2.2 直线与圆的位置关系（讲义）数学苏教版高二选择性必修第一册

第二章 圆与方程 2.2 直线与圆的位置关系 课标要点 1. 理解直线与圆的相交、相切、相离三种位置关系，掌握用圆心到直线的距离与半径比较大小判断位置关系的方法。 2.会联立直线与圆的方程，利用一元二次方程判别式判断交点个数，体会几何法与代数法两种思路。 3.能运用直线和圆的位置关系解决切线、弦长、最值等相关问题，感受数形结合的解析几何思想。 学习重难点 重点： 1. 通过圆心距与半径的大小关系，判定直线与圆的三种位置关系。 2.掌握圆的切线方程的求法，理解切线性质，会求切线长。 3.掌握弦长计算公式，能求解弦长、弦中点相关基础问题。 难点： 1. 灵活选用几何法或代数法解决问题，区分两种方法适用场景，合理简化运算。 2.含参数直线与圆位置关系，挖掘直线过定点等隐藏条件，求解参数范围。 3.综合运用切线、弦长、几何性质解决动态最值问题，实现几何条件向代数式转化。 知识点 直线与圆的位置关系 1．直线与圆的位置关系： （1）直线与圆相交，有两个公共点； （2）直线与圆相切，只有一个公共点； （3）直线与圆相离，没有公共点． 2．直线与圆的位置关系的判定： （1）代数法： 判断直线与圆C的方程组成的方程组是否有解．如果有解，直线与圆C有公共点． 有两组实数解时，直线与圆C相交； 有一组实数解时，直线与圆C相切； 无实数解时，直线与圆C相离． （2）几何法： 由圆C的圆心到直线的距离与圆的半径的关系判断： 当时，直线与圆C相交； 当时，直线与圆C相切； 当时，直线与圆C相离． 特别提醒 （1）当直线和圆相切时，求切线方程，一般要用到圆心到直线的距离等于半径，记住常见切线方程，可提高解题速度；求切线长，一般要用到切线长、圆的半径、圆外点与圆心连线构成的直角三角形，由勾股定理解得． （2）当直线和圆相交时，有关弦长的问题，要用到弦心距、半径和半弦构成的直角三角形，也是通过勾股定理解得，有时还用到垂径定理． （3）当直线和圆相离时，常讨论圆上的点到直线的距离问题，通常画图，利用数形结合来解决． 随学随练 1．（26-27高三上·广东深圳·开学考试）直线绕原点逆时针旋转后所得直线与圆的位置关系是（ ） A．相交且相交弦长为 B．相交且相交弦长为 C．相切 D．相离 2．（2026·广东广州·模拟预测）已知圆上的点到直线的距离为，则点个数为（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．（2026·广东深圳·模拟预测）（多选）已知圆：，直线：（），则下列说法正确的是（     ） A．圆的圆心坐标为，半径为3 B．直线恒过定点 C．当时，直线截圆所得弦长为6 D．存在，使得直线与圆相离 知识点 圆的切线方程的求法（重点） 1．点在圆上，如图． 法一：利用切线的斜率与圆心和该点连线的斜率 的乘积等于，即． 法二：圆心到直线的距离等于半径． 2．点在圆外，则设切线方程：，变成一般式：，因为与圆相切，利用圆心到直线的距离等于半径，解出． 特别提醒 因为此时点在圆外，所以切线一定有两条，即方程一般是两个根，若方程只有一个根，则还有一条切线的斜率不存在，务必要把这条切线补上． 常见圆的切线方程： （1）过圆上一点的切线方程是； （2）过圆上一点的切线方程是 ． 随学随练 1．（26-27高三·全国·一轮复习）过圆上的点的切线方程为______. 2．（2026高三下·全国·竞赛）单位圆 与 轴交于 过圆上一点(异于， )作圆的切线，与过 的切线分别交于 ，则梯形的对角线交点的轨迹方程为_________. 3．（25-26高二上·江苏无锡·期中）过点作圆 ： 的切线，则切线方程为_______． 知识点 求直线被圆截得的弦长的方法（重点） 1．应用圆中直角三角形：半径，圆心到直线的距离，弦长具有的关系，这也是求弦长最常用的方法． 2．利用交点坐标：若直线与圆的交点坐标易求出，求出交点坐标后，直接用两点间的距离公式计算弦长． 特别提醒 求直线被圆截得的弦长，优先使用几何法。先求圆心到直线的距离 d，结合半径 r，利用勾股定理，半弦长等于根号下 r 平方减 d 平方，弦长为两倍半弦长，比联立韦达定理更简便。使用代数法时，联立直线与圆方程，借助弦长公式计算，要注意判别式必须大于零，保证存在两个交点。审题看清是整条弦还是部分线段，区分弦长与弦中点相关问题。计算 d 时注意点到直线距离公式的符号，不要漏分母。遇到含参数直线，可先判断直线是否过定点，结合圆的位置分析。最后检验结果，避免计算出错。 随学随练 1．（26-27高三上·贵州贵阳·阶段检测）（多选）已知直线，过直线上任意一点作圆的两条切线，切点分别为，，则下列选项正确的是（    ） A．最大度数为 B．四边形面积的最小值为 C．直线过定点 D．的最小值为 2．（26-27高二上·江苏南京·阶段检测）（多选）下列结论正确的是（     ） A．若直线与圆相交，则点在圆的外部 B．直线被圆所截得的最短弦长为 C．若圆上有4个不同的点到直线的距离为1，则有 D．若过点作圆的切线只有一条，则切线方程为 3．（26-27高三上·湖南岳阳·阶段检测）直线 被圆 截得的弦长为______. 拓展 直线与圆的位置关系求距离的最值 这类问题主要分为两类：一是圆上动点到定直线的距离最值，二是含参数动直线与定圆结合，求圆心到动直线距离的最值，核心方法是数形结合。 第一类，圆上点到定直线距离最值。先求出圆心坐标与半径 r，计算圆心到这条定直线的距离 d。若直线和圆相离，圆上点到直线距离最小值为 d 减 r，最大值为 d 加 r；若直线与圆相交或相切，最小值是 0，最大值为 d 加 r。取得最值的点，都在圆心向直线所作的垂线上。 第二类，动直线和定圆，求距离最值。动直线常常带有参数，优先观察动直线是否恒过定点。找到定点 P 之后，圆心 C 到动直线距离的最大值，就是圆心 C 到定点 P 的距离；最小值是 0，当直线经过圆心时取到。注意，圆心到直线的距离一定小于或等于两点 CP 的长度，依据是点到直线的垂线段最短。 通用解题步骤：第一步，确定圆的圆心、半径；第二步，分析直线是定直线还是动直线，找到直线的固定特征，比如定点；第三步，画出草图，利用几何关系，依靠距离公式推导最值；第四步，检验边界条件，确认对应的直线真实存在。 常见易错点：混淆两类模型，把定点到圆上点距离公式和圆上点到直线距离公式弄混。动直线问题容易忽略直线过定点这个隐藏条件，盲目联立方程增大计算量。计算点到直线距离时，不要漏掉公式分母，符号处理仔细。解答题优先几何法，步骤简洁；选择填空可以直接使用结论快速得到结果。 活学活用 1．（26-27高三上·河北保定·阶段检测）已知点P是直线上的动点，过点P作圆的两条切线，切点分别为M，N，则四边形的面积的最小值为（    ） A． B． C． D． 2．（26-27高三上·山东滨州·开学考试）（多选）已知圆，直线，则（     ） A．直线上存在点，使得 B．直线被圆截得的弦长为4 C．圆上的点到直线的最大距离为 D．过圆心作直线的垂线，垂足坐标为 3．（26-27高二上·河南焦作·开学考试）已知实数满足方程，求的最大值和最小值（    ） A． B． C． D． 拓展 圆的弦长与中点弦问题 弦长问题和中点弦问题是直线与圆板块的核心题型，整体以几何法为主，代数法为辅，核心依托垂径定理：圆心和弦中点的连线垂直于这条弦。 弦长求解分为两种方法。几何法：先求圆心到直线的距离 d，圆半径 r，由垂径定理，半弦长、圆心距、半径构成直角三角形，半弦长等于根号下 r 平方减 d 平方，弦长等于两倍半弦长，计算简便，是首选方法。代数法：联立直线与圆方程，得到一元二次方程，当判别式大于零时，利用韦达定理得到两根之和、两根之积，代入弦长公式计算，计算量大，一般在几何条件不足时选用。注意判别式必须大于 0，否则不存在弦。 中点弦问题，常见两类题型：已知弦中点求弦所在直线；已知直线，求弦中点轨迹。已知中点 M，连接圆心 C，直线 CM 的斜率和弦的斜率乘积为负一，由此快速求出弦的斜率，再用点斜式写出直线方程。求中点轨迹，设中点坐标，利用垂直关系建立等式，消去参数得到轨迹方程。轨迹一般是圆内的一段圆弧，不能直接写成完整圆，必须标注范围。 通用解题步骤，先确定圆心与半径。遇到中点弦，优先使用垂径定理转化垂直关系。求弦长优先几何法。算出结果后检验，确认直线和圆有两个交点。 高频易错点：使用点差法求中点弦直线时，只列式不检验，得到不存在的虚弦；混淆中点连线垂直弦这个结论；求轨迹时漏掉取值范围，写成完整圆。解答题尽量用几何性质书写，减少复杂运算，选择填空可以直接套用垂径定理快速得出答案。 活学活用 1．（26-27高三上·湖北·阶段检测）（多选）已知圆：，则下列说法正确的是（   ） A．若过原点作的切线，则其中一条切线的方程为 B．若是上一点，则的最大值为 C．若直线与相交，且交点为，，则有最小值 D．若上到直线（）的距离为的点有且仅有个，则实数的取值范围是 2．（2026·云南昆明·模拟预测）（多选）已知点，圆C：，则下列结论正确的是（   ） A．过点P的直线与圆C都相交 B．点P与圆C上的点之间距离的最大值为5 C．若圆C关于过点P的直线l对称，则直线l的斜率为 D．若过点P的直线l截圆C的弦长最小，则l的方程为 3．（26-27高三上·河南许昌·开学考试）（多选）已知直线的方程为（），点，曲线上任意一点均满足（其中为坐标原点），则（   ） A．直线过定点 B．存在实数，使直线与曲线无公共点 C．直线被曲线截得的弦长的最小值为 D．当时，直线被曲线截得的弦长最大 题型 不含参数（含参数）的直线与圆的位置关系 解题贴士 法一抓住直线与圆的位置关系的代数特征，从而转化为对方程的解的研究，这是研究直线与曲线的位置关系的基本方法；法二抓住直线与圆的位置关系的几何特征，从而转化为研究圆心到直线的距离，抓住几何特征对于研究圆的问题特别有效；法三通过判定直线过圆内一定点，从而使问题获证．由上述三种解法可知，解题的切入点不同，解法就有优劣之分．因此，在解题时，审题要慢，要仔细地分析题意，透彻地理解题意，挖掘其中的隐含条件，从而找到解决问题的捷径． ▌例1（26-27高三上·湖南衡阳·开学考试）已知圆：，点关于直线：的对称点在圆上，则（） A．与圆相交 B．与圆相切 C．与圆相离 D．以上都有可能 ▌例2（26-27高三上·湖北·阶段检测）（多选）已知圆：，直线：（），下列选项正确的有（     ） A．圆的圆心坐标为，半径为5 B．直线恒过定点 C．当时，直线与圆相离 D．直线被圆截得的弦长最小值为 ▌对点练1-1．（25-26高三下·山东烟台·阶段检测）（多选）下列结论正确的是（　　） A．若直线l：与圆O：相交，则点在圆O的外部 B．直线被圆所截得的最长弦长为 C．若圆上有4个不同的点到直线的距离为1，则有 D．若过点作圆O：的切线只有一条，则切线方程为 ▌对点练1-2．（26-27高三上·江苏泰州·开学考试）（多选）已知圆，圆，圆.、的圆心分别记为、， 直线与圆、、均有两个交点，则（    ） A．圆的半径为 B． C． D．直线可以是 ▌对点练1-3．（25-26高二下·云南德宏·期末）（多选）已知直线，圆，则下列说法中正确的是（    ） A．圆心坐标为 B．对，直线与圆一定相交 C．直线被圆截得的最短弦长为 D．当时，圆上存在着4个点到直线的距离为 题型 由直线与圆的位置关系求参数 解题贴士 解题优先选用几何法，提取圆心坐标与半径，计算圆心到直线的距离，根据相交、相切、相离列出对应不等式或等式。相交要求距离小于半径，相切为距离等于半径，相离是距离大于半径。若直线含参数且恒过定点，先找出定点，结合定点在圆内、圆上或圆外快速判断参数范围。代数法可联立方程，利用判别式判断交点个数。求解后要检验参数，剔除使直线或圆方程失效的解。注意斜率不存在的特殊直线，不能遗漏讨论，避免漏掉部分参数取值。 ▌例1（2026·湖南永州·一模）直线（）与圆相交所得的弦长为，则（ ） A．1 B． C．2 D．3 ▌例2（26-27高三上·河南·开学考试）（多选）已知圆：，点是直线：上一动点，则下列选项正确的是（    ） A．将圆与坐标轴的所有公共点顺次连接围成的图形面积为 B．圆心到的距离的最大值为 C．若圆上存在两点关于对称，则 D．若，是圆的一条切线（为切点），则可以为 ▌对点练1-1（2026·广东佛山·模拟预测）（多选）过点作圆：的切线，则的方程为（   ） A． B． C． D． ▌对点练1-2（25-26高二上·福建厦门·阶段检测）已知圆：，直线为（），已知直线与圆相离，若在直线上存在点，在圆上存在两点、，使得，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． ▌对点练1-3（26-27高三上·四川·开学考试）已知圆：，直线：，若与相切，则________． 题型 求直线与圆的交点坐标 解题贴士 求交点坐标核心是联立直线与圆的方程，把直线方程代入圆方程，化简得到一元二次方程。解方程得到 x 的根，再代回直线方程求出对应的 y 值，得到交点。联立前可先用几何法预判交点数量，相切仅有一个公共点，相交有两个，相离无交点。代入消元时注意计算符号，化简仔细，减少运算错误。若方程不好求解，可利用韦达定理辅助验算。遇到直线斜率不存在的情况，单独代入圆方程计算。最后检验解是否同时满足两个原始方程，排除计算产生的增根。 ▌例1（25-26高三下·河北邯郸·阶段检测）（多选）已知圆与y轴正半轴的交点为A，过点A且斜率为1的直线l与圆C的另一个交点为B，若的中点P恰好落在x轴上，则（    ） A．直线的斜率为 B． C． D． ▌例2（25-26高二上·四川成都·期末）设圆的圆心在直线上，且都是圆上的点. (1)求圆的标准方程； (2)若直线与圆相交于两点，求线段中点的坐标. ▌对点练1-1（25-26高三上·广东潮州·期末）记为坐标原点，若直线与圆交于A，B两点，且，则__________. ▌对点练1-2（25-26高二上·河南商丘·阶段检测）在平面直角坐标系中，正方形的对角线所在直线的方程为，且正方形的外接圆的方程为． (1)求正方形的面积； (2)求顶点A的坐标． ▌对点练1-3（25-26高二上·广东·阶段检测）在平面直角坐标系中，圆：，，，与圆另交于点，以为圆心，为半径作圆. (1)求的面积； (2)为圆上一点，为直线上一点，求的最小值. 题型 切线与切线长问题 解题贴士 求圆的切线方程一般有三种方法： （1）直接法：应用常见结论，直接写出切线方程； （2）待定系数法； （3）定义法． 一般地，过圆外一点可向圆作两条切线，在后两种方法中，应注意斜率不存在的情况． ▌例1（2026·浙江·二模）已知圆，过点作圆的两条切线，则这两条切线的夹角为（    ） A． B． C． D． ▌例2（2026·江苏·模拟预测）已知直线，若绕点顺时针旋转后恰与圆相切，则实数（   ） A．或 B．或 C．或 D．或 ▌对点练1-1（2026·安徽池州·二模）已知圆C的圆心在y轴上，若圆C过点且与直线相切，则圆C的半径为（   ） A． B．2 C． D．3 ▌对点练1-2（2026·广东广州·二模）已知点在圆上，点，当最大时，则（    ） A． B． C． D． ▌对点练1-3（2026·福建泉州·模拟预测）已知圆，过点作圆的切线，则切线长为______． 题型 弦长问题 解题贴士 ①利用垂径定理：半径，圆心到直线的距离，弦长具有的关系，这也是求弦长最常用的方法． ②利用交点坐标：若直线与圆的交点坐标易求出，求出交点坐标后，直接用两点间的距离公式计算弦长． ③利用弦长公式：设直线，与圆的两交点，将直线方程代入圆的方程，消元后利用根与系数关系得弦长：． ▌例1（26-27高三上·河北雄安·开学考试）已知直线：，圆：，若圆被直线分成的两段圆弧弧长之比为3:1，则______. ▌例2（26-27高三上·福建福州·开学考试）（多选）已知被、轴截得的弦长分别为、，则下列说法正确的是（    ） A．可以取任意实数 B．满足的有无数个 C．若圆心在上，则的最大值为 D．若圆心在直线上，则的最大值为 ▌对点练1-1（26-27高三上·云南玉溪·阶段检测）（多选）已知点，圆，则下列结论正确的有（   ） A．点与圆上的点之间距离的最大值为 B．点在圆内部 C．若过点的直线截圆的弦长为，则的方程为 D．以为中点的弦所在的直线方程为 ▌对点练1-2（25-26高二上·上海虹口·期中）已知圆：，直线：，设直线与圆相交于，两点 (1)若直线恒过定点，求出点坐标； (2)求弦中点的轨迹方程； (3)相交弦长度的最小值及相应的的值． ▌对点练1-3（25-26高一下·北京延庆·期末）已知点，圆. (1)设，直线过点且被圆截得的弦长为，求直线的方程； (2)设，直线过点，求被圆截得的线段的最短长度，并求此时的方程. 基础通关 1．（26-27高三上·贵州毕节·阶段检测）已知圆的圆心在直线上，若圆与轴相切，且被轴截得的弦长为，则圆的半径为________． 2．（25-26高二下·广东深圳·期末）（多选）已知抛物线：，圆：（），与抛物线和圆都相切的直线有条，则（    ） A．当时， B．当时， C．当时， D．的充要条件是且 3．（26-27高三上·天津红桥·开学考试）直线：截圆：的弦长为__________． 4．（26-27高三上·四川·阶段检测）已知直线：，圆：，则“”是“直线与圆相切”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 5．（26-27高三上·江西宜春·开学考试）已知圆：，点，（），若圆上存在，两点，使得以，，，四个点为顶点的平行四边形有且仅有1个，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 6．（26-27高二上·浙江·开学考试）已知圆（）上到直线的距离为1的点有且仅有3个，则的值为（    ） A． B． C． D． 7．（26-27高三上·河北沧州·开学考试）已知直线：被圆截得的弦长为，则直线的斜率为（     ） A． B． C． D． 8．（26-27高三上·广西南宁·开学考试）已知直线与圆相切，则（     ） A． B． C．或 D． 或 9．（26-27高二上·全国·课后作业）已知点在圆上，点，，则点到直线的距离的最大值为__________；当最小时，的长度为__________． 10．（26-27高二上·全国·课前预习）已知圆O：，，是圆O上两点，满足，，则( ) 素养提升 1．（26-27高一上·陕西·开学考试）在平面直角坐标系中，，与轴的一个交点的坐标为，为直线上的动点，过点作的切线，，切点为，，则的最小值为______． 2．（26-27高三上·湖南衡阳·开学考试）直线分别与x轴、y轴交于A,B两点,点P在圆上,则面积的取值范围是（   ） A． B． C． D． 3．（26-27高三上·广东深圳·开学考试）已知直线，，圆:,则直线被圆截得的最短弦的长度为________． 迁移创新 1．（2026高三上·全国·专题练习）已知圆，线段在直线上运动，点为上任意一点，若圆上存在两点，，使得成立，则线段长度的最大值为______． 2．（25-26高三下·湖北武汉·阶段检测）（多选）设动直线与圆相切，且与圆相交于两点、，点为直线上动点，则（    ） A．存在以为直径的圆与相切 B． C． D． 3．（25-26高二下·广西南宁·期末）（多选）已知斜率的直线过定点，圆：，为圆上的任意一点，则下列说法正确的是（    ） A．的最大值为 B．的最大值为 C．直线与圆相切时， D．圆心到直线的距离最大为 2 / 7 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二章 圆与方程 2.2 直线与圆的位置关系 课标要点 1. 理解直线与圆的相交、相切、相离三种位置关系，掌握用圆心到直线的距离与半径比较大小判断位置关系的方法。 2.会联立直线与圆的方程，利用一元二次方程判别式判断交点个数，体会几何法与代数法两种思路。 3.能运用直线和圆的位置关系解决切线、弦长、最值等相关问题，感受数形结合的解析几何思想。 学习重难点 重点： 1. 通过圆心距与半径的大小关系，判定直线与圆的三种位置关系。 2.掌握圆的切线方程的求法，理解切线性质，会求切线长。 3.掌握弦长计算公式，能求解弦长、弦中点相关基础问题。 难点： 1. 灵活选用几何法或代数法解决问题，区分两种方法适用场景，合理简化运算。 2.含参数直线与圆位置关系，挖掘直线过定点等隐藏条件，求解参数范围。 3.综合运用切线、弦长、几何性质解决动态最值问题，实现几何条件向代数式转化。 知识点 直线与圆的位置关系 1．直线与圆的位置关系： （1）直线与圆相交，有两个公共点； （2）直线与圆相切，只有一个公共点； （3）直线与圆相离，没有公共点． 2．直线与圆的位置关系的判定： （1）代数法： 判断直线与圆C的方程组成的方程组是否有解．如果有解，直线与圆C有公共点． 有两组实数解时，直线与圆C相交； 有一组实数解时，直线与圆C相切； 无实数解时，直线与圆C相离． （2）几何法： 由圆C的圆心到直线的距离与圆的半径的关系判断： 当时，直线与圆C相交； 当时，直线与圆C相切； 当时，直线与圆C相离． 特别提醒 （1）当直线和圆相切时，求切线方程，一般要用到圆心到直线的距离等于半径，记住常见切线方程，可提高解题速度；求切线长，一般要用到切线长、圆的半径、圆外点与圆心连线构成的直角三角形，由勾股定理解得． （2）当直线和圆相交时，有关弦长的问题，要用到弦心距、半径和半弦构成的直角三角形，也是通过勾股定理解得，有时还用到垂径定理． （3）当直线和圆相离时，常讨论圆上的点到直线的距离问题，通常画图，利用数形结合来解决． 随学随练 1．（26-27高三上·广东深圳·开学考试）直线绕原点逆时针旋转后所得直线与圆的位置关系是（ ） A．相交且相交弦长为 B．相交且相交弦长为 C．相切 D．相离 【答案】B 【分析】利用两角和的正切公式计算斜率，再由直线与圆的关系即可求解. 【详解】设直线的倾斜角为，直线绕原点逆时针旋转后所得直线的倾斜角为，则，， 所以， 所以，即， 圆的圆心为，半径为， 所以圆心到直线的距离为：， 所以圆与直线相交， 相交弦长为：. 2．（2026·广东广州·模拟预测）已知圆上的点到直线的距离为，则点个数为（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【详解】圆，圆心为，半径为， 圆心到直线的距离为, ， 所以直线与圆相交， 又因为， 所以圆上到直线的距离为1的点有4个. 如图所示： 3．（2026·广东深圳·模拟预测）（多选）已知圆：，直线：（），则下列说法正确的是（     ） A．圆的圆心坐标为，半径为3 B．直线恒过定点 C．当时，直线截圆所得弦长为6 D．存在，使得直线与圆相离 【答案】ABC 【详解】对于A，变形为， 即圆心坐标为，半径为3，故A正确； 对于B，当时，，所以直线恒过定点，故B正确； 对于C，当时，直线方程为，圆心在直线上， 故直线截圆所得弦长为直径6，故C正确； 对于D，因为直线恒过定点，此点与圆心的距离为， ，所以定点在圆内，过圆内一点的任意直线一定和圆相交， 所以直线不可能与圆相离，故D错误. 知识点 圆的切线方程的求法（重点） 1．点在圆上，如图． 法一：利用切线的斜率与圆心和该点连线的斜率 的乘积等于，即． 法二：圆心到直线的距离等于半径． 2．点在圆外，则设切线方程：，变成一般式：，因为与圆相切，利用圆心到直线的距离等于半径，解出． 特别提醒 因为此时点在圆外，所以切线一定有两条，即方程一般是两个根，若方程只有一个根，则还有一条切线的斜率不存在，务必要把这条切线补上． 常见圆的切线方程： （1）过圆上一点的切线方程是； （2）过圆上一点的切线方程是 ． 随学随练 1．（26-27高三·全国·一轮复习）过圆上的点的切线方程为______. 【答案】 【详解】法1：圆心坐标为， 因为点在圆上，故圆心与该点连线的斜率不存在， 故切线的斜率为零，故切线方程为. 法2：过圆上的点的切线方程为： ，即. 2．（2026高三下·全国·竞赛）单位圆 与 轴交于 过圆上一点(异于， )作圆的切线，与过 的切线分别交于 ，则梯形的对角线交点的轨迹方程为_________. 【答案】（，） 【分析】先设圆上动点 的参数方程，写出过 的切线方程，再与两条固定切线（）联立求出 的坐标，接着联立梯形对角线 与 的方程求得交点，得到交点坐标关于参数的表达式，最后消去参数，得到轨迹方程，注意排除与 重合情形. 【详解】设单位圆上点 坐标为，，， 当时，直线的斜率为，为坐标原点， 故过点的切线斜率为， 所以过点的切线方程为， 当时，， 若，切线方程为，满足关系， 若，切线方程为，满足关系， 则 点切线方程为， 与两条竖直切线 、 的交点分别为 、, 所以直线方程为：， 直线方程为：， 设交点的坐标为， 联立两直线方程可解得， 因为不与重合，所以，所以， 所以，， 所以， 即交点的轨迹方程为（，）. 3．（25-26高二上·江苏无锡·期中）过点作圆 ： 的切线，则切线方程为_______． 【答案】 【分析】先验证点在圆上，进而求出切线斜率，最后用点斜式写出切线方程并整理． 【详解】将点代入圆的方程左侧，与右侧相等， 所以点在圆上， 由圆的标准方程，得圆心的坐标为， ，所以切线斜率为1， 所以过点的切线方程为，即． 知识点 求直线被圆截得的弦长的方法（重点） 1．应用圆中直角三角形：半径，圆心到直线的距离，弦长具有的关系，这也是求弦长最常用的方法． 2．利用交点坐标：若直线与圆的交点坐标易求出，求出交点坐标后，直接用两点间的距离公式计算弦长． 特别提醒 求直线被圆截得的弦长，优先使用几何法。先求圆心到直线的距离 d，结合半径 r，利用勾股定理，半弦长等于根号下 r 平方减 d 平方，弦长为两倍半弦长，比联立韦达定理更简便。使用代数法时，联立直线与圆方程，借助弦长公式计算，要注意判别式必须大于零，保证存在两个交点。审题看清是整条弦还是部分线段，区分弦长与弦中点相关问题。计算 d 时注意点到直线距离公式的符号，不要漏分母。遇到含参数直线，可先判断直线是否过定点，结合圆的位置分析。最后检验结果，避免计算出错。 随学随练 1．（26-27高三上·贵州贵阳·阶段检测）（多选）已知直线，过直线上任意一点作圆的两条切线，切点分别为，，则下列选项正确的是（    ） A．最大度数为 B．四边形面积的最小值为 C．直线过定点 D．的最小值为 【答案】ACD 【分析】利用直线与圆的几何性质，将角度、面积、弦长问题转化为点到圆心的距离的最值问题，再结合切点弦方程，逐项进行判断即可求解. 【详解】由圆可知，圆心，半径， 圆心到直线的距离， 因为，所以直线与圆相离，如图所示， 因为点在直线上动，当时，取得最小值，即的最小值为， 设，则， 在中，， 要使最大，即最大，则取得最小值，即， 所以，因为为锐角，所以， 所以，即最大度数为，故A选项正确； 根据题意，， 所以， 在中，由勾股定理可得， 所以当最小时，即取最小值，即取最小值， 所以，所以， 所以四边形的面积的最小值为， 故B选项错误； 设点，因为点在直线上动，所以，即， 圆展开为 根据切点弦方程公式，直线的方程为， 又，所以，即， 所以，解得，，即直线过定点，所以C选项正确； 根据直线与圆相切的性质，可得， 又，所以，垂足为，且为中点， 在中，利用等面积法可得， 所以， 所以， 当取得最小值时，取得最小值， 即时，，故D选项正确. 综上所述，选项ACD正确. 2．（26-27高二上·江苏南京·阶段检测）（多选）下列结论正确的是（     ） A．若直线与圆相交，则点在圆的外部 B．直线被圆所截得的最短弦长为 C．若圆上有4个不同的点到直线的距离为1，则有 D．若过点作圆的切线只有一条，则切线方程为 【答案】ABD 【分析】对于A，直线与圆相交，说明圆心到直线距离小于半径；对于B，化简直线方程可知该直线过定点，圆心到该定点的距离即圆心到该动直线距离的最小值，再利用勾股定理，可求弦长最小值；对于C，圆上有四点到直线距离为1，说明平行于该直线且距离为1的两直线均与圆相交；对于D，过某点作圆的切线只有一条，说明该点在圆上. 【详解】对于A，直线与圆相交， 所以，即，因此点在圆的外部，故A正确； 对于B，直线方程变形得，，可知该直线必过定点， 因此圆心到直线的距离的最小值为， 此时该直线被圆所截的弦最短，弦长为，故B正确； 对于C，到直线距离为且平行的直线分别为和， 圆心到直线的距离为，到的距离为， 该圆要与直线距离为的点有四个，等价于与和分别有两个交点， 所以半径需满足，，即，故C错误； 对于D，过点作圆的切线只有一条，则点在圆上，代入可得圆， 过点的半径所在直线的斜率为，故切线的斜率为， 则切线方程为，即，故D正确. 3．（26-27高三上·湖南岳阳·阶段检测）直线 被圆 截得的弦长为______. 【答案】 【分析】根据圆的标准方程，结合弦心距公式求解即可. 【详解】圆 的圆心 ，半径 . 圆心到直线的距离 . 所以所求的弦长 . 拓展 直线与圆的位置关系求距离的最值 这类问题主要分为两类：一是圆上动点到定直线的距离最值，二是含参数动直线与定圆结合，求圆心到动直线距离的最值，核心方法是数形结合。 第一类，圆上点到定直线距离最值。先求出圆心坐标与半径 r，计算圆心到这条定直线的距离 d。若直线和圆相离，圆上点到直线距离最小值为 d 减 r，最大值为 d 加 r；若直线与圆相交或相切，最小值是 0，最大值为 d 加 r。取得最值的点，都在圆心向直线所作的垂线上。 第二类，动直线和定圆，求距离最值。动直线常常带有参数，优先观察动直线是否恒过定点。找到定点 P 之后，圆心 C 到动直线距离的最大值，就是圆心 C 到定点 P 的距离；最小值是 0，当直线经过圆心时取到。注意，圆心到直线的距离一定小于或等于两点 CP 的长度，依据是点到直线的垂线段最短。 通用解题步骤：第一步，确定圆的圆心、半径；第二步，分析直线是定直线还是动直线，找到直线的固定特征，比如定点；第三步，画出草图，利用几何关系，依靠距离公式推导最值；第四步，检验边界条件，确认对应的直线真实存在。 常见易错点：混淆两类模型，把定点到圆上点距离公式和圆上点到直线距离公式弄混。动直线问题容易忽略直线过定点这个隐藏条件，盲目联立方程增大计算量。计算点到直线距离时，不要漏掉公式分母，符号处理仔细。解答题优先几何法，步骤简洁；选择填空可以直接使用结论快速得到结果。 活学活用 1．（26-27高三上·河北保定·阶段检测）已知点P是直线上的动点，过点P作圆的两条切线，切点分别为M，N，则四边形的面积的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由四边形面积最小，则切线长最小，从而最小，最小值即为圆心到直线的距离，由此计算即可. 【详解】由圆，得圆心，半径， 由题意，四边形的面积为， 在中， 因此，要使四边形的面积最小，只需要最小即可， 此时，即， 所以，， 则四边形的面积的最小值为 2．（26-27高三上·山东滨州·开学考试）（多选）已知圆，直线，则（     ） A．直线上存在点，使得 B．直线被圆截得的弦长为4 C．圆上的点到直线的最大距离为 D．过圆心作直线的垂线，垂足坐标为 【答案】BCD 【分析】先求出圆C的圆心、半径，再计算圆心到直线l的距离，结合点到直线距离公式、弦长公式、直线交点求解等知识逐一判断选项. 【详解】圆的圆心，半径， 则圆心到直线的距离， 因为，所以直线上不存在点，使得，故A错误； 因为，所以直线与圆相交，所以弦长为，故B正确； 因为圆上的点到直线的最大距离为，故C正确； 过圆心作直线的垂线，则垂线的斜率为，所以直线方程为，联立，可解得，所以垂足坐标为，故D正确. 3．（26-27高二上·河南焦作·开学考试）已知实数满足方程，求的最大值和最小值（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意，把转化为圆上一点与原点连线的斜率，设，结合直线与圆的位置关系，列出方程，即可求解. 【详解】由方程，可化为， 表示以为圆心坐标､为半径的圆， 由的几何意义是圆上一点与原点连线的斜率，设，即， 如图所示，当直线与圆相切时，斜率取得最大值或最小值， 此时，解得，所以的最大值为，最小值为. 拓展 圆的弦长与中点弦问题 弦长问题和中点弦问题是直线与圆板块的核心题型，整体以几何法为主，代数法为辅，核心依托垂径定理：圆心和弦中点的连线垂直于这条弦。 弦长求解分为两种方法。几何法：先求圆心到直线的距离 d，圆半径 r，由垂径定理，半弦长、圆心距、半径构成直角三角形，半弦长等于根号下 r 平方减 d 平方，弦长等于两倍半弦长，计算简便，是首选方法。代数法：联立直线与圆方程，得到一元二次方程，当判别式大于零时，利用韦达定理得到两根之和、两根之积，代入弦长公式计算，计算量大，一般在几何条件不足时选用。注意判别式必须大于 0，否则不存在弦。 中点弦问题，常见两类题型：已知弦中点求弦所在直线；已知直线，求弦中点轨迹。已知中点 M，连接圆心 C，直线 CM 的斜率和弦的斜率乘积为负一，由此快速求出弦的斜率，再用点斜式写出直线方程。求中点轨迹，设中点坐标，利用垂直关系建立等式，消去参数得到轨迹方程。轨迹一般是圆内的一段圆弧，不能直接写成完整圆，必须标注范围。 通用解题步骤，先确定圆心与半径。遇到中点弦，优先使用垂径定理转化垂直关系。求弦长优先几何法。算出结果后检验，确认直线和圆有两个交点。 高频易错点：使用点差法求中点弦直线时，只列式不检验，得到不存在的虚弦；混淆中点连线垂直弦这个结论；求轨迹时漏掉取值范围，写成完整圆。解答题尽量用几何性质书写，减少复杂运算，选择填空可以直接套用垂径定理快速得出答案。 活学活用 1．（26-27高三上·湖北·阶段检测）（多选）已知圆：，则下列说法正确的是（   ） A．若过原点作的切线，则其中一条切线的方程为 B．若是上一点，则的最大值为 C．若直线与相交，且交点为，，则有最小值 D．若上到直线（）的距离为的点有且仅有个，则实数的取值范围是 【答案】ABD 【分析】对于A,圆由一般方程化为标准方程即可判断；对于B，可以利用圆的参数方程判断；对于C，直线即，恒过定点，恰在上，所以，两点可以无限接近，C错误；对于D，若上到直线（）的距离为1的点有且仅有2个，等价于圆心到直线的距离小于2，通过点到直线的距离公式即可判断. 【详解】对于A,将配方得标准方程，显然圆心到轴距离为1，一条切线为，A正确； 对于B，令，，则，其中，所以的最大值为16，B正确； 对于C，直线，亦即，恒过定点，恰在上，所以，两点可以无限接近，但不能重合，所以没有最小值，C错误； 对于D，若上到直线（）的距离为1的点有且仅有2个，等价于圆心到直线的距离小于2，即，解得，所以的取值范围是，D正确. 2．（2026·云南昆明·模拟预测）（多选）已知点，圆C：，则下列结论正确的是（   ） A．过点P的直线与圆C都相交 B．点P与圆C上的点之间距离的最大值为5 C．若圆C关于过点P的直线l对称，则直线l的斜率为 D．若过点P的直线l截圆C的弦长最小，则l的方程为 【答案】AD 【详解】对于A项，将点代入圆方程得到，故点在圆内部，所以过点的直线与圆都相交，故A正确； 对于B项，点 到圆心的距离：， 圆内一点到圆上点的最大距离为，故B错误； 对于C项，圆关于直线对称，说明直线是圆的一条直径所在直线，直线必须经过圆心，则直线的斜率为，故C错误； 对于D项，过圆内一点，截得弦长最小的直线满足， 因为，两条垂直直线斜率乘积为，所以直线l斜率， 由点斜式，直线过点得到， 化简得到，故D正确. 3．（26-27高三上·河南许昌·开学考试）（多选）已知直线的方程为（），点，曲线上任意一点均满足（其中为坐标原点），则（   ） A．直线过定点 B．存在实数，使直线与曲线无公共点 C．直线被曲线截得的弦长的最小值为 D．当时，直线被曲线截得的弦长最大 【答案】ACD 【分析】根据题意，先求得曲线的轨迹方程，结合直线的点斜式方程，直线与圆的位置关系和圆的弦长公式，逐项求解，即可得到答案. 【详解】设曲线上任意一点，则，， 因为，可得，整理得， 即曲线是以为圆心，半径为的圆， 对于A，将直线方程，变形为， 因为该式对任意恒成立，则满足，解得， 即直线恒过定点，所以A正确； 对于B，由定点到圆心的距离为， 即点在圆的内部，所以不存在实数，使直线与曲线无公共点，所以B错误； 对于C，因为直线过定点，且，即圆心到直线的最大距离为， 结合圆的性质，可得弦长的最小值为，所以C正确； 对于D，当时，直线的方程为，即， 此时圆心在直线上，即直线过圆心， 此时直线被曲线截得的弦长为圆的直径，此时为最大弦长，所以D正确. 题型 不含参数（含参数）的直线与圆的位置关系 解题贴士 法一抓住直线与圆的位置关系的代数特征，从而转化为对方程的解的研究，这是研究直线与曲线的位置关系的基本方法；法二抓住直线与圆的位置关系的几何特征，从而转化为研究圆心到直线的距离，抓住几何特征对于研究圆的问题特别有效；法三通过判定直线过圆内一定点，从而使问题获证．由上述三种解法可知，解题的切入点不同，解法就有优劣之分．因此，在解题时，审题要慢，要仔细地分析题意，透彻地理解题意，挖掘其中的隐含条件，从而找到解决问题的捷径． ▌例1（26-27高三上·湖南衡阳·开学考试）已知圆：，点关于直线：的对称点在圆上，则（） A．与圆相交 B．与圆相切 C．与圆相离 D．以上都有可能 【答案】C 【分析】先找出对称轴上的定点，由对称性质得该定点到距离相等，写出的轨迹圆；再将轨迹圆与已知圆联立求交点，得到点坐标；计算圆心到直线的距离，对比半径判断直线与圆的位置关系. 【详解】∵圆，∴圆心，半径； 关于直线对称，且原点在直线上， ，， 则，故在圆上， 联立，解得，， ， ∵，∴，得， 所以直线方程为， 圆心到直线的距离：， ，直线与圆相离. ▌例2（26-27高三上·湖北·阶段检测）（多选）已知圆：，直线：（），下列选项正确的有（     ） A．圆的圆心坐标为，半径为5 B．直线恒过定点 C．当时，直线与圆相离 D．直线被圆截得的弦长最小值为 【答案】ABD 【详解】对于A：圆C方程配方整理得. 圆心为，半径，故A正确； 对于B：直线方程变形为. 令且，解得，故直线恒过定点，故B正确； 对于C：定点到圆心的距离为， 定点在圆内部，故对任意，直线与圆恒相交，故C错误； 对于D：当直线时，直线被圆截得的弦长最短，最小弦长为.故D正确． ▌对点练1-1．（25-26高三下·山东烟台·阶段检测）（多选）下列结论正确的是（　　） A．若直线l：与圆O：相交，则点在圆O的外部 B．直线被圆所截得的最长弦长为 C．若圆上有4个不同的点到直线的距离为1，则有 D．若过点作圆O：的切线只有一条，则切线方程为 【答案】AD 【分析】对于A，利用点到圆心的距离大于该圆的半径即可求解，对于 B，通过求出直线恒过的圆内定点，确定过该定点的最短弦长为，对于C，将距离条件转化为圆必须与两条特定的平行直线均产生交点，从而推导出圆的半径必须大于圆心到较远平行线的距离，对于D，由点在圆上即可确定切线的斜率，进而使用点斜式方程即可求解. 【详解】对于A，圆O的圆心为，半径， 其圆心到直线的距离为， 即到圆心的距离，所以点在圆O的外部，A正确， 对于B，整理直线得，令，解得，则直线过定点， 已知圆心为，半径，则， 所以定点在圆内， 经过圆内一点的最长弦即为该圆的直径，长度为， 最短弦长为与垂直的弦，其长度为，故B错误， 对于C，圆上的点到直线的距离为1，则有， 即这些点位于两条平行线上，即， 整理得或， 这两条直线到原点的距离分别为和， 要使圆上有4个不同的点满足条件，则两条直线都应与圆交于两点， 则有，故C错误， 对于D，由题意得在圆上，且，所以过的切线的斜率， 所以切线方程为，整理得，故D正确. ▌对点练1-2．（26-27高三上·江苏泰州·开学考试）（多选）已知圆，圆，圆.、的圆心分别记为、， 直线与圆、、均有两个交点，则（    ） A．圆的半径为 B． C． D．直线可以是 【答案】ABC 【详解】圆的圆心为，半径为，故A正确； 圆的圆心为，半径为，故B正确； 圆的圆心为，半径为， 则，故C正确； 因圆的圆心到直线的距离， 则直线与圆相离，没有公共点，所以直线不可以是，故D错误. ▌对点练1-3．（25-26高二下·云南德宏·期末）（多选）已知直线，圆，则下列说法中正确的是（    ） A．圆心坐标为 B．对，直线与圆一定相交 C．直线被圆截得的最短弦长为 D．当时，圆上存在着4个点到直线的距离为 【答案】ABD 【分析】对于A，将圆一般方程化为标准方程，据此可得圆心坐标；对于B，注意到直线过定点，由定点与圆关系可判断选项正误；对于C，设直线到圆心距离为，求出的最大值，可得弦长最小值；对于D，计算出直线到圆心距离，结合图形可判断选项正误. 【详解】对于A：，从而圆心坐标为，故A正确； 对于B：，则直线过定点，又， 则定点在圆内，则过该定点直线一定与圆相交，故B正确； 对于C：设直线到圆心距离为，直线被圆所截弦长为，圆半径为.由AB分析可得，直线过定点且该点到圆心距离为， 当直线与定点和圆心连线垂直时，最大为，则直线被圆截得的最短弦长为，故C错误； 对于D：当时，直线到圆心距离为，如下图，设直线与圆交于，中点为， 连接并延长交圆于，由垂径定理可得.易得， 则在劣弧上存在两点到直线的距离为，在优弧上也存在两点到直线的距离为， 综上圆上存在着4个点到直线的距离为，故D正确. 题型 由直线与圆的位置关系求参数 解题贴士 解题优先选用几何法，提取圆心坐标与半径，计算圆心到直线的距离，根据相交、相切、相离列出对应不等式或等式。相交要求距离小于半径，相切为距离等于半径，相离是距离大于半径。若直线含参数且恒过定点，先找出定点，结合定点在圆内、圆上或圆外快速判断参数范围。代数法可联立方程，利用判别式判断交点个数。求解后要检验参数，剔除使直线或圆方程失效的解。注意斜率不存在的特殊直线，不能遗漏讨论，避免漏掉部分参数取值。 ▌例1（2026·湖南永州·一模）直线（）与圆相交所得的弦长为，则（ ） A．1 B． C．2 D．3 【答案】C 【分析】先求圆心到直线的距离，再结合弦长的一半、距离、圆半径满足勾股定理列方程求解正数即可. 【详解】圆 的圆心坐标为 ，半径， 则圆心到直线 的距离为， 因此有 ，代入得，化简得 ， 即 ，解得，结合的条件，得. ▌例2（26-27高三上·河南·开学考试）（多选）已知圆：，点是直线：上一动点，则下列选项正确的是（    ） A．将圆与坐标轴的所有公共点顺次连接围成的图形面积为 B．圆心到的距离的最大值为 C．若圆上存在两点关于对称，则 D．若，是圆的一条切线（为切点），则可以为 【答案】ABC 【分析】根据圆的方程求出与坐标轴交点的坐标即可判断A，根据直线过定点即可判断B，利用直线过圆心判断C，根据直角三角形中角的正弦值范围判断D. 【详解】圆，圆心为，半径． 对于A，圆C与坐标轴的公共点围成三角形，且三角形的三个顶点为，，围成的三角形面积为，故A正确； 对于B，直线过定点，圆心C到该定点的距离为，故圆心C到l的距离最大值为，故B正确； 对于C，若圆C上存在两点关于l对称，则l过圆心，由，得，故C正确； 对于D，当时，直线， 圆心到其距离为，由知，， 此时，不能为，故D错误． ▌对点练1-1（2026·广东佛山·模拟预测）（多选）过点作圆：的切线，则的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】先判断点在圆外，分斜率不存在、斜率存在两种情况设切线方程，利用圆心到直线距离等于半径求解切线. 【详解】将代入圆的方程左侧得，故点在圆外，存在两条切线. 当斜率不存在时：直线，过，圆心距，切线：； 当斜率存在时，设，即. 由圆心到切线距离等于半径：，两边平方： ，整理得. 代入得，化简得. 综上所述，切线方程为或. ▌对点练1-2（25-26高二上·福建厦门·阶段检测）已知圆：，直线为（），已知直线与圆相离，若在直线上存在点，在圆上存在两点、，使得，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】通过分析角的最大值，结合直线与圆的位置关系建立不等式求解参数范围，首先明确圆与直线的基本信息，然后结合切线性质分析角的最大值，角度条件转化为距离条件，最后结合直线与圆的位置关系（距离公式）得出不等关系. 【详解】过作分别与圆相切于两点，连接， 在中，由正弦定理得， 当点相对固定时，均为定值，要使得最大， 则需要最大.当时，即与圆相切时，最大， 即为，所以,同理，， 故 即，所以要使圆上存在两点使得只需要 平分只需要 只需要 则直线与圆相交或相切，又已知直线与圆相离， 则弦心距满足           ▌对点练1-3（26-27高三上·四川·开学考试）已知圆：，直线：，若与相切，则________． 【答案】 【分析】先从圆方程读出圆心与半径，利用直线与圆相切时圆心到直线距离等于半径这一核心关系，套用点到直线距离公式列式，化简求解参数． 【详解】圆：的圆心，半径， 圆心到直线：的距离， 因为直线与圆相切，所以， 即，解得． 题型 求直线与圆的交点坐标 解题贴士 求交点坐标核心是联立直线与圆的方程，把直线方程代入圆方程，化简得到一元二次方程。解方程得到 x 的根，再代回直线方程求出对应的 y 值，得到交点。联立前可先用几何法预判交点数量，相切仅有一个公共点，相交有两个，相离无交点。代入消元时注意计算符号，化简仔细，减少运算错误。若方程不好求解，可利用韦达定理辅助验算。遇到直线斜率不存在的情况，单独代入圆方程计算。最后检验解是否同时满足两个原始方程，排除计算产生的增根。 ▌例1（25-26高三下·河北邯郸·阶段检测）（多选）已知圆与y轴正半轴的交点为A，过点A且斜率为1的直线l与圆C的另一个交点为B，若的中点P恰好落在x轴上，则（    ） A．直线的斜率为 B． C． D． 【答案】ABD 【详解】依题意，点，，直线方程为，直线交轴于点， 由点为线段的中点，得，由点在圆上， 得，而，解得，因此， 对于A，直线的斜率为，A正确； 对于B，，B正确； 对于C，，C错误； 对于D，，D正确. ▌例2（25-26高二上·四川成都·期末）设圆的圆心在直线上，且都是圆上的点. (1)求圆的标准方程； (2)若直线与圆相交于两点，求线段中点的坐标. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设出圆的标准方程，代入圆心以及两点坐标，联立解方程组可求得圆的标准方程； （2）利用垂径定理以及两直线垂直的斜率关系，求得直线的方程，并与直线联立解得交点坐标，即可求出线段中点的坐标. 【详解】（1）设所求圆的方程为， 由题意得 解得， 因此所求圆的方程为. （2）设中点为， 由垂径定理可知，，又因为，所以直线的斜率为； 可得直线方程为， 联立，得到中点的坐标为. ▌对点练1-1（25-26高三上·广东潮州·期末）记为坐标原点，若直线与圆交于A，B两点，且，则__________. 【答案】/1.5 【分析】求出圆与轴的交点，利用三角形相似可得，即可得解. 【详解】令，代入圆的方程中，可得， 即圆与轴的两个交点为， 直线过原点且与圆交于两点， 由，可知和相似， 可得，即， 从而， 故答案为： ▌对点练1-2（25-26高二上·河南商丘·阶段检测）在平面直角坐标系中，正方形的对角线所在直线的方程为，且正方形的外接圆的方程为． (1)求正方形的面积； (2)求顶点A的坐标． 【答案】(1) (2)或． 【分析】（1）先求出圆的半径，根据，结合正方形面积公式即可得结果； （2）求出直线的方程，联立直线与圆的方程解方程组即可. 【详解】（1）由圆的一般方程为化为圆的标准方程为． 所以圆心坐标为，半径， 则， 故正方形ABCD的面积为． （2）因为，所以， 则对角线AC所在的直线方程为，即， 由， 整理得，解得，， 所以或， 故顶点A的坐标为或． ▌对点练1-3（25-26高二上·广东·阶段检测）在平面直角坐标系中，圆：，，，与圆另交于点，以为圆心，为半径作圆. (1)求的面积； (2)为圆上一点，为直线上一点，求的最小值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设直线联立得出点的坐标，再结合面积公式计算求解； （2）应用点到直线距离公式计算得出点到圆上的点距离的最值. 【详解】（1）因为，，所以：， 设， 联立，得，由得， 而， 故的面积； （2），于是， 其到的距离， 而， 于是由几何关系知， 故的最小值为 题型 切线与切线长问题 解题贴士 求圆的切线方程一般有三种方法： （1）直接法：应用常见结论，直接写出切线方程； （2）待定系数法； （3）定义法． 一般地，过圆外一点可向圆作两条切线，在后两种方法中，应注意斜率不存在的情况． ▌例1（2026·浙江·二模）已知圆，过点作圆的两条切线，则这两条切线的夹角为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】如图，设过点的切线与圆的切点分别为，连接， 易得，在中，，则， 故这两条切线的夹角为. ▌例2（2026·江苏·模拟预测）已知直线，若绕点顺时针旋转后恰与圆相切，则实数（   ） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】D 【详解】直线，斜率，且点在直线上. 直线顺时针旋转后与原直线垂直，故旋转后直线斜率. 由点斜式得旋转后直线方程，整理得. 圆的圆心为，半径. 直线与圆相切，则圆心到直线的距离等于半径，由点到直线距离公式 化简得，解得或. ▌对点练1-1（2026·安徽池州·二模）已知圆C的圆心在y轴上，若圆C过点且与直线相切，则圆C的半径为（   ） A． B．2 C． D．3 【答案】A 【分析】设圆心坐标为，半径为，由题意列出方程组求解即可. 【详解】设圆心坐标为，半径为， 由题意可得， 解得， 所以圆C的半径为. ▌对点练1-2（2026·广东广州·二模）已知点在圆上，点，当最大时，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】数形结合确定当最大时点位置，即可利用两角和的余弦公式求值. 【详解】设圆的圆心为，则，半径， 过作圆的切线，设交点为，如图， 由图可知，当与圆相切，且点在第四象限时，最大， 因为，所以, 又，所以, 所以. ▌对点练1-3（2026·福建泉州·模拟预测）已知圆，过点作圆的切线，则切线长为______． 【答案】 【详解】由题可知圆的圆心为、半径为，且， 过点作圆的切线，设切点为A， 则切线长. 题型 弦长问题 解题贴士 ①利用垂径定理：半径，圆心到直线的距离，弦长具有的关系，这也是求弦长最常用的方法． ②利用交点坐标：若直线与圆的交点坐标易求出，求出交点坐标后，直接用两点间的距离公式计算弦长． ③利用弦长公式：设直线，与圆的两交点，将直线方程代入圆的方程，消元后利用根与系数关系得弦长：． ▌例1（26-27高三上·河北雄安·开学考试）已知直线：，圆：，若圆被直线分成的两段圆弧弧长之比为3:1，则______. 【答案】或 【分析】先根据弧长之比等于对应圆心角之比，可判断为等腰三角形，再根据圆心到直线的距离为半径的，建立关于的等量关系求解即可. 【详解】设直线与圆M交于A，B两点，圆心为，半径， 因为圆M被直线截得两段弧长之比为3:1，而弧长之比等于对应圆心角之比， 所以两段弧所对的圆心角之比为3:1，故较小弧所对的圆心角为. 设N为弦的中点，则，并且在等腰三角形中，平分圆心角， 所以， 在直角三角形中，， 这说明圆心到直线的距离为. 直线：可化为. 由点到直线的距离公式，得，解得或. ▌例2（26-27高三上·福建福州·开学考试）（多选）已知被、轴截得的弦长分别为、，则下列说法正确的是（    ） A．可以取任意实数 B．满足的有无数个 C．若圆心在上，则的最大值为 D．若圆心在直线上，则的最大值为 【答案】BCD 【分析】先根据圆的弦长公式推导、与圆心坐标的关系，再结合各选项的约束条件逐一判断正误. 【详解】∵ ⊙的方程为，半径， 圆心到轴的距离为，到轴的距离为， 由弦长公式可得，， 且弦长存在，则，，即，. 对选项A：∵，即，不能取任意实数，A错误. 对选项B：若，则，即， 只要满足，即可，符合条件的圆心有无数个， B正确. 对选项C：若圆心在⊙上，则， ∴，，则， 因为，由基本不等式可得，即， 当且仅当时等号成立， ∴的最大值为，C正确. 对选项D：∵，，令，， ∴. ∵圆心在直线上，∴， 代入得：， 结合弦长存在的约束，可得当时，取得最小值， 此时取最大值，故， 由基本不等式可得 ∴，即，∴， 当且仅当（即，结合可解得，满足）时等号成立. 故的最大值为，D正确. ▌对点练1-1（26-27高三上·云南玉溪·阶段检测）（多选）已知点，圆，则下列结论正确的有（   ） A．点与圆上的点之间距离的最大值为 B．点在圆内部 C．若过点的直线截圆的弦长为，则的方程为 D．以为中点的弦所在的直线方程为 【答案】BD 【分析】A.先求出点到圆心的距离，则点到圆上点最大距离是；B.把点代入圆的方程，，所以点在圆内部；C. 先由弦长公式求出圆心到直线的距离，接着分斜率存在和斜率不存在设出对应的方程，求解方程 ； D.由为中点的弦得到弦所在的直线与直线垂直，从而得到斜率，由点斜式求出直线方程. 【详解】已知点，圆 ，则圆心 ，半径 ， 选项 A，， 则点到圆上点最大距离是，故 A 错误； 选项 B，因为，所以点在圆内部，故B 正确； 选项 C，弦长 ，由弦长公式， ，即圆心到直线距离， 直线过，当直线的斜率存在时，设的方程是， 即，圆心到直线距离， ， ， 所以直线的方程是即， 当直线的斜率不存在时，直线的方程是 ，圆心到它的距离 ，也满足条件， 所以的方程为： 或 ，故 C 错误； 选项 D，以为中点的弦，则弦与垂直，， 所以弦所在的直线的斜率 ，又过，所以该直线方程为， 即，故D 正确. ▌对点练1-2（25-26高二上·上海虹口·期中）已知圆：，直线：，设直线与圆相交于，两点 (1)若直线恒过定点，求出点坐标； (2)求弦中点的轨迹方程； (3)相交弦长度的最小值及相应的的值． 【答案】(1) 定点的坐标为； (2) 弦中点的轨迹方程为； (3) 弦长度的最小值为，对应的。 【分析】（1）分离参数求直线恒过定点； （2）利用垂径定理的垂直关系推导中点轨迹； （3）结合弦长公式与距离最值求最短弦长及对应参数. 【详解】（1） 对直线的方程变形：将整理为， 该式对任意实数恒成立，因此需满足，解得， 即定点的坐标为. （2）设弦的中点为，圆的圆心为，由垂径定理可得. 因为在直线上，直线恒过，故，即， 代入，得： ， 展开并配方得， 因为圆内含于圆C,故圆上所有点都符合题意， 所以弦中点的轨迹方程为; （3）设圆心到直线的距离为，圆的半径， 由弦长公式得，因此最大时最小， 由于直线恒过定点，故，当且仅当时取最大值， 计算得，. 此时直线的斜率，由得，解得. ▌对点练1-3（25-26高一下·北京延庆·期末）已知点，圆. (1)设，直线过点且被圆截得的弦长为，求直线的方程； (2)设，直线过点，求被圆截得的线段的最短长度，并求此时的方程. 【答案】(1)或. (2)最短长度为，此时的方程为. 【分析】（1）直线过点，要求的方程，只需求的斜率，对斜率的存在性进行讨论之后，结合点在圆之外，设出直线的方程，由圆半径、弦长、弦心距之间的关系求出直线斜率即可； （2）直线过点，要求的方程，只需求的斜率，由圆的几何性质和相互垂直直线的斜率关系即可求出的斜率，进而求出的方程. 由圆半径、弦长、弦心距之间的关系即可求出此时最短弦的长度. 【详解】（1） 由圆可知，圆心为，半径为， 由可知，， 因为，所以点在圆之外， 显然，当直线的斜率不存在时，与圆相离，不符合题意， 所以直线的斜率存在，设为， 设直线的方程为，即， 所以，圆心到直线的距离，即弦心距， 不妨设直线被圆截得的弦为， 由圆半径、弦长、弦心距之间的关系可得， ，即， 所以，解得或， 所以直线的方程为或，即或， 综上，直线的方程为或. （2） 由可知，， 因为，所以点在圆之内， 不妨设直线被圆截得的弦为， 当时，最短，此时弦心距， 由圆半径、弦长、弦心距之间的关系， 则， 因为直线的斜率，且， 所以直线的斜率为，代入点斜式可得， 直线的方程为，即， 综上，被圆截得的线段的最短长度为， 此时的方程为. 基础通关 1．（26-27高三上·贵州毕节·阶段检测）已知圆的圆心在直线上，若圆与轴相切，且被轴截得的弦长为，则圆的半径为________． 【答案】4 【分析】设出圆心的坐标，再由弦长公式计算可得半径为4. 【详解】由圆心在直线上可设，且圆的半径设为； 又圆与轴相切，所以， 则被轴截得的弦长为，解得, 所以圆的半径为. 2．（25-26高二下·广东深圳·期末）（多选）已知抛物线：，圆：（），与抛物线和圆都相切的直线有条，则（    ） A．当时， B．当时， C．当时， D．的充要条件是且 【答案】ACD 【分析】先根据题意将切线条数问题转化为方程的解的问题，再分别讨论每一个选项时的情况即可判断正误. 【详解】与抛物线相切的直线的切点为，设切线为， 联立抛物线方程得， 因为直线与抛物线相切，所以，解得， 故切线方程整理为， 若该直线同时与圆相切，则圆心到切线的距离等于半径， 代入点到直线距离公式得 ，即方程的解的个数就是公切线的条数， 令，方程转化为， 而 的取值等价于方程的非负实根对应的不同切线条数，每个正根对应2条切线，对应1条切线. 对于A，代入方程得， 该二次方程有一正根一负根，仅正根对应2条公切线，即，故A正确； 对于B，代入方程得，， 当时，,，无解，没有切线；当时，，此时方程的根为，存在两条切线，故B错误； 对于C，代入方程得， 若，则上述方程有一个正根和一个零根，当代入上式得，解得，故C正确； 对于D，若,则方程有唯一解或者有两个解，其中一个解为，另一个解是负数解，故， 当时，此时方程为，另外一个根为，不满足题意； 当时，此时方程为， 另外一个根为，解得，故D正确. 3．（26-27高三上·天津红桥·开学考试）直线：截圆：的弦长为__________． 【答案】 【详解】由题知圆:的圆心坐标为，半径. 设圆心到直线的距离为，. 弦长为. 4．（26-27高三上·四川·阶段检测）已知直线：，圆：，则“”是“直线与圆相切”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【详解】由圆的方程得：圆心坐标为，半径， 点到直线：的距离为. 分析充分性： 若， 则，则直线与圆相切，充分性成立. 分析必要性： 若直线与圆相切，则， 即， 解得或，必要性不成立. 综上，”是“直线与圆相切”的充分不必要条件. 5．（26-27高三上·江西宜春·开学考试）已知圆：，点，（），若圆上存在，两点，使得以，，，四个点为顶点的平行四边形有且仅有1个，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据平行四边形顶点的位置关系，分为平行四边形的对角线和其中一边两种情况分类讨论，分别计算两种情况对应的符合条件的平行四边形个数，由平行四边形有且仅有1个限定出不等关系，解不等式可求出的取值范围. 【详解】易知圆：的圆心为，半径为； 显然，因此点在圆的内部； 点，都在直线上，且该直线过圆心； 若， 由对称性可知在直线两侧分别可构造出两组且互相平行的直线，此时可构成两个以为一边的平行四边形； 除此之外，当与垂直且互相平分时可构成一个以为对角线的平行四边形， 综上可知，一共可以构成三个平行四边形，显然不合题意； 若， 此时在直线两侧无法构造出，此时无法构成以为一边的平行四边形； 因此只有当与垂直且互相平分时可构成一个平行四边形， 此时为平行四边形的对角线，且的中点到圆心的距离不大于半径， 所以， 解得； 当时，或， 此时弦的长为，两点重合，不合题意； 因此可得的取值范围是. 6．（26-27高二上·浙江·开学考试）已知圆（）上到直线的距离为1的点有且仅有3个，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】应用已知条件结合点到直线距离列式计算求解. 【详解】圆心到直线的距离， 结合圆上到直线距离为1的点有且仅有3个，可得. 7．（26-27高三上·河北沧州·开学考试）已知直线：被圆截得的弦长为，则直线的斜率为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据给定条件，利用圆的弦长公式及点到直线距离公式列式求解. 【详解】由直线被圆截得的弦长为， 得圆心到直线的距离为， 因此，整理得，解得， 所以直线的斜率. 8．（26-27高三上·广西南宁·开学考试）已知直线与圆相切，则（     ） A． B． C．或 D． 或 【答案】B 【分析】由直线与圆的位置关系列出方程求解即可. 【详解】因为圆的圆心，半径， 由题意可得， 整理得， 解得. 9．（26-27高二上·全国·课后作业）已知点在圆上，点，，则点到直线的距离的最大值为__________；当最小时，的长度为__________． 【答案】 【分析】根据给定条件，求出直线的方程，利用几何性质，结合点到直线距离公式求出最大值，再作出图形，确定角最小时直线的位置求解. 【详解】依题意，直线的直线方程为，即，圆的圆心，半径为4， 圆心到直线的距离为，因此点到直线的距离的最大值为； 如图：当最小时，直线与圆相切，又，，所以. 10．（26-27高二上·全国·课前预习）已知圆O：，，是圆O上两点，满足，，则( ) 【答案】正确 【分析】由知、两点均在直线上，又在圆上，故、为该直线与圆的交点，联立方程利用韦达定理计算，建立关于的方程求解. 【详解】因为、均在直线上，且在圆上，联立，消去得，所以，. 又，所以. 由条件，得，解得，又，所以，判断正确. 素养提升 1．（26-27高一上·陕西·开学考试）在平面直角坐标系中，，与轴的一个交点的坐标为，为直线上的动点，过点作的切线，，切点为，，则的最小值为______． 【答案】4 【分析】根据，以及点到直线的距离计算. 【详解】由题意得，圆的半径， 因为为切线，所以， 则， 则， 因为点到的距离为， 所以的最小值为，则的最小值为 2．（26-27高三上·湖南衡阳·开学考试）直线分别与x轴、y轴交于A,B两点,点P在圆上,则面积的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】对于,当时,,当时,,所以,, 所以.圆的圆心为,半径, 圆心到直线的距离为, 即直线与圆相离,所以点P到直线的距离的最大值为, 点P到直线的距离的最小值为, 所以面积的最大值为,最小值为, 所以面积的取值范围是. 3．（26-27高三上·广东深圳·开学考试）已知直线，，圆:,则直线被圆截得的最短弦的长度为________． 【答案】 【分析】先求出直线恒过定点，当时， 圆心到直线的距离取得最大值为，由直线被圆截得的弦长公式求解最短弦的长度. 【详解】由，令，得， 所以直线恒过定点， 圆的圆心，半径， 由，可得点在圆内部，即直线与圆始终相交， 因直线被圆截得的弦长公式为，为圆心到直线的距离， 当取最大值时，弦长最短，则当时， ， 此时最短弦的长度为. 迁移创新 1．（2026高三上·全国·专题练习）已知圆，线段在直线上运动，点为上任意一点，若圆上存在两点，，使得成立，则线段长度的最大值为______． 【答案】2 【分析】利用得，则从点向圆作两条切线，设切线夹角，设切线与的夹角为，则，即，可得，所以线段全部落在以为圆心，半径为3的圆内部或圆上，从而可计算线段长度的最大值. 【详解】由圆得圆心，半径. 圆心到直线的距离. 所以直线与圆相离，点在圆外. 因为圆上存在两点，，使得成立， 所以. 所以从点向圆作两条切线，设切线夹角为，则. 设切线与的夹角为，则. 又因为，所以. 所以，则. 所以线段全部落在以为圆心，半径为3的圆内部或圆上. 直线被以为圆心，半径为3的圆截得的弦长为. 所以线段长度的最大值为2. 2．（25-26高三下·湖北武汉·阶段检测）（多选）设动直线与圆相切，且与圆相交于两点、，点为直线上动点，则（    ） A．存在以为直径的圆与相切 B． C． D． 【答案】BCD 【分析】根据中点到直线的距离和的大小。判断直线与圆的位置关系，可判断A的真假；利用平面向量的数量积的运算法则，结合的取值范围，可求的最大值，判断B的真假；结合AB的结论，可求的最小值，判断C的真假；对D，把问题转化为求直线上一点，的最小值问题.再设，，，利用直线对称列式运算求解. 【详解】如图，设直线与圆的切点为，依题意， 对A，以为直径的圆的半径为，点到直线的距离为. 到直线的距离， 又，故以为直径的圆与直线相离.故A错误； 对B，因为. 又，所以. 所以.故B正确； 对C，因为，所以， 因为，所以， 又，所以.故C正确； 对D，由于两点在圆上，且，点到直线的距离为， 求直线上点使得最小等同于求直线上一点，使最小. 设，，，点关于直线的对称点为. 易得直线：， 联立，消去整理得， 整理得，因.则. 所以，，同理，. 所以 ，. 故当时，取得最小值， 所以.故D正确. 3．（25-26高二下·广西南宁·期末）（多选）已知斜率的直线过定点，圆：，为圆上的任意一点，则下列说法正确的是（    ） A．的最大值为 B．的最大值为 C．直线与圆相切时， D．圆心到直线的距离最大为 【答案】BC 【分析】先将圆方程化为标准式确定圆心和半径，再结合几何意义、直线与圆的位置关系、点到直线距离公式逐一分析选项． 【详解】由圆：，得圆心，半径， 对于A，表示点到原点的距离的平方，原点到圆心的距离为， 所以到原点的最大距离为，的最大值为，A错误； 对于B，是直线的斜率，当直线与圆相切时斜率取最值， 由圆心到直线距离等于半径得，解得， 所以最大值为，B正确； 对于C，直线的方程为， 相切时圆心到直线的距离等于半径，即，解得，C正确； 对于D，直线过定点，，但距离取时直线为，斜率不存在， 不符合题干“存在斜率”的要求，故距离的最大值小于，D错误． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $