27.2 反比例函数的图象和性质 讲义 2026-2027学年人教版数学九年级上册

本讲义聚焦反比例函数的图象和性质核心知识点，系统梳理用描点法画图象的步骤（列表、描点、连线及注意点），k>0时图象位于一、三象限且每象限内y随x增大而减小，k<0时位于二、四象限且每象限内y随x增大而增大，以及由点求解析式、判断点是否在图象上等内容。通过回顾一次函数、二次函数研究方法迁移学习，以预习导航铺垫、课内探究深化，构建完整学习支架。 该资料以“先想后画、画完验证”为核心设计，通过四问（x/y能否取0、符号）引导学生用数学眼光观察图象位置，培养几何直观。辨析增减性需“每象限内”等活动强化推理意识，发展数学思维。分层训练（A/B/C组）和自查要点助力规范表达，课中辅助教师突破难点，课后帮助学生查漏补缺，提升应用意识。

人教版数学九年级上册 · 第二十七章 反比例函数 · 27.2 反比例函数的图象和性质(教师讲义) 27.2 反比例函数的图象和性质 教师讲义 · 2026—2027学年 人教版数学九年级上册(2024版) 第二十七章 反比例函数 · 2课时 · 本书配套《学生用书》使用 一 教学导航 (一) 教材分析 【教材分析】 27.2 反比例函数的图象和性质是人教版(2024)九年级上册第二十七章"反比例函数"的第二节(课本 P67-P71), 共 2 课时。本节承接 27.1 的反比例函数概念, 沿"概念 — 图象和性质 — 实际问题"的研究路径向前推进。需要特别注意新版教材在研究方式上的一处重要调整: 课本 P67 先安排"思考"——回顾一次函数、二次函数的图象和性质的研究过程, 把研究方法"调"出来; 再安排"探究"——对于反比例函数 y = 与 y = , 先让学生"结合解析式, 分析自变量 x 的取值范围, 以及 y 随 x 的变化而变化的规律, 想象它们图象的位置和形状", 画出示意图, 然后用描点法作图验证, 也就是先想后画、画完验证, 而不是拿过解析式就急着列表。作图之后, 教材用两组探究分别研究 k > 0 与 k < 0 的情形(P68), 并在 P69 归纳出反比例函数的两条图象特征和性质, 明确"反比例函数的图象由两条曲线组成, 它是双曲线"。第 2 课时是性质的应用(P70-P71): 例 1 由图象上一点的坐标求解析式并判断其余点是否在图象上; 例 2 由图象的一支求参数 m 的取值范围, 并在同一支上比较函数值的大小; 配套练习(P69 练习、P71 练习)覆盖了由图象选解析式、由图象读出 k 的符号、同一象限内比较大小等基本题型。本节是本章的重点, 也是后续学习"实际问题与反比例函数"与"反比例函数的几何意义"的直接基础。 【学情分析】 学生早已会用描点法画一次函数、二次函数的图象, 也熟悉"先画图、再看图、后归纳"的套路, 方法层面并不陌生。本节的主要困难有五个: 一是把"由解析式想象图象"这一步跳过去, 拿到 y = 就直接列表, 结果对"为什么图象是两支""为什么与坐标轴不相交"缺乏理解, 只能背结论; 二是连线时用线段依次连接描出的点, 把图象画成折线, 或者把两支曲线连成一条穿过原点的曲线; 三是增减性丢掉"在每一个象限内"这个前提, 说出"k > 0 时 y 随 x 的增大而减小"这样的错话, 遇到跨象限比较大小就出错; 四是把 k 的符号与图象所在象限对应错, 遇到含字母系数(如 y = )时, 不会由"图象的一支在第几象限"反推参数的范围; 五是判断点是否在图象上时不计算横、纵坐标的积, 只凭感觉作答。教学中要把"先想后画""两支分开画""增减性限在每一个象限内""点在图象上等价于 xy = k"这四句话反复落在板书上。 【教学目标】 1. 会用描点法画出反比例函数的图象, 能说出列表、描点、连线三个步骤的注意点, 知道反比例函数的图象是双曲线, 它由两支曲线组成, 两支都与坐标轴不相交。2. 能由解析式分析自变量与函数值的取值范围及变化趋势, 先想象图象的位置和形状, 再用描点法验证, 体会"先想后画、画完验证"的数形结合方法。3. 掌握反比例函数的图象特征和性质: 当 k > 0 时两支分别位于第一、第三象限, 在每一个象限内 y 随 x 的增大而减小; 当 k < 0 时两支分别位于第二、第四象限, 在每一个象限内 y 随 x 的增大而增大。4. 会由图象上一点的坐标用待定系数法求反比例函数的解析式, 并会判断一个点是否在这个函数的图象上。5. 会由图象的一支所在的象限判断常数 k 的符号, 从而求出含字母系数的参数取值范围; 会在同一支上比较两个点的函数值的大小。6. 经历"观察 — 猜想 — 验证 — 归纳"的完整过程, 发展几何直观、推理能力与数形结合的意识。 【教学重点】 用描点法画反比例函数的图象; 掌握 k > 0 与 k < 0 两种情况下图象的位置与增减性; 由图象上一点的坐标求解析式并判断点是否在图象上; 在同一支上比较函数值的大小。 【教学难点】 准确理解"在每一个象限内"这一前提, 不跨象限使用增减性; 由图象的一支所在的象限反推含字母系数的参数取值范围; 理解"图象无限接近坐标轴但永远不与坐标轴相交"。 【课时安排】 本节共 2 课时。第 1 课时: 反比例函数的图象和性质(课本 P67-P70); 第 2 课时: 反比例函数的图象和性质的运用(课本 P70-P71)。 【教学准备】 教师: 课本、课件(含信息技术工具画出的 k 取不同正值时的图象)、坐标纸、磁性小黑板、彩色粉笔(至少两色, 一色画 k > 0, 一色画 k < 0); 学生: 课本、坐标纸、直尺、铅笔、橡皮(画错要能擦掉重画)。 (二) 课时安排与主线 课时 环节 内容 课本页码 要固定下来的动作 第 1 课时 环节一 回顾研究路径, 明确研究方法 P67 先想后画, 再描点验证 第 1 课时 环节二至三 先想后画, 描点法画 y = 与 y = P67 两支分开画, 不用折线 第 1 课时 环节四至五 k > 0 与 k < 0 的图象位置与增减性 P68 分两类讨论, 增减性限在每象限内 第 1 课时 环节六至七 归纳、辨析、例 1 与练习 P69-P70 点在图象上等价于 xy = k 第 2 课时 环节八至十二 例 2、练习与当堂检测、小结 P70-P71 先定象限再比大小 二 教学过程 第一课时 反比例函数的图象和性质(课本 P67-P70) 环节一 复习回顾, 把研究方法"调"出来(课本 P67 思考) 【教师活动】 板书三个问题, 请三名学生依次口答: ①我们已经研究过哪两类特殊函数? 它们的研究过程是怎样的? ②画函数图象的一般步骤是什么? ③一次函数与二次函数的图象分别是什么形状? 【学生活动】 口答: 一次函数与二次函数; 步骤是列表、描点、连线; 一次函数的图象是一条直线, 二次函数的图象是一条抛物线。 【教师活动】 把研究路径写在黑板左侧并保留整节课: 实际问题 — 列解析式 — 归纳概念 — 画图象 — 结合解析式得性质 — 应用。随后追问课本 P67 的思考: 回顾一次函数、二次函数的图象和性质的研究过程, 如何研究反比例函数的图象和性质? 引导学生说出两句话: 先画出函数的图象, 再利用图象、结合函数的解析式研究函数的性质; 与对一次函数的研究一样, 要对解析式 y = (k 为常数, k ≠ 0)中的 k 分情况讨论, 即分 k > 0 与 k < 0 两种情况。 【板书】 先研究 k > 0 的情况, 我们从具体的反比例函数开始。 【方法提示】 本节最关键的一句话是"先想后画, 画完验证"。拿到一个反比例函数, 不要急着列表, 先看解析式问四个问题: x 能不能取 0? y 能不能取 0? x > 0 时 y 是什么符号? x < 0 时 y 是什么符号? 由这四个问题先"想"出图象落在哪些象限、和坐标轴有没有交点, 画出示意图, 再用描点法验证。 环节二 先想后画: 由解析式想象图象(课本 P67 探究) 【教师活动】 出示 y = 与 y = , 先不给坐标系, 只提三个问题: ①自变量 x 可以取哪些值? ②函数值 y 可以取哪些值? ③当 x 取正数、取负数时 y 分别是什么符号? 请学生在练习本上先画一个"示意图", 画完同桌互看。 【学生活动】 独立思考后交流: 因为分母不能为 0, 所以 x ≠ 0; 又因为分子是 3 与 6, 分子不为零且分母不为零, 所以 y 也永远不等于 0; 当 x > 0 时 y > 0, 图象落在第一象限; 当 x < 0 时 y < 0, 图象落在第三象限。据此画出草图 —— 两支曲线分别落在第一、第三象限, 它们都不与坐标轴相交。 【预设与对策】 部分学生会把示意图画成一条连续的曲线穿过原点。教师不要急于否定, 而是追问: "图象上有没有横坐标为 0 的点? 有没有纵坐标为 0 的点?" 由 x ≠ 0、y ≠ 0 说明图象上不可能有落在坐标轴上的点, 更不可能经过原点, 所以草图应当是断开的、互不相连的两支。 图27.2-1 描点法画反比例函数图象的三个步骤 环节三 描点法画出 y = 与 y = 的图象(课本 P67, 图27.2-1) 【教师活动】 以 y = 为例板演列表: 取 x 为 1、2、3、4、6 以及它们的相反数, 再补充 1.5 等中间值, 算出对应的 y 值; 强调取 x 的值要"以 0 为中心左右对称地取", 并且绝不能取 0。随后在黑板的坐标纸上示范描点, 再让学生独立完成 y = 的图象。 【学生活动】 在坐标纸上列表、描点、连线, 画出 y = 与 y = 的图象, 并与课前画的示意图比较, 看看是否大致相同。 【预设与对策】 三类典型错误要现场纠正: 一是列表时取了 x = 0; 二是描点后顺手用线段把点连起来, 画出折线; 三是把第一象限与第三象限的两支连成一条穿过原点的曲线。对策: 教师巡视时把这三类"作品"各收一份投屏放大对比, 让学生自己指出问题, 再统一要求 —— 连线必须用平滑的曲线, 两支必须分开画, 画完还要向两端延伸, 让曲线逐渐靠近坐标轴。 图27.2-2 y = 与 y = 的图象(两支都位于第一、第三象限) 环节四 观察归纳: k > 0 时图象的位置与增减性(课本 P68) 【教师活动】 出示课本 P68 的两个问题: ①每个函数的图象分别位于哪些象限? ②在每一个象限内, 随着 x 的增大, y 如何变化? 你能由它们的解析式说明理由吗? 先让学生看图回答, 再引导学生用解析式说理: 在 x > 0 的前提下, x 增大时分母变大而分子 3 不变, 所以 变小, 即 y 随 x 的增大而减小; x < 0 时同理。 【学生活动】 观察图象得出: 两支分别位于第一、第三象限; 在每一个象限内, y 随 x 的增大而减小。再用解析式说明理由, 把"看图"与"算理"对上。 【教师活动】 用课件展示信息技术工具画出的 y = 中 k 取不同正值时的图象(对应课本 P68 图27.2-2), 提问: k 换成 1、2、5 以后, 前面两条结论还成立吗? 让学生认识到这两条结论对一切 k > 0 都成立, 从而完成从特殊到一般的归纳。 【归纳】 一般地, 当 k > 0 时, 对于反比例函数 y = , 结合函数图象与解析式可以发现: ①函数图象的两支分别位于第一、第三象限; ②在每一个象限内, y 随 x 的增大而减小。 图27.2-3 y = 中 k 取不同正值时的图象(k 越大, 两支离原点越远) 图27.2-4 k > 0 时双曲线的两支分别位于第一、第三象限 环节五 类比探究: k < 0 时图象的位置与增减性(课本 P68) 【教师活动】 提出类比任务: 我们已经用从特殊到一般、数形结合的方法研究了 k > 0 的情形, 你能用同样的方法研究 k < 0 时反比例函数的图象和性质吗? 请每组各取一个负的 k 值(如 -3 与 -6), 先由解析式想象图象, 再画出图象, 最后归纳结论。 【学生活动】 两人一组, 一人取 k = -3, 另一人取 k = -6, 各自画图后交换检查, 再共同写出结论, 并对照 k > 0 的情形找出相同点与不同点。 【预设与对策】 学生容易把 k < 0 的图象位置说成"第三、第四象限"或"第一、第四象限"。对策: 回到"取特殊点"的办法 —— 取 x = 1, 得 y = k < 0, 所以点(1, k)在第四象限; 又因为两支关于原点是对称的, 所以另一支在第二象限。用"取点 + 对称"推导, 比死记口诀可靠。 【归纳】 一般地, 当 k < 0 时, 对于反比例函数 y = , 结合函数图象与解析式可以发现: ①函数图象的两支分别位于第二、第四象限; ②在每一个象限内, y 随 x 的增大而增大。 图27.2-5 k < 0 时双曲线的两支分别位于第二、第四象限 图27.2-6 k > 0 与 k < 0 时图象位置与增减性的对比 环节六 归纳与辨析: 双曲线的两条性质(课本 P69 归纳) 【教师活动】 板演课本 P69 的归纳, 再请学生合上课本复述: ①反比例函数的图象由两条曲线组成, 它是双曲线; ②当 k > 0 时, 双曲线的两支分别位于第一、第三象限, 在每一个象限内, y 随 x 的增大而减小; 当 k < 0 时, 双曲线的两支分别位于第二、第四象限, 在每一个象限内, y 随 x 的增大而增大。 【教师活动】 补充三个观察结论: 一是图象向两端无限延伸时会逐渐靠近坐标轴, 但与 x 轴、y 轴都不会相交, 原因是 x ≠ 0 且 y ≠ 0; 二是双曲线的两支关于原点是对称的 —— 若点(a, b)在图象上, 则点(-a, -b)也在图象上; 三是解析式中 k ≠ 0, 所以图象永远不可能落在坐标轴上。 图27.2-7 双曲线无限接近坐标轴, 但永远不与坐标轴相交 【易错辨析一】"k > 0 时 y 随 x 的增大而减小"这句话对吗? —— 不严谨。反比例函数在 x = 0 处没有定义, 图象是断开的, 所以只能说"在每一个象限内", 不能跨象限说。反例: 对 y = , 取 x1 = -1 得 y1 = -6, 取 x2 = 1 得 y2 = 6, 虽然 x1 < x2, 但 y1 < y2, 与"y 随 x 的增大而减小"正好相反。 【易错辨析二】"k 越大图象离原点越远"这句话怎么改才准确? —— 对 k 取不同正值(如 y = 与 y = ), 在同一支上比较时, 确实是 k 越大图象离原点越远; 但两支之间不能比较远近, 所以这句话要限定在"同一个象限内"或"同一支上"。 环节七 例 1 与练习: 由图象上一点求解析式并判断点(课本 P70 例 1、P69 练习) 【教师活动】 出示例 1(课本 P70): 已知反比例函数的图象经过点 A(-2, 4)。(1) 这个函数的图象位于哪些象限? y 随 x 的增大如何变化? (2) 点 B(1, -8), C, D(2, 4)是否在这个函数的图象上? 【教师活动】 先带学生把第(1)问说清: 图象上一点的坐标可以反过来判断图象所在的象限 —— 点 A 在第二象限, 所以图象的两支分别位于第二、第四象限, 在每一个象限内 y 随 x 的增大而增大。再用待定系数法求解析式: 设 y = (k ≠ 0), 把 x = -2、y = 4 代入, 得 4 = , 解得 k = -8, 所以 y = -。 【学生活动】 独立完成第(2)问, 小组内互查书写过程, 再抽一名学生上台板演。 【预设与对策】 学生容易只把横坐标代入解析式求出 y, 再与题中的纵坐标比较, 而对分数坐标的运算出错。对策: 统一改用"算乘积"的办法 —— 点在图象上等价于横坐标与纵坐标的积等于 k。于是 1 与 -8 的积是 -8, 与 - 的积也是 -8, 而 2 与 4 的积是 8, 不等于 -8, 所以点 B、C 在图象上, 点 D 不在图象上。教师同时板书完整格式, 明确"先设、后代、再求、最后写"四步。 【板演】 设这个反比例函数的解析式为 y = (k ≠ 0)。因为点 A(-2, 4)在其图象上, 所以 4 = , 解得 k = -8。因此这个反比例函数的解析式为 y = -。因为点 B、C 的坐标都满足 y = -, 点 D 的坐标不满足, 所以点 B、C 在函数 y = - 的图象上, 点 D 不在这个函数的图象上。 【课堂练习(课本 P69 练习)】 1. 如图所示的图象对应的函数解析式为( ), 备选项中有 y = 5x、y = 2x + 3、y = -、y = -; 2. 反比例函数 y = 的图象如图所示, 则 k ____ 0; 在每个象限内, y 随 x 的增大而 ____。学生独立完成后同桌互查, 教师只提示方法: 先由图象所在象限定出 k 的符号, 再看图象上有没有明显经过的整点。答案见文末参考答案。 环节八 找错活动: 三张"典型错图与错答" 【活动设计】 教师把课前准备的三份典型错误投屏放大, 请学生指出错在哪里、怎样改正, 并把改正后的话写在练习本上。 【错例一】 把 y = 的图象画成一条穿过原点的连续曲线, 两端都向坐标轴靠近。错因: 忽略了 x ≠ 0 且 y ≠ 0, 图象与坐标轴没有交点, 更不可能经过原点, 第一象限与第三象限的两支是断开的。改正: 擦掉穿过原点的部分, 分成两支分别画, 每支各向两端延伸。 【错例二】 列表时取了 x = 0, 并写出对应的 y = 0。错因: 0 不能作除数, 分子 6 除以 0 没有意义, 所以 x = 0 根本不在自变量取值范围内。改正: 列表只能取 x ≠ 0 的数, 并且以 0 为中心左右对称地取。 【错例三】 已知反比例函数 y = 的图象的一支在第一象限, 有人直接写出 m > 0。错因: 图象的一支在第一象限说明两支分别位于第一、第三象限, 只说明 k > 0, 而这里的 k 是 m - 5, 所以应由 m - 5 > 0 得 m > 5, 与 m > 0 不是一回事。改正: 先由图象所在象限定出 k 的符号, 再由 k 的符号解不等式求参数的范围。 第二课时 反比例函数的图象和性质的运用(课本 P70-P71) 环节九 复习回顾: 由图象读信息(课本 P70) 【教师活动】 出示三组判断题请学生口答, 时间控制在 3 分钟内: ①下列反比例函数中, 图象位于第一、第三象限的是哪些? 位于第二、第四象限的是哪些? ②在同一个象限内的两个点(x1, y1)与(x2, y2), 若 x1 < x2, 则 y1 与 y2 的大小关系由什么决定? ③反比例函数的图象经过点 A(-3, 2), 那么这个函数的解析式是什么? 【教师活动】 由第 ③ 问引出关键结论: 区别于一次函数, 反比例函数中只有一个待定系数 k, 所以只需一组 x、y 的对应值就能确定它的解析式。 环节十 例 2: 由图象的一支求参数并比较函数值(课本 P71 例 2) 【教师活动】 出示例 2(课本 P71): 图中的曲线是反比例函数 y = 的图象的一支。根据图象回答下列问题: (1) 图象的另一支位于哪个象限? 常数 m 的取值范围是什么? (2) 在这个函数图象的某一支上任取点 A(x1, y1)和点 B(x2, y2)。如果 x1 > x2, 那么 y1 和 y2 有怎样的大小关系? 【教师活动】 引导两步推理。第一步看"一支在哪里": 因为图象的一支位于第一象限, 由两支关于原点的对称关系可知另一支必位于第三象限; 于是图象位于第一、第三象限, 所以 m - 5 > 0, 解得 m > 5。第二步看"增减性": 因为 m - 5 > 0, 所以在任意一支上 y 都随 x 的增大而减小, 因此当 x1 > x2 时 y1 < y2。 图27.2-8 反比例函数图象的一支(由一支的位置可以推出另一支的位置) 【预设与对策】 三个易错点: 一是把"图象的一支在第一象限"读成"图象只在第一象限", 从而漏掉另一支; 二是求出参数范围后忘了回头检查 k ≠ 0(本题由 m - 5 > 0 已经顺带保证); 三是比较函数值时不看两点是否在同一支上就用增减性。对策: 板书时统一画出"象限 — k 的符号 — 参数范围"三栏对照, 并要求学生在比较大小之前先写一句"因为点 A、B 在同一个象限内"。 【板演】 (1) 因为这个函数的图象的一支位于第一象限, 所以另一支必位于第三象限。因为这个函数的图象位于第一、第三象限, 所以 m - 5 > 0, 解得 m > 5。(2) 因为 m - 5 > 0, 所以在这个函数图象的任意一支上, y 都随 x 的增大而减小, 因此当 x1 > x2 时 y1 < y2。 环节十一 练习与当堂检测(课本 P71 练习) 【课堂练习(课本 P71 练习)】 1. 已知一个反比例函数的图象经过点 A(2, 6)。(1) 这个函数的图象位于哪些象限? 在每一个象限内, y 随 x 的增大如何变化? (2) 点 B(3, 4), C, D(2, -6)是否在这个函数的图象上? 为什么? 2. 反比例函数 y = 的图象的一支位于第二象限, 图象的另一支位于哪个象限? 常数 m 的取值范围是什么? 3. 已知点 A(x1, y1), B(x2, y2)在反比例函数 y = 的图象上, 如果 x1 < x2, 且 x1、x2 同号, 那么 y1、y2 有怎样的大小关系? 为什么? 【学生活动】 独立完成, 第 2 题要写出由"一支在第二象限"推出 m + 2 < 0 的理由, 第 3 题要写清"同号"意味着两个点落在同一个象限内。 图27.2-9 在同一支上取两点 A、B, 比较它们的横坐标与纵坐标 【当堂检测(口答, 4 分钟)】 ①若反比例函数的图象经过点(-2, 3), 则它的图象位于哪两个象限? ②若 y = 的图象的两支分别位于第一、第三象限, 则 k 的取值范围是什么? ③已知点 A(-3, y1)、B(-1, y2)都在 y = 的图象上, 比较 y1 与 y2 的大小。答案见文末参考答案。 环节十二 归纳小结 【教师活动】 请学生用一句话概括本节内容, 再师生共同完成知识结构, 把本节的四个要点写在黑板上: 一个方法 —— 先想后画、画完验证; 一个形状 —— 图象是双曲线, 两支分开画、与坐标轴不相交; 两类性质 —— k > 0 与 k < 0 时图象所在的象限与增减性; 一条等价 —— 点在图象上等价于横、纵坐标之积等于 k。最后再强调一遍: 说增减性必须带上"在每一个象限内"。 图27.2-10 本节知识结构: 图象与性质 三 联系梳理与易错辨析 (一) 三类函数的图象与性质对照 函数 解析式 图象名称 系数的作用 增减性 一次函数 y = kx + b (k ≠ 0) 直线 k 决定直线的倾斜方向 k > 0 时 y 随 x 的增大而增大; k < 0 时 y 随 x 的增大而减小 二次函数 y = + bx + c (a ≠ 0) 抛物线 a 决定开口方向与开口大小 以对称轴为界, 一侧 y 随 x 的增大而增大, 另一侧减小 反比例函数 y = (k ≠ 0) 双曲线 k 决定图象所在象限 在每一个象限内: k > 0 时 y 随 x 的增大而减小; k < 0 时 y 随 x 的增大而增大 【一句话说清】 直线是一条, 抛物线是一支, 双曲线是两支; 前两类函数的图象都连着, 只有反比例函数的图象是断开的, 这正是"增减性要限在每一个象限内"的根本原因。 (二) 易错清单 1. 列表时取了 x = 0。0 不能作除数, 分子除以 0 没有意义, 所以自变量只能取不等于 0 的数。 2. 用线段依次连接描出的点, 把图象画成折线。反比例函数的图象是平滑的曲线, 不是折线。 3. 把两支曲线连成一条穿过原点的曲线。因为 x ≠ 0 且 y ≠ 0, 图象与坐标轴没有交点, 更不会经过原点。 4. 说增减性时丢掉"在每一个象限内"这个前提, 跨象限比较函数值的大小。 5. 由"图象的一支在第几象限"漏推另一支所在的象限。两支关于原点是对称的, 位置总是相对的。 6. 含字母系数时把 k 与整个分子混为一谈。如 y = 中, 这里的 k 是 m - 5, 由 k > 0 得 m > 5, 而不是 m > 0。 7. 判断点是否在图象上时只代横坐标或凭感觉, 不去算横、纵坐标的积。 8. 画图后不向两端延伸, 也不留出靠近坐标轴的趋近趋势, 图象画得"又短又粗"。 (三) 图象位置与增减性的一体两面 已知条件 可以直接得出 要注意的地方 k > 0 两支分别位于第一、第三象限; 在每一个象限内 y 随 x 的增大而减小 结论要带"在每一个象限内" k < 0 两支分别位于第二、第四象限; 在每一个象限内 y 随 x 的增大而增大 不要与 k > 0 的口诀记混 图象的一支在第几象限 另一支所在的象限; k 的符号; 含字母系数时参数的范围 先由象限定 k 的符号, 再解不等式 点(m, n)在图象上 mn = k; 该点关于原点的对称点也在图象上 算乘积比代解析式更快更稳 四 分层巩固训练(原创题, 与课本例题、练习、《习题27.2》零重复) (一) A 组 基础巩固 A1. 反比例函数 y = 的图象位于哪些象限? 在每一个象限内, y 随 x 的增大而怎样变化? A2. 已知反比例函数 y = 的图象经过点 P(-3, 5), 求这个函数的解析式, 并说明它的图象位于哪些象限。 A3. 下列各点中, 在反比例函数 y = - 的图象上的是( )。 A. (2, 9) B. (-2, 9) C. (3, 6) D. (-3, -6) A4. 若反比例函数 y = 的图象的两支分别位于第二、第四象限, 求 n 的取值范围。 A5. 已知点 A(-4, y1)、B(-1, y2)都在反比例函数 y = 的图象上, 比较 y1 与 y2 的大小。 A6. 用描点法画反比例函数 y = - 的图象时, 取 x 为 -4、-2、-1、1、2、4, 请写出对应的六个 y 值, 并说明这个图象的两支分别位于哪两个象限。 (二) B 组 理解运用 B7. 已知反比例函数 y = 的图象经过点 M(2, -6)。(1) 求 k 的值, 并说出图象位于哪两个象限; (2) 判断点 N(-3, 4)与点 P(4, 3)是否在这个函数的图象上。 B8. 已知反比例函数 y = 的图象的一支位于第一象限。(1) 求 a 的取值范围; (2) 若它的图象经过点(3, 4), 求 a 的值。 B9. 已知反比例函数 y = , 点 A(x1, y1)、B(x2, y2)是该函数图象上的两点, 且 x1 < x2 < 0。(1) 判断 y1 与 y2 的大小关系, 并说明理由; (2) 取 x1 = -3, x2 = -1, 求出 y1、y2 加以验证。 B10. 反比例函数 y = 的图象经过点(-2, 3)与点(m, -1), 求 m 的值。 B11. 某函数的图象是双曲线, 两支分别位于第一、第三象限, 且经过点(1, 5)。(1) 求这个函数的解析式; (2) 当 x = -2 时, 求 y 的值; (3) 当 1 ≤ x ≤ 5 时, 写出 y 的取值范围。 (三) C 组 拓展提升 C12. 已知反比例函数 y = 的图象经过点 A(-1, 6)与点 B(3, n)。(1) 求 k 与 n 的值; (2) 判断点 C(-2, 3)是否在这个函数的图象上; (3) 若点 D(a, b)也在这个函数的图象上, 写出点 D 关于原点的对称点, 并说明它也在这个函数的图象上。 C13. 已知反比例函数 y = 的图象经过点 A(2, 3)。(1) 求 k 的值并写出解析式; (2) 若点 B(-2, y1)与点 C(-1, y2)也在该图象上, 比较 y1 与 y2 的大小; (3) 若点 D(a, b)在该图象上, 且 a > 0, 用含 a 的代数式表示 b, 并说明当 a 增大时 b 怎样变化。 C14. 已知反比例函数 y = 的图象的一支位于第四象限。(1) 求 m 的取值范围; (2) 若 A(-3, y1)、B(-1, y2)是该图象上的两点, 比较 y1 与 y2 的大小; (3) 若点(2, -4)在该图象上, 求 m 的值。 五 课堂小结 【方法层面】 研究一个新的函数, 沿用的还是"实际问题 — 概念 — 图象和性质 — 应用"这条路; 具体到图象, 本节学会的是"先由解析式想象图象的位置和形状, 再用描点法验证"的两步走, 也就是说, 数形结合不只是"画完了再去看", 而是"先想后画、画完验证"。 【知识层面】 反比例函数的图象是双曲线, 由两支曲线组成, 两支都与坐标轴不相交; k 的符号既决定图象所在的两个象限, 又决定每个象限内函数值的增减方向。 要点 具体内容 要提醒的地方 一个方法 先由解析式分析取值范围与变化趋势, 想象图象, 再用描点法(列表、描点、连线)验证 列表不能取 x = 0, 连线不能用折线 一个形状 图象由两支曲线组成, 它是双曲线; 两支向两端延伸时无限接近坐标轴, 但与坐标轴不相交 两支必须分开画, 画完要延伸 两类性质 k > 0: 两支在第一、第三象限, 在每个象限内 y 随 x 的增大而减小; k < 0: 两支在第二、第四象限, 在每个象限内 y 随 x 的增大而增大 增减性必须带"在每一个象限内" 一条等价 点(m, n)在反比例函数 y = 的图象上等价于 mn = k 判断点比代解析式更稳, 对称点也满足 六 板书设计 【主板书】 黑板分成左中右三大块。左侧自上而下写研究路径与"先想后画四问"; 中间留出一整块空白, 用磁性小黑板(或现场手绘)画出 k > 0 与 k < 0 的两张双曲线图, 一张用蓝色粉笔、一张用红色粉笔, 旁边分别标注"第一、三象限, 每象限内递减"与"第二、四象限, 每象限内递增"; 右侧上半部分写性质表, 右侧下半部分留给例题的标准书写格式与本节结论。左侧的研究路径与中间的两张图整节课不擦, 便于随时回看对照。 板书区 内容 左上一 研究路径: 实际问题 — 列解析式 — 概念 — 画图象 — 结合解析式得性质 — 应用 左上二 先想后画四问: x 能取 0 吗? y 能取 0 吗? x > 0 时 y 的符号? x < 0 时 y 的符号? 左下一 描点法三步: 列表(以 0 为中心对称取, 不取 0) — 描点(按表中对应值) — 连线(平滑曲线, 向两端延伸) 左下一(续) 结论: 两支分开画, 与坐标轴不相交(因为 x ≠ 0 且 y ≠ 0) 中区 两张图: 图一 k > 0(蓝) 两支在第一、第三象限; 图二 k < 0(红) 两支在第二、第四象限 右上 性质表: 上行 k > 0 — 第一、三象限 — 每象限内 y 随 x 增大而减小; 下行 k < 0 — 第二、四象限 — 每象限内 y 随 x 增大而增大 右下一 例 1 格式: 设 y = (k ≠ 0) — 代入点的坐标 — 解出 k — 写出解析式 — 用 mn = k 判断点是否在图象上 右下二 例 2 格式: 由一支所在象限定 k 的符号 — 解不等式求参数范围 — 同一支上用增减性比较大小 七 作业布置 (一) 课本作业 完成课本 P72《习题27.2》。题面待按课本原文补入后逐题写出解答, 现按下表三栏留位; 布置时按"先独立完成、再对照图象复查"的要求执行, 每题都要求画出相应的示意图。 《习题27.2》栏目 对应题号 布置时附加的要求 复习巩固 第 1 题至第 3 题 第 1 题要求写出图象所在的象限与增减性; 第 2、3 题要求先画出图象的草图再作答 综合运用 第 4 题至第 5 题 含字母系数的题目要求先由图象位置定出 k 的符号, 再解不等式 拓广探索 第 6 题 比较函数值大小必须先说明两点是否在同一个象限内 题面留位 题面待补 【留位】 题面按课本 P72 原文补入后逐题写出解答 (二) 课时配套巩固(原创题) 第 1 题 已知反比例函数 y = 的图象经过点(8, -2)。(1) 求 k 的值; (2) 说出它的图象位于哪两个象限。 第 2 题 反比例函数 y = - 的图象上, 点 A(1, y1)与点 B(-1, y2)的纵坐标分别是多少? 比较 y1 与 y2 的大小, 并说明为什么它们不能直接用增减性比较。 第 3 题 若反比例函数 y = 的图象的每一支上, y 都随 x 的增大而增大, 求 a 的取值范围。 第 4 题 已知反比例函数 y = 的图象经过点(-2, 5)。(1) 求 k 的值; (2) 判断点(5, -2)与点(4, 3)是否在这个函数的图象上。 第 5 题 用描点法画 y = 的图象时, 取 x 为 1、3、9 及它们的相反数, 请写出对应的六个 y 值, 并说出图象的两支分别在哪两个象限。 第 6 题 已知点 M(x1, y1)、N(x2, y2)在反比例函数 y = - 的图象上, 且 0 < x1 < x2, 比较 y1 与 y2 的大小。 第 7 题 一个反比例函数的图象的两支分别位于第一、第三象限, 且经过点(-4, -2)。求这个函数的解析式, 并求当 x = 8 时 y 的值。 第 8 题 已知反比例函数 y = 的图象的一支位于第二象限。(1) 求 m 的取值范围; (2) 若 A(1, y1)、B(2, y2)是该图象上的两点, 比较 y1 与 y2 的大小。 【布置说明】 第 1、4、5 题对应"由点求解析式与判断点"这一基础; 第 3、8 题对应"含字母系数求范围"; 第 2、6 题专门练"比较大小前先看是否在同一象限"; 第 7 题综合了求解析式与求函数值。第 6 题与第 2 题形成对照: 一个在同象限内、一个跨象限, 请写在同一个作业本页上便于比较。 八 教学反思 【关于"先想后画"】 新版教材把"由解析式想象图象"放在描点之前, 这个顺序不能颠倒。第一次上这节课时如果为了赶进度直接让学生列表描点, 后面追问"为什么图象不与坐标轴相交""为什么是两支"时, 学生就只能背结论。实际教学中把四个问题(见板书左上一、左上二)写在黑板上, 让学生先用两分钟在练习本上画"示意图", 再动手描点验证, 学生自己会说出"我想错了, 原来真的不经过原点", 这种自我修正比教师纠错有效得多。 【关于"两支分开画"】 折线与穿原点这两类错误几乎每届都会出现。本轮处理办法是让学生先用铅笔在坐标纸上画, 教师巡视时收三份典型作品投屏放大对比, 由学生互相指错, 再统一要求。实践下来比单纯讲"要用平滑曲线"更有效, 但要注意留出足够的作图时间, 本节的作图环节不能压缩到 10 分钟以内。 【关于增减性】 "在每一个象限内"这六个字必须反复落在板书上, 并且要用一个跨象限的反例(如对 y = 取 x1 = -1、x2 = 1)当堂打碎"y 随 x 增大而减小"的错误印象。含字母系数的问题还要有一道"陷阱题": 由"一支在第一象限"推出 m > 0 而不是 m > 5, 让学生在错中记住 k 是整个分子。 【关于课时分配】 本节 2 课时, 第 1 课时重点在作图与归纳, 第 2 课时重点在运用。若学生基础较弱, 可以把例 1 的板演放到第 1 课时末尾, 第 2 课时从例 2 开始; 若基础较好, 可在第 2 课时补充"k 的绝对值越大双曲线离原点越远"的进一步对比, 但不要提前引入下一节的实际问题与几何意义, 避免加重负担。 【后续衔接】 下一节把本节的性质用于解决实际问题, 要求学生能根据实际意义确定自变量的取值范围, 并把图象只看第一象限的那一支; 因此本节结束时务必让学生清楚: 实际问题中的双曲线往往只是"一支", 而不是完整的两支。 九 参考答案 【说明】 课本例题的解答已随教学过程板演; 下面给出分层巩固训练(A、B、C 三组)、课本练习与当堂检测、课时配套巩固三部分答案。《习题27.2》题面不可得, 暂留位。 (一) 分层巩固训练 A 组 题号 参考答案 A1 k = 8 > 0, 所以图象的两支分别位于第一、第三象限; 在每一个象限内, y 随 x 的增大而减小 A2 设 y = (k ≠ 0), 把 x = -3、y = 5 代入得 5 = , 解得 k = -15, 所以 y = -; 因为 k = -15 < 0, 所以图象的两支分别位于第二、第四象限 A3 选 B。k = -18, 逐项算乘积: 2 × 9 = 18 不等于 -18, 点(2, 9)不在图象上; (-2) × 9 = -18, 点(-2, 9)在图象上; 3 × 6 = 18 不等于 -18, 点(3, 6)不在图象上; (-3) × (-6) = 18 不等于 -18, 点(-3, -6)不在图象上 A4 图象的两支分别位于第二、第四象限, 所以 k < 0, 即 n + 3 < 0, 解得 n < -3 A5 k = 10 > 0, 而 A、B 两点的横坐标都是负数, 所以两点都在第三象限, 在第三象限内 y 随 x 的增大而减小; 因为 -4 < -1, 所以 y1 > y2。(验算: y1 = = -, y2 = = -10, - > -10, 结论成立) A6 当 x 取 -4、-2、-1、1、2、4 时, y 依次为 1.5、3、6、-6、-3、-1.5; 因为 k = -6 < 0, 所以图象的两支分别位于第二、第四象限 (二) 分层巩固训练 B 组 题号 参考答案 B7 (1) 把 x = 2、y = -6 代入 y = 得 -6 = , 解得 k = -12; 因为 k < 0, 所以图象的两支分别位于第二、第四象限。 (2) (-3) × 4 = -12 = k, 所以点 N 在这个函数的图象上; 4 × 3 = 12 不等于 -12, 所以点 P 不在这个函数的图象上 B8 (1) 图象的一支在第一象限, 说明图象的两支分别位于第一、第三象限, 所以 k > 0, 即 2a - 1 > 0, 解得 a > 。 (2) 图象经过点(3, 4), 所以 k = 3 × 4 = 12, 即 2a - 1 = 12, 解得 a = B9 (1) y1 > y2。理由: k = 24 > 0, 图象的两支分别位于第一、第三象限, 在每一个象限内 y 随 x 的增大而减小; 由 x1 < x2 < 0 知两个点都在第三象限, 所以当 x1 < x2 时 y1 > y2。 (2) 当 x1 = -3 时 y1 = = -8; 当 x2 = -1 时 y2 = = -24; 因为 -8 > -24, 所以 y1 > y2, 验证成立 B10 把 x = -2、y = 3 代入 y = 得 3 = , 解得 k = -6, 所以 y = -; 再把 x = m、y = -1 代入得 -1 = -, 解得 m = 6 B11 (1) 因为图象经过点(1, 5), 所以 k = 1 × 5 = 5, 解析式为 y = 。 (2) 当 x = -2 时 y = = -。 (3) 因为 k = 5 > 0, 在第一象限内 y 随 x 的增大而减小; 当 x = 1 时 y = 5, 当 x = 5 时 y = 1, 所以当 1 ≤ x ≤ 5 时, 1 ≤ y ≤ 5 (三) 分层巩固训练 C 组 题号 参考答案 C12 (1) 把 x = -1、y = 6 代入 y = 得 6 = , 解得 k = -6, 所以 y = -; 再把 x = 3 代入得 n = - = -2。 (2) (-2) × 3 = -6 = k, 所以点 C 在这个函数的图象上。 (3) 点 D(a, b)关于原点的对称点是(-a, -b); 因为点 D 在图象上, 所以 ab = k, 而 (-a) × (-b) = ab = k, 所以点(-a, -b)也在这个函数的图象上 C13 (1) k = 2 × 3 = 6, 解析式为 y = 。 (2) B、C 两点的横坐标都是负数, 所以两点都在第三象限, 在第三象限内 y 随 x 的增大而减小; 因为 -2 < -1, 所以 y1 > y2。(验算: y1 = = -3, y2 = = -6, -3 > -6, 结论成立) (3) 由 ab = 6 得 b = ; 因为 a > 0, 所以点 D 在第一象限, 在第一象限内 y 随 x 的增大而减小, 所以当 a 增大时 b 减小 C14 (1) 图象的一支在第四象限, 说明图象的两支分别位于第二、第四象限, 所以 k < 0, 即 3 - m < 0, 解得 m > 3。 (2) 因为 m > 3, 所以 k = 3 - m < 0; A、B 两点的横坐标都是负数, 所以两点都在第二象限, 在第二象限内 y 随 x 的增大而增大; 因为 -3 < -1, 所以 y1 < y2。(验算: y1 = = , y2 = = m - 3; 因为 m > 3, 所以 < m - 3, 即 y1 < y2, 结论成立) (3) 因为点(2, -4)在图象上, 所以 k = 2 × (-4) = -8, 即 3 - m = -8, 解得 m = 11 (四) 课本练习与当堂检测 题目 参考答案 P69 练习 第 1 题 图象的两支分别位于第二、第四象限, 所以 k < 0, 先排除 y = 5x 与 y = 2x + 3; 再把图象上明显经过的点的坐标代入 y = 求出 k = -4, 所以解析式为 y = -(选 C) P69 练习 第 2 题 由图知 k < 0; 在每一个象限内, y 随 x 的增大而增大 P71 练习 第 1 题 (1) 设 y = (k ≠ 0), 把 x = 2、y = 6 代入得 6 = , 解得 k = 12, 所以 y = ; 因为 k > 0, 所以图象的两支分别位于第一、第三象限, 在每一个象限内 y 随 x 的增大而减小。 (2) 3 × 4 = 12 = k, 所以点 B 在图象上; × = 12 = k, 所以点 C 在图象上; 2 × (-6) = -12 不等于 12, 所以点 D 不在图象上 P71 练习 第 2 题 因为图象的一支位于第二象限, 所以另一支位于第四象限; 图象的两支分别位于第二、第四象限, 所以 m + 2 < 0, 解得 m < -2 P71 练习 第 3 题 y1 > y2。理由: k = 1 > 0, 图象的两支分别位于第一、第三象限, 在每一个象限内 y 随 x 的增大而减小; x1 < x2 且 x1、x2 同号, 说明两点在同一个象限内, 所以 y1 > y2 当堂检测 第 ① 题 k = (-2) × 3 = -6 < 0, 所以图象的两支分别位于第二、第四象限 当堂检测 第 ② 题 图象的两支分别位于第一、第三象限, 所以 k - 1 > 0, 解得 k > 1 当堂检测 第 ③ 题 A、B 两点的横坐标都是负数, 所以两点都在第三象限, 在第三象限内 y 随 x 的增大而减小; 因为 -3 < -1, 所以 y1 > y2。(验算: y1 = = -, y2 = = -4, - > -4, 结论成立) (五) 课时配套巩固 题号 参考答案 第 1 题 (1) 把 x = 8、y = -2 代入 y = 得 -2 = , 解得 k = -16; (2) 因为 k < 0, 所以图象的两支分别位于第二、第四象限 第 2 题 y1 = - = -5, y2 = - = 5, 所以 y1 < y2。它们不能直接用增减性比较, 因为 A 在第四象限、B 在第二象限, 两个点不在同一个象限内 第 3 题 在每一支上 y 都随 x 的增大而增大, 说明 k < 0, 即 a - 4 < 0, 解得 a < 4 第 4 题 (1) 把 x = -2、y = 5 代入得 5 = , 解得 k = -10; (2) 5 × (-2) = -10 = k, 所以点(5, -2)在图象上; 4 × 3 = 12 不等于 -10, 所以点(4, 3)不在图象上 第 5 题 当 x 取 -9、-3、-1、1、3、9 时, y 依次为 -1、-3、-9、9、3、1; 因为 k = 9 > 0, 所以图象的两支分别位于第一、第三象限 第 6 题 因为 k = -20 < 0, 所以图象的两支分别位于第二、第四象限; 由 0 < x1 < x2 知两点都在第四象限, 在第四象限内 y 随 x 的增大而增大, 所以 y1 < y2。(验算: y1 = -, y2 = -, 当 x1 < x2 时 - < -, 即 y1 < y2) 第 7 题 设 y = (k ≠ 0), 把 x = -4、y = -2 代入得 -2 = , 解得 k = 8, 所以 y = ; 当 x = 8 时 y = = 1 第 8 题 (1) 图象的一支在第二象限, 说明图象的两支分别位于第二、第四象限, 所以 k < 0, 即 m - 1 < 0, 解得 m < 1。 (2) 因为 k = m - 1 < 0, 而 A、B 两点的横坐标都是正数, 所以两点都在第四象限, 在第四象限内 y 随 x 的增大而增大; 因为 1 < 2, 所以 y1 < y2 (六) 课本作业 题目 参考答案 《习题27.2》 【留位】 题面待按课本 P72 原文补入后, 再逐题写出解答 【自查要点】 ① 列表时有没有取 x = 0? ② 连线用的是平滑曲线还是折线? 两支是不是分开画的? ③ 说增减性时有没有带上"在每一个象限内"? ④ 由解析式判断图象位置时, k 是先算出来还是凭感觉? ⑤ 判断点是否在图象上, 有没有算横、纵坐标的积并与 k 比较? ⑥ 比较函数值大小之前, 有没有先说出两个点是否在同一个象限内? ⑦ 含字母系数时, 有没有把整个分子当作 k 来处理? ⑧ 由图象的一支求参数时, 有没有回头检查不等号的方向? 学科网（北京）股份有限公司 $人教版数学九年级上册 · 第二十七章 反比例函数 · 27.2 反比例函数的图象和性质(学生用书) 27.2 反比例函数的图象和性质 学生用书 · 2026—2027学年 人教版数学九年级上册(2024版) 姓名: ____________ 班级: ____________ 学号: ____________ 第二十七章 反比例函数 · 2课时 · 配套《教师讲义》使用 一、学习目标 1. 我会用描点法画出反比例函数的图象, 能说出列表、描点、连线三个步骤的注意点, 知道反比例函数的图象由两支曲线组成(它是双曲线), 两支都不与坐标轴相交。 2. 我能由解析式分析自变量与函数值的取值范围和变化趋势, 先想象图象的位置和形状并画出示意图, 再用描点法验证, 体会"先想后画、画完验证"的数形结合方法。 3. 我掌握反比例函数的图象位置与增减性: 当 k > 0 时图象的两支分别位于第一、第三象限, 在每一个象限内 y 随 x 的增大而减小; 当 k < 0 时两支分别位于第二、第四象限, 在每一个象限内 y 随 x 的增大而增大。 4. 我会由图象上一点的坐标用待定系数法求反比例函数的解析式, 并会判断一个点是否在这个函数的图象上。 5. 我会由图象的一支所在的象限判断常数 k 的符号, 从而求出含字母系数的参数取值范围。 6. 我会在同一支上比较两个点的函数值的大小, 并且知道比较之前要先判断这两个点是否在同一个象限内。 7. 我能理解"图象无限接近坐标轴但永远不与坐标轴相交", 并能用 x ≠ 0、y ≠ 0 说明理由。 8. 我会主动自查: 列表时有没有取 x = 0? 说增减性有没有带上"在每一个象限内"? 判断点是否在图象上有没有算横、纵坐标的积? 【学习重点】 用描点法画反比例函数的图象; k > 0 与 k < 0 两种情况下图象的位置与增减性; 由图象上一点的坐标求解析式并判断点是否在图象上; 在同一支上比较函数值的大小。 【学习难点】 准确理解"在每一个象限内"这一前提, 不跨象限使用增减性; 由图象的一支所在的象限反推含字母系数的参数取值范围; 理解"图象无限接近坐标轴但永远不与坐标轴相交"。 二、预习导航(先通读课本 P67-P71, 再填空) 1. 研究一次函数、二次函数的图象和性质时, 用的方法是: 先画出函数的________, 再利用图象、结合函数的________研究它的性质。研究反比例函数也用同样的方法。 2. 研究反比例函数要对解析式 y = (k ≠ 0)中的 k 分情况讨论, 即分 k ________ 0 与 k ________ 0 两种情况。 3. 画函数图象的一般步骤是________、________、________; 画反比例函数图象时, x 的值要以 0 为中心________地取, 并且绝不能取________。 4. 由解析式 y = 可知: 因为分母不能为 0, 所以 x ________ 0; 又因为分子 3 不等于 0, 所以 y 也永远不等于________。所以图象上不可能有落在坐标轴上的点。 5. 当 k > 0 时, 反比例函数 y = 的图象的两支分别位于第________象限和第________象限; 在每一个象限内, y 随 x 的增大而________。 6. 当 k < 0 时, 图象的两支分别位于第________象限和第________象限; 在每一个象限内, y 随 x 的增大而________。 7. 反比例函数的图象由两条________组成, 它是________; 两支向两端无限延伸时越来越靠近坐标轴, 但与坐标轴________相交。 8. 双曲线的两支关于________对称: 若点(a, b)在图象上, 则点________也在图象上。 9. 点(m, n)在反比例函数 y = 的图象上, 等价于________ = k; 判断点是否在图象上, 只要算横、纵坐标的________并与 k 比较。 10. 若反比例函数 y = 的图象的一支在第一象限, 则另一支必在第________象限, 此时 k ________ 0。 我的作答: 三、课内探究 活动一 回顾研究路径, 先想后画(课本 P67 思考、探究) 11. 回顾: 研究一次函数、二次函数的图象和性质时, 都是先画出函数的________, 再结合________研究它的性质。对反比例函数也走同一条路。 12. 拿到 y = , 先问自己四个问题: ①x 能取 0 吗? ②y 能取 0 吗? ③x > 0 时 y 是什么符号? ④x < 0 时 y 是什么符号? 结论: x ________ 0, y ________ 0; x > 0 时 y ________ 0, 所以有一支落在第________象限; x < 0 时 y ________ 0, 另一支落在第________象限。 13. 把上面的结论写成一句话: y = 的图象落在第________象限和第________象限; 又因为 x ≠ 0、y ≠ 0, 图象与坐标轴________交点(填"有"或"没有"), 所以两支是________的(填"相连"或"断开")。 14. 请先在下面的作答区画出示意图(不求精确, 只画出两支的大致位置), 再翻课本对照自己画得对不对。 我的作答: 图27.2-1 描点法画反比例函数图象的三个步骤 【提示】 先想后画的关键是四问: x 能取 0 吗? y 能取 0 吗? x > 0 时 y 的符号? x < 0 时 y 的符号? 四个问题答完, 图象落在哪些象限、和坐标轴有没有交点, 就都想清楚了。 活动二 描点法画出 y = 与 y = 的图象(课本 P67) 15. 列表: 对 y = , 取 x = 1、2、3、4、6, 对应的 y 依次为 3、________、1、________、0.5; 再取它们的相反数, 对应的 y 依次为 -3、-1.5、-1、-0.75、-0.5。注意: 表中不能出现 x = ________。 16. 连线: 必须用________的曲线把点顺次连接起来, 不能连成折线; 因为图象有两支, 所以两支要________画, 画完还要向两端延伸。 17. 把自己画的图象与课前画的示意图对比: 位置和形状是否大致相同? 曲线向两端延伸时越来越靠近坐标轴, 但始终不与坐标轴________。 我的作答: 图27.2-2 y = 与 y = 的图象(两支都位于第一、第三象限) 活动三 k > 0 时图象的位置与增减性(课本 P68) 18. 观察 y = 与 y = 的图象: 两支分别位于第________象限和第________象限; 在每一个象限内, 当 x 增大时 y ________(填"增大"或"减小")。 19. 用解析式说明理由: 在 x > 0 的前提下, x 增大则分母变大, 而分子 3 不变, 所以 ________(填"变大"或"变小"); 当 x < 0 时同理。这说明"看图"得到的结论与"算理"是一致的。 20. 把 k 换成 1、2、5 等其他正值再画图, 两条结论仍然成立, 于是归纳: 当 k > 0 时, 图象的两支分别位于第________象限和第________象限, 在________象限内, y 随 x 的增大而________。 我的作答: 图27.2-3 y = 中 k 取不同正值时的图象(k 越大, 两支离原点越远) 图27.2-4 k > 0 时双曲线的两支分别位于第一、第三象限 活动四 k < 0 时图象的位置与增减性(课本 P68) 21. 用同样的方法研究 k < 0 的情形: 取 x = 1, 得 y = k < 0, 所以点(1, k)在第________象限; 又因为两支关于________对称, 所以另一支在第________象限。 22. 归纳: 当 k < 0 时, 图象的两支分别位于第________象限和第________象限; 在每一个象限内, y 随 x 的增大而________(填"增大"或"减小")。 23. 对比 k > 0 与 k < 0 两种情况: 相同点是图象都是________, 都由________支曲线组成, 都与坐标轴不相交; 不同点是两支所在的________不同, 增减性的方向也恰好相反。 我的作答: 图27.2-5 k < 0 时双曲线的两支分别位于第二、第四象限 图27.2-6 k > 0 与 k < 0 时图象位置与增减性的对比 活动五 归纳与辨析: 双曲线的两条性质(课本 P69 归纳) 24. 反比例函数的图象由两条曲线组成, 它是________; 它无限接近坐标轴, 但与 x 轴、y 轴都________相交, 原因是 x ________ 0 且 y ________ 0。 25. 双曲线的两支关于________对称: 若点(a, b)在图象上, 则点________也在图象上。 26. 辨析一: "k > 0 时 y 随 x 的增大而减小"这句话严谨吗? 请举一个反例说明, 并把准确的说法写在作答区。 27. 辨析二: "k 越大图象离原点越远"要怎样补充限定才准确? 请写在作答区。 我的作答: 图27.2-7 双曲线无限接近坐标轴, 但永远不与坐标轴相交 活动六 例 1 与练习: 由图象上一点求解析式并判断点(课本 P70 例 1、P69 练习) 28. 例 1(课本 P70): 已知反比例函数的图象经过点 A(-2, 4)。(1) 这个函数的图象位于哪些象限? y 随 x 的增大如何变化? (2) 点 B(1, -8), C, D(2, 4)是否在这个函数的图象上? 请在下面作答区写出完整过程。 我的作答: 29. 填空: 点 A(-2, 4)在第________象限, 所以图象的两支分别位于第________象限和第________象限; 设 y = (k ≠ 0), 把 x = -2、y = 4 代入得 4 = , 解得 k = ________, 所以解析式为 y = ________。 30. 判断点是否在图象上, 只要算横、纵坐标的积: 1 × (-8) = ________ = k, 所以点 B ________图象上; × = ________ = k, 所以点 C ________图象上; 2 × 4 = 8, 不等于 k, 所以点 D ________图象上。(后三空填"在"或"不在") 【课堂练习(课本 P69 练习)】 1. 如图所示的图象对应的函数解析式为( )。备选项: y = 5x、y = 2x + 3、y = -、y = -。 2. 反比例函数 y = 的图象如图所示, 则 k ________ 0; 在每个象限内, y 随 x 的增大而________。请先由图象所在象限定出 k 的符号, 再看图象上有没有明显经过的整点。答案见文末参考答案。 活动七 例 2 与练习: 由图象的一支求参数并比较函数值(课本 P71 例 2、P71 练习) 31. 例 2(课本 P71): 图中的曲线是反比例函数 y = 的图象的一支。(1) 图象的另一支位于哪个象限? 常数 m 的取值范围是什么? (2) 在这个函数图象的某一支上任取点 A(x1, y1)和点 B(x2, y2)。如果 x1 > x2, 那么 y1 和 y2 有怎样的大小关系? 请在下面作答区写出完整过程。 我的作答: 32. 填空: 因为图象的一支在第一象限, 所以另一支必在第________象限; 于是图象位于第________象限和第________象限, 所以 m - 5 ________ 0(填不等号), 解得 m ________。 33. 比较大小的说法要完整: 因为 m - 5 > 0, 所以在图象的任意一支上, y 都随 x 的增大而________, 因此当 x1 > x2 时 y1 ________ y2(填不等号)。 图27.2-8 反比例函数图象的一支(由一支的位置可以推出另一支的位置) 图27.2-9 在同一支上取两点 A、B, 比较它们的横坐标与纵坐标 【课堂练习(课本 P71 练习)】 1. 已知一个反比例函数的图象经过点 A(2, 6)。(1) 这个函数的图象位于哪些象限? 在每一个象限内, y 随 x 的增大如何变化? (2) 点 B(3, 4), C, D(2, -6)是否在这个函数的图象上? 为什么? 2. 反比例函数 y = 的图象的一支位于第二象限, 图象的另一支位于哪个象限? 常数 m 的取值范围是什么? 3. 已知点 A(x1, y1), B(x2, y2)在反比例函数 y = 的图象上, 如果 x1 < x2, 且 x1、x2 同号, 那么 y1、y2 有怎样的大小关系? 为什么? 答案见文末参考答案。 活动八 归纳整理 34. 本节四个要点: 一个方法是先想后画、________; 一个形状是图象由两支曲线组成, 它是________; 两类性质是 k > 0 与 k < 0 时图象所在的________与增减性; 一条等价是点在图象上等价于横、纵坐标之积等于________。 35. 请写一句提醒自己的话: 说增减性时一定要带上"________"。 我的作答: 图27.2-10 本节知识结构: 图象与性质 活动九 找错活动(补充) 36. 下面是三位同学的三种典型错误, 请判断错在哪里, 并把正确的说法写在作答区: 错例一: 画 y = 的图象时, 把它画成一条穿过原点的连续曲线。 错例二: 列表时取了 x = 0, 并写出对应的 y = 0。 错例三: 已知反比例函数 y = 的图象的一支在第一象限, 有同学直接写出 m > 0。 我的作答: 四、分层巩固训练 A 组面向全体学生, B 组面向中等偏上的学生, C 组面向学有余力的学生。题目与《教师讲义》完全一致, 请独立完成后对照最后的参考答案。 A 组 基础过关 A1. 反比例函数 y = 的图象位于哪些象限? 在每一个象限内, y 随 x 的增大而怎样变化? A2. 已知反比例函数 y = 的图象经过点 P(-3, 5), 求这个函数的解析式, 并说明它的图象位于哪些象限。 A3. 下列各点中, 在反比例函数 y = - 的图象上的是( )。 A. (2, 9) B. (-2, 9) C. (3, 6) D. (-3, -6) A4. 若反比例函数 y = 的图象的两支分别位于第二、第四象限, 求 n 的取值范围。 A5. 已知点 A(-4, y1)、B(-1, y2)都在反比例函数 y = 的图象上, 比较 y1 与 y2 的大小。 A6. 用描点法画反比例函数 y = - 的图象时, 取 x 为 -4、-2、-1、1、2、4, 请写出对应的六个 y 值, 并说明这个图象的两支分别位于哪两个象限。 我的作答: B 组 能力提升 B7. 已知反比例函数 y = 的图象经过点 M(2, -6)。(1) 求 k 的值, 并说出图象位于哪两个象限; (2) 判断点 N(-3, 4)与点 P(4, 3)是否在这个函数的图象上。 B8. 已知反比例函数 y = 的图象的一支位于第一象限。(1) 求 a 的取值范围; (2) 若它的图象经过点(3, 4), 求 a 的值。 B9. 已知反比例函数 y = , 点 A(x1, y1)、B(x2, y2)是该函数图象上的两点, 且 x1 < x2 < 0。(1) 判断 y1 与 y2 的大小关系, 并说明理由; (2) 取 x1 = -3, x2 = -1, 求出 y1、y2 加以验证。 B10. 反比例函数 y = 的图象经过点(-2, 3)与点(m, -1), 求 m 的值。 B11. 某函数的图象是双曲线, 两支分别位于第一、第三象限, 且经过点(1, 5)。(1) 求这个函数的解析式; (2) 当 x = -2 时, 求 y 的值; (3) 当 1 ≤ x ≤ 5 时, 写出 y 的取值范围。 我的作答: C 组 拓展探究 C12. 已知反比例函数 y = 的图象经过点 A(-1, 6)与点 B(3, n)。(1) 求 k 与 n 的值; (2) 判断点 C(-2, 3)是否在这个函数的图象上; (3) 若点 D(a, b)也在这个函数的图象上, 写出点 D 关于原点的对称点, 并说明它也在这个函数的图象上。 C13. 已知反比例函数 y = 的图象经过点 A(2, 3)。(1) 求 k 的值并写出解析式; (2) 若点 B(-2, y1)与点 C(-1, y2)也在该图象上, 比较 y1 与 y2 的大小; (3) 若点 D(a, b)在该图象上, 且 a > 0, 用含 a 的代数式表示 b, 并说明当 a 增大时 b 怎样变化。 C14. 已知反比例函数 y = 的图象的一支位于第四象限。(1) 求 m 的取值范围; (2) 若 A(-3, y1)、B(-1, y2)是该图象上的两点, 比较 y1 与 y2 的大小; (3) 若点(2, -4)在该图象上, 求 m 的值。 我的作答: 五、课堂小结(先自己填, 再和同伴对一对) 1. 研究方法: 先由解析式想象图象的________和形状, 再用________法(列表、描点、连线)验证。 2. 图象形状: 反比例函数的图象由________支曲线组成, 它是________; 两支向两端延伸时无限接近坐标轴, 但与坐标轴________相交。 3. 两类性质: 当 k > 0 时两支位于第________象限和第________象限, 在每一个象限内 y 随 x 的增大而________; 当 k < 0 时两支位于第________象限和第________象限, 在每一个象限内 y 随 x 的增大而________。 4. 一条等价: 点(m, n)在反比例函数 y = 的图象上等价于________; 该点关于原点的对称点也在图象上, 因为(________) × (________) = k。 5. 我在本节最容易出错的一处是________, 我的提醒办法是________。 6. 比较函数值大小之前, 我必须先做的一件事是: 判断这两个点是否在________。 我的作答: 六、课后作业(真实还原课本习题) 【必做】 《习题27.2》(课本 P72)复习巩固、综合运用、拓广探索各栏全部题目。该节习题的公开题面暂不可得, 请对照课本原文完成, 下面按栏目留位。 栏目 题号 安排 复习巩固 第 1 题 ~ 第 3 题 《习题27.2》题面留位(以课本 P72 原文为准) 综合运用 第 4 题 ~ 第 5 题 《习题27.2》题面留位(以课本 P72 原文为准) 拓广探索 第 6 题 《习题27.2》题面留位(以课本 P72 原文为准) 课时配套巩固(八题, 与本节例题、练习不重复) 第 1 题 已知反比例函数 y = 的图象经过点(8, -2)。(1) 求 k 的值; (2) 说出它的图象位于哪两个象限。 第 2 题 反比例函数 y = - 的图象上, 点 A(1, y1)与点 B(-1, y2)的纵坐标分别是多少? 比较 y1 与 y2 的大小, 并说明为什么它们不能直接用增减性比较。 第 3 题 若反比例函数 y = 的图象的每一支上, y 都随 x 的增大而增大, 求 a 的取值范围。 第 4 题 已知反比例函数 y = 的图象经过点(-2, 5)。(1) 求 k 的值; (2) 判断点(5, -2)与点(4, 3)是否在这个函数的图象上。 第 5 题 用描点法画 y = 的图象时, 取 x 为 1、3、9 及它们的相反数, 请写出对应的六个 y 值, 并说出图象的两支分别在哪两个象限。 第 6 题 已知点 M(x1, y1)、N(x2, y2)在反比例函数 y = - 的图象上, 且 0 < x1 < x2, 比较 y1 与 y2 的大小。 第 7 题 一个反比例函数的图象的两支分别位于第一、第三象限, 且经过点(-4, -2)。求这个函数的解析式, 并求当 x = 8 时 y 的值。 第 8 题 已知反比例函数 y = 的图象的一支位于第二象限。(1) 求 m 的取值范围; (2) 若 A(1, y1)、B(2, y2)是该图象上的两点, 比较 y1 与 y2 的大小。 我的作答: 七、参考答案 【填空类】预习导航 题号 参考答案 1 图象; 解析式 2 ≠(不等于); ≠(不等于) 3 列表; 描点; 连线; 对称; 0 4 ≠(不等于); 0 5 一; 三; 减小 6 二; 四; 增大 7 曲线; 双曲线; 不(不会) 8 原点; (-a, -b) 9 mn; 积(乘积) 10 三; > 【填空类】课内探究 题号 参考答案 11 图象; 解析式 12 ≠(不等于); ≠(不等于); >; 一; <; 三 13 一; 三; 没有; 断开 14 示意图要求: 两支曲线分别落在第一、第三象限, 彼此断开, 都不与坐标轴相交 15 1.5; 0.75; 0 16 平滑; 分开 17 相交 18 一; 三; 减小 19 变小 20 一; 三; 每一个; 减小 21 四; 原点; 二 22 二; 四; 增大 23 双曲线; 两; 象限 24 双曲线; 不(不会); ≠(不等于); ≠(不等于) 25 原点; (-a, -b) 26 不严谨。反例: 对 y = , 取 x1 = -1 得 y1 = -6, 取 x2 = 1 得 y2 = 6, 虽然 x1 < x2, 但 y1 < y2, 与"y 随 x 的增大而减小"正好相反。准确的说法是: 当 k > 0 时, 在每一个象限内 y 随 x 的增大而减小 27 要限定在"同一个象限内"或"同一支上"。因为双曲线的两支之间不能比较远近, 只有同一支上的点才能比 28 (1) 点 A(-2, 4)在第二象限, 所以图象的两支分别位于第二、第四象限, 在每一个象限内 y 随 x 的增大而增大。 (2) 设 y = (k ≠ 0), 把 x = -2、y = 4 代入得 4 = , 解得 k = -8, 所以 y = -。1 × (-8) = -8 = k, 所以点 B 在图象上; × = -8 = k, 所以点 C 在图象上; 2 × 4 = 8 不等于 -8, 所以点 D 不在图象上 29 二; 二; 四; -8; - 30 -8; 在; -8; 在; 不在 31 (1) 因为图象的一支位于第一象限, 所以另一支必位于第三象限。因为图象位于第一、第三象限, 所以 m - 5 > 0, 解得 m > 5。 (2) 因为 m - 5 > 0, 所以在这个函数图象的任意一支上 y 都随 x 的增大而减小, 因此当 x1 > x2 时 y1 < y2 32 三; 一; 三; >; > 5 33 减小; < 34 画完验证; 双曲线; 象限; k 35 在每一个象限内 36 错例一: 错。因为 x ≠ 0 且 y ≠ 0, 图象与坐标轴没有交点, 不可能经过原点, 第一象限与第三象限的两支是断开的, 应分成两支分别画并各向两端延伸。 错例二: 错。0 不能作除数, 分子 6 除以 0 没有意义, 所以 x = 0 不在自变量取值范围内, 列表只能取 x ≠ 0 的数并以 0 为中心左右对称地取。 错例三: 错。图象的一支在第一象限说明两支分别位于第一、第三象限, 只说明 k > 0, 而这里的 k 是 m - 5, 所以应由 m - 5 > 0 得 m > 5, 与 m > 0 不是一回事 【填空类】课堂小结 题号 参考答案 1 位置; 描点 2 两; 双曲线; 不(不会) 3 一; 三; 减小; 二; 四; 增大 4 mn = k; -a; -b 5 开放性答案。例如: 最容易出错的一处是说增减性时丢掉了"在每一个象限内"; 提醒的办法是每次说增减性前先画两条分开的曲线 6 同一个象限内(同一支上) 【练习类】分层巩固训练(A 组) 题号 参考答案 A1 k = 8 > 0, 所以图象的两支分别位于第一、第三象限; 在每一个象限内, y 随 x 的增大而减小 A2 设 y = (k ≠ 0), 把 x = -3、y = 5 代入得 5 = , 解得 k = -15, 所以 y = -; 因为 k = -15 < 0, 所以图象的两支分别位于第二、第四象限 A3 选 B。k = -18, 逐项算乘积: 2 × 9 = 18 不等于 -18, 点(2, 9)不在图象上; (-2) × 9 = -18, 点(-2, 9)在图象上; 3 × 6 = 18 不等于 -18, 点(3, 6)不在图象上; (-3) × (-6) = 18 不等于 -18, 点(-3, -6)不在图象上 A4 图象的两支分别位于第二、第四象限, 所以 k < 0, 即 n + 3 < 0, 解得 n < -3 A5 k = 10 > 0, 而 A、B 两点的横坐标都是负数, 所以两点都在第三象限, 在第三象限内 y 随 x 的增大而减小; 因为 -4 < -1, 所以 y1 > y2。(验算: y1 = = -, y2 = = -10, - > -10, 结论成立) A6 当 x 取 -4、-2、-1、1、2、4 时, y 依次为 1.5、3、6、-6、-3、-1.5; 因为 k = -6 < 0, 所以图象的两支分别位于第二、第四象限 【练习类】分层巩固训练(B 组) 题号 参考答案 B7 (1) 把 x = 2、y = -6 代入 y = 得 -6 = , 解得 k = -12; 因为 k < 0, 所以图象的两支分别位于第二、第四象限。 (2) (-3) × 4 = -12 = k, 所以点 N 在这个函数的图象上; 4 × 3 = 12 不等于 -12, 所以点 P 不在这个函数的图象上 B8 (1) 图象的一支在第一象限, 说明图象的两支分别位于第一、第三象限, 所以 k > 0, 即 2a - 1 > 0, 解得 a > 。 (2) 图象经过点(3, 4), 所以 k = 3 × 4 = 12, 即 2a - 1 = 12, 解得 a = B9 (1) y1 > y2。理由: k = 24 > 0, 图象的两支分别位于第一、第三象限, 在每一个象限内 y 随 x 的增大而减小; 由 x1 < x2 < 0 知两个点都在第三象限, 所以当 x1 < x2 时 y1 > y2。 (2) 当 x1 = -3 时 y1 = = -8; 当 x2 = -1 时 y2 = = -24; 因为 -8 > -24, 所以 y1 > y2, 验证成立 B10 把 x = -2、y = 3 代入 y = 得 3 = , 解得 k = -6, 所以 y = -; 再把 x = m、y = -1 代入得 -1 = -, 解得 m = 6 B11 (1) 因为图象经过点(1, 5), 所以 k = 1 × 5 = 5, 解析式为 y = 。 (2) 当 x = -2 时 y = = -。 (3) 因为 k = 5 > 0, 在第一象限内 y 随 x 的增大而减小; 当 x = 1 时 y = 5, 当 x = 5 时 y = 1, 所以当 1 ≤ x ≤ 5 时, 1 ≤ y ≤ 5 【练习类】分层巩固训练(C 组) 题号 参考答案 C12 (1) 把 x = -1、y = 6 代入 y = 得 6 = , 解得 k = -6, 所以 y = -; 再把 x = 3 代入得 n = - = -2。 (2) (-2) × 3 = -6 = k, 所以点 C 在这个函数的图象上。 (3) 点 D(a, b)关于原点的对称点是(-a, -b); 因为点 D 在图象上, 所以 ab = k, 而 (-a) × (-b) = ab = k, 所以点(-a, -b)也在这个函数的图象上 C13 (1) k = 2 × 3 = 6, 解析式为 y = 。 (2) B、C 两点的横坐标都是负数, 所以两点都在第三象限, 在第三象限内 y 随 x 的增大而减小; 因为 -2 < -1, 所以 y1 > y2。(验算: y1 = = -3, y2 = = -6, -3 > -6, 结论成立) (3) 由 ab = 6 得 b = ; 因为 a > 0, 所以点 D 在第一象限, 在第一象限内 y 随 x 的增大而减小, 所以当 a 增大时 b 减小 C14 (1) 图象的一支在第四象限, 说明图象的两支分别位于第二、第四象限, 所以 k < 0, 即 3 - m < 0, 解得 m > 3。 (2) 因为 m > 3, 所以 k = 3 - m < 0; A、B 两点的横坐标都是负数, 所以两点都在第二象限, 在第二象限内 y 随 x 的增大而增大; 因为 -3 < -1, 所以 y1 < y2。(验算: y1 = = , y2 = = m - 3; 因为 m > 3, 所以 < m - 3, 即 y1 < y2, 结论成立) (3) 因为点(2, -4)在图象上, 所以 k = 2 × (-4) = -8, 即 3 - m = -8, 解得 m = 11 【练习类】课本练习与当堂检测 题目 参考答案 P69 练习 第 1 题 图象的两支分别位于第二、第四象限, 所以 k < 0, 先排除 y = 5x 与 y = 2x + 3; 再把图象上明显经过的点的坐标代入 y = 求出 k = -4, 所以解析式为 y = -(选 C) P69 练习 第 2 题 由图知 k < 0; 在每一个象限内, y 随 x 的增大而增大 P71 练习 第 1 题 (1) 设 y = (k ≠ 0), 把 x = 2、y = 6 代入得 6 = , 解得 k = 12, 所以 y = ; 因为 k > 0, 所以图象的两支分别位于第一、第三象限, 在每一个象限内 y 随 x 的增大而减小。 (2) 3 × 4 = 12 = k, 所以点 B 在图象上; × = 12 = k, 所以点 C 在图象上; 2 × (-6) = -12 不等于 12, 所以点 D 不在图象上 P71 练习 第 2 题 因为图象的一支位于第二象限, 所以另一支位于第四象限; 图象的两支分别位于第二、第四象限, 所以 m + 2 < 0, 解得 m < -2 P71 练习 第 3 题 y1 > y2。理由: k = 1 > 0, 图象的两支分别位于第一、第三象限, 在每一个象限内 y 随 x 的增大而减小; x1 < x2 且 x1、x2 同号, 说明两点在同一个象限内, 所以 y1 > y2 当堂检测 第 ① 题 k = (-2) × 3 = -6 < 0, 所以图象的两支分别位于第二、第四象限 当堂检测 第 ② 题 图象的两支分别位于第一、第三象限, 所以 k - 1 > 0, 解得 k > 1 当堂检测 第 ③ 题 A、B 两点的横坐标都是负数, 所以两点都在第三象限, 在第三象限内 y 随 x 的增大而减小; 因为 -3 < -1, 所以 y1 > y2。(验算: y1 = = -, y2 = = -4, - > -4, 结论成立) 【练习类】课后作业(《习题27.2》待补; 课时配套巩固) 题号 参考答案 第 1 题 (1) 把 x = 8、y = -2 代入 y = 得 -2 = , 解得 k = -16; (2) 因为 k < 0, 所以图象的两支分别位于第二、第四象限 第 2 题 y1 = - = -5, y2 = - = 5, 所以 y1 < y2。它们不能直接用增减性比较, 因为 A 在第四象限、B 在第二象限, 两个点不在同一个象限内 第 3 题 在每一支上 y 都随 x 的增大而增大, 说明 k < 0, 即 a - 4 < 0, 解得 a < 4 第 4 题 (1) 把 x = -2、y = 5 代入得 5 = , 解得 k = -10; (2) 5 × (-2) = -10 = k, 所以点(5, -2)在图象上; 4 × 3 = 12 不等于 -10, 所以点(4, 3)不在图象上 第 5 题 当 x 取 -9、-3、-1、1、3、9 时, y 依次为 -1、-3、-9、9、3、1; 因为 k = 9 > 0, 所以图象的两支分别位于第一、第三象限 第 6 题 因为 k = -20 < 0, 所以图象的两支分别位于第二、第四象限; 由 0 < x1 < x2 知两点都在第四象限, 在第四象限内 y 随 x 的增大而增大, 所以 y1 < y2。(验算: y1 = -, y2 = -, 当 x1 < x2 时 - < -, 即 y1 < y2) 第 7 题 设 y = (k ≠ 0), 把 x = -4、y = -2 代入得 -2 = , 解得 k = 8, 所以 y = ; 当 x = 8 时 y = = 1 第 8 题 (1) 图象的一支在第二象限, 说明图象的两支分别位于第二、第四象限, 所以 k < 0, 即 m - 1 < 0, 解得 m < 1。 (2) 因为 k = m - 1 < 0, 而 A、B 两点的横坐标都是正数, 所以两点都在第四象限, 在第四象限内 y 随 x 的增大而增大; 因为 1 < 2, 所以 y1 < y2 《习题27.2》 【留位】 题面待按课本 P72 原文补入后, 再逐题写出解答 【自查要点】 ① 列表时有没有取 x = 0? ② 连线用的是平滑曲线还是折线? 两支是不是分开画的? ③ 说增减性时有没有带上"在每一个象限内"? ④ 由解析式判断图象位置时, k 是先算出来还是凭感觉? ⑤ 判断点是否在图象上, 有没有算横、纵坐标的积并与 k 比较? ⑥ 比较函数值大小之前, 有没有先说出两个点是否在同一个象限内? ⑦ 含字母系数时, 有没有把整个分子当作 k 来处理? ⑧ 由图象的一支求参数时, 有没有回头检查不等号的方向? 学科网（北京）股份有限公司 $