第2节 函数的单调性与最大（小）值讲义-2027届高三数学一轮复习

该高中数学高考复习讲义围绕函数单调性与最值核心考点，依据课标要求构建“基础概念-性质应用-综合提升”的知识体系，通过知识梳理夯实定义与判定方法，考点突破解析高考题型，分层训练强化解题能力，帮助学生系统掌握单调区间求解、最值应用等关键技能。 讲义采用定义法与图象法结合的教学策略，如通过复合函数“同增异减”原则分析单调区间，培养学生数学思维与逻辑推理能力。设置基础测试、课后练习及拔高练习分层训练，配合详细解析，助力教师精准把控复习节奏，有效提升学生应考能力。

第2节 函数的单调性与最大（小）值 课标要求： 1． 借助函数图象，会用数学符号语言表达函数的单调性、最值，理解其实际意义； 2． 会运用基本初等函数的图象分析函数的性质． 模块一：基础夯实与概念辨析 1、 知识梳理 1． 函数的单调性 （1） 单调函数的定义 增函数 减函数 条件 一般地，设函数的定义域为，区间，如果，当时， 都有 都有 结论 那么就称函数在区间上单调递增，特别地，当函数在它的定义域上单调递增时，我们就称它是增函数 那么就称函数在区间上单调递减，特别地，当函数在它的定义域上单调递减时，我们就称它是减函数 图示 （2） 单调区间的定义 如果函数在区间上是增函数或减函数，那么就说函数在这一区间具有（严格的）单调性，区间叫做函数的单调区间． 2． 函数的最值 前提 设函数的定义域为，如果存在实数满足 条件 （1） ，都有； （2） ，使得 （1） ，都有； （2） ，使得 结论 为最大值 为最小值 二、重点汇总 1．常用结论 （1）函数单调性的判断方法 1 定义法：取值→作差→变形→定号→下结论 2 图象法：通过观察函数图象的上升或下降趋势来判断 3 常见函数的单调性： 1) ：时为增函数，时为减函数； 2) ：时，在和上单调递减，时单调递增； 3) ：在上单调递减，在上单调递增． 4 复合函数的单调性：同增异减 设复合函数，是定义域的某个区间，是在这个区间上的值域： 1) 若在上是增（或减）函数，在上也是增（或减）函数，则函数在上是增函数； 2) 若在上是增（或减）函数，而在上是减（或增）函数，则函数在上是减函数． 5 单调性运算性质：在函数和的同一定义区间上 1) 和均为增函数⟹ 为增函数 2) 和均为减函数⟹ 为减函数 3) 为增函数，为减函数⟹ 为增函数 4) 为减函数，为增函数⟹ 为减函数 5) ：为增函数⟹ 为增函数；：为增函数⟹ 为减函数 6) ：为增函数⟹ 为减函数 （2）闭区间最值定理：函数在区间上连续，则一定存在最大、最小值． 2．易错提醒 （1）单调区间不能用“∪”连接，要用“和”或逗号分隔； （2）单调性定义中的“任意”性，不能因为存在符合定义的判断单调性； （3）函数最值必须是可取得的，如果不能取到，则函数不存在最值． 三、基础测试 1．请判断下列说法是否正确，正确的打“√”，错误的打“×”． （1）若函数满足，则在上是增函数．（　　） （2）函数的单调减区间是．（　　） （3）若函数在区间，上单调递减，则在上单调递减．（　　） （4）函数在区间上是减函数，则函数的单调递减区间是．（　　） （5）对于函数，若对任意且，有，则函数在区间上是增函数．（　　） （6）若函数在区间上单调递增，则一定是该函数的最小值．（　　） 2．函数的单调递增区间是_________． 3．若函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是_________． 4．函数在区间上单调递_________（增/减）． 5．函数是定义在上的单调增函数，若，则实数的取值范围是_________． 6．函数在区间上的最大值与最小值之和为_________． 模块二：考点突破与题型演练 考点一 函数的单调性 【考法分析】主要考查定义法证明函数的单调性，能够判断常见函数的单调性（区间），核心在于掌握单调性的原始定义． 【典例1】（1）已知函数在区间上单调递增，且，则下列不等式一定成立的是（　　） A． B． C． D． （2）下列函数在上为增函数的是（　　） A． B． C． D． （3）函数的单调递减区间为（　　） A． B． C． D． 【变式1】（1）已知函数的定义域为，则“在上是减函数”是“对任意，存在，使得”的（　　） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 （2）下列函数中，在上单调递减的是（　　） A． B． C． D． （3）试讨论函数（）在上的单调性． 【思维点拨】（1）求函数的单调区间，应先求定义域，在定义域内求单调区间； （2）函数单调性的方法：①定义法；②图象法；③利用已知函数的单调性． 考点二 函数单调性的应用 【考法分析】函数单调性的应用有三个核心题型：利用单调性比较大小、解函数不等式、根据函数的单调性求参数；是高考中的高频考点． 【典例2】（1）已知定义在上的函数满足，且在区间上单调递增，若，，，则（　　） A． B． C． D． （2）已知函数是定义在上的减函数，则不等式的解集为（　　） A． B． C． D． （3）若函数在上单调递增，则实数的取值范围是_________． 【变式2】（1）已知定义在上的函数满足，且对任意，当时，都有，则（　　） A． B． C． D． （2）定义在上的函数满足，，都有成立，则不等式的解集为（　　） A． B． C． D． （3）已知在上满足，则实数的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【思维点拨】（1）比较函数值的大小时，先根据函数满足的性质，转化到同一个单调区间内，再通过函数的单调性比较大小； （2）解函数不等式，首先利用条件脱去“”，转化为自变量间的大小关系，再解得到的不等式，需要注意函数的定义域； （3）利用单调性求参数取值范围，根据函数的单调性构建参数满足的不等式（组），或者根据函数的图象进行求解，值得注意的是对于分段函数，要注意衔接点的取值比较． 考点三 复合函数的单调性 【考法分析】复合函数的单调性一般包含求单调区间和根据复合函数的单调性两种题型，有一定的难度． 【典例3】（1）函数的单调递增区间是（　　） A． B． C． D． （2）已知函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是_________． 【变式3】（1）若函数在其定义域上单调递增，则函数（　　） A．在其定义域上单调递增 B．在其定义域上单调递减 C．在其定义域上单调递增 D．在其定义域上单调递减 （2）已知函数是上的减函数，若在区间上是减函数，则实数的取值范围是_________． 【思维点拨】复合函数的单调性的判定原则：同增异减 设复合函数，是定义域的某个区间，是在这个区间上的值域： （1）若在上是增（或减）函数，在上也是增（或减）函数，则函数在上是增函数； （2）若在上是增（或减）函数，而在上是减（或增）函数，则函数在上是减函数． 考点四 函数的最值（值域） 【考法分析】主要考查求函数值域（最值）的一般方法，比如单调性法、配方法等． 【典例4】（多选）下列选项中正确的有（　　） A．的定义域为，则的定义域为 B．函数的值域为 C．函数在的值域为 D．函数的值域为 【变式4】（多选）下列选项中正确的有（　　） A．函数在区间上的最大值为，则的值为或 B．函数在区间上的最大值为 C．函数（）的最小值为 D．函数的值域为 【思维点拨】求函数最值（值域）的几种方法： （1）配方法：主要用于和二次函数有关的函数求最值（值域）的问题； （2）单调性法：利用函数的单调性，再根据函数的定义域确定函数的最值（值域），需要注意能否取得的问题； （3）图象法（数形结合）：根据函数的图象求函数的最值（值域），在求分段函数的最值（值域）时这个方法会比较直观； （4）换元法：使用新变量代替原来的量构造成新函数求最值（值域），特别是含有根号的解析式，可以使用新变量去除根号； （5）分离常数法：分子、分母同次的分式形式采用配凑分子的方法，把函数分离成一个常数和一个分式和的形式，再根据复合函数的单调性进行求值，这种方法最容易出现的问题在于分式能否取到． 考点五 函数最值的应用 【考法分析】主要考查的题型有恒成立问题和存在性问题，是一个高频考点，也是一个难点． 【典例5】（1）若函数在区间上的最大值为，则实数（　　） A． B． C． D．或 （2）设函数的定义域为，对于，正数都满足：，则实数的取值范围是_________． （3）已知函数，，若，，使得成立，则实数的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【变式5】（1）设函数，若在区间上的最大值为，则（　　） A． B． C． D． （2）若，记，函数，若，使得，则实数的取值范围是_________． （3）已知函数，，若，使得成立，则实数的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【思维点拨】函数不等式恒成立（有解）问题：转化为函数最值 双变量问题的转化： （1），，使得⟹ ； （2），，使得⟹ ； （3），，使得⟹ ； 课后练习 1、 单选题 1． 设定义在上的函数的图象如图所示，则关于函数的单调区间表述正确的是（　　） A．在上单调递减 B．在上单调递减，在上单调递增 C．在上单调递减 D．在上单调递增 2． 若函数在上是减函数，则与的大小关系是（　　） A． B． C． D． 3． 若定义在上的函数满足，则的单调递增区间为（　　） A．和 B．和 C．和 D．和 4． 已知函数对任意的，总满足，则实数的取值范围是（　　） A． B． C． D． 5． 已知函数的定义域为，对任意的，都有，则不等式的解集是（　　） A． B． C． D． 6． 已知函数，“在定义域上的最大值为，最小值为”是“的值域为”的（　　） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 7． 已知函数的值域为，则实数的取值范围是（　　） A． B． C． D． 8． 若函数与同时满足以下条件：①与具有相同的定义域与单调区间；②且．则称是的“二倍函数”，已知函数（）是函数（）的“二倍函数”，则（　　） A． B． C． D． 2、 多选题 9． 已知函数，则（　　） A． B． C．在区间上单调递减 D．在区间上的最小值为 10． 已知函数在区间上单调递增，则的取值可以是（　　） A．， B．， C．， D．， 11． 已知函数与的图象如图所示，则（　　） A．函数在上单调递增 B．函数在上单调递增 C．函数在上单调递减 D．函数在上单调递减 3、 填空题 12． 已知函数在定义域上是单调函数，，则_________． 13． 已知定义在的减函数满足，且，则不等式的解集为_________． 14． 已知函数，，若对任意的，总存在，使得成立，则实数的取值范围是_________． 4、 解答题 15． 已知函数． （1） 用定义法判断在区间上的单调性； （2） 求出该函数在区间上的最大值和最小值． 16． 已知函数（）． （1） 用定义证明函数在定义域上为增函数； （2） 求解不等式． 17． 已知函数（）． （1） 用定义法证明：函数在区间上单调递增； （2） 若，且存在，使得成立，求实数的取值范围． 18． 已知函数满足：对任意实数，，，且当时，． （1） 求的值； （2） 证明：是上的单调递减函数； （3） 若对，，求实数的取值范围． 19． 已知函数，． （1） ，，，求实数的取值范围； （2） ，，使得，求实数的值； （3） ，，求实数的取值范围． 拔高练习 1． 已知函数的定义域为，且，则函数的最大值为（　　） A． B． C． D． 2． 已知函数的定义域为，，且对任意，都有，则不等式的解集为（　　） A． B． C． D． 3． 已知定义在上的函数满足：对任意，有，，且当时，，则不等式的解集为（　　） A． B． C． D． 4． 已知函数的定义域为，值域为，对任意，都有，且，则下列说法正确的是（　　） A． B． C． D．是增函数 5． （多选）若定义在上的函数满足，对，，存在常数，都有，则下列结论中可能成立的是（　　） A． B． C． D． 6． （多选）已知连续函数满足：①，都有；②当时，；③．则下列说法中正确的是（　　） A． B． C．在上的最小值是 D．不等式的解集为 7． 已知函数，（），若存在实数，使得成立，则_________． 8． 设二次函数，若存在实数，对任意，使得不等式成立，则实数的取值范围是_________． 9． 已知函数的定义域为，对于任意的，都有．若，且对于恒成立，则实数的取值范围是_________． 参考答案 三、基础测试 1．（1）× 【解析】如函数满足，但是在上不是增函数． （2）× 【解析】函数的单调递减区间是和，不能使用“∪”连接． （3）× 【解析】如满足在区间，上单调递减，但是在处无定义． （4）× 【解析】函数在上是减函数，但是单调递减区间是． （5）√ 【解析】由得，当时，，所以函数在区间上是增函数． （6）√ 【解析】由单调性求最值的方法可知，函数在区间上的最小值是，最大值是． 2． 【解析】二次函数的对称轴为， ∴函数的单调递增区间是． 3． 【解析】二次函数的对称轴为， 函数在区间上单调递增，则． 4．减 【解析】由反比例函数的性质可知，在区间上单调递减． 5． 【解析】由题意，解得． 6． 【解析】函数在区间上单调递减， ∴，， ∴最大值与最小值之和为． 【典例1】（1）D 【解析】函数在区间上单调递增， ∴由得， ∴，选项A错误； ，选项B错误，选项D正确； 函数满足在区间上单调递增， 但是，选项C错误． （2）B 【解析】函数在上单调递减，在上单调递增，选项A错误； 由一次函数的性质知，函数在上为增函数，选项B正确； 函数的定义域为，选项C错误； （3）C 【解析】， 结合一次函数的性质知，函数的单调递减区间为． 【变式1】（1）A 【解析】充分性：在上是减函数，当时，，∴，充分性成立； 必要性：取，， 当时，， ∴，， 当时，， ∴，， 当时，， ∴，， ∴函数满足对任意，存在，使得， 但是，在上不是减函数，必要性不成立； ∴“在上是减函数”是“对任意，存在，使得”的充分不必要条件． （2）D 【解析】函数在上单调递增，选项A错误； 函数的对称轴为，在上单调递减，在上单调递增，选项B错误； 由对勾函数的性质知函数在上单调递增，在上单调递减，选项C错误； 函数在上单调递减，选项D正确． （3）解：对，不妨设， ​ ​ ， 又，，， ∴当时，，函数在上单调递增； 当时，，函数在上单调递减． 【典例2】（1）B 【解析】，， ∴，∴， ∴， 函数在上单调递增， ∴， 又，∴． （2）C 【解析】，， ∵函数在上是减函数， ∴，解得． （3） 【解析】， 当即时，在和上单调递减； 当即时，在和上单调递增， 由函数在上单调递增得，∴． 【变式2】（1）B 【解析】，∴当时，， ∴函数在上单调递减，∴， 又，∴，∴． （2）A 【解析】，∴当时，， ∴函数在上单调递增， 由得： 或， ∴或，∴． （3）A 【解析】，∴当时，， ∴函数在上单调递增， 当时，，满足条件； 当时，在区间上， 对称轴为，函数单调递增， ∴且，∴， 在端点处应该满足：，即， 综上所述，． 【典例3】（1）C 【解析】要使式子有意义，， 即，即， 解得，∴函数定义域为， 的对称轴为， ∴在上单调递增，在上单调递减， 又在定义域上单调递减， 根据复合函数的单调性的性质可知， 函数的单调递增区间为． （2） 【解析】函数在上单调递增， 由复合函数单调性可知： 在区间上单调递减且， 函数的对称轴为， ∴且，∴． 【变式3】（1）B 【解析】函数的定义域为， 即，即， ∴函数的定义域为， ∴，∴， ∴函数的定义域为， 又函数在定义域上单调递增， 在定义域上单调递增， ∴函数在定义域上单调递增， 又在定义域上单调递减， ∴在定义域上单调递减． （2） 【解析】函数是上的减函数， 若在区间上是减函数， 则在区间上是增函数， 当时，在区间上是增函数， 当时，对称轴为， 根据二次函数的性质，且， ∴， 综上所述，． 【典例4】ABC 【解析】函数的定义域为，∴，∴，∴函数的定义域为，选项A正确； 令，则（），∴，∴函数的值域为，选项B正确； 函数的对称轴为，∴函数在上单调递减，∴，，由函数的连续性可知函数的值域为，选项C正确； ，由反比例函数的性质可知，函数的值域为，选项D错误． 【变式4】BD 【解析】若，则，∴，与矛盾，若，则，∴，选项A错误； ，在区间上单调递增，∴，选项B正确； ，又，∴，∴，当且仅当即时取等号，∴的最大值为，当时，，无最小值，选项C错误； 要使式子有意义，且，∴，故函数的定义域为，又函数在定义域上单调递减，∴值域为，选项D正确． 【典例5】（1）A 【解析】， 当时，，不满足最大值为， 当时，在区间上单调递增， ∴，即， 当时，在区间上单调递减， ∴，即与矛盾， ∴． （2） 【解析】要使式子有意义，且， ∴函数的定义域为， ， ∴函数单调递减，∴， ∴，解得或， 又是正数，∴． （3）B 【解析】，，使得成立，则， ，在区间上单调递增，∴， 当时，，满足条件； 当时，的对称轴为， 当时，在区间上单调递减， ∴， ∴，结合得， 当时，在区间上单调递增， ∴， ∴，结合得， 综上所述，实数的取值范围是． 【变式5】（1）A 【解析】当时，，， ∴最大值在上取得，此时，∴， 若，则区间是区间的子集， 但是开口向上的二次函数在开区间上无最大值，∴， ∴，∴在区间上单调递减， ∴，∴． （2） 【解析】，解得， ∴， 当时，， 当或时，，对称轴为， ∴函数在上单调递减，在上单调递增， ，，∴， 综上所述，， ，使得，则， 即，∴． （3）C 【解析】，设， 则 ， ∴，∴函数在上单调递增， ∴， ，使得， 等价于在区间上， 当时，单调递减， ∴，∴， 结合得； 当时，，满足题意； 当时，单调递增， ∴，∴， 结合得； 综上所述，． 课后练习 1．B 【解析】由函数图象可知，当时，， ∴在处无定义，选项ACD错误； 在上单调递增，∴在上单调递减， 在上单调递减，∴在上单调递增，选项B正确． 2．B 【解析】函数在上是减函数， ∴，即，∴． 3．B 【解析】当时，， ∴，∴， 对称轴为，单调递增区间为， 当时，，， 对称轴为，单调递增区间为， 综上所述，的单调递增区间为和． 4．A 【解析】由得， 当时，，函数单调递减， 由一次函数和二次函数的性质可知， 在区间和上各自单调递减， ∴只需满足在端点处，∴． 5．C 【解析】由，得： ，即， ∴函数单调递减， ， 即， ∴，即． 6．B 【解析】设，， 在定义域上的最大值为，最小值为， 但是的值域为，不是，充分性不成立； 的值域为，则最大值为，最小值为，必要性成立； ∴“在定义域上的最大值为，最小值为”是“的值域为”的必要不充分条件． 7．B 【解析】当时，在上单调递增，此时， 当时，在区间上单调递增， ∴，要使值域为，，即， 结合得， 当时，，函数值域为， 当时，在区间单调递减， ∴，函数值域不为， 综上所述，． 8．B 【解析】，在上单调递增， ∴最小值为，最大值为， 令，则，，对称轴为， 函数在上单调递增，则，即， 的最小值为，最大值为， 由二倍函数的定义可知，，， ∴，，∴． 9．ABD 【解析】，选项A正确； ，选项B正确； ， 由复合函数的单调性知在上单调递增，选项C错误； 在上单调递减，∴，选项D正确． 10．CD 【解析】当时，， 函数在区间上单调递增，则， 当时，， 结合反比例函数的性质，函数在区间上单调递增， 则且，解得且， ∴选项A、B错误，当时，，选项C正确； 当，时，满足，选项D正确． 11．ACD 【解析】和在上单调递增，则在上单调递增，选项A正确； 函数，的图象形状满足题意，，，但，，不满足单调递增，选项B错误； 在上单调递增，且，函数在上单调递减，∴函数在区间上单调递减，选项C正确； 函数在上单调递减，函数在上单调递增，∴函数在上单调递减，选项D正确． 12． 【解析】函数在定义域上是单调函数， ∴自变量的值与函数值唯一对应，， ∴（且为常数）， ∴，，即，即， ∴，∴． 13． 【解析】令，则， ， ∴等价于， ∵函数在上单调递减， ∴，，， 解得． 14． 【解析】， ∴函数在上单调递减，在上单调递增， ，，，， 由函数连续性知，函数在区间上的值域为， 对任意的，总存在，使得成立， 则函数在区间上的值域是在区间上的值域的子集， 当时，，在区间上的值域为，不满足条件； 当时，在区间上单调递减，值域为， ∴且，解得； 当时，在区间上单调递增，值域为， ∴且，解得， 综上所述，实数的取值范围是． 15．解：（1）， 对任意，设， ​ ​ ， 又，，， ∴，即， ∴函数在区间上单调递增． （2）由（1）知函数在区间上单调递增， ∴，． 16．解：（1）对任意，设， 则，，， ​ ​ ， ∴，即， ∴函数在定义域上为增函数． （2）由（1）知函数在定义域上为增函数， ∴不等式等价于， 解得． 17．解：（1）对任意，设， 则，， ​ ​ ， ∴，即， ∴函数在区间上单调递增． （2），， 由得，∴， ∴， 设， 由（1）知函数在区间上单调递增， ∴， 存在，使得成立， 等价于，即，即， ∴实数的取值范围是． 18．（1）解：令，则， 又，∴． （2）证明：对任意，设，则， ​ ， 当时，，∴， ∴，又，∴， ∴是上的单调递减函数，即证． （3）解： 等价于， 即， ∵是上的单调递减函数，∴， 当时，不等式解集为，不符合题意； 当时，一元二次不等式恒成立， 即且，即， ∴实数的取值范围是． 19．解：（1）的对称轴为， 函数在区间上单调递减，在上单调递增， ∴， ， 当且仅当，即时取等号， ∵，∴， 由，，得， ，即，即， ∴实数的取值范围是． （2）的对称轴为， 函数在区间上单调递减，在上单调递增， ∴，， ，，使得， 则，即， ∴． （3）不妨设，则， ∴， 设，则在上单调递减， ∴当且时，恒成立， 即恒成立， ∴恒成立，即恒成立， 又，∴，∴， ∴，即． 拔高练习 1．A 【解析】①， ∴②， 联立①②得， ， ∴， 即， 方程有实根，则， 解得，∴函数的最大值为． 2．A 【解析】设，对任意， 设，则，， ∴， ∵， ∴当时，，∴， ∴，即，函数单调递增， ，即， 即，即， 又在上单调递增， ∴，解得． 3．B 【解析】对任意，设，则， ∴ ， 当时，，∴， ∴，即，函数单调递增， ，∴， ∴， 即， ∴，∴， 解得或． 4．C 【解析】令，则， 即，解得或， 同理可得：或， 又，∴，，选项A错误； 令，则， 即， ∵函数的值域为，∴，选项B错误； ， ∵函数的值域为，∴， 当且仅当时取等号， ∴，即， ∴，选项C正确； ，但，∴不是增函数，选项D错误． 5．ABD 【解析】根据条件：对任意，有， 不妨设，则， 即， 设，则当时，， ∴函数是严格增函数， 由得， ，∴， 设，满足严格递增，且， 此时，选项A可能成立； 设，满足严格递增，且， 此时， 取，则，选项B可能成立； ， 取，则，选项D可能成立； ，则，是增函数，∴， ∴，选项C不可能成立． 6．ACD 【解析】令，则，∴，选项A正确； ，，选项B错误； ， 对任意，不妨设，则， ​ ， ∵时，，， ∴，即， ∴函数在上单调递减， ∴在上的最小值是，选项C正确； ， 即， ，则， 函数在上单调递减，∴， 即，解得，选项D正确． 7． 【解析】， ，∴， 当且仅当即时取等号， ∴，∴， 由得， ∴为最值点，否则， ∴，，． 8． 【解析】由题意，对任意，不等式成立， ∴，即对任意恒成立， 只需在上的最大值与最小值的差小于即可， 当时，在上单调递减， 则， 解得，与矛盾，不符合题意； 当时，在上单调递增， 则， 解得，结合得，； 当时，在上单调递减，在上单调递增， 则，解得， 综上所述，实数的取值范围是． 9． 【解析】对任意，都有， ∴即， 设，则当时，， ∴函数在上单调递减， 由得： ， ∵的定义域为，∴，， ∴，即， ∵，∴， ∴等价于， ∵函数在上单调递减， ∴，即对恒成立， ∴， 综上所述，实数的取值范围是． 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