27.2 反比例函数的图象和性质 第1课时 讲义 2026-2027学年人教版数学九年级上册

人教版九年级数学下册 第27章《反比例函数》配套讲义·导学案 《27.2 反比例函数的图象和性质》（第1课时）配套讲义·导学案 ——人教版九年级下册 第二十七章《反比例函数》·素养导向深度学习 班级：__________　姓名：__________　小组：__________　日期：__________ 模块一　温故知新 · 思维铺垫 【知识回顾】请独立完成下列填空，唤醒已有认知。 1. 形如 __________（k 是常数，k ≠ 0）的函数叫做反比例函数，其中自变量 x 的取值范围是 __________，函数值 y 的取值范围是 __________。 2. 反比例函数的三种等价形式：① y = ；② xy = __________；③ y = kx⁻¹（k ≠ 0）。 3. 我们已经研究过正比例函数、一次函数和二次函数，回顾函数研究的一般路径，补全下面的流程图： 【解析式】 → 【　　？　　】 → 【　　？　　】 → 【实际应用】 4. 画函数图象的“三步法”是：① __________；② __________；③ __________。 【预习思考】 反比例函数的图象还会像一次函数那样是一条直线、或像二次函数那样是一条连续的抛物线吗？请大胆猜想：____________________________________。 模块二　核心探究 · 图象建构与性质归纳 探究活动 1　师生共研：画反比例函数 y = 3/x 的图象 第一步【列表】：因为 x ≠ 0，所以取值时必须避开 x = 0，且要正负成对、对称取值，便于观察规律。请补全下表： x -6 -3 -2 -1 -0.5 0.5 1 2 3 6 y = 3/x -0.5 -1.5 3 1 0.5 第二步【描点】：在下面的网格坐标系中，把上表各点准确描出（注意坐标对齐、落点清晰）。 （此处为方格坐标纸区域，请用铅笔规范描点） 第三步【连线】：用__________曲线，在每一象限内把各点顺次连接起来。 【关键追问】思考并回答： 追问 1：能不能用直尺把各点连成折线？为什么？ 答：__________________________________________________________________ 追问 2：能否把第三象限的点和第一象限的点穿过坐标轴连成一条曲线？为什么？ 答：因为 x ≠ 0 且 y ≠ 0，图象与 x 轴、y 轴永远__________交点，所以图象由__________支组成，必须在每个象限内分别连接。 【概念生成】反比例函数 y = （k ≠ 0）的图象是由两支曲线组成的，我们把它叫做__________。 探究活动 2　自主实践：画反比例函数 y = 的图象 请你在坐标纸上独立完成 y = 的列表、描点与连线，然后与同桌交换检查。 【错例辨析展台】下面四位同学的画法都存在问题，请指出错在哪里： 错例 错误表现 错因分析（请填写） 甲 用直尺把各点连成折线 乙 把两支曲线穿过原点连成一体 丙 曲线画到最大取值点就停笔，画成带端点的线段 丁 曲线末端向远离坐标轴的方向翘起拐弯 探究活动 3　观察归纳：k > 0 时的图象与性质 观察 y = 与 y = 的图象，小组讨论后完成填空： （1）图象位置：双曲线的两支分别位于第__________象限； （2）增减性：在第一象限内，图象从左到右逐渐__________（上升/下降），y 随 x 的增大而__________；在第三象限内，y 随 x 的增大而__________。 探究活动 4　认知冲突：辨析“在每一个象限内” 【辨析命题】“当 k > 0 时，y 随 x 的增大而减小。”这句话对吗？请用反例检验： 在 y = 3/x 中，取点 A(-1, -3)（第____象限）与 B(1, 3)（第____象限）： 比较横坐标：x₁ = -1 ______ x₂ = 1，即 x 增大了； 比较纵坐标：y₁ = -3 ______ y₂ = 3，即 y 竟然也增大了！ 【深度追问】为什么会出现这一矛盾？问题究竟出在哪里？ 答：因为两点分别位于__________的图象上，自变量从 -1 到 1 跨越了无意义的点 x = ______。 【结论强化】描述反比例函数的增减性时，必须严密加上限定语“__________”，绝不能笼统地说“在整个定义域内”。 探究活动 5　类比迁移：k < 0 时的图象与性质 猜想：反比例函数 y = -、y = -的图象位于第__________象限；在每一个象限内，y 随 x 的增大而__________。 请用几何画板动态验证你的猜想，并与 k > 0 的情形对照。 【性质归纳】请补全下表，构建完整的性质矩阵： 比例系数 k k > 0 k < 0 图象名称 双曲线（两支） 双曲线（两支） 所在象限 第__________象限 第__________象限 增减性 在每一个象限内，y 随 x 的增大而__________ 在每一个象限内，y 随 x 的增大而__________ 与坐标轴关系 无限靠近但__________相交 无限靠近但__________相交 对称性 关于__________中心对称 关于__________中心对称 模块三　典例剖析 · 规范解题 【例 1】待定系数法与点在图象上的判定 已知反比例函数的图象经过点 A(-2, 4)。 （1）求该反比例函数的解析式，并判断其图象所在的象限及在每个象限内的增减性； （2）判断点 B(1, -8)、C(2.5, -3.2)、D(2, 4) 是否在该反比例函数的图象上。 【规范解答】 解：（1）设反比例函数的解析式为 y =（k ≠ 0）。 　　∵ 图象经过点 A(-2, 4)，∴ 4 = ，解得 k = ________。 　　∴ 反比例函数的解析式为 y = ________。 　　∵ k = -8 ______ 0，∴ 双曲线的两支分别位于第__________象限； 　　在每一个象限内，y 随 x 的增大而__________。 （2）判定方法：只需检验横纵坐标之积 xy 是否等于 k。 　　点 B(1, -8)：xy = 1 × (-8) = -8 = k，∴ 点 B __________（在/不在）图象上； 　　点 C(2.5, -3.2)：xy = 2.5 × (-3.2) = ______，∴ 点 C __________图象上； 　　点 D(2, 4)：xy = 2 × 4 = ______ ≠ -8，∴ 点 D __________图象上。 【方法提炼】点 P(x₀, y₀) 在反比例函数 y = k/x 图象上 ⇔ ____________________。 【例 2】含参双约束与函数值大小比较 已知反比例函数 y = (m - 5)/x 的图象有一支在第一象限。 （1）求 m 的取值范围，并写出另一支所在的象限； （2）若点 P(x₁, y₁)、Q(x₂, y₂) 都在第一象限的图象上，且 x₁ > x₂，比较 y₁ 与 y₂ 的大小； （3）【变式】若点 P(x₁, y₁)、Q(x₂, y₂) 在该图象上，且 x₁ < 0 < x₂，试比较 y₁ 与 y₂ 的大小。 【规范解答】 解：（1）∵ 双曲线一支在第一象限，∴ 另一支必在第__________象限， 　　且比例系数 m - 5 ______ 0，解得 m ______ 。 （2）∵ m > 5，∴ k ______ 0，∴ 在第一象限内，y 随 x 的增大而__________。 　　又 ∵ x₁ > x₂ > 0，∴ y₁ ______ y₂。 （3）∵ x₁ < 0，∴ 点 P 在第____象限，其纵坐标 y₁ ______ 0； 　　∵ x₂ > 0，∴ 点 Q 在第____象限，其纵坐标 y₂ ______ 0； 　　∴ y₁ < 0 < y₂，即 y₁ ______ y₂。 【方法提炼】比较反比例函数值大小的“三步法”： 先定象限 → 同象限用【　　？　　】比较 → 异象限用【　　？　　】比较 模块四　素养进阶 · 能力飞跃 进阶 1　含参双约束模型 已知反比例函数 y = (2a + 1)/x 的图象经过点 (-1, 3)。 （1）求 a 的值；（2）判断该函数图象所在的象限，并说明在每个象限内 y 随 x 的变化情况。 解：_________________________________________________________________ 进阶 2　数形结合与对称性探究 （1）若点 P(a, b) 在反比例函数 y = 6/x 的图象上，则点 Q(-a, -b) 是否也在该图象上？请说明理由。 解：_________________________________________________________________ （2）由此你能得到双曲线的什么对称性？答：关于__________中心对称。 （3）【下节伏笔】过双曲线上任意一点 P(x, y) 分别向两坐标轴作垂线，所围成的矩形面积是多少？它与 k 有怎样的关系？ 解：矩形面积 = ____________________。 模块五　当堂达标 · 分层演练 A 组　基础过关（全员必做） 1. 下列函数中，图象位于第一、三象限，且在每个象限内 y 随 x 增大而减小的是（　　） 　　A. y = -3x　　B. y = 3x - 1　　C. y = 　　D. y = - 2. 反比例函数 y = - 的图象在第__________象限，在每个象限内 y 随 x 的增大而__________。 3. 若点 (-2, m) 在反比例函数 y = - 的图象上，则 m = __________。 B 组　能力提升（选做） 4. 若反比例函数 y = 在每个象限内 y 随 x 增大而增大，则 k 的取值范围是__________。 5. 已知反比例函数 y = （k > 0）的图象上有三点 A(-3, y₁)、B(-1, y₂)、C(2, y₃)，用“<”连接 y₁、y₂、y₃：__________________。 6. 已知点 A(-4, y₁)、B(-2, y₂)、C(3, y₃) 都在反比例函数 y = - 的图象上，试比较 y₁、y₂、y₃ 的大小，并写出推理过程。 解：_________________________________________________________________ C 组　跨学科微探究（培优选做） 7. 【物理·电学建模】某电路中电压 U 保持不变（U > 0），电流 I 与电阻 R 满足 I = U/R。 （1）I 是 R 的什么函数？其图象位于第几象限？ （2）在每一个象限内（实际意义下 R > 0），当电阻 R 增大时，电流 I 怎样变化？这与物理中的欧姆定律结论一致吗？ 答：_________________________________________________________________ 模块六　学后反思 · 认知建构 【结构梳理】请补全下面的思维导图： 反比例函数 y = k/x（k ≠ 0） 　├─ 图象：双曲线（两支断开，无限逼近坐标轴但不相交） 　├─ 位置：k > 0 → 第______象限；k < 0 → 第______象限 　├─ 增减性：在【__________】内讨论（k>0 递减；k<0 递增） 　├─ 作图：列表（x≠0，对称取点）→ 描点 → 平滑曲线连线 　└─ 思想方法：数形结合、分类讨论、由特殊到一般 【素养达成自评】请在符合你情况的方框内打“√”： 评价项目 完全达成 基本达成 仍需努力 我能规范画出反比例函数的图象（两支断开、平滑延伸） □ □ □ 我能根据 k 的符号准确判断图象所在象限 □ □ □ 我能严谨表述增减性，主动加上“在每一个象限内” □ □ □ 我能熟练运用 xy = k 判断点是否在图象上 □ □ □ 我能正确比较同象限与异象限的函数值大小 □ □ □ 【我的疑问】本节课我还有以下困惑，准备在课后请教老师或同学： ___________________________________________________________________________ 附录　参考答案与详细解析 模块一　温故知新 1. y = ；x ≠ 0；y ≠ 0。 2. xy = k。 3. 解析式 → 【图象】 → 【性质】 → 实际应用。 4. 列表；描点；连线。 【预习思考】不会。反比例函数的图象是断开的两支曲线（双曲线），既不连续，也不经过原点。 模块二　核心探究 活动 1 列表补全：x = -3 时 y = -1；x = -1 时 y = -3；x = -0.5 时 y = -6；x = 0.5 时 y = 6；x = 2 时 y = 1.5。 追问 1：不能。函数的变化是连续的、平滑的，折线无法真实反映图象的变化趋势。 追问 2：因为 x ≠ 0 且 y ≠ 0，图象与两坐标轴永远没有交点，所以图象由两支组成，必须在每个象限内分别连接。 【概念生成】双曲线。 错例辨析：甲——误用折线，应用平滑曲线；乙——忽略 x ≠ 0、y ≠ 0，双曲线两支断开且永不相交；丙——忽略双曲线两端无限延伸、无限逼近坐标轴；丁——忽略 |x| 越大 |y| 越小，曲线应越来越靠近坐标轴。 活动 3：（1）第一、第三象限；（2）下降；减小；减小。 活动 4：A 在第三象限，B 在第一象限；x₁ = -1 < x₂ = 1；y₁ = -3 < y₂ = 3；矛盾原因：两点位于不同的两支图象上，自变量跨越了无意义的点 x = 0；结论须加“在每一个象限内”。 活动 5：第二、第四象限；增大。 【性质归纳】k > 0：第一、三象限，在每一个象限内 y 随 x 增大而减小；k < 0：第二、四象限，在每一个象限内 y 随 x 增大而增大；均与坐标轴无限靠近但永不相交；均关于原点中心对称。 模块三　典例剖析 例 1：（1）k = -8，解析式为 y = -；k < 0，图象位于第二、第四象限；在每一个象限内 y 随 x 的增大而增大。 （2）B：xy = -8 = k，在图象上；C：xy = 2.5 × (-3.2) = -8 = k，在图象上；D：xy = 8 ≠ -8，不在图象上。 方法提炼：x₀·y₀ = k。 例 2：（1）另一支在第三象限；m - 5 > 0，解得 m > 5。 （2）k > 0，在第一象限内 y 随 x 增大而减小；∵ x₁ > x₂ > 0，∴ y₁ < y₂。 （3）点 P 在第三象限，y₁ < 0；点 Q 在第一象限，y₂ > 0；∴ y₁ < y₂。 方法提炼：先定象限 → 同象限用增减性比较 → 异象限用正负号比较。 模块四　素养进阶 进阶 1：（1）∵ 图象过点 (-1, 3)，∴ 3 = (2a + 1)/(-1)，即 2a + 1 = -3，解得 a = -2。（2）此时 k = -3 < 0，图象位于第二、第四象限，在每一个象限内 y 随 x 的增大而增大。 进阶 2：（1）在。理由：点 P(a, b) 在 y = 6/x 上，则 ab = 6；而 (-a)·(-b) = ab = 6，故点 Q(-a, -b) 也在该图象上。（2）关于原点中心对称。（3）矩形面积 = |x| · |y| = |xy| = |k|。 模块五　当堂达标 A 组：1. C（y = 5/x 中 k = 5 > 0）。2. 第二、第四象限；增大。3. m = 3。 B 组：4. 由题意 2k - 4 < 0，解得 k < 2。 5. y₂ < y₁ < y₃。（点 A、B 在第三象限，y₂ < y₁ < 0；点 C 在第一象限，y₃ > 0。） 6. ∵ k = -4 < 0，∴ 图象位于第二、第四象限，在每个象限内 y 随 x 增大而增大。点 A(-4, y₁)、B(-2, y₂) 在第二象限，∵ -4 < -2，∴ y₁ < y₂；点 C(3, y₃) 在第四象限，∴ y₃ < 0。故 y₃ < y₁ < y₂。 C 组：7.（1）I 是 R 的反比例函数（I = U/R，U > 0），图象位于第一象限（实际意义下 R > 0 的一支）。（2）在第一象限内，I 随 R 的增大而减小，即电阻增大电流减小，与欧姆定律结论完全一致。 模块六　学后反思 结构梳理：k > 0 → 第一、三象限；k < 0 → 第二、四象限；增减性须在【每一个象限内】讨论。 学科网（北京）股份有限公司 $