专题3.1 椭圆（十大题型）（高效培优专项训练）数学苏教版高二选择性必修第一册

专题3.1 椭圆 题型一 椭圆的定义 题型二 椭圆方程的充要条件 题型三 求椭圆的标准方程 题型四 直线与椭圆的位置关系 题型五 中点弦问题 题型六 求椭圆的离心率与离心率的取值范围 题型七 椭圆中焦点三角形的面积与周长问题 题型八 定点问题 题型九 定值问题 题型十 开放性与探索性问题 题型一：椭圆的定义 1．（2026·广东广州·模拟预测）若平面内有两个定点，一动点，则“为定值”是“点的轨迹是椭圆”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【难度】0.82 【知识点】判断命题的必要不充分条件、椭圆定义及辨析 【详解】根据椭圆的定义可知，只有为定值，且时， 点的轨迹才是椭圆， 因此，“为定值”是“点的轨迹是椭圆”的必要不充分条件. 2．（2026·广东东莞·模拟预测）已知M为圆P: 上的一个动点，定点，线段的垂直平分线交线段于点N，则N点的轨迹为（  ） A．椭圆 B．双曲线 C．抛物线 D．圆 【答案】A 【难度】0.7 【知识点】求平面轨迹方程、椭圆定义及辨析 【详解】 圆的标准方程为，则圆心，半径， 在线段的垂直平分线上， ， 在线段上，且是圆的半径， ， 定点间的距离为， ，满足椭圆的定义， N点的轨迹为椭圆． 3．（25-26高三上·湖北武汉·期末）已知，点，以为直径的圆与相切，则动点的轨迹是（   ） A．直线 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】轨迹问题——椭圆、椭圆定义及辨析 【分析】根据圆与圆相切的条件及椭圆的定义判断可得. 【详解】如图：设M为的中点，则圆M与圆O只能内切，且圆O的半径为3， 所以，即，设，则， 故. 所以Q点在以为焦点，以长轴为6的椭圆上，故Q点的轨迹是一个椭圆. 故选：B 4．（25-26高二上·陕西咸阳·期末）已知两定点，动点满足，则点的轨迹是（    ） A．椭圆 B．双曲线 C．抛物线 D．线段 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】轨迹问题——椭圆、椭圆定义及辨析 【分析】根据椭圆的定义判断的轨迹. 【详解】因为两定点，则， 又因为动点满足， 动点满足，即， 满足椭圆的定义，所以点的轨迹是椭圆. 故选：A. 5．（25-26高二上·山东滨州·期末）如果点在运动过程中，总满足关系式，那么点的轨迹是（    ） A．椭圆 B．双曲线 C．抛物线 D．线段 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】求平面轨迹方程、轨迹问题——椭圆、椭圆定义及辨析 【分析】由的意义及椭圆的定义即可求解. 【详解】由点满足可知， 动点到定点的距离之和为， 即，且， 根据椭圆的定义可知动点的轨迹是椭圆， 故选：A. 6．（25-26高三上·云南楚雄·期末）椭圆C：的两个焦点为，，椭圆上有一点，则的周长为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.94 【知识点】椭圆中焦点三角形的周长问题、椭圆定义及辨析 【分析】利用椭圆的定义计算周长后判断选项即可. 【详解】因为椭圆C：， 所以，， 所以， 故的周长为． 故选：C 7．（25-26高二下·青海海东·期末）椭圆的左、右焦点分别为，，点在椭圆上．若，则________． 【答案】 4 【难度】0.92 【知识点】椭圆定义及辨析 【详解】由题可知，又， 所以. 8．（25-26高二上·陕西渭南·期末）已知椭圆的左、右焦点分别是是该椭圆上一点，则________________． 【答案】 【难度】0.94 【知识点】椭圆定义及辨析 【分析】由题可得，再根据椭圆的定义即可求解． 【详解】对于椭圆，则，即， 由椭圆的定义得． 故答案为：． 题型二：椭圆方程的充要条件 1．（25-26高二上·上海·阶段检测）在平面直角坐标系中，“”是“方程表示的曲线是椭圆”的（   ）． A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】判断方程是否表示椭圆、判断命题的必要不充分条件、根据方程表示椭圆求参数的范围 【分析】根据曲线是椭圆的条件进行判断即可. 【详解】将方程化为标准形式为. 当时，方程表示的曲线是圆，充分性不成立， 若该方程表示椭圆，则需满足分母均大于0，即且，解得且，必要性成立， 因此，“”是“方程表示的曲线是椭圆”的必要不充分条件. 故选：B 2．设，“曲线为椭圆”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】判断方程是否表示椭圆、判断命题的充分不必要条件 【分析】根据椭圆的标准方程判断充分性是否成立，再根据判断必要性是否成立，进而确定“曲线为椭圆”与“”之间的条件关系. 【详解】若曲线为椭圆，则椭圆的标准方程为（）. 因为椭圆中分母须大于，所以且，又因为，那么且，所以由“曲线为椭圆”可以推出“”，充分性成立； 当时，比如，，此时曲线方程为，它表示的是圆，而不是椭圆，所以由“”不能推出“曲线为椭圆”，必要性不成立； 所以“曲线为椭圆”是“”的充分不必要条件. 故选：A. 3．设，方程所表示的曲线是（    ） A．焦点在x轴上的椭圆 B．焦点在x轴上的双曲线 C．焦点在y轴上的椭圆 D．焦点在y轴上的双曲线 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】判断方程是否表示椭圆、椭圆的方程与椭圆（焦点）位置的特征 【分析】求出值的范围，把曲线化为标准形式，判断曲线的形状． 【详解】若，则， 曲线,即， ， 表示焦点在轴上的椭圆． 故选： 4．已知条件：，条件：表示一个椭圆，则是的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】由方程研究曲线的性质、判断方程是否表示椭圆、必要条件 【分析】根据曲线方程，结合充分、必要性的定义判断题设条件间的关系. 【详解】由，若，则表示一个圆，充分性不成立； 而表示一个椭圆，则成立，必要性成立. 所以是的必要不充分条件. 故选：B 5．已知曲线，则“”是“曲线C是椭圆”的（    ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【难度】0.94 【知识点】判断方程是否表示椭圆、判断命题的必要不充分条件 【分析】根据已知曲线的方程和椭圆的方程特点，结合充分条件和必要条件的判定即可 【详解】若曲线是椭圆，则有： 解得：，且 故“”是“曲线C是椭圆”的必要不充分条件 故选：C 6．表示椭圆的条件． A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要条件 D．既不充分也不必要 【答案】B 【难度】0.94 【知识点】判断方程是否表示椭圆 【详解】试题分析：方程表示椭圆时，且，因此是方程表示椭圆的必要不充分条件．故选B． 考点：充分必要条件． 7．若方程表示椭圆，则下面结论正确的是（    ） A． B．椭圆的焦距为 C．若椭圆的焦点在轴上，则 D．若椭圆的焦点在轴上，则 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】判断方程是否表示椭圆、椭圆的方程与椭圆（焦点）位置的特征 【分析】利用椭圆方程与椭圆位置特征逐项分析、计算即可判断作答. 【详解】因方程表示椭圆，则有，，且，即，A错误； 焦点在轴上时，，解得，D错误，C正确； 焦点在轴上时，则，焦点在轴上时，，B错误. 故选：C 题型三：求椭圆的标准方程 1．两个焦点的坐标分别为，的椭圆上的任一点到两焦点的距离之和为8，则椭圆的标准方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.94 【知识点】利用椭圆定义求方程 【分析】由椭圆定义可求，由焦点坐标可求，根据关系可得方程. 【详解】因为两个焦点的坐标分别是，，所以椭圆的焦点在横轴上，并且， 所以由椭圆的定义可得：，即，所以由，，的关系解得， 所以椭圆方程是． 故选：B． 2．（25-26高二上·重庆沙坪坝·期中）已知点，，动点满足，则动点的轨迹方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.94 【知识点】利用椭圆定义求方程 【分析】根据椭圆的概念，求出椭圆标准方程即可. 【详解】由题意可知，所以动点的轨迹是椭圆，且，则， 所以椭圆标准方程为. 故选：A. 3．（25-26高二下·上海·阶段检测）已知椭圆的两个焦点坐标分别是，且该椭圆经过点，则椭圆的标准方程为________________ 【答案】 【难度】0.65 【知识点】根据a、b、c求椭圆标准方程、利用椭圆定义求方程 【分析】根据椭圆的定义求标准方程或者用待定系数法求标准方程. 【详解】解法一：因为椭圆的焦点在轴上， 所以设椭圆的标准方程为． 因为椭圆的两个焦点坐标分别是，，且点在椭圆上， 所以由椭圆的定义知， 所以，又因为，所以. 因此所求椭圆的标准方程为． 解法二：因为椭圆的焦点在轴上， 所以设椭圆的标准方程为， 因为椭圆的两个焦点坐标分别是，，所以， 从而——①， 又因为点在椭圆上，所以——②， 由①②解得或（舍去）， 因此，所求椭圆的标准方程为． 故答案为： 4．（24-25高二上·天津红桥·阶段检测）如图：已知圆 内有一点 ，Q是圆C上的任意一点，线段AQ的垂直平分线与CQ相交点M ，当点Q在圆C上运动时，点M 的轨迹方程为___ 【答案】 【难度】0.94 【知识点】轨迹问题——椭圆、利用椭圆定义求方程 【分析】利用线段的中垂线性质，即可推导出动点到两定点的距离之和为定值，所以动点轨迹是椭圆，即可出椭圆方程. 【详解】 连接，由线段的垂直平分线与相交点M，可得， 则有， 所以点M 的轨迹是以为焦点，以5为长轴长的椭圆， 则，即， 所以点M 的轨迹方程为：，即， 故答案为：. 5．根据下列条件求椭圆的标准方程． (1)已知P点在以坐标轴为对称轴的椭圆上，点P到两焦点的距离分别为和，过P作长轴的垂线恰好过椭圆的一个焦点； (2)经过两点和． 【答案】(1)或 (2) 【难度】0.68 【知识点】根据椭圆过的点求标准方程、利用椭圆定义求方程 【分析】（1）先用椭圆的定义求出长半轴，结合通径公式算出，分焦点在x、y轴两种情况写方程; （2）设椭圆一般式，代入两点坐标解方程组，直接得到标准方程. 【详解】（1）设椭圆的标准方程是或， 则由题意知.  . 在方程中令得， 在方程中令得， 因为过P作长轴的垂线恰好过椭圆的一个焦点， 所以.  . 即椭圆的标准方程为或. （2）设经过两点的椭圆的一般方程为，代入A、B得 ∴所求椭圆方程为. 6．（25-26高二上·天津·阶段检测）求满足下列条件的椭圆的标准方程. (1)，，焦点在坐标轴上； (2)椭圆上一点P到其两焦点，的距离之和为10； (3)两个焦点坐标分别是，，并且经过点. 【答案】(1)或； (2)； (3). 【难度】0.85 【知识点】根据a、b、c求椭圆标准方程、根据椭圆过的点求标准方程、利用椭圆定义求方程 【分析】（1）根据的关系求，可得椭圆方程. （2）根据椭圆的定义求，根据焦点定义求，再根据的关系求，可得椭圆方程. （3）根据焦点坐标求，根据椭圆上的点和的关系列式求，可得椭圆方程. 【详解】（1）因为，，所以. 若椭圆焦点在轴上，则椭圆方程为； 若椭圆焦点在轴上，则椭圆方程为. （2）由题意，椭圆焦点在轴上，可设椭圆方程为， 且，， 所以， 所以椭圆方程为：. （3）由题意，椭圆焦点在轴上，可设椭圆方程为，且， 又，故所求椭圆方程为. 题型四：直线与椭圆的位置关系 1．（25-26高二下·甘肃平凉·期末）已知椭圆的长轴长为，离心率为． (1)求椭圆C的方程； (2)若直线与椭圆C有且只有一个公共点，求实数m的值． 【答案】(1) (2) 【难度】0.81 【知识点】根据离心率求椭圆的标准方程、根据直线与椭圆的位置关系求参数或范围 【分析】（1）根据条件，利用待定系数法求椭圆方程； （2）直线与椭圆方程联立，根据，求的取值. 【详解】（1）由题意可得解得，， 故椭圆C的方程为． （2）联立得． 由题可得， 解得，． 2．（25-26高二下·陕西汉中·期末）已知椭圆的两个焦点分别是，，并且其离心率为. (1)求椭圆的标准方程； (2)若直线与椭圆有两个公共点，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【难度】0.85 【知识点】根据a、b、c求椭圆标准方程、根据离心率求椭圆的标准方程、根据直线与椭圆的位置关系求参数或范围 【分析】（1）利用椭圆的焦点与离心率求出，即得椭圆方程； （2）将直线方程与椭圆方程联立消元后，根据判别式为正，解不等式即得的取值范围. 【详解】（1）依题意可得，，可得， 则， 故椭圆的标准方程为. （2）联立，消元整理得 由，解得或. 即实数的取值范围为. 3．（25-26高二下·上海·期末）著名古希腊数学家阿基米德首次用“逼近法”的思想得到了椭圆的面积公式（ 分别为椭圆的长半轴长和短半轴长），为后续微积分的开拓奠定了基础.已知椭圆 . (1)求的面积； (2)若直线交于两点，求. 【答案】(1) (2) 【难度】0.81 【知识点】求椭圆中的弦长、求椭圆的长轴、短轴 【分析】（1）根据题意求出，再根据公式求解即可. （2）联立两方程，根据韦达定理以及弦长公式求解即可. 【详解】（1）椭圆 的方程为 ，所以 ，则 .所以椭圆 的面积 . （2）联立，得 . 设，则. 所以. 4．在平面直角坐标系中，椭圆的两个焦点分别是，，并且经过点. (1)求椭圆的离心率； (2)直线：与椭圆交于不同的两点.求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【难度】0.85 【知识点】求椭圆的离心率或离心率的取值范围、根据直线与椭圆的位置关系求参数或范围 【分析】（1）利用，即可求出，从而求解离心率； （2）联立直线和椭圆的方程，利用一元二次方程的判别式求解的取值范围. 【详解】（1）因为椭圆的焦点在轴上，可设其标准方程为. 依题意可得，又， 所以，则. 故椭圆的标准方程为，则椭圆的离心率. （2）设，. 联立，整理得. 由，解得或. 即的取值范围为. 5．已知椭圆的离心率为，左、右焦点分别为. (1)求的方程； (2)已知点，证明：线段的垂直平分线与椭圆恰有一个公共点. 【答案】(1) (2)证明见解析 【难度】0.85 【知识点】根据a、b、c求椭圆标准方程、求直线与椭圆的交点坐标 【分析】（1）利用椭圆的离心率和的关系求解即可； （2）求出线段的垂直平分线的方程，然后联立直线和椭圆求解即可. 【详解】（1）因为椭圆左、右焦点分别为，所以，焦点在轴上， 又因为椭圆的离心率，得， 所以， 所以椭圆方程为. （2）如图： 由得直线的斜率为，中点坐标为， 所以线段的垂直平分线方程为， 联立垂直平分线方程和椭圆方程，得， 解得，且， ∴所以直线与椭圆相切， 即线段的垂直平分线与恰有一个公共点. 题型五：中点弦问题 1．（24-25高二上·福建厦门·期中）已知焦点在轴上的椭圆的一条弦所在的直线方程是，弦的中点坐标是，则椭圆的短半轴长为（    ） A．2 B．4 C．8 D．16 【答案】B 【难度】0.68 【知识点】求椭圆的长轴、短轴、由中点弦坐标或中点弦方程、斜率求参数 【分析】运用作差法、中点坐标公式及直线斜率求解即可. 【详解】设直线与椭圆相交于，， 由题意得，， 直线的斜率为， 由，两式相减得， 所以，即，所以，即. 所以椭圆的短半轴长为4. 2．已知圆与椭圆：交于两点，且线段恰好为圆的直径，则（    ） A．2 B． C． D． 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】已知圆的弦长求方程或参数、由弦中点求弦方程或斜率 【分析】先求出直线的方程，再根据同解可求的值. 【详解】设，，直线的斜率为， 由已知，则，， ，， 两式相减整理得：，故可得：， 故直线， 由可得， 由可得， 由题设，两个方程均有解， 故，故． 3．（25-26高二上·内蒙古呼和浩特·期末）已知椭圆：，斜率为2的直线与椭圆相交于，，的中点坐标为，则椭圆的离心率是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.55 【知识点】求椭圆中的弦长、求椭圆的离心率或离心率的取值范围、根据直线与椭圆的位置关系求参数或范围、由中点弦坐标或中点弦方程、斜率求参数 【分析】设出，的坐标，利用点差法及直线斜率、中点，得到与的关系，结合得到与的关系，代入离心率公式求解即可. 【详解】设，，则，，. 因为点，在椭圆上，所以，. 所以， 所以，即. 又，所以. 又椭圆的离心率，所以. 4．（25-26高二上·湖南常德·期末）椭圆中，以为中点的弦所在的直线方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】由弦中点求弦方程或斜率、求弦中点所在的直线方程或斜率 【分析】先利用点差法求得直线的斜率，再利用点斜式即可求得所求直线方程. 【详解】因为，所以点在椭圆内， 又不在坐标轴上，故以为中点的弦所在的直线斜率存在， 设以点为中点的弦的两端的坐标分别为， 则，由，两式相减， 得，则， 设以点为中点的弦所在直线斜率为，则， 所以所求直线方程为：，即. 故选：C 5．（25-26高三上·河南·期末）已知椭圆的右焦点为，离心率为. (1)求的方程； (2)若直线与交于，两点，与轴交于点，且是的中点，求的值. 【答案】(1) (2) 【难度】0.85 【知识点】根据a、b、c求椭圆标准方程、根据离心率求椭圆的标准方程、根据韦达定理求参数、根据直线与椭圆的位置关系求参数或范围 【分析】（1）根据焦点坐标，可得c值，根据离心率，可得a值，根据的关系，可得，即可得答案. （2）根据直线方程，可得P点坐标，将直线与椭圆联立，根据韦达定理，可得，表达式，根据条件，可得，联立求解，可得m值. 【详解】（1）因为右焦点为，所以， 因为离心率，所以， 则，所以的方程为. （2）由与轴交于点，令，解得，则， 联立直线与椭圆，得， 判别式，解得或， 设， 则， 因为是的中点，所以， 解得， 则，解得符合题意， 所以的值为 6．（25-26高二下·海南·期末）椭圆的两个焦点是和，椭圆上的点到两个焦点的距离之和等于． (1)求椭圆的离心率． (2)已知椭圆的弦的中点的坐标为，求直线的方程． 【答案】(1) (2) 【难度】0.66 【知识点】由弦中点求弦方程或斜率、利用椭圆定义求方程 【分析】（1）根据椭圆的定义可得，再求离心率即可； （2）先求得椭圆方程，设，，进而可得，，再利用作差法可得直线的斜率，然后根据点斜式求直线方程即可． 【详解】（1）椭圆的焦点在轴上，故设椭圆的标准方程为， ，， ． （2）， 椭圆的标准方程为； 设，． 因为是的中点，所以，， 即：，， 点和都在椭圆上：， 将相减；， 即：， 代入和， ， 即：， 因此，直线的斜率：， 直线过点，斜率为， 其方程为：，即． 题型六：求椭圆的离心率或离心率的取值范围 1．（2026·河北秦皇岛·二模）已知椭圆（）的右焦点为，过原点的直线交椭圆于，两点，若，且，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.42 【知识点】求椭圆的离心率或离心率的取值范围、余弦定理解三角形 【分析】作出另一个焦点，利用椭圆的定义结合余弦定理求出基本量的关系，可得椭圆的离心率. 【详解】如图， 设椭圆的左焦点为，根据椭圆的对称性可得：四边形为平行四边形， 所以，， 所以，所以. 又，所以. 在中，由余弦定理得：， 即. 所以椭圆的离心率为. 2．（25-26高二下·贵州贵阳·期末）已知椭圆的左、右焦点分别是，点是上一点，直线的斜率为4，直线的斜率为，则的离心率是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.75 【知识点】求椭圆的离心率或离心率的取值范围 【分析】根据直线的斜率之积为，得出，再由直线的斜率为4，结合椭圆的定义，得，从而，再由，建立关于的等式求解. 【详解】因为直线的斜率之积为， 所以， 由直线的斜率为4，可知，所以， 因为，所以， 又，所以， 所以，所以. 3．椭圆C：的左顶点为A，点P，Q均在C上且关于y轴对称.若直线AP，AQ的斜率之积为，则C的离心率为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.72 【知识点】求椭圆的离心率或离心率的取值范围 【详解】由题意知，设， 则·， 所以椭圆的离心率=. 4．（25-26高二下·湖南怀化·期末）已知椭圆的左、右焦点分别为、．过的直线与椭圆交于、两点，且满足．若是以为斜边的直角三角形，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.4 【知识点】求椭圆的离心率或离心率的取值范围、椭圆定义及辨析 【分析】设，可得出，利用椭圆的定义结合勾股定理可得出与的等量关系，可得出的值，然后在中利用余弦定理可得出与的关系，即可得出椭圆的离心率的值. 【详解】不妨设，则，， 由椭圆定义可得，， 因为是以为斜边的直角三角形，由勾股定理可得， 即，整理可得， 即，解得或（舍去）， 所以，，， ， 由余弦定理可得， 整理可得，故椭圆的离心率为. 5．（25-26高二上·山东潍坊·阶段检测）已知，分别为椭圆的左、右焦点，点为椭圆外轴上一点，线段与交于点，，内切圆的半径为，则椭圆的离心率为______. 【答案】 【难度】0.56 【知识点】垂直关系的向量表示、求椭圆的离心率或离心率的取值范围、椭圆中向量点乘问题、椭圆中焦点三角形的其他问题 【分析】根据条件，结合椭圆定义以及三角形内切圆性质，即可化简得到，再利用即可求得结果. 【详解】由得，， 又共线，故， 设，， 则， 所以，又， 且， 所以， 即， 又， 所以， 又， 联立，可得， 又， 化简得，， 又， 所以，， 即椭圆的离心率为. 6．已知点M，N是椭圆（）上的两点，且线段MN恰为圆的一条直径，A为椭圆C上与M，N不重合的一点，且直线AM，AN的斜率之积为，则椭圆C的离心率为__________． 【答案】 【难度】0.55 【知识点】求椭圆的离心率或离心率的取值范围 【分析】利用椭圆的第三定义得到即可求解. 【详解】根据题目条件可知点M，N是椭圆（）上关于原点对称的两点， 又由于A为椭圆C上与M，N不重合的一点，且直线AM，AN的斜率之积为， 根据椭圆的第三定义可知． 因为椭圆离心率，所以，因此椭圆C的离心率为. 7．（2026·山东济南·模拟预测）设，分别是椭圆：（）的左、右焦点，过的直线交椭圆于、两点，且，，则椭圆的离心率为________． 【答案】/ 【难度】0.43 【知识点】求椭圆的离心率或离心率的取值范围、椭圆中焦点三角形的其他问题、椭圆定义及辨析 【分析】利用椭圆的定义表示，再结合直角三角形勾股定理建立与的关系，进而求得离心率. 【详解】设，则，， 根据椭圆定义，，， 又因为，所以在中， 即，解得，则，， 则在中，，即， 所以故离心率. 8．在中，，，．已知点，，分别为椭圆的上、下、右顶点，以及两个焦点中的三点，求椭圆的离心率__________． 【答案】 【难度】0.45 【知识点】求椭圆的离心率或离心率的取值范围、椭圆的对称性 【分析】根据椭圆对称性分析各点的可能性情况，分情况讨论求的值，即可得离心率. 【详解】因为， 根据对称性可知：点其中一个为上下顶点，一个为右顶点，一个为焦点，不妨取上顶点. ①当点中一个为上顶点，一个为右顶点，一个为左焦点，如图1 则或，解得或无解； ②当点中一个为上顶点，一个为右顶点，一个为右焦点，如图2， 则或，方程组均无解； 综上所述：，，，所以离心率. 题型七：椭圆中焦点三角形的面积或周长问题 1．（25-26高二上·广西梧州·期末）若点在椭圆上，，分别是椭圆的两焦点，且，则面积是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】三角形面积公式及其应用、椭圆中焦点三角形的面积问题 【分析】先根据椭圆定义和余弦定理求出，再根据面积公式求出答案. 【详解】因为椭圆方程为，，. 根据椭圆的定义，对于椭圆上的任意一点有： ，. 因为，在中使用余弦定理有：. . 即，. . 故选：B 2．（25-26高二上·四川绵阳·期中）设点为椭圆的两个焦点，点P在此椭圆上，若，则的面积为（    ） A． B．2 C．1 D． 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】椭圆中焦点三角形的面积问题 【分析】根据椭圆的定义结合勾股定理计算即可. 【详解】设该椭圆的长轴长为，焦距长为，由题意可知， 设，则， 因为，所以， 即， 解之得或，即或， . 故选：C 3．（25-26高二上·天津东丽·期中）已知P为椭圆上的一点，、是椭圆的两个焦点，，则△的面积值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】椭圆中焦点三角形的面积问题、椭圆定义及辨析 【分析】利用椭圆的定义，结合余弦定理和面积公式可得答案. 【详解】由题意，焦距为，平方可得， 由余弦定理可得， 两式相减可得， 所以△的面积为. 故选：C 4．（25-26高三下·河南·阶段检测）设椭圆的左、右焦点分别为，，上顶点为，与的另一个交点为，若，则的周长为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】椭圆中焦点三角形的周长问题、根据椭圆方程求a、b、c 【分析】利用角的余弦值得到，从而求出，再利用椭圆的定义求出的周长为. 【详解】依题意，，，（为坐标原点）， 因为，则， 所以，，所以，所以， 解得，所以，所以， 的周长, 由于，代入得： ， 根据椭圆定义，得,， 故所求的周长为. 5．（25-26高二下·宁夏银川·开学考试）已知为椭圆上任意一点，是它的两个焦点，则的周长是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】椭圆中焦点三角形的周长问题、求椭圆的焦点、焦距、根据椭圆方程求a、b、c 【详解】由椭圆方程为， 得，. 所以，故. 由椭圆定义，椭圆上任意一点到两焦点的距离之和为， 即， 又因为两焦点间距离为， 因此，的周长为. 6．（25-26高二上·河北石家庄·期末）如图，椭圆的离心率为，左､右焦点分别为，上顶点为，过且垂直于的直线与椭圆交于两点，则的周长为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】椭圆中焦点三角形的周长问题 【分析】根据题意，连接，，，由离心率可得，即可得到为等边三角形，然后结合椭圆的定义即可得到结果. 【详解】如图，连接，，，由题意可得． 因为椭圆的离心率为，所以，即．又， 所以，故为等边三角形． 由可得为线段的垂直平分线， 所以，， 所以的周长为 ． 故选：A 7．（2026·山东聊城·二模）已知、，动点满足：以为直径的圆与圆相切，若的外接圆的面积是其内切圆面积的倍，则的面积为______． 【答案】/ 【难度】0.4 【知识点】三角形面积公式及其应用、轨迹问题——椭圆、椭圆中焦点三角形的面积问题、正弦定理求外接圆半径 【分析】设为线段的中点，利用圆与圆内切结合椭圆的定义可求得点的轨迹方程，设，利用余弦定理结合三角形的面积公式可得出，可求出内切圆的半径，利用正弦定理求出外接圆半径，结合题意求出的值，即可得出的面积. 【详解】设为线段的中点，又因为（坐标原点）为的中点，所以， 易知点在圆内，所以以线段为直径的圆内切于圆， 所以，所以，即， 可得， 所以点的轨迹是以点、为焦点，且长轴长为，焦距为的椭圆（除去长轴端点）， 设该椭圆的短半轴长为，则，，所以， 故点的轨迹方程为. 设，设，，则， 由余弦定理可得 ， 所以，所以， 设的内切圆、外接圆半径分别为、，由题意可知，则， 因为， 所以， 由正弦定理可得，故， 因为，即，即， 整理可得， 又因为，可得， 又因为，则，故， 所以， 所以，解得，则， 此时. 8．（25-26高三上·山东德州·期末）已知圆，从圆上任意一点向轴作垂线，为垂足，点满足，此时的轨迹为椭圆，则椭圆的标准方程为________；若椭圆的左右焦点分别为，，为椭圆上一点，且，则的面积为________． 【答案】 / 【难度】0.4 【知识点】求平面轨迹方程、椭圆中焦点三角形的面积问题、利用椭圆定义求方程 【分析】设点，点，根据向量的坐标运算，结合，可得，利用点在圆上，代入化简，即可求得第一空答案；设，利用正弦定理可表示出，再结合，即可求出，从而求出，利用三角形面积公式即可求得第二空答案. 【详解】设点，点，因为是P向x轴作垂线的垂足，所以， 已知，， 可得，即， 因为点在圆上，所以将代入圆的方程可得：， 化简得，即椭圆的标准方程为；    由椭圆，可得，则， 所以椭圆的左右焦点，那么， 设，则， 在中，根据三角形内角和为π，可得， 由正弦定理得， 所以， 又，故，即， 而 ， 则，由于， 故，即， 得，结合，解得， 则，故， ， 故， 故的面积为， 故答案为：； 9．（2026·河北秦皇岛·模拟预测）过椭圆 （）的右焦点 的直线交椭圆于 两点， 是椭圆的左焦点，则 的周长为________. 【答案】20 【难度】0.95 【知识点】椭圆中焦点三角形的周长问题 【详解】 如图的周长为. 10．（25-26高二下·湖南娄底·开学考试）已知点、是椭圆的左、右焦点，若过焦点的直线交椭圆于两点，则的周长为______． 【答案】12 【难度】0.85 【知识点】椭圆中焦点三角形的周长问题 【详解】根据椭圆方程可得，则， 由椭圆的定义得，，， 所以的周长为. 题型八：定点问题 1．（25-26高三下·重庆·阶段检测）已知椭圆的离心率，且过点，圆M的圆心为，半径为，O为坐标原点． (1)求椭圆C和圆M的标准方程； (2)设斜率为的直线l与椭圆C交于P，Q两点，N为线段PQ的中点，点N在圆M上，且满足，求直线l的斜率． 【答案】(1)椭圆C的标准方程为，圆M的标准方程为； (2) 【难度】0.65 【知识点】向量垂直的坐标表示、由圆心（或半径）求圆的方程、根据离心率求椭圆的标准方程、求弦中点所在的直线方程或斜率 【分析】（1）根据给定的离心率及点的坐标求出即可得椭圆C标准方程，再写出圆M的标准方程. （2）利用点差法及向量垂直的坐标表示求出. 【详解】（1）由椭圆的离心率，得，则， 由点在椭圆C上，得，联立解得，， 所以椭圆C的标准方程为；圆M的标准方程为. （2）设，中点， 由在椭圆上，得， 则， 又，于是， 而，由，得， 由在圆M上，得，联立解得，， 由，得点在椭圆内，即存在满足条件的点N， 当点时，，不符合题意，当点时，，符合题意， 所以. 2．已知椭圆：，点、分别是椭圆位于轴、轴正半轴的两个顶点，点是椭圆上位于第一象限的一个动点． (1)求椭圆的离心率； (2)设点关于原点中心对称的点为，求四边形面积的最大值； (3)点满足，直线与椭圆的另一个交点为点．过点作垂直于轴的直线，设直线交线段于点，若点满足，求证：直线过定点． 【答案】(1) (2) (3)证明：，则， 易知，设，， 联立，， ， ， 则，又，所以， 则， 即， ， ， 故直线过定点． 【难度】0.42 【知识点】椭圆中的直线过定点问题、求椭圆的离心率或离心率的取值范围、椭圆中三角形（四边形）的面积 【分析】（1）根据离心率的定义直接计算； （2）设，联立可得，结合基本不等式求最值即可； （3）设，，联立可得，进而得到直线，再求即可得到过定点． 【详解】（1）椭圆：， 则， 则椭圆的离心率； （2）由题可知， 点关于原点中心对称的点为，则三点共线，连接， 由题可知直线的斜率存在，且，设， 联立，得，解得， 则， 点到直线的距离，点到直线的距离， ，当且仅当，即时取等， 故四边形面积的最大值为； （3）略 3．（25-26高二下·广东汕头·期末）已知椭圆的离心率为，O为坐标原点，椭圆C上的点到两个焦点的距离之和为4． (1)求C的方程； (2)过点的直线交椭圆C于M，N两点，过点M作直线的垂线，垂足为E． ①若的面积是的面积的两倍，求直线的方程； ②证明直线过定点． 【答案】(1)； (2)①或； ②若直线过定点，由对称性可知定点必在x轴上，设为， 设，，所以， 所以，所以， 令得，   因为，，所以， 所以， 所以为直线所过定点． 【难度】0.42 【知识点】椭圆中的直线过定点问题、根据离心率求椭圆的标准方程、椭圆中三角形（四边形）的面积 【分析】（1）由椭圆的定义得到，由离心率得到，继而求出b，从而得到椭圆的方程； （2）①设直线方程，与椭圆方程联立得到根与系数的关系式，由的面积是的面积的两倍，解出m的值，得到直线的方程；②判断直线所过定点位于x轴上，表示出，令，结合根与系数的关系化简即可证明结论. 【详解】（1）由题意得，所以， 又因为，所以，， 所以C的方程为． （2）①当直线与y轴垂直时，此时O，F，M，N四点共线，不合题意； 当直线与y轴不垂直时，设，，， 不妨设点M在x轴上方，点N在x轴下方，即，， 联立，消去x并整理得， 直线过椭圆的焦点，必有，，， 因为，即，所以， 所以，， ，， 所以，解得，， 所以或， 即直线的方程为或．   ②略 4．（25-26高二下·河南洛阳·期末）已知椭圆C：（）的离心率，且椭圆C经过点. (1)求椭圆C的方程； (2)设P是椭圆C的上顶点，直线l交椭圆C于A，B两点（A，B均不与P重合），直线与的斜率之积为，探究：直线l是否过定点？若是，求该定点坐标；若不是，请说明理由. 【答案】(1) (2)过定点， 【难度】0.54 【知识点】椭圆中的直线过定点问题、根据椭圆过的点求标准方程、根据离心率求椭圆的标准方程 【分析】（1）由离心率及过定点列方程组，解出与，得椭圆方程； （2）先讨论斜率不存在情形并排除，再设直线方程，联立椭圆由韦达定理及斜率条件化简，得直线过定点. 【详解】（1）由题意可得， 解得，所以椭圆C的方程为． （2）显然，当直线的斜率不存在时， 设（且） 则，． ． 即当直线l的斜率不存在时，不符合要求． 当直线的斜率存在时，设直线的方程为（）． 联立，消去得， 则， 设，， 所以，， 则 ， 则， 则， 整理得，解得（舍去）． 所以直线过定点． 题型九：定值问题 1．（25-26高二下·北京朝阳·期末）已知椭圆：的右焦点为，离心率为． (1)求椭圆的方程； (2)过点的直线（不与轴重合）与椭圆交于两点，，过点作直线的垂线，垂足为． （ⅰ）求证：直线过轴上定点； （ⅱ）设（ⅰ）中的定点为，若，求直线的方程． 【答案】(1) (2)（ⅰ）设直线的方程为，点， 由，得，， 直线的方程为，令，得 ，所以直线过轴上定点. （ⅱ）. 【难度】0.42 【知识点】椭圆中的直线过定点问题、根据离心率求椭圆的标准方程、根据韦达定理求参数 【分析】（1）根据给定条件，列式求出即可. （2）（ⅰ）设出直线的方程，与椭圆方程联立，利用韦达定理推理得证；（ⅱ）由（ⅰ）的结论建立方程组求出点的横坐标即可. 【详解】（1）由椭圆的右焦点为，离心率为，得半焦距，，则， 所以椭圆的方程为. （2）（ⅰ）略 （ⅱ）由（ⅰ）知点，则，即， 又，消去得，又，解得，直线轴， 所以直线的方程为. 2．已知椭圆的焦距为2，为的右焦点，为坐标原点，过且垂直于轴的直线与交于两点（在的上方），且的面积为. (1)求的标准方程. (2)过点且斜率存在的直线与交于不同的两点（在的左侧）. （ⅰ）证明：直线与的斜率之差的绝对值为定值； （ⅱ）设直线与轴分别交于点，且直线相交于点，证明：的面积为定值. 【答案】(1) (2)（ⅰ）由（1）知. 设， 联立与的方程得，化简整理得， 则， ，， . 故直线与的斜率之差的绝对值为定值1. （ⅱ）设，则由（ⅰ）可知， 所以， 因此点在定直线上，所以. 直线，令，得，则. 直线，令，得，则， 所以. 所以， 所以的面积为定值8. 【难度】0.42 【知识点】根据a、b、c求椭圆标准方程、椭圆中三角形（四边形）的面积、椭圆中的定值问题 【分析】（1）根据椭圆焦距定义，结合椭圆通径的性质、三角形面积公式进行求解即可； （2）（ⅰ）设出直线的方程与椭圆方程联立，根据直线斜率公式、一元二次方程根的判别式、根与系数关系进行求解即可； （ⅱ）根据（ⅰ）的结论，结合直线的点斜式方程，三角形面积公式进行求解即可. 【详解】（1）设的焦距为，由题知，则. ，则. 根据对称性得，所以点， 所以，又，所以， 所以的标准方程为. （2）（ⅰ）略 （ⅱ）略 3．（2026高二上·陕西咸阳·竞赛）已知椭圆过点，且的离心率为． (1)求的方程； (2)设分别是的左顶点，上顶点，与直线平行的直线与交于两点． ①若以线段为直径的圆与直线相切，求在轴上的截距； ②当直线斜率存在时，分别将其记为，证明：为定值 【答案】(1) (2)① ②由题意，， 又，， ∴ ， 将，即，代入上式： 分子 ， 分母， ∴ ，故为定值. 【难度】0.5 【知识点】根据椭圆过的点求标准方程、由直线与圆的位置关系求参数、根据离心率求椭圆的标准方程、根据韦达定理求参数、椭圆中的定值问题 【分析】（1）结合椭圆过定点坐标、离心率公式和的关系，联立方程组求解，即可得到椭圆标准方程； （2）①先求直线的斜率与方程，设出平行直线的斜截式方程，联立椭圆方程，利用韦达定理得到根与系数的关系，结合弦长公式求，再利用平行直线距离公式求两直线距离，根据圆与直线相切的条件（半径等于圆心到直线的距离）列方程求解截距； ②将用坐标表示，代入韦达定理的结论化简，消去参数即可证明乘积为定值. 【详解】（1）由题意可知， 解得，， ∴ 椭圆的方程为； （2）    ①由题意知，则直线的方程为， 设平行于直线的直线的方程为， 联立，消去得： ， ，解得：， 设与椭圆的交点坐标为， ∴ ， ， 又直线与直线的距离，由于以线段为直径的圆与直线相切，则 ， 即，解得． 经检验：，故在轴上的截距为； ②略. 4．（2026·北京朝阳·模拟预测）已知椭圆：的离心率为，，分别是的上、下顶点，点是椭圆的右顶点，的面积为（是坐标原点）．若直线与椭圆有唯一的公共点，且与直线交于点，直线与直线交于点． (1)求椭圆的方程； (2)求证：直线与的夹角为定值． 【答案】(1) (2)设点，则由（1）可得． 依题意可知直线的斜率存在，设的方程为，则． 由，得． 因为直线与椭圆有唯一的公共点， 所以．整理得． 由，得． 解得，． 由（1）知直线即直线， 由，得． 又直线：，直线：． 由，得． 所以 ． 所以．所以轴． 又直线的斜率为， 所以直线与直线的夹角的大小为，为定值. 【难度】0.4 【知识点】根据a、b、c求椭圆标准方程、椭圆中的定值问题 【分析】（1）利用椭圆基本量关系，由已知条件列方程求解； （2）设点的坐标以及直线的方程，与椭圆方程联立，利用，解得，从而得到，．联立与直线的方程解得的坐标，分别表示出直线与直线的方程，求出交点，利用斜率关系可得轴，即可证明结论. 【详解】（1）由已知得解得 所以椭圆的方程为． （2）略 题型十：开放性与探索性问题 1．如图，已知直线l：过椭圆C：的右焦点F，抛物线的焦点为椭圆C的上顶点，且直线l交椭圆C于A，B两点，点A，F，B在直线上的射影依次为点D，K，E. (1)求椭圆C的方程； (2)若直线l交y轴于M点，且，，当m变化时，探求是否为定值？若是，求出的值.若不是，请说明理由； (3)连接AE，BD，试证明当m变化时，直线AE与BD相交于定点. 【答案】(1)； (2)是定值， 由得，， ， 设，则， ∵， ∴， ∴， ∴， 综上所述，当变化时，的值为定值. (3)当时，直线轴，则为矩形， 易知与是相交于点， ∵， ∵， ∴，即三点共线. 同理可得三点共线， 则当变化时，与相交于定点. 【难度】0.42 【知识点】椭圆中的直线过定点问题、根据a、b、c求椭圆标准方程、椭圆中的定值问题 【分析】（1）由题设条件求出椭圆的右焦点与上顶点坐标，即可得出、的值，再求出的值即可求得椭圆的方程； （2）设，联立直线与椭圆的方程，结合韦达定理得出与，再根据及，从而可表示出，化简即可得证； （3）当时，易得与相交于点，再证明一般情况成立即可. 【详解】（1）∵过椭圆的右焦点， ∴右焦点，即， 又∵的焦点为椭圆的上顶点， ∴，即， ∴椭圆的方程. （2）略； （3）略. 2．（25-26高二下·重庆沙坪坝·阶段检测）已知为坐标原点，椭圆：（）的右顶点为，离心率，动点，，过的动直线交椭圆于，两点. (1)求的方程； (2)若，求四边形面积的最大值； (3)设的面积为，若，且斜率不为，试讨论：是否存在定值，使，若存在，求出的值，若不存在，说明理由. 【答案】(1)． (2)． (3)存在，． 【难度】0.33 【知识点】求椭圆中的最值问题、根据离心率求椭圆的标准方程、椭圆中三角形（四边形）的面积、椭圆中的定值问题 【分析】（1）由右顶点和离心率求出 ； （2）根据向量关系设出 的坐标，利用两点在椭圆上建立关系，将四边形面积表示为 的函数，再求最大值； （3）先由向量恒等式把已知条件化为 ，再设直线方程，利用根与系数的关系求出 的面积． 【详解】（1）由右顶点为，得． 又，所以，从而. 故椭圆的方程为. （2） 由，设. 则. 因为都在椭圆上，所以,. 两式相减，得. 将代入第一式，得.所以. 于是. 由及，得． 因为在轴上，且，所以四边形的面积. 故. 令，则，且. 由基本不等式，. 当且仅当，即 时取等号． 因此. 故四边形面积的最大值为. （3）设，直线的斜率为． 由题意，． 由. 得. 又因为在椭圆上，所以. 因此即. 直线的方程可设为. 与椭圆方程联立，得 由根与系数的关系，.且. 由，化简得. 因为，所以. 上述关于的一元二次方程的判别式为 所以. 又. 故,所以 ． 因此. 故存在定值，且. 3．（25-26高三下·江苏无锡·阶段检测）已知O为坐标原点，椭圆过点，离心率为． (1)求椭圆C的方程； (2)已知圆锥曲线具有如下性质：若圆锥曲线的方程为，则曲线上一点处的切线方程为：，试运用该性质解决以下问题：点P为直线上一点（P不在x轴上），过点P作椭圆C的两条切线PA，PB，切点分别为A，B． （ⅰ）证明：直线AB过定点； （ⅱ）点A关于x轴的对称点为A′，连接A′B交x轴于点M ，设，设，的面积分别为，，求的最大值． 【答案】(1) (2)（ⅰ）证明：设，，， 由题意中的性质可得，切线PA方程为，切线PB方程为， 因为两条切线都经过点，所以，， 故直线AB的方程为：， 显然当时，，故直线AB经过定点． （ⅱ）． 【难度】0.32 【知识点】椭圆中的直线过定点问题、根据a、b、c求椭圆标准方程、求椭圆中的最值问题、根据离心率求椭圆的标准方程 【分析】（1）根据离心率和点坐标，得到方程，求出，得到椭圆方程； （2）（ⅰ）求出切线PA和切线PB的方程，得到直线AB的方程，当时，，故直线AB经过定点． （ⅱ）设出直线AB的方程，与椭圆方程联立，得到两根之和，两根之积，得到直线A′B的方程，令得，，故直线A′B经过定点，又，由基本不等式得． 【详解】（1）设椭圆C的焦距为2c，由题知：， 即； （2）（ⅰ）略； （ⅱ）设直线AB的方程为：， 联立，整理得， 由韦达定理得， 又，所以直线A′B的方程为， 令得， ， 所以直线A′B经过定点，又， 所以， 当且仅当时，即时取等号， 所以． 4．（24-25高二上·湖南株洲·期末）已知椭圆：的焦距为2且经过点． (1)求椭圆的标准方程； (2)、是椭圆长轴的两个端点，动点与、的连线分别与椭圆交于点、，为椭圆的左焦点，试判断的周长是否与有关，若是，用表示的周长；若不是，说明理由． 【答案】(1) (2)的周长为定值8，与无关， 【难度】0.48 【知识点】椭圆中的直线过定点问题、椭圆中焦点三角形的周长问题、根据椭圆过的点求标准方程、椭圆中的定值问题 【分析】 （1）焦距为2，求得，再将代入即可求解； （2），联立直线和椭圆方程，求得，，进而得到，， 再根据向量共线的定义即可得证的周长是否与无关. 【详解】（1）焦距为2，即，解得，所以，将代入得：， 联立，得：，解得，所以， 椭圆的标准方程：. （2）   的周长与无关. 证明：设，则，， 同理可得，， 联立方程，得，， 则． 同理联立方程，可得，， 则. 又因为椭圆的右焦点为， 所以，， 因为， 说明P，Q，三点共线， 即直线PQ恒过点． 因为直线PQ恒过点，根据椭圆的定义，所以的周长为. 2 / 11 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题3.1 椭圆 题型一 椭圆的定义 题型二 椭圆方程的充要条件 题型三 求椭圆的标准方程 题型四 直线与椭圆的位置关系 题型五 中点弦问题 题型六 求椭圆的离心率与离心率的取值范围 题型七 椭圆中焦点三角形的面积与周长问题 题型八 定点问题 题型九 定值问题 题型十 开放性与探索性问题 题型一：椭圆的定义 1．（2026·广东广州·模拟预测）若平面内有两个定点，一动点，则“为定值”是“点的轨迹是椭圆”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2．（2026·广东东莞·模拟预测）已知M为圆P: 上的一个动点，定点，线段的垂直平分线交线段于点N，则N点的轨迹为（  ） A．椭圆 B．双曲线 C．抛物线 D．圆 3．（25-26高三上·湖北武汉·期末）已知，点，以为直径的圆与相切，则动点的轨迹是（   ） A．直线 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线 4．（25-26高二上·陕西咸阳·期末）已知两定点，动点满足，则点的轨迹是（    ） A．椭圆 B．双曲线 C．抛物线 D．线段 5．（25-26高二上·山东滨州·期末）如果点在运动过程中，总满足关系式，那么点的轨迹是（    ） A．椭圆 B．双曲线 C．抛物线 D．线段 6．（25-26高三上·云南楚雄·期末）椭圆C：的两个焦点为，，椭圆上有一点，则的周长为（   ） A． B． C． D． 7．（25-26高二下·青海海东·期末）椭圆的左、右焦点分别为，，点在椭圆上．若，则________． 8．（25-26高二上·陕西渭南·期末）已知椭圆的左、右焦点分别是是该椭圆上一点，则________________． 题型二：椭圆方程的充要条件 1．（25-26高二上·上海·阶段检测）在平面直角坐标系中，“”是“方程表示的曲线是椭圆”的（   ）． A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2．设，“曲线为椭圆”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．设，方程所表示的曲线是（    ） A．焦点在x轴上的椭圆 B．焦点在x轴上的双曲线 C．焦点在y轴上的椭圆 D．焦点在y轴上的双曲线 4．已知条件：，条件：表示一个椭圆，则是的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 5．已知曲线，则“”是“曲线C是椭圆”的（    ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 6．表示椭圆的条件． A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要条件 D．既不充分也不必要 7．若方程表示椭圆，则下面结论正确的是（    ） A． B．椭圆的焦距为 C．若椭圆的焦点在轴上，则 D．若椭圆的焦点在轴上，则 题型三：求椭圆的标准方程 1．两个焦点的坐标分别为，的椭圆上的任一点到两焦点的距离之和为8，则椭圆的标准方程为（   ） A． B． C． D． 2．（25-26高二上·重庆沙坪坝·期中）已知点，，动点满足，则动点的轨迹方程是（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高二下·上海·阶段检测）已知椭圆的两个焦点坐标分别是，且该椭圆经过点，则椭圆的标准方程为________________ 4．（24-25高二上·天津红桥·阶段检测）如图：已知圆 内有一点 ，Q是圆C上的任意一点，线段AQ的垂直平分线与CQ相交点M ，当点Q在圆C上运动时，点M 的轨迹方程为___ 5．根据下列条件求椭圆的标准方程． (1)已知P点在以坐标轴为对称轴的椭圆上，点P到两焦点的距离分别为和，过P作长轴的垂线恰好过椭圆的一个焦点； (2)经过两点和． 6．（25-26高二上·天津·阶段检测）求满足下列条件的椭圆的标准方程. (1)，，焦点在坐标轴上； (2)椭圆上一点P到其两焦点，的距离之和为10； (3)两个焦点坐标分别是，，并且经过点. 题型四：直线与椭圆的位置关系 1．（25-26高二下·甘肃平凉·期末）已知椭圆的长轴长为，离心率为． (1)求椭圆C的方程； (2)若直线与椭圆C有且只有一个公共点，求实数m的值． 2．（25-26高二下·陕西汉中·期末）已知椭圆的两个焦点分别是，，并且其离心率为. (1)求椭圆的标准方程； (2)若直线与椭圆有两个公共点，求实数的取值范围. 3．（25-26高二下·上海·期末）著名古希腊数学家阿基米德首次用“逼近法”的思想得到了椭圆的面积公式（ 分别为椭圆的长半轴长和短半轴长），为后续微积分的开拓奠定了基础.已知椭圆 . (1)求的面积； (2)若直线交于两点，求. 4．在平面直角坐标系中，椭圆的两个焦点分别是，，并且经过点. (1)求椭圆的离心率； (2)直线：与椭圆交于不同的两点.求的取值范围. 题型五：中点弦问题 1．（24-25高二上·福建厦门·期中）已知焦点在轴上的椭圆的一条弦所在的直线方程是，弦的中点坐标是，则椭圆的短半轴长为（    ） A．2 B．4 C．8 D．16 2．已知圆与椭圆：交于两点，且线段恰好为圆的直径，则（    ） A．2 B． C． D． 3．（25-26高二上·内蒙古呼和浩特·期末）已知椭圆：，斜率为2的直线与椭圆相交于，，的中点坐标为，则椭圆的离心率是（    ） A． B． C． D． 4．（25-26高二上·湖南常德·期末）椭圆中，以为中点的弦所在的直线方程为（   ） A． B． C． D． 5．（25-26高三上·河南·期末）已知椭圆的右焦点为，离心率为. (1)求的方程； (2)若直线与交于，两点，与轴交于点，且是的中点，求的值. 6．（25-26高二下·海南·期末）椭圆的两个焦点是和，椭圆上的点到两个焦点的距离之和等于． (1)求椭圆的离心率． (2)已知椭圆的弦的中点的坐标为，求直线的方程． 题型六：求椭圆的离心率或离心率的取值范围 1．（2026·河北秦皇岛·二模）已知椭圆（）的右焦点为，过原点的直线交椭圆于，两点，若，且，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高二下·贵州贵阳·期末）已知椭圆的左、右焦点分别是，点是上一点，直线的斜率为4，直线的斜率为，则的离心率是（   ） A． B． C． D． 3．椭圆C：的左顶点为A，点P，Q均在C上且关于y轴对称.若直线AP，AQ的斜率之积为，则C的离心率为（   ） A． B． C． D． 4．（25-26高二下·湖南怀化·期末）已知椭圆的左、右焦点分别为、．过的直线与椭圆交于、两点，且满足．若是以为斜边的直角三角形，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 5．（25-26高二上·山东潍坊·阶段检测）已知，分别为椭圆的左、右焦点，点为椭圆外轴上一点，线段与交于点，，内切圆的半径为，则椭圆的离心率为______. 6．已知点M，N是椭圆（）上的两点，且线段MN恰为圆的一条直径，A为椭圆C上与M，N不重合的一点，且直线AM，AN的斜率之积为，则椭圆C的离心率为__________． 7．（2026·山东济南·模拟预测）设，分别是椭圆：（）的左、右焦点，过的直线交椭圆于、两点，且，，则椭圆的离心率为________． 8．在中，，，．已知点，，分别为椭圆的上、下、右顶点，以及两个焦点中的三点，求椭圆的离心率__________． 题型七：椭圆中焦点三角形的面积或周长问题 1．（25-26高二上·广西梧州·期末）若点在椭圆上，，分别是椭圆的两焦点，且，则面积是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26高二上·四川绵阳·期中）设点为椭圆的两个焦点，点P在此椭圆上，若，则的面积为（    ） A． B．2 C．1 D． 3．（25-26高二上·天津东丽·期中）已知P为椭圆上的一点，、是椭圆的两个焦点，，则△的面积值为（   ） A． B． C． D． 4．（25-26高三下·河南·阶段检测）设椭圆的左、右焦点分别为，，上顶点为，与的另一个交点为，若，则的周长为（    ） A． B． C． D． 5．（25-26高二下·宁夏银川·开学考试）已知为椭圆上任意一点，是它的两个焦点，则的周长是（   ） A． B． C． D． 6．（25-26高二上·河北石家庄·期末）如图，椭圆的离心率为，左､右焦点分别为，上顶点为，过且垂直于的直线与椭圆交于两点，则的周长为（    ） A． B． C． D． 7．（2026·山东聊城·二模）已知、，动点满足：以为直径的圆与圆相切，若的外接圆的面积是其内切圆面积的倍，则的面积为______． 8．（25-26高三上·山东德州·期末）已知圆，从圆上任意一点向轴作垂线，为垂足，点满足，此时的轨迹为椭圆，则椭圆的标准方程为________；若椭圆的左右焦点分别为，，为椭圆上一点，且，则的面积为________． 9．（2026·河北秦皇岛·模拟预测）过椭圆 （）的右焦点 的直线交椭圆于 两点， 是椭圆的左焦点，则 的周长为________. 10．（25-26高二下·湖南娄底·开学考试）已知点、是椭圆的左、右焦点，若过焦点的直线交椭圆于两点，则的周长为______． 题型八：定点问题 1．（25-26高三下·重庆·阶段检测）已知椭圆的离心率，且过点，圆M的圆心为，半径为，O为坐标原点． (1)求椭圆C和圆M的标准方程； (2)设斜率为的直线l与椭圆C交于P，Q两点，N为线段PQ的中点，点N在圆M上，且满足，求直线l的斜率． 2．已知椭圆：，点、分别是椭圆位于轴、轴正半轴的两个顶点，点是椭圆上位于第一象限的一个动点． (1)求椭圆的离心率； (2)设点关于原点中心对称的点为，求四边形面积的最大值； (3)点满足，直线与椭圆的另一个交点为点．过点作垂直于轴的直线，设直线交线段于点，若点满足，求证：直线过定点． 3．（25-26高二下·广东汕头·期末）已知椭圆的离心率为，O为坐标原点，椭圆C上的点到两个焦点的距离之和为4． (1)求C的方程； (2)过点的直线交椭圆C于M，N两点，过点M作直线的垂线，垂足为E． ①若的面积是的面积的两倍，求直线的方程； ②证明直线过定点． 4．（25-26高二下·河南洛阳·期末）已知椭圆C：（）的离心率，且椭圆C经过点. (1)求椭圆C的方程； (2)设P是椭圆C的上顶点，直线l交椭圆C于A，B两点（A，B均不与P重合），直线与的斜率之积为，探究：直线l是否过定点？若是，求该定点坐标；若不是，请说明理由. 题型九：定值问题 1．（25-26高二下·北京朝阳·期末）已知椭圆：的右焦点为，离心率为． (1)求椭圆的方程； (2)过点的直线（不与轴重合）与椭圆交于两点，，过点作直线的垂线，垂足为． （ⅰ）求证：直线过轴上定点； （ⅱ）设（ⅰ）中的定点为，若，求直线的方程． 2．已知椭圆的焦距为2，为的右焦点，为坐标原点，过且垂直于轴的直线与交于两点（在的上方），且的面积为. (1)求的标准方程. (2)过点且斜率存在的直线与交于不同的两点（在的左侧）. （ⅰ）证明：直线与的斜率之差的绝对值为定值； （ⅱ）设直线与轴分别交于点，且直线相交于点，证明：的面积为定值. 3．（2026高二上·陕西咸阳·竞赛）已知椭圆过点，且的离心率为． (1)求的方程； (2)设分别是的左顶点，上顶点，与直线平行的直线与交于两点． ①若以线段为直径的圆与直线相切，求在轴上的截距； ②当直线斜率存在时，分别将其记为，证明：为定值 4．（2026·北京朝阳·模拟预测）已知椭圆：的离心率为，，分别是的上、下顶点，点是椭圆的右顶点，的面积为（是坐标原点）．若直线与椭圆有唯一的公共点，且与直线交于点，直线与直线交于点． (1)求椭圆的方程； (2)求证：直线与的夹角为定值． 题型十：开放性与探索性问题 1．如图，已知直线l：过椭圆C：的右焦点F，抛物线的焦点为椭圆C的上顶点，且直线l交椭圆C于A，B两点，点A，F，B在直线上的射影依次为点D，K，E. (1)求椭圆C的方程； (2)若直线l交y轴于M点，且，，当m变化时，探求是否为定值？若是，求出的值.若不是，请说明理由； (3)连接AE，BD，试证明当m变化时，直线AE与BD相交于定点. \ 2．（25-26高二下·重庆沙坪坝·阶段检测）已知为坐标原点，椭圆：（）的右顶点为，离心率，动点，，过的动直线交椭圆于，两点. (1)求的方程； (2)若，求四边形面积的最大值； (3)设的面积为，若，且斜率不为，试讨论：是否存在定值，使，若存在，求出的值，若不存在，说明理由. 3．（25-26高三下·江苏无锡·阶段检测）已知O为坐标原点，椭圆过点，离心率为． (1)求椭圆C的方程； (2)已知圆锥曲线具有如下性质：若圆锥曲线的方程为，则曲线上一点处的切线方程为：，试运用该性质解决以下问题：点P为直线上一点（P不在x轴上），过点P作椭圆C的两条切线PA，PB，切点分别为A，B． （ⅰ）证明：直线AB过定点； （ⅱ）点A关于x轴的对称点为A′，连接A′B交x轴于点M ，设，设，的面积分别为，，求的最大值． 4．（24-25高二上·湖南株洲·期末）已知椭圆：的焦距为2且经过点． (1)求椭圆的标准方程； (2)、是椭圆长轴的两个端点，动点与、的连线分别与椭圆交于点、，为椭圆的左焦点，试判断的周长是否与有关，若是，用表示的周长；若不是，说明理由． 2 / 11 学科网（北京）股份有限公司 $