第2.2讲 直线与圆的位置关系（暑假预习讲义）新高二数学苏教版

函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 第2.2讲直线与圆的位置关系 了内容导航 01预习航标一析目标明方向：预习导航精准定向 02教材全解→建框架精讲解：知识体系系统梳理 03题型突破→析考点·破方法：典型题型深度拆解 题型1判断直线与圆的位置关系 题型2由直线与圆的位置关系求参 题型3过一点求切线方程 题型4切线长 题型5切点弦 题型6圆的弦长与中点弦 题型7圆上到直线距离为定值的点的个数问题 题型8与圆有关的最值问题 04过关检测→练考点强落实：过关检测全面巩固 01 预习航标 关键词 学习目标导航 1.判断直线与圆的位 利用圆心到直线的距离与半径比较：相离、相切、相交。也可联立方程用判 置关系 别式判断。易错：直线方程未化为一般式导致距离计算错误。 己知位置关系（相离、相切、相交），利用距离等于、大于或小于半径列方 2.由直线与圆的位置 程或不等式求参数。易错：忽略相切时距离等于半径，或参数使圆退化的情 关系求参 形。 若点在圆上，切线唯一，利用切点与圆心连线垂直切线求斜率；若点在圆 3.过一点求切线方程 外，切线有两条，需设斜率利用判别式为零或距离等于半径求斜率。易错： 漏掉斜率不存在的情况（竖直切线）。 从圆外一点引两条切线，切线长相等。利用勾股定理（切线长平方等于点到 4.切线长 圆心距离平方减半径平方)求值。易错：误将切线长当作点到切点的距离以 外的线段。 从圆外一点引两条切线，两个切点连线即为切点弦。常考求切点弦方程或长 5.切点弦 度。易错：切点弦与切线混淆，或未正确使用极线方程思路。 1/13 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 弦长利用垂径定理（半弦长、弦心距、半径构成直角三角形）；中点弦涉及 6.圆的弦长与中点弦 中点坐标与斜率关系。易错：弦心距计算错误，或中点弦斜率关系忽略垂直 条件。 7. 圆上到直线距离为 将直线平移（沿法线方向）后与圆相交或相切，判断交点个数。易错：距离 定值的点的个数问题 为定值时，直线两侧平移的两种情况漏掉一侧。 8.与圆有关的最值问常考：圆上点到定点或定直线距离的最值；斜率或截距的最值（转化为切线 题 位置)；利用基本不等式或几何意义。 学习重点：掌握圆心到直线距离与半径比较的判断方法；熟练求切线方程（注意点在圆上或圆外两种 情形)；理解垂径定理在弦长计算中的应用；掌握圆上点到定点、定直线距离最值的几何转化（圆心 加减半径)。 学习难点：过圆外一点求切线时斜率不存在情形的遗漏；切点弦方程的理解与推导；圆上到直线距离 为定值的点的个数中，两侧平移与半径的比较分析；最值问题中几何意义与代数条件的结合，如斜率 最值需转化为切线位置，容易忽略相切条件的唯一性。 02 教材全解 知1识|框|架 2/13 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 几何法：比较圆心到直线距离d与半径rd>r:相离（无交点）d=r:相切（一个 交点)d<r:相交（两个交点） 知识点01： 直线与圆的 判断方法 代数法：联立方程，看判别式△山<0：相离：△=0：相切△>0：相交 位置关系 动直线问题：先找直线所过定点，判断定点与圆的位置关系，可减少讨论 几何法（推荐）：半径r、弦心距d、半弦长/2构成直角三角形 知识点02： 弦长计算 直线与圆相 代数法：联立方程，用韦达定理和弦长公式，计算较繁琐，通常作为备选 交 中点弦 若弦以某点M为中点，则圆心与M连线垂直于弦，利用斜率关系可求弦方程 直线与圆 点在圆上：切线唯一利用切点与圆心连线垂直于切线求斜率，可用切线公式直接写出 的位置关 求切线方程 点在圆外：切线有两条，设点斜式，利用圆心到切线距离等于半径求斜率，注意验证斜 系 率不存在的情况（竖直切线） 知识点03： 直线与圆相 切线长 从圆外一点引两条切线，切线长相等，切线长2=点到圆心距离？，半径 切 从圆外一点引两条切线，两个切点的连线可用替换法直接写出切点弦方程 切点弦 切点弦长可用几何法计算 圆上点到直 线距离的最 最大值：圆心到直线距离+半径，最小值：圆心到直线距离-半径（若为负则最小值 知识点04： 值 为0 直线与圆位 圆的弦长最 置关系中的 值 过园内定点的弦最长弦：过圆心（即直径），最短弦：与定点到圆心连线垂直 最值问题 切线长最值 动点在直线上运动时切线长随点到圆心距离变化，当点与圆心连线垂直于直线时，切 线长最短 ◇知识1精1讲 知识点01直线与圆的位置关系 直线与圆的位置关系的判定 直线与圆的位置关系 相离 相切 相交 图形 d d 代数意义 d>r d=r d<r 交点个数 0 联立直线与圆方程后得到关于x的 △<0 △=0 △>0 “元二次方程 即时即练 (25-26高一下·上海青浦期末)己知P(,%)是圆C:x2+y2=r2内异于圆心的一点，则直线 xx+yy=r2与圆C的位置关系是（) 3/13 西学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 A.相交 B.相切 C.相离 D.不能确定 【方法总结】 1、判断直线与圆位置关系，优先比较圆心到直线距离与半径，避免复杂的联立计算。 2、遇到动直线与圆的位置关系，可以先找到动直线所过的定点，判定定点与圆的位置关系，从而判定动 直线与圆的位置关系的可能性。 知识点02直线与圆相交 1、直线与圆相交弦长 设直线1的方程为y=心+b,圆C的方程为x-a2+y-b2=r2,求弦长的方法有以下几种： ①几阿法雅：半径圆心线的离太弦米IE者具有关系武：+ (2)代数法 将直线方程与圆的方程组成方程组，设交点坐标分别为AX1,y1,B(X2,y2)】 ①若交点坐标简单易求，则直接利用两点间的距离公式进行求解。 ②联立直线与圆的方程，方程组消元后得一元二次方程，由一元二次方程中根与系数的关系可得 X1+x2,X1X2或y1+y2,y1y2的关系式，弦长AB=1+k1X1-x2或AB= 1+ 21y1y2 2π 即时即练 (2026·海南儋州二模)若过点41,0)的直线，的倾斜角为3，则直线，被圆0：x2+y2=4所截得 的弦长为 【方法总结】 求弦长常用两种方法：①几何法，利用弦心距和半径②代数法，联立方程用韦达定理及弦长公式。优 先选几何法，计算更简捷。注意需先确认直线与圆相交。 知识点03j 直线与圆相切 1、求圆的切线方程 (1)定点在圆上：过圆上一点与圆相切的直线有一条 求切线方程：先求切点与圆心连线的斜率k(),则由垂直关系可知切线斜率为衣，由点斜式方程可求得切 线方程.如果k=0或k不存在，则由图形可直接得切线方程 4/13 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 重要结论： ①经过圆x2+y=r2上一点P(xy)的切线方程为xox+yoy=r2 ②经过圆x-a2+y-bP=r2上一点P(x,y的切线方程为x。ax-a+y。-by-b=r ③经过圆x+y2+Dx+Ey+F=0上一点P(X,yo)的切线方程为 xox yoy+D xx+Ey+y+F=0 2 2 (2)定点在圆外：过圆外一点与圆相切的直线有二条 求切线方程 ①几何法（主要方法）：设出切线的方程，利用圆心到直线的距离等于半径，求出未知数的值。 ②代数法：设出切线的方程，利用△=0，求出未知数的值， 2、求切线长 过圆外一点P(x,yo)作圆x-aP+y-b2=r2的切线，切点为A,则切线长PA=x。-a+y。-b-r2 即时即练(25-26高二下河南期中)已知点A(-1,),B(3,3),线段4B为⊙M的一条直径.设过点 C(2,-)且与⊙M相切的两条直线的斜率分别为k,k,则k+k,= 【易错提醒】 若过圆外一点求切线，注意斜率不存在的情况要单独验证，通常有两条切线。切点与圆心连线垂直于切线， 可用此关系求切点坐标。 知识点04直线与圆位置关系中的最值问题 1、圆上的点到直线距离的最值问题 圆上到直线距离最短的距离为过圆心与直线垂直的线PA的长度 2、 圆的弦长的最值问题 5/13 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 过圆内定点P(x,yo)与圆O:x-a2+y-bP=r相交的直线L,交于A,B两点 (1)当直线！过圆心时，即由P点与圆心O点确定直线l,弦长AB取最大值 (2)当直线！与PO所在直线垂直时，弦长AB取最小值 3、圆的切线长的最值问题 过直线上的动点P做圆的切线长，根据勾股定理，PA=PC-AC的长度可以由PC(动点与圆心连 线)，半径AC长来决定。由于半径不变，所以PA根据PC的变化而变化。PC在垂直直线时最短，这时候 PA也是最短的切线长。 即时即练（多选）(25-26高二下·云南期中)已知圆C:(c-2+y2=4和直线1：x-y+4=0,点P在 直线I上运动，直线PA、PB分别与圆C相切于点A,B,则下列说法正确的是() A.圆心C到直线l的距离为3V2 B.切线长PA的最小值为3 C.四边形ACB面积的最小值为2W14 D.当PA最小时，弦AB所在的直线斜率为1 【方法总结】 最值问题优先数形结合（如弦长、切线长、面积），找到跟动点相关的线段的变化，结合半径、直径等去 找最值。 03 题型突破 6/13 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 题型1判断直线与圆的位置关系 【例1】(25-26高二上江苏南京期末)己知直线1：ax+by-r2=0与圆C:x2+y2=r2,若点A(a,b)在 直线上，则直线1与圆C的位置关系是() A.相离 B.相切 C.相交 D.无法确定 【例2】(2026江苏三模)己知点P(m,n)在圆C:x2+y2=4外，则直线mx+四=4与圆C的位置关系为( A.相离 B.相切 C.相交 D.相切或相交 【技巧归纳】 判断直线与圆位置关系，优先用圆心到直线的距离与半径比较，简洁直观。若直线含参数，先看是否恒过 定点，再判断该定点与圆的位置关系：定点在圆内则必相交，在圆上则相切或相交（取决于斜率），在圆 外则需进一步用距离公式讨论。注意斜率不存在时单独验证。 【变式1-1】(2026湖南模拟预测)直线：x+V5y+m=0与圆M:(x-5)+y2=4的位置关系是() A,相离 B.相切 C.相交 D.不能确定 【变式1-2】(25-26高三下云南昭通期中)已知直线1：(2m+m+1x+(m-m-3)y=3m2-2（其中 meR)与圆C:x2+y-4x=0,则直线l与圆C的位置关系是() A,相离 B.相切 C.相交 D.与m的取值有关系 题型2由直线与圆的位置关系求参 【例1】(2026北京高考真题)己知直线ar+y=0与圆x-2)2+0y-2)2=4相切，则a= 【例2】(2026重庆三模)若直线1：a-y+4-2k=0与曲线y=V4-x2有两个交点，则实数k的取值范 围是 【技巧归纳】 由位置关系求参，用圆心到直线距离与半径的不等关系建立方程或不等式求解。若直线含参且过定点，先 判断定点与圆位置关系，可减少讨论： 【变式21】(2026安徽合肥模拟预测)已知圆C:(x-cos0+(0y-sin8=1,若存在0，使得直线 c-y+4k=0与圆C有公共点，则实数k的取值范围是 【变式22】(25-26高二下·上海静安期末)已知单位圆x+y=1与x轴相交于A、B两点，点M是直线 7/13 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 x+y+3=0上的任意一点，若M4MB>0,则实数t的取值范围是 题型3过一点求切线方程 【例1)(25-26高二上江苏无锡期中)过点P(山，2)作圆C：(x-3+y广=8的切线，则切线方程为 【例2】(2026江苏南通三模)圆x2+y2+2x-4y=0在点P(1,)处的切线方程为() A.2x+y-3=0B.2x-y-1=0C.x-2y+1=0 D.x+2y-3=0 【技巧归纳】 点在圆上时，切线唯一，利用切点与圆心连线垂直于切线求斜率，再用点斜式写出方程。点在圆外时，切 线有两条，设点斜式（注意验证斜率不存在的情况），利用圆心到切线距离等于半径列方程求斜率，解出 两个值：若只有一个解，说明另一条切线斜率不存在。 【变式31】(25-26高二下·上海期中)已知圆C:x2+y2-2x+4y-4=0,过点P(5,1)作圆C的切线1， 求切线的方程 【变式32】(25-26高三下·湖南张家界阶段检测)己知圆C:x2+y2-4x+2y-4=0,则过点M(4,2)且 与圆C相切的直线方程为 题型4切线长 【例1】(2026天津南开·二模)已知直线：x+y-1=0(a∈R)是圆C:x2+y2-6x-2y+1=0的对称轴， 过点P(4,)作圆C的一条切线，切点为A,则PA= 【例2】(25-26高二下河南阶段检测)过点P(3,6)作圆C:(x-+(y-3=5的两条切线，切点分别为 A,B,则四边形PACB的面积为(） A.V10 B.210 C.65 D.2√65 【技巧归纳】 利用勾股定理求解。若求最值，转化圆心到点距离最值问题；注意切线长随点与圆心距离增大而增大。 【变式41】(2026天津河西三模)若圆M,(x-1)+(y-m)=25(m<0)被直线3x-4y-7=0所截得 的弦长为6，过点P(-7,5)作圆M的切线，其中一个切点为A,则PA的值为 【变式42】(2026天津河西二模)已知圆心为C的圆经过A(,1),B(2,-2),且圆心C在直线 8/13 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 1:x-y+1=0上，过点P(3,6)作圆C的一条切线，则切线长为， 题型5切点弦 【例1】(25-26高二上浙江舟山阶段检测)过圆0：+y=3外一点P(2)作圆0的切线，切点分别 为M、N,则MN= 【例2】(25-26高二上山东临沂期中)设M是圆G:x+y=9上的一个动点，过M向圆C,:x+y=4 引切线，两切点间的线段称为切点弦，则当点M在C上运动时，切点弦所形成的区域的面积为() 4π 16π 20元 A. B C D 9 9 4π 【技巧归纳】 y+yo 点弦方程用潜换法C将圆方程中的x换为Xx,y换为y少0，X换为)，y换为))直接写出 切点弦长可利用几何法：先求圆心到切点弦距离d,再用2V2-d计算，无需联立求切点。 【变式51】(25-26高二上河北邯郸期中)若过点P(3,4)向圆0：2+y2=5引两条切线，切点分别为A, B,则O到直线AB的距离为() A月 B.1 c.2 D.2 【变式52】(2026山东枣庄三模)过点P(5,3)作圆C:(c-)+y=9的切线，切点分别为A,B,则直 线AB的方程为. 题型6圆的弦长与中点弦 【例】(2026吉林·三模)设直线2x-y=0与圆x2+y-2my+2=0交于A,B两点，若AB=2,则实 数m的值为 【例2】(25-26高二下贵州贵阳期中)（多选）已知直线1：r-y-a+4=0与圆C:(x-2)'+0y-3)2=9 ,则() A.直线1过定点(1,4) B.当a=1时，直线I被圆C所截的弦长为2V万 C.直线1与圆C必然相交，且相交弦最短时直线1的方程为x-y-3=0 D.直线1与圆C必然相交，且相交弦最长时，a=l 9/13 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【技巧归纳】 弦长利用几何法：先求圆心到切点弦距离d,再用2，-d计算。中点弦问题，若弦以某点M为中点，则 圆心与M连线垂直于弦，利用斜率关系求弦方程 【变式61】(2026浙江杭州二模)设直线y=c-k+1与圆x2+y2=4交于4，N两点，则当MN取最 小值时，k=() A.1 B.2 C.-1 D.-2 【变式62】(2026重庆沙坪坝模拟预测)过原点0作直线交圆C:(x-2+(y-V2)矿-1于4，B两点， 弦AB的中点为P,则点P的轨迹长度为() A.3 B.2 D.下 题型7圆上到直线距离为定值的点的个数问题 【例1)(2026四川二模)若圆C:(x-5)+y=r产(>0)上到直线1：x-5y+8=0的距离为6的点刚好 有3个，直线被圆C截得的弦长为. 【例2】(25-26高二上河北唐山期中)若圆(-2)+少=2(>0)上到直线x-5y+4=0距离为1的点 有且仅有2个，则r的取值范围为 【技巧归纳】 根据圆上到直线距离为定值的点的个数来判断与直线平行且与直线距离等于定值的两条直线与圆的位置关 系。可以先找出平行的两条直线，然后根据这两条直线与圆的位置关系来求参数。 【变式7-1】(25-26高二上江苏宿迁·期中)若圆x+(0y+2)=r2(>0)上到直线y=V3x+2的距离为1 的点有且仅有4个，则”的取值范围为」 【变式7-2】(2026浙江绍兴模拟预测)已知b是a,c的等差中项，若圆C:(x-1+(0少-2)}=9上到直线 1:ax+by+c=0的距离为1的点有且仅有3个，则直线l的斜率为() A.或2 B. 3或-3 C.2或-2 D.3或-5 题型8与圆有关的最值问题 【例1】(25-26高二上福建厦门期末)己知点P在直线1：3x+4y+3=0上，过P作圆M: 10113 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 x2+y2-6x-4y+9=0的两条切线，切点为A,B,则∠APB的最大值为 【例2】(2026陕西安康模拟预测)过点M化，-1-)作圆C:2+y2-10x+24=0的两条切线，切点分别 为P,2,若sin∠PM0≤元恒成立，则实数入的取值范围为， 因为 ,所以 Mt,-1-t) x+y+1=0 x2+y2-10x+24=0 (x-5)2+y2=1 所以圆心C(5,0),半径=1， x=t 由M化，-1-)设y=-1-4:化简得x+y+1=0' 即点M恒在直线I:x+y+1=0上， 所以题心C到直线，距离：1-5+0台35>r1, V12+12√2 因为直线与圆相离，所以过M必可作两条切线， 所以：CP⊥MP,设∠CMP=a,则∠PMQ=2a, 所以sina= CMCMsinPMO=sin2a-2sinacosa CM=Vt-5)2+(-1-t-0)2=V22-8t+26」 212-8t+25 所以cosa=v1-sim2a=2rP-8+26 所以sin∠PMQ= 2W2r2-8t+25 22-8t+26 令4=V22-81+25=V2t-2)2+17, 因为-2)2≥0，所以u2V17,且22-81+26=2+1， in∠PMg=24= 2 所 2+1+1,， u 因为/（四=u+在[V而，+o）单调递增，所以u=7时f(u)最小 +1而+1-18 V17V17, 11/13 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 sin∠PMQ)max= 217 所以 18 9, √17 又因为sin∠PM0s恒成立，所以元≥(sin∠PMO)ms= V17 9 7 所以实数，的取值范围为 9 【技巧归纳】 常见模型：圆上点到定点距离的最值、切线长最值、弦长最值，均需先确定圆心和半径，利用几何意义数 形结合来求。 【变式81)】(25-26高三·全国一轮复习)（多选）（多选）己知直线：x-y+5=0,过直线上任意一点 M作圆C:(x-3)2+y=4的两条切线，切点分别为A,B,则有() A.四边形MACB面积的最小值为4V7B.∠MAB最大度数为60 15 C. 直线4B过定点22 D.AB的最小值为V4 【变式82】(2026安徽合肥模拟预测)圆C:(x-1)+()-1=9与直线1：c0s0.x+sin0y=V2(0∈R) 交于A、B两点，则弦长AB的最小值为 04 过关检测 1.(25-26高三下陕西西安阶段检测)直线3x+4y-1=0与圆C:x2+(0y-4)2=25的位置关系是() A.相交 B.相离 C.相切 D.无法确定 2.(25-26高二下·广东广州阶段检测)己知直线x+y=-2与圆(c-a°+(y-b)=4ab(a,b>0)有公共点， 则该圆面积的最小值为() A.43+2V2)π B.44+2V3)m C.45+22)π D.46+4V3)π 3.(25-26高二上江苏泰州：期末)已知点A(2,2):B(1,2)动点p满足：P P-2若动点p的轨迹为 曲线C,直线过点(0,0)，写出一个满足“1与曲线C恰有一个公共点”的直线的方程 4.(2026福建漳州三模)过P(-1,2)作圆(x-1)+y2=4的两条切线，设切点分别为A,B,则直线4B的 12/13 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 方程为. 5.(25-26高二上山东枣庄阶段检测)己知圆C:(x+1)+y=2,点P在直线1：x-y-3=0上运动，直 线PA,PB与圆C相切，切点为A,B,当P4最小时，弦AB所在直线的斜率为 6.(25-26高二上甘肃兰州期末)过直线2x+y-8=0上一点P作圆0：x2+y2=4的两条切线，切点分别 为A,B,则AB的最小值为() A.22 B.v11 C.5 D.42 7.(2026天津西青三模)己知直线1：mx+y+3m-V5=0与圆x2+y2-12交于A,B两点，且AB=2V3 过点A,B分别作直线I的垂线与x轴交于C,D两点，则CD上 8.(25-26高二上江西阶段检测)过直线：x-y-4=0上任意一点9向圆C:x2+y=4作两条切线，切 点为E,F,线段EF的中点为P,则点P到直线I的距离的取值范围为() A.「V5,23 B C.「2,22) D.「2,2W2 9.(25-26高二上云南红河期中)若圆C:(x+)+(y-2)=广2(>0)上有且仅有2个点到直线 4x-3y+6=0的距离为)，则r的取值范围为() 88 D.155 10.(2026江苏镇江·模拟预测)若圆(x-2+y2=4上有且仅有2个点到直线y=k(x+I)(k>0)的距 离为1，则k的取值范围() A.B. 225 13113 第2.2讲 直线与圆的位置关系 内容导航 01 预习航标→ 析目标·明方向：预习导航精准定向 02 教材全解→ 建框架·精讲解：知识体系系统梳理 03 题型突破→ 析考点·破方法：典型题型深度拆解 题型1 判断直线与圆的位置关系 题型2 由直线与圆的位置关系求参 题型3 过一点求切线方程 题型4 切线长 题型5 切点弦 题型6 圆的弦长与中点弦 题型7 圆上到直线距离为定值的点的个数问题 题型8 与圆有关的最值问题 04 过关检测→ 练考点·强落实：过关检测全面巩固 关键词 学习目标导航 1. 判断直线与圆的位置关系 利用圆心到直线的距离与半径比较：相离、相切、相交。也可联立方程用判别式判断。易错：直线方程未化为一般式导致距离计算错误。 2. 由直线与圆的位置关系求参 已知位置关系（相离、相切、相交），利用距离等于、大于或小于半径列方程或不等式求参数。易错：忽略相切时距离等于半径，或参数使圆退化的情形。 3. 过一点求切线方程 若点在圆上，切线唯一，利用切点与圆心连线垂直切线求斜率；若点在圆外，切线有两条，需设斜率利用判别式为零或距离等于半径求斜率。易错：漏掉斜率不存在的情况（竖直切线）。 4. 切线长 从圆外一点引两条切线，切线长相等。利用勾股定理（切线长平方等于点到圆心距离平方减半径平方）求值。易错：误将切线长当作点到切点的距离以外的线段。 5. 切点弦 从圆外一点引两条切线，两个切点连线即为切点弦。常考求切点弦方程或长度。易错：切点弦与切线混淆，或未正确使用极线方程思路。 6. 圆的弦长与中点弦 弦长利用垂径定理（半弦长、弦心距、半径构成直角三角形）；中点弦涉及中点坐标与斜率关系。易错：弦心距计算错误，或中点弦斜率关系忽略垂直条件。 7. 圆上到直线距离为定值的点的个数问题 将直线平移（沿法线方向）后与圆相交或相切，判断交点个数。易错：距离为定值时，直线两侧平移的两种情况漏掉一侧。 8. 与圆有关的最值问题 常考：圆上点到定点或定直线距离的最值；斜率或截距的最值（转化为切线位置）；利用基本不等式或几何意义。 学习重点：掌握圆心到直线距离与半径比较的判断方法；熟练求切线方程（注意点在圆上或圆外两种情形）；理解垂径定理在弦长计算中的应用；掌握圆上点到定点、定直线距离最值的几何转化（圆心加减半径）。 学习难点：过圆外一点求切线时斜率不存在情形的遗漏；切点弦方程的理解与推导；圆上到直线距离为定值的点的个数中，两侧平移与半径的比较分析；最值问题中几何意义与代数条件的结合，如斜率最值需转化为切线位置，容易忽略相切条件的唯一性。 知｜识｜框｜架 知｜识｜精｜讲 知识点01 直线与圆的位置关系 直线与圆的位置关系的判定 直线与圆的位置关系 相离 相切 相交 图形 代数意义 交点个数 0 1 2 联立直线与圆方程后得到关于的一元二次方程 即时即练（25-26高一下·上海青浦·期末）已知是圆内异于圆心的一点，则直线与圆C的位置关系是（   ） A．相交 B．相切 C．相离 D．不能确定 【答案】C 【分析】比较直线到圆心距离与圆半径大小关系，据此可判断选项正误. 【详解】显然圆圆心为，半径为，直线到圆心距离为：， 因在圆内部，则，从而，则直线与圆相离. 【方法总结】 1、判断直线与圆位置关系，优先比较圆心到直线距离与半径，避免复杂的联立计算。 2、遇到动直线与圆的位置关系，可以先找到动直线所过的定点，判定定点与圆的位置关系，从而判定动直线与圆的位置关系的可能性。 知识点02 直线与圆相交 1、直线与圆相交弦长 设直线l的方程为，圆C的方程为，求弦长的方法有以下几种： 1. 几何法(推荐)：半径r、圆心到直线的距离d、弦长l三者具有关系式：. 1. 代数法 将直线方程与圆的方程组成方程组，设交点坐标分别为. ①若交点坐标简单易求，则直接利用两点间的距离公式进行求解. ②联立直线与圆的方程，方程组消元后得一元二次方程，由一元二次方程中根与系数的关系可得或的关系式，弦长或. 即时即练（2026·海南儋州·二模）若过点的直线的倾斜角为，则直线被圆所截得的弦长为________． 【答案】 【分析】先由倾斜角求出直线方程，再计算圆心到直线的距离，结合弦长公式求解直线被圆截得的弦长. 【详解】由直线的倾斜角为，可得直线斜率， 结合直线过点，可得直线的方程为，即. 圆的圆心为，半径， 圆心到直线的距离， 因此，直线被圆截得的弦长. 【方法总结】 求弦长常用两种方法：①几何法，利用弦心距 和半径 ②代数法，联立方程用韦达定理及弦长公式。优先选几何法，计算更简捷。注意需先确认直线与圆相交。 知识点03 直线与圆相切 1、求圆的切线方程 (1) 定点在圆上：过圆上一点与圆相切的直线有一条 求切线方程：先求切点与圆心连线的斜率，则由垂直关系可知切线斜率为，由点斜式方程可求得切线方程.如果或不存在，则由图形可直接得切线方程. 重要结论： 1 经过圆上一点的切线方程为 2 经过圆上一点的切线方程为 3 经过圆上一点的切线方程为 (2) 定点在圆外：过圆外一点与圆相切的直线有二条 求切线方程 1 几何法（主要方法）：设出切线的方程，利用圆心到直线的距离等于半径，求出未知数的值. 2 代数法：设出切线的方程，利用，求出未知数的值. 2、求切线长 过圆外一点作圆的切线，切点为A，则切线长 即时即练（25-26高二下·河南·期中）已知点，，线段为的一条直径．设过点且与相切的两条直线的斜率分别为，，则_________． 【答案】/ 【分析】根据给定条件，利用圆的切线性质列式求解. 【详解】由点，线段为的一条直径，得， 的半径， 由两条切线的斜率均存在，设切线方程为，则， 整理得，因此是方程的两个根， 所以. 【易错提醒】 若过圆外一点求切线，注意斜率不存在的情况要单独验证，通常有两条切线。切点与圆心连线垂直于切线，可用此关系求切点坐标。 知识点04 直线与圆位置关系中的最值问题 1、圆上的点到直线距离的最值问题 圆上到直线距离最短的距离为过圆心与直线垂直的线|PA|的长度 2、圆的弦长的最值问题 过圆内定点与圆相交的直线，交于，两点 （1） 当直线过圆心时，即由点与圆心点确定直线，弦长取最大值 （2） 当直线与所在直线垂直时，弦长取最小值 3、圆的切线长的最值问题 过直线上的动点P做圆的切线长，根据勾股定理，的长度可以由PC（动点与圆心连线），半径AC长来决定。由于半径不变，所以PA根据PC的变化而变化。PC在垂直直线时最短，这时候PA也是最短的切线长。 即时即练（多选）（25-26高二下·云南·期中）已知圆：和直线：，点在直线上运动，直线、分别与圆相切于点，，则下列说法正确的是（   ） A．圆心到直线的距离为 B．切线长的最小值为3 C．四边形PACB面积的最小值为 D．当最小时，弦所在的直线斜率为1 【答案】ACD 【分析】本题先根据点到直线距离公式验证圆心到直线的距离，再利用切线长公式计算切线长的最小值，接着结合四边形面积与切线长的关系求面积最小值，最后依据两圆公共弦与连心线的垂直关系判断弦的斜率，逐一分析各选项得出结论． 【详解】 对于A，如图,圆：的圆心为，半径为2， 由题意可得，， 所以， 圆心到直线的距离为，A正确； 对于B，，B错误； 对于C，， 所以四边形面积的最小值为，C正确； 对于D，当最小时，，为以为直径的圆与圆的交线，，即平行于直线，所以斜率为1，D正确． 【方法总结】 最值问题优先数形结合（如弦长、切线长、面积），找到跟动点相关的线段的变化，结合半径、直径等去找最值。 题型1 判断直线与圆的位置关系 【例1】（25-26高二上·江苏南京·期末）已知直线：与圆：，若点在直线上，则直线与圆的位置关系是（   ） A．相离 B．相切 C．相交 D．无法确定 【答案】B 【分析】依题意可得，再求出圆心到直线的距离，即可判断. 【详解】因为点在直线上，所以，即， 圆：的圆心为，半径为， 所以圆心到直线的距离， 所以直线与圆相切. 故选：B 【例2】（2026·江苏·三模）已知点在圆外，则直线与圆的位置关系为（ ） A．相离 B．相切 C．相交 D．相切或相交 【答案】C 【分析】先根据点与圆的位置关系得出，再根据点到直线距离公式判断出直线与圆的位置关系． 【详解】由题知，圆的圆心为，半径为， 因为点在圆外， 所以，则， 到直线的距离， 所以直线与圆相交． 【技巧归纳】 判断直线与圆位置关系，优先用圆心到直线的距离与半径比较，简洁直观。若直线含参数，先看是否恒过定点，再判断该定点与圆的位置关系：定点在圆内则必相交，在圆上则相切或相交（取决于斜率），在圆外则需进一步用距离公式讨论。注意斜率不存在时单独验证。 【变式1-1】（2026·湖南·模拟预测）直线与圆的位置关系是（    ） A．相离 B．相切 C．相交 D．不能确定 【答案】A 【详解】圆的圆心为，半径为2． 因为圆心到的距离为，所以与圆相离． 【变式1-2】（25-26高三下·云南昭通·期中）已知直线：（其中）与圆C：，则直线与圆C的位置关系是（   ） A．相离 B．相切 C．相交 D．与m的取值有关系 【答案】C 【详解】直线：可变形为： ， 令系数为0，则，解得， 直线恒过定点， 圆C：的标准形式为， 是以为圆心，半径是2的圆， ，故过圆内一点的直线与圆恒相交． 题型2 由直线与圆的位置关系求参 【例1】（2026·北京·高考真题）已知直线与圆相切，则________． 【答案】 【详解】圆的圆心为，半径. 由直线与圆相切，则得， 解得. 【例2】（2026·重庆·三模）若直线：与曲线有两个交点，则实数的取值范围是__________． 【答案】 【分析】先求出直线所过定点，再将曲线转化为，可知其为半圆，结合图象，即可求出的取值范围. 【详解】由题意得，直线的方程可化为，所以直线恒过定点， 又曲线可化为， 其表示以为圆心，半径为2的圆的上半部分，如图. 当直线与该曲线相切时，点到直线的距离， 解得，设，则， 由图可得，若要使直线与曲线有两个交点，则实数， 即实数的取值范围是. 【技巧归纳】 由位置关系求参，用圆心到直线距离与半径的不等关系建立方程或不等式求解。若直线含参且过定点，先判断定点与圆位置关系，可减少讨论； 【变式2-1】（2026·安徽合肥·模拟预测）已知圆：，若存在，使得直线与圆有公共点，则实数的取值范围是______． 【答案】 【分析】根据直线与圆的位置关系即可求解. 【详解】解法一：依题意，圆心到直线的距离， 即，即， 依题意，使得成立，故且，解得， 因此，实数的取值范围是. 解法二：当变化时，圆扫过的图形是以原点为圆心，为半径的圆盘， 故若存在，使得直线与圆有公共点，即直线与圆有交点，得，解得， 因此，实数的取值范围是. 【变式2-2】（25-26高二下·上海静安·期末）已知单位圆与x轴相交于A、B两点，点M是直线上的任意一点，若，则实数的取值范围是______ 【答案】 【分析】先确定单位圆与轴交点、的坐标，设点的坐标为，将用的坐标展开化简，得到关于的表达式，因为在直线上，所以可将表达式转化为仅含的不等式，最后利用一元二次不等式恒成立的条件即可求解. 【详解】令，代入，得，所以， 设直线上任意点， ， 所以 . 由题对任意恒成立，即对满足的所有恒成立， 将代入不等式得 ， 整理为关于的二次不等式 ，对任意恒成立， 因为，二次函数开口向上，只需判别式： 得到 ， 解得. 所以的取值范围是.    题型3 过一点求切线方程 【例1】（25-26高二上·江苏无锡·期中）过点作圆 ： 的切线，则切线方程为_______． 【答案】 【分析】先验证点在圆上，进而求出切线斜率，最后用点斜式写出切线方程并整理． 【详解】将点代入圆的方程左侧，与右侧相等， 所以点在圆上， 由圆的标准方程，得圆心的坐标为， ，所以切线斜率为1， 所以过点的切线方程为，即． 【例2】（2026·江苏南通·三模）圆在点处的切线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求出过点的半径所在直线的斜率，由垂直关系得切线斜率，从而可得切线方程． 【详解】圆的标准方程是，圆心坐标是, 过点的半径所在直线的斜率, 所以所求切线斜率为，切线方程为，即． 【技巧归纳】 点在圆上时，切线唯一，利用切点与圆心连线垂直于切线求斜率，再用点斜式写出方程。点在圆外时，切线有两条，设点斜式（注意验证斜率不存在的情况），利用圆心到切线距离等于半径列方程求斜率，解出两个值；若只有一个解，说明另一条切线斜率不存在。 【变式3-1】（25-26高二下·上海·期中）已知圆，过点作圆的切线，求切线的方程. 【答案】或 【详解】圆即， 所以圆心为，半径， 过点作圆的切线， 所以切线的斜率存在，设切线的方程为，即， 所以，解得或， 所以切线的方程为或. 【变式3-2】（25-26高三下·湖南张家界·阶段检测）已知圆，则过点且与圆相切的直线方程为______. 【答案】或 【分析】分析可知切线的斜率存在，设切线的方程为，利用圆心到直线的距离等于圆的半径可得出关于的方程，解之可得出切线的方程. 【详解】圆的标准方程为，该圆圆心为，半径为， 因为，即点在圆外， 若切线的斜率不存在时，此时切线方程为，则圆心到该直线的距离为，不符合题意； 所以切线的斜率存在，设切线的方程为，即， 由题意可得，整理可得，解得或， 故所求切线的方程为或，即或. 题型4 切线长 【例1】（2026·天津南开·二模）已知直线是圆的对称轴，过点作圆的一条切线，切点为，则_____． 【答案】7 【分析】先利用圆的对称轴过圆心求出的值，再根据切线长公式即可求得结果. 【详解】由圆，可得， 所以圆心，半径为， 又由直线是圆的对称轴，即直线过圆心， 即，解得，即， 则，所以切线长为. 【例2】（25-26高二下·河南·阶段检测）过点作圆的两条切线，切点分别为，则四边形的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据两点间距离公式可得，即可由勾股定理求解，由三角形面积公式即可求解. 【详解】由 可得， 所以，进而可得， 故， 所以四边形的面积为. 【技巧归纳】 利用勾股定理求解。若求最值，转化圆心到点距离最值问题；注意切线长随点与圆心距离增大而增大。 【变式4-1】（2026·天津河西·三模）若圆M：（）被直线所截得的弦长为6，过点作圆M的切线，其中一个切点为A，则的值为_____________． 【答案】 【分析】先利用垂径定理和点到直线的距离公式求出参数，再结合切线的性质通过勾股定理计算切线长. 【详解】求圆心到直线的距离：由圆M：（）知圆M的半径， 已知直线截圆所得弦长为6，由垂径定理可得，圆心到直线的距离满足：，代入，解得. 求：根据点到直线的距离公式得，化简得，解得或， 又，所以，即圆心. 计算切线长： 如图，因为是圆的切线，故，为直角三角形， 其中，， 由勾股定理得. 【变式4-2】（2026·天津河西·二模）已知圆心为C的圆经过，，且圆心C在直线上，过点作圆C的一条切线，则切线长为_______. 【答案】 【详解】设圆心坐标为：，圆的半径为，圆的方程为：， 因为圆过，，且圆心在直线上， 联立方程： ，解得：， 所以圆的方程为：， 则， 所以切线长为. 题型5 切点弦 【例1】（25-26高二上·浙江舟山·阶段检测）过圆外一点作圆的切线，切点分别为、，则_________． 【答案】 【分析】作图，结合图象利用两点间距离公式得，由勾股定理得，最后通过等面积法即可得出结果. 【详解】结合题意，作图如下： 圆的圆心，半径，， 则，， 由圆的对称性可知， 则，解得. 故答案为：. 【例2】（25-26高二上·山东临沂·期中）设是圆上的一个动点，过向圆引切线，两切点间的线段称为切点弦，则当点在上运动时，切点弦所形成的区域的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设是切点弦，连接交于，由求得点到直线的距离，进而求出圆内不在任何切点弦上的点形成的区域的面积，进而求出切点弦区域面积. 【详解】如图所示，是切点弦，连接交于，若圆内的点不在任何切点弦上， 则该点到圆的圆心的距离应小于，这些点构成了以原点为圆心，半径为的圆的内部． 连接，由题意知，，， 则，所以， 则原点到直线的距离为定值， 故切点弦始终与圆相切， 在圆内不与切点弦相交的区域面积为． 所以切点弦所形成的区域为圆与圆之间的圆环， 故所形成的区域的面积为. 故选：C 【技巧归纳】 切点弦方程用替换法（将圆方程中的换为，换为，换为，换为）直接写出。切点弦长可利用几何法：先求圆心到切点弦距离，再用计算，无需联立求切点。 【变式5-1】（25-26高二上·河北邯郸·期中）若过点向圆引两条切线，切点分别为，，则到直线的距离为（    ） A． B．1 C． D．2 【答案】B 【分析】设点、的坐标，结合点、在直线、上，也在圆上，列出式子，化简得到直线的方程，再利用点到直线的距离公式求解. 【详解】设，易知直线的斜率存在，所以直线的方程为， 因为点在直线上，所以，即， 又因为点在圆上，所以，所以可化为， 同理，， 所以直线的方程为， 则到直线的距离. 故选：B. 【变式5-2】（2026·山东枣庄·三模）过点作圆的切线，切点分别为，，则直线的方程为____________. 【答案】 【分析】根据切线的性质易判断，，，四点共圆，且圆心为中点，半径为，进而可以求出新的圆的方程，直线即为公共弦所在的直线，方程即为两个圆方程的差，代入计算即可. 【详解】由题意知，圆心为，半径，点在圆外面， 由切线的性质定理可知，，，即， 所以点，在以为直径的圆上，即，，，四点共圆，且圆心为中点，半径， 设圆心为，根据中点坐标公式，则为，半径， 所以圆的方程为， 因此直线即为圆与圆公共弦所在的直线，方程为两个圆方程的差， 即，化简得， 所以直线的方程为. 题型6 圆的弦长与中点弦 【例1】（2026·吉林·三模）设直线与圆交于，两点，若，则实数的值为______． 【答案】 【分析】求出圆心、半径，结合，利用点到直线距离公式与勾股定理列方程求解即可. 【详解】可化为， 则圆心，半径为，且，即. 圆心到直线的距离. 由垂径定理得，，即，整理得， 解得，此时满足条件， 实数的值为. 【例2】（25-26高二下·贵州贵阳·期中）（多选）已知直线l：与圆C：，则（   ） A．直线l过定点 B．当时，直线l被圆C所截的弦长为 C．直线l与圆C必然相交，且相交弦最短时直线l的方程为 D．直线l与圆C必然相交，且相交弦最长时， 【答案】ABD 【详解】对于A，可整理为： ， 令，则，故直线l过定点，故A正确. 对于B，当时，，圆C：的圆心为 ， 到直线的距离为：， 所以直线l被圆C所截的弦长为，B正确； 对于C，因为，直线l恒过定点在圆内， 所以直线l与圆C必然相交， 当时，直线被圆截得的弦长最短， 由直线的斜率，直线的斜率 ，且 ， 则，所以直线l的方程为，化简可得，故C错误； 对于D，由C知直线l与圆C必然相交，直线过圆心时，相交弦最长， 所以 ，解得：，故D正确. 【技巧归纳】 弦长利用几何法：先求圆心到切点弦距离，再用计算。中点弦问题，若弦以某点为中点，则圆心与连线垂直于弦，利用斜率关系求弦方程. 【变式6-1】（2026·浙江杭州·二模）设直线与圆交于M，N两点，则当取最小值时，（    ） A．1 B．2 C． D． 【答案】C 【分析】由题意得直线过定点，圆心为，所以与垂直时，最小，以此求解即可. 【详解】由题意得，则直线过定点，圆心为，半径， 点到圆心的距离，所以直线与圆相交于M，N两点， 且与垂直时，最小，此时，且，则. 【变式6-2】（2026·重庆沙坪坝·模拟预测）过原点作直线交圆于，两点，弦的中点为，则点的轨迹长度为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先由题意可得P点轨迹是一个圆的一部分,再结合圆的几何性质及弧长公式可得. 【详解】由圆的性质知，故点的轨迹是以为直径的圆位于圆内部的－段圆弧，如图： 因为，所以的中点，且点D在圆C上， 故以为直径的圆的方程为， 设此圆与圆的两个交点为、，所以四边形是边长为1的菱形， 所以，所以为正三角形，且边长为1. 所以，，则弧的长度为． 题型7 圆上到直线距离为定值的点的个数问题 【例1】（2026·四川·二模）若圆上到直线的距离为的点刚好有个，直线被圆截得的弦长为________. 【答案】 【分析】利用点到直线的距离公式求出弦心距，结合题意和直线与圆的位置关系即可求解. 【详解】依题意，圆心为，半径为，所以圆心到直线的距离， 圆上到直线的距离为的点，是圆与到直线距离为的两条平行直线的交点， 圆心到直线的距离， 则圆心到的距离分别为和， 因为交点刚好有个，所以其中一条直线与圆相切，另一条与圆相交， 故半径应等于中较大的一个，即， 所以直线被圆截得的弦长为. 【例2】（25-26高二上·河北唐山·期中）若圆上到直线距离为1的点有且仅有2个，则的取值范围为_____ 【答案】 【分析】先求圆心到直线的距离，再找距离直线为1的两条平行线，通过分析圆与这两条平行线的位置关系，确定半径的取值范围. 【详解】圆的圆心为，半径为. 圆心到直线的距离. 设与直线距离为1的两条平行线为， 由，得或. 则圆心到的距离为，到的距离为. 因为圆上到直线距离为1的点有且仅有2个， 所以圆与这两条平行线一个相交、一个相离，即. 故答案为：    【技巧归纳】 根据圆上到直线距离为定值的点的个数来判断与直线平行且与直线距离等于定值的两条直线与圆的位置关系。可以先找出平行的两条直线，然后根据这两条直线与圆的位置关系来求参数。 【变式7-1】（25-26高二上·江苏宿迁·期中）若圆上到直线的距离为1的点有且仅有4个，则的取值范围为____________. 【答案】 【分析】先确定圆心到直线的距离，再利用圆上的点到直线的距离为1的点有且仅有4个，则，然后解不等式即可. 【详解】圆心到直线的距离，又圆上的点到直线的距离为1的点有且仅有个， 所以，即，解得. 故答案为： 【变式7-2】（2026·浙江绍兴·模拟预测）已知是的等差中项，若圆上到直线的距离为1的点有且仅有3个，则直线的斜率为（    ） A．或 B．或 C．2或-2 D．或 【答案】D 【分析】先根据等差中项性质得到的关系，再由圆上点到直线距离为1的点的个数确定圆心到直线距离，最后结合点到直线距离公式求出直线斜率. 【详解】 因为是的等差中项，所以，即， 由题意可得圆的圆心为，半径， 若圆上到直线距离为的点恰好有个， 则圆心到直线的距离， 根据点到直线的距离公式，圆心到的距离： ，又因为， 所以，整理得，即，， 所以 直线的斜率，因此，即. 题型8 与圆有关的最值问题 【例1】（25-26高二上·福建厦门·期末）已知点在直线：上，过作圆：的两条切线，切点为，，则的最大值为___________________. 【答案】/ 【分析】根据直线与圆的位置关系及几何关系求解即可. 【详解】圆化为标准形式为，圆心，半径. 圆心到直线的距离为，即直线与圆相离. 因为，故， 故当时，最小，此时最大，则也取得最大值.， 此时，所以，所以. 故答案为：. 【例2】（2026·陕西安康·模拟预测）过点作圆：的两条切线，切点分别为，，若恒成立，则实数的取值范围为________． 【答案】 【分析】先将圆的方程化为标准方程，从而得到圆心和半径，然后根据圆的切线性质，结合三角函数关系得到关于的表达式，再通过分析表达式求出的最大值，最后根据不等式恒成立的条件确定的取值范围即可. 【详解】 因为，所以， 所以圆心，半径， 由，设，化简得， 即点恒在直线上， 所以圆心到直线距离：， 因为直线与圆相离，所以过必可作两条切线， 所以：，设，则， 所以， ， 所以，所以， 令， 因为，所以，且， 所以， 因为在单调递增，所以时最小， ， 所以， 又因为恒成立，所以 所以实数的取值范围为. 【技巧归纳】 常见模型：圆上点到定点距离的最值、切线长最值、弦长最值，均需先确定圆心和半径，利用几何意义数形结合来求。 【变式8-1】（25-26高三·全国·一轮复习）（多选）（多选）已知直线，过直线上任意一点作圆的两条切线，切点分别为，，则有（   ） A．四边形面积的最小值为 B．最大度数为 C．直线过定点 D．的最小值为 【答案】AD 【分析】，当时有最小值，求出可判断A；通过计算得到的值可以趋近于,可以任意接近，可以任意接近，从而可判断B；设点，，，求出直线的方程 ，整理得 ，由可得直线AB过的定点可判断C；直线AB所过定点为P，当时，弦长最小，求出的最小值可判断D. 【详解】对于A选项，由题意可知， 当时，有最小值，即，此时， 所以四边形面积的最小值为，故选项A正确； 对于B，当点M在直线l上运动时，的取值范围是，因此 的值可以趋近于,可以无限接近，可以无限接近，故选项B错误； 对于C，设点，，，则， 易知在点、处的切线方程分别为 ， ， 将点分别代入两切线方程得 ， ， 所以直线方程为 ，整理得，代入， 得 ， 解方程组得所以直线过定点，故选项C错误； 对于D，设直线所过定点为，则，当时，弦长最小， 此时，则的最小值为，故选项D正确． 【变式8-2】（2026·安徽合肥·模拟预测）圆与直线：交于、两点，则弦长的最小值为______． 【答案】2 【分析】求出圆心到直线距离的范围，再由弦长、半径、圆心距之间的关系求解. 【详解】因为圆， 所以圆心为，半径， 所以圆心到直线：的距离 ， 因为，所以， 又， 所以当时，. 1．（25-26高三下·陕西西安·阶段检测）直线与圆的位置关系是（   ） A．相交 B．相离 C．相切 D．无法确定 【答案】A 【分析】先求圆心到直线距离，再与半径比较即可判断位置关系. 【详解】由圆，可得圆心，半径， 则圆心到直线的距离为， 故直线与圆相交. 2．（25-26高二下·广东广州·阶段检测）已知直线与圆有公共点，则该圆面积的最小值为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用直线与圆的位置关系得出，再结合基本不等式可求最小值. 【详解】由题意可知，圆心到直线的距离， 因为，所以， 因为，等号成立时，所以， 得， 则该圆面积的最小值为. 3．（25-26高二上·江苏泰州·期末）已知点，，动点满足：.若动点的轨迹为曲线，直线过点，写出一个满足“与曲线恰有一个公共点”的直线的方程______. 【答案】(填也可) 【分析】设，根据两点间的距离公式得到方程，即可求出动点的轨迹为曲线的方程，再设直线的方程为，利用圆心到直线的距离等于半径得到方程，求出的值，即可得解. 【详解】设，因为点，，且动点满足， 所以，整理得， 所以曲线方程为，是以为圆心，半径的圆； 直线过点且与曲线恰有一个公共点，显然直线的斜率存在， 设直线的方程为，即，所以，解得， 所以直线的方程为，即或. 故答案为：（填也可） 4．（2026·福建漳州·三模）过作圆的两条切线，设切点分别为，则直线的方程为___________． 【答案】 【详解】解法一：由图可知，， 所以，所以直线方程为． 解法二：，所以四点均在以为直径的圆上，圆心为，半径为，故圆方程为， 由，得，所以直线方程为． 解法三：直线方程为，即， 故答案为． 5．（25-26高二上·山东枣庄·阶段检测）已知圆，点在直线上运动，直线与圆相切，切点为，当最小时，弦所在直线的斜率为___________． 【答案】1 【分析】根据给定条件，利用切线长定理确定直线与直线的位置关系，再求出直线的斜率. 【详解】由直线与圆相切，得，且， 当且仅当最小时，最小，此时，因此， 所以直线的斜率. 故答案为：1 6．（25-26高二上·甘肃兰州·期末）过直线上一点作圆的两条切线，切点分别为，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】写出以线段为直径的圆的方程，再与圆方程作差得到直线的方程为，再结合点所在直线方程得到直线所过定点，从而得到最小值. 【详解】设，则以线段为直径的圆的方程是， 与圆的方程相减，得，即直线的方程为， 又点在直线上，所以，则，代入直线的方程， 得，则，解得， 所以直线过定点，所以， 数形结合可知的最小值为． 故选：B.    7．（2026·天津西青·三模）已知直线与圆交于A，B两点，且．过点A，B分别作直线的垂线与轴交于C，D两点，则______． 【答案】4 【分析】先由弦长求出直线方程，再得到，两点坐标，从而求出C，D两点坐标，得到C，D两点的距离. 【详解】圆 的圆心为 ，半径 ， 根据弦长公式 （其中 为圆心到直线的距离），， 得，解得， 圆心 到直线 的距离公式为 两边平方并化简得， 所以直线方程是，即， 联立直线 与圆的方程，解得或 则， 因为直线 的垂线斜率为 ， 过 的垂线方程：，令 ，得 , 过 的垂线方程：，令 ，得 , 所以. 8．（25-26高二上·江西·阶段检测）过直线上任意一点向圆作两条切线，切点为，线段的中点为，则点到直线的距离的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设，可得为直径的圆的方程，与已知圆的方程相减可得的方程，进而联立直线方程解方程组可得中点P的坐标，由点P到直线的距离公式和不等式的性质可得． 【详解】∵点为直线上的任意一点，∴可设， 则以为直径的圆的方程为， 化简可得， 与已知圆的方程相减可得的方程为， 由直线的方程为， 联立两直线方程可解得，， 故线段的中点， ∴点到直线的距离， ∵，∴， ∴，∴， ∴，即. 故选：C 9．（25-26高二上·云南红河·期中）若圆上有且仅有2个点到直线的距离为，则r的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先求得圆心到直线的距离，结合图象，需使，求解即得. 【详解】由知圆心为， 因圆心到直线的距离， 作出其图象如下，由图知，要使圆上有且仅有2个点到直线的距离为， 需使，解得． 10．（2026·江苏镇江·模拟预测）若圆上有且仅有2个点到直线（）的距离为1，则的取值范围（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据圆的方程确定圆心和半径再结合直线与圆的位置关系，通过圆心到直线的距离与半径的关系可知，然后解不等式可得的取值范围. 【详解】由题意可得：圆心为，半径，且直线过定点， 因为圆上有且仅有2个点到直线的距离为1， 则圆心到直线的距离满足， ，结合，解得， 故选： D. 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $