2.3 圆与圆的位置关系 (Word讲义)-【满分思维】2026-2027学年高中数学选择性必修第一册学生用书（苏教版）

本讲义聚焦高中数学“圆与圆的位置关系”核心知识点，系统梳理外离、外切、相交、内切、内含五种位置关系，通过代数法（方程组解的个数）与几何法（圆心距与半径关系）构建判断框架，设置知识点填空、诊断分析题及例题变式作为学习支架，帮助学生逐步掌握。 资料以“诊断-探究-拓展”分层设计为特色，诊断分析题（如判断两圆位置关系正误）培养推理意识，探究点例题（如两圆外切求参数、公共弦长计算）强化模型观念与应用意识，图示辅助理解发展几何直观。课中助力教师引导学生逻辑推理，课后通过素养小结与变式练习帮助学生查漏补缺，提升解决问题能力。

2.3　圆与圆的位置关系 【学习目标】 　　1.了解圆与圆的位置关系. 　　2.掌握圆与圆的位置关系的判断方法. 　　3.能用圆与圆的位置关系解决一些简单问题. ◆ 知识点　圆与圆的位置关系 1.两圆的位置关系主要包括:外离、　　　　、　　　　、　　　　和内含.  2.两圆的位置关系的判断: (1)代数法:已知圆C1:x2+y2+D1x+E1y+F1=0(+-4F1>0), 圆C2:x2+y2+D2x+E2y+F2=0(+-4F2>0),圆C1和圆C2的方程联立方程组 我们有如下结论: 方程组无解 方程组仅有一组解 方程组有两组不同的解 两个圆没有公共点 两个圆有且只有一个公共点 两个圆有两个公共点 外离 内含 外切 内切 相交 (2)几何法:第一步,计算两圆的半径r1,r2,第二步,计算两圆的圆心距d,第三步,根据d与r1,r2之间的关系,判断两圆的位置关系. (3)判断标准: 位置 关系 外离 外切 相交 内切 内含 图示 公共点个数 0 1 2 1 0 Δ的值 Δ<0 　　　  　　　  Δ=0 Δ<0 d与r1,r2的 关系 　　　  d=r1+r2 　　　 　　　  　　　  d<|r1-r2| 【诊断分析】 1.判断正误.(请在括号中打“√”或“×”) (1)两圆的方程联立,若方程组有两组解,则两圆相交. (　 ) (2)若两个圆没有公共点,则两圆一定外离. (　 ) (3)若两圆外切,则两圆有且只有一个公共点;反之也成立. (　 ) (4) 若两圆有公共点,则|r1-r2|≤d≤r1+r2. (　 ) 2.(1)在外离、外切、相交、内切和内含的位置关系下,两圆的公切线条数分别为多少? (2)根据代数法确定两个圆的位置关系时,若已知两圆只有一个公共点,能否准确得出两圆的位置关系? ◆ 探究点一　两圆位置关系的判断及应用 例1 (多选题)圆O:x2+y2=1与圆M:(x-a)2+(y-2)2=4的位置关系可能为 (　 )　　　　　　　　　　　　　　　 A.内切 B.相交 C.外切 D.外离 变式 已知圆C1:x2+y2-2x-6y+1=0,圆C2:x2+y2-10x-12y+m=0. (1)当m取何值时,圆C1和圆C2外切? (2)当m取何值时,圆C1和圆C2内切? [素养小结] 判断两圆的位置关系,主要是利用圆心距与半径的和或差的绝对值的大小关系列出关系式,分析求解. ◆ 探究点二　两圆公共弦问题 例2 (1)已知圆C1:x2+(y-2)2=5和C2:(x+2)2+y2=5交于A,B两点,则AB= (　 ) A. B.2 C. D.2 (2)已知圆O1:x2+y2=1与圆O2:x2+y2-2x+2y+F=0(F<1)相交所得的公共弦的长为,则圆O2的半径r= (　 ) A.1 B. C.或1 D. 变式 已知圆C的圆心为(2,1),若圆C与圆x2+y2-3x=0的公共弦所在直线过点(5,-2),则圆C的方程为　　　　　　　　.  [素养小结] 解决两圆公共弦问题的方法如下: (1)当两圆相交时,利用两圆方程相减,可得公共弦所在直线的方程; (2)在由半径、弦心距、弦长的一半为三边边长的直角三角形中,利用勾股定理可求弦长; (3)根据公共弦的中垂线过两圆圆心,可得公共弦的中垂线所在直线的方程. ◆ 探究点三　两圆相切的有关问题 例3 (1)已知半径为2的圆M与圆O:x2+y2=5外切于点P(1,-2),则圆M的方程为　　　　　　　　.  (2)已知圆C1:x2+y2-6x+4y+12=0与圆C2:x2+y2-14x-2y+a=0,若圆C1与圆C2有且仅有一个公共点,则实数a=　　　　.  变式 写出一个半径为1,且与圆x2+y2=1和圆(x-2)2+(y-2)2=1均外切的圆的方程:　　　　　　　　.  [素养小结] 解两圆相切问题时必须准确把握是内切还是外切,若只是已知相切,则必须分两圆内切和外切两种情况讨论.然后将两圆相切转化为两圆的圆心距等于两圆半径之差的绝对值(内切时)或两圆半径之和(外切时)来处理. 拓展 (多选题)已知圆C1:(x-2)2+(y-1)2=1,圆C2:(x+2)2+(y+1)2=1,则下列是圆C1与圆C2公切线的方程为 (　 ) A.y=0 B.4x-3y=0 C.x-2y+=0 D.x+2y-=0 学科网（北京）股份有限公司 $ 2.3　圆与圆的位置关系 【课前预习】 知识点 1.外切　相交　内切 2.(3)Δ=0　Δ>0　d>r1+r2 |r1-r2|<d<r1+r2　d=|r1-r2| 诊断分析 1.(1)√　(2)×　(3)×　(4)√ 2.解:(1)当两圆外离时,有四条公切线;当两圆外切时,有三条公切线;当两圆相交时,有两条公切线;当两圆内切时,只有一条公切线;当两圆内含时,无公切线. (2)不能.已知两圆只有一个公共点只能得出两圆内切或外切. 【课中探究】 探究点一 例1　BCD　[解析] 由圆O:x2+y2=1,可得圆心为O(0,0),半径r1=1.由圆M:(x-a)2+(y-2)2=4,可得圆心为M(a,2),半径r2=2,则圆心距为OM=,又r2-r1=2-1=1,≥2>1,所以圆O与圆M的位置关系可能为相交、外切、外离.故选BCD. 变式　解:将两圆的方程化为标准方程,得圆C1:(x-1)2+(y-3)2=9,圆C2:(x-5)2+(y-6)2=61-m, 则圆心C1(1,3),半径r1=3,圆心C2(5,6),半径r2=(m<61). (1)若两圆外切,则C1C2=r1+r2,即=3+,解得m=57. (2)若两圆内切,则C1C2=|r1-r2|,即=|3-|,解得m=-3. 探究点二 例2　(1)B　(2)D　[解析] (1)由x2+(y-2)2=5和(x+2)2+y2=5相减得弦AB所在直线的方程为x+y=0,点(0,2)到直线x+y=0的距离d==,所以AB=2×=2.故选B. (2)由x2+y2=1与x2+y2-2x+2y+F=0(F<1)相减得公共弦所在直线的方程为2x-2y-1-F=0.圆O2的方程可化为(x-1)2+(y+1)2=2-F,可得圆O2的圆心为O2(1,-1),半径r=,则圆心O2到直线2x-2y-1-F=0的距离d==,则+=r2=2-F,可得F=-3,故r=.故选D. 变式　(x-2)2+(y-1)2=4　[解析] 设圆C的半径为r,r>0,则圆C的方程为(x-2)2+(y-1)2=r2,即x2+y2-4x-2y+5=r2,两圆的方程相减,得公共弦所在的直线的方程为x+2y-5+r2=0.因为该直线过点(5,-2),所以r2=4,则圆C的方程为(x-2)2+(y-1)2=4. 探究点三 例3　(1)(x-3)2+(y+6)2=20　(2)34或14　[解析] (1)由题意知,圆O:x2+y2=5的圆心为O(0,0),半径r=,设所求圆M的圆心为M(a,b).因为圆M与圆x2+y2=5外切于点P(1,-2),所以M,P,O三点共线,且OM=3,所以解得或 当a=-3,b=6时,圆M与圆x2+y2=5外切于点(-1,2),不符合题意;当a=3,b=-6时,圆M与圆O:x2+y2=5外切于点(1,-2),符合题意.所以M(3,-6),故圆M的方程为(x-3)2+(y+6)2=20. (2)设圆C1,C2的半径分别为r1,r2.圆C1的方程可化为(x-3)2+(y+2)2=1,圆C2的方程可化为(x-7)2+(y-1)2=50-a.由两圆相切得,C1C2=r1+r2或C1C2=|r1-r2|.因为C1C2==5,所以r2+1=5或|1-r2|=5,可得r2=4或r2=6或r2=-4(舍去).因此,50-a=16,或50-a=36,解得a=34或a=14. 变式　(x-2)2+y2=1(或x2+(y-2)2=1,填一个即可)　[解析] 设所求圆的圆心为(a,b),则由外切关系可得化简得解得 或故满足条件的圆的圆心为(0,2)或(2,0),故所求圆的方程为(x-2)2+y2=1或x2+(y-2)2=1(填一个即可). 拓展　ABC　[解析] 根据题意知,圆心C1(2,1),C2(-2,-1)关于原点对称,在同一平面直角坐标系内画出两圆,如图所示,显然,圆心距C1C2=2>1+1,则两圆外离,共有4条公切线,又两圆心到x轴的距离都等于其半径,所以x轴是其中一条公切线,故A正确.利用对称性可知,其中一条公切线l1过原点,设其方程为y=kx,又C1(2,1)到公切线l1的距离为1,所以=1,解得k=0或k=;当k=0时,公切线为x轴,当k=时,公切线方程为y=x,即4x-3y=0,故B正确.由对称性可知,公切线l2,l3与直线C1C2平行,易知==,所以直线C1C2的方程为y=x,可设l2,l3的方程分别为y=x+c,y=x-c(c>0),由两平行线间距离公式可得=1,可得c=,即公切线l2,l3的方程分别为y=x+,y=x-,整理可得两公切线方程为x-2y+=0和x-2y-=0,故C正确,D错误.故选ABC. 学科网（北京）股份有限公司 $