专题08 椭圆的标准方程与几何性质9种考法（压轴题专项训练）数学苏教版高二选择性必修第一册

专题08 椭圆的标准方程与几何性质9种考法 目 录 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、椭圆的定义及应用 题型二、求椭圆的标准方程 题型三、椭圆方程的充要条件 题型四、椭圆的焦距与长轴、短轴、对称性 题型五、椭圆中的焦点三角形 题型六、椭圆上两线段的和差最值问题 题型七、椭圆的离心率及范围 题型八、椭圆的轨迹问题 题型九、与椭圆有关的范围(最值) 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 通法通法—明晰核心解法，助力能力迁移 椭圆的标准方程与几何性质问题是高中数学核心重难点，所有题型均围绕椭圆的定义及应用、求椭圆的标准方程 、椭圆方程的充要条件、椭圆的焦距与长轴、短轴、对称性、椭圆中的焦点三角形、椭圆上两线段的和差最值问题、椭圆的离心率及范围、椭圆的轨迹问题、与椭圆有关的范围(最值)九大核心展开，解题贯穿两条底线原则： 一是涉及椭圆的标准方程应先“定位”后“定量”；二是涉及到焦点三角形注意与椭圆定义、三角知识等结合起来，所有参数结果最终均需合规检验. 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、椭圆的定义及应用 典例1 已知椭圆的焦点分别为，，点为上任意一点，则的最大值为（  ） A． B． C． D． 题型模版 1.特征：把平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆.这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距. 注意：(1)当动点M满足|MF1|＋|MF2|＝常数>|F1F2|时，动点M的轨迹为椭圆； (2)当动点M满足|MF1|＋|MF2|＝常数＝|F1F2|时，动点M的轨迹为以F1，F2为两端点的线段； (3)当动点M满足|MF1|＋|MF2|＝常数<|F1F2|时，动点M的轨迹不存在. 2.方法：椭圆的定义常常与基本不等式、余弦定理等知识结合运用． 变式1-1若平面内有两个定点，一动点，则“为定值”是“点的轨迹是椭圆”的（  ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 变式1-2设为椭圆的两个焦点，点在上，若，则（  ） A．1 B．2 C．4 D．5 变式1-3设分别是椭圆的左，右焦点，过的直线交椭圆于两点，则的最大值为__________ 类型二、求椭圆的标准方程 典例2 已知分别为椭圆的左、右焦点，过的直线与交于两点，线段的中点在轴上，且，若，则的标准方程为（  ） A． B． C． D． 题型模版 1.特征：确定椭圆的标准方程包括“定位”与“定量”两个方面，“定位”是指确定椭圆与坐标系的相对位置，在中心为原点的前提下，确定焦点在哪个坐标轴上，以判断方程的形式，“定量”则是指确定a2、b2的值，常用待定系数法求解. 2.方法：(1)定义法：根据题目所给条件确定动点的轨迹满足椭圆的定义. (2)待定系数法：根据题目所给的条件确定椭圆中的a，b.当不知焦点在哪一个坐标轴上时， 一般可设所求椭圆的方程为mx2＋ny2＝1(m>0，n>0，m≠n)； 与椭圆＝1(a>b>0)共焦点的椭圆方程可设为＝1(a>b>0，m>－b2)； 与椭圆＝1(a>b>0)有相同离心率的椭圆方程可设为＝λ或＝λ(a>b>0，λ>0). 变式2-1与椭圆有相同焦点，且短轴长为2的椭圆的标准方程是（  ） A． B． C． D． 变式2-2已知分别是椭圆的左、右顶点，直线（为椭圆的半焦距）上存在点，使得是顶角为的等腰三角形，且的面积为，则椭圆的方程为（  ） A． B． C． D． 变式2-3已知椭圆的上、下焦点分别为，离心率为，过点作直线（与轴不重合）交椭圆于两点，的周长为12，则椭圆的标准方程是（  ） A． B． C． D． 题型三、椭圆方程的充要条件 典例3 若方程表示焦点在轴上的椭圆，则的取值范围为（  ） A． B． C． D． 题型模版 1. 特征：椭圆方程含参数 2.方法：根据椭圆方程各参数的意义列出不等式（组）求解 变式3-1“”是“曲线为椭圆”的（  ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 变式3-2已知方程 表示椭圆，则实数的取值范围是（  ）. A． B． C． D． 变式3-3已知曲线为椭圆，且，则数对个数为______个 题型四、椭圆的焦距与长轴、短轴、对称性 典例4 已知椭圆的长轴长是短轴长的2倍，则（  ） A． B． C．或 D．或 题型模版 1.特征：对称轴：坐标轴；对称中心：原点 过椭圆中心的直线与椭圆相交的两点坐标互为相反数；平行于x轴的直线与椭圆相交的两点横坐标互为相反数，纵坐标相等；平行于y轴的直线与椭圆相交的两点纵坐标互为相反数，横坐标相等. 2.方法：涉及到过椭圆中心的直线、平行于x轴、平行于y轴的直线与椭圆相交，借助对称性来求解值 变式4-1已知焦点在轴上的椭圆的焦距等于，则实数的值为（  ） A．或 B．或 C． D． 变式4-2已知为椭圆的右焦点，过原点的直线与相交于两点，且轴，若，则的长轴长为（  ） A． B． C． D． 变式4-3如图，把椭圆的长轴分成8等份，过每个等分点作轴的垂线交椭圆的上半部分于七个点，是椭圆的左焦点，则 . 题型五、椭圆中的焦点三角形 典例5 设O为坐标原点，为椭圆的两个焦点，点 P在C上，，则（  ） A． B． C． D． 题型模版 1.特征：P为椭圆上任意一点，F1，F2分别为椭圆的左、右焦点，设∠F1PF2＝θ，如图所示. 2.方法：利用定义求焦点三角形的周长和面积．解决焦点三角形问题常利用椭圆的定义、正弦定理或余弦定理，其中|PF1|＋|PF2|＝2a两边平方是常用技巧； 常见结论：椭圆上的点P(x0，y0)与两焦点F1，F2构成的△PF1F2叫做焦点三角形． 若r1＝|PF1|，r2＝|PF2|，∠F1PF2＝θ，△PF1F2的面积为S，则在椭圆＋＝1(a＞b＞0)中： ①当r1＝r2，即点P为短轴端点时，θ最大； ②S＝|PF1||PF2|sin θ＝c|y0|，当|y0|＝b，即点P为短轴端点时，S取得最大值，最大值为bc； ③△PF1F2的周长为2(a＋c)； 结合椭圆方程由角平分线定理、余弦定理等知识解决问题。 变式5-1已知椭圆，为椭圆的左､右焦点，点为椭圆上在第一象限内的一点，且的面积为，则的角平分线所在的直线方程为（  ） A． B． C． D． 变式5-2（多选）已知椭圆C：的左､右焦点分别是，，为椭圆C上一点，则下列结论正确的是（  ） A．的周长为6 B．的面积为 C．的内切圆的半径为 D．的外接圆的直径为 变式5-3已知椭圆 的左右焦点为．直线与椭圆相交于两点， 若， 且， 则椭圆的离心率为 ． 题型六、椭圆上两线段的和差最值问题 典例6 已知椭圆的左焦点为，点在椭圆上，点在圆上，则的最小值为（  ） A．4 B．5 C．6 D．7 题型模版 1.特征：1、点在直线同侧，点在直线上，则(当点共线时取到)，点是点关于直线的对称点. 2、点在直线同侧，点在直线上，则(当点共线时取到). 3、点在直线异侧，点在直线上，则(当点共线时取到)，点是点关于直线的对称点. 2.方法：(1)定直线的动点到两定点距离和的最小值，直线将其中一点对称，使两点在直线异侧，三点共线最短； (2)定直线的动点到两定点距离差的最大值，直线将其中一点对称，使两点在直线同侧，三点共线最短 变式6-1已知椭圆的左､右焦点为是椭圆上一动点，直线经过的定点为，则的最大值为（  ） A． B．2 C． D．6 变式6-2已知椭圆和圆分别为椭圆和圆上的动点，若为椭圆的左焦点，则的最小值为（  ） A．6 B．5 C．9 D．8 变式6-3（多选）已知椭圆：的左、右焦点分别为，，P为椭圆上任意一点，则下列说法正确的是（  ） A．的离心率为 B．内切圆半径的最大值为 C．椭圆C内接矩形面积的最大值为 D．若，则的最小值是1 题型七、椭圆的离心率及范围 典例7已知O为坐标原点A，B，C为椭圆E：上三点，且，，直线BC与x轴交于点D，若，则E的离心率为（  ） A． B． C． D． 题型模版 1.特征：且e∈(0,1)。 2.方法：求解椭圆离心率问题的核心技巧在于“构建关于 a,c 的齐次方程”。由于离心率 ​ ，解题时应避免直接求 a,b,c的具体值，而是利用已知条件（如焦点三角形、几何性质、渐近线等）建立包含 a,b,ca,b,c 的等式或不等式。接着，巧妙运用椭圆的基本关系 ，将式子中的 b 消去，转化为仅含 a,c 的齐次方程。最后，等式两边同除以 a或 a2，即可将其化为关于 e 的一元方程或不等式，从而精准求出离心率的值或范围。 变式7-1已知椭圆C：（）的右顶点为A，上顶点为B，直线AB与以C的短轴为直径的圆交于点P（不同于B），若△POB（O为原点）为正三角形，则C的离心率为（  ） A． B． C． D． 变式7-2（多选）已知椭圆的离心率为，左，右焦点分别为，，过且倾斜角为的直线与椭圆C交于A，B两点（点A在第一象限），P是椭圆C上任意一点，则（  ） A．a，b满足 B．的最大值为 C．存在点P，使得 D． 变式7-3（多选）如图是数学家Germinal Dandelin用来证明一个平面截圆锥侧面得到的截口曲线是椭圆的模型（称为“Dandelin双球”）．在圆锥内放两个大小不同的小球，使得它们分别与圆锥的侧面、截面相切，截面分别与球，球切于点E，F（E，F是截口椭圆C的焦点）．设图中球，球的半径分别为4和1，球心距，则（  ） A．椭圆C的中心不在直线上 B． C．直线与椭圆C所在平面所成的角的正弦值为 D．椭圆C的离心率为 题型八、椭圆的轨迹问题 典例8已知一动圆与圆外切，同时与圆内切，则该动圆圆心的轨迹方程为（  ） A． B． C． D． 题型模版 1.特征：题设条件涉及椭圆定义或者几何等量关系等。 2.方法：直接法求轨迹方程，就是设出动点的坐标(x，y)，然后根据题目中的等量关系列出x，y之间的关系并化简．主要有以下两类常见题型． (1)题目给出等量关系，求轨迹方程．可直接代入即可得出方程． (2)题中未明确给出等量关系，求轨迹方程．可利用已知条件寻找等量关系，得出方程 代入法求解曲线方程的步骤: (1)设动点P(x，y)，相关动点M(x0，y0)． (2)利用条件求出两动点坐标之间的关系 (3)代入相关动点的轨迹方程． (4)化简、整理，得所求轨迹方程． 其步骤可总结为“一设、二找、三代、四整理”． 变式8-1已知曲线，从上任意一点向轴作垂线段为垂足，点在的延长线上，且，则点的轨迹方程为（  ） A． B． C． D． 变式8-2设P为平面内一动点，，，若以AP为直径的圆与圆内切，则面积的最大值为（  ） A．12 B．16 C．20 D．24 变式8-3在平面直角坐标系中，满足，、分别为的重心、内心，若轴，则点的轨迹方程为 . 题型九、与椭圆有关的范围(最值) 典例9已知椭圆，点，过点的直线交椭圆于，两点，的中点为，定点，则的最大值为（  ） A． B． C． D． 题型模版 1.特征：求解椭圆中的最值与范围问题，核心在于将几何问题转化为代数或三角函数问题。 2.方法：求解椭圆中的最值与范围问题，常用以下三大技巧： 代数函数法：通过联立直线与椭圆方程，利用韦达定理和判别式（Δ≥0）构造不等关系。将目标量（如弦长、面积）表示为斜率或截距的函数，借助二次函数性质、导数或均值不等式求最值与范围。 三角参数法：利用椭圆的参数方程，将椭圆上的动点设为 (acosθ,bsinθ) 。把目标代数式转化为于θ 的三角函数，再利用三角函数的有界性及辅助角公式求解。 几何定义法：充分挖掘椭圆的几何性质（如焦点三角形、点到焦点的距离范围等），结合平面几何定理（如三角形两边之和大于第三边）进行数形结合分析，往往能巧妙避开繁琐计算，快速锁定极值。 变式9-1（多选）已知二次曲线表示一个椭圆，则（  ） A．的对称中心为 B．上的点到原点距离的取值范围是 C．当点在上时， D．的离心率为 变式9-2若椭圆上一动点，为圆的任意一直径，则的取值范围为_______________． 变式9-3已知椭圆的左、右焦点分别为，离心率为．若椭圆C上存在不同的两点A，B，使得，则的取值范围是______． 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 1．方程表示焦点在x轴上的椭圆，则实数m的取值范围为（  ） A． B． C． D． 2．已知中心在原点的椭圆的右焦点为，离心率等于，则的方程是（     ） A． B． C． D． 3．已知椭圆的一个焦点，为上一点，满足，，则椭圆的标准方程为（  ） A． B． C． D． 4．设为椭圆的焦点，若在椭圆上存在点，满足，则实数的取值范围为（  ） A． B． C． D． 5．已知椭圆C：（）的右顶点为A，上顶点为B，直线AB与以C的短轴为直径的圆交于点P（不同于B），若△POB（O为原点）为正三角形，则C的离心率为（  ） A． B． C． D． 6．已知为椭圆的上焦点，为上一点，为圆上一点，则的最大值为（  ） A． B． C． D． 7．（多选）如图所示，将椭圆绕着坐标原点旋转一定角度，得到“斜椭圆”的方程为，则椭圆的（  ） A．长半轴长为 B．短半轴长为 C．焦距为4 D．离心率为 8．（多选）已知为坐标原点，椭圆的左、右焦点分别为两点都在上，，三点共线，（不与重合）为上顶点，则（  ） A．的最小值为4 B．为定值 C．存在点，使得 D． 9．（多选）椭圆的标准方程为为椭圆的左、右焦点，点．的内切圆圆心为，与分别相切于点，则（  ） A． B． C． D． 10．已知椭圆C：上一动点到其两个焦点的距离之和为2m，则 ． 11．已知椭圆的左、右焦点分别为，过右焦点的直线交于两点，且，，则椭圆的标准方程为 ． 12．已知椭圆的左、右焦点分别为、，椭圆上存在一点，使得为等腰三角形，且为钝角，则椭圆的离心率的取值范围为 . 13．已知，是椭圆的两个焦点，且椭圆上存在一点，使得，若点，分别是圆D：和椭圆C上的动点，则当椭圆的离心率取得最小值时，的最大值是___________． 14．已知椭圆的左、右焦点分别为、，离心率为，过的直线交椭圆于、．两点，且在轴上方． (1)求的方程； (2)若，求直线的方程； (3)设点与点关于坐标原点对称，直线与直线相交于点，求面积的最大值． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题08 椭圆的标准方程与几何性质9种考法 目 录 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、椭圆的定义及应用 题型二、求椭圆的标准方程 题型三、椭圆方程的充要条件 题型四、椭圆的焦距与长轴、短轴、对称性 题型五、椭圆中的焦点三角形 题型六、椭圆上两线段的和差最值问题 题型七、椭圆的离心率及范围 题型八、椭圆的轨迹问题 题型九、与椭圆有关的范围(最值) 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 通法通法—明晰核心解法，助力能力迁移 椭圆的标准方程与几何性质问题是高中数学核心重难点，所有题型均围绕椭圆的定义及应用、求椭圆的标准方程 、椭圆方程的充要条件、椭圆的焦距与长轴、短轴、对称性、椭圆中的焦点三角形、椭圆上两线段的和差最值问题、椭圆的离心率及范围、椭圆的轨迹问题、与椭圆有关的范围(最值)九大核心展开，解题贯穿两条底线原则： 一是涉及椭圆的标准方程应先“定位”后“定量”；二是涉及到焦点三角形注意与椭圆定义、三角知识等结合起来，所有参数结果最终均需合规检验. 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、椭圆的定义及应用 典例1 已知椭圆的焦点分别为，，点为上任意一点，则的最大值为（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用椭圆的定义以及基本不等式即可求解. 【解析】已知椭圆的焦点分别为，，点为上任意一点，所以， 则根据椭圆的定义可知， 由基本不等式得，当且仅当时取等号，此时点在椭圆的短轴的端点处，符合题意， 因此的最大值是 故选：B 题型模版 1.特征：把平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆.这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距. 注意：(1)当动点M满足|MF1|＋|MF2|＝常数>|F1F2|时，动点M的轨迹为椭圆； (2)当动点M满足|MF1|＋|MF2|＝常数＝|F1F2|时，动点M的轨迹为以F1，F2为两端点的线段； (3)当动点M满足|MF1|＋|MF2|＝常数<|F1F2|时，动点M的轨迹不存在. 2.方法：椭圆的定义常常与基本不等式、余弦定理等知识结合运用． 变式1-1若平面内有两个定点，一动点，则“为定值”是“点的轨迹是椭圆”的（  ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】根据椭圆的定义可知，只有为定值，且时， 点的轨迹才是椭圆， 因此，“为定值”是“点的轨迹是椭圆”的必要不充分条件. 故选：B 变式1-2设为椭圆的两个焦点，点在上，若，则（  ） A．1 B．2 C．4 D．5 【答案】B 【解析】方法一：因为，所以， 从而，所以．故选：B. 方法二：因为，所以，由椭圆方程可知，， 所以，又，平方得： ，所以． 故选：B 变式1-3设分别是椭圆的左，右焦点，过的直线交椭圆于两点，则的最大值为__________ 【答案】 【分析】根据椭圆定义可知周长为定值4a，从而可得当最小时，最大，再根据椭圆焦点弦最小为通径即可求解． 【解析】由椭圆的定义知 ∴的周长为， ∴当最小时，最大． 当轴，即AB为通径时，最小，此时， ∴的最大值为． 故答案为：． 类型二、求椭圆的标准方程 典例2 已知分别为椭圆的左、右焦点，过的直线与交于两点，线段的中点在轴上，且，若，则的标准方程为（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分析可知为等边三角形，结合长度关系可得，，即可得椭圆方程. 【解析】因为分别为，的中点，则， 且，则，即，可得， 又因为，则，可知为等边三角形， 且，则，， 可得，，即，， 则，所以椭圆的标准方程为. 故选：C 题型模版 1.特征：确定椭圆的标准方程包括“定位”与“定量”两个方面，“定位”是指确定椭圆与坐标系的相对位置，在中心为原点的前提下，确定焦点在哪个坐标轴上，以判断方程的形式，“定量”则是指确定a2、b2的值，常用待定系数法求解. 2.方法：(1)定义法：根据题目所给条件确定动点的轨迹满足椭圆的定义. (2)待定系数法：根据题目所给的条件确定椭圆中的a，b.当不知焦点在哪一个坐标轴上时， 一般可设所求椭圆的方程为mx2＋ny2＝1(m>0，n>0，m≠n)； 与椭圆＝1(a>b>0)共焦点的椭圆方程可设为＝1(a>b>0，m>－b2)； 与椭圆＝1(a>b>0)有相同离心率的椭圆方程可设为＝λ或＝λ(a>b>0，λ>0). 变式2-1与椭圆有相同焦点，且短轴长为2的椭圆的标准方程是（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将椭圆的方程，化为标准方程，分析可得其焦点坐标，进而可以设所求椭圆方程为，分析可得b、c的值，即可得答案. 【解析】椭圆可化为， 可知焦点在轴上，焦点坐标为， 设所求椭圆方程为，则，又，即， 所以，所求椭圆的标准方程为. 故选：B. 变式2-2已知分别是椭圆的左、右顶点，直线（为椭圆的半焦距）上存在点，使得是顶角为的等腰三角形，且的面积为，则椭圆的方程为（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据锐角三角函数，结合椭圆的性质即可求解得，即可利用面积公式求解. 【解析】如图：,故， ，故， 故，解得， 由于， 故，故，故椭圆方程为， 故选：B    变式2-3已知椭圆的上、下焦点分别为，离心率为，过点作直线（与轴不重合）交椭圆于两点，的周长为12，则椭圆的标准方程是（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用椭圆的定义表示出焦点三角形的周长，求出的值，结合离心率求出的值，即得椭圆方程. 【解析】 如图依题意，的周长为， 解得． 设椭圆的半焦距为，因为椭圆的离心率为，所以，解得． 所以． 故椭圆的标准方程为． 故选：D. 题型三、椭圆方程的充要条件 典例3 若方程表示焦点在轴上的椭圆，则的取值范围为（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据椭圆方程各参数的意义求解. 【解析】因为方程表示焦点在轴上的椭圆，所以.解得. 故选：D 题型模版 1. 特征：椭圆方程含参数 2.方法：根据椭圆方程各参数的意义列出不等式（组）求解 变式3-1“”是“曲线为椭圆”的（  ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】根据曲线表示椭圆，列不等式求解，即可根据集合间的关系求解. 【解析】若曲线为椭圆，则，解得或， 由于或是的真子集， 故“”是“曲线为椭圆”的必要不充分条件 故选：B 变式3-2已知方程 表示椭圆，则实数的取值范围是（  ）. A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据椭圆标准方程的特点，对分母和进行分类讨论即可得的范围. 【解析】由题意知，方程表示椭圆，根据椭圆的标准方程或的特点可知：，且，解得或，综上所述的取值范围是. 故选：D. 变式3-3已知曲线为椭圆，且，则数对个数为______个 【答案】8 【分析】利用椭圆方程的性质对数对进行列举即可. 【解析】曲线为椭圆，则， 且，则满足条件的正整数对有， 在上述数对中，只有满足，所以需要排除这个情况，剩下的数对共 8 对， 因此，满足条件的数对的个数为 8 故答案为：8 题型四、椭圆的焦距与长轴、短轴、对称性 典例4 已知椭圆的长轴长是短轴长的2倍，则（  ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【解析】①当椭圆的焦点在轴上时，，解得； ②当椭圆的焦点在轴上时，，解得， 所以或 故选：C 题型模版 1.特征：对称轴：坐标轴；对称中心：原点 过椭圆中心的直线与椭圆相交的两点坐标互为相反数；平行于x轴的直线与椭圆相交的两点横坐标互为相反数，纵坐标相等；平行于y轴的直线与椭圆相交的两点纵坐标互为相反数，横坐标相等. 2.方法：涉及到过椭圆中心的直线、平行于x轴、平行于y轴的直线与椭圆相交，借助对称性来求解值 变式4-1已知焦点在轴上的椭圆的焦距等于，则实数的值为（  ） A．或 B．或 C． D． 【答案】D 【分析】由椭圆的焦点在轴上确定，再根据即可求. 【解析】因为椭圆的焦点在轴上，所以，根据题意可得，解得. 故选：D. 变式4-2已知为椭圆的右焦点，过原点的直线与相交于两点，且轴，若，则的长轴长为（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据椭圆的对称性可知，就是到椭圆左焦点的距离；再根据椭圆的定义和“焦点三角形”求的值. 【解析】设，如图，记为的左焦点，连接， 则由椭圆的对称性可知，由，设，则. 又轴，所以，即， 所以，解得. 所以的长轴长为. 故选：B 变式4-3如图，把椭圆的长轴分成8等份，过每个等分点作轴的垂线交椭圆的上半部分于七个点，是椭圆的左焦点，则 . 【答案】35 【分析】根据椭圆的对称性，结合椭圆定义即可求解. 【解析】设椭圆的右焦点为，连接， 根据椭圆的对称性，可知，，， 又根据椭圆的定义，得，，，， 所以， 又由椭圆，可知， 所以. 故答案为：. 题型五、椭圆中的焦点三角形 典例5 设O为坐标原点，为椭圆的两个焦点，点 P在C上，，则（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】方法一：根据焦点三角形面积公式求出的面积，即可得到点的坐标，从而得出的值； 方法二：利用椭圆的定义以及余弦定理求出，再结合中线的向量公式以及数量积即可求出； 方法三：利用椭圆的定义以及余弦定理求出，即可根据中线定理求出． 【解析】方法一：设，所以， 由，解得：， 由椭圆方程可知，， 所以，，解得：， 即，因此． 故选：B． 方法二：因为①，， 即②，联立①②， 解得：， 而，所以， 即． 故选：B． 方法三：因为①，， 即②，联立①②，解得：， 由中线定理可知，，易知，解得：． 故选：B 题型模版 1.特征：P为椭圆上任意一点，F1，F2分别为椭圆的左、右焦点，设∠F1PF2＝θ，如图所示. 2.方法：利用定义求焦点三角形的周长和面积．解决焦点三角形问题常利用椭圆的定义、正弦定理或余弦定理，其中|PF1|＋|PF2|＝2a两边平方是常用技巧； 常见结论：椭圆上的点P(x0，y0)与两焦点F1，F2构成的△PF1F2叫做焦点三角形． 若r1＝|PF1|，r2＝|PF2|，∠F1PF2＝θ，△PF1F2的面积为S，则在椭圆＋＝1(a＞b＞0)中： ①当r1＝r2，即点P为短轴端点时，θ最大； ②S＝|PF1||PF2|sin θ＝c|y0|，当|y0|＝b，即点P为短轴端点时，S取得最大值，最大值为bc； ③△PF1F2的周长为2(a＋c)； 结合椭圆方程由角平分线定理、余弦定理等知识解决问题。 变式5-1已知椭圆，为椭圆的左､右焦点，点为椭圆上在第一象限内的一点，且的面积为，则的角平分线所在的直线方程为（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】作出图形，利用的面积，结合椭圆方程求得点，再由角平分线定理求得点。即可求得的角平分线所在的直线方程. 【解析】如图，由可得椭圆的半焦距，则，    于是的面积为，取，代入，可得， 则直线轴，且， 设的角平分线交轴于点，则， 又，则得，故， 则直线的斜率为，其方程为，即 故选：B 变式5-2（多选）已知椭圆C：的左､右焦点分别是，，为椭圆C上一点，则下列结论正确的是（  ） A．的周长为6 B．的面积为 C．的内切圆的半径为 D．的外接圆的直径为 【答案】ABC 【分析】根据焦点三角形的性质即可求解AB，根据等面积法即可求解C，根据面积公式以及正弦定理及可求解D. 【解析】由题意知，，，， 由椭圆的定义知，，， ∴的周长为，即A正确； 将代入椭圆方程得，解得， ∴的面积为，即B正确； 设的内切圆的半径为r，则， 即，∴，即C正确； 不妨取，则，， ∴的面积为， 即，∴， 由正弦定理知，的外接圆的直径，即D错误， 故选:ABC. 变式5-3已知椭圆 的左右焦点为．直线与椭圆相交于两点， 若， 且， 则椭圆的离心率为 ． 【答案】 【解析】 由椭圆的对称性可得四边形为平行四边形，则， 由，得， 因为，所以， 又，所以， 在中，由余弦定理得， 即， 所以， 即椭圆的离心率. 故答案为：. 题型六、椭圆上两线段的和差最值问题 典例6 已知椭圆的左焦点为，点在椭圆上，点在圆上，则的最小值为（  ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】B 【分析】根据椭圆定义，，则当三点共线时，取得最小值. 【解析】根据题意，，且点为椭圆右焦点， 根据椭圆定义，， 即如图，当三点共线时，取得最小值. 题型模版 1.特征：1、点在直线同侧，点在直线上，则(当点共线时取到)，点是点关于直线的对称点. 2、点在直线同侧，点在直线上，则(当点共线时取到). 3、点在直线异侧，点在直线上，则(当点共线时取到)，点是点关于直线的对称点. 2.方法：(1)定直线的动点到两定点距离和的最小值，直线将其中一点对称，使两点在直线异侧，三点共线最短； (2)定直线的动点到两定点距离差的最大值，直线将其中一点对称，使两点在直线同侧，三点共线最短 变式6-1已知椭圆的左､右焦点为是椭圆上一动点，直线经过的定点为，则的最大值为（  ） A． B．2 C． D．6 【答案】B 【分析】由直线经过定点，结合椭圆的定义由求解. 【解析】由椭圆得，因为点为椭圆上的点，则， 直线经过定点，则， 当且仅当在线段上时取等号，所以的最大值为2. 故选：B. 变式6-2已知椭圆和圆分别为椭圆和圆上的动点，若为椭圆的左焦点，则的最小值为（  ） A．6 B．5 C．9 D．8 【答案】A 【分析】依题意将点到圆上点距离最值转化为点到圆心距离问题，再结合椭圆定义并利用三点共线求得点在处时，使得的最小值为6. 【解析】易知椭圆中，即可得， 又圆的圆心为，半径， 易知椭圆右焦点，显然在圆上，如下图：    易知椭圆上一点到圆上任意一点的最小距离为， 因此可将的最小值转化为求的最小值， 由椭圆定义可得； 此时点在处，使得的最小值为6. 故选：A 变式6-3（多选）已知椭圆：的左、右焦点分别为，，P为椭圆上任意一点，则下列说法正确的是（  ） A．的离心率为 B．内切圆半径的最大值为 C．椭圆C内接矩形面积的最大值为 D．若，则的最小值是1 【答案】ABD 【分析】对A，直接利用离心率公式即可判断；对B，写出半径表达式即可判断；对C，利用基本不等式即可判断；对D，利用椭圆定义结合三点共线即可判断. 【解析】对于A选项，，故A正确； 对于B选项，记内切圆半径为，由，得， 则，所以当时，，故B正确； 对于C选项，不妨取P为第一象限点，设，则由，得， 当且仅当时取等，所以，故C错误； 对于D选项，，当为线段与椭圆的交点时，等号成立，故D正确． 故选：ABD 题型七、椭圆的离心率及范围 典例7已知O为坐标原点A，B，C为椭圆E：上三点，且，，直线BC与x轴交于点D，若，则E的离心率为（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】取BC的中点M，设，，，，则． ∵A，C在椭圆E上，∴，两式相减，得， 即， ∴． ∵，∴，连接OM，则， ∴，∴，∴． ∵，∴，又，， ∴，得． ∴，∴，即， ∴E的离心率. 故选：D． 题型模版 1.特征：且e∈(0,1)。 2.方法：求解椭圆离心率问题的核心技巧在于“构建关于 a,c 的齐次方程”。由于离心率 ​ ，解题时应避免直接求 a,b,c的具体值，而是利用已知条件（如焦点三角形、几何性质、渐近线等）建立包含 a,b,ca,b,c 的等式或不等式。接着，巧妙运用椭圆的基本关系 ，将式子中的 b 消去，转化为仅含 a,c 的齐次方程。最后，等式两边同除以 a或 a2，即可将其化为关于 e 的一元方程或不等式，从而精准求出离心率的值或范围。 变式7-1已知椭圆C：（）的右顶点为A，上顶点为B，直线AB与以C的短轴为直径的圆交于点P（不同于B），若△POB（O为原点）为正三角形，则C的离心率为（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由椭圆标准方程得出的坐标，进而得到直线的方程，结合题干写出圆的方程，利用正三角形的性质求出点的坐标，将的坐标代入直线的方程，得到与的关系式，进而求解离心率. 【解析】如图所示，椭圆中，右顶点，上顶点， 直线的截距式方程为：，以短轴为直径的圆的圆心在原点，半径为，方程为， 为正三角形，，结合在第一象限，可得点坐标为，将的坐标代入直线方程可得，化简得：，因为椭圆离心率，且，所以，解得. 故选：D 变式7-2（多选）已知椭圆的离心率为，左，右焦点分别为，，过且倾斜角为的直线与椭圆C交于A，B两点（点A在第一象限），P是椭圆C上任意一点，则（  ） A．a，b满足 B．的最大值为 C．存在点P，使得 D． 【答案】ABD 【分析】A选项，根据离心率得到；B选项，设，，故，计算出；C选项，由椭圆定义及余弦定理，基本不等式得到点P在短轴端点时，最大，且此时，故C错；D选项，法一：设出直线方程，联立椭圆方程，求出，得到结论；法二：利用椭圆的第二定义进行求解. 【解析】A选项，因为C的离心率，所以，，解得，故A对； B选项，由题意得，设，则，， 因为，，所以，， 则， 故B对； C选项，设，，，， 则 ， 当且仅当时，等号成立， 由于在上单调递减， 当点P在短轴端点时，最大，且此时， 故此时，故C错； D选项，法一：直线方程为，即， 与椭圆方程联立得， 因为，所以， ，故，故D对. 法二：据椭圆第二定义易知：， 其中， 即， 解得，同理可得. 所以成立，故D对. 故选：ABD 变式7-3（多选）如图是数学家Germinal Dandelin用来证明一个平面截圆锥侧面得到的截口曲线是椭圆的模型（称为“Dandelin双球”）．在圆锥内放两个大小不同的小球，使得它们分别与圆锥的侧面、截面相切，截面分别与球，球切于点E，F（E，F是截口椭圆C的焦点）．设图中球，球的半径分别为4和1，球心距，则（  ） A．椭圆C的中心不在直线上 B． C．直线与椭圆C所在平面所成的角的正弦值为 D．椭圆C的离心率为 【答案】ACD 【解析】依题意，截面椭圆的长轴与圆锥的轴相交，椭圆长轴所在直线与圆锥的轴确定的平面截此组合体， 得圆锥的轴截面及球，球的截面大圆，如图， 点分别为圆与圆锥轴截面等腰三角形一腰相切的切点，线段是椭圆长轴， 可知椭圆C的中心（即线段的中点）不在直线上，故A正确； 椭圆长轴长， 过作于D，连，显然四边形为矩形， 又， 则， 过作交延长线于C，显然四边形为矩形， 椭圆焦距，故B错误； 所以直线与椭圆C所在平面所成的角的正弦值为，故C正确； 所以椭圆的离心率，故D正确； 故选：ACD 题型八、椭圆的轨迹问题 典例8已知一动圆与圆外切，同时与圆内切，则该动圆圆心的轨迹方程为（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求出已知圆的圆心及半径，利用两圆相切建立等式，再利用圆锥曲线的定义求出轨迹方程. 【解析】设动圆圆心为，半径为， 圆，即的圆心，半径； 圆，即的圆心，半径， 而，则点在圆内，由圆分别与圆外切，与圆内切， 得，整理得， 因此动圆圆心的轨迹是以为焦点，长轴长为12的椭圆， 长半轴长，半焦距，短半轴长， 所以所求轨迹方程为. 故选：B 题型模版 1.特征：题设条件涉及椭圆定义或者几何等量关系等。 2.方法：直接法求轨迹方程，就是设出动点的坐标(x，y)，然后根据题目中的等量关系列出x，y之间的关系并化简．主要有以下两类常见题型． (1)题目给出等量关系，求轨迹方程．可直接代入即可得出方程． (2)题中未明确给出等量关系，求轨迹方程．可利用已知条件寻找等量关系，得出方程 代入法求解曲线方程的步骤: (1)设动点P(x，y)，相关动点M(x0，y0)． (2)利用条件求出两动点坐标之间的关系 (3)代入相关动点的轨迹方程． (4)化简、整理，得所求轨迹方程． 其步骤可总结为“一设、二找、三代、四整理”． 变式8-1已知曲线，从上任意一点向轴作垂线段为垂足，点在的延长线上，且，则点的轨迹方程为（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设，根据已知建立点坐标之间的关系，利用相关点法求解可得. 【解析】因为点在的延长线上，且，所以为的中点， 设，则，由中点坐标公式得， 因为点在曲线，所以， 即点的轨迹方程为. 故选：D    变式8-2设P为平面内一动点，，，若以AP为直径的圆与圆内切，则面积的最大值为（  ） A．12 B．16 C．20 D．24 【答案】A 【分析】作出图形，设以线段为直径的圆的圆心为，半径为，与圆内切于点，连接，结合几何关系可以推出，从而可得出动点的轨迹是椭圆，然后根据椭圆上的点的纵坐标的取值范围求解即可. 【解析】如图， 设以线段为直径的圆的圆心为，半径为，与圆内切于点， 则点三点共线，连接，在中，为中位线，即， 又，，，则， 因为，所以动点的轨迹方程是以为焦点，长轴长为10的椭圆， 椭圆中，即方程为. 为椭圆上的一点，设，则且，所以. 故选：A 变式8-3在平面直角坐标系中，满足，、分别为的重心、内心，若轴，则点的轨迹方程为 . 【答案】 【分析】根据重心的性质和内心的性质，求出两点的坐标，根据线段平行轴，纵坐标相等，列出坐标的关系式，求出轨迹方程. 【解析】设，则重心，设内切圆半径为， 又，所以， 因为，则，又，所以， 所以点的轨迹方程为. 故答案为：. 题型九、与椭圆有关的范围(最值) 典例9已知椭圆，点，过点的直线交椭圆于，两点，的中点为，定点，则的最大值为（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设，的斜率为，，，进而根据点差法求得，进而求得点的轨迹方程为，进而得，进而利用二次函数的最值的求法可求得的最大值. 【解析】当直线的斜率不存在时，，； 当直线的斜率存在时，设，的斜率为，，， 则，两式相减整理得.又， 两式消去化简得点的轨迹方程为， 则. 由，得，所以. 而二次函数图象的对称轴为直线， 所以当时，可取到最大值为.又，故的最大值为. 故选：C 题型模版 1.特征：求解椭圆中的最值与范围问题，核心在于将几何问题转化为代数或三角函数问题。 2.方法：求解椭圆中的最值与范围问题，常用以下三大技巧： 代数函数法：通过联立直线与椭圆方程，利用韦达定理和判别式（Δ≥0）构造不等关系。将目标量（如弦长、面积）表示为斜率或截距的函数，借助二次函数性质、导数或均值不等式求最值与范围。 三角参数法：利用椭圆的参数方程，将椭圆上的动点设为 (acosθ,bsinθ) 。把目标代数式转化为于θ 的三角函数，再利用三角函数的有界性及辅助角公式求解。 几何定义法：充分挖掘椭圆的几何性质（如焦点三角形、点到焦点的距离范围等），结合平面几何定理（如三角形两边之和大于第三边）进行数形结合分析，往往能巧妙避开繁琐计算，快速锁定极值。 变式9-1（多选）已知二次曲线表示一个椭圆，则（  ） A．的对称中心为 B．上的点到原点距离的取值范围是 C．当点在上时， D．的离心率为 【答案】ACD 【分析】根据对称性定义计算可判断A；令，由代入化简可得，计算可判断B；将曲线看作关于的方程，由判别式列不等式计算可判断C；先证明旋转公式，再将原方程标准化，计算判断D即可. 【解析】对于A，设是二次曲线上任意一点， 将代入二次曲线， 化简可得，所以在二次曲线上， 则二次曲线的对称中心为，故A正确； 对于B，令，则， 因为，得， 所以，解得，即， 所以二次曲线上的点到原点距离的取值范围是，故B错误； 对于C，将曲线方程视为关于的方程， 因为为实数，所以， 解得，当点在二次曲线上时， 可得，故C正确； 对于D，先推理旋转公式，记平面内点在角的终边上，则， 而绕原点顺时针旋转一个锐角，可得旋转后的坐标为， 由正余弦的和差公式得旋转后的坐标如下， 为， 又， 所以，即旋转公式得证， 将原方程化为标准方程，而其旋转角为， 旋转后整理方程令交叉项系数为0，可得， 而，解得，设， 代入曲线，化简可得， 故二次曲线可以看作由椭圆绕坐标原点逆时针旋转得到， 如图所示，作出符合题意的图形， 在椭圆中， 故二次曲线的离心率为，故D正确 故选：ACD 变式9-2若椭圆上一动点，为圆的任意一直径，则的取值范围为_______________． 【答案】 【分析】首先得到椭圆的、、，以及圆心坐标与半径，再由数量积的运算律得到，利用椭圆的性质求解的范围，从而可得答案. 【解析】椭圆的，，则， 圆的圆心为，半径，则为椭圆的右焦点， 又 ， 由椭圆的性质可得，即， 所以． 故答案为： 变式9-3已知椭圆的左、右焦点分别为，离心率为．若椭圆C上存在不同的两点A，B，使得，则的取值范围是______． 【答案】 【分析】设，，由得到两点坐标之间的关系，再结合点在椭圆上，点的横坐标满足，得到不等式即可求得结果. 【解析】已知椭圆方程为，离心率，则， 如图所示，设左右焦点分别为，，椭圆上的点，， 由题意得，即， 由于都在椭圆上，则有，，代入，得，由可得：，整理得， 再代入得， 整理得， 当时，得，显然不符合条件； 当时，得，符合条件； 当且时，解得，代入，则，化简得，为了使点在椭圆范围内，则点的横坐标需要满足，即，解得.而当或时，与平行，即点，重合，不符合条件.综上所述，的取值范围为. 故答案为： 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 1．方程表示焦点在x轴上的椭圆，则实数m的取值范围为（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】若方程表示焦点在x轴上的椭圆，则，解得，即m的取值范围为 故选：B 2．已知中心在原点的椭圆的右焦点为，离心率等于，则的方程是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题意求得，根据焦点所在坐标轴代入标准方程即可求解. 【解析】因为中心在原点的椭圆的右焦点为， 所以椭圆焦点在轴，设标准方程为， 由题意可得，，得到，， 故椭圆的方程是. 故选：D 3．已知椭圆的一个焦点，为上一点，满足，，则椭圆的标准方程为（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据给定条件，设出椭圆方程，再建立方程组，利用待定系数法求解即得. 【解析】依题意，椭圆的焦点在轴上，设椭圆为，， 则，即，解得，又， 因此，解得，所以椭圆的标准方程为. 故选：B 4．设为椭圆的焦点，若在椭圆上存在点，满足，则实数的取值范围为（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由椭圆的性质知：当在椭圆左右顶点时最大， ∴椭圆上存在一点使，只需在椭圆左右顶点时， 此时，，即， 又， ∴，解得， 又，∴. 故选：A. 5．已知椭圆C：（）的右顶点为A，上顶点为B，直线AB与以C的短轴为直径的圆交于点P（不同于B），若△POB（O为原点）为正三角形，则C的离心率为（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由椭圆标准方程得出的坐标，进而得到直线的方程，结合题干写出圆的方程，利用正三角形的性质求出点的坐标，将的坐标代入直线的方程，得到与的关系式，进而求解离心率. 【解析】如图所示，椭圆中，右顶点，上顶点， 直线的截距式方程为：，以短轴为直径的圆的圆心在原点，半径为，方程为， 为正三角形，，结合在第一象限，可得点坐标为，将的坐标代入直线方程可得，化简得：，因为椭圆离心率，且，所以，解得. 故选：D 6．已知为椭圆的上焦点，为上一点，为圆上一点，则的最大值为（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由圆和椭圆方程可确定圆心、半径、的长；利用椭圆定义和圆的对称性可将问题转化为求解的最大值问题，利用三角形三边关系可知当三点共线时取得最大值，由此可得结果. 【解析】由圆方程得：圆心，半径； 由椭圆方程得：，，设椭圆下焦点为，则， 由椭圆定义知：，； （当且仅当三点共线时取等号）， ， 又（当且仅当三点共线时取等号）， ，即的最大值为. 故选：D. 7．（多选）如图所示，将椭圆绕着坐标原点旋转一定角度，得到“斜椭圆”的方程为，则椭圆的（  ） A．长半轴长为 B．短半轴长为 C．焦距为4 D．离心率为 【答案】AD 【分析】结合不等式及轨迹方程求得，根据椭圆长轴短轴的集合意义求得的值，从而得椭圆的焦距与离心率，逐项判断即可得答案. 【解析】， ，解得. 该“斜椭圆”的长半轴长为椭圆上的点到原点的距离的最大值， 短半轴长为椭圆上的点到原点的距离的最小值， 椭圆的焦距为， 椭圆的离心率A，D项正确，B，C项错误. 故选：AD. 8．（多选）已知为坐标原点，椭圆的左、右焦点分别为两点都在上，，三点共线，（不与重合）为上顶点，则（  ） A．的最小值为4 B．为定值 C．存在点，使得 D． 【答案】BCD 【分析】求出可判断A；由椭圆的对称性可判断B；因为，所以以为直径的圆与椭圆有交点可判断C；求出可判断D. 【解析】对于A，由椭圆的方程可知， 所以焦点，设，则，， 因为在椭圆上，所以， ， 即，A错误； 对于B，由椭圆的对称性可知，，可得B正确； 对于C，因为，所以以为直径的圆与椭圆有交点，则存在点， 使得，故C正确； 对于D，设，则， 则， 故D正确． 故选:BCD． 9．（多选）椭圆的标准方程为为椭圆的左、右焦点，点．的内切圆圆心为，与分别相切于点，则（  ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【解析】椭圆：，则，所以， 又，所以点再椭圆上， 连接，    则，故A不正确； 由椭圆的定义可得， 又的内切圆圆心为，所以内切圆半径， 由于， 所以， 故，故C正确； 又， 所以 则，所以，故D正确； 又，所以， 又，所以，即，故B正确. 故选：BCD. 10．已知椭圆C：上一动点到其两个焦点的距离之和为2m，则 ． 【答案】3 【分析】通过椭圆的焦点在x轴或者y轴上，由椭圆的定义求出即可求解. 【解析】若椭圆的焦点在x轴上，则，由得（舍去）； 若椭圆的焦点在y轴上，则，由得. 故答案为：3． 11．已知椭圆的左、右焦点分别为，过右焦点的直线交于两点，且，，则椭圆的标准方程为 ． 【答案】 【分析】根据向量的线性关系及垂直关系结合椭圆的定义及边长关系计算求参得出椭圆方程即可. 【解析】因为，所以， 设，则，，所以，． 因为，所以， 在中，，即，解得， 所以为等腰直角三角形，所以为椭圆的上顶点，所以， 所以，所以椭圆的标准方程为． 故答案为： 12．已知椭圆的左、右焦点分别为、，椭圆上存在一点，使得为等腰三角形，且为钝角，则椭圆的离心率的取值范围为 . 【答案】 【分析】不妨设点在第一象限，根据题意求出的取值范围，结合椭圆方程可得出的取值范围，由此可得出关于、的齐次不等式，即可解出椭圆的离心率的取值范围. 【解析】设椭圆的半焦距为，则，， 因为为等腰三角形，且为钝角，则， 设点，则，， 则，可得，又因为，故， 所以 ， 所以，化简得出. 故答案为：. 13．已知，是椭圆的两个焦点，且椭圆上存在一点，使得，若点，分别是圆D：和椭圆C上的动点，则当椭圆的离心率取得最小值时，的最大值是___________． 【答案】 【分析】根据题中条件，得到的最大值不小于即可，由余弦定理，结合基本不等式，得到点为短轴的顶点时，最大；不妨设点为短轴的上顶点，记，得出离心率的最小值，连接，得到，根据椭圆的定义，结合三角形的性质，求出的最大值，即可得出结果. 【解析】若想满足椭圆上存在一点，使得，只需的最大值不小于即可， 由余弦定理，可得 ，当且仅当 ， 即点为短轴的顶点时，的余弦值最小，即最大； 如图，不妨设点为短轴的上顶点，记，则 ， 于是离心率， 因此当椭圆的离心率取得最小值时，，则椭圆 ； 连接，根据圆的性质可得:， 所以只需研究的最大值即可；连接，，， 当且仅当，，三点共线（点在线段的延长线上）时，不等式取得等号， 所以的最大值为 ，因此的最大值是. 故答案为：. 14．已知椭圆的左、右焦点分别为、，离心率为，过的直线交椭圆于、．两点，且在轴上方． (1)求的方程； (2)若，求直线的方程； (3)设点与点关于坐标原点对称，直线与直线相交于点，求面积的最大值． 【答案】(1) (2)或 (3) 【分析】（1）求出、的值，即可得出椭圆的标准方程； （2）分析可知直线不与轴重合，设直线的方程为，设点、，将该直线方程与椭圆的方程联立，列出韦达定理，利用弦长公式可得出关于的方程，解出的值，即可得出直线的方程； （3）由题意可知，设点，将直线、的方程联立，可求出点的纵坐标，结合韦达定理可求得的取值范围，结合三角形的面积公式可求得结果. 【解析】（1）由题意可得，该椭圆的离心率为，可得， 所以， 故椭圆的标准方程为. （2）若直线与轴重合时，则轴经过，，不符合题意； 设直线的方程为，设点、， 联立可得， ， 由韦达定理可得，， 所以 ，解得， 故直线的方程为或， 即或. （3）由题意可知，设点， 所以直线的方程为，直线的方程为， 联立可得，即， 解得， 由（2）可得， 所以， 当且仅当时，等号成立，即， 故的面积为， 即面积的最大值为 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 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