专题2.2 直线与圆的位置关系（高效培优讲义）数学苏教版高二选择性必修第一册

本讲义聚焦直线与圆的位置关系核心知识点，系统梳理相离、相切、相交三种关系，通过几何法（圆心距与半径比较）和代数法（方程判别式）构建判断体系，延伸至弦长计算、切线方程及最值问题，形成从概念到应用的递进学习支架。 资料以“即学即练+典例变式”设计，融入高考真题与阶段检测题，通过几何与代数方法对比培养数学思维，结合面积、距离最值等实际问题提升应用意识，课中辅助教师分层教学，课后助力学生查漏补缺，强化知识内化。

专题2.2 直线与圆的位置关系 教学目标 1.能根据给定直线、圆的方程判断直线与圆位置关系。 2.能用直线和圆的方程解决一些简单的数学问题与实际问题.。 教学重难点 1.重点 （1）直线与圆的位置关系； （2）圆的弦长、切线问题； （3）与圆有关的最值问题。 2.难点 （1）圆上的点到直线距离的个数问题； （2）直线与圆的位置关系中的最值（范围）问题。 知识点01 直线与圆的位置关系 直线与圆的位置关系有3种，相离，相切和相交 【即学即练】 1．（24-25高二上·北京·期中）直线与圆的位置关系是________． 【答案】相离 【难度】0.85 【知识点】判断直线与圆的位置关系 【分析】确定圆心和半径，应用点线距离公式求圆心与直线距离，并与半径比大小，即可得答案. 【详解】由的圆心为，半径为1， 圆心到的距离， 所以直线与圆相离. 故答案为：相离 知识点02 直线与圆的位置关系的判断 （1）几何法（圆心到直线的距离和半径关系） 圆心到直线的距离，则： 直线与圆相交，交于两点，； 直线与圆相切； 直线与圆相离 （2）代数方法（几何问题转化为代数问题即交点个数问题转化为方程根个数） 由， 消元得到一元二次方程，判别式为，则： 直线与圆相交； 直线与圆相切； 直线与圆相离． 位置关系 相交 相切 相离 公共点个数 2     1     0     几何法  d<r     d=r     d>r     代数法 Δ>0      Δ=0      Δ<0     【即学即练】 1．（25-26高二下·安徽马鞍山·阶段检测）已知圆与直线相切，则的值为（   ） A．或2 B．6或 C． D．2 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】二元二次方程表示的曲线与圆的关系、由直线与圆的位置关系求参数 【分析】首先将圆的方程化成标准方程，再利用直线与圆相切的条件即可求解． 【详解】将圆的方程化成标准方程为， 因为圆与直线相切， 则有，解得． 2．（多选题）已知直线：，圆：，则（    ） A．圆的半径为 B．圆心坐标为 C．当直线平分圆时， D．当直线与圆相切时， 【答案】ABC 【难度】0.82 【知识点】由标准方程确定圆心和半径、由直线与圆的位置关系求参数 【分析】配方得圆标准方程后即可得圆心坐标和圆半径，可判断AB，圆心坐标代入直线方程求得参数值判断C，利用圆心到直线的距离等于半径求得参数值判断D. 【详解】由题意圆的标准方程是，所以圆心坐标是，半径是，AB均正确； 当直线平分圆时，直线过圆心，即，，C正确； 若直线与圆相切，则圆心到直线的距离等于半径，即，解得，D错. 知识点03 圆的弦长 1、交点法:若直线与圆的交点坐标容易求出,则直接利用两点间的距离公式求解. 2、弦长公式（代数法）:设直线l:y=kx+b与圆的两个交点分别为A(x1,y1),B(x2,y2),将直线l的方程代入圆的方程,消元后利用根与系数的关系得弦长公式:|AB|=. 3、弦长公式（几何法）:圆的半径r、圆心到弦的距离d、弦长l三者之间的关系为r2=d2+,即弦长l= 知识点04 关于圆的切线几个重要的结论 1、过圆上一点的圆的切线方程为． 2、过圆上一点的圆的切线方程为 3、过圆上一点的圆的切线方程为 4、求过圆外一点的圆的切线方程时，应注意理解： ①所求切线一定有两条； ②设直线方程之前，应对所求直线的斜率是否存在加以讨论．设切线方程为，利用圆心到切线的距离等于半径，列出关于的方程，求出值．若求出的值有两个，则说明斜率不存在的情形不符合题意；若求出的值只有一个，则说明斜率不存在的情形符合题意． 题型01 直线与圆的位置关系 【典例1】．已知点在圆内，则直线与圆的位置关系是（    ） A．相切 B．相交 C．相离 D．不确定 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】点与圆的位置关系求参数、判断直线与圆的位置关系 【分析】根据点与圆的位置关系，结合圆心到直线距离与半径的大小关系进行判断即可. 【详解】∵点是圆内不同于原点的一点， ， ∵圆心到直线的距离， 故直线和圆相离. 故选：C 【变式1】．已知直线：，圆C：，则“”是“直线与圆C相切”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】判断命题的充分不必要条件、由直线与圆的位置关系求参数 【详解】因为直线：，圆C：， 若直线与圆C相切，则，解得， 所以“”是“直线与圆C相切”的充分不必要条件. 【变式2】．（2026·江苏·模拟预测）已知直线，若绕点顺时针旋转后恰与圆相切，则实数（   ） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】D 【难度】0.7 【知识点】已知切线求参数 【详解】直线，斜率，且点在直线上. 直线顺时针旋转后与原直线垂直，故旋转后直线斜率. 由点斜式得旋转后直线方程，整理得. 圆的圆心为，半径. 直线与圆相切，则圆心到直线的距离等于半径，由点到直线距离公式 化简得，解得或. 【变式3】．直线绕原点按逆时针方向旋转后所得的直线与圆的位置关系是_____________. 【答案】相切 【难度】0.85 【知识点】直线的倾斜角、求点到直线的距离、判断直线与圆的位置关系 【分析】求出旋转之后的直线的方程，求得圆心到直线的距离即可得直线与圆相切. 【详解】易知直线的斜率为，倾斜角为， 其绕原点按逆时针方向旋转以后倾斜角为，斜率为，此时的直线方程为； 圆的圆心为，半径为， 圆心到直线的距离为，等于半径， 因此直线与圆的位置关系是相切. 故答案为：相切 【变式4】．（25-26高二下·广东揭阳·期末）（多选题）已知圆：，直线：.若圆与直线有公共点，则的值可能为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】AB 【难度】0.85 【知识点】由标准方程确定圆心和半径、由直线与圆的位置关系求参数 【分析】利用若直线与圆有交点则圆心到直线的距离不大于半径的性质建立不等式求解即可. 【详解】圆的圆心，半径为，直线，若圆与直线有交点， 则圆心到直线的距离，解得，故选A、B. 题型02 弦长与面积问题 【典例2】．（24-25高二上·河北邯郸·阶段检测）已知圆外一点，过点作圆的两条切线，切点分别为和，则直线的方程为______. 【答案】 【难度】0.65 【知识点】切点弦及其方程 【分析】由二级结论：若点在圆外，过点引圆的两条切线，切点为，则切点弦(两切点的连线段)所在直线的方程为：（圆的方程为），代入即可的直线的方程 【详解】由题意，切点弦所在直线的方程为： ， 化简得：. 故答案为：. 【变式1】．（2026·山东临沂·二模）直线与圆交于，两点，且的面积为2，则________． 【答案】3或 【难度】0.7 【知识点】由标准方程确定圆心和半径、由直线与圆的位置关系求参数、圆内接三角形的面积 【详解】圆化为标准形式，圆心，半径； 面积（为圆心到直线的距离）， 由，得，即，解得； 圆心到直线的距离，即，解得或． 【变式2】．（2025·浙江·三模）过原点的直线与圆交于、两点，若三角形的面积为，则直线的方程为_____. 【答案】 【难度】0.65 【知识点】三角形面积公式及其应用、圆内接三角形的面积 【分析】分析可知，求出圆心到直线的距离，对直线的斜率是否存在进行分类讨论，利用点到直线的距离公式求出参数值，即可得出直线的方程. 【详解】圆的半径为，圆心为， 则， 所以，此时圆心到直线的距离为， 若直线与轴重合，则圆心到直线的距离为，不合乎题意， 所以，直线的斜率存在，设直线的方程为，即， 由题意可得，解得，故直线的方程为. 故答案为：. 【变式3】．（2026·河南郑州·二模）已知直线，圆，直线与圆交于，两点，则的最小值为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.7 【知识点】圆的弦长与中点弦 【分析】先确定直线恒过的圆内定点，再利用弦长公式，结合“圆心到直线的距离最大时弦长最小”的几何性质求解. 【详解】将直线 整理为 ， 令 ，得直线 恒过定点 . 圆 的圆心为 ，半径 ， ，故点 在圆 内. 设圆心 到直线 的距离为 ，弦长 . 要使 最小，需 取最大值. 当 时，， 此时 . 【变式4】．（25-26高二下·甘肃兰州·期中）若直线x＋y＝0交圆C：于A，B两点，则|AB|＝（    ） A． B． C． D．2 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】圆的弦长与中点弦 【分析】求出圆心到直线的距离，由勾股定理求弦长. 【详解】可化为， 圆心的坐标为，半径为， 则圆心到直线x＋y＝0的距离为， 所以. 题型03 切线、切线长、切点弦问题 【典例3】．（25-26高二上·山东枣庄·阶段检测）已知圆，点在直线上运动，直线与圆相切，切点为，当最小时，弦所在直线的斜率为___________． 【答案】1 【难度】0.85 【知识点】切线长、切点弦及其方程 【分析】根据给定条件，利用切线长定理确定直线与直线的位置关系，再求出直线的斜率. 【详解】由直线与圆相切，得，且， 当且仅当最小时，最小，此时，因此， 所以直线的斜率. 故答案为：1 【变式1】．（2026·山东枣庄·三模）过点作圆的切线，切点分别为，，则直线的方程为____________. 【答案】 【难度】0.65 【知识点】切点弦及其方程、相交圆的公共弦方程 【分析】根据切线的性质易判断，，，四点共圆，且圆心为中点，半径为，进而可以求出新的圆的方程，直线即为公共弦所在的直线，方程即为两个圆方程的差，代入计算即可. 【详解】由题意知，圆心为，半径，点在圆外面， 由切线的性质定理可知，，，即， 所以点，在以为直径的圆上，即，，，四点共圆，且圆心为中点，半径， 设圆心为，根据中点坐标公式，则为，半径， 所以圆的方程为， 因此直线即为圆与圆公共弦所在的直线，方程为两个圆方程的差， 即，化简得， 所以直线的方程为. 【变式2】．已知圆外一点，过点作圆的两条切线，切点分别为和，则直线的方程为______. 【答案】 【难度】0.65 【知识点】切点弦及其方程 【分析】由二级结论：若点在圆外，过点引圆的两条切线，切点为，则切点弦(两切点的连线段)所在直线的方程为（圆的方程为），代入即可的直线的方程. 【详解】由题意，切点弦所在直线的方程为: ， 化简得：. 故答案为：. 【变式3】．（25-26高二上·福建泉州·期中）如图，圆，点为直线上一动点，过动点作圆的两条切线，切点分别为．则直线的方程为______，直线所经过的定点的坐标为______． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】直线过定点问题、切点弦及其方程 【分析】方法一：可得四点共圆，求出以为直径的圆，与圆方程联立即可求出直线的方程，进而可求出定点的坐标；方法二：求出以为圆心，为半径的圆方程，与圆方程联立即可求出直线的方程，进而可求出定点的坐标；方法三：对于圆 ，若点在圆外，过点作圆的两条切线，切点分别为、，则切点弦所在直线的方程为 ，直接用结论写出直线的方程，进而可求出定点的坐标. 【详解】如图，连接， 方法一 ：因为都是圆的切线，所以，，所以四点共圆， 且为直径，所以切点弦实际上是以为直径的圆与圆的公共弦， 则以为直径的圆的圆心为，半径为， 故以为直径的圆的方程为， 两圆方程相减得直线的方程为， 令，则，所以直线过定点． 方法二：实际上是以为圆心，为半径的圆与圆的相交弦． ，，所以， 在中，， 所以以为圆心，为半径的圆的方程为， 两圆方程相减，可得圆和圆的公共弦所在直线的方程为， 即，令，则，所以直线过定点． 方法三：直线的方程为，即， 令，得，所以直线过定点． 故答案为：； 题型04 圆上的点到直线距离的个数问题 【典例4】．（25-26高二下·云南曲靖·开学考试）已知P是：上的动点，则P到直线l：距离的最小值为________ 【答案】 【难度】0.78 【知识点】由标准方程确定圆心和半径、圆上点到定直线（图形）上的最值（范围） 【详解】将圆的方程配方得, 因此圆心为，半径， 根据点到直线的距离公式，圆心C到直线l：的距离：， 则P到直线l：距离的最小值为. 【变式1】．（25-26高二上·陕西商洛·期末）若点P是圆上的动点，则点P到直线的距离的最大值为_______. 【答案】7 【难度】0.85 【知识点】求点到直线的距离、由标准方程确定圆心和半径、圆上点到定直线（图形）上的最值（范围） 【分析】求出圆心到直线的距离，再加上半径即可. 【详解】因为圆的圆心为原点，半径为3， 所以到直线的距离为， 所以点P到直线的距离的最大值为， 故答案为：7. 【变式2】．（25-26高二上·山东济南·期末）已知圆，直线，则圆上的点到直线的距离的最大值为（   ） A．1 B．3 C．5 D．7 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】求点到直线的距离、由标准方程确定圆心和半径、圆上点到定直线（图形）上的最值（范围） 【分析】把问题转化为求圆心到直线的距离的最大值即可. 【详解】圆的方程：，圆心 ，半径 ， 直线方程为 。 圆心到直线的距离公式为： ， 圆上点到直线的最大距离等于圆心到直线的距离加上圆的半径，即： 当时，最小，取得最大值， 此时：， 因此，圆上的点到直线 的距离的最大值为5. 故选：C 【变式3】．（25-26高二上·陕西渭南·阶段检测）是圆上动点，为到直线上的距离，则不可能为（   ）. A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】圆上点到定直线（图形）上的最值（范围） 【分析】求得圆心到直线的距离，再结合圆的性质，即可求解. 【详解】由题意，圆的圆心坐标为，半径， 圆心到直线的距离为,则直线与圆相离， 所以点到直线的最大距离为，最小距离为，则不可能为. 故选：D. 题型05 直线与圆的位置关系中的最值（范围）问题 【典5】．（2026·山东青岛·模拟预测）已知点是圆：上一点，点，，的最大值为（     ） A． B．4 C． D．2 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】辅助角公式、数量积的坐标表示、定点到圆上点的最值（范围） 【分析】依题意设，根据数量积的坐标表示，辅助角公式，及正弦函数的性质即可求解． 【详解】依题意设，则，， 则 ，其中， 又，则， 所以的最大值为． 【变式1】．（25-26高一下·北京·期中）已知直线与曲线交于两点，平面上的动点满足，，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.62 【知识点】定点到圆上点的最值（范围） 【详解】已知直线，整理为，则直线恒过定点； 已知曲线，整理为，对称中心恰好为. 由于直线过双曲线中心，所以交点关于对称，即是中点. 根据向量中点性质，可知， 代入条件，得，即， 即动点的轨迹是以为圆心，半径的圆及其内部. 则原点到圆心的距离为：， 从而. 【变式2】．（25-26高三下·北京·阶段检测）已知、、三点，点在圆上运动，则的值不可能取到的值是（     ） A．4 B．6 C．8 D．10 【答案】D 【难度】0.76 【知识点】求平面两点间的距离、定点到圆上点的最值（范围） 【详解】点在圆上，设，则， 则， ， ， 相加得： . 由于，得，则，即取值范围为. 因此，4、6、8均可取到，而10不在范围内，不可能取到. 【变式3】．（22-23高二上·广东清远·期中）已知圆 上一动点A和定点，点P为x轴上一动点，则的最小值为 ___________ 【答案】 【难度】0.65 【知识点】求平面两点间的距离、求点关于直线的对称点、定点到圆上点的最值（范围）、圆上点到定直线（图形）上的最值（范围） 【分析】先根据已知画出圆及点结合点关于x轴对称，进而数形结合即可得出距离和的最小值. 【详解】根据题意画出圆，以及点的图象如图， 作B关于x轴的对称点，连接圆心与，则与圆的交点A，即为的最小值， 为点到点的距离减圆的半径， 即， 故答案为：． 【变式4】．（25-26高二上·河北邢台·阶段检测）已知，圆是圆上的动点，是轴上的动点，则的最小值是__________. 【答案】4 【难度】0.65 【知识点】求平面两点间的距离、求点关于直线的对称点、定点到圆上点的最值（范围） 【分析】首先把的最小值转化为的最小值，再利用最短路径问题的结论即可求解. 【详解】由题意可知圆心的坐标为，半径， 点关于轴对称的点的坐标为， 则，从而， 故，即的最小值是4. 故答案为：4    题型06 综合问题 【典例1】．（25-26高二上·辽宁丹东·阶段检测）古希腊著名数学家阿波罗尼斯（约公元前262年至前190年）与欧几里得､阿基米德齐名，著有《圆锥曲线论》八卷.他发现平面内到两个定点的距离之比为定值的点所形成的图形是圆.后来人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆.已知在平面直角坐标系中，.点满足，设点的轨迹为曲线， (1)求曲线的方程； (2)若点，求的最小值和最大值. (3)求曲线上的点到直线的最小距离. 【答案】(1) (2)最小值为，最大值为 (3) 【难度】0.65 【知识点】轨迹问题——圆、定点到圆上点的最值（范围）、圆上点到定直线（图形）上的最值（范围） 【分析】（1）根据条件列出方程求出曲线的轨迹方程即可； （2）求出点与圆心的距离，即可求出最值； （3）根据圆心到直线的距离求最值即可. 【详解】（1）设， 则， 化简得，， 即. （2）由知，圆心为，半径， 因为， 所以点在圆外， ， 所以. （3）因为圆心到直线的距离为， 所以曲线上的点到直线的最小距离为. 【变式1】．（25-26高二上·陕西安康·期中）已知圆的圆心在直线上. (1)求； (2)过的直线与相交于. （i）求的一般式方程； （ii）记为圆上一点，求的最大值. 【答案】(1) (2)（i）；（ii） 【难度】0.65 【知识点】直线的一般式方程及辨析、由标准方程确定圆心和半径、定点到圆上点的最值（范围） 【分析】（1）由圆的标准方程得圆心坐标，再结合条件，即可求解； （2）（i）先求出，进而可得直线的斜率，再利用点斜式得直线方程，再化成一般式，即可求解；（ii）利用圆的性质即可求解. 【详解】（1）因为圆的圆心为，半径为， 由题有，解得，所以的值为. （2）（i）由（1）知，所以，又在直线上， 所以，得到，则直线的斜率为，所以的方程为， 其一般式方程为. （ii）由（1）知圆，圆心为，半径为， 所以的最大值为， 即的最大值为. 【变式2】．（25-26高二上·江西抚州·阶段检测）已知线段的端点B的坐标为，端点在圆上运动. (1)求线段的中点的轨迹方程，并说明轨迹是什么图形； (2)记（1）中的轨迹为，求轨迹关于点对称的轨迹方程； (3)已知点坐标为，求点到点的距离的取值范围. 【答案】(1)线段的中点的轨迹方程为， 点的轨迹是以为圆心，半径为1的圆. (2)轨迹关于点对称的轨迹方程为； (3)点到点的距离的取值范围为. 【难度】0.65 【知识点】轨迹问题——圆、由圆心（或半径）求圆的方程、定点到圆上点的最值（范围） 【分析】（1）设中点为，且，根据中点公式，求得，将其代入圆的方程，即可求解； （2）先确定对称曲线为圆，设其方程为，由对称关系求，由此可得结论； （3）先证明点在圆外，结合圆的性质求结论. 【详解】（1）由圆，可得圆心为，半径长为2， 设线段中点为，且， 因为点的坐标是，且是线段的中点， 可得，解得， 因为点在圆上上运动，即， 所以， 所以线段的中点的轨迹方程为， 点的轨迹是以为圆心，半径为1的圆. （2）轨迹关于点对称的轨迹为圆， 设其方程为， 则点和点关于点对称，且 所以，， 解得，， 所以轨迹关于点对称的轨迹方程为； （3）点到点的距离， 所以点在圆外，又点在圆上， 所以当点，点，点三点共线，且时， 点到点的距离取最大值，最大值为， 当点，点，点三点共线，且时， 点到点的距离取最小值， 最小为， 所以点到点的距离的取值范围为. 【变式3】．（24-25高二上·山西·阶段检测）已知圆经过点，，. (1)求圆的标准方程； (2)若一条光线从点射向直线，经该直线反射后经过圆上的点，求该光线从点到点的路线长的最小值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【难度】0.65 【知识点】求点关于直线的对称点、求过已知三点的圆的标准方程、定点到圆上点的最值（范围） 【分析】（1）设圆的标准方程为，将的坐标代入方程，求得的值，即可求解； （2）设点关于直线对称的点，列出方程组，求得，结合圆的性质，即可求解. 【详解】（1）设圆的标准方程为， 将点，，代入方程，可得 解得，所以圆的标准方程为. （2）设点关于直线对称的点的坐标为， 则，解得，即. 由（1）可得圆的圆心为，半径， 则该光线从点到点的路线长的最小值为. 【变式4】．（23-24高二上·湖南·期中）若圆的圆心在上，且圆与直线切于点． (1)求圆的标准方程； (2)已知点，，若为圆上任意一点，求的最大值并求出取得最大值时点的坐标． 【答案】(1) (2)最大值为53，的坐标为 【难度】0.65 【知识点】由圆心（或半径）求圆的方程、定点到圆上点的最值（范围） 【分析】（1）根据圆心在直线上，结合相切，即可求解圆心和半径， （2）方法一，利用三角换元，结合三角恒等变换以及三角函数的性质即可求解最值，方法二，利用坐标法可将问题转化为圆上的点到点距离的平方的最值，即可联立直线与圆的方程求解坐标． 【详解】（1）设圆心，由于直线与圆相切于点，所以， 故，，所以圆的标准方程为 （2）方法一：设， 则 ，其中，， 所以，当时，的最大值为53． 此时，，，，，所以． 方法二：设，则， ∴． 又，所以， 因为表示圆上的点到点距离的平方． 易得，的最大值为， 所以的最大值为53．此时，，和三点共线，且，位于两侧时， 直线方程， 联立直线与可得，解得或（舍去），则 故的坐标为．    1．直线与圆的位置关系为（   ） A．相交 B．相切 C．相离 D．与m的取值有关 【答案】A 【难度】0.82 【知识点】判断直线与圆的位置关系 【详解】圆，则圆心，半径， 所以圆心C到直线l的距离，所以直线l与圆C相交． 2．（25-26高二上·甘肃酒泉·期末）圆心为且与直线相切的圆的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】由圆心（或半径）求圆的方程、已知切线求参数 【分析】先设出圆的方程，根据相切的性质可求半径，进而可得答案. 【详解】设圆的方程为， 因为直线与圆相切，所以圆心到直线的距离为，即， 所以. 故选：A 3．（25-26高二上·浙江·期中）若直线与圆相切于点，则的值为（    ） A．-4 B．-2 C．2 D．4 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】由标准方程确定圆心和半径、由直线与圆的位置关系求参数、已知切线求参数 【分析】由切点在直线上，圆心与切点的连线与切线垂直列式求解即可. 【详解】切点在直线上，所以，即， 圆心与切点连线的斜率为， 所以切线的斜率为， 又切线的斜率为，所以， 所以，解得， 所以. 故选：C. 4．（2026·广东佛山·二模）设直线与圆交于两点，则（   ） A． B． C．1 D． 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】圆的弦长与中点弦 【详解】由圆，即，则圆心为，半径， 则圆心到直线的距离为， 所以. 5．（25-26高二上·甘肃兰州·期中）直线分别与x轴，y轴交于两点，点P在圆上，则面积的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】求点到直线的距离、由标准方程确定圆心和半径、圆上点到定直线（图形）上的最值（范围） 【分析】把圆上的动点问题转化为圆心到直线的距离，再利用圆的性质即可得距离的范围，从而问题即可得解. 【详解】 由题意可得：，即， 再由圆心到直线的距离公式可得， 因为圆的半径为， 所以圆上点P到直线的距离的取值范围为， 由面积是. 故选：C 6．（2024·贵州黔南·一模）若为圆上的动点，则点到直线的距离的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】求点到直线的距离、圆上点到定直线（图形）上的最值（范围） 【分析】求出圆心到直线的距离，再利用圆的性质求出最小值. 【详解】圆的圆心，半径， 点到直线的距离， 即直线与圆相离，又点在该圆上， 所以点到直线的距离的最小值为. 故选：A 7．（24-25高二上·四川巴中·期中）已知，动点与点A的距离是它与点的距离的倍，则面积的最大值（    ） A． B．8 C． D． 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】轨迹问题——圆、圆上点到定直线（图形）上的最值（范围） 【分析】求出点的轨迹方程为圆，数形结合得高的最大值为圆的半径，可解问题. 【详解】设，由， 得，化简整理得， 即点的轨迹为圆，半径为， 由于，所以当边上高最大时，的面积最大， 所以. 故选：A. 8．（23-24高二下·广西·阶段检测）已知点M在直线上，点P在圆上，过点M引圆C的两条切线，切点分别为A，B，则的最大值为________． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】数量积的运算律、直线过定点问题、定点到圆上点的最值（范围）、切点弦及其方程 【分析】根据给定条件，求出切点弦所过的定点，再利用数量积的运算律，借助圆上的点到定点距离的最值特征求出最大值即可. 【详解】设点，圆圆心，半径， 显然切点在以线段为直径的圆上， 此圆方程为， 整理得，与圆的方程相减得直线的方程， 直线的方程为，即， 由，解得，即直线恒过定点， 连接交于，由切线长定理得，且是线段的中点， ， 显然，当且仅当与重合，且是延长线与圆的交点， 即点共线，且圆心在线段上时取等号，此时， 所以. 故答案为： 9．（2026·河北邢台·二模）已知O为坐标原点，直线2x+3my+1 =0与圆 交于A，B两点，若 的面积为 则m=_____. 【答案】 【难度】0.65 【知识点】求点到直线的距离、圆内接三角形的面积 【详解】∵ 圆的圆心为原点，半径， ∴ ， 设， 则. ∵ ， ∴ ，解得. ∵ ，∴ 或. 过点作于点，则为圆心到直线的距离，且. 在中，. 当时，；当时，. 由点到直线的距离公式，圆心到直线的距离，故舍去. ∴ ，解得，即. 10．（25-26高二上·黑龙江大庆·期中）过原点的直线与圆交于，两点，设的面积为S，则S的最大值是_____________ 【答案】 【难度】0.65 【知识点】圆的弦长与中点弦、圆内接三角形的面积 【分析】设直线方程，结合弦长公式、三角形面积公式、二次函数的性质计算即可. 【详解】由题意可知圆心，半径， 设，则圆心到l的距离为，即， 所以， 则 令，显然，即，当时取得最大值. 故答案为： 11．是直线上的一个动点，是圆上的两点，若均与圆相切，则弦长的最小值为______． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】切点弦及其方程 【分析】由题意结合等面积法可知，由此可知只需求的最小值即可，结合点到直线的距离公式即可得解. 【详解】因为，所以， 当的长最小时，弦长最小， 而的最小值为圆心（即原点）到直线的距离， 所以，所以． 故答案为：. 12．（25-26高一上·北京·期末）若点是圆：上的任一点，直线：与轴、轴分别相交于、两点，则面积的最小值为______. 【答案】 【难度】0.85 【知识点】圆上点到定直线（图形）上的最值（范围） 【分析】利用圆的几何性质，结合点到直线距离公式进行求解即可. 【详解】因为直线：与轴、轴分别相交于、两点， 所以、两点的坐标分别为、， 因此， ， 该圆的圆心坐标为，半径为， 圆心到直线：的距离为， 所以点到直线：的最小距离为， 所以面积的最小值为. 故答案为： 13．（24-25高二上·黑龙江·期末）已知，直线：与圆C：交于A，B两点. (1)证明恒过定点，并求出原点到直线的最大距离； (2)已知点在圆C上，求的取值范围. 【答案】(1)由直线：， 得， 联立，解得， 所以恒过定点， 设直线恒过定点为, 则当时，原点到直线的距离最大，最大距离为. (2) 【难度】0.65 【知识点】直线过定点问题、求平面两点间的距离、由标准方程确定圆心和半径、定点到圆上点的最值（范围） 【分析】（1）将化为，令即可求出定点，当直线与定点和原点构成直线垂直时，原点到直线的距离最大，得到答案； （2）根据的几何意义为点到的距离，结合与圆的位置关系，结合半径和圆心到得到答案. 【详解】（1）略 （2）点在圆C上，的几何意义为点到的距离， 因为圆C：，即，圆心， 又因为，所以在圆内， 所以到的距离的最大值为， 到的距离的最大值为 所以， 所以的取值范围为. 14．已知某圆的圆心在直线上，且该圆过点，半径为，直线l的方程为． (1)求此圆的标准方程； (2)若直线l过定点A，点B，C在此圆上，且，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【难度】0.65 【知识点】由圆心（或半径）求圆的方程、定点到圆上点的最值（范围） 【分析】（1）结合题意，设圆心坐标，列圆的标准方程，代入，即可求出的值，从而得到圆的标准方程. （2）求得直线恒过定点，取BC中点为，则，可得点D的轨迹方程，可求得的取值范围，进而可得的取值范围. 【详解】（1）由题意可设此圆的方程为， 把点坐标代入得，则， 所以圆的标准方程为． （2） 直线l方程为，即， 则有，可得定点， 取线段BC中点为，则，令原点为O，， 即，化简可得， 即D的轨迹是以为圆心，为半径的圆， A到D轨迹圆心距离为，则的取值范围为， 所以的取值范围为． 15．（2026·湖北荆州·一模）已知点分别在圆上运动，点M在直线上运动，则的最小值为（    ） A． B．3 C． D．4 【答案】B 【难度】0.64 【知识点】求点关于直线的对称点、定点到圆上点的最值（范围）、圆上点到定直线（图形）上的最值（范围） 【分析】根据对称求解圆的圆心，进而根据对称，结合三点共线即可求解. 【详解】如图，作圆关于直线对称的圆， 设，则，解得，则 连接与圆相交于点,连接与圆相交于点,关于直线对称的点记为， 则（当M，，共线时取等号）， （当M，，共线时取等号）， 由于，则， 因此，当M，，共线时取等号，所以所求最小值为3. 16．（24-25高一上·山东淄博·期中）已知点为直线上的动点，为圆上的动点，则的最小值为__________. 【答案】9 【难度】0.65 【知识点】由标准方程确定圆心和半径、定点到圆上点的最值（范围） 【分析】取点，计算出，，数形结合得到的最小值为，从而得到的最小值. 【详解】可知圆的圆心为，半径， 设，，则， 所以 ， 所以，， 过点作⊥，交圆于点， 故的最小值为， 所以的最小值为. 故答案为：9. 2 / 19 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题2.2 直线与圆的位置关系 教学目标 1.能根据给定直线、圆的方程判断直线与圆位置关系。 2.能用直线和圆的方程解决一些简单的数学问题与实际问题.。 教学重难点 1.重点 （1）直线与圆的位置关系； （2）圆的弦长、切线问题； （3）与圆有关的最值问题。 2.难点 （1）圆上的点到直线距离的个数问题； （2）直线与圆的位置关系中的最值（范围）问题。 知识点01 直线与圆的位置关系 直线与圆的位置关系有3种，相离，相切和相交 【即学即练】 1．（24-25高二上·北京·期中）直线与圆的位置关系是________． 知识点02 直线与圆的位置关系的判断 （1）几何法（圆心到直线的距离和半径关系） 圆心到直线的距离，则： 直线与圆相交，交于两点，； 直线与圆相切； 直线与圆相离 （2）代数方法（几何问题转化为代数问题即交点个数问题转化为方程根个数） 由， 消元得到一元二次方程，判别式为，则： 直线与圆相交； 直线与圆相切； 直线与圆相离． 位置关系 相交 相切 相离 公共点个数 2     1     0     几何法  d<r     d=r     d>r     代数法 Δ>0      Δ=0      Δ<0     【即学即练】 1．（25-26高二下·安徽马鞍山·阶段检测）已知圆与直线相切，则的值为（   ） A．或2 B．6或 C． D．2 2．（多选题）已知直线：，圆：，则（    ） A．圆的半径为 B．圆心坐标为 C．当直线平分圆时， D．当直线与圆相切时， 知识点03 圆的弦长 1、交点法:若直线与圆的交点坐标容易求出,则直接利用两点间的距离公式求解. 2、弦长公式（代数法）:设直线l:y=kx+b与圆的两个交点分别为A(x1,y1),B(x2,y2),将直线l的方程代入圆的方程,消元后利用根与系数的关系得弦长公式:|AB|=. 3、弦长公式（几何法）:圆的半径r、圆心到弦的距离d、弦长l三者之间的关系为r2=d2+,即弦长l= 知识点04 关于圆的切线几个重要的结论 1、过圆上一点的圆的切线方程为． 2、过圆上一点的圆的切线方程为 3、过圆上一点的圆的切线方程为 4、求过圆外一点的圆的切线方程时，应注意理解： ①所求切线一定有两条； ②设直线方程之前，应对所求直线的斜率是否存在加以讨论．设切线方程为，利用圆心到切线的距离等于半径，列出关于的方程，求出值．若求出的值有两个，则说明斜率不存在的情形不符合题意；若求出的值只有一个，则说明斜率不存在的情形符合题意． 题型01 直线与圆的位置关系 【典例1】．已知点在圆内，则直线与圆的位置关系是（    ） A．相切 B．相交 C．相离 D．不确定 【变式1】．已知直线：，圆C：，则“”是“直线与圆C相切”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式2】．（2026·江苏·模拟预测）已知直线，若绕点顺时针旋转后恰与圆相切，则实数（   ） A．或 B．或 C．或 D．或 【变式3】．直线绕原点按逆时针方向旋转后所得的直线与圆的位置关系是_____________. 【变式4】．（25-26高二下·广东揭阳·期末）（多选题）已知圆：，直线：.若圆与直线有公共点，则的值可能为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 题型02 弦长与面积问题 【典例2】．（24-25高二上·河北邯郸·阶段检测）已知圆外一点，过点作圆的两条切线，切点分别为和，则直线的方程为______. 【变式1】．（2026·山东临沂·二模）直线与圆交于，两点，且的面积为2，则________． 【变式2】．（2025·浙江·三模）过原点的直线与圆交于、两点，若三角形的面积为，则直线的方程为_____. 【变式3】．（2026·河南郑州·二模）已知直线，圆，直线与圆交于，两点，则的最小值为（     ） A． B． C． D． 【变式4】．（25-26高二下·甘肃兰州·期中）若直线x＋y＝0交圆C：于A，B两点，则|AB|＝（    ） A． B． C． D．2 题型03 切线、切线长、切点弦问题 【典例3】．（25-26高二上·山东枣庄·阶段检测）已知圆，点在直线上运动，直线与圆相切，切点为，当最小时，弦所在直线的斜率为___________． 【变式1】．（2026·山东枣庄·三模）过点作圆的切线，切点分别为，，则直线的方程为____________. 【变式2】．已知圆外一点，过点作圆的两条切线，切点分别为和，则直线的方程为______. 【变式3】．（25-26高二上·福建泉州·期中）如图，圆，点为直线上一动点，过动点作圆的两条切线，切点分别为．则直线的方程为______，直线所经过的定点的坐标为______． 题型04 圆上的点到直线距离的个数问题 【典例4】．（25-26高二下·云南曲靖·开学考试）已知P是：上的动点，则P到直线l：距离的最小值为________ 【变式1】．（25-26高二上·陕西商洛·期末）若点P是圆上的动点，则点P到直线的距离的最大值为_______. 【变式2】．（25-26高二上·山东济南·期末）已知圆，直线，则圆上的点到直线的距离的最大值为（   ） A．1 B．3 C．5 D．7 【变式3】．（25-26高二上·陕西渭南·阶段检测）是圆上动点，为到直线上的距离，则不可能为（   ）. A．2 B．4 C．6 D．8 题型05 直线与圆的位置关系中的最值（范围）问题 【典5】．（2026·山东青岛·模拟预测）已知点是圆：上一点，点，，的最大值为（     ） A． B．4 C． D．2 【变式1】．（25-26高一下·北京·期中）已知直线与曲线交于两点，平面上的动点满足，，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 【变式2】．（25-26高三下·北京·阶段检测）已知、、三点，点在圆上运动，则的值不可能取到的值是（     ） A．4 B．6 C．8 D．10 【变式3】．（22-23高二上·广东清远·期中）已知圆 上一动点A和定点，点P为x轴上一动点，则的最小值为 ___________ 【变式4】．（25-26高二上·河北邢台·阶段检测）已知，圆是圆上的动点，是轴上的动点，则的最小值是__________. 题型06 综合问题 【典例1】．（25-26高二上·辽宁丹东·阶段检测）古希腊著名数学家阿波罗尼斯（约公元前262年至前190年）与欧几里得､阿基米德齐名，著有《圆锥曲线论》八卷.他发现平面内到两个定点的距离之比为定值的点所形成的图形是圆.后来人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆.已知在平面直角坐标系中，.点满足，设点的轨迹为曲线， (1)求曲线的方程； (2)若点，求的最小值和最大值. (3)求曲线上的点到直线的最小距离. 【变式1】．（25-26高二上·陕西安康·期中）已知圆的圆心在直线上. (1)求； (2)过的直线与相交于. （i）求的一般式方程； （ii）记为圆上一点，求的最大值. 【变式2】．（25-26高二上·江西抚州·阶段检测）已知线段的端点B的坐标为，端点在圆上运动. (1)求线段的中点的轨迹方程，并说明轨迹是什么图形； (2)记（1）中的轨迹为，求轨迹关于点对称的轨迹方程； (3)已知点坐标为，求点到点的距离的取值范围. 【变式3】．（24-25高二上·山西·阶段检测）已知圆经过点，，. (1)求圆的标准方程； (2)若一条光线从点射向直线，经该直线反射后经过圆上的点，求该光线从点到点的路线长的最小值. 【变式4】．（23-24高二上·湖南·期中）若圆的圆心在上，且圆与直线切于点． (1)求圆的标准方程； (2)已知点，，若为圆上任意一点，求的最大值并求出取得最大值时点的坐标． 1．直线与圆的位置关系为（   ） A．相交 B．相切 C．相离 D．与m的取值有关 2．（25-26高二上·甘肃酒泉·期末）圆心为且与直线相切的圆的方程为（   ） A． B． C． D． 3．（25-26高二上·浙江·期中）若直线与圆相切于点，则的值为（    ） A．-4 B．-2 C．2 D．4 4．（2026·广东佛山·二模）设直线与圆交于两点，则（   ） A． B． C．1 D． 5．（25-26高二上·甘肃兰州·期中）直线分别与x轴，y轴交于两点，点P在圆上，则面积的取值范围是（    ） A． B． C． D． 6．（2024·贵州黔南·一模）若为圆上的动点，则点到直线的距离的最小值为（    ） A． B． C． D． 7．（24-25高二上·四川巴中·期中）已知，动点与点A的距离是它与点的距离的倍，则面积的最大值（    ） A． B．8 C． D． 8．（23-24高二下·广西·阶段检测）已知点M在直线上，点P在圆上，过点M引圆C的两条切线，切点分别为A，B，则的最大值为________． 9．（2026·河北邢台·二模）已知O为坐标原点，直线2x+3my+1 =0与圆 交于A，B两点，若 的面积为 则m=_____. 10．（25-26高二上·黑龙江大庆·期中）过原点的直线与圆交于，两点，设的面积为S，则S的最大值是_____________ 11．是直线上的一个动点，是圆上的两点，若均与圆相切，则弦长的最小值为______． 12．（25-26高一上·北京·期末）若点是圆：上的任一点，直线：与轴、轴分别相交于、两点，则面积的最小值为______. 13．（24-25高二上·黑龙江·期末）已知，直线：与圆C：交于A，B两点. (1)证明恒过定点，并求出原点到直线的最大距离； (2)已知点在圆C上，求的取值范围. 14．已知某圆的圆心在直线上，且该圆过点，半径为，直线l的方程为． (1)求此圆的标准方程； (2)若直线l过定点A，点B，C在此圆上，且，求的取值范围． 15．（2026·湖北荆州·一模）已知点分别在圆上运动，点M在直线上运动，则的最小值为（    ） A． B．3 C． D．4 16．（24-25高一上·山东淄博·期中）已知点为直线上的动点，为圆上的动点，则的最小值为__________. 2 / 19 学科网（北京）股份有限公司 $