第3章 第2节 函数的单调性与导数(Word教师用书)-【金版新学案】2027年高考数学高三总复习大一轮复习（湘教版）

该高中数学讲义聚焦函数单调性与导数核心考点，依据课程标准要求，从导数与单调性关系的基础梳理，到不含参数、含参数函数单调区间的求解，再到单调性应用（比较大小、解不等式、求参数范围），形成递进式知识体系。通过考点梳理（表格归纳关系）、方法指导（步骤总结）、真题训练（高考及模拟题）等环节，帮助学生系统突破难点。 资料采用问题驱动与分层训练结合的教学策略，如含参数单调性讨论中，通过判别式分类引导学生形成逻辑推理能力，单调性应用中构造函数模型培养数学思维。设置自测诊断、对点练等分层练习，配合真题再现与教材衔接，确保复习针对性，助力学生提升解题能力，为教师把控复习节奏提供清晰路径。

第二节　函数的单调性与导数 【课程标准】　1.结合实例，借助几何直观了解函数的单调性与导数的关系．　2.能利用导数研究函数的单调性．　3.对于多项式函数，能求不超过三次的多项式函数的单调区间．　4.体会导数在研究单调性中的作用． 函数的单调性与导数的关系 条件 恒有 结论 函数y=f(x)在区间(a，b)内可导 f'(x)>0 f(x)在区间(a，b)内单调递增，(a，b)为f(x)的单调递增区间 f'(x)<0 f(x)在区间(a，b)内单调递减，(a，b)为f(x)的单调递减区间 f'(x)=0 f(x)在区间(a，b)内是常数函数 [微提醒]　讨论函数的单调性或求函数的单调区间的实质是解不等式，求解时，要坚持“定义域优先”原则. [常用结论] (1)若函数f(x)在(a，b)上单调递增，则当x∈(a，b)时，f'(x)≥0恒成立；若函数f(x)在(a，b)上单调递减，则当x∈(a，b)时，f'(x)≤0恒成立. (2)若函数f(x)在(a，b)上存在单调递增区间，则当x∈(a，b)时，f'(x)>0有解；若函数f(x)在(a，b)上存在单调递减区间，则当x∈(a，b)时，f'(x)<0有解. (3)导数的正负对应于函数的增减.导数的绝对值大说明函数值变得快，曲线也就陡；绝对值小说明变得慢，曲线也就平缓. 【自测诊断】 1.(多选)下列结论正确的是(　　) A．如果函数f(x)在某个区间内恒有f'(x)=0，则f(x)在此区间内没有单调性 B．在(a，b)内f'(x)≤0且f'(x)=0的根有有限个，则f(x)在(a，b)内单调递减 C．若函数f(x)在定义域上都有f'(x)>0，则f(x)在定义域上一定单调递增 D．函数f(x)=x-sin x在R上是增函数 答案：ABD 2.(多选)如图是函数y=f(x)的导函数y=f'(x)的图象，则下列判断正确的是 (　　 ) A．在区间(-2，1)上f(x)单调递增 B．在区间(2，3)上f(x)单调递减 C．在区间(4，5)上f(x)单调递增 D．在区间(3，5)上f(x)单调递减 答案：BC 解析：在区间(-2，1)上，当x∈时，f'(x)<0，当x∈时，f'(x)>0，故f(x)在区间上单调递减，在区间上单调递增，故A错误；在区间(3，5)上，当x∈(3，4)时，f'(x)<0，当x∈(4，5)时，f'(x)>0，故f(x)在区间(3，4)上单调递减，在区间(4，5)上单调递增，故C正确，D错误；在区间(2，3)上，f'(x)<0，所以f(x)单调递减，故B正确.故选BC． 3.函数f(x)=cos x-x在(0，π)上的单调性是(　　) A．先增后减 B．先减后增 C．增函数 D．减函数 答案：D 解析：因为f'(x)=-sin x-1<0在(0，π)上恒成立，所以f(x)在(0，π)上是减函数.故选D． 4.函数f(x)=x-ln x的单调递减区间为　　　　.  答案：(0，1) 解析：函数f(x)的定义域为{x|x>0}，由f'(x)=1-<0，得0<x<1，所以函数f(x)的单调递减区间为(0，1). 5.(用结论)已知f(x)=x3-ax在[1，+∞)上是增函数，则实数a的最大值是　　　　.  答案：3 解析：f'(x)=3x2-a≥0，即a≤3x2，又因为x∈[1，+∞)，所以a≤3，即a的最大值是3. 考点一　不含参数的函数的单调性自主练透 1.(2026·吉林长春质检)已知x∈(0，π)，则函数f(x)=excos x的增区间为(　　) A． B． C． D． 答案：C 解析：因为f(x)=excos x，x∈(0，π)，所以f'(x)=(cos x-sin x)ex=excos，令f'(x)=0，解得x=，当x∈时，f'(x)>0，当x∈时，f'(x)<0，所以f(x)在上单调递增，在上单调递减，所以f(x)在(0，π)上的增区间为.故选C． 2.(2026·湖南湘潭模拟)函数f(x)=++x的单调递减区间为　　　　.  答案： 解析：f(x)的定义域为(0，+∞)，f'(x)=-+1=，当x∈时，f'(x)<0，当x∈时，f'(x)>0，所以f(x)的单调递减区间为. 学生用书⬇第63页 3.设f(x)=，讨论f(x)的单调性. 解：由题得函数的定义域为R，f'(x)==.令f'(x)>0，得cos x>-，即2kπ-<x<2kπ+. 令f'(x)<0，得cos x<-，即2kπ+<x<2kπ+. 故f(x)的增区间为，减区间为. 确定函数单调区间的步骤 第一步：确定函数y=f(x)的定义域； 第二步：求f'(x)； 第三步：解不等式f'(x)>0，解集在定义域内的部分为函数的单调递增区间； 第四步：解不等式f'(x)<0，解集在定义域内的部分为函数的单调递减区间. 考点二　含参数的函数的单调性(高考超重点)师生共研 (2026·山东青岛一模)已知函数f(x)=x2-ax+ln x. (1)若a=1，曲线y=f(x)在点(x0，f(x0))处的切线斜率为1，求该切线的方程； (2)讨论f(x)的单调性. 解：(1)当a=1时，f'(x)=， 由题意可知，f'(x0)=1，解得x0=1， 又因为f(1)=-，所以切线方程为x-y-=0. (2)f(x)的定义域为(0，+∞)，f'(x)=， 当a≤0时，f'(x)>0恒成立，f(x)在(0，+∞)单调递增； 当a>0时，令g(x)=x2-ax+1，Δ=a2-4， (ⅰ)当Δ≤0即0<a≤2时，f'(x)≥0恒成立，f(x)在(0，+∞)单调递增， (ⅱ)当Δ>0即a>2时，f'(x)=， 由f'(x)>0，得0<x<或x>， 由f'(x)<0，得<x<， 所以f(x)在单调递增，在单调递减. 综上：当a≤2时，f(x)在(0，+∞)单调递增； 当a>2时，f(x)在单调递增；f(x)在单调递减. 讨论含参函数单调性的方法 1.研究含参数的函数的单调性，要依据参数对不等式解集的影响进行分类讨论. 2.划分函数的单调区间时，要在函数定义域内讨论，还要确定导数为零的点和函数的间断点. 注意：个别导数为0的点不影响所在区间的单调性，如：f(x)=x3，f'(x)=3x2≥0(f'(x)=0在x=0时取到)，f(x)在R上是增函数. 对点练1.已知函数f(x)=ex-ax-a，a∈R，讨论f(x)的单调区间. 解：函数f(x)=ex-ax-a的定义域为R， 求导得f'(x)=ex-a， 当a≤0时，f'(x)>0恒成立， 即f(x)在(-∞，+∞)上单调递增； 当a>0时，令f'(x)=ex-a>0，解得x>ln a，令f'(x)=ex-a<0，解得x<ln a， 即f(x)在(-∞，ln a)上单调递减，在(ln a，+∞)上单调递增. 所以当a≤0时，f(x)的单调递增区间为(-∞，+∞)，无单调递减区间； 当a>0时，f(x)的单调递减区间为(-∞，ln a)，单调递增区间为(ln a，+∞). 考点三　函数单调性的应用多维探究 角度1　比较大小或解不等式 (1)(多选)下列不等式成立的是(　　) A．2ln<ln 2 B．ln<ln C．5ln 4<4ln 5 D．π>eln π (2)函数f(x)=ex-e-x+sin x，则不等式f(x)>0的解集是(　　) A．(0，+∞) B．(-∞，0) C．(0，π) D．(-π，0) 答案：(1)AD　(2)A 解析：(1)设f(x)=(x>0)，则f'(x)=，所以当0<x<e时，f'(x)>0，函数f(x)单调递增；当x>e时，f'(x)<0，函数f(x)单调递减.因为<2<e，所以f<f(2)，即2ln<ln 2.故A正确；因为<<e，所以f()<f，即ln>ln.故B不正确；因为e<4<5，所以f(4)>f(5)，即5ln 4>4ln 5.故C不正确；因为e<π，所以f(e)>f(π)，即π>eln π.故D正确.故选AD． (2)对函数f(x)求导得f'(x)=ex+e-x+cos x，因为ex+≥2，当且仅当x=0时等号成立，-1≤cos x≤1，所以f'(x)>0，因为f(-x)=-f(x)，所以f(x)是奇函数，所以f(x)在R上单调递增，又因为f(0)=e0-e-0+sin 0=0，所以f(x)>0的解集为(0，+∞).故选A． 学生用书⬇第64页 利用导数比较大小或解不等式的方法 利用导数比较大小或解不等式，其关键是构造函数，把比较大小和解不等式问题转化为先利用导数判断函数单调性，再根据单调性比较大小和解不等式问题.比较大小时，还要注意当自变量不在同一单调区间内时，应先利用函数的性质将其转化到同一单调区间上，再进行比较；解不等式时，还要注意将常数巧妙地转化为函数值，再根据单调性去掉函数符号“f”. 角度2　根据函数的单调性求参数(高考超重点) (2023·新课标Ⅱ卷)已知函数f(x)=aex-ln x在区间(1，2)单调递增，则a的最小值为(　　) A．e2 B．e C．e-1 D．e-2 答案：C 解析：由题意知，f'(x)=aex-≥0在(1，2)上恒成立，显然a>0，所以xex≥，设g(x)=xex，x∈(1，2)，所以g'(x)=(x+1)ex>0，所以g(x)在(1，2)上单调递增，g(x)>g(1)=e，故e≥，即a≥=e-1，即a的最小值为e-1.故选C． [变式探究] 1.(变条件、变问法)在本例中，若函数f(x)在区间(1，2)上存在单调递增区间，求实数a的取值范围. 解：因为f(x)在(1，2)内存在单调递增区间， 所以∃x∈(1，2)，使f'(x)>0有解， 即x∈(1，2)时，不等式aex->0有解， 即a>，x∈(1，2)有解， 由例3解析可知，∈，所以a>， 即实数a的取值范围为. 2.(变条件、变问法)若函数f(x)在区间(1，2)上不单调，求实数a的取值范围. 解：因为f(x)在(1，2)上不单调， 所以当x∈(1，2)时，f'(x)=0有解， 即方程aex-=0有解， 即a=在x∈(1，2)上有解， 由例3可知，∈， 所以实数a的取值范围为. 已知函数单调性求解参数范围的步骤 第一步：对含参数的函数f(x)求导，得到f'(x). 第二步：若函数f(x)在[a，b]上单调递增，则f'(x)≥0恒成立；若函数f(x)在[a，b]上单调递减，则f'(x)≤0恒成立，得到关于参数的不等式，解出参数范围. 第三步：验证参数范围中取等号时，是否恒有f'(x)=0.若f'(x)=0恒成立，则函数f(x)在(a，b)上为常数函数，舍去此参数值. 对点练2.(1)设函数f(x)是定义域为R的奇函数，且当x≥0时，f(x)=ex-cos x，则不等式f(2x-1)+f(x-2)>0的解集为(　　) A．(-∞，1) B． C． D．(1，+∞) (2)已知函数f(x)=-x2-3x+4ln x在(t，t+2)上不单调，则实数t的取值范围是　　　　　　　.  答案：(1)D　(2)[0，1) 解析：(1)根据题意，当x≥0时，f(x)=ex-cos x，此时有f'(x)=ex+sin x>0，则f(x)在[0，+∞)上为增函数，又f(x)为R上的奇函数，故f(x)在R上为增函数.f(2x-1)+f(x-2)>0⇒f(2x-1)>-f(x-2)⇒f(2x-1)>f(2-x)⇒2x-1>2-x，解得x>1，即不等式的解集为(1，+∞).故选D． (2)由题意，f'(x)=-x-3+=-，x∈，当f'(x)=0时，有x2+3x-4=0，得x=-4(舍去)或x=1，因为f(x)在(t，t+2)上不单调，且(t，t+2)⊆(0，+∞)，所以解得t∈[0，1). [真题再现]　(2023·新高考Ⅰ卷节选)已知函数f(x)=a(ex+a)-x. (1)讨论f(x)的单调性；(2)略. 解：(1)f(x)的定义域为R，f'=aex-1， 当a≤0时，f'<0，f在R上单调递减； 当a>0时，令f'=0，得ex=，即x=-ln a， 函数f在上单调递减，在上单调递增. 综上，当a≤0时，f(x)在R上单调递减；当a>0时，f(x)在(-∞，-ln a)上单调递减，在(-ln a，+∞)上单调递增. (2)略. [教材呈现]　(湘教版选择性必修二P44T14)设函数f(x)=ex-1-x-ax2，a∈R. (1)若a=0，求f(x)的单调区间； (2)若a>0，求最大的常数a使ex≥1+x+ax2对所有x≥0成立. 点评：本题与教材习题都是通过分类讨论求函数的单调性，解答时首先要确定f(x)的定义域，再求得导函数，然后分类讨论导函数的符号即可确定原函数的单调性. 学科网（北京）股份有限公司 $