第3节 导数与函数的单调性（二）复习讲义2027届高三数学一轮复习

第3节 导数与函数的单调性(二) 考试要求　1.会根据函数的单调性求参数的范围.　2.会利用函数的单调性解不等式、比较大小. 考点一　根据单调性求参数范围 例1 (2023·新课标Ⅱ卷)已知函数f(x)=aex-ln x在区间(1,2)单调递增,则a的最小值为(　　) A.e2 B.e C.e-1 D.e-2 解析　C　依题可知,f'(x)=aex-≥0在(1,2)上恒成立,显然a>0,所以xex≥,设g(x)=xex,x∈(1,2),所以g'(x)=(x+1)ex>0,所以g(x)在(1,2)上单调递增,g(x)>g(1)=e,故e≥,即a≥=e-1,即a的最小值为e-1. [变式探究1] (综合变式)在本例中,若函数f(x)在区间(1,2)上存在单调递增区间,则实数a的取值范围为　　　　.  答案　 解析　因为f(x)在(1,2)上存在单调递增区间,所以∃x∈(1,2),使f'(x)>0有解, 即x∈(1,2)时,不等式aex->0有解,即a>,x∈(1,2)有解, 由本例解析可知,∈,所以a>,即实数a的取值范围为. [变式探究2] (综合变式)若函数f(x)在区间(1,2)上不单调,则正实数a的取值范围为　　　　.  答案　 解析　因为f(x)在(1,2)上不单调,且f″(x)=aex+>0,所以当x∈(1,2)时,f'(x)=0有解, 即方程aex-=0有解,即a=在x∈(1,2)上有解, 由本例解析可知,∈, 所以正实数a的取值范围为. 由函数的单调性求参数的取值范围的方法 1.函数在区间(a,b)上单调,实际上就是在该区间上f'(x)≥0(或f'(x)≤0)恒成立. 2.函数在区间(a,b)上存在单调区间,实际上就是f'(x)>0(或f'(x)<0)在该区间上存在解集. 1.已知函数f(x)=-x2-3x+4ln x在(t,t+2)上不单调,则实数t的取值范围是　　　　.  答案　[0,1) 解析　由f(x)=-x2-3x+4ln x(x>0),得f'(x)=-x-3+, ∵函数f(x)在(t,t+2)上不单调,∴f'(x)=-x-3+在(t,t+2)上有变号零点,∴=0在(t,t+2)上有解,∴x2+3x-4=0在(t,t+2)上有解,由x2+3x-4=0,得x=1或x=-4(舍去),∴1∈(t,t+2),∴t∈(-1,1),又f(x)的定义域为(0,+∞),∴t≥0,∴t∈[0,1),故实数t的取值范围是[0,1). 2.已知函数f(x)=ln x-ax2-2x(a≠0). (1)若f(x)在[1,4]上单调递减,求实数a的取值范围; (2)若f(x)在[1,4]上存在单调递减区间,求实数a的取值范围. 解　(1)因为f(x)在[1,4]上单调递减, 所以当x∈[1,4]时,f'(x)=-ax-2≤0恒成立,即a≥-恒成立, 设G(x)=-,x∈[1,4],所以a≥G(x)max, 而G(x)=-1, 因为x∈[1,4],所以∈, 所以G(x)max=-(此时x=4),所以a≥-, 又因为a≠0,所以实数a的取值范围是∪(0,+∞) (2)因为f(x)在[1,4]上存在单调递减区间, 则f'(x)<0在[1,4]上有解, 所以当x∈[1,4]时,a>-有解, 又当x∈[1,4]时,=-1(此时x=1), 所以a>-1,又因为a≠0, 所以实数a的取值范围是(-1,0)∪(0,+∞). 考点二　利用单调性比较大小 例2 (1)已知函数f(x)=xsin x,x∈R,则f,f(1),f的大小关系为(　　) A.f>f(1)>f B.f(1)>f>f C.f>f(1)>f D.f>f>f(1) (2)若a=ln,b=ln,c=-,则(　　) A.c<b<a B.b<c<a C.c<a<b D.b<a<c 答案　(1)A　(2)C 解析　(1)由题知f(-x)=(-x)·sin(-x)=xsin x=f(x),则函数f(x)是偶函数, 故f=f.又当x∈时,f'(x)=sin x+xcos x>0,所以函数f(x)在上单调递增,所以f<f(1)<f,即f>f(1)>f. (2)因为c=-=ln,a=ln=ln,构造函数f(x)=xln x,x∈(0,+∞), 则f'(x)=ln x+1,令f'(x)>0,解得x>; 令f'(x)<0,解得0<x<, 可得f(x)在上单调递减,在上单调递增,且<<, 所以c=f <a=f <b=f ,即c<a<b. 由函数的单调性比较大小的方法 1.若已知函数解析式比较函数值的大小,首先要判断已知函数的单调性,然后根据单调性比较大小. 2.若是比较数值的大小,其关键是利用题目条件中的不等关系构造辅助函数,并根据构造的辅助函数的单调性比较大小. 3.已知函数f(x)=ln x-,设a=f ,b=f(2),c=f ,则(　　) A.a>b>c B.b>a>c C.c>b>a D.c>a>b 解析　C　易知f'(x)=-=+, 当x∈(1,+∞)时,f'(x)=+>0,所以f(x)在(1,+∞)上单调递增, 故f >f(2)>f ,即c>b>a. 4.已知a=ln(e),b=,c=+1,则a,b,c的大小关系为(　　) A.c>a>b B.b>a>c C.a>b>c D.b>c>a 解析　B　由题意,a=+1,b=+1,c=+1, 设f(x)=,则f'(x)=, 当0<x<e时,f'(x)>0,f(x)单调递增;当x>e时,f'(x)<0,f(x)单调递减, 故f(x)max=f(e)=. 则>,>,即b>c,b>a; 由-==<0, 可知c<a,故b>a>c. 考点三　利用单调性解不等式 例3 已知函数f(x)=2ln x+-x,则不等式f(2x-1)<f(1-x)的解集为(　　) A. B. C. D. 解析　B　由题意可知f(x)的定义域为(0,+∞).因为f'(x)=--1=-≤0恒成立,所以f(x)在(0,+∞)上单调递减.由f(2x-1)<f(1-x),可得解得<x<1,即原不等式的解集为. 利用函数的单调性解不等式的关键 1.会构造函数,能根据所给的不等式的特征,结合已知函数的特征,合理地构造新函数. 2.会判断函数的性质,即借用奇偶函数的定义,判断函数的奇偶性,借用导数,判断函数的单调性. 3.会转化,利用函数的单调性,得到未知数所满足的不等式(组),通过解不等式(组),得到未知数的取值范围. 5.已知函数f(x)=ex-e-x-2x+1,则不等式f(2x-3)>1的解集为　　　　.  答案　 解析　f(x)=ex-e-x-2x+1的定义域为R,f'(x)=ex+e-x-2≥2-2=0, 当且仅当x=0时等号成立,∴f(x)在R上是增函数,又f(0)=1,∴原不等式可化为f(2x-3)>f(0),即2x-3>0,解得x>,∴原不等式的解集为. 1.已知函数f(x)=ax3+x2+x+4,则“a≥0”是“f(x)在R上单调递增”的(　　) A.充要条件 B.充分不必要条件 C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件 解析　C　由题意知,f'(x)=ax2+2x+1, 若f(x)在R上单调递增,则f'(x)≥0恒成立, 则解得a≥1, 故“a≥0”是“f(x)在R上单调递增”的必要不充分条件. 2.函数f(x)=x2-9ln x在区间[m,m+1]上单调递减,则实数m的取值范围是(　　) A.[0,2) B.[0,2] C.(0,2] D.(0,2) 解析　C　函数f(x)=x2-9ln x的导数f'(x)=x-=,x>0, 令f'(x)≤0,解得0<x≤3, 因为函数f(x)=x2-9ln x在区间[m,m+1]上单调递减, 则[m,m+1]⊆(0,3],即解得0<m≤2. 3.若a=,b=,c=,则(　　) A.a<c<b B.a<b<c C.c<a<b D.c<b<a 解析　D　因为a==,b==,c==, 所以令g(x)=,则a=g(e),b=g(8),c=g(9),g'(x)=, 当x∈(,+∞)时,g'(x)<0, 所以函数g(x)在(,+∞)上单调递减. 又<e<8<9,所以g(e)>g(8)>g(9),即c<b<a. 4.已知f(x)是定义在R上的偶函数,当x≥0时,f(x)=ex+sin x,则不等式f(2x-1)<eπ的解集是(　　) A. B. C. D. 解析　D　当x≥0时,f'(x)=ex+cos x, 因为ex≥1,cos x∈[-1,1], 所以f'(x)=ex+cos x>0在[0,+∞)上恒成立,所以f(x)在[0,+∞)上单调递增, 又因为f(x)是定义在R上的偶函数,所以f(x)在(-∞,0]上单调递减, 所以f(-π)=f(π)=eπ,所以由f(2x-1)<eπ可得-π<2x-1<π, 解得x∈. 5.若函数f(x)=2x2+ax+ln x在(0,+∞)上不单调,则实数a的取值范围为(　　) A.(-∞,-4) B.(-∞,-4] C.(-4,+∞) D.[-4,+∞) 解析　A　f'(x)=4x+a+,由x>0,可得f'(x)=4x+a+≥2+a=4+a,当且仅当4x=,即x=时等号成立,所以f'(x)的最小值为4+a.若要函数f(x)=2x2+ax+ln x在(0,+∞)上不单调,则4+a<0,解得a<-4. 6.若函数f(x)=ln x-ax2-2x存在单调递减区间,则实数a的取值范围是(　　) A.(-∞,-2) B.(-∞,-1) C.(-1,+∞) D.(2,+∞) 解析　C　f'(x)=-ax-2=-. ∵函数f(x)存在单调递减区间,∴f'(x)<0有解. 又函数f(x)的定义域为(0,+∞),∴ax2+2x-1>0在(0,+∞)上有解. 当a>0时,y=ax2+2x-1为开口向上的抛物线,ax2+2x-1>0在(0,+∞)上有解; 当a<0时,y=ax2+2x-1为开口向下的抛物线,ax2+2x-1>0在(0,+∞)上有解, 则解得-1<a<0. 当a=0时,显然符合题意. 综上所述,a的取值范围为(-1,+∞). 7.(多选)若函数f(x)=x3+bx2+x恰有三个单调区间,则实数b的取值可以是(　　) A.-2 B.- C.e D.2 解析　ACD　由题意得f'(x)=3x2+2bx+1, 函数f(x)=x3+bx2+x恰有三个单调区间,则函数f(x)=x3+bx2+x有两个极值点, 即f'(x)=3x2+2bx+1的图象与x轴有两个交点,则判别式Δ=4b2-12>0, 解得b>或b<-.所以实数b的取值范围为(-∞,-)∪(,+∞),所以ACD符合题意. 8.(多选)已知0<x1<x2<1,则下列不等式恒成立的是(　　) A.->ln x2-ln x1 B.x2·>x1· C.-<ln x2-ln x1 D.x2·<x1· 解析　BC　令f(x)=ex+ln x(0<x<1),所以f'(x)=ex+>0,故f(x)在(0,1)上单调递增, 因为0<x1<x2<1,所以f(x1)<f(x2),所以+ln x1<+ln x2, 可得-<ln x2-ln x1,故A错误,C正确; 令g(x)=(0<x<1),所以g'(x)=, 因为0<x<1,所以g'(x)<0,故g(x)在(0,1)上单调递减, 因为0<x1<x2<1,所以g(x1)>g(x2),所以>, 即x2·>x1·,故B正确,D错误. 9.已知函数f(x)=3x+2cos x.若a=f(3),b=f(2),c=f(log27),则a,b,c的大小关系为　　　　.  答案　a>c>b 解析　由题意,得f'(x)=3-2sin x. 因为-1≤sin x≤1,所以f'(x)>0恒成立,所以f(x)是增函数. 因为>1,所以3>3. 又log24<log27<log28,即2<log27<3,所以2<log27<3, 所以f(2)<f(log27)<f(3),即a>c>b. 10.(2026·浙江台州模拟)若f(x)=+ax在R上单调递减,则实数a的最大值为　　　　.  答案　- 解析　因为f(x)=+ax在R上单调递减, 所以f'(x)≤0在R上恒成立,所以f'(x)=+a≤0在R上恒成立, 所以a≤-在R上恒成立,令g(x)=-, 则g(x)=-=-=-≥-=-, 当且仅当ex=,即x=0时等号成立,所以a≤-, 故实数a的最大值为-. 11.已知函数f(x)=x3+ax2+1,a∈R. (1)讨论函数f(x)的单调区间; (2)若函数f(x)在区间内单调递减,求a的取值范围. 解　(1)对f(x)求导得f'(x)=3x2+2ax=3x. ①当a=0时,f'(x)=3x2≥0且不恒为零,所以f(x)的单调递增区间是(-∞,+∞),无单调递减区间. ②当a>0时,因为f'(x)在和(0,+∞)上都恒为正,所以f(x)的单调递增区间是,(0,+∞). 因为f'(x)在上恒为负,所以f(x)的单调递减区间是. ③当a<0时,在(-∞,0)和上均有f'(x)>0,所以f(x)的单调递增区间是(-∞,0),,在上,f'(x)<0, 所以f(x)的单调递减区间是. 综上所述,当a=0时,f(x)在(-∞,+∞)上单调递增;当a>0时,f(x)在,(0,+∞)上单调递增,在上单调递减;当a<0时,f(x)在(-∞,0),上单调递增,在上单调递减. (2)由(1)知,a>0且⊆,所以-a≤-,所以a≥1. 即a的取值范围为[1,+∞). 12.已知函数f(x)=aln x-ax-3(a∈R). (1)求函数f(x)的单调区间; (2)若函数y=f(x)的图象在点(2,f(2))处的切线的倾斜角为45°,对于任意的t∈[1,2],函数g(x)=x3+x2·在区间(t,3)上不是单调函数,求实数m的取值范围. 解　(1)函数f(x)的定义域为(0,+∞),且f'(x)=, 当a>0时,f(x)的单调递增区间为(0,1),单调递减区间为(1,+∞); 当a<0时,f(x)的单调递增区间为(1,+∞),单调递减区间为(0,1); 当a=0时,f(x)为常数函数,无单调区间. (2)由(1)及题意得f'(2)=-=1, 即a=-2,所以f(x)=-2ln x+2x-3,f'(x)=(x>0),所以g(x)=x3+x2-2x, 所以g'(x)=3x2+(m+4)x-2. 因为g(x)在区间(t,3)上不是单调函数,即g'(x)在区间(t,3)上有变号零点. 由于g'(0)=-2,所以 当g'(t)<0时,即3t2+(m+4)t-2<0对任意t∈[1,2]恒成立, 由于g'(0)<0,故只要g'(1)<0且g'(2)<0,即m<-5且m<-9,即m<-9, 又g'(3)>0,即m>-,所以-<m<-9. 即实数m的取值范围是. 13.已知偶函数f(x)与其导函数f'(x)的定义域均为R,且y=f'(x)+e-x+x也是偶函数,若f(2a-1)<f(a+1),则实数a的取值范围是(　　) A.(-∞,2) B.(0,2) C.(2,+∞) D.(-∞,0)∪(2,+∞) 解析　B　因为f(x)为偶函数,所以f(x)=f(-x),对两边求导可得f'(x)=-f'(-x)　①. 因为函数y=f'(x)+e-x+x为偶函数, 所以f'(x)+e-x+x=f'(-x)+ex-x　②. 联立①②可得f'(x)=-x, 令g(x)=f'(x),则g'(x)=-1≥-1=0,且g'(x)不恒为零,所以函数g(x)在R上为增函数,即函数f'(x)在R上为增函数.故当x>0时,f'(x)>f'(0)=0,所以函数f(x)在(0,+∞)上单调递增.由f(2a-1)<f(a+1)可得f(|2a-1|)<f(|a+1|),所以|2a-1|<|a+1|,整理可得a2-2a<0,解得0<a<2. 14.若对任意的x1,x2∈(m,+∞),且x1<x2,<2,则实数m的取值范围是(　　) A. B. C. D. 解析　C　对任意的x1,x2∈(m,+∞),且x1<x2,<2, 易知m≥0,x1>0,x2>0,则x1ln x2-x2ln x1<2x2-2x1, 所以x1(ln x2+2)<x2(ln x1+2),即>. 令f(x)=,则函数f(x)在(m,+∞)上单调递减. 因为f'(x)=-, 由f'(x)<0,可得x>, 所以函数f(x)的单调递减区间为, 所以(m,+∞)⊆,故m≥, 即实数m的取值范围为. 学科网（北京）股份有限公司 $ 第3节 导数与函数的单调性(二) 考试要求　1.会根据函数的单调性求参数的范围.　2.会利用函数的单调性解不等式、比较大小. 考点一　根据单调性求参数范围 例1 (2023·新课标Ⅱ卷)已知函数f(x)=aex-ln x在区间(1,2)单调递增,则a的最小值为(　　) A.e2 B.e C.e-1 D.e-2 课堂笔记： [变式探究1] (综合变式)在本例中,若函数f(x)在区间(1,2)上存在单调递增区间,则实数a的取值范围为　　　　.  [变式探究2] (综合变式)若函数f(x)在区间(1,2)上不单调,则正实数a的取值范围为　　　　.  由函数的单调性求参数的取值范围的方法 1.函数在区间(a,b)上单调,实际上就是在该区间上f'(x)≥0(或f'(x)≤0)恒成立. 2.函数在区间(a,b)上存在单调区间,实际上就是f'(x)>0(或f'(x)<0)在该区间上存在解集. 1.已知函数f(x)=-x2-3x+4ln x在(t,t+2)上不单调,则实数t的取值范围是　　　　.  2.已知函数f(x)=ln x-ax2-2x(a≠0). (1)若f(x)在[1,4]上单调递减,求实数a的取值范围; (2)若f(x)在[1,4]上存在单调递减区间,求实数a的取值范围. 考点二　利用单调性比较大小 例2 (1)已知函数f(x)=xsin x,x∈R,则f,f(1),f的大小关系为(　　) A.f>f(1)>f B.f(1)>f>f C.f>f(1)>f D.f>f>f(1) 课堂笔记： (2)若a=ln,b=ln,c=-,则(　　) A.c<b<a B.b<c<a C.c<a<b D.b<a<c 课堂笔记： 由函数的单调性比较大小的方法 1.若已知函数解析式比较函数值的大小,首先要判断已知函数的单调性,然后根据单调性比较大小. 2.若是比较数值的大小,其关键是利用题目条件中的不等关系构造辅助函数,并根据构造的辅助函数的单调性比较大小. 3.已知函数f(x)=ln x-,设a=f ,b=f(2),c=f ,则(　　) A.a>b>c B.b>a>c C.c>b>a D.c>a>b 4.已知a=ln(e),b=,c=+1,则a,b,c的大小关系为(　　) A.c>a>b B.b>a>c C.a>b>c D.b>c>a 考点三　利用单调性解不等式 例3 已知函数f(x)=2ln x+-x,则不等式f(2x-1)<f(1-x)的解集为(　　) A. B. C. D. 课堂笔记： 利用函数的单调性解不等式的关键 1.会构造函数,能根据所给的不等式的特征,结合已知函数的特征,合理地构造新函数. 2.会判断函数的性质,即借用奇偶函数的定义,判断函数的奇偶性,借用导数,判断函数的单调性. 3.会转化,利用函数的单调性,得到未知数所满足的不等式(组),通过解不等式(组),得到未知数的取值范围. 5.已知函数f(x)=ex-e-x-2x+1,则不等式f(2x-3)>1的解集为　　　　.  1.已知函数f(x)=ax3+x2+x+4,则“a≥0”是“f(x)在R上单调递增”的(　　) A.充要条件 B.充分不必要条件 C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件 2.函数f(x)=x2-9ln x在区间[m,m+1]上单调递减,则实数m的取值范围是(　　) A.[0,2) B.[0,2] C.(0,2] D.(0,2) 3.若a=,b=,c=,则(　　) A.a<c<b B.a<b<c C.c<a<b D.c<b<a 4.已知f(x)是定义在R上的偶函数,当x≥0时,f(x)=ex+sin x,则不等式f(2x-1)<eπ的解集是(　　) A. B. C. D. 5.若函数f(x)=2x2+ax+ln x在(0,+∞)上不单调,则实数a的取值范围为(　　) A.(-∞,-4) B.(-∞,-4] C.(-4,+∞) D.[-4,+∞) 6.若函数f(x)=ln x-ax2-2x存在单调递减区间,则实数a的取值范围是(　　) A.(-∞,-2) B.(-∞,-1) C.(-1,+∞) D.(2,+∞) 7.(多选)若函数f(x)=x3+bx2+x恰有三个单调区间,则实数b的取值可以是(　　) A.-2 B.- C.e D.2 8.(多选)已知0<x1<x2<1,则下列不等式恒成立的是(　　) A.->ln x2-ln x1 B.x2·>x1· C.-<ln x2-ln x1 D.x2·<x1· 9.已知函数f(x)=3x+2cos x.若a=f(3),b=f(2),c=f(log27),则a,b,c的大小关系为　　　　.  10.(2026·浙江台州模拟)若f(x)=+ax在R上单调递减,则实数a的最大值为　　　　.  11.已知函数f(x)=x3+ax2+1,a∈R. (1)讨论函数f(x)的单调区间; (2)若函数f(x)在区间内单调递减,求a的取值范围. 12.已知函数f(x)=aln x-ax-3(a∈R). (1)求函数f(x)的单调区间; (2)若函数y=f(x)的图象在点(2,f(2))处的切线的倾斜角为45°,对于任意的t∈[1,2],函数g(x)=x3+x2·在区间(t,3)上不是单调函数,求实数m的取值范围. 13.已知偶函数f(x)与其导函数f'(x)的定义域均为R,且y=f'(x)+e-x+x也是偶函数,若f(2a-1)<f(a+1),则实数a的取值范围是(　　) A.(-∞,2) B.(0,2) C.(2,+∞) D.(-∞,0)∪(2,+∞) 14.若对任意的x1,x2∈(m,+∞),且x1<x2,<2,则实数m的取值范围是(　　) A. B. C. D. 学科网（北京）股份有限公司 $