x)单调递增,f'(x)>0; 当x∈(4,+∞)时,f(x)单调递减,f'(x)<0, 所以当x∈(1,4)时,f'(x)>0且f(x)>0, 当x∈(6,+∞)时,f'(x)<0且f(x)<0, 综上,>0的解集为(1,4)∪(6,+∞). 考点二　不含参函数的单调性 例2 (1)下列函数在(0,+∞)上单调递增的是(　　) A.f(x)=sin 2x B.f(x)=xex C.f(x)=x3-x D.f(x)=-x+ln x (2)若函数f(x)=,则函数f(x)的单调递增区间为　　　　.  答案　(1)B　(2)(0,1) 解析　(1)对于A,f'(x)=2cos 2x,f'=-1<0,不符合题意; 对于B,f'(x)=(x+1)ex>0,符合题意; 对于C,f'(x)=3x2-1,f'=-<0,不符合题意; 对于D,f'(x)=-1+,f'(2)=-<0,不符合题意. (2)f(x)的定义域为(0,+∞),f'(x)=, 令φ(x)=-ln x-1(x>0),φ'(x)=--<0, φ(x)在(0,+∞)上单调递减,且φ(1)=0, ∴当x∈(0,1)时,φ(x)>0,即f'(x)>0, 当x∈(1,+∞)时,φ(x)<0,即f'(x)<0, ∴f(x)在(0,1)上单调递增,在(1,+∞)上单调递减. ∴函数f(x)的单调递增区间为(0,1). 确定不含参数的函数的单调性,按照判断函数单调性的步骤即可,但应注意两点,一是不能漏掉求函数的定义域,二是函数的单调区间不能用并集,要用“逗号”或“和”隔开. 2.若函数f(x)=x2-3x-4ln x,则函数f(x)的单调递减区间为(　　) A.(-∞,-1),(4,+∞) B.(-1,4) C.(0,4) D.(4,+∞) 解析　C　∵f(x)=x2-3x-4ln x,定义域为(0,+∞), ∴f'(x)=x-3-==, 令f'(x)<0,解得0<x<4, 则函数f(x)的单调递减区间为(0,4). 3.已知定义在区间[0,π]上的函数f(x)=x+2cos x,判断函数f(x)的单调性. 解　f'(x)=1-2sin x,x∈[0,π], 令f'(x)=0,得x=或x=, 当0≤x<,<x≤π时,f'(x)>0, 当<x<时,f'(x)<0, ∴f(x)在和上单调递增,在上单调递减. 考点三　含参数的函数的单调性 例3 已知函数f(x)=x2-(a+2)x+2aln x.讨论函数f(x)在(0,3)上的单调性. 解　由题f'(x)=x-(a+2)+=(0<x<3). ①当a≤0时,x-a>0,则0<x<2时f'(x)<0,2<x<3时f'(x)>0, 所以f(x)在(0,2)上单调递减,在(2,3)上单调递增; ②当0<a<2时,则a<x<2时f'(x)<0,0<x<a或2<x<3时f'(x)>0, 所以f(x)在(0,a),(2,3)上单调递增,在(a,2)上单调递减; ③当a=2时,则f'(x)≥0在(0,3)上恒成立,故f(x)在(0,3)上单调递增; ④当2<a<3时,则2<x<a时f'(x)<0,0<x<2或a<x<3时f'(x)>0, 所以f(x)在(0,2),(a,3)上单调递增,在(2,a)上单调递减; ⑤当a≥3时,x-a<0,则0<x<2时f'(x)>0,2<x<3时f'(x)<0, f(x)在(0,2)上单调递增,在(2,3)上单调递减. 综上所述, 当a≤0时,f(x)在(0,2)上单调递减,在(2,3)上单调递增; 当0<a<2时,f(x)在(0,a),(2,3)上单调递增,在(a,2)上单调递减; 当a=2时,f(x)在(0,3)上单调递增; 当2<a<3时,f(x)在(0,2),(a,3)上单调递增,在(2,a)上单调递减; 当a≥3时,f(x)在(0,2)上单调递增,在(2,3)上单调递减. 讨论含参函数单调性的方法 1.研究含参数的函数的单调性,要依据参数对不等式解集的影响进行分类讨论. 2.划分函数的单调区间时,要在函数定义域内讨论,还要确定导数为零的点和函数的间断点. 4.已知函数f(x)=ex-ax-a,a∈R,讨论f(x)的单调区间. 解　函数f(x)=ex-ax-a的定义域为R, 求导得f'(x)=ex-a, 当a≤0时,f'(x)>0恒成立, 即f(x)在(-∞,+∞)上单调递增; 当a>0时,令f'(x)=ex-a>0,解得x>ln a, 令f'(x)=ex-a<0,解得x<ln a, 即f(x)在(-∞,ln a)上单调递减,在(ln a,+∞)上单调递增. 综上所述,当a≤0时,f(x)的单调递增区间为(-∞,+∞),无单调递减区间; 当a>0时,f(x)的单调递减区间为(-∞,ln a),单调递增区间为(ln a,+∞). 1.函数f(x)=2x-cos x在R上是(　　) A.增函数 B.减函数 C.先增后减 D.不确定 解析　A　∵f(x)=2x-cos x,∴f'(x)=2+sin x>0在R上恒成立, ∴f(x)在R上是增函数. 2.函数y=f(x)的导函数y=f'(x)的图象如图所示,则函数y=f(x)的图象可能是(　　) 解析　D　利用导数的正负与函数的单调性进行验证.f'(x)>0的解集对应y=f(x)的单调递增区间,f'(x)<0的解集对应y=f(x)的单调递减区间,验证只有D符合. 3.设f(x)=2x2-x3,则f(x)的单调递减区间是(　　) A. B. C.(-∞,0) D.(-∞,0)和 解析　D　由f(x)=2x2-x3,得f'(x)=4x-3x2=x(4-3x), 令f'(x)=0,得x=0或x=, f'(x),f(x)的变化情况如表所示. x (-∞,0) 0 f'(x) - 0 + 0 - f(x) 单调递减 单调递增 单调递减 所以f(x)的单调递减区间是(-∞,0)和. 4.函数f(x)=x-2ln(2x)的单调递减区间为(　　) A.(-∞,1) B.(0,1) C.(0,2) D.(2,+∞) 解析　C　f(x)=x-2ln(2x)的定义域为(0,+∞),f'(x)=1-2··2=1-=,由f'(x)<0,可得x∈(0,2),故f(x)=x-2ln(2x)的单调递减区间为(0,2). 5.已知函数f(x)=,则下列说法中正确的是(　　) A.函数f(x)是奇函数,且在(-∞,-1)上单调递减 B.函数f(x)是奇函数,且在(-∞,-1)上单调递增 C.函数f(x)是偶函数,且在(-∞,-1)上单调递减 D.函数f(x)是偶函数,且在(-∞,-1)上单调递增 解析　A　由函数f(x)=,可得其定义域为R,又由f(-x)==-=-f(x),所以f(x)为奇函数.当x∈(-∞,-1)时,f(x)==xex,则f'(x)=ex+xex=(1+x)ex,则f'(x)<0,所以f(x)在(-∞,-1)上单调递减. 6.已知函数f(x)与其导函数f'(x)的图象的一部分如图所示,则关于函数g(x)=单调性的说法正确的是(　　) A.在(-1,1)上单调递减 B.在(0,2-)上单调递减 C.在[2-,1]上单调递减 D.在[1,2]上单调递减 解析　B　从题图可以看出过点(2,0)的为f(x)的图象,过点(1,0)的为导函数f'(x)的图象, g'(x)=, 当x∈(-1,2-)时,f'(x)-f(x)<0,故g'(x)<0,g(x)=在(-1,2-)上单调递减, 当x∈[2-,2]时,f'(x)-f(x)≥0,故g'(x)≥0,g(x)=在[2-,2]上单调递增,故ACD错误,B正确. 7.(多选)如图为y=f(x)的导函数f'(x)的图象,给出下列四个说法,其中正确的是(　　) A.f(x)有三个单调区间 B.f(-2)<f(-1) C.f(-1)<f(1) D.f(x)在[-1,2]上单调递增,在(2,4]上单调递减 解析　CD　对于A,由题图可以看出,f'(x)的符号是先负后正,再负再正,所以函数f(x)有四个单调区间,故A错误; 对于B,当x∈[-2,-1]时,f'(x)≤0,函数f(x)单调递减,所以f(-2)>f(-1),故B错误; 对于CD,当x∈[-1,2]时,f'(x)≥0,函数f(x)单调递增,所以f(-1)<f(1),当x∈(2,4]时,f'(x)≤0,函数f(x)单调递减,故CD正确. 8.(多选)下列函数在定义域上是增函数的是(　　) A.f(x)= B.f(x)=ln x- C.f(x)=ex·2-x D.f(x)=ex(x2+1) 解析　BCD　对于A,f(x)的定义域为(0,+∞),f'(x)=,当x∈(e,+∞)时,f'(x)<0,∴f(x)在(e,+∞)上单调递减,故A错误; 对于B,f(x)的定义域为(0,+∞),f'(x)=+>0,∴f(x)在(0,+∞)上为增函数,故B正确; 对于C,f(x)=ex·2-x=为增函数,故C正确; 对于D,f'(x)=ex(x2+1)+ex·2x=ex(x2+2x+1)=ex(x+1)2≥0,∴f(x)为增函数,故D正确. 9.函数f(x)=ex+ln(1-x)+1的单调递减区间为　　　　.  答案　(-∞,1) 解析　由1-x>0知x<1,故f(x)的定义域为(-∞,1). f'(x)=ex+(1-x)'=ex+=. 记g(x)=ex(x-1)+1(x<1), 则g'(x)=(ex)'(x-1)+ex(x-1)'=ex(x-1)+ex=xex. 令g'(x)=0,解得x=0. 当x变化时,g'(x),g(x)的变化情况如下表所示 x (-∞,0) 0 (0,1) g'(x) - 0 + g(x) 单调递减 0 单调递增 因此,当x=0时,g(x)有最小值g(0)=0, 所以当x∈(-∞,1)时,g(x)≥g(0)=0, 即f'(x)=≤0, 所以f(x)的单调递减区间是(-∞,1). 10.已知函数f(x)满足下列条件:①f(x)的导函数f'(x)为偶函数;②f(x)在区间(-∞,-2),(2,+∞)上单调递增,则f(x)的一个解析式为f(x)=　　　　.(答案不唯一)  答案　x3-4x(答案不唯一) 解析　因为f(x)在区间(-∞,-2),(2,+∞)上单调递增,所以当x∈(-∞,-2)∪(2,+∞)时,f'(x)>0.又f(x)的导函数f'(x)为偶函数,所以令f'(x)=x2-4,满足题意,所以f(x)=x3-4x(答案不唯一). 11.(14分)已知函数f(x)=+ax-(ax+1)ln x在x=1处的切线方程为y=bx+(a,b∈R). (1)求a,b的值; (2)证明:f(x)在(1,+∞)上单调递增. (1)解　因为f(x)=+ax-(ax+1)ln x, 所以f'(x)=x+a-aln x-=x--aln x, 依题意可得 即 解得 (2)证明　由(1)可得f(x)=+2x-(2x+1)ln x,则f'(x)=x--2ln x, 令g(x)=f'(x)=x--2ln x,x∈(1,+∞), 则g'(x)=1+-=>0, 所以g(x)在(1,+∞)上单调递增, 又g(1)=0,所以当x∈(1,+∞)时,g(x)>0,即f'(x)>0, 所以f(x)在(1,+∞)上单调递增. 12.(13分)已知函数f(x)=ax2-(a+4)x+2ln x,其中a≠0.试讨论f(x)的单调性. 解　函数f(x)=ax2-(a+4)x+2ln x的定义域为(0,+∞), f'(x)=2ax-(a+4)+==, 由f'(x)=0,可得x1=,x2=, ①当0<a<4时,>,当<x<时,f'(x)<0,即函数f(x)在上单调递减, 当0<x<或x>时,f'(x)>0,即函数f(x)在和上单调递增; ②当a=4时,则对任意的x>0,f'(x)=≥0,即函数f(x)在(0,+∞)上单调递增; ③当a>4时,则0<<,当<x<时,f'(x)<0,即函数f(x)在上单调递减, 当0<x<或x>时,f'(x)>0,即函数f(x)在和上单调递增; ④当a<0时,ax-2<0,当0<x<时,f'(x)>0,即函数f(x)在上单调递增, 当x>时,f'(x)<0,即函数f(x)在上单调递减. 综上所述,当0<a<4时,函数f(x)在和上单调递增,在上单调递减; 当a=4时,函数f(x)在(0,+∞)上单调递增; 当a>4时,函数f(x)在和上单调递增,在上单调递减; 当a<0时,函数f(x)在上单调递增,在上单调递减. 13.(多选)如果函数f(x)对定义域内的任意两实数x1,x2(x1≠x2)都有>0,则称函数y=f(x)为“F函数”.下列函数不是“F函数”的是(　　) A.f(x)=ex B.f(x)=x2 C.f(x)=ln x D.f(x)=sin x 解析　ACD　依题意,函数g(x)=xf(x)为定义域上的增函数. 对于A,g(x)=xex,g'(x)=(x+1)ex, 当x∈(-∞,-1)时,g'(x)<0,所以g(x)在(-∞,-1)上单调递减,故A中函数不是“F函数”; 对于B,g(x)=x3在R上单调递增,故B中函数为“F函数”; 对于C,g(x)=xln x,g'(x)=1+ln x,x>0, 当x∈时,g'(x)<0,所以g(x)在上单调递减,故C中函数不是“F函数”; 对于D,g(x)=xsin x,g'(x)=sin x+xcos x, 当x∈时,g'(x)<0,所以g(x)在上单调递减,故D中函数不是“F函数”. 14.函数f(x)=sin 2x+2cos x在(0,π)上的单调递增区间为　　　　.  答案　, 解析　函数f(x)=sin 2x+2cos x, 求导得f'(x)=2cos 2x-2sin x=2(1-2sin2x)-2sin x=-2(2sin x-1)(sin x+1), 当x∈(0,π)时,由f'(x)>0,得sin x<, 解得0<x<或<x<π, 所以所求单调递增区间为,. 学科网（北京）股份有限公司 $