函数与导数：含参函数的单调性问题6种高频考点复习讲义-2027届高三数学一轮复习

该高中数学高考复习讲义聚焦函数与导数中含参函数单调性的6种高频考点，按导数根的意义、大小、数量等逻辑层次构建知识体系，通过知识点解析、例题分析、变式训练的教学环节，帮助学生系统突破分类讨论难点，体现复习的针对性和系统性。 讲义以分类讨论为主线，创新设计“定义域优先判断根有效性”等解题策略，结合高考真题例题与分层变式训练，培养学生的抽象能力和推理意识。通过临界参数划分、有效根筛选等具体教学活动，确保学生高效掌握解题方法，为教师把控复习节奏、提升学生应考能力提供有力支持。

2027届高三数学一轮复习讲义 函数与导数：含参函数的单调性问题6种高频考点复习讲义 考点目录 讨论导数等于0的根是否有意义 讨论导数等于0的根的大小关系 讨论导数等于0的根的数量 讨论导数等于0的根的大小关系与根是否有意义 讨论导数等于0的根的数量与根是否有意义 含三角函数的单调性讨论问题 考点一 讨论导数等于0的根是否有意义 【知识点解析】 一、核心知识点 1. 导数方程 解出来的根 ，有意义的前提： 在原函数 的定义域内。 1. 即使代数上满足 ，若 不在定义域，则该根无效，不能作为极值点，不能划分单调区间。 1. 常见无意义情形： · 根落在分母为零处； · 根落在对数真数 ； · 根落在根号内部小于 0； · 分段函数的分段边界以外。 1. 区分： 只是极值点必要不充分条件；极值点一定在定义域内。 二、解题思路 1. 第一步先写出原函数 的完整定义域，优先标记定义域限制。 1. 解方程 ，求出所有代数根。 1. 将每一个根和定义域比对： · 定义域：根有效，可以用来分割区间； · 定义域：直接舍弃该根，不参与后续单调区间划分。 1. 含参数问题：参数变化会改变根的数值，因此要讨论参数范围，判断根是否落入定义域。 1. 注意：即使根有效，还要检验根两侧导数符号是否改变，才判断是不是极值点。 【例题分析】 例1．（25-26高二下·辽宁辽阳·期末·节选）已知函数 (1)讨论函数的单调性； 【答案】(1)当时，在单调递增；当 时，在上单调递减，在单调递增 【分析】（1）先求导，按a正负分类，根据导函数符号判断原函数增减区间。 【详解】（1）由题可知，函数的定义域为，且， 当时，在上恒成立，所以在单调递增； 当时，令，解得（负值舍掉）， 则当时，，单调递减；当时，，单调递增. 综上，当时，在单调递增；当时，在上单调递减，在单调递增． 例2．（25-26高三上·广东深圳·阶段检测·节选）已知，，是自然对数的底数． (1)求函数的单调区间； 【答案】(1)当时，函数在上单调递增，无单调递减区间； 当时，函数的单调递减区间为，单调递增区间为 【分析】（1）对求导后，对与进行分类讨论，即可得解； 【详解】（1）函数的定义域为， 求导得， 当时，恒有，则函数在上单调递增； 当时，由，得；由，得， 即函数在上单调递减，在上单调递增； 综上，当时，函数在上单调递增，无单调递减区间； 当时，函数的单调递减区间为，单调递增区间为. 例3．（25-26高二下·河北张家口·期末·节选）已知函数． (1)讨论的单调性； 【答案】(1)当时，在上单调递减； 当时，在上单调递减，在上单调递增． 【分析】（1）先对函数求导，然后分、两种情况讨论导数的正负，从而可求出函数的单调区间； 【详解】（1）的定义域为，． 当时，由于，则，故恒成立， 所以在上单调递减． 当时，令，解得， 当时，，则在上单调递减； 当时，，则在上单调递增． 综上，当时，在上单调递减； 当时，在上单调递减，在上单调递增． 【变式训练】 变式1．（25-26高二下·广东潮州·期末）已知函数． (1)当时，求的极值； (2)讨论的单调性； 【答案】(1)极小值为1，无极大值 (2)当时，在单调递增； 当时，在单调递减，在单调递增． 【分析】（1）代入后求导，由导函数符号得单调区间，确定极小值点与极小值，无极大值； （2）求导后分子为，讨论与两种情况，分别得单调区间； 【详解】（1）当时，， 所以，. 令，得， 令，解得，故在单调递增， 令，解得，故在单调递减， 所以，在处取得极小值，无极大值. （2）由题意可得，， 当时，在恒成立，所以在单调递增； 当时，令，解得，故在单调递增， 令，解得，故在单调递减， 综上所述，当时，在单调递增； 当时，在单调递减，在单调递增． 变式2．（25-26高二下·黑龙江黑河·期末）已知函数． (1)讨论的单调性； (2)若的最小值为，求的最大值． 【答案】(1)当时，在上单调递增； 当时，在上单调递减，在上单调递增； (2)1 【分析】（1）求导，分和两种情况讨论，可求得的单调性； （2）利用（1）可得的最小值为，利用导数可求得的最大值． 【详解】（1）由，得， 当时，，所以在上单调递增； 当时，令，则，解得， 当时，，所以在上单调递减， 当时，，所以在上单调递增； 综上所述：当时，在上单调递增； 当时，在上单调递减，在上单调递增； （2）由（1）可知当时，在上单调递增，所以在上无最小值； 当时，在处取得最小值，， 所以， 求导得， 当时，，所以单调递增， 当时，，所以单调递减， 所以. 变式3．（25-26高二下·安徽合肥·期末·节选）已知函数． (1)讨论函数的单调性； 【答案】(1)当时，在上单调递减；当时，在上单调递减，在上单调递增； 【分析】（1）求出函数的导函数，再按值分类讨论正负作答. 【详解】（1）因为，所以，， ①当时，，在上单调递减； ②当时，由得，由得， 所以在上单调递减，在上单调递增， 综上，当时，在上单调递减；当时，在上单调递减，在上单调递增； 变式4．（25-26高二下·内蒙古锡林郭勒·期末）已知函数 (1)若，求函数的极值； (2)讨论的单调性． 【答案】(1)极小值为，无极大值； (2)当时，在上单调递增；当时，在上单调递减，在上单调递增. 【分析】（1）对函数求导，判断函数的单调性，计算极值； （2）对函数求导，分类讨论参数，确定函数的单调性. 【详解】（1），， ， 令，解得， ，，，在上单调递增； ，，，在上单调递减； 所以时，取得极小值， 极小值为，无极大值. （2），， 当时，，，在上单调递增； 当时，令，解得， ，，，在上单调递增； ，，，在上单调递减； 综上，当时，在上单调递增； 当时，在上单调递减，在上单调递增. 考点二 讨论导数等于0的根的大小关系 【知识点解析】 一、核心知识点 1. 当 解出两个或多个含参数的根 ，根的大小会随参数变化发生改变；根的大小顺序直接决定单调区间的分割顺序。 1. 若 ，划分区间：； 若 ，两根重合，导数不变号，函数无极值； 若 ，区间分割顺序颠倒。 1. 根的大小关系是含参导数单调性分类讨论的核心分界依据。 二、解题思路 1. 求出 的全部含参数根 。 1. 作差 ，令差等于 0，解出参数临界值，这个临界值就是分类讨论分界点。 1. 根据临界值划分参数范围： · 参数在某范围：； · 参数等于临界值：； · 参数在另一范围：。 1. 在每一种参数条件下，按照根从小到大顺序分割定义域，再判断每个区间导数正负，得到单调性。 1. 必须结合定义域，若部分根不在定义域，则只比较定义域内有效根的大小。 【例题分析】 例1．（25-26高三上·重庆沙坪坝·阶段检测）已知函数. (1)讨论的单调性； (2)若存在极小值，且极小值小于零，求实数的取值范围. 【答案】(1)当时，在、上单调递增，在上单调递减； 当时，在上单调递增； 当时，在、上单调递增，在上单调递减. (2) 【分析】（1）求导后分类讨论求函数的单调区间； （2）根据函数的单调性讨论函数的极小值，建立不等式求解即可. 【详解】（1）定义域为，， 当时，或，， 单调增区间为，，单调减区间为； 当时，，在上是增函数； 当时，或；， ∴的单调增区间为，，单调减区间为. 综上，时，在，上单调递增，在上单调递减； 当时，在上单调递增； 当时，在，上单调递增，在上单调递减. （2）由（1）知时，的极小值为， 令，即，解得； 当时，无极值，不符合题意； 当时，的极小值为，不符合题意，舍去. 综上，实数的取值范围为. 例2．（25-26高三上·广东广州·阶段检测）已知函数. (1)若函数在点处的切线斜率为2，求实数a的值； (2)讨论的单调性. 【答案】(1) (2)当时，的单调递增区间为和，单调递减区间为； 当时，的单调递增区间为，单调递减区间为和 【分析】（1）先求导，再由导数的几何意义即可求解； （2）先求导，根据的情况，分类讨论即可求解. 【详解】（1）由题意得：，所以，解得； （2）由题意得：，又， 令，解得或， 当时，由，解得或，由，解得， 所以的单调递增区间为和，单调递减区间为， 当时，由，解得，由，解得或， 所以的单调递增区间为，单调递减区间为和， 综上所述，当时，的单调递增区间为和，单调递减区间为； 当时，的单调递增区间为，单调递减区间为和. 【变式训练】 变式1．（25-26高二下·广东梅州·期末）已知函数． (1)若，求曲线在点处的切线方程； (2)讨论的单调性； (3)若有3个零点，求a的取值范围． 【答案】(1) (2)当时，时，，单调递增； 时，，单调递减； 当时，时，，单调递减； 时，，单调递增； 当时，时，，单调递增； 时，，单调递减； 当时，在上单调递增； 当时，时，，单调递增； 时，，单调递减． (3) 【分析】（1）求导，利用导数的几何意义求出切线斜率，进而求出切线方程； （2）求导，求出零点，按分情况讨论，求出单调区间； （3）时，，得出为1个零点，则，等价于有两个不等于1的实根，进而结合零点个数求出的范围． 【详解】（1）当时，，，故切点为， 求导得，切线斜率， 故切线方程为． （2）求导得， 令，得零点和， 当时，，零点为， 时，，单调递增； 时，，单调递减； 当时，二次函数开口向下，且， 时，，单调递减； 时，，单调递增； 当时，二次函数开口向上，且， 时，，单调递增； 时，，单调递减； 当时，恒成立，在上单调递增； 当时，二次函数开口向上，且， 时，，单调递增； 时，，单调递减． （3）时，，故恒为零点， 故，有3个零点， 等价于有两个不等于1的实根，则， 且，解得， 将代入二次方程，则，解得， 综上，a的取值范围为． 变式2．（25-26高二下·重庆·期末）已知函数，且． (1)若曲线与轴相切，求实数的取值； (2)讨论函数的单调区间． 【答案】(1)或； (2)当时，的单调递增区间为，，单调递减区间为； 当时，在R上单调递增； 当时，的单调递增区间为，，单调递减区间为． 【分析】（1）设出切点，根据切线斜率得到方程，求出或，进而得到实数的取值； （2）求导，分，和三种情况，得到函数单调区间 【详解】（1）设切点为，则切线斜率为， 因为曲线与轴相切，则， 解得或， 当时，切点为，即，解得， 当时，切点为，即，解得， 综上，或； （2），令，得或， ①当时，恒成立，所以在R上单调递增； ②当时，，由，得或； 由，得，所以的单调递增区间为，，单调递减区间为． ③当时，，由，得或； 由，得，所以的单调递增区间为，，单调递减区间为， 综上所述，当时，的单调递增区间为，，单调递减区间为； 当时，在R上单调递增； 当时，的单调递增区间为，，单调递减区间为． 考点三 讨论导数等于0的根的数量 【知识点解析】 一、核心知识点 1. 根的数量，指定义域内有效根的个数，不是代数方程全部解的个数。 1. 根的数量受参数影响分为三类情况：无实根、一个实根、两个及以上实根。 1. 常见形式： · 二次型导数：，用判别式 判断代数根的个数；但 只代表代数有两个根，还要筛选落在定义域内的有效根数量。 · 超越型导数： 含有 等，不能直接解，转化为两个函数图像交点个数判断零点数量。 1. 根的数量直接决定单调区间段数： 个互不相等有效根，最多把定义域切分成 个单调区间。 二、解题思路 1. 整理导数 ，优先因式分解；无法因式分解，则将 变形为便于图像分析的等式。 1. 代数方程（如二次）：先利用判别式讨论代数层面根的个数；再结合定义域剔除无效根，得到定义域内实际有效根数目。 1. 超越方程：移项变成 ，分析两个函数图像交点个数，即为导数零点个数。 1. 按照参数划分：无有效根、1 个有效根、2 个有效根……每一类参数范围对应根的数目。 1. 每种根数量情况下，划分区间，分析导数正负，写出函数单调性。 【例题分析】 例1．（25-26高二下·河北邢台·阶段检测·节选）已知函数，. (1)讨论的单调性； 【答案】(1)①当时，的单调递增区间为，无单调递减区间；②当或时，的单调递增区间为和，单调递减区间为 【分析】（1）求导得二次函数，根据判别式正负讨论单调区间； 【详解】（1）因为，所以， 则二次方程的判别式． ①当，即时，恒成立，的单调递增区间为，无单调递减区间． ②当，即或时，的两个实根为，， 所以的单调递增区间为和，单调递减区间为． 例2．（25-26高三上·广东佛山·期中）已知函数. (1)若曲线在点处的切线斜率为0，求实数的值，并证明此时无极值点； (2)讨论的单调性； (3)若在区间上的最大值为1，求实数的值. 【答案】(1)，证明见解析 (2)当时，在上单调递减； 当时，在单调递增，在单调递减． (3) 【分析】（1）先对原函数求导，根据导数几何意义，利用处导数值等于0列方程求，再分析导数符号变化，证明导数无变号零点，得无极值点； （2）整理导数后分子为二次式，根据判别式取值分类讨论，依据导数正负判断单调性； （3）结合第二问的单调性结论，分类讨论在上的最大值，令最大值为1，求解得到符合条件的. 【详解】（1）对函数求导：​， 因为恒成立，故的符号由分子决定. 曲线在处切线斜率为，代入得： ，解得. 此时 ，故恒成立，仅处， 因此在上单调递减，无极值点. （2）对二次函数，判别式，分情况讨论： ①当时，，恒成立，故，在上单调递减； ②当时，的两根为​，​， 则当或时，，，单调递减； 当时，，，单调递增. 综上所述，当时，在上单调递减； 当时，在单调递增，在单调递减． （3）①当时，在单调递减，最大值为，由最大值为1得，符合条件； ②时，函数在处取得极大值，显然， 则最大值可能在或处取得． 若，则，不符合． 下面证明同样不可能成立． 令，则，代入得． 此时，由可得，由可得， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以，同样不可能有． 综上所述，实数的值为1． 【变式训练】 变式1．（25-26高三上·山东济南·期中·节选）函数. (1)求的单调区间； 【答案】(1)单调递增区间为，单调递减区间为 【分析】（1）对函数求导并利用判别式得出导函数零点，求出相应区间上的单调性即可； 【详解】（1）函数，定义域为，则 因为，设 ， 则令得，， 当时，单调递增， 当时,单调递减， 当时，单调递增， 综上所述的单调递增区间为， 单调递减区间为； 变式2．（2026·贵州黔西南·二模·节选）已知函数. (1)讨论的单调性； 【答案】(1) 当时，函数在单调递增； 当时，函数的单调递增区间是和，单调递减区间是 【分析】（1）首先求函数的导数，讨论，求解函数的单调区间； 【详解】（1）， 当，即时，恒成立，此时在单调递增， 当，即时，，得或， ，解得或， ，解得， 所以函数的单调递增区间是和， 单调递减区间是， 综上可知，当时，函数在单调递增， 当时，函数的单调递增区间是和，单调递减区间是. 考点四 讨论导数等于0的根的大小关系与根是否有意义 【知识点解析】 一、核心知识点 1. 综合考点：既要判断每个根是否落在定义域（是否有效），又要对有效根比较大小。 1. 参数变化会同时带来两个变化：① 有的根从定义域内跑到定义域外；② 有效根之间大小顺序发生改变。 1. 双重临界：一类临界来自“根刚好等于定义域边界”，决定根是否有效；另一类临界来自“两根相等”，决定根大小关系。两类临界值共同作为分类讨论的分界点。 二、解题思路 1. 写出原函数定义域，求出 的全部代数根。 1. 求出两类临界参数： · 临界①：令根等于定义域边界，解出参数，这是根有效/无效的分界； · 临界②：令两根相等，解出参数，这是根大小关系的分界。 1. 把全部临界参数从小到大排序，完整划分参数讨论区间。 1. 在每一个参数区间内完成两步： ① 筛选哪些根在定义域内，保留有效根； ② 将有效根按从小到大排序。 1. 使用排好序的有效根分割定义域，逐个区间判断导数符号，得到单调性。 1. 注意：某参数下如果一个根失效消失，那么就不再参与大小比较。 【例题分析】 例1．（2026·福建福州·模拟预测·节选）已知函数． (1)讨论函数的单调区间； 【答案】(1)若，函数 的单调递减区间为，单调递增区间为；若，函数的单调递增区间为和，单调递减区间为；若 ，函数的单调递增区间为，无单调递减区间；若 ，函数的单调递增区间为和，单调递减区间为 . 【分析】（1）对函数进行求导，讨论和两种情况下，导函数的正负，从而得到的单调区间； 【详解】（1）函数的定义域为. . 若，则恒成立， 所以当时，，； 当时，，. 所以函数 的单调递减区间为 ，单调递增区间为 . 若，则方程 的两个根为和. 若， 当或 时，，即； 当时，，即 . 所以函数 的单调递增区间为 和 ，单调递减区间为 . 若 ， 恒成立，所以函数 的单调递增区间为 ，无单调递减区间. 若 ， 当或时， ，即 ； 当 时， ，即 . 所以函数 的单调递增区间为 和，单调递减区间为 . 综上所述， 若，函数 的单调递减区间为 ，单调递增区间为 . 若，函数 的单调递增区间为 和 ，单调递减区间为 . 若 ，函数 的单调递增区间为 ，无单调递减区间. 若 ，函数 的单调递增区间为 和，单调递减区间为 . 例2．（2026·北京昌平·模拟预测）已知函数（）. (1)当时，求函数的单调区间和极值； (2)若函数在区间上有且只有一个零点，求实数的取值范围. 【答案】(1)答案见解析 (2) 【分析】（1）代入已知参数后求导并因式分解，通过分析导函数的正负符号变化，直接确定函数的单调区间与极值； （2）对原函数带参求导并提取公因式，以参数的符号及极值点分布情况进行分类讨论，结合极值正负与端点极限，利用零点存在性定理确定符合条件的范围. 【详解】（1）当时，，定义域为. 求导：. 令，解得（舍去，因）. 当时，，单调递增；当时，，单调递减. 故的单调递增区间为，单调递减区间为； 极大值为，无极小值. （2），， ①当时，， 当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 所以， 此图像恒在轴下方，没有零点，故不符合题意， ②当时，因为，所以恒成立， 当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 所以， 若即，其最大值小于0，无零点，不符合题意， 若即，其最大值为，此时有且仅有这一个零点，符合题意， 若即，其最大值大于0， 由于时，时， 由零点存在性定理，函数在和上各有一个零点，共两个零点，不合题意. ③当时，令，解得， ，时，因为二次项系数，所以， ③-①当即时，此时，在上单调递增， 且当时，时， 由零点存在性定理，函数在上仅有1个零点，符合题意， ③-②当即， 当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 因此是极大值点，，说明在恒负，没有零点， 在上，单调递增，且时， 由零点存在性定理，函数在上仅有1个零点，共有1个零点，符合题意， ③-③当即时， 当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 因此是极小值点，是极大值点，， 且时， 由零点存在性定理，函数在上仅有1个零点， ， 因为，所以，从而，且， 所以极大值，则在上没有零点， 则此时仅有1个零点，符合题意. 即当时符合题意， 综上，的取值范围是. 例3．（2026·江西上饶·模拟预测·节选）已知函数． (1)讨论的单调性； 【答案】(1)（1）当 时， 在 、 上单调递增，在 上单调递减；当 时， 在 上单调递增；当 时， 在 、 上单调递增，在 上单调递减； 【分析】（1）对函数求导后，通过分析导数的零点 和 的大小关系，分三种情况讨论导数的符号，从而确定函数的单调性； 【详解】（1）函数 的定义域为 ， , 令 ，解得 或 . 当 时，： 时，； 时，. 故 在 、 上单调递增，在 上单调递减. 当 时，，，仅当 时取等号，故 在 上单调递增. 当 时，： 时，； 时，. 故 在 、 上单调递增，在 上单调递减. 【变式训练】 变式1．（2026·重庆万州·三模）已知函数 (1)若，求曲线在点处的切线方程; (2)讨论的单调性; (3)若，求正数a的取值范围. 【答案】(1) (2)当时： 在上单调递减；在上单调递增；当时： 在上单调递减；在上单调递增；当时：在上单调递增。当时：在上单调递减；在上单调递增； (3) 【分析】（1）利用导数来求函数在某点处的切线方程即可； （2）利用分类讨论思想，结合导数的正负来回答函数的单调性； （3）利用函数的单调性求最值来解决不等式恒成立问题. 【详解】（1）由解得， 则，求导得：， 则，由点斜式得切线方程：， 整理得：； （2）求导得：， 当时： 由，解得，由，解得， 所以在上单调递减；在上单调递增； 当，即时： 由，解得，由，解得， 所以在上单调递减；在上单调递增； 当时：，故在上单调递增。 当时： 由，解得，由，解得， 所以在上单调递减；在上单调递增； （3）已知，由(2)结论：在上单调递减；在上单调递增； 故最小值为，要使恒成立，只需， 则， 解得,即正数a的取值范围是. 变式2．（25-26高三上·江苏南京·期中·节选）已知函数. (1)若，求函数的极值； (2)讨论函数的单调性； 【答案】(1)有极小值，无极大值； (2) 当时，在上单调递减，在上单调递增， 当时，在，上单调递增，在上单调递减， 当时，在上单调递增， 当时，在，上单调递增，在上单调递减. 【分析】（1）利用导数讨论函数单调性，根据单调性可得极值； （2）求得，分、、、四种情况讨论，分析导数的符号变换，由此可得出函数的增区间和减区间； 【详解】（1）当时，，则， 当时，，当时，， 所以，在上单调递减，在上单调递增， 所以，当时，有极小值，无极大值. （2） 若，则时单调递减，时单调递增； 若，则时单调递增， 时单调递减，时单调递增； 若，则时单调递增； 若，则时单调递增，时单调递减，时单调递增 综上， 当时，在上单调递减，在上单调递增， 当时，在，上单调递增，在上单调递减， 当时，在上单调递增， 当时，在，上单调递增，在上单调递减. 变式3．（2025·江西九江·三模·节选）已知函数，其中． (1)讨论的单调性； 【答案】(1)当时，函数在上单调递减，在上单调递增； 当时，函数在上单调递减； 当时，函数在上单调递减，在上单调递增. 【分析】（1）求出的导数，再按分类讨论求出单调区间. 【详解】（1）函数的定义域为 ， 求导得， ①若，即，函数在上单调递减； ②若，即，由，得；由，得或， 函数在上单调递增，在，上单调递减； ③若，即，由，得；由，得或， 函数在上单调递增，在 ，上单调递减， 所以当时，函数在上单调递减，在上单调递增； 当时，函数在上单调递减； 当时，函数在上单调递减，在上单调递增. 考点五 讨论导数等于0的根的数量与根是否有意义 【知识点解析】 一、核心知识点 1. 综合考点：区分“代数方程解的个数”和“定义域内有效根的个数”。 1. 参数改变，会出现：代数有两个根，但定义域内只有 1 个有效根；或者代数有根，但全部落在定义域之外，有效根数量为 0。 1. 临界来源：参数变化使得根跨过定义域边界，直接改变有效根的计数。 二、解题思路 1. 写出定义域，解 ，得到全部代数解。 1. 求出临界参数：每个根等于定义域边界时对应的参数值。 1. 将所有临界参数排序，划分参数讨论范围。 1. 对每一段参数范围： ① 统计代数解总个数； ② 筛选出落在定义域内部的根，得到有效根数量； 1. 分情况：有效根 0 个、有效根 1 个、有效根 2 个…… 1. 根据有效根数目分割定义域，分析导数正负，写出单调性。 1. 易错规避：不要直接拿判别式得到的代数根个数直接当成有效根个数，必须校验定义域。 【例题分析】 例1．（2025·贵州黔东南·三模）设函数． (1)若，试求函数的极值； (2)设，讨论的单调性． 【答案】(1)的极大值为，无极小值 (2)当时，的单调减区间为，无增区间； 当时，的单调增区间为，单调减区间为 【分析】（1）利用导数研究单调性，即可求得函数的极值； （2）由题意得，即，令，由和分类讨论即可. 【详解】（1）当时，，函数的定义域为， 所以，令有， 由有，有， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以的极大值为，无极小值； （2）由， 所以的定义域为， 所以，令， 当时，，，所以在单调递减； 当时，令有，， 所以， 所以由有，，有，， 所以在单调递增，在单调递减， 所以的单调增区间为，单调减区间为； 综上有：当时，的单调减区间为，无增区间； 当时，的单调增区间为，单调减区间为. 例2．（2026·云南曲靖·模拟预测）已知函数． (1)若，求的极值； (2)若，求函数的单调增区间； (3)若，函数有两个极值点，，，不等式恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1)极小值，无极大值 (2)当时，的单调增区间为 和； 当时，的单调增区间为 (3) 【分析】(1)原函数求导，算出单调区间，即可求函数极值 (2)原函数求导，参数进行分类讨论，求出单调区间 (3)把代入原式，分离参数，构造新函数，求单调区间和最值，即可求解 【详解】（1）当时，，， 则， 所以当时，，单调递减； 当时，，单调递增； 所以函数的单调递增区间为，单调递减区间为， 所以函数只有极小值，为； （2）因为，， 的判别式， ①当时，，在上单调递增； ②当时， 令，得 ， ， 此时， 所以当时，， 所以当时，的单调增区间为 和； 当时，的单调增区间为； （3）由（2）知，当时，，， 则， 由恒成立， 即， 即， 即 ， 记 ，， 则 ， 故在上为增函数，且时，， 故， 所以实数的取值范围为． 例3．（2026·天津和平·三模·节选）已知函数． (1)若，求曲线在处的切线方程： (2)讨论函数的单调性； 【答案】(1) (2)当时，函数的增区间为，无减区间； 当时，函数的减区间为，增区间为、. 【分析】（1）当时，求出、的值，利用导数的几何意义可得出所求切线的方程； （2）求出函数的定义域，求出，对实数的取值进行分类讨论，分析导数的符号变化，由此可得出函数的增区间和减区间； 【详解】（1）当时，，则， ，则， 所以当时，曲线在处的切线方程为， 即. （2）函数的定义域为， 则， 当时，对任意的，恒成立， 此时函数的增区间为，无减区间； 当时，对于函数，. 若时，即当时，对任意的，， 此时函数的增区间为，无减区间； 若时，即当时，由可得， 由可得或， 此时函数的减区间为， 增区间为、. 综上所述，当时，函数的增区间为，无减区间； 当时，函数的减区间为，增区间为、. 【变式训练】 变式1．（2026·天津和平·三模）已知函数，． (1)讨论的单调性； (2)设，求在区间上的值域，其中是自然对数的底数． 【答案】(1)当时， 在上单调递增． 当时，在上单调递增；在上单调递减． (2) 【分析】（1）对进行分类讨论的单调性； （2）闭区间上的最值,比较端点值与极值可得. 【详解】（1）的定义域是，导函数． 设，二次方程的判别式． ①当即时，对一切都有，此时在上单调递增． ②当即时，仅对有，对其余的都有，此时在上的单调递增． ③当即时，方程有两个不同的实根，，． x + 0 - 0 + 单调递增↗ 极大 单调递减↘ 极小 单调递增↗ 此时在上单调递增；在上单调递减；在上单调递增． （2）当时，方程有两个不同的实根，． 由（1）知，在内，当时取得极值， ，，． 因为， 所以在区间上的值域为． 变式2．（25-26高二下·广东茂名·期末·节选）已知函数． (1)讨论的单调性； 【答案】(1)当时，在上单调递增；当时，在上单调递减，在上单调递增. 【分析】（1）求导后分母恒正，讨论分子二次函数符号，当 时导函数恒正，单调递增；当 时仅有一个正零点，先减后增. 【详解】（1）定义域为，对求导得， 分母恒正，单调性由分子的符号决定，分情况讨论： 当时：时恒成立，故，在上单调递增； 当时：二次函数开口向上，判别式. 由于的两根之和为，两根之积为，则仅有一个正根， 当时，，，单调递减； 当时，，，单调递增. 综上，当时，在上单调递增； 当时，在上单调递减，在上单调递增. 变式3．（25-26高二下·广西桂林·期末·节选）已知函数，． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)讨论的单调性； 【答案】(1) (2)当时，在上单调递增，无单调递减区间，当时，在，上单调递增，在上单调递减 【分析】（1）代入参数后对原函数求导，计算出处的导数值作为切线斜率，最后结合切点坐标即可求得切线方程. （2）对函数求导并通分后，通过对分子二次函数的判别式进行分类讨论，再结合定义域判定导函数的符号，从而确定原函数的单调区间. 【详解】（1）当时，，，此时切点坐标为， ， ，即切线斜率为0 所以切线方程为． （2）， 令，则     ①当即时，恒成立，即恒成立， 在上单调递增， ②当即或时，令得，， 若，则， 当时，，即，单调递增， 当时，，即，单调递减， 当时，，即，单调递增，     若，则，由知时恒成立， 即恒成立，在上单调递增， 综上：当时，在上单调递增，无单调递减区间， 当时，在，上单调递增， 在上单调递减. 考点六 含三角函数的单调性讨论问题 【知识点解析】 一、核心知识点 1. 函数含有 ，定义域通常是全体实数，也可以是给定区间 等。 1. 求导后 依旧是三角函数， 的解有无穷多个，呈现周期性；根的数量不再有限。 1. 特点： · 导数零点是周期性分布； · 给定有限区间时，只取落在区间内的零点； · 含参数时，参数会改变导数零点位置，零点可能移入移出给定区间。 1. 不能无限写区间，只在题目给定定义域/给定区间内分析单调性。 二、解题思路 1. 确定题目给定的研究区间，不要扩大到全体实数。 1. 求导化简 ，通常化简成 或 的形式。 1. 令 ，解三角方程，写出通解；再从通解中筛选出落在题目给定区间内的全部零点。 1. 含参题型：参数改变三角方程解，讨论参数临界，判断零点是否落在给定区间。 1. 将区间内有效零点从小到大排列，分割原给定区间。 1. 在每一个小区间内判断 的正负，写出单调递增、递减区间。 1. 注意：三角函数零点无穷多，只写题目限定范围内的单调区间，不要写出周期通式以外无关部分；端点处开闭不影响单调性。 【例题分析】 例1．（25-26高二下·北京房山·期末）已知函数，，． (1)当时，求曲线在处的切线方程； (2)当时，讨论函数在上的单调性； (3)若方程在上恰有一个实根，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2)当时，在区间上单调递增；当时，在区间上单调递减. (3) 【分析】（1）根据导数的几何意义即可求解； （2）分和两种情况，分别讨论导数的正负即可求解； （3）将方程变形为，令，利用导数得到的单调区间和值域即可求解. 【详解】（1）已知函数，，当时，， 由于，所以切点为， 则，所以， 因此，切线方程为，即. （2）已知函数，，则， ①当时，此时，所以， 在上，且，令，则， 所以在上单调递增，且，故在上恒成立， 所以当且仅当且时等号成立， 因此，当时，在上恒成立，故在区间上单调递增； ②当时，此时，， 令，则， 在上，，所以，而，所以，所以单调递减， ，所以， 因此，当时，在上恒成立，故在区间上单调递减； 综上所述，当时，在区间上单调递增；当时，在区间上单调递减. （3）方程，即，变形得， 令，则方程在上恰有一个实根，等价于与在上恰有一个交点， 由于， 在上，令，则， 由于，所以，，因此在上恒成立， 所以在上单调递减， 又因为，， 所以在上恒成立，即在上恒成立，所以在上单调递减， 由于，， 因此的值域为，由于单调递减，所以实数的取值范围. 例2．（25-26高二下·四川成都·期中）已知. (1)求； (2)讨论的单调性，直接写出答案，不用写出过程； (3)求在上可能的极值点个数.（用含的式子表示，写出最后答案即可） 【答案】(1) (2)若增区间，减区间；若，增区间，减区间；，无单调性 (3)（表示为向下取整数.） 【分析】小问（1）直接运用复合函数求导公式求解；小问（2）运用小问（1）的求导结果对进行讨论；小问（3）运用极值点与导数的关系将的值与题目要求的定义域内进行求解. 【详解】（1）因为，所以， （2）由（1）可知，故对讨论， 当时，为常数函数，不单调; 当时, ，则单调递增， 即，则， 故； ，则单调递减， 即，则， 故； 当时, ，则单调递增， 即，则， 故； ，则单调递减， 即，则， 故； （3）由（1）可知， 极值点要满足，即， 得，解得， 当时，为常数函数，无极值点； 当时，当时，， 故讨论即可，因为，故， 解得，故极值点的个数为（向下取整） 【变式训练】 变式1．（25-26高三上·江西南昌·期中）已知函数． (1)若，证明：在上单调递增； (2)令，其中，若讨论函数的单调性； 【答案】(1)证明见解析 (2)当时，在上单调递减； 当时，在上单调递增，在上单调递减； 当时，在上单调递增． 【分析】（1）求导得解析式，分析当时，各部分的范围，分析即可得证 （2）求导得解析式，记，利用导数可得的单调性， 分别讨论、和三种情况，根据边界值的正负，可得的正负，分析即可得的单调性． 【详解】（1）当时，，则， 当时，，等号不能同时成立， 所以在上恒成立，则在上单调递增． （2）由题意得， 则， 记，则， 因为，所以 ， 则在上恒成立，所以在上递减， 又 当时， ， 所以在上恒成立，则在上单调递减； 当时， ，则存在唯一，使得， 当时，，则在上单调递增， 当时，，则在上单调递减， 当时， ， 所以在上恒成立，则在上单调递增； 综上，当时，在上单调递减； 当时，在上单调递增，在上单调递减； 当时，在上单调递增． 变式2．（2026·浙江·三模）已知函数，， ． (1)求证：函数的图像是轴对称图形； (2)当 时，求函数的最大值； (3)若函数有两个单调区间，求实数a的取值范围． 【答案】(1)证明：由题意：， 所以函数是偶函数， 所以函数关于y轴对称，函数的图像是轴对称图形． (2) (3) 【分析】（1）求 得函数为偶函数，得证； （2）求导，得到函数极值点，根据单调性求出最大值； （3）分 和 两类讨论，当 时利用导数直接求出单调区间； 时，令，利用导数和极限分析，求出函数的单调区间. 【详解】（1）略 （2）当 时，，由于是偶函数，所以只需考虑在区间上的最大值， 又 ， ， 设，则 ， 所以在区间上单调递减，当时， ， 所以在单调递减，由是偶函数，所以在单调递增， 所以 ． （3）类似（2）可知： ， 当 时， ，所以在区间单调递减， 当时， ，所以在单调递减，由是偶函数， 所以在单调递增； 另一方面，当 时，设 ，，， ，所以在单调递增，由复合函数的单调性可知，在单调递减， ，当，时， ， 所以存在，使得 ，此时在单调递增，在单调递减， 且 ， ，当，时， ， 所以存在，使得 ，此时在单调递增，在单调递减， 由于是偶函数，所以在有四个不同的单调区间，不满足题意， 综上所述，实数a的取值范围是 . 2 学科网（北京）股份有限公司 $2027届高三数学一轮复习讲义 函数与导数：含参函数的单调性问题6种高频考点复习讲义 考点目录 讨论导数等于0的根是否有意义 讨论导数等于0的根的大小关系 讨论导数等于0的根的数量 讨论导数等于0的根的大小关系与根是否有意义 讨论导数等于0的根的数量与根是否有意义 含三角函数的单调性讨论问题 考点一 讨论导数等于0的根是否有意义 【知识点解析】 一、核心知识点 1. 导数方程 解出来的根 ，有意义的前提： 在原函数 的定义域内。 1. 即使代数上满足 ，若 不在定义域，则该根无效，不能作为极值点，不能划分单调区间。 1. 常见无意义情形： · 根落在分母为零处； · 根落在对数真数 ； · 根落在根号内部小于 0； · 分段函数的分段边界以外。 1. 区分： 只是极值点必要不充分条件；极值点一定在定义域内。 二、解题思路 1. 第一步先写出原函数 的完整定义域，优先标记定义域限制。 1. 解方程 ，求出所有代数根。 1. 将每一个根和定义域比对： · 定义域：根有效，可以用来分割区间； · 定义域：直接舍弃该根，不参与后续单调区间划分。 1. 含参数问题：参数变化会改变根的数值，因此要讨论参数范围，判断根是否落入定义域。 1. 注意：即使根有效，还要检验根两侧导数符号是否改变，才判断是不是极值点。 【例题分析】 例1．（25-26高二下·辽宁辽阳·期末·节选）已知函数 (1)讨论函数的单调性； 例2．（25-26高三上·广东深圳·阶段检测·节选）已知，，是自然对数的底数． (1)求函数的单调区间； 例3．（25-26高二下·河北张家口·期末·节选）已知函数． (1)讨论的单调性； 【变式训练】 变式1．（25-26高二下·广东潮州·期末）已知函数． (1)当时，求的极值； (2)讨论的单调性； 变式2．（25-26高二下·黑龙江黑河·期末）已知函数． (1)讨论的单调性； (2)若的最小值为，求的最大值． 变式3．（25-26高二下·安徽合肥·期末·节选）已知函数． (1)讨论函数的单调性； 变式4．（25-26高二下·内蒙古锡林郭勒·期末）已知函数 (1)若，求函数的极值； (2)讨论的单调性． 考点二 讨论导数等于0的根的大小关系 【知识点解析】 一、核心知识点 1. 当 解出两个或多个含参数的根 ，根的大小会随参数变化发生改变；根的大小顺序直接决定单调区间的分割顺序。 1. 若 ，划分区间：； 若 ，两根重合，导数不变号，函数无极值； 若 ，区间分割顺序颠倒。 1. 根的大小关系是含参导数单调性分类讨论的核心分界依据。 二、解题思路 1. 求出 的全部含参数根 。 1. 作差 ，令差等于 0，解出参数临界值，这个临界值就是分类讨论分界点。 1. 根据临界值划分参数范围： · 参数在某范围：； · 参数等于临界值：； · 参数在另一范围：。 1. 在每一种参数条件下，按照根从小到大顺序分割定义域，再判断每个区间导数正负，得到单调性。 1. 必须结合定义域，若部分根不在定义域，则只比较定义域内有效根的大小。 【例题分析】 例1．（25-26高三上·重庆沙坪坝·阶段检测）已知函数. (1)讨论的单调性； (2)若存在极小值，且极小值小于零，求实数的取值范围. 例2．（25-26高三上·广东广州·阶段检测）已知函数. (1)若函数在点处的切线斜率为2，求实数a的值； (2)讨论的单调性. 【变式训练】 变式1．（25-26高二下·广东梅州·期末）已知函数． (1)若，求曲线在点处的切线方程； (2)讨论的单调性； (3)若有3个零点，求a的取值范围． 变式2．（25-26高二下·重庆·期末）已知函数，且． (1)若曲线与轴相切，求实数的取值； (2)讨论函数的单调区间． 考点三 讨论导数等于0的根的数量 【知识点解析】 一、核心知识点 1. 根的数量，指定义域内有效根的个数，不是代数方程全部解的个数。 1. 根的数量受参数影响分为三类情况：无实根、一个实根、两个及以上实根。 1. 常见形式： · 二次型导数：，用判别式 判断代数根的个数；但 只代表代数有两个根，还要筛选落在定义域内的有效根数量。 · 超越型导数： 含有 等，不能直接解，转化为两个函数图像交点个数判断零点数量。 1. 根的数量直接决定单调区间段数： 个互不相等有效根，最多把定义域切分成 个单调区间。 二、解题思路 1. 整理导数 ，优先因式分解；无法因式分解，则将 变形为便于图像分析的等式。 1. 代数方程（如二次）：先利用判别式讨论代数层面根的个数；再结合定义域剔除无效根，得到定义域内实际有效根数目。 1. 超越方程：移项变成 ，分析两个函数图像交点个数，即为导数零点个数。 1. 按照参数划分：无有效根、1 个有效根、2 个有效根……每一类参数范围对应根的数目。 1. 每种根数量情况下，划分区间，分析导数正负，写出函数单调性。 【例题分析】 例1．（25-26高二下·河北邢台·阶段检测·节选）已知函数，. (1)讨论的单调性； 例2．（25-26高三上·广东佛山·期中）已知函数. (1)若曲线在点处的切线斜率为0，求实数的值，并证明此时无极值点； (2)讨论的单调性； (3)若在区间上的最大值为1，求实数的值. 【变式训练】 变式1．（25-26高三上·山东济南·期中·节选）函数. (1)求的单调区间； 变式2．（2026·贵州黔西南·二模·节选）已知函数. (1)讨论的单调性； 考点四 讨论导数等于0的根的大小关系与根是否有意义 【知识点解析】 一、核心知识点 1. 综合考点：既要判断每个根是否落在定义域（是否有效），又要对有效根比较大小。 1. 参数变化会同时带来两个变化：① 有的根从定义域内跑到定义域外；② 有效根之间大小顺序发生改变。 1. 双重临界：一类临界来自“根刚好等于定义域边界”，决定根是否有效；另一类临界来自“两根相等”，决定根大小关系。两类临界值共同作为分类讨论的分界点。 二、解题思路 1. 写出原函数定义域，求出 的全部代数根。 1. 求出两类临界参数： · 临界①：令根等于定义域边界，解出参数，这是根有效/无效的分界； · 临界②：令两根相等，解出参数，这是根大小关系的分界。 1. 把全部临界参数从小到大排序，完整划分参数讨论区间。 1. 在每一个参数区间内完成两步： ① 筛选哪些根在定义域内，保留有效根； ② 将有效根按从小到大排序。 1. 使用排好序的有效根分割定义域，逐个区间判断导数符号，得到单调性。 1. 注意：某参数下如果一个根失效消失，那么就不再参与大小比较。 【例题分析】 例1．（2026·福建福州·模拟预测·节选）已知函数． (1)讨论函数的单调区间； 例2．（2026·北京昌平·模拟预测）已知函数（）. (1)当时，求函数的单调区间和极值； (2)若函数在区间上有且只有一个零点，求实数的取值范围. 例3．（2026·江西上饶·模拟预测·节选）已知函数． (1)讨论的单调性； 【变式训练】 变式1．（2026·重庆万州·三模）已知函数 (1)若，求曲线在点处的切线方程; (2)讨论的单调性; (3)若，求正数a的取值范围. 变式2．（25-26高三上·江苏南京·期中·节选）已知函数. (1)若，求函数的极值； (2)讨论函数的单调性； 变式3．（2025·江西九江·三模·节选）已知函数，其中． (1)讨论的单调性； 考点五 讨论导数等于0的根的数量与根是否有意义 【知识点解析】 一、核心知识点 1. 综合考点：区分“代数方程解的个数”和“定义域内有效根的个数”。 1. 参数改变，会出现：代数有两个根，但定义域内只有 1 个有效根；或者代数有根，但全部落在定义域之外，有效根数量为 0。 1. 临界来源：参数变化使得根跨过定义域边界，直接改变有效根的计数。 二、解题思路 1. 写出定义域，解 ，得到全部代数解。 1. 求出临界参数：每个根等于定义域边界时对应的参数值。 1. 将所有临界参数排序，划分参数讨论范围。 1. 对每一段参数范围： ① 统计代数解总个数； ② 筛选出落在定义域内部的根，得到有效根数量； 1. 分情况：有效根 0 个、有效根 1 个、有效根 2 个…… 1. 根据有效根数目分割定义域，分析导数正负，写出单调性。 1. 易错规避：不要直接拿判别式得到的代数根个数直接当成有效根个数，必须校验定义域。 【例题分析】 例1．（2025·贵州黔东南·三模）设函数． (1)若，试求函数的极值； (2)设，讨论的单调性． 例2．（2026·云南曲靖·模拟预测）已知函数． (1)若，求的极值； (2)若，求函数的单调增区间； (3)若，函数有两个极值点，，，不等式恒成立，求实数的取值范围． 例3．（2026·天津和平·三模·节选）已知函数． (1)若，求曲线在处的切线方程： (2)讨论函数的单调性； 【变式训练】 变式1．（2026·天津和平·三模）已知函数，． (1)讨论的单调性； (2)设，求在区间上的值域，其中是自然对数的底数． 变式2．（25-26高二下·广东茂名·期末·节选）已知函数． (1)讨论的单调性； 变式3．（25-26高二下·广西桂林·期末·节选）已知函数，． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)讨论的单调性； 考点六 含三角函数的单调性讨论问题 【知识点解析】 一、核心知识点 1. 函数含有 ，定义域通常是全体实数，也可以是给定区间 等。 1. 求导后 依旧是三角函数， 的解有无穷多个，呈现周期性；根的数量不再有限。 1. 特点： · 导数零点是周期性分布； · 给定有限区间时，只取落在区间内的零点； · 含参数时，参数会改变导数零点位置，零点可能移入移出给定区间。 1. 不能无限写区间，只在题目给定定义域/给定区间内分析单调性。 二、解题思路 1. 确定题目给定的研究区间，不要扩大到全体实数。 1. 求导化简 ，通常化简成 或 的形式。 1. 令 ，解三角方程，写出通解；再从通解中筛选出落在题目给定区间内的全部零点。 1. 含参题型：参数改变三角方程解，讨论参数临界，判断零点是否落在给定区间。 1. 将区间内有效零点从小到大排列，分割原给定区间。 1. 在每一个小区间内判断 的正负，写出单调递增、递减区间。 1. 注意：三角函数零点无穷多，只写题目限定范围内的单调区间，不要写出周期通式以外无关部分；端点处开闭不影响单调性。 【例题分析】 例1．（25-26高二下·北京房山·期末）已知函数，，． (1)当时，求曲线在处的切线方程； (2)当时，讨论函数在上的单调性； (3)若方程在上恰有一个实根，求实数的取值范围． 例2．（25-26高二下·四川成都·期中）已知. (1)求； (2)讨论的单调性，直接写出答案，不用写出过程； (3)求在上可能的极值点个数.（用含的式子表示，写出最后答案即可） 【变式训练】 变式1．（25-26高三上·江西南昌·期中）已知函数． (1)若，证明：在上单调递增； (2)令，其中，若讨论函数的单调性； 变式2．（2026·浙江·三模）已知函数，， ． (1)求证：函数的图像是轴对称图形； (2)当 时，求函数的最大值； (3)若函数有两个单调区间，求实数a的取值范围． 2 学科网（北京）股份有限公司 $