专题2.1 圆的方程（举一反三讲义）高二数学苏教版选择性必修第一册

本讲义聚焦圆的方程核心知识点，从圆的定义出发，系统梳理标准方程、一般方程的形式与互化，明确二元二次方程表示圆的条件，进而延伸至点与圆的位置关系、轨迹问题及对称问题，构建完整知识链作为学习支架。 资料以10类题型为框架，每题型配例题与变式题，如求以线段为直径的圆方程、判断点与圆位置关系等，培养学生用数学眼光抽象几何关系、用数学思维推理参数范围的能力。课中辅助教师分层教学，课后助力学生通过变式练习巩固知识，查漏补缺。

专题2.1 圆的方程（举一反三讲义） 【苏教版】 【题型1 求圆的标准方程】 2 【题型2 求圆的一般方程】 2 【题型3 由圆的方程确定圆心和半径】 3 【题型4 圆的一般方程与标准方程之间的互化】 3 【题型5 二元二次方程表示圆的条件】 4 【题型6 圆过定点问题】 5 【题型7 判断点与圆的位置关系】 6 【题型8 点与圆的位置关系求参数】 7 【题型9 轨迹问题——圆】 8 【题型10 与圆有关的对称问题】 9 考点1 圆的方程 知识点1 圆的方程 1．圆的定义 圆的定义：平面内到定点的距离等于定长的点的集合(轨迹)是圆(定点为圆心，定长为半径). 圆心决定圆的位置，半径决定圆的大小. 2．圆的标准方程 (1)圆的标准方程：方程 (r>0)叫作以点(a,b)为圆心，r为半径的圆的标准方程. (2)圆的标准方程的优点：根据圆的标准方程很容易确定圆心坐标和半径. (3)圆的标准方程的适用条件：从方程的形式可以知道，一个圆的标准方程中含有三个字母(待定)，因此在一般条件下，只要已知三个独立的条件，就可以求解圆的标准方程. 3．圆的一般方程 (1)方程叫做圆的一般方程. (2)圆的一般方程的适用条件：从方程的形式可以知道，一个圆的一般方程中含有三个字母(待定)，因此在一般条件下，只要已知三个独立的条件，就可以求解圆的一般方程. 下列情况比较适用圆的一般方程： ①已知圆上三点，将三点坐标代入圆的一般方程，求待定系数D，E，F； ②已知圆上两点，圆心所在的直线，将两个点代入圆的方程，将圆心代入圆心所在的直线方程，求待定系数D，E，F. 【题型1 求圆的标准方程】 【例1】（25-26高二上·江西宜春·期末）圆心为，半径为6的圆的标准方程为（    ） A． B． C． D． 【变式1.1】（25-26高二上·福建厦门·期末）已知点坐标为，点坐标为，以线段为直径的圆的方程是（   ） A． B． C． D． 【变式1-2】（25-26高二上·河北唐山·期末）已知圆经过、两点，圆心在直线上，则圆的方程为（　　） A． B． C． D． 【变式1.3】（25-26高二上·河南·阶段检测）已知的三个顶点分别为，则的外接圆的方程为（   ） A． B． C． D． 【题型2 求圆的一般方程】 【例2】（25-26高二上·天津·阶段检测）经过三点，，的圆的方程是（   ） A． B． C． D． 【变式2.1】（25-26高二上·广东深圳·阶段检测）已知、，则以为直径的圆的一般方程为（    ） A． B． C． D． 【变式2.2】（25-26高二上·河南洛阳·期中）已知，，，则的外接圆方程为（   ） A． B． C． D． 【变式2.3】（25-26高二·全国·寒假作业）过坐标原点，且在x轴和y轴上的截距分别为2和3的圆的方程为（    ） A． B． C． D． 【题型3 由圆的方程确定圆心和半径】 【例3】（25-26高二上·广东江门·阶段检测）圆，则圆的圆心坐标和半径分别为（   ） A． B． C． D． 【变式3.1】（25-26高二上·江苏徐州·期中）圆的圆心坐标与半径分别为（    ） A． B． C． D． 【变式3.2】（25-26高二上·新疆喀什·期中）圆的方程为，则该圆的圆心与半径分别是（   ） A．圆心，半径 B．圆心，半径 C．圆心，半径5 D．圆心，半径 5 【变式3.3】（25-26高二上·安徽·阶段检测）圆的圆心坐标和半径分别是（    ） A． B． C． D． 【题型4 圆的一般方程与标准方程之间的互化】 【例4】（25-26高二上·湖北·期末）已知圆上的所有点都在第一象限，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式4.1】（25-26高二上·宁夏吴忠·期中）已知，，则以为直径的圆的一般方程为（    ） A． B． C． D． 【变式4.2】（25-26高二上·山西·阶段检测）若方程表示圆心在直线上的圆，则该圆的半径为（   ） A． B．3 C．2 D． 【变式4.3】（25-26高二上·广东深圳·阶段检测）已知圆的方程为，若圆O的半径小于8，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 考点2 二元二次方程与圆的方程 知识点2 二元二次方程与圆的方程 1．二元二次方程与圆的方程的关系 二元二次方程，对比圆的一般方程 ，我们可以看出圆的一般方程是一个二元二次方程，但一个二元二次方程不一定是圆的方程. 2．二元二次方程表示圆的条件 二元二次方程表示圆的条件是. 【题型5 二元二次方程表示圆的条件】 【例5】（25-26高二上·四川眉山·期末）若方程表示圆，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【变式5.1】（25-26高二上·河南漯河·阶段检测）方程表示圆，则m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式5.2】（25-26高二·全国·课堂例题）判断下列方程是否是圆的方程，如果是，写出圆的圆心坐标与半径；如果不是，说明理由． (1)； (2)； (3)． 【变式5.3】（25-26高二·全国·随堂练习）下列二元二次方程中，哪些表示圆？如果是圆，求出它的圆心和半径： (1) ； (2)； (3)； (4)； (5). 【题型6 圆过定点问题】 【例6】（25-26高二上·湖北荆州·期末）圆恒过的定点为（    ） A． B． C． D． 【变式6.1】（25-26高二下·上海徐汇·期中）对任意实数，圆恒过定点，则定点坐标为____________． 【变式6.2】（25-26高二上·浙江绍兴·阶段检测）在平面直角坐标系中，设顶点坐标分别为，，，，（其中，），圆M为的外接圆． (1)当时，求圆M的方程； (2)当a变化时，圆M是否过某一定点？若是，求出定点的坐标，若不是，请说明理由； 【变式6.3】（25-26高二上·江苏·阶段检测）已知圆经过，两点. (1)当，并且是圆的直径，求此时圆的标准方程； (2)如果是圆的直径，证明：无论a取何正实数，圆恒经过除外的另一个定点，求出这个定点坐标. 考点3 点与圆的位置关系 知识点3 点与圆的位置关系 1．点与圆的位置关系 (1)如图所示，点M与圆A有三种位置关系：点在圆上，点在圆内，点在圆外. (2)圆A的标准方程为，圆心为，半径为；圆A的一般方程为 .平面内一点. 位置关系 判断方法 几何法 代数法(标准方程) 代数法(一般方程) 点在圆上 |MA|=r (x0-a)2 +(y0-b) 2=r2 点在圆内 |MA|<r (x0-a)2 +(y0-b) 2<r2 点在圆外 |MA|>r (x0-a)2 +(y0-b) 2>r2 【题型7 判断点与圆的位置关系】 【例7】（25-26高二上·山东临沂·期中）已知圆的方程为，则下列点中在圆内的是（   ） A． B． C． D． 【变式7.1】（25-26高二上·江苏盐城·期中）点与圆的位置关系为（    ） A．点在圆内 B．点在圆上 C．点在圆外 D．与的值有关 【变式7.2】（25-26高二上·甘肃白银·期中）点在圆的（   ） A．外部 B．内部 C．圆周上 D．无法确定 【变式7.3】（25-26高二上·浙江·期中）已知圆，其中，下列各点中一定在圆C内的是（   ） A． B． C． D． 【题型8 点与圆的位置关系求参数】 【例8】（25-26高二上·福建福州·期中）若点在圆的外部，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式8.1】（25-26高二上·重庆·期中）已知点在圆外，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式8.2】（25-26高二上·山东济宁·期中）“点在圆外部”是“，或”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式8.3】（25-26高二上·安徽·阶段检测）已知点在圆的外部，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 考点4 轨迹方程 知识点4 轨迹方程 1．轨迹方程 求符合某种条件的动点的轨迹方程，实质上就是利用题设中的几何条件，通过“坐标法”将其转化为关于变量x,y之间的方程. (1)当动点满足的几何条件易于“坐标化”时，常采用直接法；当动点满足的条件符合某一基本曲线的定义(如圆)时，常采用定义法；当动点随着另一个在已知曲线上的动点运动时，可采用代入法(或称相关点法). (2)求轨迹方程时，一要区分"轨迹"与"轨迹方程"；二要注意检验，去掉不合题设条件的点或线等. 2．求轨迹方程的步骤： (1)建立适当的直角坐标系，用(x,y)表示轨迹(曲线)上任一点M的坐标； (2)列出关于x,y的方程； (3)把方程化为最简形式； (4)除去方程中的瑕点(即不符合题意的点)； (5)作答. 【题型9 轨迹问题——圆】 【例9】（25-26高二上·江苏连云港·阶段检测）已知定点，点P是圆上一动点，点Q是线段AP的中点，则点Q的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【变式9.1】（25-26高二上·广东东莞·期中）已知圆，是圆上的动点，点，若动点满足，则点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【变式9.2】（25-26高二上·广东广州·阶段检测） 已知圆过，两点，且圆心在直线上. (1)求圆的方程； (2)已知线段AB的端点B的坐标是，端点A在圆C上运动，求线段AB中点P的轨迹方程. 【变式9.3】（25-26高二上·江西景德镇·期末）已知圆的圆心为点，其在直线上，且与轴交于两点、． (1)求的面积； (2)求圆的标准方程； (3)已知，点在圆上运动，求线段中点的轨迹方程． 考点5 与圆有关的对称问题 知识点5 与圆有关的对称问题 1．与圆有关的对称问题 (1)圆的轴对称性：圆关于直径所在的直线对称. (2)圆关于点对称 ①求已知圆关于某点对称的圆，只需确定所求圆的圆心位置. ②若两圆关于某点对称，则此点为两圆圆心连线的中点. (3)圆关于直线对称 ①求已知圆关于某条直线对称的圆，只需确定所求圆的圆心位置. ②若两圆关于某直线对称，则此直线为两圆圆心连线的垂直平分线. 【题型10 与圆有关的对称问题】 【例10】（25-26高二上·云南红河·期末）已知圆与圆关于直线对称，则的方程为（    ） A． B． C． D． 【变式10.1】（25-26高二上·湖北武汉·期中）已知圆，圆与圆关于直线对称，则圆的方程为（    ） A． B． C． D． 【变式10.2】（25-26高二上·全国·单元测试）已知圆C过点. (1)求圆C的方程； (2)求圆C关于直线对称圆的方程. 【变式10.3】（25-26高二下·安徽·开学考试）已知圆的圆心在直线上，且圆过点，． (1)求圆的标准方程； (2)若圆与圆关于直线对称，求圆的标准方程． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题2.1 圆的方程（举一反三讲义） 【苏教版】 【题型1 求圆的标准方程】 2 【题型2 求圆的一般方程】 3 【题型3 由圆的方程确定圆心和半径】 5 【题型4 圆的一般方程与标准方程之间的互化】 6 【题型5 二元二次方程表示圆的条件】 8 【题型6 圆过定点问题】 10 【题型7 判断点与圆的位置关系】 13 【题型8 点与圆的位置关系求参数】 14 【题型9 轨迹问题——圆】 17 【题型10 与圆有关的对称问题】 20 考点1 圆的方程 知识点1 圆的方程 1．圆的定义 圆的定义：平面内到定点的距离等于定长的点的集合(轨迹)是圆(定点为圆心，定长为半径). 圆心决定圆的位置，半径决定圆的大小. 2．圆的标准方程 (1)圆的标准方程：方程 (r>0)叫作以点(a,b)为圆心，r为半径的圆的标准方程. (2)圆的标准方程的优点：根据圆的标准方程很容易确定圆心坐标和半径. (3)圆的标准方程的适用条件：从方程的形式可以知道，一个圆的标准方程中含有三个字母(待定)，因此在一般条件下，只要已知三个独立的条件，就可以求解圆的标准方程. 3．圆的一般方程 (1)方程叫做圆的一般方程. (2)圆的一般方程的适用条件：从方程的形式可以知道，一个圆的一般方程中含有三个字母(待定)，因此在一般条件下，只要已知三个独立的条件，就可以求解圆的一般方程. 下列情况比较适用圆的一般方程： ①已知圆上三点，将三点坐标代入圆的一般方程，求待定系数D，E，F； ②已知圆上两点，圆心所在的直线，将两个点代入圆的方程，将圆心代入圆心所在的直线方程，求待定系数D，E，F. 【题型1 求圆的标准方程】 【例1】（25-26高二上·江西宜春·期末）圆心为，半径为6的圆的标准方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】直接运用圆的标准方程进行求解即可. 【解答过程】因为圆的圆心为，半径为6， 所以圆的标准方程为. 故选：B. 【变式1.1】（25-26高二上·福建厦门·期末）已知点坐标为，点坐标为，以线段为直径的圆的方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】由题可得圆心坐标与半径，据此可得答案. 【解答过程】由题可得圆心坐标为，圆直径为：，则圆半径为. 从而圆方程为：. 故选：C. 【变式1-2】（25-26高二上·河北唐山·期末）已知圆经过、两点，圆心在直线上，则圆的方程为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】设圆心，根据结合平面内两点间的距离公式可得出关于的等式，解出的值，可得出圆心的坐标，进而可求出圆的半径，即可得出圆的方程. 【解答过程】根据题意设圆心，因为圆经过、两点，则， 所以，解得， 故圆心为，圆的半径为， 故圆的方程为. 故选：C. 【变式1.3】（25-26高二上·河南·阶段检测）已知的三个顶点分别为，则的外接圆的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】设所求圆的方程是.首先判断出是直角三角形，再分析出斜边的中点即为外接圆的圆心，斜边的一半即为外接圆的半径，求出圆心和半径，代入方程即可得解. 【解答过程】设所求圆的方程是. 已知的三个顶点分别为， 因为， 且，所以是直角三角形， 所以的斜边的中点，即为外接圆的圆心， 斜边的一半即为外接圆的半径，即， 所以的外接圆的方程为. 故选：D. 【题型2 求圆的一般方程】 【例2】（25-26高二上·天津·阶段检测）经过三点，，的圆的方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】设出圆的一般方程，根据点在圆上列出方程，解方程组，即可得答案. 【解答过程】设圆的一般方程为, 将，，代入方程得， 解得，满足， 故圆的方程为， 故选：A. 【变式2.1】（25-26高二上·广东深圳·阶段检测）已知、，则以为直径的圆的一般方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】求出的中点和可得以为直径的圆的圆心坐标和半径，进而得所求圆的标准方程，再将其转化为一般方程即可得解. 【解答过程】已知、，则中点坐标为即. ， 所以以为直径的圆的圆心为，半径为. 所以圆的标准方程为，展开可得， 整理得. 故选：B. 【变式2.2】（25-26高二上·河南洛阳·期中）已知，，，则的外接圆方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】设的外接圆方程为，代入三点坐标求出系数即可. 【解答过程】设的外接圆方程为， 因为，，， 所以，解得， 所以的外接圆方程为. 故选：D. 【变式2.3】（25-26高二·全国·寒假作业）过坐标原点，且在x轴和y轴上的截距分别为2和3的圆的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】利用待定系数法设出圆的一般方程，将三个点的坐标代入得到方程组，求出圆的方程. 【解答过程】设圆的方程为， 由题意知,圆过点，和， 所以，解得， 所以所求圆的方程为. 故选：A. 【题型3 由圆的方程确定圆心和半径】 【例3】（25-26高二上·广东江门·阶段检测）圆，则圆的圆心坐标和半径分别为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】根据圆的标准方程求得圆心和半径. 【解答过程】圆的标准方程为， 所以圆心为，半径为. 故选：B. 【变式3.1】（25-26高二上·江苏徐州·期中）圆的圆心坐标与半径分别为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】配方后可得圆心坐标和半径． 【解答过程】由圆，可得圆， 所以圆心坐标为，半径为． 故选：D． 【变式3.2】（25-26高二上·新疆喀什·期中）圆的方程为，则该圆的圆心与半径分别是（   ） A．圆心，半径 B．圆心，半径 C．圆心，半径5 D．圆心，半径 5 【答案】A 【解题思路】根据圆的标准方程即可确定圆心和半径. 【解答过程】由题意知圆的标准方程为， 则该圆的圆心与半径分别是、， 故选：A. 【变式3.3】（25-26高二上·安徽·阶段检测）圆的圆心坐标和半径分别是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】将圆的一般方程化为标准方程，即可得圆心和半径. 【解答过程】由题可知圆的标准方程为，所以圆心为，半径为． 故选：D. 【题型4 圆的一般方程与标准方程之间的互化】 【例4】（25-26高二上·湖北·期末）已知圆上的所有点都在第一象限，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】将圆的一般方程化成标准方程，结合题意得到不等式组，解之即得. 【解答过程】由，配方得， 则该圆圆心为，半径为3，由题意可得解得， 故实数的取值范围是. 故选：A. 【变式4.1】（25-26高二上·宁夏吴忠·期中）已知，，则以为直径的圆的一般方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】根据条件，直接求出圆心和半径，再求出圆的标准方程，化为一般方程，即可求解. 【解答过程】因为，，则的中点为，且， 所以为直径的圆的方程为，即， 故选：A. 【变式4.2】（25-26高二上·山西·阶段检测）若方程表示圆心在直线上的圆，则该圆的半径为（   ） A． B．3 C．2 D． 【答案】A 【解题思路】将圆方程化为标准形式得到圆心坐标，根据圆心在直线上求得参数，然后可得圆的半径. 【解答过程】由题意，得圆的方程为，所以圆心坐标为，半径为． 因为圆心在直线上，所以，解得，所以半径. 故选：A. 【变式4.3】（25-26高二上·广东深圳·阶段检测）已知圆的方程为，若圆O的半径小于8，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】将圆的一般方程转化为标准方程，从而得到关于的不等式，解之即可得解. 【解答过程】因为圆的方程为， 所以圆的标准方程为， 故，解得或， 所以的取值范围为. 故选：D. 考点2 二元二次方程与圆的方程 知识点2 二元二次方程与圆的方程 1．二元二次方程与圆的方程的关系 二元二次方程，对比圆的一般方程 ，我们可以看出圆的一般方程是一个二元二次方程，但一个二元二次方程不一定是圆的方程. 2．二元二次方程表示圆的条件 二元二次方程表示圆的条件是. 【题型5 二元二次方程表示圆的条件】 【例5】（25-26高二上·四川眉山·期末）若方程表示圆，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】根据圆的一般方程，由求解. 【解答过程】解：因为方程表示圆， 所以， 解得， 故选：B. 【变式5.1】（25-26高二上·河南漯河·阶段检测）方程表示圆，则m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】根据得到不等式，求出答案. 【解答过程】由题意可得，即，解得或. 故选：A. 【变式5.2】（25-26高二·全国·课堂例题）判断下列方程是否是圆的方程，如果是，写出圆的圆心坐标与半径；如果不是，说明理由． (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)是圆心坐标为，半径为5的圆的方程 (2)是圆心坐标为，半径为的圆的方程 (3)不是圆的方程，理由见解析 【解题思路】（1）将方程配方成圆的标准方程的形式，可知其表示的是以为圆心，半径为5的圆； （2）将方程两边除以4，化简可得其表示的是圆心坐标为，半径为的圆； （3）通过配方可知方程无解，即其表示的不是圆的方程. 【解答过程】（1）原方程可以化为， 即，是圆的方程； 圆心坐标为，半径为5． （2）方程两边除以4，得． 将左边配方，得，是圆的方程； 即圆心坐标为，半径为． （3）因为原方程可以化为，即， 又因为满足上述方程的实数x，y不存在，所以原方程不是圆的方程． 【变式5.3】（25-26高二·全国·随堂练习）下列二元二次方程中，哪些表示圆？如果是圆，求出它的圆心和半径： (1) ； (2)； (3)； (4)； (5). 【答案】(1)答案见解析； (2)答案见解析； (3)答案见解析； (4)答案见解析； (5)答案见解析. 【解题思路】（1）根据二次项系数不相等可判断方程不表示圆； （2）配方后可观察是否为圆，若是根据标准方程求圆心与半径； （3）根据方程形式可以直接判断; （4）配方后可判断方程表示圆，并得到圆心半径； （5）配方后方程右边为负数可判断方程不表示圆. 【解答过程】（1）因为的二次项的系数不相等， 所以方程不表示圆. （2）由可化为， 所以方程表示圆心为，半径为的圆. （3）因为不是二元二次方程， 所以方程不表示圆. （4）由可化为， 所以方程表示圆心为，半径为的圆. （5）由可化为， 所以方程不表示圆. 【题型6 圆过定点问题】 【例6】（25-26高二上·湖北荆州·期末）圆恒过的定点为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】将方程进行变形整理，解方程组即可求得结果. 【解答过程】圆的方程化为， 由得或， 故圆恒过定点． 故选：D． 【变式6.1】（25-26高二下·上海徐汇·期中）对任意实数，圆恒过定点，则定点坐标为____________． 【答案】或 【解题思路】由已知得，从而，由此能求出定点的坐标． 【解答过程】解：，即， 令，解得，，或，， 所以定点的坐标是或． 故答案为：或. 【变式6.2】（25-26高二上·浙江绍兴·阶段检测）在平面直角坐标系中，设顶点坐标分别为，，，，（其中，），圆M为的外接圆． (1)当时，求圆M的方程； (2)当a变化时，圆M是否过某一定点？若是，求出定点的坐标，若不是，请说明理由； 【答案】(1) (2)过定点，理由见解析 【解题思路】（1）由待定系数法求解即可； （2）由圆M过某一定点得，求解即可 【解答过程】（1）设圆M的方程为：. ∵，，在圆M上， ∴，解得，，， 圆M的方程为： 当时，圆M的方程为：. （2）由（1）圆M的方程可化为：， 要使圆M过某一定点，∴，解得，， ∴圆M过定点. 【变式6.3】（25-26高二上·江苏·阶段检测）已知圆经过，两点. (1)当，并且是圆的直径，求此时圆的标准方程； (2)如果是圆的直径，证明：无论a取何正实数，圆恒经过除外的另一个定点，求出这个定点坐标. 【答案】(1)； (2)定点坐标为，证明见解析. 【解题思路】（1）求出的坐标，根据两点间的距离公式求出，从而可求解； （2）设点是圆上任意一点，由是圆的直径，得，从而可求出圆的方程，即可得出结论 【解答过程】（1）当，，故，， 所以此时圆的标准方程为. （2）设点是圆上任意一点， 因为是圆的直径，所以， 即， 所以圆的方程为：， 则，，等式恒成立，定点为， 所以无论取何正实数，圆恒经过除外的另一个定点，定点坐标为. 考点3 点与圆的位置关系 知识点3 点与圆的位置关系 1．点与圆的位置关系 (1)如图所示，点M与圆A有三种位置关系：点在圆上，点在圆内，点在圆外. (2)圆A的标准方程为，圆心为，半径为；圆A的一般方程为 .平面内一点. 位置关系 判断方法 几何法 代数法(标准方程) 代数法(一般方程) 点在圆上 |MA|=r (x0-a)2 +(y0-b) 2=r2 点在圆内 |MA|<r (x0-a)2 +(y0-b) 2<r2 点在圆外 |MA|>r (x0-a)2 +(y0-b) 2>r2 【题型7 判断点与圆的位置关系】 【例7】（25-26高二上·山东临沂·期中）已知圆的方程为，则下列点中在圆内的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】根据点与圆位置关系的坐标判断方法，逐项验证即可得结论. 【解答过程】由于，故点在圆上； 又，故点在圆外； 因为，故点在圆内； 又，故点在圆外； 综上，在圆内的是. 故选：C. 【变式7.1】（25-26高二上·江苏盐城·期中）点与圆的位置关系为（    ） A．点在圆内 B．点在圆上 C．点在圆外 D．与的值有关 【答案】C 【解题思路】将点的坐标代入圆的方程即可判断得到结果. 【解答过程】， 在圆外， 故选：C. 【变式7.2】（25-26高二上·甘肃白银·期中）点在圆的（   ） A．外部 B．内部 C．圆周上 D．无法确定 【答案】A 【解题思路】将点的坐标代入圆的方程，即可判断. 【解答过程】因为，所以点在圆的外部． 故选：A. 【变式7.3】（25-26高二上·浙江·期中）已知圆，其中，下列各点中一定在圆C内的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】利用代入验证法确定正确答案. 【解答过程】由圆，可知，即， ，A选项正确， ，不一定小于0，B选项错误， ，不一定小于0，C选项错误， ，不一定小于0，D选项错误. 故选：A. 【题型8 点与圆的位置关系求参数】 【例8】（25-26高二上·福建福州·期中）若点在圆的外部，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】根据圆的一般方程及点与圆的位置关系可得不等式，解不等式即可． 【解答过程】由已知圆，则， 又点在圆外，则， 即， 解得， 故选：B． 【变式8.1】（25-26高二上·重庆·期中）已知点在圆外，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】将圆化成标准形式，确定圆心和半径，结合点在圆外及两点距离公式列不等式求参数范围. 【解答过程】由圆，则圆， 所以，半径为，且或， 由点在圆外，则， 所以，可得， 综上，或. 故选：D. 【变式8.2】（25-26高二上·山东济宁·期中）“点在圆外部”是“，或”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【解题思路】由定点在圆的外部得，求得的取值范围，结合充分,必要条件的意义可得结论. 【解答过程】因为点在圆外， 所以，解得， 所以或， 所以的取值范围为或， 所以“或”是“，或”的充分不必要条件， 所以“点在圆外部”是“，或”的充分不必要条件. 故选：A. 【变式8.3】（25-26高二上·安徽·阶段检测）已知点在圆的外部，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】借助圆的一般方程定义及点与圆的位置关系计算即可得. 【解答过程】因为曲线表示圆，点在圆的外部， 所以，整理得， 由可得， 由可得或， 故. 故选：D. 考点4 轨迹方程 知识点4 轨迹方程 1．轨迹方程 求符合某种条件的动点的轨迹方程，实质上就是利用题设中的几何条件，通过“坐标法”将其转化为关于变量x,y之间的方程. (1)当动点满足的几何条件易于“坐标化”时，常采用直接法；当动点满足的条件符合某一基本曲线的定义(如圆)时，常采用定义法；当动点随着另一个在已知曲线上的动点运动时，可采用代入法(或称相关点法). (2)求轨迹方程时，一要区分"轨迹"与"轨迹方程"；二要注意检验，去掉不合题设条件的点或线等. 2．求轨迹方程的步骤： (1)建立适当的直角坐标系，用(x,y)表示轨迹(曲线)上任一点M的坐标； (2)列出关于x,y的方程； (3)把方程化为最简形式； (4)除去方程中的瑕点(即不符合题意的点)； (5)作答. 【题型9 轨迹问题——圆】 【例9】（25-26高二上·江苏连云港·阶段检测）已知定点，点P是圆上一动点，点Q是线段AP的中点，则点Q的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】设点，结合中点坐标公式可得，进而代入即可求解. 【解答过程】设点，，定点，点Q是线段AP的中点， 所以，则，即， 又因为动点P在圆上，所以， 则，所以点Q轨迹方程为. 故选：A. 【变式9.1】（25-26高二上·广东东莞·期中）已知圆，是圆上的动点，点，若动点满足，则点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】根据给定条件，可得为线段中点，再利用坐标代换法求出轨迹方程. 【解答过程】设点，由，得为线段中点，则点， 而点在圆上，因此，即， 所以点的轨迹方程为. 故选：B. 【变式9.2】（25-26高二上·广东广州·阶段检测） 已知圆过，两点，且圆心在直线上. (1)求圆的方程； (2)已知线段AB的端点B的坐标是，端点A在圆C上运动，求线段AB中点P的轨迹方程. 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）先求得线段的垂直平分线的方程，通过联立垂直平分线的方程和直线的方程求得圆心的坐标，进而求得半径，从而求得圆的标准方程. （2）设出点的坐标，求得点的坐标，将点的坐标代入圆的方程，化简求得点的轨迹方程. 【解答过程】（1）线段的中点的坐标为， 直线的斜率为， 所以线段的垂直平分线的斜率为， 所以线段的垂直平分线的方程为，即 由，解得，所以， , 所以圆的标准方程为. （2）设，，由于是线段的中点，已知， 则，即，所以， 将点的坐标代入圆的方程得， 整理得点的轨迹方程为：. 【变式9.3】（25-26高二上·江西景德镇·期末）已知圆的圆心为点，其在直线上，且与轴交于两点、． (1)求的面积； (2)求圆的标准方程； (3)已知，点在圆上运动，求线段中点的轨迹方程． 【答案】(1) (2) (3) 【解题思路】（1）求出线段的中垂线方程，分析可知点为直线与线段中垂线的交点，联立两直线方程，可得出点的坐标，即可求得的面积； （2）求出圆的半径，即可得出圆的标准方程； （3）设点、，利用中点坐标公式得出，再将点的坐标代入圆的方程，化简可得出点的轨迹方程. 【解答过程】（1）因为、，所以线段的中垂线方程为， 易知点为直线与直线的交点， 联立得，故点，故. （2）由（1）可知圆的半径为， 故圆的标准方程为. （3）设点、，由线段中点坐标公式可得，所以， 因为点在圆上，所以，化简得. 故点的轨迹方程为. 考点5 与圆有关的对称问题 知识点5 与圆有关的对称问题 1．与圆有关的对称问题 (1)圆的轴对称性：圆关于直径所在的直线对称. (2)圆关于点对称 ①求已知圆关于某点对称的圆，只需确定所求圆的圆心位置. ②若两圆关于某点对称，则此点为两圆圆心连线的中点. (3)圆关于直线对称 ①求已知圆关于某条直线对称的圆，只需确定所求圆的圆心位置. ②若两圆关于某直线对称，则此直线为两圆圆心连线的垂直平分线. 【题型10 与圆有关的对称问题】 【例10】（25-26高二上·云南红河·期末）已知圆与圆关于直线对称，则的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】根据已知圆的方程确定圆心，进而得到线段的中点坐标及的斜率，应用点斜式写出直线方程. 【解答过程】圆的标准方程为：，圆心. 圆的标准方程为：，圆心. 所以线段的中点为， 由题意，为线段的垂直平分线，且，所以， 所以的方程为，则. 故选：D. 【变式10.1】（25-26高二上·湖北武汉·期中）已知圆，圆与圆关于直线对称，则圆的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】根据对称后圆心关于直线对称，半径不变可求出圆的方程。 【解答过程】圆的圆心为，半径为， 因为圆与圆关于直线对称， 所以圆半径为，设圆圆心为， 则两圆圆心连线的中点在直线上 ，且两圆心所在直线与直线垂直， 故，解得 ，所以圆圆心为， 所以圆的方程为. 故选：B. 【变式10.2】（25-26高二上·全国·单元测试）已知圆C过点. (1)求圆C的方程； (2)求圆C关于直线对称圆的方程. 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）设圆的一般方程，代入点，得到方程组，解出即可； （2）设所求圆的圆心为，根据点关于直线的对称得到关于的方程，解出即可. 【解答过程】（1）设圆C：，其中， 则，解得， 所以圆C的一般方程是：， 化为标准方程是：. （2）设所求圆的圆心为，由（1）知圆的圆心， 则由已知得，解得， 故圆C关于直线对称圆的方程为. 【变式10.3】（25-26高二下·安徽·开学考试）已知圆的圆心在直线上，且圆过点，． (1)求圆的标准方程； (2)若圆与圆关于直线对称，求圆的标准方程． 【答案】(1)； (2). 【解题思路】（1）设圆的一般方程，结合已知列方程求解的值，再转化为圆的标准方程即可； （2）由于圆与圆关于直线对称，根据点关于直线对称坐标特点求得的坐标，则得圆心，由对称可知半径不变，故可得圆的标准方程． 【解答过程】（1）解：设圆C的方程为， 已知圆的圆心在直线上，且圆过点，， 则，解得， 即圆C的方程为， ∴圆C的标准方程为． （2）解：由（1）得圆C的圆心，半径， 设圆的圆心坐标为，∵圆与圆C关于直线对称， 则有，解得，即． ∴圆的标准方程为． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $