27.3 实际问题与反比例函数（第3课时） 教学设计 2026-2027学年人教版数学九年级上册

该初中数学教学设计聚焦实际问题中反比例函数模型的构建，通过回顾前两课时用解析式或图象解决问题的基础，提出无法直接获取函数信息时的建模需求，播放视频呈现气体压强与体积实验数据，搭建从数据到模型的探究支架。 特色在于数据驱动的完整建模流程，从表格数据绘制散点图培养几何直观，猜想反比例函数类型发展抽象能力，通过多组数据求k平均值并检验模型提升推理与运算能力，结合信息技术辅助验证，发展模型观念与应用意识。学生经历“数据-图象-猜想-建模-检验-应用”过程提升解决实际问题能力，教师获得可复制的函数建模教学范式。

教学设计 课程基本信息 学科 数学 年级 九年级 学期 秋季 课题 27.3　实际问题与反比例函数（第3课时） 教学目标 1．通过分析实际问题中的数量关系，初步确定变量之间的对应关系，提升抽象能力． 2．经历建立函数模型解决实际问题的全过程，能构建函数模型解决实际问题，提升推理能力和运算能力，发展模型观念与应用意识． 3．能提炼建立函数模型解决实际问题的一般步骤，积累数学活动经验． 教学内容 教学重点 确立函数模型解决实际问题． 教学难点 根据实际问题中变量之间的关系确定函数模型． 教学过程 教学环节 主要师生活动 新知探究 引导语：函数是刻画现实世界中变量关系和变化规律的数学模型．在前两节课的学习中，我们利用反比例函数的解析式或图象来解决实际问题．如果根据实际问题不能直接获取函数图象或解析式，那么应该如何构建函数模型来解决呢？现在我们就来讨论这类问题． 探究：某物理实验小组研究气体的压强p（单位：kPa）与体积V（单位：mL）的关系，在温度和气体质量不变的条件下，通过实验得到了6组数据，见下表． 序号 1 2 3 4 5 6 体积V/mL 20 18 16 14 12 10 压强p/kPa 100 112 123 145 163 201 气体的压强p与体积V是否存在一定的函数关系？如果存在，请你建立函数模型，并估计当压强为132 kPa时，气体的体积为多少（结果保留小数点后两位）． 问题1：通过观察表格中的数据，你能发现气体的压强p与体积V存在哪种函数关系吗？ 师生活动：教师播放视频呈现问题，学生从函数定义的视角分析压强p与体积V存在一一对应的函数关系，但无法明确是哪个函数模型． 追问1：怎样直观分析表格中数据的变化规律？ 师生活动：教师启发学生将表格中的数据直观呈现，学生联想到函数图象，尝试将表格中的数据直观描绘在平面直角坐标系中． 追问2：观察这些点的分布情况，画一条曲线，使其尽可能靠近所有这些点．你认为所画曲线与学过的哪一类函数图象比较接近？ 师生活动：教师引导学生选择合适的单位长描点，展示优秀作图，感受点的变化规律，从“形”的视角直观猜想可能的函数类型，再结合函数性质、实际意义分析，尝试用反比例函数近似地描述压强p与体积V之间的关系． 设计意图：引导学生直观分析数据的变化规律．学生通过绘制散点图、连线、观察、猜想、推理，初步确定函数类型，发展抽象能力和推理能力． 问题2：尝试用反比例函数近似地描述压强p与体积V之间的关系，你能求出函数解析式吗？ 师生活动：教师呈现问题，学生根据反比例函数的定义及表格中的数据，独立求解函数解析式． 追问1：大家所求的函数解析式相同吗？你是怎样求出k值的？小组讨论，找到一个最合适的最合适的k值． 师生活动：学生根据反比例函数的定义及表格中的部分数据，求得不同的反比例函数解析式．为找到一个最合适的函数模型，教师启发学生取所有k值的平均值作为反比例系数，建立函数模型．展示规范解答． 追问2：所建立的函数模型符合实验中的所有数据吗？如何检验？ 师生活动：教师引导学生回顾检验点是否在函数图象上的方式，计算表格中的数据p·V与所求k值的差异．此外教师借助信息技术工具描绘出函数的图象，观察所描绘的点是否在图象上，或是否分布在双曲线附近，体会选择的合理性． 设计意图：引导学生经历建立函数模型、检验函数模型的过程，理解建立函数模型过程的合理性． 问题3：根据函数模型，求解当压强为132 kPa时气体的体积（结果保留小数点后两位）． 师生活动：教师呈现问题，学生将p＝132代入函数模型求解气体体积． 设计意图：引导学生利用函数模型解决实际问题，发展学生的运算能力与应用意识． 总结反思 通过上述探究，我们不仅能根据已有的函数模型（图象或解析式）解决问题，还能根据已有数据所蕴含的变化规律构建函数模型解决问题． 问题4：在探究中，实际数据并没有完全落在函数上，这种建立函数模型的方式与以往所学有什么不同？ 师生活动：教师引导学生回顾探究过程，对比分析前2个课时的学习经历，反思建立函数模型解决问题的全过程． 追问：你能总结建立函数模型解决实际问题的一般过程吗？ 师生活动：学生通过上述的探究过程总结建模的过程，教师辅助学生提炼几个关键的步骤． 设计意图：借助建立反比例函数解决实际问题的全过程，归纳建立函数模型解决问题的一般步骤，发展模型观念，提升应用意识和创新意识． 课堂小结 教师与学生一起回顾本节课所学主要内容，并请学生回答以下问题： （1）探究活动中，建立函数模型解决实际问题的过程与以往有何不同？ （2）结合建立函数模型解决实际问题的一般步骤，你觉得最重要的是哪一步？ 师生活动：教师通过问题引导学生回顾本节课的探究过程，学生围绕问题小结本节课学习所得，感受建模的全过程． 设计意图：引导学生归纳建立函数模型解决实际问题的一般步骤，关注对函数选择与检验的过程，提升模型观念，发展应用意识． 课后任务 教科书习题27.3第9题． 学科网（北京）股份有限公司 $