2.1 圆的方程（讲义）数学苏教版高二选择性必修第一册

第二章 圆与方程 2.1 圆的方程 课标要点 1.探索并掌握圆的标准方程，能根据圆心、半径写出圆的标准方程，也能由圆的标准方程读出圆心坐标与半径。 2.会推导圆的一般方程，识别圆一般方程成立的条件，实现圆的标准方程与一般方程之间的相互转化。 3.能根据不同条件，选用合适形式求解圆的方程，运用圆的方程解决简单的实际几何问题。 学习重难点 重点： 1.圆的标准方程的理解与应用，利用圆心、半径条件快速写出标准方程。 2.圆的一般方程的识别，掌握一般方程化为标准方程的配方法。 3.根据题目给出的几何条件，待定系数法求圆的方程。 难点： 1.辨析二元二次方程表示圆的前提条件，区分方程表示圆、点、无轨迹的情况。 2.结合几何性质，灵活选用标准方程或一般方程，减少计算量求解圆方程。 3.利用圆的方程处理几何问题，将几何条件转化为代数方程，数形结合分析。 知识点 圆的标准方程 ，其中为圆心，为半径． （1）如果圆心在坐标原点，这时，圆的方程就是．有关图形特征与方程的转化：如：圆心在x轴上：；圆与y轴相切时：；圆与x轴相切时：；与坐标轴相切时：；过原点： （2）圆的标准方程圆心为，半径为，它显现了圆的几何特点． （3）标准方程的优点在于明确指出了圆心和半径．由圆的标准方程可知，确定一个圆的方程，只需要a、b、r这三个独立参数，因此，求圆的标准方程常用定义法和待定系数法． 特别提醒 圆的标准方程为(x−a)2+(y−b)2=r2，圆心(a,b)，半径r。注意圆心坐标是(a,b)，方程里是减号，若出现(x+2)2，实际对应a=−2，极易符号出错。半径r必须大于 0，r2是等式右侧常数，不要直接当成半径。求圆方程时，优先找到圆心和半径。圆心为原点时，方程简化为x2+y2=r2。解题记得结合图形，利用圆心到点的距离判断点与圆的位置关系。 易错提醒 书写标准方程时常误把括号内加号对应正的圆心坐标，这是高频错误。不要将r2直接当作半径，忘记开方。当题目给出直径两端点，套用公式时要正确计算圆心中点与半径，半径是直径长度的一半。判断点和圆位置关系，比较点到圆心距离与半径大小，不要和r2直接对比。题目隐含条件中半径大于零，若算出r2为负数，说明不存在这样的圆，要及时舍去。 教材延伸 圆的标准方程体现数形结合思想，圆心决定圆的位置，半径决定圆大小。已知圆上两点不能唯一确定圆，三点不共线才可确定唯一圆。直径式方程可由标准方程推导，若直径端点为(x1,y1)、(x2,y2)，则(x−x1)(x−x2)+(y−y1)(y−y2)=0，适合快速写圆方程。可以利用标准方程研究圆的平移，圆心平移，半径不变。后续直线与圆、圆与圆位置关系，都以标准方程为基础，通过圆心距和半径大小比较判断，是解析几何学习的基础工具。 随学随练 1．（26-27高三上·江苏苏州·开学考试）由曲线围成的图形的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先利用曲线方程化简，取确定圆在第一象限的部分，再根据绝对值呈现出的对称性作图，由图计算面积即可. 【详解】曲线可化为， 当时，解析式为， 易知曲线关于轴，轴，原点对称， 由题意作出图形： 则此曲线所围成的图形由一个边长为的正方形与四个半径为的半圆组成， 所以曲线围成的图形的面积为. 2．（2026高三·全国·专题练习）圆心在x轴上，半径为2，且过点的圆的方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】确定圆的圆心与半径，从而根据圆的标准方程进行求解. 【详解】设圆心为，根据圆过点且半径为2， 可得，解得，即圆心坐标为. 因此所求圆的方程是． 3．（26-27高二上·全国·课堂例题）根据下列条件，求圆的标准方程． (1)圆心在，且过点； (2)以，为直径的两个端点的圆； 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据条件求圆心和半径，再求圆的标准方程即可. （2）根据条件求圆心和半径，再求圆的标准方程即可. 【详解】（1）由条件可知，圆心为， 所以圆的标准方程为. （2）由题意得，所以半径， 由中点坐标公式得圆心为， 所以圆的标准方程为. 知识点 点和圆的位置关系（重点） 如果圆的标准方程为，圆心为，半径为，则有 （1）若点在圆上 （2）若点在圆外 （3）若点在圆内 特别提醒 判断点与圆的位置关系，核心是比较点到圆心的距离 d 和半径 r 的大小。d＞r，点在圆外；d＝r，点在圆上；d＜r，点在圆内。计算距离时，可直接代入圆标准方程，比较代入后式子的值与r2，不用开根号，简化运算。注意区分点坐标代入后的结果，不要混淆不等号方向。审题看清是圆的标准方程还是一般方程，找准圆心坐标，警惕圆心符号陷阱。若题目含参数，要结合位置关系列出不等式求解参数范围。解题优先数形结合，画出草图辅助判断，注意题目隐藏条件，排除参数造成的无效情况。 随学随练 1．（25-26高二上·贵州遵义·期末）（多选）已知点在圆的内部，则点的坐标可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】AB 【分析】依次求点到圆心的距离进行判断即可. 【详解】对A：因为，所以点在圆内； 对B：因为，所以点在圆内； 对C：因为，所以点在圆上； 对D：因为，所以点在圆外. 故选：AB 2．（2026·山东·一模）点与圆的位置关系是（    ） A．点P在圆上 B．点P在圆外 C．点P在圆内且不是圆心 D．点P在圆内且是圆心 【答案】C 【分析】将圆方程变为标准方程，可得圆心和半径，根据两点间距离公式，可得点P到圆心的距离，分析即可得答案. 【详解】圆变为标准方程为， 圆心为，半径， 所以点P到圆心的距离， 所以点P在圆内，且不是圆心. 故选：C 3．（25-26高二上·湖南张家界·期末）已知圆的标准方程是，下列各点在圆内的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题利用点到圆心的距离与半径的大小关系判断即可。 【详解】因为圆的标准方程是，所以圆心在原点，半径， 选项A， ，所以点在圆外； 选项B， ,所以点在圆上； 选项C， ,所以点在圆内； 选项D， ,所以点在圆上； 故选：C 知识点 圆的一般方程 当时，方程叫做圆的一般方程．为圆心，为半径． 由方程得 （1）当时，方程只有实数解．它表示一个点． （2）当时，方程没有实数解，因而它不表示任何图形． （3）当时，可以看出方程表示以为圆心，为半径的圆． 特别提醒 圆的一般方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0，一定要牢记前提条件D2+E2−4F>0，不满足时方程不表示圆。当D2+E2−4F=0，仅表示一个点；小于 0 则无轨迹。配方转化为标准方程时，注意符号变化，圆心为(−2D​,−2E​)，极易漏掉负号。求圆的一般方程常用待定系数法，代入三点坐标列方程组求解。做题时区分一般方程与二元二次方程，x2与y2系数必须相等且不为 0，不能含有xy交叉项。求出参数后代回检验，保证满足判别条件，避免写出不存在的圆。 随学随练 1．（25-26高二上·安徽淮北·期末）已知函数的图象与轴交于、两点，与轴交于点. (1)求经过、、三点的圆的方程； (2)圆是否经过某定点（其坐标与无关）?请说明理由. 【答案】(1)或 (2)是，理由： 由（1）知圆的方程为或， 令，解得或， 故圆过定点和. 【分析】（1）设圆的方程为，在该圆的方程中，令，可知方程与方程是同一个方程，可得出、的值，然后令，得到方程，此方程有一个根为，可求出的值，即可得出圆的方程； （2）在圆的方程中，令，可求出圆所过定点的坐标. 【详解】（1）由题意知，解得或， 设所求圆的方程为， 由题意知函数的图象与两坐标轴的三个交点即为圆与坐标轴的交点. 在圆的方程中，令，得，这与是同一个方程，故，. 令，得，此方程有一个根为，代入此方程得，解得， 综上可知，圆的方程为或 （2）略 2．（25-26高二上·内蒙古包头·阶段检测），，.三角形的外接圆方程为_______. 【答案】 【分析】设出三角形外接圆的一般式方程，利用待定系数法列式求解. 【详解】设的外接圆方程为， 依题意得，解得， 故所求圆的方程为. 故答案为： 3．（2026·吉林长春·一模）过，，三点圆的方程为____________. 【答案】（或）（两种形式均正确） 【分析】设圆的一般方程，利用待定系数法求解. 【详解】设所求圆的方程为， 由已知三点在圆上，， 解得， 所以圆的方程为，即. 故答案为：（或）（两种形式均正确）. 知识点 用待定系数法求圆的方程的步骤 求圆的方程常用“待定系数法”．用“待定系数法”求圆的方程的大致步骤是： （1）根据题意，选择标准方程或一般方程． （2）根据已知条件，建立关于或的方程组． （3）解方程组，求出或的值，并把它们代入所设的方程中去，就得到所求圆的方程． 轨迹方程 求符合某种条件的动点的轨迹方程，实质上就是利用题设中的几何条件，通过“坐标法”将其转化为关于变量之间的方程． 1．当动点满足的几何条件易于“坐标化”时，常采用直接法；当动点满足的条件符合某一基本曲线的定义（如圆）时，常采用定义法；当动点随着另一个在已知曲线上的动点运动时，可采用代入法（或称相关点法）． 2．求轨迹方程时，一要区分“轨迹”与“轨迹方程”；二要注意检验，去掉不合题设条件的点或线等． 3．求轨迹方程的步骤： （1）建立适当的直角坐标系，用表示轨迹（曲线）上任一点的坐标； （2）列出关于的方程； （3）把方程化为最简形式； （4）除去方程中的瑕点（即不符合题意的点）； （5）作答． 特别提醒 待定系数法求圆的方程，优先根据条件选方程形式。已知圆心、半径信息选标准方程；已知圆上多点，选用一般方程，减少计算难度。列式时仔细核对符号，代入坐标计算方程组，防止计算出错。求出参数后，若是一般方程，必须验证D2+E2−4F>0，确认方程能够表示圆。求解轨迹方程，要注意设点，挖掘几何条件转化为代数式子，化简之后，务必标注变量取值范围。轨迹问题要区分完整圆或是部分圆弧，很多情况需要剔除不符合几何约束的点。最后检验特殊点，确认是否满足题干条件，避免增根或者漏解。 随学随练 1．（25-26高二上·浙江杭州·期中）已知为坐标原点． (1)求直线的方程，并求直线中垂线的方程； (2)求的周长与面积； (3)求的外接圆方程与内切圆方程． 【答案】(1)； (2)周长；面积 (3)外接圆方程；内切圆方程 【分析】（1）先求出直线及其中垂线的斜率，再求出的中点坐标，即可根据点斜式求出直线方程； （2）根据两点间距离公式分别求出，即可得的周长，根据即可求出的面积； （3）设外接圆的圆心为，根据的中垂线与的中垂线的交点即为外接圆的圆心求出，再求出其半径，即可得外接圆方程；设的内切圆的圆心为，利用三角形的面积公式求出内切圆半径，再根据点到的距离等于，列出方程求出，即可得内切圆方程. 【详解】（1）    因为，所以， 所以直线的方程为，整理可得. 因为的中垂线和直线垂直，所以中垂线的斜率为， 又因为的中点，所以直线中垂线的方程为， 整理可得； （2）因为，， . 所以的周长为， 的面积为； （3）    设外接圆的圆心为，半径为. 由（1）知中垂线的方程为①， 又因为的中垂线方程为，将其代入①可得， 所以外接圆的圆心为. 其外接圆的半径， 所以的外接圆方程为.    设的内切圆的圆心为，半径为. 由（2）知的周长为20，面积为， 所以的面积 ，解得. 又因为点到的距离等于， 则，解得. 所以的内切圆的方程为. 2．（25-26高二上·广东深圳·期末）过三角形外接圆上异于三角形顶点的任意一点作三边的垂线，则三垂足点共线，此线常称为点关于三角形的西姆松线．已知的三个顶点坐标分别为，点为外接圆上横坐标最大的点，则点到关于的西姆松线的距离为___________． 【答案】/ 【分析】先根据顶点坐标求出外接圆的方程，进而得到点的坐标，再求出点到两边的垂足坐标，从而求出西姆松线方程，最后根据点线距即可求解. 【详解】方法一：因为， 所以为直角三角形，如图， 所以外接圆的圆心为的中点，半径为， 所以外接圆的方程为. 因为点为外接圆上横坐标最大的点，所以点的横坐标为， 将代入圆方程中，解得，所以. 过点作边（轴）的垂线，垂足为，则； 过点作边的垂线，垂足为， 由截距式可知直线的方程为，即，其斜率为， 所以直线的斜率为，由点斜式可得直线的方程为，即. 联立直线的方程与直线的方程得，解得， 即. 由，得直线（关于的西姆松线）的方程为，即， 所以点到关于的西姆松线的距离为. 故答案为：. 方法二：设外接圆的方程为， 将点的坐标代入圆的方程得 ，解得， 所以外接圆的方程为，即， 下同方法一. 3．（25-26高二上·山东枣庄·期末）已知的三个顶点分别是， (1)求边BC所在的直线方程； (2)求过A，B，C三点的圆的方程． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先求出的斜率，再利用点斜式求解； （2）设圆的一般方程，代入已知点，解方程组求出系数，进而求解． 【详解】（1）已知，则， 所在直线方程为，即． （2） 设圆的一般方程为， 代入点得①， 代入点得②， 代入点得③， 联立①②③解得， 圆的一般方程为，标准方程为． 拓展 定点到圆上点的最值问题 这类问题核心思想是数形结合，不用联立复杂方程，依靠圆心、定点、圆上三点的位置关系求解。题目一般给出一个定点 P 和定圆，求 P 到圆上动点 M 距离的最大值与最小值。 第一步，先确定圆的圆心 C 和半径 r。利用两点间距离公式，算出定点 P 到圆心 C 的距离，记作 d。分三种情况讨论：第一种，定点 P 在圆外，也就是 d 大于 r。此时连接 P、C 两点，直线 PC 与圆交于两点。靠近 P 的交点，就是距离最小点，最小值等于 d 减 r；远离 P 的交点，是距离最大点，最大值等于 d 加 r。第二种，定点 P 在圆上，也就是 d 等于 r。最小值为 0，此时 P 本身就是圆上一点；最大值为 2r，也就是直径长度。第三种，定点 P 在圆内部，d 小于 r。直线 PC 延长交圆，两点分别对应最值。最小值是 r 减 d，最大值是 r 加 d。 解题通用步骤：先写出圆的方程，求出圆心和半径；计算定点到圆心的距离；对比距离与半径大小，判断定点在圆内、圆上还是圆外；套用公式写出最值。 常见易错点：容易不分内外，直接写 d 加减 r，忽略定点在圆内时最小值是 r-d。另外，最值对应的点一定在定点与圆心的连线上，其他圆上点的距离都不是最值。如果题目求距离平方的最值，直接对距离最值平方即可，不用单独再列式。 拓展题型：定点到圆上点构成线段的最值，还可以延伸为角度、向量数量积最值，都依托这个模型。解答题可以用代数法设圆上点坐标联立验证，但考试优先几何法，计算简单，节省时间。选择填空可以直接套用结论快速出结果，大题最好简单说明几何依据，保证步骤完整。 活学活用 1．（26-27高二上·全国·课后作业）已知半径为3的圆经过点，则其圆心到原点的距离的最小值为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】求得动圆圆心轨迹方程，根据圆上点到直线距离最值计算公式计算求解. 【详解】半径为3的圆经过点，可得该圆的圆心轨迹是以为圆心，3为半径的圆，，， 所以圆心到原点距离的最小值是． 2．（26-27高三上·湖南衡阳·开学考试）已知点O是坐标原点，点M是圆上的动点，当动点P在直线上运动时，的最小值为______. 【答案】12 【分析】求点关于直线对称的点为，根据圆的性质结合图形分析求解即可. 【详解】如图， 设点关于直线对称的点为， 则，解得，即， 由得，其圆心为，半径， 则， 当且仅当P，M均在线段AC上时，取得最小值12. 3．（25-26高二下·云南曲靖·期末）设为圆上任意一点，点，则的最大值为（    ） A．2 B．6 C．8 D．9 【答案】C 【详解】因为，所以点在圆外，又, 故的最大值为. 拓展 圆上的点到定直线的最值问题 本类问题核心思路依旧是数形结合，借助圆心到定直线的距离分析，不需要联立复杂方程。题目给出定圆与一条定直线，求圆上动点到这条直线距离的最大值与最小值。 第一步，先从圆的方程提取圆心坐标与半径 r，利用点到直线距离公式，计算圆心 C 到定直线的距离，记为 d。接下来分两种情况讨论：第一种，直线和圆相离，d 大于 r。过圆心作定直线的垂线，垂线与圆产生两个交点。靠近直线的交点，就是圆上点到直线距离最小的点，最小值等于 d 减去 r；远离直线的交点，为距离最大点，最大值等于 d 加上 r。第二种，直线与圆相交或者相切，d 小于等于 r。此时直线穿过圆或者和圆刚好接触，圆上存在点落在直线上，所以距离最小值是 0；最大值为 d 加上 r。 通用解题步骤：求出圆心、半径；计算圆心到直线距离；判断直线与圆位置关系；套用公式写出最值。 常见易错提醒：最值对应的点全部落在圆心向直线所作的垂线上，其他圆上点无法取得最值。看清题目求的是距离还是距离的平方，若是平方，求出距离最值之后再平方即可。解答题优先用几何法，简洁高效；选择填空可以直接使用结论。要注意区分该模型和定点到圆上点的最值，不要混淆公式。如果直线含参数，需要分析直线过定点，再结合圆的几何性质求最值。 活学活用 1．（2026·陕西·一模）已知圆，直线.设为圆上的一动点，则到直线的最大距离为____. 【答案】 【分析】先求得圆心到直线的最大距离，再根据圆周上的点到直线距离的最大值为即可求解． 【详解】圆心，半径为， 直线过定点， 圆心到直线的最大距离， 所以到直线的最大距离为. 2．（25-26高二下·云南大理·期中）在直角三角形中，，，，点为其内切圆上一点，则的取值范围为_________． 【答案】 【分析】建立平面直角坐标系，利用解析法求解. 【详解】以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴建立平面直角坐标系， 则，，， 设三角形内切圆半径为，则， 即，解得，所以圆心为， 故圆的方程为，设， 则 3．（2026·湖北荆州·一模）已知点分别在圆上运动，点M在直线上运动，则的最小值为（    ） A． B．3 C． D．4 【答案】B 【分析】根据对称求解圆的圆心，进而根据对称，结合三点共线即可求解. 【详解】如图，作圆关于直线对称的圆， 设，则，解得，则 连接与圆相交于点,连接与圆相交于点,关于直线对称的点记为， 则（当M，，共线时取等号）， （当M，，共线时取等号）， 由于，则， 因此，当M，，共线时取等号，所以所求最小值为3. 题型 圆的标准方程 解题贴士 确定圆的方程的主要方法是待定系数法，即列出关于a、b、r的方程组，求a、b、r或直接求出圆心和半径r，一般步骤为： （1）根据题意，设所求的圆的标准方程为； （2）根据已知条件，建立关于a、b、r的方程组； （3）解方程组，求出a、b、r的值，并把它们代入所设的方程中去，就得到所求圆的方程． ▌例1（25-26高二上·福建厦门·阶段检测）若，满足，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】，几何意义是点到原点的距离的平方. 【详解】，化为标准方程为， 所以点在以为圆心，为半径的圆上. 的几何意义是点到原点的距离的平方， 在平面直角坐标系中画出草图，分析可知， 当三点共线且在中间时， 距离取最小值为， 所以的最小值为. ▌例2（2026高二·全国·专题练习）圆关于直线对称的圆的方程为___________． 【答案】 【详解】由圆，将其化为标准式可得， 所以圆心坐标为，半径为， 由圆与圆关于直线对称，则可得圆心坐标为，半径为， 所以圆的标准方程为. ▌对点练1-1．（25-26高二下·云南昭通·期末）若直线是圆的一条对称轴，则______________． 【答案】2 【详解】由题可知圆心为，因为直线是圆的对称轴，所以圆心在直线上， 即，解得． ▌对点练1-2．（25-26高一下·江西宜春·阶段检测）已知圆上有两点关于直线对称，则的最小值为（   ） A． B．3 C．4 D．8 【答案】C 【分析】先由圆的对称性推出圆心在已知直线上，得到与的和为定值，再通过基本不等式求目标式的最小值. 【详解】若圆上存在两点关于某直线对称，则该直线为圆的对称轴，必过圆心. 已知圆的圆心为，将其代入直线方程， 可得. 而. 根据基本不等式，对正实数有， 令，则， 当且仅当时，即时等号成立. 代入得，联立与， 解得，满足，等号可取，故的最小值为4. ▌对点练1-3．（2026·山西忻州·模拟预测）圆的圆心到直线的距离为（  ） A． B．2 C． D．3 【答案】C 【分析】根据题意，求得圆心的坐标，结合点到直线的距离公式，即可求解. 【详解】将圆，化为，可得圆心为， 圆心到直线的距离为． 题型 圆的一般方程 解题贴士 1、若一个圆可用一般方程表示，则它具备隐含条件，解题时，应充分利用这一隐含条件． 2、一般地，当给出了圆上的三点坐标，特别是当这三点的横坐标和横坐标之间、纵坐标和纵坐标之间均不相同时，选用圆的一般方程比选用圆的标准方程简捷；而在其他情况下的首选应该是圆的标准方程，此时要注意从几何角度来分析问题，以便找到与圆心和半径相联系的可用条件． ▌例1（2026高二·全国·专题练习）已知圆的圆心在直线上，且圆过点，. (1)求圆的一般方程； (2)若圆与圆关于直线对称，求圆的标准方程. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设圆的一般方程，结合已知列方程求解的值，即可求得圆的一般方程； （2）由于圆与圆关于直线对称，根据点关于直线对称坐标特点求得的坐标，则得圆心，由对称可知半径不变，故可得圆的标准方程. 【详解】（1）设圆C的方程为，其圆心为， 已知圆的圆心在直线上，且圆过点，， 则，解得，即圆C的方程为； （2）由（1）得圆C的圆心，半径， 设圆的圆心坐标为，∵圆与圆C关于直线对称， 则有，解得，即. ∴圆的标准方程为. ▌例2（25-26高二下·上海黄浦·期末）圆的半径为________． 【答案】 2 【分析】将圆的一般方程通过配方转化为标准方程，即可求解半径. 【详解】圆方程可化为 ，故半径为2. ▌对点练1-1（26-27高三·全国·一轮复习）过点的直线中，被圆截得的弦最长的直线的方程是________. 【答案】 【详解】由配方得可得圆心为， 则截得弦最长的直线必过点和圆心， 故所求直线方程为，即． ▌对点练1-2（25-26高二下·贵州铜仁·期末）若方程表示圆，则k的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】方程可化为，因为该方程表示圆， 故，，A正确． ▌对点练1-3（2026高三·全国·专题练习）若直线平分圆的周长，则的取值范围是________． 【答案】 【详解】∵直线平分的周长， ∴圆心在直线上， 可得0，解得． ，当且仅当时等号成立， 因此的取值范围为． 题型 点与圆的位置关系 解题贴士 如果圆的标准方程为，圆心为，半径为，则有 （1）若点在圆上 （2）若点在圆外 （3）若点在圆内 ▌例1（2026·湖北武汉·模拟预测）（多选）已知点，，M为圆O：上一点，则（   ） A．点B在圆O外 B．的最大值为6 C． D．的最大值为9 【答案】ABD 【分析】由点与圆心间的距离与圆的半径比较，确定点与圆的位置关系，判断A；求出圆上的点到定点的距离的最大值为定点到圆心的距离加上圆半径，判断B；设，表示出，得其关系，即可判断C；求得，即可得其最大值，判断D. 【详解】对于A，，所以B在圆O外，故A正确； 对于B，由图知，当且仅当点为圆与轴的左交点时取等，故B正确； 对于C，D，设，则， 故， ， 则，故C错误； 所以由B项可得，，当且仅当时取等，故D正确． ▌例2（25-26高二上·江西九江·期末）（多选）在平面直角坐标系中，已知过点的直线与两坐标轴的正半轴分别交于，两点，则（    ） A．当时，直线的方程为 B．当为的中点时，直线的斜率为 C．当面积最小时，其外接圆的方程为 D．点在的外接圆内 【答案】ABD 【分析】由两直线垂直斜率关系和点斜式可得A；结合中点坐标和斜率公式可得B；设出截距式方程，代入点，由基本不等式确定直线方程，再得到外接圆方程可得C；将点代入外接圆方程可得D. 【详解】对于A，，，， 直线的方程为，即，A正确； 对于B，设，因为的中点，所以， 可得,，B正确； 对于C，依题意设， 过，，，， ，当且仅当，时等号成立． 外接圆方程为，即，所以C错误； 对于D，的外接圆方程为， 整理得（*）， 将点代入（*）左边，得 又因为，所以 ，当且仅当，时等号成立， 点在的外接圆内，D正确． 故选：ABD． ▌对点练1-1（25-26高二上·山东临沂·期中）已知圆的方程为，则下列点中在圆内的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据点与圆位置关系的坐标判断方法，逐项验证即可得结论. 【详解】由于，故点在圆上； 又，故点在圆外； 因为，故点在圆内； 又，故点在圆外； 综上，在圆内的是. 故选：C. ▌对点练1-2（25-26高二上·江苏盐城·期中）点与圆的位置关系为（    ） A．点在圆内 B．点在圆上 C．点在圆外 D．与的值有关 【答案】C 【分析】将点的坐标代入圆的方程即可判断得到结果. 【详解】， 在圆外， 故选：C. ▌对点练1-3（26-27高三上·浙江·开学考试）已知点在圆：上，则圆的半径为__________． 【答案】 【详解】由点在圆上，且， 则，解得． 所以圆的半径为． 题型 二元二次曲线与圆的关系 解题贴士 二元二次曲线与圆综合问题，优先联立两个方程，消去一个变量得到一元二次方程，依靠判别式判断交点个数。解题可借助几何性质，对比圆心距、半径，分析圆与曲线的位置关系。注意二元二次方程不一定是圆，先验证D2+E2−4F>0。遇到交点问题，联立后检验根的合理性，剔除增根。若求公共点、公共弦，可两式相减得到公共弦所在直线。区分代数解与实际图形交点，部分代数解不满足原曲线范围，需要舍去。优先数形结合画图，简化参数范围分析，注意计算时符号，避免漏解。 ▌例1（26-27高三上·浙江杭州·开学考试）已知，圆的半径为2，则_______________． 【答案】 【详解】由圆，其半径为2， 所以，又，则. ▌例2（25-26高二上·河北石家庄·期末）已知圆的方程为，则圆心坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将圆的方程配成标准式，即可确定圆心坐标. 【详解】圆，即， 所以圆心为． 故选：C． ▌对点练1-1（25-26高二上·江西宜春·期末）（多选）下列说法中正确的是（    ） A．若两条直线互相平行，那么它们的斜率相等 B．的圆心为，半径为 C．方程能表示平面内的任何直线 D．若直线不经过第二象限，则的取值范围是 【答案】BCD 【分析】当直线斜率不存在时可判断A，利用圆的标准方程可判断B，利用两点式直线方程可判断C，利用直线的斜率和截距满足的条件可判断D. 【详解】若两条直线互相平行，当它们垂直于轴时，斜率不存在，故A错误； 由可得，即圆心为，半径为，故B正确； 方程能表示平面内的任何直线，故C正确； 若直线不经过第二象限，则， 解得，故D正确. 故选：BCD ▌对点练1-2（25-26高二上·湖南永州·期中）若是一个圆的方程，则圆心的坐标_____. 【答案】/ 【分析】根据题意，把圆的方程化为圆的标准方程，即可求得圆心坐标，得到答案. 【详解】由圆的方程，可化为， 所以圆的圆心坐标为. 故答案为：. 题型 圆过定点问题 解题贴士 圆过定点问题，核心思路是分离参数。先写出含参数的圆方程，整理为参数乘以代数式，加上不含参数的代数式等于零的形式。令参数的系数和常数项同时等于零，联立方程组求解，所得的解即为定点坐标。也可取两组特殊参数，得到两个圆方程，联立求出交点，再代入原方程验证，快速预判定点。解题优先选择一般方程进行整理，方便分离参数。注意区分圆过定点和直线过定点，不要混淆处理方式。求出定点后，带回原式检验，保证对任意参数都成立，同时留意方程表示圆的前提条件，避免无效解。 ▌例1（25-26高二上·上海·期末）已知直线与圆． (1)求直线到直线 的距离； (2)若 三个点在圆上，求圆的圆心和半径． 【答案】(1)； (2)圆心为，半径为． 【分析】（1）将两条直线化简后，直接利用两条平行线间的距离公式求解即可； （2）利用待定系数法求出D,E,F的值，即可得到圆的方程，从而得到圆心半径. 【详解】（1）将直线，化为一般式得到： 直线，化简得到， 因为直线与直线平行， 则两直线之间的距离为. （2）由题设可得， 所以圆的方程为，即， 所以圆心为，半径为． ▌例2（25-26高二上·江苏苏州·期中）在平面直角坐标系中，已知点与，点为线段上的动点，点为线段上的动点， (1)求过点三点圆的标准方程. (2)若，试问过点三点的圆是否存在定点？若存在，请求出定点.若不存在，请说明理由. 【答案】(1)； (2)存在，和. 【分析】（1）根据已知得到圆心在直线上，设圆心，利用半径列方程求参数，即可得； （2）设，得，根据三点共圆，应用待定系数法求得圆的方程为，进而求圆所过的定点. 【详解】（1）已知点，则的中点坐标为， 由三点共圆，且，所以圆心在直线上， 设圆心，所以，解得， 所以圆的标准方程为； （2）因为，设，所以，则， 设圆的一般方程为，圆过点， 令可得的两个根为0和，所以， 所以方程为，再代入，解得， 所以方程为， 所以， 所以，解得或. 所以过点三点的圆存在定点和. ▌对点练1-1（25-26高二上·河南·阶段检测）已知圆经过原点，则（    ） A．2 B．1 C．-1 D．-2 【答案】B 【分析】将代入圆的方程进行求解． 【详解】将代入圆的方程中，得，即， 方程为，满足， 故, 故选：B. ▌对点练1-2（25-26高二上·湖北武汉·阶段检测）对任意实数，动圆恒过两个定点，请写出一个定点坐标______． 【答案】或 【分析】我们可以将动圆方程整理为关于的方程，然后根据对任意方程恒成立的条件来求解定点. 【详解】将原方程整理为： 因为对于任意，该方程恒成立，所以的系数和常数项都必须为，即： 由第一个方程，代入第二个方程得： 将代入，得. 所以，定点坐标为或. 故答案为：或 ▌对点练1-3（25-26高二上·江苏无锡·期中）若抛物线与坐标轴分别交于三个不同的点，则的外接圆恒过的定点坐标为______. 【答案】 【分析】法一：设抛物线交轴于点，，交轴于点，.令，则由韦达定理得，，线段的中点为.由圆的性质可设外接圆的圆心为.由可得，代入化简可得，，可得圆的方程为得，解方程组令即可求解； 法二：抛物线交轴于点，，交轴于点，，，，则为的两个解，由韦达定理得.由相交弦定理可得，解得.即可求解定点坐标； 法三：设外接圆方程为.令， 得，.令，则有一根为，结合，可得，故外接圆方程为，即，解方程组即可. 【详解】法一：设抛物线交轴于点，，交轴于点，. 令，则由韦达定理得，，所以线段的中点为. 由圆的性质可知外接圆的圆心在直线上，故设外接圆的圆心为. 由可得，解得. 因为，所以，则，所以半径的平方为， 所以圆的方程为，整理可得， 类比直线过定点的求法，方程的值不随的变化而变化. 令，解得. 因此，的外接圆恒过的定点坐标为. 法二：如图所示，抛物线交轴于点，交轴于点. 设，，，，，， 则为的两个解，则由韦达定理得. 由相交弦定理可知过三点的圆也过点，且有，即，即，可得，解得. 则就是的外接圆过的定点坐标. 法三：设外接圆方程为. 令，则与为同一方程，，. 令，则有一根为，且，，， ∴外接圆方程为，即， 令，解得，所以的外接圆恒过的定点坐标为. 故答案为：. 题型 轨迹问题 解题贴士 用直接法求曲线方程的步骤如下： （1）建系设点：建立适当的直角坐标系，设曲线上任一点坐标为； （2）几何点集：写出满足题设的点的集合； （3）翻译列式：将几何条件用坐标、表示，写出方程； （4）化简方程：通过同解变形化简方程； （5）查漏除杂：验证方程表示的曲线是否为已知的曲线，重点检查方程表示的曲线是否有多余的点，曲线上是否有遗漏的点． ▌例1（24-25高二上·四川成都·期中）已知，直线，直线，若为的交点，则的最小值为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】首先求出直线与直线过定点坐标，再可判断直线与直线垂直，即可得到点的轨迹是以为直径的圆，求出轨迹方程，求出以点为圆心，为半径的圆恒过点，即，最后由计算可得. 【详解】直线，即， 令，解得，即直线过定点； 直线，即， 令，解得，即直线过定点； 又，即直线与直线垂直， 所以点的轨迹是以为直径的圆，（挖去点） 故圆心是，半径为，点的方程是（挖去点）； 设，则以点为圆心，为半径的圆的方程为， 因为，则， 所以恒成立， 所以以点为圆心，为半径的圆恒过点， 所以， 所以， 当且仅当在线段与圆的交点时取等号， 即的最小值为. 故选：A ▌例2（25-26高三·全国·一轮复习）若点到两定点和的距离的比等于2，则动点的轨迹方程是______． 【答案】 【分析】由两点间的距离得，代入，化简即可求解. 【详解】由题意得， 由题意得，则， 整理可得， 化简得， 则动点P的轨迹方程为． ▌对点练1-1（25-26高三下·贵州遵义·阶段检测）已知等腰三角形中，，，写出点C的一个轨迹方程______. 【答案】（答案不唯一） 【分析】分，和三种情况求解. 【详解】由于为等腰三角形， 若，设，则， 化简得， 但由于三点不能共线，则与不共线， 得到， 所以， 即，结合，得， 所以点C的一个轨迹方程为； 若， 则点C的一个轨迹为以点为圆心，以为半径的圆， 则点C的一个轨迹方程为； 同理当时，点C的一个轨迹方程为. ▌对点练1-2（25-26高三下·山东聊城·阶段检测）已知点C到点A的距离与到点B的距离的比为． (1)求点C的轨迹方程； (2)当A、B、C不共线时，求△ABC面积的最大值． 【答案】(1)； (2)． 【分析】(1) 设点，根据几何关系列出方程后化简即可； (2) 当点C到AB的距离最大时，△ABC面积最大，结合圆的性质求解即可. 【详解】（1）设点， 因为点C到点A的距离与到点的距离的比为， 则，即， 化简整理可得，， 故点C的轨迹方程为. （2）由（1）可知，点C的轨迹是以为圆心，半径为的圆， 又△ABC的边长AB＝4， 故要使得△ABC的面积最大，即点C到AB的距离最大，即点C的纵坐标的绝对值最大， 由圆的性质可知，圆上的点到x轴的最大距离为， 故△ABC面积的最大值为． ▌对点练1-3（25-26高二下·上海·阶段检测）若线段的端点，点在圆：上运动.则线段中点的轨迹方程______ 【答案】 【分析】通过中点坐标公式建立点与中点的坐标关系，将点的坐标用的坐标表示后代入已知圆方程，化简得到中点的轨迹方程. 【详解】设，， 由于是线段的中点， 所以， 将代入圆， 得 整理得. 基础通关 1．（25-26高二上·四川成都·期末）已知的斜边为，且，则直角顶点的轨迹方程为（ ） A． B．且 C．且 D．且 【答案】D 【分析】设点，利用的斜边为推得，借助于向量数量积的坐标运算由即得轨迹方程，去除不合题意的点即可. 【详解】设点，由题意，， 由，整理得， 因当时，，此时两点恰分别与点重合，故不合题意，应舍去. 即直角顶点的轨迹方程为且 故选：D. 2．（25-26高二上·河南焦作·阶段检测）的三个顶点分别是、、． (1)求边上的中线所在直线的方程； (2)求过点、，且圆心在直线上的圆的标准方程； (3)求的外接圆方程． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）先求出直线的斜率，再利用点斜式求出方程即可； （2）根据直线的斜率，求出的中垂线斜率，结合的中点，得到的中垂线方程，其与直线的交点即为圆心，即为半径，根据圆心半径写出圆的标准方程即可. （3）由（2）得圆心的坐标，结合的距离等于半径，判断得到的外接圆方程. 【详解】（1）边的中点．中线过与，斜率， 故：，即． （2）的中点为，的斜率为，故的垂直平分线方程为． 圆心在直线上，联立 解得．半径，故圆的标准方程为． （3）由（2）得圆心，又， ，， 故三点均在圆上，所以的外接圆就是圆，方程为． 3．（25-26高二上·湖北武汉·阶段检测）阿波罗尼斯（约公元前262～公元前190年）证明过这样一个命题：平面内到两定点距离之比为常数的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿氏圆．若平面内两定点A，B间的距离为2，动点P满足，当P，A，B不共线时，面积的最大值是______． 【答案】 【详解】建立平面直角坐标系，如图： 设，，， 则，化简得， 以为底，高为点P到轴的距离， 所以当取最大值时，的面积取得最大值． 显然当时，取得最大值， 此时. 所以面积的最大值是． 4．（25-26高二上·福建厦门·阶段检测）已知圆：，又点在圆上运动，点，则线段中点的轨迹方程为______. 【答案】 【分析】设中点坐标，利用中点公式将圆上动点的坐标用中点坐标表示出来，再代入圆的方程，化简即得轨迹方程． 【详解】设在圆上运动，则：①, 设的中点，由中点坐标公式：， 解得， 将代入①：得 化简得： 即： 因此线段中点的轨迹方程为：． 5．（25-26高二下·陕西汉中·期中）已知点，，且线段是圆M的直径，则圆M的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为，，且线段是圆M的直径， 所以圆心为，半径，则圆M的方程为. 6．（26-27高二上·重庆沙坪坝·开学考试）已知圆：（，）上有两点关于直线对称，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】通过圆上对称性质判断出圆心在直线上，从而得出间的关系式，进而通过基本不等式求出最小值. 【详解】因为圆上有两点关于直线对称，可知圆心在直线上，即. ，等号当且仅当时成立. 7．（2026高二·全国·专题练习）已知某圆经过，两点，圆心M在直线上，则该圆的方程为______. 【答案】 【分析】利用待定系数法联立方程即可求解. 【详解】设圆心为，半径为r，则圆的标准方程为. 由题意可得方程组. 解此方程组，得， 故所求圆的方程为. 8．（2026高二·全国·专题练习）在中，是坐标原点，，，则的外接圆方程为_________． 【答案】 【详解】设的外接圆的方程为（）， 则，解得， 所以的外接圆方程为． 9．（第03讲 圆的方程（专项训练）（全国通用）2027年高考数学一轮复习讲练测）已知，，则以为直径的圆的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为以、为直径两端点的圆的圆心坐标为， 半径为，所以所求圆的标准方程为， 即以为直径的圆的方程为. 10．（2026高二·全国·专题练习）已知动直线（其中且为变动参数）和圆相交于、两点，则弦的中点的轨迹方程为_____________． 【答案】（） 【分析】由题设直线恒过，若的中点为，结合圆的性质有，进而判断的轨迹，即可写出轨迹方程． 【详解】由恒过，且与圆相交于、， 而的圆心为，令的中点为，则， 若点不重合时，，点在以线段为直径的圆上，且， 若点重合时，点也在以线段为直径的圆上， 所以弦的中点的轨迹方程且． 素养提升 1．（25-26高二下·广东潮州·期末）已知点是矩形内的动点，且，，，点为边上的动点，则的最小值为________． 【答案】 【分析】建系后由距离关系得的轨迹为圆，在定直线上，将对称转化，问题化为圆上点到定点距离的最小值，再减去半径可得结果. 【详解】如图，以为原点，为轴，为轴建立直角坐标系， 则，，，，设动点， 由平方得整理配方得 ，即的轨迹是以为圆心，半径的圆在矩形内的部分. 在直线上，作关于的对称点，由对称性质得， 因此，对圆上动点，的最小值为定点到圆心的距离减去半径. 由于，故，即的最小值为. 2．（2026·贵州遵义·模拟预测）已知是圆上的一动点，点在轴上的投影为点 ，若，则点的轨迹方程为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】采用相关点法，通过向量坐标关系建立动点与圆上点的坐标联系，代入圆的方程化简得轨迹方程. 【详解】设动点，圆上点， 因为是在轴上的投影，则易得， ，， 因为 ，所以，解得， （*）， 因为是圆上，所以， 将（*）代入得，即， 则点的轨迹方程为. 3．（25-26高二下·上海·期末）关于曲线，则以下结论正确的为 ______（填序号）. ①曲线关于原点对称； ②曲线中； ③曲线与曲线有4个交点，这4点构成正方形； ④曲线是不封闭图形，且它与圆无公共点. 【答案】①④ 【分析】以替换，以替换方程不变判断①；根据方程求出的范围判断②；由两曲线的对称性判断③；联立方程组判断④． 【详解】以替换，以替换，得，即， 所以曲线关于原点对称，故①正确； 由，得， 所以，解得，. 故②不正确. 当时，可化为. 由，得，. 所以当且仅当时，. 此时，所以方程组无解， 即曲线与曲线在第一象限无交点， 又曲线与坐标轴无交点，且曲线与曲线均关于轴和轴对称， 所以曲线与曲线无交点，故③不正确. 由，得，. 所以曲线是不封闭图形. 由，得，即， 显然方程无解，所以曲线与圆无公共点. 故④正确. 迁移创新 1．（2026·山西忻州·模拟预测）（多选）点在单位圆上运动.记点到直线的距离为，到直线的距离为.则下列说法正确的是（   ） A． B．的最大值为 C．满足的点有且仅有2个 D． 【答案】ABD 【分析】利用点到直线的距离公式、圆的定义结合基本不等式判定各选项即可. 【详解】设，则. 点到直线的距离为，点到直线的距离为. 对于A，.故A正确. 对于B，由于，且， 所以. 因此.当且仅当时取等，故B正确. 对于C，若，则. 平方得，化简得. 单位圆上满足的点有（1，0），（-1，0），（0，1），（0，-1），共4个，故C错误. 对于D，由，得.故D正确. 2．（25-26高二下·广西柳州·期末）（多选）已知曲线，则（    ） A．曲线的图象有且仅有条对称轴 B．曲线上任意一点到原点的最大距离为 C．曲线所围成图形的面积为 D．函数的图象与曲线的图象有且仅有个交点 【答案】BCD 【分析】通过分类讨论去掉绝对值后，可画出曲线图象，由图可得答案. 【详解】已知曲线， 当，时，曲线； 当，时，曲线； 当，时，曲线； 当，时，曲线； 当，时，曲线为原点； 因此，画出曲线的图象，如图所示， 对于A，曲线的图象有条对称轴，故A错误； 对于B，曲线上任意一点到原点的距离为，则， 由于，所以，当且仅当时取等号， 则，解得，所以曲线上任意一点到原点的最大距离为，故B正确； 对于C，由图象可知，曲线所围成的图形是由个半径为的半圆和个边长为的正方形组成， 因此曲线所围成的图形的面积为，故C正确； 对于D，由于，所以函数是偶函数，图象关于轴对称，且，，如图所示， 当时，，在上单调递减，此时与曲线有个交点； 当时，，在上单调递增，此时与曲线有个交点； 因此函数的图象与曲线的图象在第一象限有个交点， 根据函数的对称性，函数的图象与曲线的图象在第二象限也会有个交点， 所以函数的图象与曲线的图象有且仅有个交点，故D正确. 3．（2026·湖北·模拟预测）已知正方体中，为的中点，为正方形内的一个动点（含边界），且，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设的中点为，则是以为圆心，以2为半径的圆面，建立平面直角坐标系，化简，利用圆的几何性质数形结合求得结果. 【详解】设的中点为，连接，易得， 则，则. 是以为圆心，以2为半径的圆面（位于正方形内）. 以为原点，为轴，为轴建立平面直角坐标系如图所示，则， 设的坐标为，则，， . 则 设点的坐标为，则， 根据圆的性质知，. 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二章 圆与方程 2.1 圆的方程 课标要点 1.探索并掌握圆的标准方程，能根据圆心、半径写出圆的标准方程，也能由圆的标准方程读出圆心坐标与半径。 2.会推导圆的一般方程，识别圆一般方程成立的条件，实现圆的标准方程与一般方程之间的相互转化。 3.能根据不同条件，选用合适形式求解圆的方程，运用圆的方程解决简单的实际几何问题。 学习重难点 重点： 1.圆的标准方程的理解与应用，利用圆心、半径条件快速写出标准方程。 2.圆的一般方程的识别，掌握一般方程化为标准方程的配方法。 3.根据题目给出的几何条件，待定系数法求圆的方程。 难点： 1.辨析二元二次方程表示圆的前提条件，区分方程表示圆、点、无轨迹的情况。 2.结合几何性质，灵活选用标准方程或一般方程，减少计算量求解圆方程。 3.利用圆的方程处理几何问题，将几何条件转化为代数方程，数形结合分析。 知识点 圆的标准方程 ，其中为圆心，为半径． （1）如果圆心在坐标原点，这时，圆的方程就是．有关图形特征与方程的转化：如：圆心在x轴上：；圆与y轴相切时：；圆与x轴相切时：；与坐标轴相切时：；过原点： （2）圆的标准方程圆心为，半径为，它显现了圆的几何特点． （3）标准方程的优点在于明确指出了圆心和半径．由圆的标准方程可知，确定一个圆的方程，只需要a、b、r这三个独立参数，因此，求圆的标准方程常用定义法和待定系数法． 特别提醒 圆的标准方程为(x−a)2+(y−b)2=r2，圆心(a,b)，半径r。注意圆心坐标是(a,b)，方程里是减号，若出现(x+2)2，实际对应a=−2，极易符号出错。半径r必须大于 0，r2是等式右侧常数，不要直接当成半径。求圆方程时，优先找到圆心和半径。圆心为原点时，方程简化为x2+y2=r2。解题记得结合图形，利用圆心到点的距离判断点与圆的位置关系。 易错提醒 书写标准方程时常误把括号内加号对应正的圆心坐标，这是高频错误。不要将r2直接当作半径，忘记开方。当题目给出直径两端点，套用公式时要正确计算圆心中点与半径，半径是直径长度的一半。判断点和圆位置关系，比较点到圆心距离与半径大小，不要和r2直接对比。题目隐含条件中半径大于零，若算出r2为负数，说明不存在这样的圆，要及时舍去。 教材延伸 圆的标准方程体现数形结合思想，圆心决定圆的位置，半径决定圆大小。已知圆上两点不能唯一确定圆，三点不共线才可确定唯一圆。直径式方程可由标准方程推导，若直径端点为(x1,y1)、(x2,y2)，则(x−x1)(x−x2)+(y−y1)(y−y2)=0，适合快速写圆方程。可以利用标准方程研究圆的平移，圆心平移，半径不变。后续直线与圆、圆与圆位置关系，都以标准方程为基础，通过圆心距和半径大小比较判断，是解析几何学习的基础工具。 随学随练 1．（26-27高三上·江苏苏州·开学考试）由曲线围成的图形的面积为（    ） A． B． C． D． 2．（2026高三·全国·专题练习）圆心在x轴上，半径为2，且过点的圆的方程是（    ） A． B． C． D． 3．（26-27高二上·全国·课堂例题）根据下列条件，求圆的标准方程． (1)圆心在，且过点； (2)以，为直径的两个端点的圆； 知识点 点和圆的位置关系（重点） 如果圆的标准方程为，圆心为，半径为，则有 （1）若点在圆上 （2）若点在圆外 （3）若点在圆内 特别提醒 判断点与圆的位置关系，核心是比较点到圆心的距离 d 和半径 r 的大小。d＞r，点在圆外；d＝r，点在圆上；d＜r，点在圆内。计算距离时，可直接代入圆标准方程，比较代入后式子的值与r2，不用开根号，简化运算。注意区分点坐标代入后的结果，不要混淆不等号方向。审题看清是圆的标准方程还是一般方程，找准圆心坐标，警惕圆心符号陷阱。若题目含参数，要结合位置关系列出不等式求解参数范围。解题优先数形结合，画出草图辅助判断，注意题目隐藏条件，排除参数造成的无效情况。 随学随练 1．（25-26高二上·贵州遵义·期末）（多选）已知点在圆的内部，则点的坐标可能为（    ） A． B． C． D． 2．（2026·山东·一模）点与圆的位置关系是（    ） A．点P在圆上 B．点P在圆外 C．点P在圆内且不是圆心 D．点P在圆内且是圆心 3．（25-26高二上·湖南张家界·期末）已知圆的标准方程是，下列各点在圆内的是（   ） A． B． C． D． 知识点 圆的一般方程 当时，方程叫做圆的一般方程．为圆心，为半径． 由方程得 （1）当时，方程只有实数解．它表示一个点． （2）当时，方程没有实数解，因而它不表示任何图形． （3）当时，可以看出方程表示以为圆心，为半径的圆． 特别提醒 圆的一般方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0，一定要牢记前提条件D2+E2−4F>0，不满足时方程不表示圆。当D2+E2−4F=0，仅表示一个点；小于 0 则无轨迹。配方转化为标准方程时，注意符号变化，圆心为(−2D​,−2E​)，极易漏掉负号。求圆的一般方程常用待定系数法，代入三点坐标列方程组求解。做题时区分一般方程与二元二次方程，x2与y2系数必须相等且不为 0，不能含有xy交叉项。求出参数后代回检验，保证满足判别条件，避免写出不存在的圆。 随学随练 1．（25-26高二上·安徽淮北·期末）已知函数的图象与轴交于、两点，与轴交于点. (1)求经过、、三点的圆的方程； (2)圆是否经过某定点（其坐标与无关）?请说明理由. 2．（25-26高二上·内蒙古包头·阶段检测），，.三角形的外接圆方程为_______. 3．（2026·吉林长春·一模）过，，三点圆的方程为____________. 知识点 用待定系数法求圆的方程的步骤 求圆的方程常用“待定系数法”．用“待定系数法”求圆的方程的大致步骤是： （1）根据题意，选择标准方程或一般方程． （2）根据已知条件，建立关于或的方程组． （3）解方程组，求出或的值，并把它们代入所设的方程中去，就得到所求圆的方程． 轨迹方程 求符合某种条件的动点的轨迹方程，实质上就是利用题设中的几何条件，通过“坐标法”将其转化为关于变量之间的方程． 1．当动点满足的几何条件易于“坐标化”时，常采用直接法；当动点满足的条件符合某一基本曲线的定义（如圆）时，常采用定义法；当动点随着另一个在已知曲线上的动点运动时，可采用代入法（或称相关点法）． 2．求轨迹方程时，一要区分“轨迹”与“轨迹方程”；二要注意检验，去掉不合题设条件的点或线等． 3．求轨迹方程的步骤： （1）建立适当的直角坐标系，用表示轨迹（曲线）上任一点的坐标； （2）列出关于的方程； （3）把方程化为最简形式； （4）除去方程中的瑕点（即不符合题意的点）； （5）作答． 特别提醒 待定系数法求圆的方程，优先根据条件选方程形式。已知圆心、半径信息选标准方程；已知圆上多点，选用一般方程，减少计算难度。列式时仔细核对符号，代入坐标计算方程组，防止计算出错。求出参数后，若是一般方程，必须验证D2+E2−4F>0，确认方程能够表示圆。求解轨迹方程，要注意设点，挖掘几何条件转化为代数式子，化简之后，务必标注变量取值范围。轨迹问题要区分完整圆或是部分圆弧，很多情况需要剔除不符合几何约束的点。最后检验特殊点，确认是否满足题干条件，避免增根或者漏解。 随学随练 1．（25-26高二上·浙江杭州·期中）已知为坐标原点． (1)求直线的方程，并求直线中垂线的方程； (2)求的周长与面积； (3)求的外接圆方程与内切圆方程． 2．（25-26高二上·广东深圳·期末）过三角形外接圆上异于三角形顶点的任意一点作三边的垂线，则三垂足点共线，此线常称为点关于三角形的西姆松线．已知的三个顶点坐标分别为，点为外接圆上横坐标最大的点，则点到关于的西姆松线的距离为___________． 3．（25-26高二上·山东枣庄·期末）已知的三个顶点分别是， (1)求边BC所在的直线方程； (2)求过A，B，C三点的圆的方程． 拓展 定点到圆上点的最值问题 这类问题核心思想是数形结合，不用联立复杂方程，依靠圆心、定点、圆上三点的位置关系求解。题目一般给出一个定点 P 和定圆，求 P 到圆上动点 M 距离的最大值与最小值。 第一步，先确定圆的圆心 C 和半径 r。利用两点间距离公式，算出定点 P 到圆心 C 的距离，记作 d。分三种情况讨论：第一种，定点 P 在圆外，也就是 d 大于 r。此时连接 P、C 两点，直线 PC 与圆交于两点。靠近 P 的交点，就是距离最小点，最小值等于 d 减 r；远离 P 的交点，是距离最大点，最大值等于 d 加 r。第二种，定点 P 在圆上，也就是 d 等于 r。最小值为 0，此时 P 本身就是圆上一点；最大值为 2r，也就是直径长度。第三种，定点 P 在圆内部，d 小于 r。直线 PC 延长交圆，两点分别对应最值。最小值是 r 减 d，最大值是 r 加 d。 解题通用步骤：先写出圆的方程，求出圆心和半径；计算定点到圆心的距离；对比距离与半径大小，判断定点在圆内、圆上还是圆外；套用公式写出最值。 常见易错点：容易不分内外，直接写 d 加减 r，忽略定点在圆内时最小值是 r-d。另外，最值对应的点一定在定点与圆心的连线上，其他圆上点的距离都不是最值。如果题目求距离平方的最值，直接对距离最值平方即可，不用单独再列式。 拓展题型：定点到圆上点构成线段的最值，还可以延伸为角度、向量数量积最值，都依托这个模型。解答题可以用代数法设圆上点坐标联立验证，但考试优先几何法，计算简单，节省时间。选择填空可以直接套用结论快速出结果，大题最好简单说明几何依据，保证步骤完整。 活学活用 1．（26-27高二上·全国·课后作业）已知半径为3的圆经过点，则其圆心到原点的距离的最小值为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 2．（26-27高三上·湖南衡阳·开学考试）已知点O是坐标原点，点M是圆上的动点，当动点P在直线上运动时，的最小值为______. 3．（25-26高二下·云南曲靖·期末）设为圆上任意一点，点，则的最大值为（    ） A．2 B．6 C．8 D．9 拓展 圆上的点到定直线的最值问题 本类问题核心思路依旧是数形结合，借助圆心到定直线的距离分析，不需要联立复杂方程。题目给出定圆与一条定直线，求圆上动点到这条直线距离的最大值与最小值。 第一步，先从圆的方程提取圆心坐标与半径 r，利用点到直线距离公式，计算圆心 C 到定直线的距离，记为 d。接下来分两种情况讨论：第一种，直线和圆相离，d 大于 r。过圆心作定直线的垂线，垂线与圆产生两个交点。靠近直线的交点，就是圆上点到直线距离最小的点，最小值等于 d 减去 r；远离直线的交点，为距离最大点，最大值等于 d 加上 r。第二种，直线与圆相交或者相切，d 小于等于 r。此时直线穿过圆或者和圆刚好接触，圆上存在点落在直线上，所以距离最小值是 0；最大值为 d 加上 r。 通用解题步骤：求出圆心、半径；计算圆心到直线距离；判断直线与圆位置关系；套用公式写出最值。 常见易错提醒：最值对应的点全部落在圆心向直线所作的垂线上，其他圆上点无法取得最值。看清题目求的是距离还是距离的平方，若是平方，求出距离最值之后再平方即可。解答题优先用几何法，简洁高效；选择填空可以直接使用结论。要注意区分该模型和定点到圆上点的最值，不要混淆公式。如果直线含参数，需要分析直线过定点，再结合圆的几何性质求最值。 活学活用 1．（2026·陕西·一模）已知圆，直线.设为圆上的一动点，则到直线的最大距离为____. 2．（25-26高二下·云南大理·期中）在直角三角形中，，，，点为其内切圆上一点，则的取值范围为_________． 3．（2026·湖北荆州·一模）已知点分别在圆上运动，点M在直线上运动，则的最小值为（    ） A． B．3 C． D．4 题型 圆的标准方程 解题贴士 确定圆的方程的主要方法是待定系数法，即列出关于a、b、r的方程组，求a、b、r或直接求出圆心和半径r，一般步骤为： （1）根据题意，设所求的圆的标准方程为； （2）根据已知条件，建立关于a、b、r的方程组； （3）解方程组，求出a、b、r的值，并把它们代入所设的方程中去，就得到所求圆的方程． ▌例1（25-26高二上·福建厦门·阶段检测）若，满足，则的最小值为（    ） A． B． C． D． ▌例2（2026高二·全国·专题练习）圆关于直线对称的圆的方程为___________． ▌对点练1-1．（25-26高二下·云南昭通·期末）若直线是圆的一条对称轴，则______________． ▌对点练1-2．（25-26高一下·江西宜春·阶段检测）已知圆上有两点关于直线对称，则的最小值为（   ） A． B．3 C．4 D．8 ▌对点练1-3．（2026·山西忻州·模拟预测）圆的圆心到直线的距离为（  ） A． B．2 C． D．3 题型 圆的一般方程 解题贴士 1、若一个圆可用一般方程表示，则它具备隐含条件，解题时，应充分利用这一隐含条件． 2、一般地，当给出了圆上的三点坐标，特别是当这三点的横坐标和横坐标之间、纵坐标和纵坐标之间均不相同时，选用圆的一般方程比选用圆的标准方程简捷；而在其他情况下的首选应该是圆的标准方程，此时要注意从几何角度来分析问题，以便找到与圆心和半径相联系的可用条件． ▌例1（2026高二·全国·专题练习）已知圆的圆心在直线上，且圆过点，. (1)求圆的一般方程； (2)若圆与圆关于直线对称，求圆的标准方程. ▌例2（25-26高二下·上海黄浦·期末）圆的半径为________． ▌对点练1-1（26-27高三·全国·一轮复习）过点的直线中，被圆截得的弦最长的直线的方程是________. ▌对点练1-2（25-26高二下·贵州铜仁·期末）若方程表示圆，则k的取值范围为（    ） A． B． C． D． ▌对点练1-3（2026高三·全国·专题练习）若直线平分圆的周长，则的取值范围是________． 题型 点与圆的位置关系 解题贴士 如果圆的标准方程为，圆心为，半径为，则有 （1）若点在圆上 （2）若点在圆外 （3）若点在圆内 ▌例1（2026·湖北武汉·模拟预测）（多选）已知点，，M为圆O：上一点，则（   ） A．点B在圆O外 B．的最大值为6 C． D．的最大值为9 ▌例2（25-26高二上·江西九江·期末）（多选）在平面直角坐标系中，已知过点的直线与两坐标轴的正半轴分别交于，两点，则（    ） A．当时，直线的方程为 B．当为的中点时，直线的斜率为 C．当面积最小时，其外接圆的方程为 D．点在的外接圆内 ▌对点练1-1（25-26高二上·山东临沂·期中）已知圆的方程为，则下列点中在圆内的是（   ） A． B． C． D． ▌对点练1-2（25-26高二上·江苏盐城·期中）点与圆的位置关系为（    ） A．点在圆内 B．点在圆上 C．点在圆外 D．与的值有关 ▌对点练1-3（26-27高三上·浙江·开学考试）已知点在圆：上，则圆的半径为__________． 题型 二元二次曲线与圆的关系 解题贴士 二元二次曲线与圆综合问题，优先联立两个方程，消去一个变量得到一元二次方程，依靠判别式判断交点个数。解题可借助几何性质，对比圆心距、半径，分析圆与曲线的位置关系。注意二元二次方程不一定是圆，先验证D2+E2−4F>0。遇到交点问题，联立后检验根的合理性，剔除增根。若求公共点、公共弦，可两式相减得到公共弦所在直线。区分代数解与实际图形交点，部分代数解不满足原曲线范围，需要舍去。优先数形结合画图，简化参数范围分析，注意计算时符号，避免漏解。 ▌例1（26-27高三上·浙江杭州·开学考试）已知，圆的半径为2，则_______________． ▌例2（25-26高二上·河北石家庄·期末）已知圆的方程为，则圆心坐标为（    ） A． B． C． D． ▌对点练1-1（25-26高二上·江西宜春·期末）（多选）下列说法中正确的是（    ） A．若两条直线互相平行，那么它们的斜率相等 B．的圆心为，半径为 C．方程能表示平面内的任何直线 D．若直线不经过第二象限，则的取值范围是 ▌对点练1-2（25-26高二上·湖南永州·期中）若是一个圆的方程，则圆心的坐标_____. 题型 圆过定点问题 解题贴士 圆过定点问题，核心思路是分离参数。先写出含参数的圆方程，整理为参数乘以代数式，加上不含参数的代数式等于零的形式。令参数的系数和常数项同时等于零，联立方程组求解，所得的解即为定点坐标。也可取两组特殊参数，得到两个圆方程，联立求出交点，再代入原方程验证，快速预判定点。解题优先选择一般方程进行整理，方便分离参数。注意区分圆过定点和直线过定点，不要混淆处理方式。求出定点后，带回原式检验，保证对任意参数都成立，同时留意方程表示圆的前提条件，避免无效解。 ▌例1（25-26高二上·上海·期末）已知直线与圆． (1)求直线到直线 的距离； (2)若 三个点在圆上，求圆的圆心和半径． ▌例2（25-26高二上·江苏苏州·期中）在平面直角坐标系中，已知点与，点为线段上的动点，点为线段上的动点， (1)求过点三点圆的标准方程. (2)若，试问过点三点的圆是否存在定点？若存在，请求出定点.若不存在，请说明理由. ▌对点练1-1（25-26高二上·河南·阶段检测）已知圆经过原点，则（    ） A．2 B．1 C．-1 D．-2 ▌对点练1-2（25-26高二上·湖北武汉·阶段检测）对任意实数，动圆恒过两个定点，请写出一个定点坐标______． ▌对点练1-3（25-26高二上·江苏无锡·期中）若抛物线与坐标轴分别交于三个不同的点，则的外接圆恒过的定点坐标为______. 题型 轨迹问题 解题贴士 用直接法求曲线方程的步骤如下： （1）建系设点：建立适当的直角坐标系，设曲线上任一点坐标为； （2）几何点集：写出满足题设的点的集合； （3）翻译列式：将几何条件用坐标、表示，写出方程； （4）化简方程：通过同解变形化简方程； （5）查漏除杂：验证方程表示的曲线是否为已知的曲线，重点检查方程表示的曲线是否有多余的点，曲线上是否有遗漏的点． ▌例1（24-25高二上·四川成都·期中）已知，直线，直线，若为的交点，则的最小值为（     ） A． B． C． D． ▌例2（25-26高三·全国·一轮复习）若点到两定点和的距离的比等于2，则动点的轨迹方程是______． ▌对点练1-1（25-26高三下·贵州遵义·阶段检测）已知等腰三角形中，，，写出点C的一个轨迹方程______. ▌对点练1-2（25-26高三下·山东聊城·阶段检测）已知点C到点A的距离与到点B的距离的比为． (1)求点C的轨迹方程； (2)当A、B、C不共线时，求△ABC面积的最大值． ▌对点练1-3（25-26高二下·上海·阶段检测）若线段的端点，点在圆：上运动.则线段中点的轨迹方程______ 基础通关 1．（25-26高二上·四川成都·期末）已知的斜边为，且，则直角顶点的轨迹方程为（ ） A． B．且 C．且 D．且 2．（25-26高二上·河南焦作·阶段检测）的三个顶点分别是、、． (1)求边上的中线所在直线的方程； (2)求过点、，且圆心在直线上的圆的标准方程； (3)求的外接圆方程． 3．（25-26高二上·湖北武汉·阶段检测）阿波罗尼斯（约公元前262～公元前190年）证明过这样一个命题：平面内到两定点距离之比为常数的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿氏圆．若平面内两定点A，B间的距离为2，动点P满足，当P，A，B不共线时，面积的最大值是______． 4．（25-26高二上·福建厦门·阶段检测）已知圆：，又点在圆上运动，点，则线段中点的轨迹方程为______. 5．（25-26高二下·陕西汉中·期中）已知点，，且线段是圆M的直径，则圆M的方程为（    ） A． B． C． D． 6．（26-27高二上·重庆沙坪坝·开学考试）已知圆：（，）上有两点关于直线对称，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 7．（2026高二·全国·专题练习）已知某圆经过，两点，圆心M在直线上，则该圆的方程为______. 8．（2026高二·全国·专题练习）在中，是坐标原点，，，则的外接圆方程为_________． 9．（第03讲 圆的方程（专项训练）（全国通用）2027年高考数学一轮复习讲练测）已知，，则以为直径的圆的方程为（    ） A． B． C． D． 10．（2026高二·全国·专题练习）已知动直线（其中且为变动参数）和圆相交于、两点，则弦的中点的轨迹方程为_____________． 素养提升 1．（25-26高二下·广东潮州·期末）已知点是矩形内的动点，且，，，点为边上的动点，则的最小值为________． 2．（2026·贵州遵义·模拟预测）已知是圆上的一动点，点在轴上的投影为点 ，若，则点的轨迹方程为（     ） A． B． C． D． 3．（25-26高二下·上海·期末）关于曲线，则以下结论正确的为 ______（填序号）. ①曲线关于原点对称； ②曲线中； ③曲线与曲线有4个交点，这4点构成正方形； ④曲线是不封闭图形，且它与圆无公共点. 迁移创新 1．（2026·山西忻州·模拟预测）（多选）点在单位圆上运动.记点到直线的距离为，到直线的距离为.则下列说法正确的是（   ） A． B．的最大值为 C．满足的点有且仅有2个 D． 2．（25-26高二下·广西柳州·期末）（多选）已知曲线，则（    ） A．曲线的图象有且仅有条对称轴 B．曲线上任意一点到原点的最大距离为 C．曲线所围成图形的面积为 D．函数的图象与曲线的图象有且仅有个交点 3．（2026·湖北·模拟预测）已知正方体中，为的中点，为正方形内的一个动点（含边界），且，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 2 / 7 学科网（北京）股份有限公司 $